A tiszta hajlítás fogalma. A hajlítás tipikus esetei a mérnöki gyakorlatban

Átírás

1 13. HAJLÍTÁ I. A tist hjlítás foglm A rúd kerestmetsetére htó erőrendser eredője kerestmetseti síkn fekvő erőpár (másképpen: kerestmetset egetlen nemérus igénevétele hjlítónomték). A hjlítás tipikus esetei mérnöki gkorltn áltlán: gerendák sőt: Rendserint tehát nem tist, hnem nírássl egidejű hjlítás! Látni fogjuk: níróerő jelenléte hjlításól sármó fesültségek és lkváltoások sámítás sempontjáól elhngolhtó hiát oko.

2 13. HAJLÍTÁ II. Alpvető feltevések: egenes tengelű rúd sík kerestmetsetek elve homogén, lineárisn ruglms ng (Hooke-törvén) rúdelem pontji csk tengeliránú eltolódásokt senvednek egelőre csk (-re) simmetrikus kerestmetset egelőre csk -től függő eltolódások Kiegésítés: deformációt követően kerestmetset súlvonlr merőleges mrd (Bernoulli Nvier hipotéis) dφ Δφ BA d l d Feltessük (késő igoljuk is), hog kerestmetseti súlpontokt össekötő vonl (súlvonl) núlásmentes. P P dφ / du P / P dφ du P d d Definíció: eg kerestmetseten elül ε 0 fjlgos núlású pontok hlmát semleges tengelnek neveük.

3 13. HAJLÍTÁ III. A simmetrisíkján tistán hjlított rúdelem egenletei du() dφ da dφ du() d F i : TATIKAI egenlet N 0 σ (,) da (A) i : σ (,) da (A) tengel körüli fjlgos elfordulás GEOETRIAI egenlet ε (,) du(,) d helette inká: κ () dφ () d ε (,) κ () és ANYAGmodell σ (,) E ε (,) ( -től vló függés dott rúdelem esetéen csupán formális) A vetületi egensúlól: F i : TAT 0 σ ()d A Eε ()d A Eκ da Eκ d A Eκ (A) ( A) (A) ( A) menti fesültségeloslás egelőre ismeretlen! κ visont már állndó sttiki nomték súlpontr vlón 0! ANYAG σ (, )Eε (,) GEO ε ()κ

4 13. HAJLÍTÁ IV. A nomtéki egensúlól: TAT i : ( A) σ () d A (Eκ ) d A Eκ d A Eκ I ( A) ( A) I : d A (A) ANYAG + GEO tengelre vett tehetetlenségi nomték vg inercinomték I mindig poitív, mértékegsége: hoss 4 Eől lkváltoás κ EI ( EI elneveése: ( tengel körüli) hjlítómerevség), mjd geometrii össefüggés és ngmodell ismételt hsnáltávl fesültség σ () Eε () Eκ I. A körüli elfordulás sámítás eg l hossúságú BC skson (C elfordulás B-he képest): GEO κ d φ ( ) d Δ φ CB C B C κ d B H I állndó ("primtikus rúd"): Δφ CB 1 () EI ( ) d (áltlánosságn) C EI ( )d B ( igénevételi ár B és C köötti területrése ostv merevséggel) figeljük meg: N + + reltív elmodulás (núlás, elfordulás st.) igénevételi ár területével egenesen, merevséggel fordítottn rános

5 13. HAJLÍTÁ V. mintfeldt 1. A képen láthtó műugró súl G 0,9 kn, trmulin sd hoss l 3 m, sélessége 40 cm és (állndónk tekintett) vstgság 5 cm (önsúl elhngolhtó). ) Késítsük el konoltrtó nomtéki áráját! ) ekkor mimális húó- és nomófesültség keletkeik trmulin ngán? c) ekkor K konolvég B efogásho képest mérhető elfordulás, h ng ruglmssági modulus E 15 GP? d) Hogn váltonánk elői értékek, h gerendát hosstengele körül 90 fokkl elforgtnánk? 300 cm G ) 5 cm 40 cm G 0,9 kn,7 knm G (. ) primtikus rúdn mimális fesültségek mimális nomték helén keletkenek G ) kerestmetset néete: +,7 knm mimális húás felül ( m,f / ), mimális nomás lul ugnilen távolságn. ár csk I hiánik: I da ( A) / / / / d d / / [ 3 / 3 ] / d / / 3 / 1 [ d 3 1 ] / 3 1 I ,7cm4 σ ±m I 70 kn,5 1,60 416,7 cm.

6 13. HAJLÍTÁ VI. c) B K,7 knm Δ φ KB l 0 l κ d 0 ( ) EI ( ) d 1 l EI 0 ()d 1 EI A, primtikus rúd nomtéki ár területe Δ φ KB ,7 ( 70) 300 0,06480 rd (órávl megegeő). d) A inerci újr kisámítndó: + I cm4 1,7 knm σ ±m I 70 kn 0 0, cm. Δ φ KB 1 ) 300 ( ,00101 rd (órávl megegeő). i történik, h műugró ferdén rugskodik el (H 0,3 kn)? G Hl 0,9 knm (. ) H Gl H G + + P σ P kn,5+ 0 1, , cm ( csvrástól eltekintünk) σ +m. A superpoíció elve itt is érvénes ( φ, φ kicsi, illetve ng lineárisn ruglms). De mi teendő, h selvén kevésé simmetrikus?

7 13. HAJLÍTÁ VII. A tistán hjlított áltlános rúdelem egenletei (...) rúdelem pontji csk tengeliránú eltolódásokt senvednek egelőre csk (-re) simmetrikus kerestmetset egelőre csk -től függő eltolódások emléketető: kis elfordulások egmásr hlmohtók dφ + dφ dφ + dφ u dφ da dφ du(,) + dφ dφ TATIKAI egenlet GEOETRIAI egenlet F i : N 0 σ (,,) da i : σ (,,) da (A) (A) i : σ (,,) da (A) du(,,) dφ () dφ () ε (,,) d d d ε (,,) κ () κ () A nomtéki egensúlól: TAT i : σ () d A E (κ κ ) d A Eκ da Eκ da ( A) ( A) (A) (A) I (már ismerős) C (I ) : da ( A) tengelekre vett centrifugális nomték C C lehet poitív és negtív is, mértékegsége: hoss 4

8 13. HAJLÍTÁ VIII. echniki értelemen C ruglms rúd (vg ) tengel körül elforduló kerestmetsetéen (vg ) tengel körül keletkeő nomtékkl rános. I (I ) () körül elforduló kerestmetseten ugnon tengel körül keletkeő nomtékávl rános. d F F F d F ~ I F d d F ~ C...folttv előő gondoltmenetet: i : Eκ I Eκ C i : Eκ C + Eκ I κ 1 I + C E I I C κ 1, eek lpján C + I E I I C σ ( I + C ) ( C + I ) I I C Vegük ésre: h C 0, képletek egserűsödnek: σ I I, κ EI, κ EI. Éppen úg, mint korán simmetrikus kerestmetseteknél! Kérdés: vn-e tetsőleges kerestmetseten oln, merőleges tengelpár, melre C 0? Váls: vn! Nevük: tehetetlenségi főirán. (Láttuk, hog simmetri-tengel tehát eől dódón rá merőleges irán is ilen tuljdonságú, főirán.) Definíció: Egenes hjlításnk neveük t esetet, mikor hjlítónomték vektor vlmel tehetetlenségi főiránnl párhumos (követkemén: semleges tengel sintén párhumos nomték vektorávl). Péld: simmetrisíkn terhelt trmulin esete. Definíció: Ferde hjlításnk neveük t esetet, mikor hjlítónomték vektor egik tehetetlenségi főiránnl sem párhumos (követkemén: semleges tengel sintén nem párhumos nomték vektorávl, sem ármel főiránnl). Péld: ferdén elrugskodó műugró esete.

9 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI I. 1. A kerestmetsetek geometrii jellemőinek definíciói da r φ Terület: A : d A + [cm ] ( A) ttiki nomték (elsőrendű nomték): : d A ; : d A [cm 3 ] (A ) ( A) úlpont: : A ; : A [cm] Tehetetlenségi nomték (inercinomték): I : d A ; I : da ; I 0 : r da ( I + I ) + [cm 4 ] ( A) ( A) ( A) Centrifugális nomték: C : da [cm 4 ] ( A) másodrendű nomtékok Innentől kedve mellékjel nélküli koordinát-tengel utomtikusn súlponti tengelt jelöl.. A másodrendű nomtékok koordinát-trnsformációj ) A koordinát-rendser eltolás w ' ' P P ' P Definíció lpján: I ' C ' ' v ' (A) ( I ' hsonlón) (súlponti tengelre sttiki nomték 0) Adott: I, I, C, vlmint v, w és A. eghtárondó: I ', I ' és C ' '. koordinát-rendserek köötti trnsformáció: ' v ' w ' d A ( w) d A d A w d A + w d A ( A) ( A) ( A) (A) I 0 A ( w)( v)da da w da v d A + vw d A (A) ( A) ( A) ( A) ( A) C 0 0 A

10 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI II. teiner-tétel: I ' I + Aw I I ' Aw I ' I + Av I I ' Av C ' ' C +Avw C C ' ' Avw A kettő köül egik rendser mindig súlponti; súlponti rendsertől távolodv inerciák növekednek. 1. Htárouk meg váolt tégllpselvén másodrendű nomtékit selvén éleire illeskedő ', ' tengelekre! ' I 3 1 és I 3 már ismert, 1 C 0 simmetriáól követkeik: ' da da ' ' ' Alklmuk teiner-tételt: I ' I + Aw ( ) 3 3 C ' ' C + Avw 0+ ( + ) ( ) 4 C negtív, mert veges előjelű síknegeden feksik. H ' jo oldli kontúrr kerül, C előjelet vált. uperpoíció elve: dott koordinát-rendseren össetett síkidomok másodrendű nomtéki réssíkidomok nomtékink össegeiként sámíthtók. Hiánó réssíkidomok nomtéki negtív előjellel sámítnk.

11 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI III.. Htárouk meg lái össetett selvén másodrendű nomtékit súlponti, tengelekre! 4 cm A súlpont hele: ' 6 cm 3 cm ' Gkorlásr: ismételjük meg I, I és C sámítását esetenként különféle drolássl és lklmsn válstott kiindulási tengelekkel! I 136cm 4 I 64 cm 4 C 48cm 4

12 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI IV. ) A koordinát-rendser elforgtás A követkeő gondoltmeneten,, η és ζ átmenetileg tetsőleges (nem súlponti) heletű! α α cos α cos α sin α η da sin α ζ η da ζ η cosα+sin α ζ cos α sin α Adott: I, I, C, vlmint α. eghtárondó: I η, I ζ és C ηζ. Definíció lpján: I η (A) ζ d A ( cosα sin α) d A ( A) cos α (A ) d A cosαsin α (A) d A + sin α d A ( A) cos α I cos αsin αc + sin α I Felhsnálv, hog cos α 1+cos α, sin α 1 cos α és cosαsin α sin α : hsonló elven: I η I ζ I +I + I I cos α C sin α (1) I + I I I cos α + C sin α () C ηζ + I I sin α + C cos α (3) I η + I ζ I 0 (állndó) H eg η, ζ koordinát-rendseren C ηζ 0, kkor η, ζ tengelek neve tehetetlenségi főirán (főtengel, jelölése 1 vg ). A hjlítás eveetőjéen foglltk serint pontosn ilen tuljdonságú tengelek körüli hjlítást hívjuk egenes hjlításnk. A tehetetlenségi főiránr vett inercinomték neve tehetetlenségi főnomték, jele I 1 vg I. A α serinti derivált visgáltávl eláthtó, hog C ηζ 0 kkor és csk kkor teljesül, h egidejűleg I η mimális és I ζ minimális vg megfordítv: I m I 1, I min I. Konvenció: legngo és legkise inercinomtékho trtoó főtengel jele rendre 1 és.

13 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI V. H C ηζ 0, kkor (3) lpján, tengeleket η, ζ főiránok forgtó α 0 -r teljesül, hog tg α 0 C I I α 0 1 rctg ( C I I ) + kπ 1 cos α 0 és sin α 1+tg 0 tg α 0 helettesítése és némi átlkítás után: α 0 1+tg α 0 I 1, I +I ± ( I I ) +C Figelem: α 0 -r kpott értékeknek két egmásr merőleges tengel felel meg, de képletől nem derül ki, hog melik 1-es és melik -es főirán. α 0 (-45 ; +45 ) trtomán eső értéke t előjeles forgtást dj, mi kiindulási inerciák köül ngot I 1 -e, kiseet pedig I -e trnsformálj. Grfikus segédlet: tehetetlenségi ohr-kör C Η α α 0 α ) Z (I, +C ) α I (I, 0) 0 1 (I 1, 0) α 0 ( I I +C η konvenció: 1 ζ Y (I, C ), Z (I, +C ), Y (I, C ) I +I α vlóságn α ohr-kören. Ξ I I A simmetri-tengel mindig főirán. H vlhol I I és C 0 ( ohr-kör egetlen ponttá deformálódik), kkor minden irán főirán (pl. kettőnél tö simmetri-tengel esetén).

14 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI VI.. Htárouk meg korán már tárglt össetett selvén tehetetlenségi főiránit és főnomtékit! 4 cm már ismert: 3 cm 6 cm I 136 cm 4 I 64 cm 4 C 48 cm 4 főiránok söge: α 0 1 rctg ( ( 48) ) rctg 0,75+36,87 főnomtékok értékei: I 1, ± ( ) +( 48) 100±60 I cm I 40cm 4 eredménvált: 36,87 1 I 1 160cm 4 I 40cm 4 A feldtho trtoó ohr-kör: C Y (I, C ) (136; 48) 1 α 0 (40; 0) I (I, 0) α α (I 1, 0) (160; 0) (64; 48) Z (I, +C )

15 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI VII. 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI VII. Htárouk meg semléletől (rjoljuk meg hoávetőlegesen) lái síkidomok tehetetlenségi főiránit! Ahol lehet, különítsük el 1. és. főiránt! 3. v v d v v v v v d v v v v

16 14. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI VIII. 3. Egserű síkidomok másodrendű nomtéki ' I ' 3 3 I 3 1 I 3 1 m " ' m 3 I ' ' m3 4 I m3 36 I ' m3 1 R 4 R 3 π ' C 0 I ' I R4 π 8 I teiner-tétellel sámíthtó ' I 0 R 4 π C ' ' + 4 C 7 I I R4 π 4 C 0 ' ' ' ' ' C ' ' >0 ' 4 R 3 π ' C ' ' <0 ' C ' ' R4 8 I ' I ' R4 π 16 I, I és C teiner-tétellel sámíthtó ' C ' ' >0 ' ' C ' ' <0 C <0 C >0 C <0 C >0 4. Htárouk meg lái egserű síkidom tehetetlenségi főiránit és főnomtékit! 6 cm 9 cm I 1, 54 11,5 I cm4 I ,5 cm 36 α 0 1 rctg ( 54 11,5) 40,5 5,10 ± 54 11,5 I 1 140,47cm 4 40,5 I 35,03cm 4 Y C ,5cm 4 α 0 5,10 (α 0 ) 1 (eredménvált!)

17 15. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI IX. 4. Össetett síkidomok másodrendű nomtéki Egserű idomokr ontás után teiner-tétel gloális vg lokális lklmásávl sámíthtók. 5. Htárouk meg lái össetett síkidom tehetetlenségi főiránit és főnomtékit! 6 9 cm I [ ' ' A teiner-tétel lokális lklmásávl: cm 3 3 '' 3 1 ' ' A cm A 6 π / 48,74 cm }A104,774 cm A / 13,5cm ,74 ' ( ,5+8, ' +90 (5,5834 7,5)] 1 [{ + 64 π 16 8,74 ( π ) } +8, ( 5, π ) I [ +90 (4,391 3)] [{ + 64 π 16 8,74 ( π ) } +8, ( 4,391 (6+ 3 π ) ) 3 π ) +( 13,5) ( ) 90+8,74+( 13,5) 3 π +( 13,5) ( ) 90+8,74+( 13,5) α 0 1 rctg 660,7 1733,4 989,3 30,31 I 1, 1733,4+989,3 ± ( 1733,4 989,3 ) I 1 119,6 cm 4 + ( 660,7 ) I 603,1cm 4 4,391cm 5,5834cm Péld teiner-tétel gloális lklmásár: I I ' ' A( ' 6) ( π ) 104,774 (4,391 6) 989,3cm 4 Nem mindig vn ilen heletű '' tengel, sőt C íg rendserint egáltlán nem sámíthtó! C } +8, ( 5, π )( 3 [ 9 7 ] +13,5 (5,5834 1)(4,391 5) 4 660,7 cm C [0+90 (5,5834 7,5)(4,391 3)]+[{ ,74 ( π ) Y ] [ ,5 (5,5834 1)] 1733,4 cm ] [ ,3cm ,5 (4,391 5)] 4,391 ( π ) )] α 0 60,6 1 I α 0 30,31 1 Z I 1 119,6 cm 4 I 603,1 cm 4

18 15. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI X. 6. Htárouk meg lái kerestmetsetek tehetetlenségi főiránit és főnomtékit! Végeük el sámítást töféle segédtengel lklmásávl, illetve teiner-tétel lokális lklmásávl is! elik tűnik egserűnek? ' 6 16 cm 6 A ' '' 13,6 16 cm ''' 8 ', '', ''' tengelekre, mjd onnn -r (gloális): I ' I ' ' I ' ' ' lokális trnsformációvl: I I C ' 4 cm cm ' 1 30 (0 4 ) A 504 cm 7,5714 cm ' 1 4 (18 1 ) ,7143 cm I ' I 840 cm 4 ' I ' I 48630cm 4 C ' ' C 95,7cm 4 ) α 0 1 rctg ( C I I ) I 1, I +I ± ( I I I 1 +( C ) I

19 15. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI XI. 7. OTTHONI GYAKORLÓ FELADAT: Htárouk meg lái hidegen hjlított egenlőtlen sárú L selvénű idomcél kerestmetsetének tehetetlenségi főiránit és főnomtékit! mm 50 ' ' A mm 10 A } mm A 3 10 π /478,540 mm 5 A 4 5 π /419,635 mm A A 1 + A + A 3 A 4 758,91 mm ' mm , ,540 ( ' 758, π ) + ( 19,635) ( A teiner-tétel lokális lklmásávl: I I 5 ' π ) 13,404mm ,5+ 78,540 ( 10 ' 758,91 3 π ) + ( 19,635) ( π ) 33,88 mm [ +450 (33,88 55)] [ +50 (33,88,5)] [ π 16 78,540 ( π ) +78,540 ( 33,88 ( π ) ) ] [ 54 π 16 19,635 ( π ) +19,635 ( 33,88 ( π ) ) ] mm4 [ +450 (13,404,5)] [ +50 (13,404 35)] [ π 16 78,540 ( π ) +78,540 ( 13,404 ( π ) ) ] [ 54 π 16 19,635 ( π ) +19,635 ( 13,404 ( π ) ) ] mm C [0+450 (33,88 55)(13,404,5) ]+[ 0+50 (33,88,5)(13,404 35) ] +[ ,540 ( π ) +78,540 ( 33,88 ( π ) 4 10 )( 13,404 (10 [ ,635 ( π ) +19,635 ( 33,88 ( π ) 4 5 )( 13,404 (10 3 π )] ) 3 π )] ) mm4 Péld teiner-tétel gloális lklmásár: I I ' ' A( ' 10) ( π π ) 758,91 (13,404 10) 7630 mm 4 ' ' 4 3 ' 5 1 Nem mindig vn ilen heletű tengel, sőt C íg rendserint egáltlán nem sámíthtó! '' '' '

20 α 0 1 rctg ( 15. AZ INERCIAZÁÍTÁ ALAPJAI XII. ( 59134) ) 1,07 I 1, ± ( ) I mm 4 + ( 59134) I mm 4 C Y I 1,78 cm 4 1 I I 1 Z α 0 ' 4,14 I α 0 ' 1,07 1 I 1 90,04 cm 4 8. OTTHONI GYAKORLÓ FELADAT: Htárouk meg lái hidegen hjlított Z selvénű idomcél kerestmetsetének tehetetlenségi főiránit és főnomtékit! ámítsuk ki előieket lekerekítések elhngolásávl is! ekkor hiát jelent e? 50 mm 8 A 9,074 cm I 51,8 cm 4 I 9,56 cm mm C 6,7 cm 4 α 0 14,7 I 1 68,3 cm 4 I 13,08 cm mm

21 16. EGYENE HAJLÍTÁ I. A egenes hjlítás foglm H hjlítónomték vektor párhumos vlmelik tehetetlenségi főiránnl, kkor egenes hjlításról esélünk. Ilenkor semleges tengel egeesik (h nem tist hjlításról vn só, párhumos késő) súlpont képelt nomtékvektorrl. Emléketető 1: simmetritengel és rá merőleges irán mindig tehetetlenségi főirán, DE nem simmetrikus kerestmetset esetén is léteik leglá két főirán. inden kerestmetsetet lehet egenesen hjlítni. Emléketető : Egenes hjlításr igénevett rúdelem egenletei (Tegük fel, hog tehetetlenségi főirán és egeesik hjlítónomték vektorávl!) TATIKAI egenlet F i : N 0 σ (,) da (A) i : σ (,) da (A) ANYAGmodell σ (,) E ε (,) GEOETRIAI egenlet ε (,) du(,) d tengel körüli fjlgos elfordulás: dφ () κ () d ε (,) κ () A nomtéki egensúlól geometrii és ngegenletek felhsnálásávl, átrendeés után: Eκ I, innen lkváltoás κ EI és fesültség σ ( ) Eε () Eκ A geometrii egenletől körüli elfordulás eg l hossúságú BC skson (C elfordulás B-he képest): κ dφ ( ) d Δ φ CB C B C κ d ( ) B EI ( ) d I. 1. Válssuk ki, hog lái kerestmetsetek köül melik vn egenes hjlításr igéne véve!

22 16. EGYENE HAJLÍTÁ II.. ámítsuk ki kölekedési lámpát trtó konol vísintes gerendáján keletkeő mimális húó- és nomófesültséget! A konolt csk lámpák egenként 00 N ngságú önsúl terheli ( gerend önsúlát elhngoljuk). A gerend kerestmetsete hoss mentén állndó, tégllp lkú ártselvén. F F F 1,5 m m F 00 N F F F m 3F + 3F 100 Nm 3F 100 Nm F 400 Nm d 0 cm v 1,0 cm Kerestmetseti jellemők: m A cm I cm4 1 c 15 cm imális húófesültség (fent): σ m t I m, fent 10 kn 100,5703 5,703 P (+) 368 cm imális nomófesültség (lent): σ min t I m,lent 10 kn 100,5703 5,703 P (-) 368 cm σ m +5,703 P + σ min 5,703 P

23 16. EGYENE HAJLÍTÁ III. A ruglms és képléken teherírás A terhelési folmt során növeksik. inden eges ngi pontr továr is érvénes lineárisn ruglms tökéletesen képléken ngmodell: σ f σ pontonként! ε A eges elemi rések állpotát leíró pontok origótól indulv moognk görén jor, de ruglms-képléken átmenet nem mindenütt ugnhho igénevételhe trtoik! d ' '' σ 0 σ m < σ f σ m σ f σ m σ f σ σ f 0 < rug rug rug << képl képl A semleges tengel kimodul -ől RUGALA teherírás: LEGKIEBB igénevétel, mel mellett kerestmetset VALAELY pontjár σ σ f. σ f rug I m rug σ f I m KÉPLÉKENY teherírás: igénevétel, mel mellett kerestmetset BÁRELY pontjár σ σ f. képl?

24 16. EGYENE HAJLÍTÁ IV. inden ngi pont képléken állpotn: A vetületi egensúlól: σ σ f képl A n A h '' TAT F i : 0 σ ()da σ f da+ σ f da A h σ f A n σ f (A) ( A h ) ( A n ) A h A n ANYAG semleges tengel területfeleően σ ()±σ f A nomtéki egensúlól: TAT i : képl σ () d A σ f da+ σ f d A σ f (,h,n ) ( A) (A h ) (A n ) ANYAG σ ()±σ f ivel súlponti tengel:,h,n,0 (,0 lsó vg felső fél terület sttiki nomték súlponti tengelre) tehát képl σ f 0 A képléken töletteherírási téneő: c képl >1 rug 0 1 c c 3 c 16 3 π Gerendák esetéen prktikus kis képléken töletteherírási téneő. Köpontos húás-nomás, illetve tist nírás esetén c mindig 1 (N rug N képl, V rug V képl ), hisen képléken viselkedés minden pontn egserre jelentkeik.

25 16. EGYENE HAJLÍTÁ V. 3. ámítsuk ki trtó mértékdó kerestmetsetéen keletkeő normálfesültségeket! Htárouk meg ruglms és képléken teherírás, illetve képléken töletteherírás értékét! ekkor K kerestmetset elfordulás és rúd görületi sugr? 1,8 knm l 4 m K + ' 1,8 knm ' 4 cm Adott: σ e ±195 P σ f ±40 P E 65 GP Ruglms eset: σ rug Képléken állpot: σ képl 4. OTTHONI GYAKORLÓ FELADAT Htárouk meg r, k és c értékét kör- és tégllpselvén esetén! r I m σ f 6 σ f k 0 σ f 4 σ f c 6 4 1,5 R r I m σ f R3 π 4 σ f k 0 σ f R π 4R 3π σ f 4 R3 3 σ f c 16 3π 1,698

26 16. EGYENE HAJLÍTÁ VI. 5. Htárouk meg sksonként különöő egenlőtlen hőváltoásnk kitett konol jelölt pontjink elfordulását! Rjoljunk fjlgos és ténleges elfordulási árát! B ΔT 1f +0 C ΔT 1 0 C l 1 3 m C ΔT f 10 C D ΔT 3f +5 C K ΔT +10 C ΔT 3 5 C l 4 m l 3 3,5 m s 6 cm h 4 cm κ T φ T 6. OTTHONI GYAKORLÓ FELADAT A 4 4 m mgs, 3 m-ig víel töltött medence flát d 0,75 m-enként árt, v 0,5 cm flvstgságú súltln oslopok támstják meg. Ellenőriük mértékdó kerestmetseten keletkeő normálfesültségeket, mjd htárouk meg selvén ruglms és képléken nomtéki teherírását, vlmint képléken töletteherírását! A ví fjsúl γ 10 kn/m 3 -nek vehető. Adott: σ e ±140 P σ f ±30 P 3 3 m p 0,5 m 3.f. v 0,5 cm Felülnéet: m h 16 cm 1 cm p 0 3γd ,75,5 kn/m m 0,75p 0 16,875 knm Ellenőrés: I 100,5cm 4, innen σ t m 1687,5 100,5 813,47kN cm < σ e megfelel. r 100,5 3881kNcm; k 1 8 / 11 7,5 / 33433kNcm; c1,191 8 egjegés: vékonflú árt selvének esetén c áltlán köel vn 1-he.

27 17. EGYENE HAJLÍTÁ VII. Inhomogén ngú rúd egenes hjlítás A legelső tistándó kérdés: hol vn semleges tengel? A súlpontn nilván nem, hisen íg épp ngi inhomogenitás htásától (E 1 E ) tekintenénk el. Tegük föl, hog eg egelőre függőleges értelemen ismeretlen heletű h pontr illeskedik; ennek meghtároás első feldt. 1 du() dφ h d dφ du() TATIKAI egenlet (A 1 ) F i : N 0 σ 1 (,) da + σ (,) da i : σ 1 (,) da + σ (,) da (A 1 ) egütt dolgoó kerestmetset (A ) (A 1 ) GEOETRIAI egenlet dφ () κ () d (ε 1 (,) ε (,) ε (,) κ () A vetületi egensúlól: ANYAGmodell σ 1 (,) E 1 ε (,) és σ (,) E ε (,) F i : 0 (A 1 ) TAT σ 1 ()d A+ ( A ) σ ()d A E 1 ε ()d A+ E ε ()d A (A 1 ) ( A ) E 1 κ d A+ E κ d A κ (E E ), tehát E E 0 ( A 1 ) ( A ) E 1 -gel ostv: E E n 0 A semleges tengel ún. 1 homogén helettesítő kerestmetset súlpontján ( h ) meg kerestül. 1 h A eges kerestmetseti rések csk E /E 1 n hjlítás tengelével párhumosn nújthtók/sugoríthtók.

28 17. EGYENE HAJLÍTÁ VIII. Eután nomtéki egensúlól: TAT i : σ () d A E 1 κ d A+E κ da κ (E 1 I 1 +E I ) ( A) ( A 1 ) ( A ) Eől lkváltoás κ E 1 I 1 +E I, mjd σ 1 () σ () E 1, E 1 I 1 +E I E. E 1 I 1 +E I egjegés: helettesítő kerestmetset elve itt is hsnálhtó, h még integrálás elvégése előtt eveetjük n 1 E /E 1 -et: E 1 κ ( (A 1 ) d A+n 1 da ( A ) ) κ E (I +n I ) κ E I h κ E 1 I 1h, illetve σ 1 () I 1 h, σ () n 1 I 1 h. 1 1 h + tfh. E > E 1 1 h + E /E 1 n + σ m 1 m I h1 + σ m n m I h1 I h1 I 1 + E E 1 I + σ m h1 m I h1

29 17. EGYENE HAJLÍTÁ IX. 1. ámítsuk ki múlt órán visgált trtó efogási kerestmetsetéen keletkeő normálfesültségeket, h öv és gerinc ng különöő! E 1 00 GP, E 80 GP ' ', cm 1,8 knm n E 1 E,5 1 4 cm Helettesítő kerestmetset, helettesítés. nggl: h A helettesítő súlpont, semleges tengel hele: ' h n 6 cm 15 cm h A h 38 cm ' h A helettesítő inerci: I h Fesültségek jellegetes pontokn: h

30 17. EGYENE HAJLÍTÁ X.. Htárouk meg inhomogén kerestmetsetű, l m hossúságú konol kétféle ngán keletkeő normálfesültségek sélsőértékeit, vlmint konolvég elfordulását és rúd görületi sugrát! Rjoljunk fesültségdigrmot! ) kihsnálv kétseres simmetriát ( hog semleges tengel simmetri-tengel): k R 15 cm 10 cm R 4 cm 65 knm E 70 GP E k 10 GP Egensúli feltétel:, +,k Geometrii feltétel: κ, κ,k κ innen κ E i I, i és σ j E j ε E j E i I,i k ) helettesítő kerestmetsettel: Helettesítés első nggl: n E k E k

31 17. EGYENE HAJLÍTÁ XI. 3. OTTHONI GYAKORLÓ FELADAT Htárouk meg inhomogén kerestmetsetű, l 3 m hossúságú rúd vs (E 1 00 GP) és lumínium (E 80 GP) lkotóréseien keletkeő fesültségek sélsőértékeit, vlmint K konolvég elfordulását és rúd görületi sugrát! Rjoljunk fesültségdigrmot! ) kihsnálv kétseres simmetriát ( hog semleges tengel simmetri-tengel): 1 4 I, cm knm 0 cm σ, m +1,31 P I, ,3 cm 1 Egensúli feltétel:,1 +,, Geometrii feltétel: κ,1 κ, κ, κ σ i E i E i I i i E i I i σ m kn σ 1, m +74,57 P,1 147, ,3 cm σ m kn ρ , cm, 10, ,3 cm φ, K κ l 0, rd ,3 ) helettesítő kerestmetsettel (egseres simmetri esetén is működik): helettesítés lumíniumml: n E 1,5 I E h n I,1 +I, 46933cm 4 σ m, I, m ; 1 h σ m,1 n I 1, m. h 1 (helettesítő inerci) helettesített (1-es) ng tkp. n-seresére nújtndó kiárólg hjlítás tengele mentén! (simmetrikus eseten illetve körselvénnél is hsnálhtó, de kör ellipsissé torul!) 4. ÖNÁLLÓ ÓRAI GYAKORLÁ ámítsuk ki, hog hánsorosár nő (<) kerestmetseti méretű plló ruglms nomtéki teherírás, h 90 -kl elforgtv építjük e? 90

32 18. ELOZDULÁOK ZÁÍTÁA I. A hjlított gerend elmodulási Tpstlt: G i deformáció ok áltlán? ) igénevételnek kitett rúdelemek véges merevsége ) kinemtiki teher Emléketető: ε κ κ igénevételől: ε N EA κ EI κ T GI 0 γ V GA γ hőteheről: ε α ΔT κ α Δ T Δ T f h A állndó merevségű rúd dott AB sksán reltív elmodulás fenti lkváltoások digrmj ltti területet jelenti. Alpfeltevések vísintes gerend lehjlásink sámításáho: h lkváltoások köött κ görület serepel, mellette minden egé elhngolhtó, kis elmodulások elve érvénes. A hjlításól vg egenlőtlen hőmérséklet-váltoásól sármó elfordulás dott rúdskson görületi (κ ) ár területével tehát nomtéki ( ) ár területével és hjlítómerevség (EI ) reciprokávl rános. A elfordulás visont függőleges eltolódást is oko! Hogn lkul trmulin lehjlás műugró ltt? H görületet nomték oko, kkor HÚZOTT oldl, h egenlőtlen hőmérséklet-váltoás, kkor ELEGÍTETT oldl DOBORÚ

33 18. ELOZDULÁOK ZÁÍTÁA II. lehjlás sámítás súlpontsámítás l ' κ görületi ár kerestmetseti síkidom ' sámítás egmásr hlmoássl: κ d dφ κ ()d l dw κ ()(l )d da d' + + ' d ' 'da κ d l dw κ ()(l )d da d' ' dφ κ ()d d ' 'da A két lépés ugnon trtón egütt: ' κ κ l κ ' ' φ w ' d ' ' d A A ' ( A) w dw... A κ (l κ ) A görületi ár áltl képviselt Δφ BA megosló elfordulás helettesíthető AB sksr eső A BA árterület ngságávl onos mértékű, A BA súlpontjá képelt koncentrált elfordulássl. A eltolódás tehát A BA -nk eltolt pont függőlegesére vett sttiki nomtékávl egenlő.

34 18. ELOZDULÁOK ZÁÍTÁA III. mintfeldt 1. A korán már tárglt műugrós feldt néhán dt ismétlésképpen: l 3 m (hoss), 40 cm (sélesség), 5 cm (vstgság) E 15 GP (ruglmssági modulus), illetve dott nomtéki ár. ) Htárouk meg K konolvég lehjlását! ) Hándrése lehjlás ) esethe képest, h műugró desk köepén áll? B K G 0,9 kn κ,7 knm 4,3 10-1/m I κ EI ,7cm 4 EI 6,5 knm. Kiindulás: konol l vége efogott, tehát solút elfordulás és eltolódás egránt érus; K konolvég lehjlás csk κ ( ) árától függ, melek súlpontj fltól 1 m-re vn: ) w K Δ φ KB (l ) 3 4,3 10 m 0,196 m (lefelé). ) 1,35 knm κ, /m w K 1,5,16 10,5 m 0,04050 m (lefelé).. Fejeük ki l hossúságú, EI hjlítómerevségű konol végpontjánk lehjlását lá váolt eseteken! F p Fl pl EI EI EI κ κ κ w K Fl EI l l 3 Fl 3 3 EI w K pl EI l 3 3 l 4 pl 4 8 EI w K EI l l l EI

35 18. ELOZDULÁOK ZÁÍTÁA IV. 3. A simmetri felhsnálásávl igoljuk l támsköű, EI hjlítómerevségű kéttmsú trtók köépkerestmetsetére vontkoó lái lehjlási képleteket! F p w K Fl 3 48 EI K w K 5 pl EI K 4. Rjoljuk meg trtók lkheles nomtéki, illetve deformációs áráját! F w w q q F w w ΔT (lul hűtött) κ w

36 18. ELOZDULÁOK ZÁÍTÁA V. 5. Htárouk meg egenlőtlen hőmérséklet-váltoás okot lehjlást konolvégen! A geometrii és hőmérsékleti dtok ár serintiek, lineáris hőtágulási egütthtó α. κ l K α Δ T Δ T f h h ΔT f < 0 ΔT > 0 w K ( α ΔT ΔT f h ) l l α(δt ΔT f )l h Követkemén: efogott-efogott (tehát sttikilg htárotln) gerend rekciói: l + A κ T κ T α ΔT ΔT f h κ T kinemtiki teherrel terhelt, mindkét végén efogott rúd nomtéki rekciój: κ T EI κ 6. TARTALÉK: Rjoljuk meg egik végén efogott, másikon görgős támsú trtó egenlőtlen hőmérséklet-váltoás htásár létrejövő lkheles deformációs áráját! ámítsuk is ki efogási rekciót! ΔT f < 0 l K h ΔT > 0 3 κ T EI

37 19. FERDE HAJLÍTÁ I. A fesültségek meghtároás két egenes hjlítás egmásr hlmoásávl. A fesültségi árákt egenes hjlításokho külön-külön is felrjolhtjuk. κ EI κ EI σ I I A semleges tengel (u) iránsöge (β) σ fenti képletéől: tg β I I > tgα tg β > tg α β > α, semleges tengel és. főirán köött! I > I előjelek inká semléletől: σ ± I ± I 1 1 α u β + σ + +

38 Ismétlés: 19. FERDE HAJLÍTÁ II. egoldás: egmásr hlmoás (superpoíció) lpján. (Lásd 13. ór végét!) - A kerestmetset síkján elhelekedő áltlános iránú nomtékvektort kerestmetseti főiránoknk megfelelően felontjuk. - A felontott nomtékvektor lpján feldtot két egenes hjlítás esetére veetjük viss. - A kerestmetseten elül eg tetsőleges pont normálfesültsége két egenes hjlításól sármó fesültségértékek össegeként htárohtó meg. - A fesültségek előjeleit nomtékvektor irán lpján semléletől htárouk meg. σ ± I ± I Egenes vg ferde hjlítás? d r r r r v v v v

39 19. FERDE HAJLÍTÁ III. 1. ámítsuk ki fesültségeket simmetrikus L selvén jelölt csúcspontjin, h dott súlpont helete, vlmint kerestmetset tehetetlenségi főnomtéki! e 4,5 cm; I cm 4 ; I 370 cm 4 q 3 kn/m 15 l 1,5 m e m 3,375 knm C e B 150 mm A 150 mm 1 η C A B 15 e 4,596 cm m e 6,010 cm ζ σ [P] A eghtárondó: σ A, σ B és σ C. 1 C B egjegés: A eredő semleges tengel mindig -es főirán és nomtékvektor irán köötti hegessögű trtomán esik! u

40 19. FERDE HAJLÍTÁ IV.. ámítsuk ki fesültségeket háromsögkerestmetset csúcspontjin! Htárouk meg fesültség mimális és minimális értékét! A F 5 kn l 1, m m η C 15 cm ζ B 15 eghtárondó: σ A, σ B, σ C, illetve σ m és σ min. σ [P] 1 A 1 C B u + N N + Áltlán: h merőleges eg tetsőleges háromsög AB oldlár, semleges tengel mindig C csúcson meg át, mivel ilen u-ól sármó fesültségeloslás húó- és nomófesültségi eredője (N + és N ) AB-től egenlő távolságr vn, nomtéki eredőjük rr merőleges. egjegés: ferde hjlításnál fesültségi árát célserű mindig két árár ontni egenes hjlítási komponenseknek megfelelően. A eredő semleges tengel mindig -es főirán és nomtékvektor irán köötti hegessögű trtomán esik!

41 19. FERDE HAJLÍTÁ V. 3. Ellenőriük trtót hjlításr! Jvslt: Elősör gondoljuk végig, melik kerestmetseten, és on elül hol keletkenek mértékdó normálfesültségek! q s s F q 3 kn/m F 10 kn σ e ±140 P s 3 m 8 cm 15 cm,m,m

42 0. KÜLPONTO HÚZÁ-NYOÁ I. A külpontos húás-nomás foglm: F rúdelem htároló kerestmetseteire ok síkjár merőleges, de súlponton át nem menő htásvonlú erő ht N N F + F N F (N,, ) külpontos húás / nomás hjlítás + köpontos húás / nomás rúdelem deformációj: minden pont eltolódás tengeliránú, lásd egenletes núlás (köpontos húás-nomás), ill. Bernoulli Nvier-hipotéis (hjlítás, klssikus elmélet) Fesültségeloslások egmásr hlmoás eddig tnultk lpján (tfh. hjlítás körül egenes) h ng húásnk és nomásnk is ellenáll: F N + + σ σ N + σ (hsonlón ferde hjlításr is) Fesültségek sámítás: N/A és hjlításnál tárglt egmásr hlmoás segítségével.

43 0. KÜLPONTO HÚZÁ-NYOÁ II. Vegük semügre képen láthtó jo oldli lul efogott vseton oslopot! A legfelső gerend oslop felső kerestmetsetének súlponjáho képest külpontos poíción terhel rá oslopr. Ugníg oslop köenső sksin sintek födémjeit trtó gerendák is külpontosn (rövid konol) dnk át normálerőt oslopnk. A említett esetek külpontos nomás tipikus esetei. An eseten, h kerestmetset húásnk és nomásnk is egránt ellenáll, kkor feldt vissveethető köpontos húás-nomás és hjlítás egmásr hlmoásár. Elősör külpontos normálerőt kerestmetset súlpontjár redukáljuk. A kerestmetset eg tetsőleges pontjánk normálfesültsége köpontos húás-nomásnál és hjlításnál tnult fesültségsámítási formulák felhsnálásávl htárohtó meg superpoíció segítségével: σ ± N A ± I ± I semleges tengel és. főirán köött, de semleges tengel (u) nem meg át súlponton!

44 0. KÜLPONTO HÚZÁ-NYOÁ III. 1. Htárouk meg kerestmetseten normálfesültségeket! (ismétlés, lásd előő órát) 4 cm α α 55,305 3,163 knm A kerestmetsetet egenes hjlításr már visgáltuk:,cm I 57,867 cm 4 I 38,667 cm 4 A F B C E árréslet már korán serepelt! E D imális normálfesültség keresése: - vg megvisgálunk minden konve srkot, mel semleges tengeltől legtávol eshet, - vg megállpítjuk semleges tengel meredekségét, mjd megkeressük két legtávol fekvő pontot (görevonlú kerestmetsetnél csk e út járhtó). σ [P]

45 0. KÜLPONTO HÚZÁ-NYOÁ IV. Húásnk és nomásnk egránt ellenálló kerestmetset. Htárouk meg fesültségek sélsőértékeit! 4 cm 0,4 F' 0,4 cm F' 100 kn ( ) A 0 cm,cm I 57,867 cm 4 I 38,667 cm 4 F ' ( N,, ) (köpontos erő + nomtékok): σ ± N A ± I ± I A fesültségi sélsőértékek hele váltotln (A és C), semleges tengel irán sintén! u A B σ σ N G N C egjegések: - normálerőől sármó fesültségi ár tetsőleges iránn vetíthető, - semleges tengel tist hjlításho képest önmgávl párhumosn tolódik el. σ E D σ [P]

46 3. p 1,8 kn/m 0. KÜLPONTO HÚZÁ-NYOÁ, PÉLDÁK V. V Htárouk meg oslopn keletkeő fesültségek sélsőértékeit, h megtámstásnál húás és nomás dódht át! γ 4 kn/m 3 h 4 m Tekintsük fl hossúságú rését! A igénevételek függvénéen: felülnéet: N 60 cm húásnk és nomásnk is ellenálló megtámstás esetén: 4. Htárouk meg F (húottnk feltételeett!) erő on heleteit, melek esetén semleges tengel rendre u 1 és u egenesekkel esik ege! e 1 cm u 1 e F F 1 A 144 cm I 6848 cm 4 I 116 cm 4 4 u F F 1

47 1. A BELŐ AG FOGALA I. Külpontos normálerőől sármó fesültségek lineárisn ruglms ng esetén Külpontos nomóerőől sármó normálfesültségek, h nomóerő egik tehetetlenségi főtengel mentén működik (nomás + egenes hjlítás): N'( ) N'( ) N'( ) + N'( ) N' súlpontn: Tist nomás Konstns σ N' távolodik súlponttól: Egre egenlőtlene fesültség eloslás, egre meredeke σ ár. (A súlpontn normálfesültség nem váltoik.) csk nomófesültség éred húófesültség is éred Htárállpot: kerestmetset sélén érus normálfesültség. Külpontos nomás, h nomóerő nem tehetetlenségi főtengel mentén működik (nomás + ferde hjlítás): A külpontos nomóerő csk nomás és húás-nomás köötti htárheletei ( mimális normálfesültség érus): - h een trtománon elül ht külpontos nomás kerestmetsetre, kkor teljes kerestmetseten mindenhol 1 csk nomófesültségek érednek, - h N' támdáspontj een trtománon kívül esik, kkor húófesültségek is kilkulnk kerestmetset eg réséen. E trtomán kerestmetset első mgj. A első mg A első mg on külpontos nomóerők támdáspontjink mértni hele, melekől lineárisn ruglms ngi viselkedés esetén sehol nem keletkeik kerestmetseten húó normálfesültség. A első mg igolhtón konve, tömör trtomán.

48 1. A BELŐ AG FOGALA II. 1. A árán láthtó kőoslop legfölső kerestmetsete jó köelítéssel körlpnk tekinthető, melnek átmérője 80 cm. A kerestmetsetet felülről eg függőlegesen lefelé htó erő terheli. Legfelje mekkor lehet nomóerő külpontosság, hog kerestmetsetnek még minden pontj nomott legen? N' R N' e R σ 0 R 80cm Jersh, Jordáni Forrás: L. Pploiou, P. Komodromos, Procs. 15WCEE, Liso, 01 A körsimmetri mitt első mg kör les, melnek sugr keresett külpontosság. N'-nek t heletét keressük, mikor jo sélen nomófesültség érus: N ' ' e + N A R 4 π /4 R0, innen e R 10 cm 4. Hol helehetjük el kerestmetset síkján F ngságú nomóerőt, h t krjuk, hog sehol ne éredjen húófesültség kerestmetseten? 4 cm Keressük: ( F, F ) koordinátájú pontokt, melre σ 0 minden pontn. A kerestmetset konve urk: legkise oln konve síkidom, mel visgált kerestmetset minden pontját trtlm. H konve urok srokpontjin nincs húás, kkor (és csk kkor) eredeti kerestmetset pontjin sincs. últ óri péld: A I-trtó helett t efoglló tégllpot visgáltuk.

49 A G A A pont visgált: A A pontn ne keletkeen húás: σ A F A + F F I Innen: F F E F F F F F F D B C 1. A BELŐ AG FOGALA III., F F I A 0 cm, cm I 57,867 cm 4 I 38,667 cm F + 1,315+,0408 F Igénevételek ( F, F ) heletű külpontos nomóerőől: F (N,, ) N σ A 0-r: F + 1,315+,0408 F A lil egenes egenlete. A lil egenes fölött működő nomóerők nomást okonk A pontn. A G σ A 0 E D B C 0, ,31516 A B pont visgált: A B A B pontn ne keletkeen húás: G C E D A D és E pont visgált: A B G C E D A B A C és G pont visgált: G C E D

50 1. A BELŐ AG FOGALA IV. A teljes kerestmetset egik pontján sem keletkeik húás, h mind ht feltétel teljesül,, h külpontos nomóerő ht egenes áltl köeárt trtomán esik. E kerestmetset első mgj. egjegések: - A súlpont mind ht trtománnk (és íg első mgnk is) első pontj. (H épp súlpontn ht nomóerő kerestmetsetre, kkor minden pontn ugnkkor nomófesültség keletkeik. A súlpont körül tehát mindig léteik eg oln véges méretű trtomán, melen külpontos nomóerő elhelehető úg, hog mindenhol nomást okoon.) - A feldtn láttuk, hog F erő ngság kiesett feltételi egenlőtlenségekől. E áltlánosn is ig: első mg kiárólg kerestmetset geometriájától függ, és nem efolásolj, hog mekkor külpontos erő ht kerestmetsetre. - Léteik oln kerestmetset, melnek első mgj oln pontokt is trtlm, melek nem pontji mgánk kerestmetsetnek (például körgűrű, vg más üreges vg konkáv síkidomok). H oln helre seretnének külpontos nomóerőt tenni kerestmetsetre, mel nem pontj kerestmetsetnek, kkor e pl. vlmilen teherátdó lppl oldhtó meg. Hsonló módon ármilen más síkidom első mgj is elkésíthető. A követkeő hármt jegeük meg! D/4 /3 /3 /4 D Külpontos normálerőől sármó fesültségek csk nomásnk ellenálló ng esetén Csk nomásnk ellenálló ngok: Oln ngok, meleknek húósilárdság érus vg elhngolhtón kicsi. Például: régi kőserkeetek Rómi kori víveeték Forrás: rogerdhnsen.wordpress.com Gótikus oltot pillére Forrás:

51 1. A BELŐ AG FOGALA V. sár homok, vg kvics Viselkedésük: 1 E σ Alpfeltevések: Homokdűne Forrás: wllpperest.com ε Egtengelű fesültségállpotn: - negtív fjlgos núlások nomófesültséggel járnk, - poitív fjlgos núlásokól nem keletkeik húófesültség ( ng ellenállás nélkül nújthtó). - E nemlineáris ngi viselkedés, korán leveetett össefüggések nem minden eseten érvénesek. - simmetrikus kerestmetset - külpontos nomóerő támdáspontj legen rjt simmetritengelen (köpontos nomás + egenes hjlítás) - sík kerestmetsetek elve - homogén, lineárisn ruglms ng (Hooke-törvén) - Bármel pontn nomófesültség egenesen rános fjlgos össenomódássl, de fjlgos megnúlásól nem keletkeik húófesültség. A nomófesültségek eloslás: Zúottkő ágt Forrás: 13rf.com N'( ) N'( ) N'( ) A nomóerő első mgon elül ht: A nomóerő első mg peremén ht: A semleges tengel épp érinti kerestmetsetet. - lineáris ngi viselkedés - korán leveetett össefüggések érvénesek - normálfesültségek meghtároás egmásr hlmoássl A nomóerő első mgon kívül ht: A kerestmetsetnek csk eg résén keletkeik normálfesültség, e trtomán dolgoó rés.

52 1. A BELŐ AG FOGALA VI. Keressük semleges tengel heletét ( dolgoó rést) és minimális normálfesültséget: σ min? Ismertnek tekintjük: - kerestmetset geometriáját A d - külpontos nomóerő ngságát: N' - külpontos nomóerő heletét: c c N? ' N' ' A külpontos nomóerő és semleges tengel távolság: N ( külpontos nomóerőtől mindig súlpont iráná) ' TATIKAI egenletek F i : N' σ (', ') da (A d ) i' : ' σ (', ') ' da (A d ) i' : fesültségrendser simmetrikus '-re A vetületi egensúlól: GEOETRIAI egenlet ε (', ') κ ' (fjlgos núlás km. eg (', ') pontján) ANYAGegenletek A dolgoó résen elül: h ( ', ' ) A d : σ ( ', ')E ε ( ', ' ). A dolgoó résen kívül: h ( ', ' ) A d : σ ( ', ')0. F i : TAT N ' ( ', ' ) (A d ) σ ( ', ' )d A Eε ( ', ' )d A Eκ ' d A ( A d ) ( A d ) A nomtéki egensúlól: ANYAG GEO TAT i' : ' N ' N (A d ) N N ' N N ' Eκ ( ') d A ( A d ) Eκ ( A d ) σ ( ', ' ) ' d A Eκ ( ') d A ( A d ) ' d A (A d ) ( ' ) d A ' d A (A d ) I ' ' Innen N kifejehető. N I ' ' Vegük ésre, hog I ' és ' is függ N -től! Áltlános eseten vlmilen fokotosn köelítő numerikus technikávl htárohtjuk meg N értékét. ost két egserű példár megoldást megdjuk. Eeket jegeük meg!

53 1. A BELŐ AG FOGALA VII. Tégllp és egenlősárú háromsög lkú dolgoó rés esete: A nomtéki egensúl ( i ): A normálfesültségek eredője ege esik külpontos normálerő htásvonlávl. F htásvonl átmeg fesültségtest emleges tengel súlpontján. A vetületi egensúl ( F i ): A külpontos normálerő ngság megegeik normálfesültségek eredőjének ngságávl. F ngság egenlő fesültségtest térfogtávl. s σ min c A fesültségtest: Ék lkú (háromsög lpú hsá). úlpontj: oldl hrmdán. emleges tengel: F-től még c távolságr. F Térfogt: F 1 3c s σ min. c A fesültségtest: Háromsög lpú gúl. σ min úlpontj: lp háromsög mgsságánk feléen. emleges tengel: F-től még c távolságr. Térfogt: F 1 3 c s σ min. 3. A árán láthtó eton gáttestre sját súl és l oldlt lévő vítömeg nomás ht. A tljjl vló érintkeési felület húásr nem dolgoik. A eton és ví sűrűsége: 1,6 m ρ eton 00 kg m 3 3 m ρ ví 1000 kg m 3,4 m ) Htárouk meg gáttestre htó vínomás eredőjét, és 5 m helettesítsük gáttest súlát, m koncentrált erőkkel! ) Htárouk meg gát lj és tlj köötti érintkeési felület igénevételeit! c) Döntsük el, hog dolgoik-e egés érintkeési felület! d) Késítsük el érintkeési felületre htó normálfesültségek digrmját, jellemő értékek feltüntetésével! ) A vínomás eredője: c σ min s c F Q Q p m p ρ g h,5 m,5 m 0,8 m

54 1. A BELŐ AG FOGALA VIII. A gáttest súl: 1,6 m 0,80,8 G 1 G 3 m G 1 G, m 5 m G 1 G 0, 0,4m ) A érintkeési felület igénevételei: 0,80,8 (Q, G 1, G ) (N, V, ) G 1 G Q () N( ) 0,8m V N V 0, 0,4m 1,1 1,1m Q G 1 G 0,3 0,7m () N( ) V c) Dolgoik-e egés érintkeési felület? 1. megoldási mód: Visgáljuk meg legpoitív normálfesültség előjelét! Bl oldlon normálfesültség: σ m N A + 1,1 m 615,09 I, 5 + 5,60 1,1 55,9+6,35 < 0,, 3 5/1 tehát dolgoik egés érintkeési felület.. megoldási mód: Tegük össe N és igénevételeket egetlen N külpontos erővé: (N, ) (N') jd visgáljuk külpontos nomóerő első mgho visonított heletét!

55 1. A BELŐ AG FOGALA IX. N( ) (N, ) (N') () e N' e 560 kncm N 615,1 kn 4,16cm A N' támdáspontjánk hele első mgho képest: N( ) () e N' e N' 110cm /336,67cm A külpontos nomóerő támdáspontj első mgon elül vn, tehát dolgoik egés érintkeési felület. d) A normálfesültségek meghtároás: A legpoitív normálfesültség l oldlon: σ m A legnegtív normálfesültség jo oldlon: σ min A fesültségeloslás: σ [ kn m ]

56 Külpontos nomás: 1. p 1,8 kn/m. CAK NYOÁNAK ELLENÁLLÓ ANYAGOK I. Htárouk meg fln éredő normálfesültségek sélsőértékeit, h tlj flnk csk nomást dht át! γ 4 kn/m 3 h 4 m 60 cm N Visgáljuk fl hossúságú rését! (gkorltn: pl. egségni hoss, 1m; itt most: prméter) A igénevételek: N és mimum 0-nál: p h h ph N γ h ( ) Felülnéet: N Korán láttuk: h tlj húásnk és nomásnk is ellenáll: A, I 3 1 A legnegtív normálfesültség ( josélső pontokn): σ min A legpoitív normálfesültség ( lsélső pontokn): σ m σ [P] N ost: H tlj csk nomásnk áll ellen: σ

57 . CAK NYOÁNAK ELLENÁLLÓ ANYAGOK II.. A pillér és tlj köött csk nomás dódht át. Htárouk meg tljr átdódó normálfesültségek eloslását! Felülnéet: F 0,8 m Elölnéet: F 5 kn γ kn/m 3 h 5 m 1, m e? c? 0,8 m σ 1, m

58 . CAK NYOÁNAK ELLENÁLLÓ ANYAGOK III. 3. Htárouk meg csőselvén első mgját! R r R 16 cm r 13 cm u d F