Lineáris programozás 2 Algebrai megoldás

Átírás

1 Lineáris progrmoás Algeri megoldás Késítette: Dr. Árhám István

2 A lineáris progrmoási feldtok mátriritmetiki lkji A LP feldtok lgeri megoldás függ feldt típsától. Tekintsük át eeket! Normál feldt A ( ) =c* m. A lgeri megoldást normál feldttl kedjük. Fokotosn jtnk el áltlános lineáris progrmoási prolémák megoldásáig. Módosított normál feldt A módosított normál feldt csk nnyin tér el normál feldttól, hogy feltételek köött egyenlőségek is vnnk. A ( ) A = ( ) =c* m. Péld: = 5 + = = + 5 m

3 Áltlános lineáris progrmoási feldt A áltlános LP feldtn feltételi relációk köött = is és is lehet. A cél vgy mimm, vgy minimm, köösen: optimm. A mtemtiki modell: A ( ) A = ( ) A ( ) =c* opt. A lgeri megoldásho jooldlon álló i vektoroknk nemnegtívknk kell lenniük. A célfüggvénynek pedig mimmát kell keresnünk. Péld: Egy lineáris progrmoási feldt mtemtiki modellje: = 5 = = +5 min A. és. feltételt, vlmint célfüggvényt soroni kell (-)-gyel, így modell lgeri megoldásho: = 5 + = = + 5 m

4 A simple módser A LP feldtok megoldásár lgeri eskööket, simple módsert lklmhtjk. A metóds egyenletrendserek megoldásár épül. A geometrii megoldásho hsonlón elősör lehetséges megoldásokt sámoljk ki, mjd optimm meghtároás követkeik. A lehetséges megoldások hlm, áismegoldás A simple módserrel elősör normál feldtot oldjk meg: A ( ) =c* m. A korlátoó feltételek egyenlőtlenségeit egyenletekké lkítjk úgy, hogy loldlkho nemnegtív sámokt ( i eltérésváltoókt) dnk: A + = ( ) A A + = egyenletrendsert (vektoregyenletet) knoniks formlánk hívjk. Péld: Adjnk lehetséges megoldásokt normál feldtn sereplő váltoókr: A korlátoó feltételekhe trtoó knoniks forml: =6 +5 m. + + = = + = 5 A egyenletrendser speciális: egyes egyenleteken i eltérésváltoóknk mindig együtthtój i-edik egyenleten, töien pedig.

5 A egyenletrendser együtthtó mátrián i oslopvektorok egységvektorok. A áistrnsformációvl történő megoldást rögtön eek evonásávl kedhetjük. A áistrnsformáció indló tálát: H áistrnsformációt evonásávl 8 kedjük, kkor tálát első soránk első eleme les és töi koordinát váltotln mrd. 5 Hsonlón nem váltonk koordináták és evonásávl, tehát tálátnk: 8 5 Et tálátot tekinthetjük knoniks formláho trtoó speciális egyenletrendser indló tálátánk. A egyenletrendserünk egy lehetséges áismegoldás tálától leolvshtó: =8, =, =5 és = =. (áismegoldás: e nem vont váltoók értékei nllák.) Új lehetséges megoldásokt kkor kpnk, h i -ket evonjk áis: Példál h -t evonjk: A új áismegoldások: =8, =, =

6 A példánkho gdsági háttér trtoht: két terméket gyártnk erőforrás felhsnálásávl, dottk: eépülés, kpcitások A indló táláról leolvshtó áismegoldás megfelel nnk, hogy termelést még nem kedtük el, = = és eltérésváltoók kpcitások dott értékeivel egyenlők. Követkeik áisvektor 8 csere, példál 8 8 evonásávl: A gdsági jelentés mitt nem hjthtnk végre olyn cserét, mely tán, kpcitásvektor oslopán negtív érték lenne, generáló elem mindig poitív. H új (lehetséges) áismegoldást krnk kpni követkeő tálától és és -et seretnénk evonni, kkor. koordinátát nyilván nem válsthtjk generáló elemnek (mert ). A gdsági jelentés mitt sükséges, hogy új tálátn ne legyen oslopán negtív sám, így generáló elemet sűkkerestmetsetnél kell válstni. A sűkkerestmetset: hol i ij hánydos legkise. Esetünken: 8 < Tehát első koordinátáját kell generáló elemnek válstnnk. Így:

7 A tálátink: Leolvshtók új áismegoldások: =8/, =5 és =, =6, =. A áismegoldásokt vektorként felírv: =[ 8/ 5 ]* és =[ 6 ]*. H új áismegoldást krnk, példál kicserélésével, kkor mivel sűkkerestmetset -nál vn, ennek kell lennie generáló elemnek. A lineáris progrmoási feldtn célfüggvény is vn. A lgeri megoldásn mindig ennek mimmát keressük. Így áistrnsformáció során lklmhtó és lklmndó cseréket továi feltételek htároák meg. A lineáris progrmoási feldtok geometrii megoldásán lklmott eljárásho hsonlón lgeri megoldásn lehetséges megoldások köül ki kell válstni optimálist. Et úgy érjük el, hogy knoniks egyenletrendser tálátáho még egy sort cstolnk, célfüggvény sorát. 7

8 A normál feldt megoldás simple módserrel A simple módser lényege: olyn áismegoldásokt keresünk, melyeknél célfüggvény értéke ngyo, mint mennyi előő áismegoldásnál volt. A normál LP feldt: A (, ) =c* m. m c m c m c c n n n mn c n n n n mn c m A knoniks lk: A + =. ( ) +c*=. m m m n m Felvessük knoniks lkho trtoó megoldó tálátot: A rövide lk egységvektorok evonás tán: Et tálátot neveük normál feldt simple indló tálátánk. Új áismegoldásokt kkor kpnk, h generáló elem poitív és etrtjk sűkkerestmetset válstás sályát. 8

9 A célfüggvényen mimm cél, eért olyn áismegoldást kell válstnnk, melyen értéke ngyo les, mint előő áismegoldásn. Et úgy érhetjük el, hogy generáló elemet poitív c i érték felett válstjk. Példál: H generáló elem i és j cseréjét generálj, új tálátnk: j m i n m q q q qc j j mj A indló tál áismegoldásán értéke volt. A táláról leolvsv: = qc j, =qc j. A qc j kkor les ngyo -nál, h c j poitív, gynis q mindenképpen poitív. A eljárásnk véges sok lépésig folytthtó, tehát h elértük, hogy során nincs olyn c i érték, mely poitív lenne, kkor célfüggvény értéke tová nem növelhető, elértük mimmot. Péld: Oldjk meg simple módserrel:, = + m. A feldt grfiks megoldását korán láttk: =6 Q = L Q (;) Q (;) Q (;) = (m) 5 (;6) Q (;,5) o =[ ]* o =[ ]* o = 9

10 A knoniks lk: + + = 8 + = = + + = A simple indló tálát: 6 8 Válssnk generáló elemet első oslopól (sűkkerestmetset!!!): A áismegoldás eredeti LP feldtnk egy lehetséges, de még nem optimális megoldás: =[ ]*, =[ 6 6 ]*, =6. Ésrevehetjük t is, hogy geometrii megoldásn eel áismegoldássl Q (;) etremális pontr léptünk. A célfüggvény értéke növeksik, h poitív célérték felett,. oslopn válstnk generáló elemet: A tálátnk optimális: során nincs poitív elem: o =[ ]*, o =[ ]* és o =.

11 Össefogllás.) A normál feldt lgeri megoldását mtemtiki modellől, hho trtoó knoniks lkól felírt táláttl, indló tálávl kedjük. A knoniks lk: A + =. (, ) +c* =..) A egymást követő áismegoldások kisámolás. Ehhe:.) Generáló elem válstás: A indló tál: Generáló elemet nemnegtív célfüggvényérték felett válstnk. Generáló elem csk poitív sám lehet. Generáló elemet sűkkerestmetsetnél válsthtnk..) Végrehjtjk teljes áistrnsformációt..) A eljárás efejeése.) H során nincs poitív sám, kkor elértük mimmot. A c * *.) H során vn poitív sám, de nem tdnk kívánt tljdonságú generáló elemet válstni, kkor nincs mimm feldtnk. A fejeet tárgylását efejetük.