Skolem forma. Skolem tétel Tetszőleges A formulához megszerkeszthető egy x x K 1 2

Átírás

1 eolúció

2 Skolem orm Deiníció A K 2 n A lkú ormulát univerális Skolem-ormánk neveük A kvntormentes ormul Skolem-orm mgj vg mátri. H Skolemorm mgj konjunktív normálorm kkor ormulát univerális Skolemnormálormánk neveük. Skolem tétel Tetsőleges A ormuláho megserkesthető eg K 2 n B univerális Skolem-orm úg hog A kkor és cskis kkor ellentmondásos h B univerális Skolem-orm is ellentmondásos 2 K n A Megjegés A két ormul nem ekvivlens B eg bővebb nelvben vn mint A trtlmht új konstns illetve üggvénsimbólumokt. 2 K n B

3 Serkestés péld P Q. lépés: literál ormár kell lkítni P Q P Q 2. lépés: kvntorok htáskörének minimiálás P Q 3. lépés: Skolemiálás egistenciális kvntoros előtgokt elhgjuk kötött váltoót helettesítjük h nincs univerális kvntor htáskörében kkor eg új konstnssimbólumml h univerális kvntor htáskörében vn kkor eg új üggvénsimbólumml melnek rgumentumi univerális kvntorok áltl kötött váltoók

4 Pl. h eredeti nelvben nincs konstnssimbólum és g üggvénsimbólum: t g tp u t up t t g t Q Péld olttás: P Q Q P 4. lépés: váltoótist lkr houk Q P 5. lépés: kiemeljük univerális kvntorokt egoldli kiemelés Q P P

5 Péld: tgdás literál lk kvntorok htáskörének csökkentése Skolemiálás váltoótist kiemelés univerális Skolem-normálorm

6 Legen K m θ r θ Fv t K tm t K t m Herbrndt tétel Eg K B K univerális Skolem-orm kkor és csk kkor 2 n 2 n ellentmondásos h léteik véges sámú θ θ2 K θ helettesítés melre domθ i { 2 K n } r θ i Fv 2 KnB és Bθ K Bθ k hmis. k

7 Péld: legen 2 2 θ θ θ θ ~ ~ ~ ~

8 Illestő helettesítés uniikáció Helettesítés K n θ vg θ { / t K n / tn} t K tn dom θ { K n} r θ Fv t K tn Üres helettesítés: ε {} dom ε Ø Triviális kpcsolt: /

9 Helettesítések kompoíciój össetétele Legenek és helettesítések t K K θ n n t m m s s K K η k k i i i i s s K K 2 2 i n i n s t t K K η η θη hol { } dom \ dom 2 θ η k K Tuljdonságok: η θ θη K K K kiejeés ηξ θ ξ θη ssocitív θ εθ θε ε semleges elem

10 Péld θ és c η c c θη c ηθ A kompoíció művelet nem kommuttív!

11 Illestő helettesítés Legen { A A2 K A k } onos predikátumsimbólumot trtlmó tomi ormulák véges nem üres réshlm. A tomhlm illestő helettesítése oln θ helettesítés melre A θ A2θ K Akθ tomi ormulák rendre onosk. A { A A2 K A k } hlm tomi ormuláit egmásho illesthetőknek neveük uniikálhtó h vn hlmho illestő helettesítés. Legenek θ és η eg tomhlm illestő helettesítései. A η áltlánosbb θ illestő helettesítésnél h vn oln λ helettesítés melre θ ηλ. η tomhlm legáltlánosbb illestő helettesítése legáltlánosbb uniikátor h áltlánosbb tomhlm tetsőleges illestő helettesítésénél.

12 Péld S { P h g P h h } legáltlánosbb illestő helettesítése: θ { / h g / g / } mert P h g θ P hg h g P h h θ P h g h g

13 Herbrndt lgoritmus 935 Bemenet: E F L tomi ormulák ormális egenlőségei E m F m Döntött rendser: t L k t k hol K k különböő váltoók és k nem serepel egetlen t termben sem. k k K i H eredeti ormális egenlőségrendserből döntött rendsert lehet képeni kkor θ { / t K / t } rendser legáltlánosbb illestő helettesítése.

14 A bemeneti rendserből döntött rendsert igeksünk képeni. H rendserben vn:. töröljük váltoó b. c c töröljük c konstnssimbólum c. t t váltoó t term nem váltoó d. c d nincs illestő helettesítés cd különböő konst. e. t K t k g s Ks l nincs illestő helettesítés cd különböő üggvénsimbólumok. t nincs illestő helettesítés occur check t nem váltoó t K tk s K sk t s g. vg L P t K tk P s K s k t k s k h. t Fvt többi egenlőségben / t helettesítés Véges sámú lépésben vg döntött rendsert kpunk vg t hog nincs legáltlánosbb helettesítés

15 Péld } h h h g h h } / { g h g g } / g { P g h P S h P g h P h g h } / { g h Döntött rendsert kptunk. Legáltlánosbb illestő helettesítés: / / { g h θ

16 obinson lgoritmus Legen S { E K En} onos predikátumsimbólumot trtlmó tomi ormulák hlm. S ormulhlm különbségi hlm össeérhetetlenségi hlm: bllról jobbr hldv meghtárouk első oln poíciót melen nem egeik meg össes E i ormul és vessük össes een poíción kedődő különböő réstermek hlmát. Péld: P g P g g P g b ormulák különbségi hlm D { }

17 Illestő lgoritmus. k : 0 Sk S θ ε. k 2. H Sk egetlen elemű hlm kkor θ k legáltlánosbb illestő helettesítés sikeresen vége; különben legen D k S k különbségi hlm. 3. H vn D k -bn oln k váltoó és t k term hog k nem ordul elő t k -bn kkor 4. lépéssel olttjuk; különben sikertelenül vége S nem illesthető. 4. θ k + : θ k k / tk Sk + : { A k / tk A Sk} k : k + 2. lépéssel olttjuk.

18 . Péld S { P h g P h h }. S : { P h g P h } θ : ε 0 h 0 2. D 0 : { } 3. θ : { / } S : { P h g { / } P h h { / }} { P h g P h h } 4. D : { h} 5. θ 2 : { / }{ / h } { / / h } S : S { / h } { P h h g P h h } 2 6. D 2 : { g } 7. θ : { / / h }{ / g } { / / h g / g } S 3 3 : S2{ / g } { P h g h g P h g h g } { P h g h g } Legáltlánosbb illestő helettesítés: θ { / h g / g / }

19 2. Péld S { Q g Q }. S 0 : { Q g Q } θ 0 : ε 2. D : { } 0 : { / } S : S0{ / } { Q g : { g } D 3. θ Q } 4. D -ben nincs váltoó tehát S nem illesthető 3. Péld S { P P }. S : { P P } θ : ε 0 2. D : { } 0 : { / } S : S0{ / } { P : { } 3. θ P } 4. D S nem illesthető mert prmétere 0 -nk occur check.

20 eolúció Eg elsőrendű mt-log nelvben eg tomi ormulát vg nnk tgdását köös néven elsőrendű literálnk neveünk. Poitív literál eg tomi ormul; negtív literál eg tgdott tomi ormul. Eg elsőrendű literál lpj literálbn sereplő tomi ormul. H két literálbn tomi ormul ugn onos lpú literáloknk neveük őket. Komplemens literálpár két onos lpú literál h egikben lp tgdv másikbn tgdás nélkül serepel. Elsőrendű klónk neveünk eg oln árt univerális Skolem-ormát melnek mgj elsőrendű literálok disjunkciój.

21 Deiníció Legen W eg C elsőrendű klóbn előorduló leglább két onos lpú egormán negált literál lpjink hlm. H W tomji illesthetők egmásho és θ W legáltlánosbb illestő helettesítése kkor C M θ mgú klót C kló ktoránk neveük. Péld Legen C P P Q A két P-vel kedődő tom legáltlánosbb illestő helettesítése θ / A P Q kló C kló ktor.

22 Deiníció Legenek és váltoóikbn tist klóok. Legenek és C mgji C C2 C 2 rendre M C M M M C L és C 2 C 2 L2 lkúk hol L és L2 legenek ellentétesen tgdott literálok. H L és L 2 literálok lpji illesthetők egmásho legen θ legáltlánosbb illestő helettesítésük. Ekkor C és M M C klóok bináris reolvense C C 2 θ mgú kló. 2 θ Deiníció A C és C2 klóok elsőrendű reolvense követkeő bináris reolvensek vlmelike:. C és C klóok bináris reolvense 2. kló eg ktoránk és klónk bináris reolvense 3. klónk és kló eg ktoránk bináris reolvense 4. kló eg ktoránk és kló eg ktoránk bináris reolvense. 2 C C2 C C2 C C2 Tétel Legen C elsőrendű kló C és C2 klóok elsőrendű reolvense. Ekkor {C C } C logiki követkemén. 2

23 Péld Legen C P Q és C P C M P Q C M 2 P θ / 2 C M Q C Q és C klóok bináris reolvense. C 2 Péld Legen C P P g és C P g Q C P g C kló eg ktor θ { / g} C g g Qb C és C 2 bináris reolvense C C és C 2 klóok elsőrendű reolvense 2 b

24 Deiníció Eg S elsőrendű klóhlmból vló elsőrendű reolúciós leveetés elsőrendű klóok eg oln véges k k K k m sorot hol minden j 2 K m -re. vg k j S 2 m 2. vg vn oln s t < j hog k j k s és k t klóok elsőrendű reolvense. Tétel helesség H eg S elsőrendű klóhlmból vn üres klónk elsőrendű reolúciós leveetése kkor S kielégíthetetlen. Tétel teljesség H eg S elsőrendű klóhlm kielégíthetetlen kkor S-ből vn üres klónk elsőrendű reolúciós leveetése.

25 eolúciós bionítás lépései: Igolni krjuk hog eg A ormul logiki törvén. Tgdjuk ormulát. Igolni kell hog A ellentmondásos. 2. Megserkestjük A K univerális Skolem-normálormáját. A kkor és cskis kkor ellentmondásos h K ellentmondásos Skolem tétel. 3. Eg K univerális Skolem-normálorm elírhtó elsőrendű klóok konjunkciójként vissele lklmuk konjunkciór vontkoó kétoldli kvntorkiemelési sbált. Legen S een klóok hlm. K kkor és cskis kkor ellentmondásos h S elsőrendű klóhlm kielégíthetetlen. 4. Megserkestjük S-ből üres klónk eg elsőrendű reolúciós leveetését. A H véges sámú reolúciós lépés után megkpjuk üres klót kkor ellentmondásos tehát A ormul logiki törvén.

26 eolúciós strtégiák Deiníció Eg S elsőrendű klóhlmból vló lineáris reolúciós leveetés eg oln k l k2 l2 K km lm km reolúciós leveetés melben minden j 23 K m - re k j k j- l j- klópár reolvense. A k j klóokt centrális klóoknk l j klóokt mellékklóoknk neveük. Tétel A lineáris reolúciós klkulus teljes.

27 Deiníció Eg S klóhlmból vló lineáris inputreolúciós leveetés eg oln k l k2 l2 K km lm km lineáris reolúciós leveetés melben minden j 2 K m -re l j S lineáris inputreolúciós leveetésben mellékklóok S-nek elemei. Deiníció Eg S klóhlmból vló egségreolúciós leveetés eg oln k k2 K k m reolúciós leveetés melben minden j 2 K m -re h k S kkor k j két oln őt leveetésben megelőő k s k t s t < j klónk reolvense melek köül egik egségkló. Megjegés A lineáris inputreolúció és egségreolúció nem teljes strtégi h S nem trtlm egségklót leveetés nem mindig kpjuk meg üres klót illetve el se lehet kedeni. j

28 Péld tgdás 5. oldl univerális Skolem-normálorm { } klóok hlm Mivel ormul árt kvntoros előtgokt nem soktuk kiírni klóokt literálok hlmként írjuk el:. { } 2. { } θ { / / } 3. { } 2 reolvense θ { / / } 4. {} 3 reolvense

29 Péld:. Mindenki ki tud olvsni írástudó. 2. A delinek nem írástudók. 3. Vnnk intelligens delinek. 4. Vnnk oln intelligensek kik nem tudnk olvsni Legen objektumtrtomán élőlének tud olvsni L írástudó D delin I intelligens. L 2. D L 3. D I 4. I

30 I I D L D L tgdás literál lk I I D L D L I I D L D L I I D L D L I I D L D L Skolemiálás I c I c D L D L

31 { L } { D L } { D c} { I c} { I } {/c} {/c} {/c} { L c} { c } { c} {}

32 Péld predikátumsimbólumok után áttekinthetőség kedvéért árójeleket elhgjuk P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P bb Pcc g Ph

33 {} t t t Pt uv bb Pcc ug u Pvh v { t t Pt} { bb Pcc ug u Pvh v} {//} {/t/t} {/b/b} { t t Pt} { Pcc ug u Pvh v} {Pt} {/ct/c} {/u/gu} { ug u Pvh v } {} {/vt/hv} { ugu}

34 Horn progrmoás Deiníció. Eg elsőrendű Horn-ormul oln Skolem-ormul melnek mgj legeljebb eg poitív literált trtlmó klóok Horn-klóok konjunkciój. Horn klóok: áltlános sbál: ~ árt ormul 2 K k A A2 K An B A j n B j tomi test ej ormulák 2 K k A A2 K An B áltlános tén 2 K k B cél ormul negtív kló: K C K C ~ K C K C 2 k n 2 k n

35 Deiníció. Deinit-klónk neveünk eg pontosn eg poitív literált trtlmó Horn-klót ltlános tén vg áltlános sbál. Horn leveetés problémáj: eg speciális serkeetű ormul logiki törvén-e: H K H m C hol H Horn-klóok C cél ormul. K H m H léteik eg θ helettesítés melre H K H m C K Cn θ kvntormentes ormul kkor eldt kielégíthető progrm eredméne θ helettesítés váls helettesítés. A megoldást megkphtjuk lineáris reolúcióvl. Tétel. Elsőrendű Horn-ormulák esetén elsőrendű lineáris inputreolúció teljes strtégi.

36 Megjegés: H K H m C H K H m C H K C Horn ormul H m Két Horn-kló reolvense Horn-kló.

37 SLD reolúció Liner resolution with Selection unction or Deinite sentences D deinit klóokt hsnál L lineáris inputstrtégiávl dolgoik S célklóbn eldolgondó literált és reolválás során elhsnálndó deinit-klót eg rögített S strtégi lpján válstj ki A lklmott S strtégi lpján besélhetünk mélségi sélességi ill. más pl. heuristikán lpuló keresésről. A lgoritmus célklóból indul és deinit-klóok serkeete mitt minden reolvens is célkló lkú les.

38 A SLD lgoritmus lépései mélségi-bejárás strtégi S serint teljes leveetési át elépíti:. Legen ktuális célkló eredeti célkló e les leveetési gökere. 2. H ktuális célkló üres kló kkor megkptuk reolúciós cáoltot. A célkló sikeres minősítést kp lg. jeli hog vn sikeres leveetés 6. lépés követkeik. 3. Kiválstjuk célklóból blról eső literált S strtégi. 4. Kiválstjuk hoá megelelő ejjel rendelkeő soron követkeő induláskor első deinit-klót S strtégi. H már nincs több dott ejjel rendelkeő elem 6. lépés követkeik. 5. H kiválstott célklóbeli literál és deinit-kló ejének illestése sikeres kkor előállítjuk reolvenst e les ktuális célkló és 2. pont követkeik. Különben e válstás kudrcos minősítést kp és újból 4. pont követkeik. 6. H ktuális célkló gökér lg. beejeődik. Különben visslépünk ktuális célklóból előő célklór e les új ktuális célkló és 3. lépéssel olttjuk.

39 Deklrtív progrmoás sbál: B: A A 2 A n. tén: B. cél ormul:? C C 2 C m. progrm: Prológ h A A 2 A n kkor B sbálok tének cél SLD reolúció mélségi bejárássl

40 Péld: cslád pm tom bob li nn pt jim Predikátumok: prentxy emlex mlex mlex X Y sülője X nő X X éri

41 tének: prentpmbob. prenttombob. prenttomli. prentbobnn. prentbobpt. prentptjim. emlepm. emleli. emlenn. emlept. mlebob. mletom. mlejim. Adtbáis: csk tének nincsenek sbálok nincsenek váltoók? prentxli. Xtom?prentbobX. dtbáisbn nincs több inormáció Xnn; procedurális tgdás nem tudjuk Xpt; bionítni hog bobnk nincs több no gereke? prentxy. Xpm Ybob; Xtom Ybob;

42 új predikátumok: motherxy: prentxy Tudásbáis: emlex. sisterxy: prentzx sbálok prentzy váltoók emlex X/Y. predecessorxy: prentxy. predecessorxy: prentxz predecessorzy.? motherxbob. illestés új cél: Xpm? prentxbobemlex. illestés: prentpmbob.? emlepm.

43 ? sisternnpt. es illestés: sisterxy? prentznn prentzpt emlennnn/pt. illestés: prentbobnn? prentbobptemlenn nn/pt. illestés: prentbobpt? emlenn nn/pt. illestés: emlenn? nn/pt. es

44 ? predecessorpmpt. es illestés: predecessorxy? prentpmpt. sákutc bcktrcking? predecessorpmpt. illestés: predecessorxy köv.? prentpmz predecessorzpt. illestés: prentpmbob? predecessorbobpt. illestés: predecessorxy? prentbobpt. es

45 Könvéset:. Pástorné Vrg Ktlin Várterés Mgd A mtemtiki logik lklmássemléleltű tárglás Pnem Budpest Jen Gllier Logic or Computer Science: Foundtions o Automtic Theorem Proving Wile