Matematikai összefoglaló

Átírás

1 Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru htáron, or mndg más pontho épest heletét du meg. Et pontot vontottás pontn, vg orgón neveü. Ettől mérü pont távolságát. Ahho, hog pont helete egértelmű legen, ét válstott ránho épest ét söget s meg ell dn. Vgs eg pont heletét íg három dt fog ellemen, eg távolság és ét sög. Áltlán oln mennségeet, mele ngságul és ránul ellemehetőe, vetoron neveü. Jelölésüre nomttásn vstgon sedett s és ng etűet hsnálun. Kéírásn pedg lul, vg felül vonássl eleü dott mennség vetor voltát. Például: nomttásn éírásn helvetor r r vg r Áltlán h A eg vetor, or nomttásn éírásn ármel vetor A A vg A Grfus áráolás: Vetoro áráolás rendívül semléletes, melet eg ránított ss elépe. A vetor ngságát (hossát) ss hoss el, ránát pedg ss eg végére tett níl (lásd. ár).

2 A. ár. A A vetor grfus áráolás A A vetor hossát A -vl elölü, mt vetor solutértééne s soás neven. Előfordul, hog solutértéet egserűen cs A-vl elöl. A A mndg ngo, vg egenlő 0. Művelete vetorol: Össedás: H és ét vetor, or vetort úg értelmeü, hog ét vetor edőpontt eg pont heleü eg vetor önmgávl párhumos eltolásávl, és ét vetor áltl fesített prllelogrmm átlóát tentü vetorn. A össegvetor rán öös pontól prllelogrmm átellenes csúcs felé mutt. ) ). ár. Két vetor össege (prllelogrmm sál) A. ár ) árá el vetor eg evvlens előállítását. A össedás műveleténe defnícóáól ól láts, hog vetoro össedás ommuttív (felcserélhető) művelet,

3 Vetor vlós sámml vló sorás: H eg vetor és λ eg vlós sám, or λ vetort úg értelmeü, melne rán -vl onos, h λ 0, és -vl ellentétes, h λ 0, ngság pedg λ (lásd 3. ár). λ λ 0 λ λ 0 3. ár Kvonás: Két vetor vonását össedás és vlós sámml vló sorás defnícó lpán értelmeü. A össedás és vlós sámml vló sorás lpán értelmen lehet ét vetor ülönségét s. Legen és ét vetor, or ( ) módon lehet értelmen ét vetor ülönségét (lásd 4. ár). - - ( λ - ) 4. ár. Két vetor ülönsége Egségvetor: A oln vetort, melne solútértée (hoss) egségn, egségveorn neveü. H eg vetor és vetor ngság, or /-vl sorov vetort, ráná muttó egségvetort pun. 3

4 Jelölü et e -vel e Vlón e E t elent, hog ármel vetor sát ráná muttó egségvetor és eg λ sám sortént előállíthtó. λe hol e ráná muttó egségvetor és λ Dstrutvtás sámml vló sorásr: Két vetor össegét sorov λ vlós sámml rr néve g öveteő állítás: λ ( ) λ λ B: (lásd 5. ár). λ λ ( ) λ 5. ár A háromsöge hsonlóságáól övete, hog λ és λ oldlhossúságú prllelogrmm átló s λ sorosár válto. Továá h µ és λ vlós sámo és eg vetor, or g öveteő állítás: ( µ λ) µ λ B.: Mvel vlós sámml vló sorás vetor ránát nem váltott meg cs vetor hossát, eért állítás evvlens vlós sámor vontoó dstrutív sorás sálll. 4

5 Slárs sorás: A és vetor slárs sortán t vlós sámot értü, melet vel elölün és öveteő módon defnálun: cosϕ, - hol és lletve vetoro hoss (ngság), ϕ pedg ét vetor áltl eárt se sög (lásd 6. ár). ϕ cos ϕ 6. ár. Két vetor slárs sort 6. ár sernt megd vetorn vetor ráná eső vetületéne vetor hossávl vló sortát. A előállításól láts, hog slárs sort ommuttív. cos ϕ cos ϕ Két vetor slárs sorását el el semen vlós sámonál nem írt sorásellel. Előforduló elölés még ét vetor slárs sorásár ( ) elölés s. A slárs sort lehetőséget d rr, hog megállpítsu t, hog ét vetor merőleges egmásr. Ugns h ét nem null vetor slárs sort 0, cs úg lehetséges, hog defnícón sereplő cos 0 π o ϕ ( 90 ) ϕ. Slárs sorás dstrutvtás: H pl. vetor ét más vetor össege c d or ( c d) c d 5

6 Et neveü slárs sort dstrutvtásán (sétválsthtóság). Bonítást lásd 7. ár sernt. d ϕ c ϕ ϕ. c cos ϕ. d cos ϕ cos ϕ 7. ár cosϕ c d c cosϕ ( c cosϕ d ϕ ) d cosϕ cos de 7. ár sernt c cosϕ d cosϕ cosϕ íg vlón g dstrutvtás. Vetoráls sort: A vetoráls sort eredméne vetor, melne ngságát ét vetor hossán (ngságán) és ét vetor áltl eárt sög snusán sort d úg mérve söget, hog vetortól felé órmuttó árásávl ellentétesen utun. A sn ϕ ( ngság) vetor rán pedg, vetoro áltl fesített sír merőleges rán, úg, hog, és (8. ár). vetoro osodrású tengelrendsert lotn 6

7 ... ϕ sn ϕ A 8. ár Vetoráls sort vetor mnd, mnd vetorr merőleges és ngság és vetor áltl fesített prllelogrmm területével ege (lásd 8. ár). A -ól -n erestül, órmuttó árásávl ellentétesen utun vetor ráná. A defnícóól rögtön övete, hog vetoráls sort nem ommuttív, hnem (lásd 9. ár) ϕ ϕ ϕ π - ϕ - és áltl eárt sög és áltl eárt sög 9. ár o é sál A fent sorás sál o é sál néven s smert. Vetoráls sorás dstrutvtás: H ét vetor össege c d or vetoráls sorásr s g dstrutvtás (sétosthtóság) ( c d) c d mvel λe ln előállíthtó, eért λ -vl vló ostássl fent egenlet ( c d) e c e d e lú. 7

8 Eért elegendő elvégen onítást ráná muttó egségvetorr, mert λ -vl vló sorássl eredet állítást pu. d (c d) c O e e c e d e (c d) 0. ár Vetítsü e -re merőleges sír c vetort d vetort és vetületene hoss rendre (lásd 0. ár). hol ( c,e), ( d,e) és ( d, e) eárt söget elöl. Ee értée éppen ( c,e) c sn, ( d,e) d sn, c d sn ( c d, e) c d vetort. Een c e vetorn és c, lletve d, vlmnt c d -vel e c, e d és e ( c d) sorto solút értée. Íg h levetített ssól álló háromsöget 90 -l O örül e -re merőleges sín ór árásávl ellentétes ránn elfordítu, éppen vetorot pu. Eel állításunt eláttu. e c e d és e ( c d) Vetoro oordnátás l Legen e és e ugnon sín lévő egmássl ϕ 0 söget eáró egségvetoro, or eg ugneen sín lévő tetsőleges vetor een egségvetoro segítségével előállíthtó (lásd. ár). Heleü e három vetor edőpontát eg öös pont, vetoro önmgul párhumos eltolásávl. A vetor végpontán erestül húun eg-eg párhumos egenest e, lletve e ránávl. Een egenese ege e ránn elöl eg vetort, és más e ránn eg vetort. 8

9 e e ϕ e. ár vetor felontás ét e és e egségvetor ráná muttó vetorr A prllelogrmm sál sernt de e és e íg e e E t elent, hog ármel eg sín lévő, nem onos ránú ét egségvetor llms rr, hog áltlu fesített sí ármel vetorát előállítsu. Más svl, és sámo e, e egségvetoro áltl fesített sín egértelműen meghtároá vetort. H nem ét egségvetort hnem három nem egsín lévő egségvetort válstun, ugnet eredmént pu háromdmenós eseten s (lásd. ár). 3 e 3 e e,. ár A áráól prllelogrmm sál sernt, 3 9

10 de,, íg 3 Mvel e, e és 3 3e3 Íg e e 3 e3 Vgs vetor e és e, e 3 úgneveett ásvetoro áltl meghtároott áson, és 3 sámol egértelműen meghtároott. A e és e, e 3 len válstás legáltlános. A gorlt sámár gán fontos eset, mor e és e, e 3 ölcsönösen merőlegese egmásr. E megfelel Descrtes-féle derésögű oordnát rendserne, melne tengele merőlegese egmásr. Áltlánosn elfogdott, hog Descrtes rendseren, és ráno muttó egségvetoro elölése, és. 3. ár Descrtes-féle oordnát rendseren, és egségvetoro Íg eg tetsőleges vetor de mől,, Íg eg tetsés sernt vetor Descrtes-féle oordnát rendseren ellemehető eg,, sámhármssl, vetor onosíthtó een sámhármssl. 0

11 A,, és -t vetor, és omponensene (oordnátán) neveü. Mvel, és ölcsönösen merőleges egségvetoro, íg slárs sort defnícóáól övetene öveteő össefüggése: hol (, ) Hsonlón cos (, ) cos elöl vetorn önmgávl eárt sög (0º) osnusát. A ölcsönös merőlegességől hol (, ) és cos (, ) 0 cos elent és vetoro áltl eárt sög (90º) osnusát. Hsonlón 0 Ugnúg vetoráls sorás sáláól pu: 0 Össedás oordnátás sál (Descrtes rendser): Legen ét vetor és

12 Eor felhsnálv vetoro vlós sámol vló sorásr vontoó dstrutív sálot: ( ) ( ) ( ), Vgs ét vetor össegéne oordnátá vetoro oordnátán össege. Slárrl vló sorás oordnátás l: Legen eg vetor és λ eg vlós sám. A oordnátás l: A slárrl vló sorás dstrutív tuldonság mtt λ λ λ λ Vgs λ λ λ λ mnden oordnát λ -sorosár válto. Slárs sorás oordnátás l: Legen ét vetor Eor slárs sorás dstrutív sál mtt ( )( ) Mvel 0 és íg pu:

13 3 Specálsn esetén Amelől m vetor solút értée. Megegeü, hog helett grn elölést hsnálá. Vetoráls sorás oordnátás l Legen és Eor Khsnáltu vetoráls sorás dstrutív voltát. Mvel 0 és Kpu ( ) ( ) ( ) A önne megegehetőség végett A determnáns fetés sál sernt éppen fent eredmént d. Kettős vetoráls sort (fetés tétel) H, és c három vetor, or értelmen lehet ( ) c és ( ) c vetoráls sortot. A ( ) c ( ) c és ( ) c sorto s értelmese de ee elő ettő -el vló sorásáól megphtó. Eért elegendő ( ) c és ( ) c vetoráls sortot vsgáln.

14 Kfetés tétel: H, és c tetsőleges vetoro, or öveteő ét onosság g: ( ) c ( c) ( c) lletve ( c ) ( c) ( )c A másod egenlőség elsőől megphtó, hsen eg téneőcserével első egenletől pu -el vló sorás után. ( ) ( c) ( c) c Betűcserével c pedg eől ( c ) ( c ) ( )c -t pun, melől c c helettesítés és -el vló sorás után ( c) ( c) ( )c egenlőséget pu, m éppen másod onosság. Eért elegendő elátn cs első onosságot, ( ) c ( c) ( c) -t. Bonítás: ) Néü elősör t esetet, mor. Eor mndét vetor eg e egségvetorrl feehető: α e és β e A loldl nlván 0, hsen és párhumos eseten 0 o ossöget ár e, eor pedg vetoráls sort értée 0. A o oldlról pedg ehelettesítéssel láthtu α e c β e β e c α e α β e c e e c e e, hog 0, ugns ( ) ( ) {( ) ( ) } 0 Vgs esetén eláttu állítást. ) és ne legen egránú.. Eor, h c -re g állítás, or λ c s g. Ugns ( ) c ( c) ( c) egenletet megsorov λ -vl λ c λc λc egenletet pu. ( ) ( ) ( ). h c -re és c -re g állítás, or c c -re s g. Ugns felírv egenlőséget c és c -re, eeet össedv c c -re vontoó egenlőséget pun. össedás után ( ) c ( c) ( c) ( ) c ( c ) ( c ) ( ) ( c c ) ( c c ) ( c c ) Mvel, és három nem egránú vetor, eért ármel c vetor előállíthtó, és vetoro lneárs omnácóént, c α β γ. Íg előe lpán elég tételt elátn c -r, c - re és c -re. 4

15 A vetor állítás nlvánvló, ugns loldl 0, hsen mnden vetor önmgávl épett vetoráls sort 0, o oldl pedg helettesítéssel o dód. ( ) ( ) ( ) ( ) Mvel téneő 0-t dn. Már cs -r és -re ell golnun állítást, ( ) ( ) ( ) merőleges mnd -r, mnd -re, íg ( ) és ( ) ( ) ( ) ( ) és egenlőségeet ell elátn. A másod egenletet nem ell elátn, mert elsőől övete. Ugns első egenleten -t -t pu. felcserélve -re ( ) ( ) ( ) Felhsnálv ( ) ( ) ( ) ( ) elegendő elátn cs -r egenlőséget, ( ) ( ) ( ) -t és sorov egenletet --el, pu: -t, m éppen -re vontoó egenlőség. Eért. Legen e rán muttó egségvetor. Eor feeését egenlősége ( α e ) α e α ( e e) α( e ) α e α ( e ) e α α ( e )e Elostv α -el öveteő egenlőséget pu: α e l írhtó, hol α. Beírv ( e ) e ( e )e, vg átrendeve ( e ) e ( e )e A áráról egenlőség elentése önnen leolvshtó: sn ϑ.. e ϑ e (e ) e (e ) cos ϑ. sn ϑ e (e ) e II E pedg t fee, hog ármel vetort fel lehet ontn tetsőleges e ránú II vetorr és e -re merőleges, e, áltl meghtároott sín lévő vetorr. Vgs II m áráól s nlvánvló. Eel tételt onítottu. 5

16 Vetor-slár függvéne A fán grn előfordul, hog eg vetor ngság és rán (tehát vetor) eg slár mennségtől függ. Eg legnlvánvló péld eg test heletvetor, mel h test moog, or dőne függvéne. () t () t () t () t r E t elent teles áltlánosságn, hog mndhárom oordnát t slár ( említett eseten dő) függvéne. A oln függvént, mel eg slár értééhe vetort rendel, vetor slár függvénne neveü. Áráolás: H vesün eg t, t... t n, növeedő prméter sorotot, or mnden eges t -he függvén hoárendel ( t ) omponense ( t ), ( t ) és ( t ). H r ( t ), r ( t ) ( t n ) végpontt össeötü, eg térel görét pun. (4. ár). r vetort, melne r vetoro r (t ) J r (t ) r (t ) r (t ) n 4. ár H () t r történetesen eg pont helete dő függvénéen, or r () t térel görét pont páláán neveü. Vetor-slár függvén dervált: Sosor fontos érdés, hog vetor slár függvén váltoóán onos megváltoásár mennvel válto meg vetor. Enne ellemésére legllms dfferenc hándos, melet öveteő módon defnálun. 6

17 Legen t és t t független váltoó ét értée és () t rendelt vetoro. Értelemserűen dfferenchándoson 5. ár). r r t ( t t) r() t t r, r( t t) hoáu feeést értü (lásd r J r (t) r (t t ) A 5. ár r -t r( t t) r() t d és mvel vlós sámml vló sorás értelmeett, íg vn értelme r () t és r( t t) t -vel soron r vetort. A pont áltl meghtároott húrvetort elent. r vetor r () t göre H független váltoó t váltoását egre sere válstu, or húr hoss s egre se les, íg vn értelme t vsgáln, hog h t -vel r mnden htáron túl trtun nulláho dfferenchándos (m eg vetor) t mlen értéű les (ngság és rán sernt). Et rövden úg feeü, hog r épeü htárértéet. t Jelölésen: () t r dr lm t 0 t dt r H e htárérté léte, or íg pott vetort r () t vetor-slár függvén t slárértéhe trtoó dervált vetorán vg dfferencálhándos vetorán () t 7

18 neveü. (Rövdítve dervált, dfferencálhándos). Jelölésére soás hsnáln. dr() t dt és r () t -t A előállításól nlvánvló, hog () t r rán () t r göre een pontáho trtoó érntőéne ráná mutt, hsen h t -t egre csöentü, or húr footosn átmeg göre r () t pontel érntőée (6. ár). r 3 r r (t ) 3 r(t t ) r(t t ) r(t t ) t t t 3 r 6. ár r, r és r 3 vetoro hoss egre csöen és ránu egre on A öelít () t r pontel érntő ránát. H r () t éppen eg ng pont heletvetor, or r () t elentése éppen seességvetor, mvel r () t -t htárértéeént értelmetü, melne ránát r rán, ngságát pedg meg, m dőegség ltt megtett út. Íg htáreseten ( t 0) éppen r () t pálán mogó ng pont seességét d meg r () t vetor. Soás pllntn seességne s neven. r t r t d 8

19 Dervált vetor oordnátás l: Mvel derválás művelete lneárs, ét vetor-slár függvén össegéne dervált eges dervált össege, íg h r () t oordnátás láól ndulun, or: () t () t () t () t r. r. () t () t () t () t vgs r () t vetort úg pu, hog r () t vetor eges omponenset derválu. hol () t r() t () t r () t d, dt () t d dt és () t () () t t d dt Slár-vetor függvéne: A oln függvéneet, mele vetorho slárt rendelne slár-vetor függvénene neveü. Jelölése például φ ( ) vg Ψ ( ) Legegserű példá erre, mor eg vetorho hoárendelü solút értéet, vg nn négetét. φ ( ) vg φ ( ) A legtö slár-vetor függvén esetéen vetor váltoó helvetor. A ésőeen áltlánosság sérelme nélül elölü vetorváltoót r -el. Jelölésen e egrést φ () r módon írhtó, de fgeleme véve hog r -ne három omponense vn, r t s írhtu, hog φ (,, ) 9

20 Vgs slár-vetor függvén úg s tenthető, mnt eg háromváltoós függvén. Például: φ α α r A feeésen α eg állndó. H fent példán φ értée éppen φ 0, or φ 0 α feeés on ponto mértn helét elent, on,, értéhármsot, melere függvén értée éppen φ 0. Átlítássl φ0 α véve egenlet recproát: α φ 0 E eg göm egenlete, melne sugr α R. Vgs φ 0 értéhe φ 0 trto eg gömfelület, melne mnden pontán függvén φ 0 értéet ves fel. R φ -ho trtoó sntfelület 0 φ φ ár Áltlán íg dódó felületeet (m nem feltétlenül göm) dott slárvetor függvén sntfelületene neveü. Sosor fontos t tudn, hog eg dott slár-vetor függvén r pontn felvett értééhe épest eg r vetorrl rré lévő pontn mennvel válto meg. Et φ függvén dfferencá htáro meg: 0

21 φ φ Végeü el öveteő onos átlításot. φ φ ( r r) φ() r φ(,, ) φ(,,) (,, ) φ(, ) (,, ) φ(,, ) φ (,, ) φ(,, ) φ. Láthtó, hog össeg. és 3. tg lletve 4. és 5. tg et egmást. Ossu el o oldl első ülönségét másod ülönséget és φ φ -vel hrmdt. Íg -el és sorou s meg, hsonlón φ -re (,, ) φ(, ) (,, ) φ(,, ) φ (,, ) φ(,, ) φ feeést pu. -l Láthtó, hog feeés első tg φ háromváltoós függvénne dfferenchándos méghoá úg, hog és váltoó állndó. Ugníg másod tg váltoó sernt dfferenc hándos möen és váltoó váltotln és végül sernt dfferenchándos möen és váltoó állndó. H, és cs, or fent dfferenchándoso ól öelíthetőe megfelelő váltoó sernt dfferencálhándosol, hsen dfferencálhándoso dfferenchándoso htárértéeént értelmeette. Mvel φ függvénne mndhárom váltoó sernt dfferenchándos serepel feeésen, eért eges váltoó sernt dfferencálhándosot egváltoós függvénetől eltérően elölü: φ φ φ,,. Eeet prcáls dfferencálhándoson neveü. A prcáls dfferencálás sálo egváltoós függvéneével onos. A dott váltoó sernt dfferencálásnál más ét váltoót egserűen állndón tentü.

22 Íg φ függvén megváltoás: Ahol h() r oln, hog φ φ () r h lm 0 r r φ φ h () r 0. A h() r hfüggvén megelenése l függ össe, hog dfferenchándosot megfelelő dfferencálhándosol helettesítettü. A o oldl első tg úg tenthető, mnt ét vetor φ φ grd φ és r φ vetoro slárs sort. A φ grd φ r h() r. A h 0 cs végtelen csn mennsége esetén áll fent, eor dφ grd φ dr ln soás írn, hol d φ és d r φ, lletve r dfferencál. ( φ és r htárértée végtelen csn mennségeet elölne). A φ φ φ vetort (,, ) φ slár-vetor függvén r pontel grdenséne, grdens vetorán neveü. Jelölésére hsnálu φ, hol -t nl operátorn neveü: grd φ vg. A nl operátor eg vetor operátor, mel slár-vetor függvénre úg ht, hog t prcáls dfferencálhándosoól eg vetort épe., és sernt dfferencál és íg előálló

23 φ φ φ grd φ φ Kéírásn nl operátornál sosor vetor elölést - láhúást- el soás hgn. Egserű írásmóddl φ. A grdens ellemőe, hog mndg merőleges φ sntfelületére. E ól övete, hog sntfelület mentén φ értée eg φ 0 állndó, íg φ megváltoás h r vetor sntfelületen vn 0 ell, hog legen, 0 φ grd φ r, m éppen merőlegességet elent (Lásd 8. ár). sntfelület, φ een állndó r r. grd φ r, sntfelületen történő csn elmodulás 8. ár A végtelen csn mennsége öött pcsoltot leíró össefüggésől s övete, hog grdens vetor rán rán, mel ránn elmodulv slár függvén váltoás leggors, legngo, ugns γ 0. d φ grd φ dr grd φ dr cos γ d φ or legngo, h cos γ, d r és grd φ rán onos, 3