Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése
|
|
- Hunor Nagy
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk az adatok transzformácójának módszerét. Ekkor az összefüggésre és az adatokra eg alkalmas transzformácót alkalmazva, paraméterenket lneárs összefüggésből kell meghatározn, amelnek normál egenletrendszerét már könnedén, akár zsebszámológép használatával s meg tudjuk oldan. A probléma smert a szakrodalomban, azonban a szerzők, kváltképp a tankönvek szerző nem fordítanak kellő fgelmet arra, hog a lnearzálásból adódó torzítás mlen mértékű és ránú, hanem többnre megelégszenek azzal a megállapítással, hog a torzítás mértéke általában olan, hog az összefüggés a gakorlat számára még használható (például Hunad Vta [004]). A tapasztalat azt mutatja, hog ezek az eltérések exponencáls vag hatvánfüggvének llesztése esetén valóban nem mndg jelentősek, de például hperbolkus függvén llesztésekor nagságrendleg nagobb eltéréseket s tapasztalhatunk, sőt smeretes, hog bonolultabb függvének (például a logsztkus függvén) esetében ezek a torzítások gakran használhatatlanná teszk a lnearzálással kapott eredméneket. Az eltérések adatanktól függően egazon függvéntípus esetén s eltérőek lehetnek. Ennek a tanulmánnak az a célja, hog az említett transzformácókból adódó torzításokat elemezze, és ezáltal s felhívja a fgelmet azokra a problémákra, melek felett kváltképp a tapasztalatlan alkalmazók hajlamosak átsklan. Ennek megfelelően a kérdés felvetése után először eg egszerűsített feladaton, a két, lletve több megfgelés (számérték) legksebb négzetekkel kapható közepének meghatározásakor mutatjuk be az oda-vssza alkalmazott transzformácók tulajdonságat, majd a nemlneárs görbellesztés néhán gakor esetét vzsgáljuk meg. A tanulmánt a következtetések összefoglalása, a felhasználók számára megfogalmazott javaslatok, valamnt a megválaszolatlanul maradt kérdések zárják. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
2 Tóth: Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 85. A legksebb négzetek módszerének tulajdonsága az adatok transzformácója esetén Amennben nemlneárs regresszós függvént llesztünk, gakran transzformáljuk a függő vag a független változót. Az alapötlet első pllantásra helesnek tűnk, hszen tökéletesen lleszkedő függvének esetén az oda-vssza transzformácó (ha létezk) helben hagja a függvént. Ha például eg pontosan hperbolkus függvén szernt alakuló adatsorra akarunk függvént lleszten, akkor a függő változó recprokára llesztve a lneárs függvént, majd ennek a lneárs függvénnek a recprokát véve megkapjuk az eredet adatokra lleszkedő hperbolkus függvént. Ez a gondolat annra egszerű, hog nem s érdemes tovább magarázn. A probléma ott kezdődk, amkor az lleszkedés nem tökéletes, hszen akkor az eredmének korántsem lesznek len trválsak. Annak érdekében, hog a problémát érthetően megvlágítsuk, először eg egszerűbb feladatot fogalmazunk és oldunk meg: azt vzsgáljuk meg, hog két adat M, lletve m között keresve a legksebb négzetes eltérést teljesítő x értéket hogan változk x értéke, ha az adatokat transzformáljuk, majd a transzformált adatokra kapott értéket az nverz transzformácóval vsszatranszformáljuk. Az előzők alapján nlvánvaló, hog amennben M = m, akkor x s egenlő lesz velük, más esetekben azonban nem ez a helzet. Az tt következő ks elemzés előtanulmánnak s teknthető a görbellesztés feladatához, uganakkor önállóan s érdekes, mvel rámutat eges statsztka átlagok tulajdonságara... Alapeset (nncs transzformácó) Két érték, M és m ( M m ) között keresünk eg olan x értéket, amelre ( ) ( ) ( ) f x = M x + m x mn. // f x =. A függvén láthatóan felfelé níló parabola, ott lesz mnmáls, ahol ( ) 0 Mvel f ( x) = ( M x) ( m x) =0, ezt átrendezve M x+ m x= 0, majd M + m x = kapható, tehát a négzetes eltérés akkor lesz a legksebb, ha x a két érték számtan közepe. Az eredmén általánosan smert alapösszefüggés, és több adat esetén s gaz. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
3 86 Tóth Zoltán.. A lneárs transzformácó esete l x = a+ b x lneárs transzformácó. Ekkor l(m) és l(m) értékek között keressünk eg olan értéket, amelre Legen ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) f = l M + l m mn, // majd ezt az értéket az l nverz transzformácójával vsszaalakítva az a kérdés, hog vsszakapjuk-e az alapesetben meghatározott x értéket. Ekkor f ( ) ( a b M ) ( a b m ) ( ) 0 f =. Ekkor az = + + +, am ott lesz mnmáls, ahol ( ) ( ) ( ) f = a+ b M a+ b m =0 egenlet megoldását keressük, amre azt kapjuk, hog M + m a+ b M + a+ b m = 0, majd = a+ b, végül a M + m l ( ) = + =. b b Ez azt jelent, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetes eltérést adó értéket, majd ezen értékre végrehajtva a transzformácó nverzét az adatok számtan átlagát kapjuk. Tehát transzformácóval meghatározva értékét, valamnt nverz transzformácóval x értékét az alapesetnek megfelelő x értéket kapjuk..3. A recprokképzés esete Legenek adva a M és m értékek. Legen a transzformácó a recprokképzés, amelnek nverze önmaga. Keressük azt az értéket, amelre: f() = + mn M m. /3/ Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
4 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 87 A szokásos módon ezúttal s az f ( ) 0 = egenletet kell megoldan: f'() = = M m 0, + = M m, azaz x = = + M m. Ez azt jelent, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetes eltérést adó értéket, majd ezen értékre végrehajtva a transzformácó nverzét az adatok harmonkus átlagát kapjuk. Ez azzal a következménnel jár, hog az íg kapott x érték nem egezk meg az alapesetben meghatározott számtan átlaggal, hanem annál ksebb. Tehát a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszaalakítva, az eredet adatok között a legksebb négzetek elvét teljesítő számtan átlagnál ksebb értéket, a harmonkus átlagot kapjuk eredménként..4. A logartmusképzés esete Ismét legen adva M és m és legen a transzformácó a természetes alapú logartmus, melnek nverze: e. Keressük azt az értéket, x amelre: ( ) ( ) ( ) f = lnm + lnm mn. /4/ = ln ln = 0, ahonnan Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) ln M+ ln m lnm + lnm =, majd x = e = e = M m adódk. Ekkor tehát a transzformált (logartmzált) adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, az eredet adatok között a legksebb négzetek elvét teljesítő számtan átlagnál ksebb értéket, a mértan átlagot kapjuk.5. A négzetgökvonás esete Legen adva továbbra s M és m, és a transzformácó a négzetgökvonás, melnek nverze a négzetre emelés. Keressük azt az értéket, amelre: ( ) ( ) ( ) f = M + m mn. /5/ Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
5 88 Tóth Zoltán = = 0, azaz Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) M + m =, és M + m+ M m x= =. 4 Az íg kapott (vsszatranszformált) x érték nem az adatok számtan átlaga, mert: M + m+ M m M + m x =, hszen M + m+ M m ( M + m) és 4 M + m M m a számtan és mértan átlag között smert relácóból adódóan. Láthatjuk, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, eg a számtan átlagnál ksebb x értéket kapunk. Vags a vsszatranszformált érték nem teljesít a legksebb négzetek elvét az eredet adatok között, hanem annál ksebb..6. A négzetre emelés esete Legen adva M és m, és legen a transzformácó most a négzetre emelés, melnek nverze a négzetgökvonás. Keressük azt az értéket, amelre: ( ) ( ) ( ) f = M + m mn. /6/ = = 0, azaz Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) M + m =, M + m x= =. Az íg kapott (vsszatranszformált) x érték nem az adatok számtan átlaga, hanem annál nagobb, mert: M + m M + m, hszen M + m M + m + M m és 4 M + m M m = M m, Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
6 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 89 am gaz az M és m számtan és mértan átlaga között smert nagságrend összefüggés alapján. Ekkor tehát a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, eg a számtan átlagnál nagobb x értéket kapunk. Vags a vsszatranszformált érték nem teljesít a legksebb négzetek elvét az eredet adatok között, hanem annál nagobb..7. Általános eset g x eg a vzsgált ntervallumon monoton, foltonos és íg nvertálha- g m értékek között keresünk eg olan értéket, Legen ( ) tó függvén. Ekkor a g ( M ) és ( ) amelre ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) f = g M + g m mn. /7/ f ( ) ott lesz mnmáls, ahol ( ) ( ) g(m ) + g(m) =, ( ) ( ) ( ( ) ) f = g M g m = 0. Ekkor ( ) + g( m) g M x= g = g. M + m Ha g ( ) =, akkor a legksebb négzetek elvének megfelelő x érték meghatározása és a g függvén által meghatározott transzformácó alkalmazás sorrendje felcserélhető. Ehhez a következő összefüggés kell, hog teljesüljön: g(m ) g(m) M m. g + + = Az előző összefüggés pedg csak akkor teljesül, ha g nverze és íg g s lneárs. Összegezve megállapítható, hog ha adatankat transzformáljuk, csak a lneárs transzformácó hagja változatlanul a két érték között legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, azaz a számtan átlagot. Mvel a levezetések több adat esetén s uganúg véggvhetők, megállapíthatjuk, hog a transzformált adatok várható értékét meghatározva majd ezt az értéket az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, csak lneárs transzformácó esetén kapjuk meg az eredet adatok várható értékét. Az eddg elmondottakhoz még eg megjegzést kell fűznünk. Tudjuk, hog ha g monoton, foltonos (nem lneárs) függvén és f foltonos, akkor amennben f-nek Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
7 90 Tóth Zoltán létezk mnmum hele, akkor g ( f ) összetett függvénnek s létezk, és ez a két mnmumhel egbeesk. Azonban esetünkben ezt a tulajdonságot nem alkalmazhatjuk, hszen m a következő típusú függvéneket akarjuk mnmalzáln: Itt ( F) az eredet adatokra a transzformált adatokra n ( ) ( ) ( ) F a,b = f x mn, n = ( ( )) ( ) ( ) ( ) G a,b = g g f x mn. = G g és pontosan azt mutattuk meg az előző levezetésekben, hog ez a mnmum eltolódk a transzformácók hatására. Korábban láttuk, hog ha adatank lleszkednek, például eg hperbolkus függvénre és azokat lnearzáljuk, valamnt a lnearzált adatokra lneárs függvént llesztünk, majd ezt az nverz transzformácóval vsszaalakítjuk, akkor vsszakapjuk a kndulás függvént. Vags a transzformácó nem torzítja az eredmént. Ennek oka, hog tökéletes lleszkedés esetén ezt a gondolatmenetet követve olan esettel állunk szemben, ahol M = m, és íg ekkor x értéke s lleszkedk M = m értékre. Feladatankban len deáls eset nncs s, mert ekkor transzformácó nélkül s meg tudnánk találn a függvént, lletve a paraméterek értékét. Vszont ha az adatok nem lleszkednek pontosan az eredet vag a transzformált függvénre, akkor a transzformácó eltérít mnket a legjobban lleszkedő függvéntől. A kétszeres transzformácó természetesen nem bztosítja automatkusan azt, hog a knduló és a transzformácók után kapott értékek azonosak lesznek. Eg egszerű példát említve lleszkedjenek az eredet adatpárok eg egenesre. A transzformácó legen a recprok képzése, és a transzformált adatokra (amelek nlván nem lleszkednek tökéletesen eg egenesre) llesszünk lneárs függvént, majd a transzformált adatokra kapott lneárs függvént és annak értéket alakítsuk vssza az nverz transzformácóval. Az íg kapott vsszatranszformált adatok nlvánvalóan nem egeznek az eredetekkel.. A hbatagok változása a transzformácó hatására Vzsgáljuk meg a továbbakban, hog mlen mennség összefüggés van az eredet függvénre llesztett nemlneárs regresszós vag trendfüggvén hbatagja és a lnearzált függvén hbatagja között. Bevezetőül meg kívánjuk jegezn, hog Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
8 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 9 a transzformácó mndg az függvénértékekre vonatkozk, lletve, hog mndg addtív hbatagról fogunk beszéln. Az eredet függvén hbatagját az -edk adat esetén ε, a transzformált függvén esetén uganezt δ jelöl. Az tt következő elemzésekben meghatározzuk néhán alapvető nemlneárs esetre a hbatagok négzetösszegét és keressük ezen összegek mnmumhelet. Megmutatjuk, hog ezen mnmumhelek az adattranszformácó alkalmazásával végzett megoldásokban és az eredet adatokra vzsgálva nem esnek egbe. Egben azt s gekszünk megmutatn, hog m a vszon a kétféle hbatag között... A hbatagok vszona exponencáls függvén esetén Ebben az esetben az llesztett függvén = a e alakú, a transzformácó pedg, amvel ez lnearzálható, a természetes alapú logartmus. Megjegezzük, hog leggakrabban az a > 0, b > 0 esettel találkozunk, íg példánkban s let mutattunk be. Természetesen az tten elemzés kterjeszthető a függvén más parametrzálására s. Az eredet adatokra, lletve az exponencáls függvénre vonatkozó addtív hbatag legen ε, a transzformált adatokra lneárs függvént llesztünk és az tt szereplő addtív hbatag legen δ. Az a és b paraméterek változtatásával eredet célunk a ε mnmeghatározá- sa. Ennek egk útja volt az adatok transzformálása és δ mn meghatározása. A következőkben bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe, és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. Legen az eredet adatokra bx llesztendő függvén alakja = a e + ε, amből azonnal kapható az bx ε = a e forma. A transzformált adatokra llesztett lneárs függvén: bx ln = ln a+ b x + δ, aho nnan ln δ = ln a+ b x, és e ln δ b x a e δ = =. e A két utóbb kapott alak összevetése és ném átalakítás után a következő adódk: ε ε = ; = ; δ δ e e e δ δ ε = e = és nnen ε ε δ = ln = ln = ln ε ε ε. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
9 9 Tóth Zoltán Mvel lm = e x x x ezért nag és kcs, tehát jó közelítés esetén eb- ε ből következk, hog ln, am matt t ε ε ε δ, azaz ε δ. /8/ Látható, hog és δ mnmuma nem feltétlenül egezk meg. Pontosabban, mvel δ és m δ mnmumát határozzuk meg, ezért az ezzel egenlő ε ε ε összegben a nag értékekhez tartozó, hbák ksebb súllal szerepelnek. Ez azt jelent, hog a transzformácóval kapott regresszós függvénünk nag értékekre nem lesz annra pontos, vags a transzformácóval valóban nem kapjuk meg a legjobban lleszkedő exponencáls függvént. A legjobban lleszkedő függvén meghatározásához a ε mnmumot kellett volna meghatározn, am vszont analtkusan nem kezelhető normálegenlet-rendszerhez vezet. Alakítsuk most vssza regresszós függvénünk transzformált alakját hbataggal egütt: ln = ln a+ b x + δ, bx δ bx P = a e e = a e ε Ekkor az látható, hog az előző felírás esetén δ P e = + jelöléssel P azt mu- 00 tatja meg, hog hán százalék az eltérés az eredet és számított érték között, és m ezt mnmalzáljuk. Ez akár eg krtéruma s lehet a függvénllesztésnek (az eltérés százalékos összegének a mnmalzálása), de jól látható, hog ez nem felel meg a legksebb négzetek elvének. Nézzük meg, hog ez az eredmén hogan látható a következő fktív adatsoron: Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
10 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 93 Legen adva az alább 4 adatpár. példa x Eredet adatok számított (transzformácó) ε ln Transzformált adatok ln számított δ ε ln 0,0,379 0,6 0,693 0,3 0,37-0,37,7 3,79 -,479 0,53,56-0,66 0,66 8,4 7,37,073,8,99 0,37-0,37 3 9,0 6,889,,944,87 0,8-0,8 Ezen adatokat transzformálva és a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét (lneárs függvént llesztve), majd a paramétereket vsszatranszformálva a = 379,, lletve b = 0, 835 értékeket kapunk, azaz a legjobb függvénnek a lnearzálás módszerével az =, 379 e 0, 835x függvén bzonult. Ezen paraméterekkel kszámítva a függvénértékeket, az előző ε, δ értékeket kapjuk, amelek között megfgelhetjük a levezetett összefüggést, mszernt ε δ, lletve ε δ = ln. Ha ezután az adatokra úg llesztünk legjobban lleszkedő exponencáls függvént, hog nem végezzük el a lnearzáló transzformácót, hanem az eredet forma maradékanak négzetösszegét mnmalzáljuk (numerkus közelítéssel, terácóval), akkor a legjobban közelítő függvénnek az =, 33 e 094, x függvén bzonul. Az lleszkedések összehasonlítása érdekében kszámítottuk az ( ˆ) ( ) I = korrelácós ndexet mnd az terácóval meghatározott függvénre, mnd a transzformácóval meghatározott függvénre. Ekkor azt kaptuk, hog: 0835, x transzformácó esetén: =, 379 e I = 09584,, 094, x terácó esetén: =, 33 e I = 0, Természetesen I értékeből s látszk, hog a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét, majd az nverz transzformácóval vsszatranszformálva a paramétereket nem a legjobb regresszós függvént kapjuk. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
11 94 Tóth Zoltán. ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott exponencáls függvének 0 5 (adat) adat terácó terácós transzformácó formácós Az. ábrán s láthatók a levezetett összefüggések, mszernt a transzformácóval meghatározott függvén ksebb súllal fgel a nagobb függvénértékek esetén elkövetett hbákra. Megjegzendő, hog a hatvánfüggvén esetén hasonló nagságrendű eltérést kapunk a transzformácó hatására. Az tt tárgalt exponencáls függvén egk specáls esete az a konkáv függvén, bx amelet leggakrabban az A( ae ) =, ( 0) b < alakban szoktunk specfkáln, és amelet egszerű telítődés folamatok leírására használhatunk. Az eddgek alapján algha meglepő az az állítás, mszernt a transzformált alakra alkalmazott legksebb négzetes llesztés ez esetben s más eredmént ad, mnt az eredet formára terácós úton készített becslés. Az eltéréseket lletően können belátható, hog a /8/-ban szereplő δ összefüggést ez esetben a δ ε A ε váltja fel, és a paraméterbecsléshez ennek négzetösszegét kell mnmalzáln. Ennek következméne az, hog a négzetösszegben a ks értékekhez tartozó ε hbák szerepelnek ksebb súllal. Ez pedg azt jelent, hog a transzformácóval kapott függvénünk a ks értékekre lesz kevéssé pontos. Emlékeztetünk arra, hog az eredetleg felírt (konvex) exponencáls függvén esetében ez fordítva volt. Ennek az eltérő eredménnek az egszerű ntutív magarázata az, hog a telítődés sznthez közeledve egre ksebb mozgástere van az llesztett görbének; egre nkább, egre ksebb ngadozásokkal smul a telítődés sznthez. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
12 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 95.. A hbatagok vszona hperbolkus regresszós függvén esetén Ebben az esetben az llesztett függvén alakja: =, a transzformácó a a+ b x recprokképzés, amelnek az nverze s a recprokképzés lesz. Az eredet adatokra és a hperbolkus függvénre vonatkozó addtív hbatag legen ε, a transzformált adatokra lneárs függvént llesztünk és az tt szereplő addtív hbatag legen δ. Az a és b paraméterek változtatásával eredet célunk a mn meghatározása. Ennek egk útja volt az adatok transzformálása és δ mn meghatározása. A következőkben bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. Az eredet adatokra llesztett függvén = + ε, amt átalakítva a+ b x ε ε = a+ b x /9/ kapható. A transzformált alakból = a+ b x + δ, majd δ δ = = a+ b x /0/ adódk. A /9/ és /0/ jobb oldalának egezősége matt ε δ = = + ε δ δ ε, ε amt átrendezve az ε = δ lőséghez jutunk. Ekkor, ha ε egen vags jó közelítés esetén ε, íg ε δ azaz kcs, ε. // δ 4 Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
13 96 Tóth Zoltán A korábbakhoz hasonlóan tt s látható, hog ε és δ mnmuma nem feltétlenül egezk meg (sőt az egezésnek kcs az eséle), mvel δ mnmumát határozzuk meg, ezért az ezzel egenlő ε ε 4 δ és m ε 4 összegben a nag értékekhez tartozó hbák ksebb súllal szerepelnek. Ez azt jelent, hog a transzformácóval kapott regresszós függvénünk nag értékekre még kevésbé lesz pontos, mnt exponencáls függvén esetén, vags a transzformácóval továbbra sem kapjuk meg a legjobban lleszkedő hperbolkus függvént. A legjobban lleszkedő függvén meghatározásához a ε mnmumot kellett volna meghatározn. Nézzük meg, hogan láthatók az eredmének eg egszerű számpéldán.. példa Tegük fel, hog az eredet adatok körülbelül 0-0 százalékos hbával lleszkednek a normál hperbolára x Eredet adatok számított ε Transzformált adatok számított δ ε δ 0,,5 9,5 0,083 0,4-0,37 9,5 0,8, -0,3,5 0,90 0,349-0,3 0 0,7 0,69 0,00 5,88 5,95-0,033 0,00 Az értékeket transzformálva és a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét a = 03445,, lletve b = 0557, értékeket kapunk, azaz a legjobb függvénnek a lnearzálás módszerével az = függvén bzonul. Az ezen paraméterekkel kszámított függvénértékeket és a hozzájuk tartozó 0, , 557 x ε, δ értékeket a. példa tartalmazza, amelek között megfgelhetjük a levezetett összefüggéseket, mszernt ε δ, lletve ε ε = δ. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
14 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 97 Ha ezután az eredet adatokra terácós módon llesztünk legjobban lleszkedő hperbolkus függvént az Excel-program segítségével, akkor a legjobban közelítő függvénnek az = függvén bzonul. 0, 045 +, 8 x Az. példához hasonlóan tt s kszámítottuk a korrelácós ndexet mnd az terácóval, mnd pedg a transzformácóval meghatározott függvénre: transzformácó esetén: = I = 00,, 0, , 557 x terácó esetén: = I = 09999,. 0045, + 8, x Annak felsmerését, hog nag baj lehet az adatok transzformácójával történő regresszós függvénllesztéssel eg, a. példához hasonló feladat sugallta. Itt I értéke negatív, am azt jelent, hog a transzformácóval meghatározott regresszós függvénünk rosszabb közelítő függvéne adatanknak, mnt az konstans függvén. Ez alapján már várható volt, hog a transzformácóval meghatározott regreszszós függvén len esetben jelentősen eltér a legjobban lleszkedő regresszós függvéntől. Lehet olan adatokat találn, ahol hasonló eredmént kapunk exponencáls függvén llesztése esetén s.. ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott hperbolkus függvének 9 6 adatok adat terácó terácós transzformácó zformácós Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
15 98 Tóth Zoltán Az I értéke alapján nlvánvaló, hog közelítőleg sem kaptuk meg eredménként a legjobb hperbolkus regresszós függvént. Az terácós módszerrel pedg meg s határoztuk a legjobb hperbolkus közelítő függvént. A. példából az s látszk, hog bár a δ értékek tűrhetőek, a nag eredet érték esetén az ε = 9, 5 tehát nagon nag, ahog az előző levezetés alapján vártuk, hszen ε δ. Ezek az eredmének láthatók a. ábrán..3. A hbatagok vszona logsztkus regresszós függvén esetén A Ebben az esetben az llesztett függvén = bx + a e alakú, az érték transzformácója pedg összetett : A-val való osztás recprok logartmzálás. Az eredet és transzformált adatokra vonatkozó hbatagok jelölése uganaz mnt eddg, és eredet célunk tt s a ε mn meghatározása. Ehelett transzformáljuk az adatokat és a transzformácó után addtív hbatagot mnmalzáljuk, δ mn. A következőkben tt s bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. A Az eredet adatokra llesztett függvén = + ε bx + ae, átalakítva A = ae ε bx. // Az adatok transzformácója és a transzformált adatokra llesztett lneárs függvén leírása az alább: ln = lna+ b x+ δ ezt átalakítva bx A A δ = ae e majd A bx = ae δ /3/ e adódk. A // és /3/ egenlőségekből A A = ε e δ, Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
16 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 99 amt átrendezve A + ε A = δ ε e, majd nnen δ e = A ε A + ε. Tovább alakítva ezt A δ ( A ) ( e ) + ε = ε és mvel ε << A, ezért ε A ( ) δ ( A ) ( e ) δ ( e ) ( ε ), ahonnan A A A + 4 δ Mvel δ és ( ) e mnmuma egbeesk, tt s -k súlozott összege és a súlok láthatóan a szögletes zárójelben levő lefelé níló parabola értékenek recproka. A legksebb súl a nevező maxmumához tartozk, am azt jelent, hog A az = értékhez tartozó ε hba szerepel a legksebb súllal míg 0-hoz lletve A- hoz közel értékek esetén az ε hba nagobb súllal szerepel, ezért tt pontosabb lesz a transzformácóval megalkotott regresszós függvén. Ez azt s jelent, hog a A transzformácóval kapott regresszós függvénünk = értékekre lesz legnkább pontatlan. δ ε. 3. példa Illesszünk logsztkus regresszós függvént az adatokra mnd a transzformácó mnd az terácó módszerével. Legen ebben a példában A=00. (A példára vonatkozó adatok a következő táblázatban találhatók.) Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
17 300 Tóth Zoltán x Eredet adatok számított (transzformácó) Transzformált adatok A A ln ε ln számított δ A A + A 4 δ ( e ) 0 3 4,407,407 3,476 3,077 0,399,47 0 3,949 6,05,386,80 0,433 5,65 36,308 4,30,65 0,56 0,704 7, ,79 3,8,386 0,696 0,69 7, ,577 7,43,944,953 0,99, ,3 6,3,97 3,,03 5,79 A kndulás értékekre alkalmazva a leírt transzformácót és a transzformált adatokra lneárs függvént llesztve a =, 693, lletve b =, 58 értékeket kaptunk, azaz a lnearzálás módszerével adatankra a legjobb logsztkus függvénnek az 00 = függvén bzonult. Az adott paraméterértékeknek megfelelő függvénre vonatkozó számított függvénértékek és a hozzájuk tartozó addtív h-, 58 x + 693, e batagok szntén a táblázatban találhatók. Azonban a kétszeres elhanagolás matt az ε δ ( e ) δ összefüggésben, az ε értékeket csak kevésbé A ( ) ( ) ( pontosan követk az A e értékek. δ ) Ha ezután az eredet adatokra terácós módszerrel llesztünk legjobban lleszkedő 00 logsztkus függvént, akkor ez a következő lesz = 08, x 39, 66 e. + Mndkét függvén esetén kszámítva a korrelácós ndexet tt s érzékelhető az eltérés: transzformácó esetén: 00 = I = 0939,,, 58 x + 693, e terácó esetén: 00 = I = 0954,. 08, x + 39, 66 e A grafkonról látható, hog jelentős eltérések vannak az terácóval meghatározott legjobban közelítő és a transzformácóval meghatározott logsztkus függvénenk között. Az s látható a grafkonon, hog a két középső érték esetén kapjuk a legnagobb ε értéket. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
18 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 30 3.ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott logsztkus függvének adat adat terácós ós transzformácós Következtetések és ntott kérdések A korábbakban bemutattuk azt, hog a tankönvek által javasolt lnearzálás az esetek jó részében korántsem olan ártatlan, mnt ahog azt olkor sugallják, hszen ez a módszer a görbellesztéskor nemrtkán gencsak félrevezető eredméneket ad. Eredménenk nlvánvalóan azt javasolják, hog a lnearzálás helett (vag nkább mellett) használjuk a nemlneárs legksebb négzetek módszerét, amel az eredet nemlneárs feladatot oldja meg numerkus közelítéssel. Erre a gorsan fejlődő számítástechnka egre jobb lehetőségeket kínál. Mnt tudjuk, a gakorlatlag bárk számára hozzáférhető Excel-programban lehetőségünk van a Solver-segédprogrammal szélsőérték meghatározására feltételek mellett és anélkül. A segédprogram használatakor meg kell adn, hog melk cella mnmumát vag maxmumát keressük, valamnt a szélsőérték típusát, és jelezn kell, hog mel cellák teratív változtatása mellett történjen a mnmum meghatározása. Amennben vannak feltételek azokat s közöln kell. Amkor regresszós függvének paraméteret kutatjuk, akkor a célcella mnmumát keressük és a célcella tartalma a következő képlet és annak értéke: ( ), számított mn. A módosuló cellák a paramétereket tartalmazzák és feltételek megadása nem szükséges. Amkor jelen írásban terácós paraméter kereséséről beszélünk, mndg erre a módszerre gondolunk. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
19 30 Tóth: Nemlneárs függvének lleszkedésének néhán kérdése Az ezzel a módszerrel történő regresszós függvén meghatározásnál a paramétereknek kezdet értéket kell ugan adn, de elvben bármel függvéntípus esetén elkészíthető mechankusan a paraméterek és a függvénértékek becslése. Amennben az eljárás valóban az abszolút mnmumot eredménez, a kapott paraméterek és függvénértékek torzítatlanok lesznek. Uganakkor felmerülhet az a kérdés, hog a módszer mnden függvéntípus és bármlen kezdet érték megadása esetén s konvergens-e, és ha gen a legksebb négzetekkel defnált függvén abszolút mnmumát adja-e, vag valamlen lokáls mnmumot talál. Ezért érdemes azt a kérdést s felvetn, hog bzonos függvéntípusok esetében lehet-e analtkusan megoldható normálegenleteket számoln. Végül megemlítjük, hog amennben lehetőség van rá, érdemes eg feladatot több különböző, feltehetően eltérő megoldó algortmusokat használó programcsomagok segítségével elvégezn. Az esetleg eltérő eredmének fgelmeztethetnek az említett hbákra. Irodalom ALMÁSI A. TÓTH Z. TÖRCSVÁRI ZS. [005]: Have ou ever seen a best exponental regresson functon? Tagungsband. 9. Thürngsch Ungarsches Smposum. Fachhochschule. Jena. HUNYADI L. VITA L. [004]: Statsztka közgazdászoknak. KSH. Budapest. MUNDRUCZÓ GY. [98]: Alkalmazott regresszószámítás. Akadéma Kadó. Budapest. RAPPAI G. [00]: Üzlet statsztka Excellel. KSH. Budapest. SZŰCS I. [00]: Alkalmazott statsztka. Agronform Kadó. Budapest. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Gazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Korreláció-számítás. 1. előadás. Döntéselőkészítés módszertana. Dr.
Korrelácó-számítás 1. előadás Döntéselőkészítés módszertana Dr. Varga Beatr Két változó között kapcsolat Függetlenség: Az X smérv szernt hovatartozás smerete nem ad semmlen többletnformácót az Y szernt
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
RészletesebbenGazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Regresszió-számítás. 2. előadás. Kvantitatív statisztikai módszerek. Dr.
Gazdaságtudomán Kar Gazdaságelmélet és Módszertan Intézet Regresszó-számítás. előadás Kvanttatív statsztka módszerek Dr. Varga Beatr Gazdaságtudomán Kar Gazdaságelmélet és Módszertan Intézet Korrelácós
RészletesebbenMéréselmélet: 5. előadás,
5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
RészletesebbenELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETRIA ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KMR-009-0041pálázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudomán Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomán Tanszék, az MTA Közgazdaságtudomán
Részletesebbens n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés
A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenAz f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.
0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az
Részletesebben18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,
RészletesebbenStatisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
RészletesebbenGyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések
Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
RészletesebbenKiegészítés a felületi hullámossághoz és a forgácsképződéshez. 1. ábra. ( 2 ) A szögváltozó kifejezése:
Kegészítés a felület hullámossághoz és a forgácsképződéshez Két korább dolgozatunkban [ KD1 ], [ KD2 ] s foglalkoztunk már a fapar forgácsoláselméletben központ szerepet játszó felület hullámosság kalakulásával,
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenMérnöki alapok 5. előadás
Mérnök alapok 5. előadás Készítette: dr. Várad Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomán Egetem Gépészmérnök Kar Hdrodnamka Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9
RészletesebbenEXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenRegresszió. Fő cél: jóslás Történhet:
Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján
RészletesebbenKidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
Részletesebbena.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
RészletesebbenBékefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció
Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban
RészletesebbenMikro és makroökonómia BMEGT30A001 C1-es kurzus Jegyzet gyanánt 2018 ősz 3.ELŐADÁS
Mkro és makroökonóma BMEGT30A001 C1-es kurzus Jegzet ganánt 2018 ősz Az tt közzé adott anag néhol részletesebb, néhol csak utal arra, amt órán vettünk. A számonkérés kzárólag az órán elhangzott anagból
RészletesebbenTöbbváltozós Regresszió-számítás
Töváltozós Regresszó-számítás 4.-5. előadás Kvanttatív statsztka módszerek Dr. Szlág Roland Korrelácó Célja a kacsolat szorosságának mérése. X (X, X,, X ): magarázó változó(k), független változó(k) Y:
RészletesebbenDarupályák ellenőrző mérése
Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza
RészletesebbenTartóprofilok Raktári program
Tartóproflok Raktár program ThenKrupp Ferroglou ThenKrupp Nolcadk kadá 6. áprl Ötvözetlen é alacon ötvözéú lemeztermékek Betonacélok Szerzámacélok Melegen hengerelt rúdacélok Könnú - é zínefémek Rozdamente
RészletesebbenEgy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról
Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenTöbb valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
Részletesebben= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
RészletesebbenStatisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertse Imre A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor
MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
Részletesebben7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság
H @ tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció
Részletesebben9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok
Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn
RészletesebbenÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4..-08//A/KMR-009-004pálázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomán Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomán Tanszék az MTA Közgazdaságtudomán Intézet
RészletesebbenLepárlás. 8. Lepárlás
eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
RészletesebbenTuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása
Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenSupport Vector Machines
Support Vector Machnes Ormánd Róbert MA-SZE Mest. Int. Kutatócsoport 2009. február 17. Előadás vázlata Rövd bevezetés a gép tanulásba Bevezetés az SVM tanuló módszerbe Alapötlet Nem szeparálható eset Kernel
Részletesebben3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
RészletesebbenAz elektromos kölcsönhatás
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy
RészletesebbenNKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.
NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa
RészletesebbenA végeselem programrendszer általános felépítése (ismétlés)
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kdolgozta: Szüle Veronka eg. ts.) IX. előadás A végeselem rogramrendszer általános feléítése (smétlés) A végeselem
RészletesebbenLíneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
RészletesebbenDr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola
Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy
RészletesebbenRegresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
RészletesebbenIdősorok elemzése előadás. Előadó: Dr. Balogh Péter
Idősorok elemzése előadás Előadó: Dr. Balogh Péter Idősorok elemzése A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Az idősorokban
Részletesebben10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai
(C) htt://kgt.bme.hu/ 1 /8.1. ábra. A versenzı vállalat keresleti görbéje. A iaci árnál a vállalati kereslet vízszintes. Magasabb árakon a vállalat semmit nem ad el, a iaci ár alatt edig a teljes keresleti
Részletesebben5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája
TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...
RészletesebbenSZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)
SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A
RészletesebbenFuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika
Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
RészletesebbenMatematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
RészletesebbenA differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.
Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenPhilosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található
Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenY 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.
zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott
RészletesebbenLineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom
Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı
RészletesebbenMŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése
MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:
RészletesebbenAdatsorok jellegadó értékei
Adatsorok jellegadó értéke Varga Ágnes egyetem tanársegéd varga.ag14@gmal.com Terület és térnformatka kvanttatív elemzés módszerek BCE Geo Intézet Terület elemzés forgatókönyve vacsora hasonlat Terület
RészletesebbenA kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.
A kardáncsukló tengelei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredmént, eg körülfordulásra. 3 330 270 2 210 1 150 A kardáncsukló hajtott tengelének szögelfordulása
RészletesebbenSzegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet
Szeged Tudománegetem Gazdaságtudomán Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA I. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egetem docens Statsztka és Demográa Tanszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomán
RészletesebbenBoros Daniella Nappali tagozat Kereskedelem és marketing 2. évfolyam Gödöllő Neptun kód: OIPGB9
Szent István Egetem Gazdaság- és Tásadalomtudomán Ka -------------------------------------------------------------------------------------------- Koelácó- és egesszó analízs ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RészletesebbenKvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
RészletesebbenFILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS
FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS EGY GYAKORLATI ALKALMAZÁSA Bakó Tamás, dr. Dabócz Tamás Budapest Mszak és gazdaságtudomány Egyetem, Méréstechnka és Informácós Rendszerek Tanszék e-mal:
RészletesebbenRegresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
RészletesebbenNéhány érdekes függvényről és alkalmazásukról
Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenJövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre
Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány
Részletesebben8. Programozási tételek felsoroló típusokra
8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy
Részletesebben1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék
1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet
Részletesebben7. Regisztráció. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (
Kató Zoltán: Ipar Képfeldolgozás 7. Regsztrácó Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafka tanszék SZE (http://www.nf.u-szeged.hu/~kato/teachng/ Kató Zoltán: Ipar Képfeldolgozás Kép mozak agyobb
Részletesebben10. Alakzatok és minták detektálása
0. Alakzatok és mnták detektálása Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafka tanszék SZTE http://www.nf.u-szeged.hu/~kato/teachng/ 2 Hough transzformácó Éldetektálás során csak élpontok halmazát
Részletesebben1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK
Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016
RészletesebbenAnalízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
Részletesebben4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme
HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató
Részletesebben3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás
3D - geometra modellezés, alakzatrekonstrukcó, nyomtatás b Háromszöghálók - algortmusok http://cgtbmehu/portal/node/3 https://wwwvkbmehu/kepzes/targyak/viiiav54 Dr Várady Tamás, Dr Salv Péter BME, Vllamosmérnök
RészletesebbenVARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)
VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.
Részletesebben1.1. Halmazelméleti alapfogalmak
. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző
RészletesebbenTöréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás
Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató
Részletesebben