Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Átírás

1 Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató Témavezető: Dr. Görög Péter Adjunktus BME Építőmérnök Kar, Építőanyagok és Mérnökgeológa Tanszék BME 2011

2 _b`] Z ^ç Г ç Г Г ç ç ç Г çг: ç Г Г ç ç Г Г ç ç ç ç žç ç ç ç ç œç ž ç Г ç ) ç Гç Г çг çг ç Ÿç Ÿ ç çг ç ç çг ç Ÿ ç Г Г ç Г Г ç Ÿ ž ç Г ç ç Ÿ Ÿ ç Г ç Ÿ ç Г:çГ ç Ÿ ç ç Г Г ç Г ç ç ç ç Г Г ç ç ç žœç ž ç žžç ž ç ž ç ç ç: ç Г çг: ç Г Г çççг ç Г ç ) çг: ç ç _` _ \ç _ cb^ç ž ç b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ a ^çг b ` _ ] ç Ÿ ç ^ cçbc \` _\ _ çг b ` _ ] ç ç _ ç ç a _ Z\ ç\ _ ç ç _ ^ç _ _ç çz ^b _ aç ž ç ç Г çгг:çг Гç ž ç b[ b _b` ç \ç _ _ç ž ž ç a ç ç _ b ç [ ^ç ž Ÿ ç Zb _ ç [ ^ç ž ç a _ ç] Z ç [ ^ç ž ç _ az ç ž ç ` _ _ ^ç ž ç ž ç ž ç Ÿœç ŸŸç Ÿ ç Ÿ ç Ÿ ç Ÿ ç œç œç œç ç 2. oldal

3 ž ç _] çг b ` _ ç _ ç Ÿ ç ç Г Г çç çгç ) Гç Ÿ ç _ b ^ç Ÿ ž ç _ ZZ a ç ^ b ç ç ^ ç Ÿ Ÿ ç ç _ b ^ç ^ ç a ç` Z^ ^ç Ÿ ç ç Z [ ç` \ ç Ÿ ç ç]b çb_ _ç ç çbc b b^ç Ÿ ç c aç \ ç _ ç Zb_ ç ç ç : ç ç ç GГ ç Г çгг:çг Гç ç Г b ` _ ç ž ç çb _bcz a _ baç _ c _ ç` ç ç ç çг ç ç Z ç _ ]ç ž ç a\ b bcç _ ]b^ç Ÿ ç `_\a \ ç \ç _ _ç[ a _ ç ç bz aç^ ç ç Z _ aça \_ Z ç _ `ç ç ГГ ç çг ç ç Г ) ç Г Гç ç ç Г:Гç ç ç ç ž ç ç Ÿ ç Г: ç Г ç ç ç Г ç çгçг) ç ç çг ç çгç Г ç ç Г:)ç ç ç ç ç ç ç ç žç ç ç ç ç ç ç ç ç ç œç žç žç žç Ÿç ç ç ç ç œç œç ç žç ç ç œç ç ç ç ГçГ çг ç GГ çç :çг JГç ç ž ç ГçГ çг ç GГ ççг çgг: ç ç Г ГГç œç Ÿ ç çг JГ çj Г ç ГГ ç ç 3. oldal

4 ç )ç Г ç ç Г G ) ç ç çгçг Г ç ç Nç Гç ž ç Г çгг ç Ÿ ç Г ) ç ç çг ç çç ç ç ç Гç ç ç ç Г Г ç Г ГГ: :Гç ž ç ГГ ç ç ž ç b [a\^ \ç Z ç^ ` [ a\^ \ç`b ç ž ž ç \ ^ \ _ ç ž Ÿ ç b` \ \ç ç ž ç ç[\ ^ç[ ç Ÿ ç Г)çГ ç Г : :Гç ç ç çг ç ç žç ç ç ç ç ç œ ç œ ç œ ç œ ç œ ç œžç œžç œÿç œ ç œ ç ГГ ç œ ç Г ) ç çг Гç ç ç ç çç Г ç ç ç ç Г ç œ ç œ ç œç Ÿç Ÿç ç ç ç 4. oldal

5 _ _ a ç Tf ¾ F f x f σ jf ¾ f x ¹ ¾ ¾x * u& f h ¾ h¾ * ε& jf h ¾f f h h¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ x f nf½ ¾ h f mf x ¾ h f b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ ç sf f h¾ h ½ ¾ nf f h¾ h h ½ ¾ If¾ ¾ x f f q T = { q1, q1, q2, q2,..., qm} q, q f x¾f ¹ c T = l / σ, l / σ, l / σ,..., l / σ, l / σ } { m m m m lf ¾¾ f σ f ¾ h ¾h f ¹ ¾ h T x y x y y x y f = f, f, f, f,..., f } f, f f¾ ¾ x¾ h ½ ¾ { n j j 5. oldal

6 x yf x x ½ h f h h ^ cçbc \` _\ _ ç ¹ ½f h¾ h h¾ ¾ x h ¾ ¾¹ f d T = T {s1,s1,s2,s,...,sm } d = {s1,n1,s2,n2,...,n m } f h ¾ ½ f h¾ h ¹ T g = l * c, l * c, l * c,..., l * c, l * c } { m m m m lf ¾x ¾x ¾¾ f cf ¾x ¾x x f T x y x y y x y u = u, u, u, u,..., u } u, u f n¾ ½ ff f f h ¾ h¾ { x¾ h ½ ¾ N f x½ x ¾x h p = { p p 2 } 1, n j 1 2 p x¾ p f x½ x f f h h¾ f h f j p x¾ p T D s n s n n f = f, f, f, f,..., f } { D1 D1 D2 D2 Dm T L s n s n n f = f, f, f, f,..., f } { L1 L1 L2 L2 Lm f, f, f, f f x f x¾ h h h f x¾ h s D n D s L n L f ¾ ¾ h f ¹ ¾ ¾ ¾x f ¾ ¹ ¾ h x ¾x f f f x f ¾ f Jf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ f 6. oldal

7 f ¾h x ¹ T x y x y y t = t, t, t, t,..., t } { n t, t f x¾ h f ¾n¾ ½ ¹ x y T q = S, N, S, N,.., N } f x¾-f x f x¾ h h ¾¹ ¹ { m f x½ ¾ ¾ h¾f x x ¹ f h¾ f f f h¾h f x f D f f f h¾ ¾ h f ¹ T u = 0, u,0, u,..., u } x¾ f x f f f h¾ { 1 2 m x ¾ ¹ ¾¾ f ¾ x f n¾ ½ h¾ f f ¾ x¾ f f f h f f¾ f f f ¾ f¾ h h x ¾ 7. oldal

8 ^ ç f nx ff x¾ x½ ½ f h h¾ x x ¾¾ f h¾f ¾ f f½ ½ f x¾ x¾,f f ¾ ¾x h h½x h ¾ ¾ x f f ¾ ¾ x ¾ f f f f ¾h h x¾ x½ ½ f h h¾ ¾n f ½ f x¾ x ¾ ¾ x½ x f f f x¾ f h¾h f x ¹ x½ x x¾ x½x x¾ f h f ¹ ¾ h h¾h f ¾ x f f½ f f x½ x f h h¾ ¾ h f f ½ f¾ n f f ¾ ¾ ¾ f ¾ ¾x x ¾ h f f f ¾ h¾ ¾¹ f ¾ h f f f f¾ h h¾ ¾ ½ h ¾x ¾ ¹ ¾ ¾x x ½ f f x ¹ x¾ f ½x¾ x f f f f f h¾f ¾ ¾ x¾ ¾ ¹ ½ h f f x¾ f f½ ¾ x ¾ ¾ x¾ f¾ f f ¾ ¾ f f ¾¾ f f f h f h ¾ h f f ¾ h h¾ f f¾ h¾ ¾, x¾ x h¾ f h h f h ¾ x¾ x ¾ f¾ h f ¾ x ¹ f f f¾ f h¾ f h f ¾ ¾x f h f h¾ f x ¹ f f f f f f h ¾ x¾ x f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ x x f f ¹¾x f ¾f x¾f f ¾ x¾ x ¾ f x¾x f ¾ f x ¾ ¾ ¹ ¾ h h¾ f f x x¾ f f f f f h ¾ ½ f h¾ ¾ x ¹ f f ¾ h ¹ 9 x¾ f f f x h ¾ ½ f h¾ f f h¾ ¹¾x ¾ ¾ ¾ h¾f f f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f ½ f¾ n ¾¾ f ½ f f ¾ ¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ x ¾ ¾ f¾ h f f f f f f ¾h h x¾ f x ¾h h h¾ x h f¾ f h f f h f x¾ ½ f f ¾ n¾ ¾¾h x¾ ¾ x½ 8. oldal

9 f f x¾ x½ ½ f h h¾ x x¾ f f ¹¾x ¹ x ¹ f f f ff ¾ n¾ ¾ x¾ f h f x¾ ½ f h ¾h h ¾ ½x h ¾ f x h f h ¾f f h h¾ f f¾ ¾¾ x ¾ x¾ f f f n¾ x¾ f f x ¾x¾ x¾ h h f Ix ¾¾ f f h f h¾ ¹¾x x¾ 9. oldal

10 ç,x f f¾x f f f x x¾ f f f f h h¾ f f x½ x x¾x x ¹ h¾¾ h h¾h f h¾f ¾ x¾ ¾¹ h h f f h h¾h f ¾ h ¾ ¾ x ¾ ¾ x ¾ f x f f f f ¾ f f h ¹ h f f ¾x ¾ h¾ f ¹ ¾ f x f f x¾ f f n x¾ f f f x½ x f h h f½ ¾ h f h 9 f¾ n f ¾ ¾ 9 x ¹ x ¹ f f f ¾ x ¾ f f f f ¾ ¹ h x½ ¾ f ¾x ¾ x¾ x½ ¹ ¾ h¾ f ¾ x¾ x h f¾ f f x¾ x ¾ x ¹ f h f h ¾ ¾ ¹ ¾ ¾ ¾ ¾x x x ¹ x½ x f f x¾½ x h f f f f f h f f ¾ h f f ¹¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½½f x¾ h f¾ f x ¾ n¾ ¾ f f f f x ¾ f f x¾ x½ x¾ x½ ½ f h h¾ ¾n f ½ f f f f h¾ f f f¾ f f ¾ ¹ hn¾ ¾ f x f h h¾h x ¹ ¾ f 9 n f f ¾ h ¾x ¾ hn¾ f h f¾ f f ¾ f f f f h x¾ h ¾ f x ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f x½ x x x¾ f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f f¾ ¾h h f h x h f f ½ J 9 f J f h f f hn¾ ¾ f f h f f f f h¾h f x ¾ ¾ f f½ ¾f f ¹ f f f f ¾f ¾ f f f n f x ¾h f x h ¾ f f f f ¾ ¹¾ ½ x f f f f f f f x¾ x½ ¾ h ¾ f h¾ ¾x ¾ h¾ ¾ f h ¾½ f h¾, f ¾ ¾x x f x f f f f f 10. oldal

11 x f f f x¾ f ¾ h h¾ n f f f f¾ ¹ x¾ f ¾ h h¾ f½fn h¾ f x x x¾f h ¾½ f h¾ f f h¾h f n h ¾ ¹ f¾x ¹ f h ¾½ f h¾ f f ½ ¹ f h h f f f f ¹ x h f f f½ f ¾ ¾ x ¾ h x½ x ¹ f h¾f ¾ x x f hn¾ ¾ f ½ f h h¾h f ¾ f f n f f ½ x h f ¾ h, h f ¾ n f f f f h¾f f ¾ ¹ x¾, f f ¾h f f½ h f f½ h¾ h¾ ½ x¾ f h¾h f ¾ h f f ¾ x ¾, ¾ h ¾h h ¾x x h, x f f ¾ h f f x¾ f f x¾ ¾ f, x¾ h f f h x ¾h h f ¾ h h¾f ¾ ¾x ¾ x f h f fh f ¹¾ h h¾h ¾, f ¹nx f f f f½ ¾ ½ h h¾f f ¾ ¾¾ f h¾f f x¾ x½ ½ f h h¾ f h¾h x¾ x f¾ h f h h x ¹ x¾ ¾ f f ¾¹ x¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ x f f½ f h f h x¾ f f x½ x f h h¾ ¾ h f h f f x¾ x½ ½ f h h¾ f f n f f f f½ f ¾ f x½ x f h h¾f ¾ x¾ ¾¹ h h ¾ h ¾ f h ¾ ½ f h¾¾f f½n¾ f ¾ f ¾ h f f ¾ ¾x ¾ f n ¾ ½ ¹ ¾ h h¾ h h¾ x x¾x h¾ ¹ x¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ h¾h f x x f f f f f f f f 9 h f h¾ x½x¾ ¹nx f f f ¾ ¹ ¾x f f f ¾ 9 h f f f ¹ x¾ f h f x¾ ½ f f h x¾ f ¾ ½ f h¾ n f x x¾ ¾ h f 11. oldal

12 x¾ ¾ x¾ f f f f f ½ f f h h¾h f h f x¾ f f f h¾h f h x½ f f ¹¾x f f h h¾h f ¾ h¾ x x x x¾ f f h f h¾ ¹¾x ¹ 12. oldal

13 ž c_ ^ a ç[ [ ç \ Z _ ç _ \ çг\`\ ça _\ ç x¾ ½ f ¾ h¾ x¾ f n f f ¹ x¾ x x ¹ ¹ f f f n f f ¾ h h¾ f x ¾ ¹ x¾ ¾ h¾ f f h x ¾h ½ x h h¾h f x¾ f f f¾ ¾ h f f f h x ¾h ¾ h f nx f ¾ f f h¾ f f f h h f½ ¹ x ¹ f h h¾f f f¾ ¾ h f nx ff f f h¾h f x ¹f f h h¾ x¾ ¾ ¾x f h h¾f f f¾ h f ¾h f h h f½ f f x¾ f f f f ¹ h¾ f ½ ¾ h f h h x½ ¹ ¾ h h¾ h h¾ f h x ¾h ½ x h ff h¾ ¾ h h¾nx ff x½ x f f x¾ f h h¾f ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f ¾ x f ¾ f x ¾ x½ x f f f¾ h f ¾ x f f f¾ f f h h¾ f f f f f n¾ x f h h f h¾f ¹ f f f f x½ x f h h¾ ¾ h f f f ¾ f f ¹ x f h h¾h f ¾ f x ¾ ¾ x¾ f ¹¾ f ¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾¾ h h¾ h h¾ f f f ¾ f f ¾ h h f x¾f f ¾ ¾x x ¹ x x¾ f ¾ f x½ x h¾ ¾ h f 9 f¾ n f ¾ ¾ 9 ¹ f f h h ½ x h f f ¾ ¾¾ ¾x x ¹ x½ ¾f ¾ f¾ h x f ¾ x½ f½ f ¹ f ¾ f ¾¹ D½½ D h h ¾ h f n f f h¾¾ h ¾ ¾ x¾ x n f f f x¾ f h f ¾ 9 x h ff ¾¹x¾f f ¾ h ¾ h h¾f ¾ ¹ ¾ f f f x¾ f f f¾ f f x ¾ h h¾h h ½ ¾ h¾f ¾ ¾x ¾ f f f x¾ ½f h¾ ¹ f ¾ h h f ¾ h h¾f f f f f x½¹ ¾ ¾x ¾ h¾ f f½ h x ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ f h h ¾x 13. oldal

14 f h¾ x f f ¾ ¾x ¾ h¾ ¹ x ¹ ¾ h f x f f ¹f f f x½ x ¹ ¹ ¾ h h¾f f¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ h f¾ f f f f ¾ f ½ f f f ¾ h f ¹ f ¹ ¾¹ h h f ¾ h h¾ff ¹ x½½ x ¹ f ¾¹ ¹ h f h ¾ h¾ ¾ x ¾¹ f ¹f ¾¹ ¹ h f f h ¾ h¾ x ¾¹ h f * * T u da+ F u& dv = A & σ & ε dv V V j * j f Tf ¾ F f x f σ jf ¾ f x ¹ ¾ ¾x u& f h ¾ h¾ ε& f h ¾f f h h¾ f * h ¾¾ ¹ ¹ f ¾¾ x ¾ f f½ h ¾ h f f h ¾ h¾ ¾ f ¹ f f ¹ f x½ x ¹ ¹ f h h¾h f ¾x ¾ h ¾ h¾ ¾ f h f¾ f f ¾ f f ¹f f f x½ x ¹ x ¾ ¾¹ h h f h f D h ¾ h¾ f x¾ x ¾ ¾ h h ¾ ¾¹ f ¾¹ h x h x¾ h¾ f ¾ h n¾ ½h f x¾ h f ¹ h f h h f h f f f h¾ ¾ ¹ ¾ f ¾h f ¾ f f h f h f f f ¾f h ¾ h¾ f h f f ¾ ¾x xx f h f f f ¾ n¾ ½h h¾ x x¾ h x f h h¾f ¹ f f ff ¹ f ¾ x¾ ¾¹ D h f x f h x½ x ¹ f ¾ ff x h¾ x f ¹ f f h¾f x x f f f f n f f ¾ h h¾ h h¾ f x¾ x f¾ f f ¾f, x¾ x f x¾ ¾ h¾ x¾ x ¾ f¾ h f f ½x h f 14. oldal * j

15 @ ¾nf x¾ x f f, x f ¾½ n h ¾ ¾ f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ x ¾ ¾ h f h ¾ x¾ x ¾ f¾ h f f ¾ h h¾ ¹ h ¾ x¾ x f f¾ f¾ h f h f h ¾ x¾ x ¾ f h f f f f x½ x x¾ f h¾ f ¾h ff x¾ x ¾ h f ¾ x n¾ ¹¾x f ¾ ¾x x¾f h¾ f f f¾ ¾ h f f¾ x x¾ x x ¾ x¾ f f h¾ ¾f x¾ h ¾ ¾x h f½ f f½ h ¾ x x¾f f¾¾ n f h¾ f¾¾ n f ¾ f h¾ n¾f f h h h¾ ¾ x h f f x½ x ½ f¾ n h f x½ x h f x½ x x¾ h h h¾ f½n¾ f f ¾¾ x¾ f n= s * tg( φ) f s, nf f h¾ x¾ h h ½ ¾ f ¾ f f ¾ x f x x¾ ¹ ¾ f f ¾ n¾x¾ f f ¾ x¾x f f ¾ n h f 15. oldal

16 h f ¾ h f ¾ h f f¾ ¾ x x f x½ x n¾f h ½ ¾ f f h¾ f h f h¾ f x¾ x½ x x¾¾ ¾ x h f h¾ f x¾ x½ x x¾¾ ¾ x f¾¾ n f h¾ x x¾ x f f ¾ h f f x¾ f f ¾¹¾ h¾ ¾ x x f x f f ¾ x ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾ ¾ x f f ¾ x¾x f f¾¾ n f h¾ f¾¾ n f f ¾ f x¾ h h h¾ h¾,f f ¾ f¾ n¾x¾ f f ¾ h f f f x½ x f¾ h f h f f h x ¾h ¾h n¾ x¾ f f h x ¾h ¾h f½ f h h¾¾f f x ¾ h ¾h f¾¾ n f h¾ x x¾x ¾ n¾x¾ f f ¾ ¹½ ¾¾h f ¹ f 16. oldal

17 2¾¾ f f f ¹ f ¾ x¾ ¾¹ h h f f h h¾h ¹ ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ x¾ f f f ¾x ¾ h¾ ¾ x f ¹ f ¾ h ¾ h f f ¹ f h¾ f ¹ ½ x f x f x ¾ ¾ h¾ ¾ b ¾ x ¾¾x h f¾ f ¾h x ¾ x ¾ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ ¾ h x ¾ f f f h¾h f ¾ h h¾f f, x¾ x f f f h¾h f ¾ x ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ x¾f f f f ¾x ¾ h¾ ¾ f h f f f f f h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾ ¾x ¾ ¹ h¾ h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾ ¾x ¾ ¹ h¾ ¾ ¾ ¹ ¾ h h¾f ¾ x ¹ f¾ h x f ¹ P 1 m h b 1 c ( + ) 2 c b 2 b m h f bf ¾ x ¾¾x hf x f¾ f ¾h f mf M n¾ ½ ¾ h f f b h f¾ f f ¹ h ¾ x¾ m( m 1) m( m+ 1) c h f x P c f ¹ f½ x f h f f f f f 17. oldal

18 h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ f f h¾ f f f h¾ f f f f f ¾¹ h f D x x f f ¾ h x ¾ f ¾ x¾ ¾ f f f h¾ x½ x h¾ ¾ h f f 9 f f f f ¾ ¾x¾ ¾ ¾ ¾x x h f h ¾ f f ¾ f f f 9 f f f¾f f h ¹ ¾ h h¾ h h¾ h¾h f f f h f h¾ f ¹ ¾ f f f h h¾ f ¾ x ¾¹x x ¾x¾ f x f x¾ f ¾ f f ¾h ¾ f f x x ¾ h x½ f ¾h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f f f f f f f h ¾½ f h¾¾ ¾x x 18. oldal

19 3. A Lneárs Programozás matematka alapja 3.1. Glogáls optmalzálás A Lneárs Programozás (LP) a globáls optmalzálás egy specáls esete. A glogáls optmalzálás, mnt matematka módszer számtalan helyen előkerül a mérnök számításokban, mvel nagyon általános problémát fogalmaz meg. mn ƒ(x)=? (4) x X R d ahol X egyadottkereséstér és ƒ : X Radottcélfüggvény. Egyszerűtranszformácóval maxmumot s kereshetünk, ha az ƒ függvény 1-szeresét vesszük célfüggvénynek. Az általános globáls optmalzálás feladatnak a megoldása sem analtkusan, sem numerkusan nem smert, a megoldó módszerek az adott probléma ƒ célfüggvényének és X keresés terének sajátosságat használják k. Egy általános optmalzálás feladatnál kérdés a keresett mnmum, az az x X vektor, ahol a mnmum felvétetk, valamnt az, hogy van-e lletve hány lyen x vektor van. Az optmalzálás feladatok egy lehetséges osztályozása: X R d,ƒ : X R (nncs megkötés) globáls optmalzálás (5) X egy konvex alakzat konvex optmalzálás (6) X egy konvex alakzat,ƒ(x)=c x konvex programozás (7) X egy poléder,ƒ(x)=x A x+c x kvadratkus programozás (8) X egy poléder,ƒ(x)=c x lneárs programozás (9) X Z d {egy poléder},ƒ(x)=c x egész értékű programozás (10) Például a Lagrange multplkátor alapfeladata(5)-nek része. (7)-ben egy konvex alakzat adott rányban(c) extremás pontját keressük, míg(9) esetén azt s megkötjük, hogy az alakzatot egyenes oldalak (hpersíkok) határolják. (10) esetén s egy poléder belseje a keresés tér, de csak az egész koordnátájú pontokra hagyatkozunk. Természetesen ezeken belül s vannak még kutatott feladatosztályok, valamnt ezeknél általánosabbak s. A fentebb felsorolt progblémák közül(8) bzonyos esetere,(7)-re valamnt (9)-ra smerünk gyors (és általános) numerkus algortmust, (10) például NP nehéz feladat. Ezen problémák mndegykére vannak elméletek, de az (9)-ban van lehetőségünk a legnagyobb méretű feladatok megoldására.

20 3.2. Lneárs Programozás A (9) feladat felírásához meg kell értenünk a polédereket Állítás. Egy X R d alakzat poléder akkor és csak akkor, ha letezk egy A R m d mátrx és egy b R m vektor, hogy X= x R d Ax b Vagys az Ax R m vektorkoordnátánkéntnem nagyobb b vektornál. Geometralag ez azt jelent, hogy előáll félterek metszeteként. Íly módon az LP feladat megfogalmazható a következő alakban: Legyen adott A R m d, b R m és c R d. Keressük x R d vektort, hogy Ax b és mnden más x R d vektorra, amre Ax b teljesül az, hogy c x c x. mnc x (11) Ax b (12) x=( 1, 2,... d ) -t döntés vagy LP változóknak nevezzük, c=(c 1,c 2,...c d ) -t célfüggvénynek, vagy célfüggvény-vektornak. Az lyen alakú LP feladatot kanonkus alakúnak hívjuk. Más típusú feltételeket s be lehet építen az egyenletekbe és a fent (kanonkus) alakra hozn. mnc x mnc x m xc x Ax b Ax=b Ax b x 0 A (11)-(12) probléma megoldása lletve megoldhatóságának karakterzácója régóta smert [Gale, 1951], ezek osztályozása: ˆ Ideáls esetben (6(a) ábra), egyetlen x vektor létezk, amre teljesül a kívánt feltétel és a célfüggvény mnmáls. ˆ Lehet, hogy több optmáls vektor s van (6(b) árba), ekkor optmáls megoldások halmazáról beszélhetünk. Ez a jelenség akkor lép fel, ha a poléder optmáls lapja párhuzamos a célfüggvény szntvonalával. ˆ Elképzelhető, hogy a magadott feltételek nem elég korlátozóak, így található olyan megoldás, amn a célfüggvény értéke tetszőlegesen nagy lesz. Ekkor azt mondjuk, hogy (az adott halmazon) nemkorlátos a célfüggvény (6(c) ábra).

21 A feladat túlhatározott, az X halmaz üres, vagys nncs olyan x R d, hogy Ax b teljesüljön. Ekkor nncs fízbls megoldás. 2.0 y 2.0 y 2.0 y y 2 x max y 2 x max y 2 x max x x x (a) (b) (c) 6. ábra 3.3. Dualtás 3.1. Tétel (Erős dualtás tétel (Gale, 1951)). Tekntsük a mnc x (13) Ax b x 0 LP feladatot. Ha a feladatnak van optmáls megoldása, akkor a m xb x (14) A y c y 0 feladatnak s van optmáls megoldása és a célfüggvények optmáls értéke egyenlőek. A (13)-t prmál, a (14)-t duál feladatnak hívjuk. Vagys egy (13) alakú feladatot úgy s megoldhatunk, hogy képezzük a párját és azt oldjuk meg. Ez azért lehet célszerű, mert(14)-nek esetleg kevesebb változója van, vagy valam matt jobban tudjuk kezeln, megérten. A két feladat matematkalag egymással ekvvalens, lényegében két különböző egyenlet ugyanarra a problémára.

22 Természetesen a tételnek több féle általánosítása létezk(lagrange dualtás), és mélyebb kapcsolat s fennáll a prmál feladat és annak duál párja között. M a következőt használjuk ebből: mnden LP feladatnak képezhető un. duál párja és ha az eredetnek van megoldása, akkor a duálnak s van, sőt a célfüggvények értéke megegyezk. Ha a duál feladatnak (mnt kndulás feladat) képezzük megnt a duál párját, akkor vsszakapjuk az eredet egyenleteket. Továbbá az s gaz, hogy ha a prmál-duál feladatpár közül az egyknek nemkorlátos a célfüggvénye, akkor a másknak nncs fízbls megoldása (és vszont). De az s lehetséges, hogy egyknek sncs fízbls megoldása Megjegyzés. A duáls képzés matematka művelet, mnden faladatra elvégezhető, annak fzka tartalmától, a modellezendő problémától függetlenül. Egy általános, nem kanonkus alakú, LP feladat duálsának a felírását most nem taglaljuk, csak a számunkra érdekes eset duálsának felírását közöljük. (P) mnc x Ax=b (D) m xb y dualtás A y c x 0 x R d y R m (P) feladatban A R m d és tpkusan m<d, hogy az Ax=b alulhatározott legyen Megoldó algortmusok Az LP feladatok szerkezetükben a lehető legegyszerűbbek, de ennek ellenére nagyon sok probléma írható fel lyen (lneárs) alakban a menetrend-optmalzálástól a termékraktározásg. A számítás nehézséget a keresés tér mérete adja. Valós problémákban az A mátrx mérete d,m > 10 5 nagyságrendű. A feladatok megoldhatóságát sokszor nem s a számítás kapactás (CPU), hanem az együtthatómátrx tárolása korlátozza (RAM/HD kapactás). Egy LP feladat megoldására két főbb módszert smertetünk, az egyk az un. szmplex módszer, a másk az un. belsőpontos módszer. A szmplex módszer kfejlesztésében többek között George Dantzg játszott fontos szerepet a 20. század közepén. A módszer alapvetően Gauss elmnácós lépéseket használ a feladatból képzett szmplex táblán. A pvotálás lépések elvégzésére több szabály lletve heursztka s létezk. Addg kell

23 A b c T 0 7. ábra. Szmplex tábla sorműveleteket végeznünk amíg egy leállás feltételt el nem érünk, ekkor a jobb alsó sarokelemhelyénmegjelenkacélfüggvényoptmálsértéke,ac vektorhelyénpedg az x változó, amn ez az optmum felvétetk. Ilyen és ehhez hasonó elveken alapuló algortmusok képesek pontos, analtkus eredményt adn, vszont lassúak. Ponotsságukat az adja, hogy a Gauss elmnácó szmbolkusan s elvégezhető, vszont a szükséges elmnácók száma esetenként nagyon nagy lehet. Lehet olyan példát konstruáln, amben a futásdő a mátrx méretének exponencáls függvénye. A belső pontos módszer elve egészen más. Itt egy kezdet pontot kell találn a poléder belsejében, majd nnen ndulva teratív lépésekkel közelít meg az optmum pontot. x n+1 kszámolásához a feladat A mátrxából és az előző x n értékből az algortmus összeállít egy lneárs egyenletrendszert, majd azt megoldja (mátrxnverz számolás). Ezt a módszert először a 80-as években Karmarkar tette használhatóvá, amben a számítástechnka fejlődésének s fontos szerepe volt. Ekkortól már bzonyíthatóan és praktkusan s lehetett polnom dőben nagyméretű (több változós) LP feladatokat megoldan [Karmarkar, 1984]. A belső pontos módszereknél megfgyelhető jelenség a numerkus nstabltás. Az algortmus mnden elem lépésében egy (nagyméretű) lneárs egyenletrendszer megoldása történk, amnek a pontosságát az adott együtthatómátrx kondícószáma negatívan befolyásolhatja. A kforrottabb szoftverek ezt a jelenséget ugynevezett pre-solver segítségével kezelk. Egy nulladk fázsként átskálázza a program a döntés változókat úgy, hogy a kapott feladat jobban kondíconált legyen és persze vssza tudja következ-

24 tetn belőle az eredetnek a megoldását. y 2.0 y 2 x max x n 0.5 x 1 x 2 x x 8. ábra A belső pontos algortmusok egy hátránya, hogy mndg csak adott tűrésen belül dolgoznak, a tökéletes optmumot sosem érk el és az Ax=bfeltételt s csak közelítőleg teljesítk. Természetesen a tűrést csökkentésével elméletleg pontos eredményt s tudnak szolgáltatn, de a gyakorlatban meg kell elégednünk valamenny numerkus hbával. Ma a belső pontos algortmusok a kzárólagos eszköze a nagyméretű LP feladatok megoldásának[illes, 2002]. A belső pontos algortmusok egy másk jellegzetessége, hogy a dualtás tételt khasználva egyszerre írja fel és oldja meg a prmál és a duál feladatot Az oszlopgenerálás (column generaton) Azzal, hogy[karmarkar, 1984] lehetővé tette a tízezres nagyságrendű feladatok megoldását, sem a rácsos tartók alakjának megtalálása, sem a talajok törésképe nem váltak egy PC számára számolhatóvá. Tovább gyorsítás lehetőség az oszlopgenerálás [Bertsmas, 1997]. Tekntsük a m xb y A y c (D) y R m

25 duál feladatot. Csökkentsük a változók számát és egy ksebb feladatot oldjunk meg. Oldjuk meg m xb ŷ-t a redukált  ŷ ĉ feltétellel, ahol  R m d, ĉ R d és d <d. y y A T c A T c A 0 T c 0 (a) (b) 9. ábra Vegyük észre, hogy y,ŷ R m, a döntés változók száma nem változott, csak egy másk feladatot írtunk fel rájuk. Ezután le tudjuk ellenőrzn, hogy a kapott ŷ mennyben közelít az eredet 9(a) problémát. h:=c A ŷ R d Ha jól oldottuk meg a 9(b) feladatot, akkor h-nak az első d koordnátája nem-negatív, vszont a több koordnátájára nncs megkötésünk. Az oszlopgenerálás fő ötlete az, hogy vegyük hozzá 9(b) feladathoz azokat a sorokat, ahol h-nak a koordnátá a legksebbek. Ezzel bővítjük vssza a feladatot, hogy közelítsük a 9(a) megoldását. Egy gyors algortmusnál persze a cél az, hogy a redukált feladat kbővített változata s (sokkal) ksebb legyen, mnt az eredet feladat. A kérdés az, hogy mely sorokat vegyük bele a kbővített feladatba a h smeretében. Erre több technka és heursztka létezk. Az egyk legegyszerűbb, ha nagyság szernt rendezzük h koordnátát és a legelső (legksebb) μ d darab értéknek megfelelő sorral bővítjük a

26 feladatot (μ<1). Az oszlop generálás sematkus algortmusa: 1. Vegyük a 9(a) feladatot d sorral (A,c). 2. Vágjuk k (nem feltétlenül az első) d darab sorát (Â,ĉ). 3. Oldjuk meg a m xŷ b ŷ Â ŷ ĉ feladatot. 4. Képezzük h=c A ŷ vektort. 5. Válasszukkh-nakalegksebbμ d darabelemét,ésazezekndexenekmegfelelő sorokatvegyükhozzáâ -hoz. Ígyleszd +μ d elemeĉ-nakéssoraâ -nak. Ezután folytatjuk: ˆ Ha mn =1...d h > ε, akkor leállunk. ˆ Ha mn =1...d h ε, akkor 3. lépés. Ez a módszer a prmál megfogalmazásban azt jelent, hogy megtaláljuk a szgnfkáns változókat és nem kell a feleslegeseket cpeln. A prmál feladat változó (oszlopa) megfelelnek a duál feladat feltételenek (soranak). Ennek a technkának a megvalósításáról olvashatunk Glbert és Tyas 2003-as ckkében konkrét futás eredményekkel és tapasztalatokkal. Ezzel a technkával lényegében 10 8 nagyságrendűproblémákváltakszámolhatóváésezeredményezte(többekközött) a DLO elterjedését.

27 ^ cçbc \` _\ _ ç b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ ç ç ç _ ]b^ç ^ c_ ^ a ç [ a ^ç a _ Z\ ] ç _` _ \ç _ cb^ç x x½ x x¾ f f h¾ x¾f ½ h ¾, n x hn¾ ¾ f, n hn¾ ½ h f f¾ ¾h f f I, n x hn¾ ¾ f x ¾ h ¾ f f f ¾ ¾ f h f x¾f h¾¾ ¾ ¾ x f ¾ f¾h f x ¹ 9 ½ x h f f¾ f ¹ ¾ x n¾ ¾ f½ f f h f ¾½ x f ¾ h h¾h f ¾ h ¾x ¾ f¾ ¾h f f x¾ x ¾¹ ff h¾ ¾¾ x¾f ¾ h ¾h ¾ f f ¾ ¾x ¾ ¾ ¾ f ¹x¾f ¾¾ ¾ f h f f ¾ h ¾h f x½ h f ¾f f f½ h h f f x ½ x f f¾ 9 h x¾ ¾ f f f f f ¾ ¾ x h ¾¾ f f ¾ x f h ¾½ f h¾ f f x ¹ x¾ x½ ½ f h h¾ h f ½ f x¾ x f x f h ¾ ¾ f ½ n ¾ h f f ¾ h h¾ f ¾x ¾ x¾ x½ ¾ h f ¹¾ x x ¹ f f ¾ x½ ¾ f ½ f f h ¾ x½ f h f ¹ ¾ h f f f½ h ½ x¾x x¾ h ¹ f h¾ x¾ xx x f ¾ h h¾ ¾ x f f f½ h f x x¾ x h ff x ½x h h ¾ ¹ h h f h x f½ n¾ ¾ f½ f f h ¾ ¹h h¾f ¾ n¾ ½h f h h h¾ ¾ ¾x ¾ f x h f ¾ f h ½ h x f½ f h f 27. oldal

28 h f h x¾ x¾ x½ x½ ½ f h h¾ x f f f x¾ x½ f ½ f h h¾ x f f f x¾ x½ f ž b ç ^ç ^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \ç bc \` _\ _ a ^ç Г b ` _ ] ç I ¾ h f f n¾ h ½ f x¾m¾ h ¾x ¾ hn¾ f h f h f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ h f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f ¾ h h¾fx¾f x f h h¾h f ¾ h h¾fx¾f x hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f f¾¾ ¾ ¾ x x f f f 9 ff ¹ 28. oldal

29 T mnv = c q x Bq= q 0 f T f Vf¾ ¾ x f f q q, q, q, q,..., q } q, = { m q f x¾f ¹ f f f T = 1,..., m c = l / σ, l / σ, l / σ,..., l / σ, l / σ } { m m m m l, σ f ¾¾ fx¾¾ h ¾h f B ¹ n m ¾ h T x y x y y f = f, f, f, f,..., f } { n f, f x j y j f j n¾ ½ f f f¾ ¾ x x¾ y h ½ ¾ f j = 1,..., n h f f f f f f¾ ¾ x ¾h hn f f f ½ f f ¾x ¾ hn¾ f ¾¾ h f f h f f¾ ¾ f f f f h ¾ x f h f f x¾ f f Ix f f h ¾ f ¾ f f h ¾ f f h f x¾ x¾ ¾ ¹ h h¾ ff f x x x x ¹n¾ ½ f x x x x ¹n¾ ½ f f h f ¾ h f ¾ f x¾f ¾ h f x¾f ¾ h x¾ x x f ¾ ¾ ¾ fx¾ ¾ ¾ f h f f x¾ f h h ¾¾ h f h f x¾ 29. oldal

30 α = β = x y 1 1 x l l y f 1 x 1 y f x ¾¹ x ½ h f h h x2 y2 f x h¾ x ½ h f h h f f½ h f f ¹ h f f + α + β α β α β q + α q + β + f f = f f x 1 y 1 x 2 y 2 h f¾ ¹ fn¾ ½ f ¹x x f x¾ f ¹ ¾ B h ¾¾ f f f h¾f f f ½ f x f f ¾ f f ¹ f f ½ f f ¹ ¹ x f ¾ f f h f¾ ¹ h f f Bq= f h¾f h q ½ f¾ f f f f h x¾ f f h h¾ x mnv T = c q ¾ f f f f ¾x ¾ ½ h f h ¾ x f h¾ f f f f h ¾½ f h¾ ¾ ¾ ¾x x f f f ¹ ¾ f f 9 h f½ h¾ h f h f Ÿ ^ cçbc \` _\ _ çг b ` _ ] ç I h ¾ f ¾ x¾ ¾ h x ¾ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n¾ h ½ f x¾m ¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½½f h f 30. oldal

31 h f x¾ x½ h f x¾ x½ ½ f h h¾¾ h f f f ¾ h h¾x¾f f½ x ½ f h h¾¾ h f f f ¾ h h¾x¾f f½ x f¾¾ ¾ ¾ h f f f 9 f f ¹ T mn E = g d x Bd = u d 0 f E f d h¾ ¾ x h ¾ ¾¹ f d T = {s1,s1,s2,s,...,s m } s, + s f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x½¹ h ¾ f T h¾ h¾ f = 1,..., m g = { l1 * c1, l1 * c1, l2 * c2,..., lm * cm, lm * cm} l, cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾¾ fx¾f x B ¹ 2n m ½f h¾ T x y x y y h u = u, u, u, u,..., u } { n u, u x j y j f j n¾ ½ f f f f h ¾ h¾xx¾y h ½ ¾ f j = 1,..., n h f f h f f f f x¾ x½ f f f f h h f f x¾ x f ½ f f f¾ f x h f x¾ 31. oldal

32 f h f ½f h¾ f x¾f ½f h¾ h h f ½f h¾ f x¾f ½f h¾ h ¾ h f h h x ¹ f½n¾ f ¹ f n¾ ½ f ¹x x f x¾f ¹¾ f B h ¾¾ f½ f h¾ f f h¾h h ¾x ¾n¾ ¾ f½ x½¹ f h¾ h¾ ¾ f f 9 h ¾¹ x¾ ¾¹ h ¾ h ¹¾x x ¹ f f f f ¾¹ ¹ h h f h f f ¾¹ ¹ h h f x x f ¹ f λ ¾h x ¹ ¾ h f f½ x f h f h f 32. oldal

33 x¾ ½h f ¾ ¹ h¾ f ¾ x ¹ x ¾ f¾ ¾h f h h f ¾ h f f h f x¾ x½ ½ f h h¾x¾f x½ x ½ f ½ f h h¾f f h h f x¾ x½ ½ f h h¾x¾f x½ x ½ f ½ f h h¾f f h f hn¾ ¾ f x¾ 9 h ¹ q f h¾ d f h ¾ h B ½f h¾ h ¾¹ ¹ f n¾ ½ h¾ u x x x f f h h¾f V f f h h¾f E f x¾,f f f h ¾ f ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f hn¾ f ¾ h¾ h x¾ x f f h¾ ¾ ¹ h¾ f ¹ h f hn¾ f x h¾ ¾ ¹n¾ ¾ f½ ¾x ¾ h¾ f ¹ h¾ ¾ ¹ n¾ ¾ f½ f hn¾ f h ¾h h f ff f x ¾ f ¾ x¾½ x n¾ ½ f ¾ f ¾ f ½f h¾ f f f f n¾ ¾ f½ f x½¹ ¹ f f h¾ h¾ x¾ ¾ f f ¾ x¾½ f n¾ ½ f ¹ f ¾x¾ f½ f x _ ç ç a _ Z\ ç\ _ ç ¾ ½x h f h ¾ x f n ¾ ½ ¹ x ¾ h h¾ h h¾ f¾ ¾h h I f f h h f f ½ x ¹ hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h f f x¾ f h ¾¹ x¾ x x ¹ f h f f f f x¾ ½ ¾¾ ¹ ¾ f f¾ x ¹ f ¾ h ¾h f ¹ f h f f fnx x x ¾ x x ¾ ½ f ¾ ¾ f¾ x f f f h¾ f h f f f 33. oldal

34 h f f f x¾f ¾ h h¾f h f f f x¾f ¾ h h¾f h f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h¾f h f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h¾f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f f f f x½ x f h h¾ f f f h f ¾ x h f f ¾ f x ¹ f¾ f f x x ¾¾ ¾h f f½x¾f f f x f f n¾f f ¾ f f¾ ff x x f ¾ h ¾h ¾ h f x ¹ h¾ ¾ h f h x ¾h ¾h ff h f 34. oldal

35 h f x¾ x½ ½ f h h¾ f f h f x¾ x½ ½ f h h¾ f f x¾f ¾ h h¾f x¾f ¾ h h¾f h f h f x¾ x½ ½ f h h¾ x¾ x½ ½ f h h¾ f f h¾f f f h¾f h f ½ h f f h x x x f ¾ f x h¾ h n¾f f f ¾ f h x ¹ ¹ f 9 f f x ¾ f ¾ x x x ¾x x ¹ ¾ f _ ^ç _ _ç çz ^b _ aç ¾¾x x½½ f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h x ¹½ f ¾ x¾ f x x½ ¹ ¾ x¾ f f x x x 35. oldal

36 h f x½ ¹ ¾ ½ h ½ f h f x½ ¹ ¾ ½ h ½ f f h ¹ f f ¾¾ h ¾ f¾ h ¾ h h¾ f x¾ f ¾ h¾ - f h¾ f f h f f ¾ h f f ¾ 36. oldal

37 ¾f h f ¾ f ¹ f f f f ½ h h¾ f h h ¾¹½h f x f h f f¾ h h¾f x f½ f f¾ ¾ f f f fn¾ ¾ f h ¾ f f ž \a ` \^ \ç Z a_ ^ aç _ c _ çг b ` _ ç f ¾ x ½ x h h¾h f ¾¾ 9 ½ x h ¾f x f ¹, f f x ¹ ¾ x¾ - f¾¾ n f h¾ x f¾ ¾x¾ ¾ x ½ ¾ f f ½ ¾ f ½ ¾ ½ x x, x¾ f f¾ x¾ f f f ¾ h f ¾h f x f ½ f f x x x x¾x ¾¾ f f f h¾f¾ ¾x ¾ ž b[ b _b` ç \ç _ _ç, f f x ¹ ¾ x¾¾ ¾x ¾¾x ¾ f f h¾ h¾ f h h f h¾ ¾ h f h ¾ x x f f f h h f f B d = u + α + β α β β + α s + β n α u u = u u x A y A x B y B α x¾β f n¾ ¾ f½xx¾y h ¾ x ¾ ¾ f 37. oldal

38 h f ½f h¾ h f ½f ¹¾x f sx¾n ¾¾ x¾ f h¾h f ¾ ¹¾x f f¾¾ n f h¾ ¾ n = s * tg( φ) ¾ ¾x ¾f f¾¾ n f h¾ ¾ h f f f ¹ ¾¾ x¾ f f¾ ¾ f sx¾ n ¾x x f f f n½ x¾f, x¾ x ¾ p s N p d = = 0 2 ( ) ( ) tg φ tg φ p n f N f x½ x ¾x h p = { p p 2 } f f h h¾ f h f p x¾ p , 1 p x¾ 2 p f x½ x ž ž a ç ç _ b ç [ ^ç h¾h f nx f ¾¹ ¹ h f f d h¾ ¾ x f f h h¾f f x ½ n f f f ff f x f f¾ ¾ h f x f ¾ h ½ x f f f f f 38. oldal

39 ½f n h ¾ ¾h x ¹ ¾ x¾ f h x ¾h ¾h ¾ h h¾h h f ¹ ¹ f f f f f f ¾h h f x¾½ f f h f ¾ ½x h f f½f f ¾ f Ih f f f f f ¾h h f x¾ ½ f f h f ¾¾ ½x h f ¾h f f½ ¾ x¾ ¾ h h¾ f½ ¾h x ¹ h¾ f x¾ ¹ x ¹ f ¾h h f x¾f h f f h f ¾h h f h f ¾f h f h f f f ¾h fx¾f h ¾ ¾f x¾ ¾ h h¾¾ ½ h h f x¾ h ¾¾ x ¾ ¹ f f h¾ f ¾¾h ¾ ½ h x ¹ ¾ ¾ h¾¾f ¾¾ ¾ h h¾ h¾ f½n¾ x¾ f f½ h ¾ ¾x ¾ f ¾¹ x¾ ¾¹ h ¾ h ¾ h ½ n f f f ff f f f 9 f T T T λf d = f d g p L D + T D s n s n n s n s n n f f = f, f, f, f,..., f } x¾ f = f, f, f, f,..., f } x¾ s D n D s L { D1 D1 D2 D2 n L Dm T L { L1 L1 L2 L2 f, f, f, f f x f x¾ h h h f x¾ h f = 1,..., m Ih ¾ x f u= 0 x¾¾ x f f h ¾ f f x x f h ¾ h h h¾ f x f x ¹ f T L d = 1 ¾ f f f f f ¾ x x¾ f¾ ¾ x ¹ f x¾ ¾ f f x¾ f h f f f h¾ ¾ h f ¾f ¾ ¾ h ½ x ¾ ¾ h f f h f ½ ¾h f f½f f f f x¾ f¾ h f f f Lm 39. oldal

40 h f f x¾ h f f f f f h n¾ f h x ¾h f f½n¾ f f ¾ h¾h f¾ f f ž Ÿ Zb _ ç [ ^ç ¾ x ½ ¾ f¾ f x¾ f f¾ x¾, ¾ x f x f ¾ h h h¾ ¾ f f ff A B Cx¾D½ f ¾¾ ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f x¾f ½ ¾ f n AB = n BC = n CD x x¾¾ x f f¾ x¾ ¾ x f h h h¾ f f f f ¾ f f x¾, ¹ ½x h ¾h f f½ f f¾ ¹f h¾ ž a _ ç] Z ç [ ^ç, f f f h h¾ f h¾ f f f x f ¾ ¾x x f ¾ f h h¾h h f ¾¾ x¾f f f f f f ¾ ¾ h f ¹ ¾ ¾ ¾x f ¾ ¹ ¾ h x ¾x x¾ f f f x f ¾ f, ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¹ x½½ f fn¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ h f sx¾ n h ½ ¾ f f f f s d = Wβ Wα n T [ ] f D f Wf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ f ¾¾ x¾ f h f ¹ f ¾ f f ¾ h ¹f x x T f L f f f ¾ ž _ az ç f¾ ¾ x ¹ f x¾ ¹ ¾ h f ¾ ¾ ¾ x¾ ¹ x x f ¾ f f ¹ ¾ ¾x¾ 40. oldal

41 ¹ ¾ ¾ h¾ ¾ h f f ¾ J h f ¾ f ¾¾ ¾f f h f x¾ f x x¾ ¾ x ¹ ž ` _ _ ^ç ½ x f h¾h f½ x x x ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¾h f ¾ f f f f x f x x ¾ f f 9 h f ¾ ½ ¹ ¹ f x¾ f h f ½ f f f½x f ¾h x h f h¾ f f ½ x x x x x ¾ f f ¾ ½ ¹ g f f x ¾ ½ f s x¾ n x x f h f f ¾ f x x¾f ¾¹¾ h¾ ¾ x x x ¾ ¾ ½ ¹n x x x x ¾ f ž _] çг b ` _ ç _ ç ¾¾ f f h ¾ f ¾ x¾, x¾ x ¹ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n¾ h ½ f x¾ m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½½f ¾ ½ h f f 9 f f ¹ T T T mnλf d = f d g p L D + x Bd = 0 Np d = 0 f T d = 1 p 0 L f f x¾ f f f¾ ¾x¾ ¾ f f f d f x T f f h¾ d = { s1, n1, s2, n2,..., nm} s, n f x f f 41. oldal

42 h ¾ h¾ x¾ h h ½ ¾ f = 1,..., m T g = { l1 * c1, l1 * c1, l2 * c2,..., lm * cm, lm * cm} l, cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾¾ fx¾ f x B ¹2n 2 m ½f h¾ h N ¹ 2m m x½ x ¾x h p f p x¾ p f x½ x f f h h¾ f h f f f f f p x¾p f f f f p d x¾λf 9 h Ÿ ^ cçbc \` _\ _ çc aç \ ç _ ç Z Z _ç 9 f f h¾h f ¹ ¾ f ½ f h h¾ x¾ f f f f f h¾ f 9 f f h¾h f x ¾ f f h f x f f f x ¹ x½ f f¾¾ f 9 f x½ x¾x ¹ ¾ f f x¾ ½ n f n ¾ ¾x h f h f f ¾ f h fnx x f ¹¾x f f f h x x f h¾ h x¾fnx x x x h h f ¾ ¾x x x½ f½ f x¾ x½ ½ f h h¾ x¾x ¹ ¾ f ¾ ¾x f f h¾h f ¾ f f¾ h f f x n¾f ¾ f½ x h f f f ½ f x¾f f ¾¾ ¹ ¾¾ x x¾f ¾ x x ¾x f ¾¹¾ h¾ ¾ x f ¾ x¾f f ¾ ½ f ¾¹½ ¾ f f f f ¾¹x f ¾x ¹ h¾ ¾¹ x½x¾ f½ x¾x ¾ h ¹h h¾f h f f f f h f h¾ h ¹x n¾ f f h f½ x f h¾h 42. oldal

43 @h h f 9 h f 9 x¾x ¾ f x ¾ f Pontok sorszám x y Élek Él sorszám kezdıpont végpont él tulajdonságok sorszám x y sorszám x y hossz sznusz kosznusz szabad perem-e ,00-1,00 0,00 nem ,00 0,00-1,00 nem ,41-0,71-0,71 nem ,24-0,89-0,45 nem ,00-1,00 0,00 nem ,41 0,71-0,71 nem ,00 0,00-1,00 nem ,41-0,71-0,71 nem ,24 0,89-0,45 nem ,41 0,71-0,71 nem ,00 0,00-1,00 nem ,00-1,00 0,00 gen ,00-1,00 0,00 gen f f 9 f f f f½ ¹ x¾ ¹ h f h Ih x x f f f 43. oldal

44 ½ h x x x x Ih x x x x ¹ x¾ ¾ 9 f f h f f f f f ¹ f ¾¾ f ¾ ½ f f f f½ h f ¹ ¾ f h ff f h ¾ f ¾ f ¾ ½ f x ¹¾ ¾ h f f Ÿ _ b ^ç f f ¹ f h f f x f ¾ ½ ½ f f h f ¾ ¾ h ¾ h f f h f f f x x f f f ½ f f ¾h ¾ f f ¾ ½ f ½ x x f f f f ¾ ½ h¾ f½ x f h ¾ f f h f Ÿ ž _ ZZ a ç ^ b ç ç ^ ç x f 9 f f h¾h f f f h x¾fnx x h f ¾ f ff f fnx x x x h ¾ nx x f nx x h f f ¾ x x¾ ¹ h ¾ ½ f f f ff ¾ h x¾ h x f f ¾ ½ ½ f f f ff x ¾¾ h f x¾ x h f ¾ f h f f nx x x x f ff h x ¾h ¾h f f x x ¾ Ÿ Ÿ ç _ b ^ç ^ ç a ç` Z^ ^ç f f f ¾x¾ x x x¾ h f ½ ½ ¾ f ¾ h f x¾ f ½ n f n h f f Ÿ ç Z [ ç` \ ç f h x x¾ ¹ h f ¾ f f f ff f T d = 1 x¾ ¾ ¾ ½h f f f h n h ½ x ¾x x f f f f L 44. oldal

45 ¾ x¾ ¾ ½f h ½ h f f ¾ ½ x ¾ f Bd = 0 x¾ ¾ f f f ff Np d = 0 x¾ h f f - h f ¾ ½ f f h f f½x x ¾ f h¾¾ h ½ f ¾ ½ f x ¹ ¹h f f h f x x f h f x x f f ¾ f ¾ ¾ ¾ n¾ ½f x ¾ f f f n ff h h ¾ h¾ f x ¹ x¾ h h¾f f f f ¹ f f ¾ ¾ x f x ¾ f x¾ ¹¾x x¾ ¾ ff f f x¾ h h ¾ f x¾ ¹ f f h Ÿ ç]b çb_ _ç ç çbc b b^ç, x¾ ¾ f f ¾ h x f f h x¾f h x x x ¾ f h f ½ h ¾ ½ f h f f f f f f ¾ ½ ¹ ¹¾x ¾ f ¾ ½ x¾ f f f ¹ f ¾ f ¾ f ¹¾x f¾ f h ¹ ¾f 9 f f f h x¾ x¾x ¹ x ¾ f ¹ f f f f x¾ f x¾ f f f f f f ¾ f ¾ f ¾¹ f f f T d = 1 x¾ ¹ f x x x ¾ f x¾ h f f f f Ÿ c aç \ ç _ ç Zb_ ç, ½f f n¾ f f f f f f f f L fnx x h f x¾f h x x x ¾ f h ¾ h n f f f fnx x x x fnx x f h f h f f f f n h 45. oldal

46 f f f f ½ h f f h x¾f h x x x ¾ f f h x ¾ f f f f ff ½ ½ f f ¹ f h f ½ n f n, h f ½ n f n, h¾ f f f f½ fnx x x x x f f x¾f h x x x h f h ¾ f f f f x h h f x½ f½ f f h f h h 46. oldal

47 Élek Pontok Sorszám Él sorszám tulajdonság s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 együttható mátrx ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 1 2-1,00 0,00 0,00 1,00-0,71 0,71-0,89 0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 3 0,00-1,00-1,00 0,00-0,71-0,71-0,45-0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 4 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,71 0,71 0,00 1,00-0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 5 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00-0,71 0,71-1,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89 0,45 0,71 0,71 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,45 0,89-0,71 0,71-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 8 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00-0,89-0,45 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 9 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45-0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89-0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 Operátorok Jobboldal célfüggvény vektor Változók Célfüggvény értéke 0,00 1,00 0,00 0,00 0,35 0,35 0,45 0,89 0,00 1,00-0,35 0,35 0,00 0,00 0,35 0,35-0,45 0,89-0,35 0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,00 1,00 1,41 1,41 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,41 1,41 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,14-2,70 0,24 2,21 0,19 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,19 1,00-1,43-1,70 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,00 0,00 2,70 2,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,55 0,05 0,00 0,00 0,78 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,19 0,00 0,00 2,70 3,13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 célfüggvény értéke: 8,37

48 @ x¾ x½ ½ f h n f x f ¾ h¾ f f f h¾ ç` ç[ ^ba Z ç ½ ¾¾h f ¾ h h¾ x x x ¹ f f f h ½ f ¾ ¹ ½ ¾ x f ¹ x f f f½ ¾¾ ¾ ¾x ¾ hn h ¹ h f h¾ ¹x ¹ ¾ f ¾ ¹ x ¾ ¾x ¾ ½ ¾¾h x¾ f ¾ h h¾ f½n¾ f h f x f, f ½ x f x f ¾f ¾ f ½ ¾ h h f x¾x 9x f x h f ¾ f f ¾ h¾ ½ h f x n ¾ f¾ ½ f f ½ f ¹ x f ¾½x f ¾ ¾ x h f h f f x ½ x h f ¾ f x f f f ¾ f¾ h ¾ x ¾ h x½ f ¾ ½ h h¾ f f x½ x ¹ ¾ h h¾h h f f½ n n ¾n hn¾ ¾ f ¾ x f f ¾ ¾x x f f ¾ ¾ f¾ h h¾ ¹x¾ f f x n¾ x¾x hn ¾ h h¾ f ¾ ¾ h ¹¾ h ¾x ¾x h f f f f f f x hf h¾h f f ¾x¾ ¹ f x h x¾ ¾ f¾ f f¾ f¾ n x ¾ x f h¾h ¾ ¾x ¾ ¹h f f h ¾h f f ¾ f f½ 9 h f f h f Z a _ \ç Z a_ ^ aç _ c _ çг b ` _ ç Г b ` _ ç f h¾ f f½ h f ¾ h ¾f ¹h f ¾ x f h ¾ f ¾ x¾, x¾ x ¹ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n ¾ h ½ f x¾ m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½½f ¾ h ¾ ¾ 9 ff ¹ maxλ x f

49 T B t+λf L q= f D N T q g, T x y x y y x f t = t, t, t, t,..., t } t, t { n y f x¾ h f ¾n¾ ½ ¹ f = 1,..., n u f f ½f ¾h f h ¾ ¹ qf x f T x¾ h h q = S, N, S, N,.., N } f Sx¾N f x f x¾ h h ¾¹ ¹ x¾ = 1,..., m { m ¾ fλ S x¾n nx λ f f h h¾f f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x ¾ f, x¾ x ¾x x¾ 9 f x¾ ¾ f n¾ ¾ f½ f B t +λf L q = f D T x t A y s s + α + β α β t A f S L f D + λ = n n x β + α + β α tb f L N f D y tb ¾¾ x¾ n f f h¾ f f½ h ¾ h f h f x h f x f ¹ h f x f ¹, x¾ x x¾ ¾ f n¾ ¾ f½ f T N q g, 49. oldal

50 1 tg( φ) S cl, 1 ( ) tg φ N cl h ¾ h¾h f x f f ¾¹½ ¾ ¾ f h ¹ f½ h x¾f h f f ½h f ¾f h ff ½ h f ¾ x¾ t t Sx¾N x x ¾ x½ x f f h h¾ f h f ¾ ¾x ¾ f f f n¾ ¾ f f h h f, x¾ x ¾ x¾x h f f f h f f f f½ h ¹h f ½ h f f ¹ h ¹f f¾ h¾ f f½ h ¾ ¾x ¾f ¾ f f ¾¹ ff x½ x f f h h¾ f h x¾f x ¾ f f ž çb _bcz a _ baç _ c _ ç` ç, h f h f ¹ ½ ¾ x x x¾x f x h ¾ ½ f h¾ f f f f f x f ¾ ¾¾ ¹ x, f f h ¾½ f h¾ f f m all n( n 1) = ¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f f f f h¾ h ¹ 2 ¾ h h¾h f ¾ n¾ ¹ ¹¾ f f ¾ x ¾ h x½ f f ¾h h f x x f x x f ¾h m m f n¾ f 9 h ¾ h h f f f x ¾ ¹ ¹¾ n¾ x¾x ¾ h f ¹ f f x¾x f ¾ ½ h h¾ h h¾ x h ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f f f f 9 f f f f x hn ¾ h h¾¾f f f f¾ f f¾ fn¾ ¾ f½ ¾¾ h f f h f n¾ f x f f ¾x ¾ n¾ ¾ f½ ¾ h h f f ¾¾ f 2 f f h ¾x h ¾h f x ¹ ½ ¾ x ¹ m= 4n ¾x ¾n¾ ¾ f½ f½ f f ¹ ¹ x½ ¾ ¹¾n¾ x¾,f m~ = m m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ h f¾ f f f f all h ¾½ f h¾ f f f x¾ f f f, 50. oldal

51 ½ f ¾ t t x x x x ¾ h f S ~ x¾ N ~ f ~ S + α ~ = N β + β + α α + β t β t α t t x A y A x B y B f + λ f s L n L + f f s D n D x¾ S ~ x¾ N ~ f f f ff ¾f x½ ¾ ½ ¹Sx¾N ¾ 9 h mx ¾ h f Sx¾N m ~ x ¾ h f S ~ x¾ N ~ f ¾¾ ¾ ¾x ¾x ¹ ¹f, x¾ x f f x f x x¾ f 9 ½ x h f x¾ S ~ x¾ N ~ ¾x f, x¾ x ¾ f f¾ ¾x f f x x¾ x hf f 9 ½ x h f hf x ¾ h h x ¾ h f¾ f f f h¾ 9 ½ x h f ¾ ½ ¹ x ¾ h h f ¾ f ¾ ¾ h f x¾ ¾ h¾ h h¾ ¾ f f f ¾ ¾ ¾ ¾ f f f½ h¾ ¹¾ h hn x f f f ¾ f h ¾ f x¾ ¹¾ n¾ f h¾ ¹x¾f¾ ¾x ¾ f x½x¾ ¾ x f hn ¾ h h¾ f½ f ¾ ¾x x f ¾x ½ h f f ¾ f f ¹ f h h f ¾ x½x¾ f ¹ I I I ¾½ x f ¾ h h¾fn½ f ½ ¾¾ x¾ ¾¾ h f½ x h ½ h x 9 ½ x f h¾ff f h ¾ x ½ x h f 9 ½ x f h¾f x¾ f f½ h f ¾¾ ¾m f x ¹ f, x¾ x f f ¾ f x f ¾x f x f f h f h x x¾ x hf f 9 ½ x h f f x½x¾ ¹ f f f h x½ 51. oldal

52 I f h x f ¾ x ½ x f h¾h f ¹ ¾ ½ h h¾ f¾ h f h f hn¾ ¾ f ¾ x ¾ ¾x ¾ hn¾ f f f f 9 f f f f h¾ ¹ f ¾ ¾x ¾ f ¹¾ n¾ ¹ ¾ ½ h h¾ f¾ h f h f ¾x ¾ x ¾ x f h¾ ¹ f f ¾ ½ x f h¾h ¾ ¾x ¾ ¹ f f x f ¾½ x h ¾ f h f f h¾ ¹ f f x x f ¾h f¾ a[b`bz aç a\ b bcç _ ]b^ç x f f f h f h x ¾ x f f f f f ¾ ¾x x f ¾ h f h f x f f ¾ ½ x x¾h f h f f f h f f h ¾ ¾ f ½ f f ¾ ¾ h f f Z ç _ ]ç h h¾f f f x f h f ¾ ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾ x nx¾ φ x x x f f f f x f f f ¹ f ¾ f x ¾ ¹ ¾ cx x f x x x h f ¾¾ ¾ ¾ h f f ¾ f ¾h x x x ¾¹ n¾ x¾x f f x fφx x x x ¾ h f¾ f n¾ f f h f x ¹ x x ¾ ¾x xx f ¾ x ¾¹ ¾ h¾ ¾ f f értékőt fφx x x f¾ h h¾ ¾¹ n¾ x¾ h f ¾ h ¾ ¾ h h¾h h f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x f f ¾ h ¾¾ ž a\ b bcç _ ]b^ç ½ f f f ¹ ¾ x f ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f f ¹ x fn¾ ¾ f½ h h ¹x x h f f f f ½ f ¾h f ¾ ¹,x ¾x ¹ ¹ 52. oldal

53 h¾x¾fn¾ ¾ f½ h h ¹f ½ f x x f h f f f h f x h f x f ½ f ½ f f f f Ÿ `_\a \ ç \ç _ _ç[ a _ ç f f¾ h, x¾ x h h¾ x¾ x ¾ f¾ h f f f x f h ¹x¾f ¾ h ¾h f½n¾ f h h x¾ x x ¾ x¾ ¾ x f f f f x¾ x f x¾ x½ ½ f h h¾ f - h ¾ x¾ x ¾ x f h ¾ ½ f h¾ f¾ h f f x¾ x ¾ h¾ ¾ nx f ¹ f h ¾ ½ f h¾ f f h¾f¾ f f f f x¾¾ h ¾½ x h 9x f x ff f ¾ x¾ x x¾x f h f 9 ¾¾f f h ¾ x¾ f h x x x¾ ¾h f ¾ f ¹ ¾ - ¾ h ¾h f f h ¾h f f ¹x x f ¾ f f f ¾ ¾x h ¹ ¾ f f ¾ x ¾ ¹ x ¾x f ¹ x f ¾¹ n¾ x¾ ¾x ¹ x x¾f 53. oldal

54 54. oldal h ¾ x f f ¾¾ ¾ x x¾ f f f ¹ ½ ¾ f ¹ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ f x¾ x ¾ ¹ h f h ¾ x¾ x f ¹ x½½ ¾, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c b b a a c c b b a a l c l c l c l c l c l c N S tg tg tg tg tg tg φ φ φ φ φ φ f k φ f ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ k c f ¾ f x ½ h f ¾ h f h¾ ¾ f h f ¾ f f ¹ x½½ f f,9f,9f

55 N p d 1 = a tg( φ ) 1 a tg( φ ) 1 b tg( φ ) 1 b tg( φ ) 1 c tg( φ ) 1 p 2 p 1 1 p c 2 tg( φ ) p 1 p 2 p a b c s = 0 n a b c h f ½½ h h ¾ h f ¹ ¾ h¾ ¾ h f h f f h¾ x½ x h bz aç^ ç f x x¾ f h¾h f f ¹ ¾ h ¾ ¾x h f½ f x½ x f ¾h f f f f f ¾h h ¾ x ¹¾x f ¹ x½ x ¹ x ¾ h h¾h f f x¾ x½ ½ f h h¾ f¾ h f h f f x½ x ¹ ¾ h h¾ h ¾h h f f ¾ h ¾h ¾ h f h x¾ f ½ x¾ ¾ ¾ h f h f f x¾ x½ x¾ h¾ ¾ f h f f x½ x ¹ ¾ h h¾h f f ¹ x½ x x¾ ¹ ¾ h ¾h x x x f h h¾f h h ¾ f h ¾ x¾ x f f½ h x 9 f f ff f ¾ Z _ aça \_ Z ç _ `ç x f f f ¹ f f f f ½ ¾ ¾x ¾ ¾ h ¾h f f f f f f f f ¾ h ¾h h f ¾ f¾ h f f x ¾ h ¾h x x¾ f h ¹ x ¹ f ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¾x ¾ h f 55. oldal

56 h x ¾ h x ¾ _ b _a\ç^ c ç _ ` ^ç h f n¾f h¾ h¾ f f f ¾ h f f¾ h ½ x h f h¾ h¾ f ¾ ¾ h¾ h¾ ¾¾ ¾¾x x f f f f f n f ¾ x f f ¹¾ h¾ x h f ¾ h f x¾ f f h f x¾ f f 56. oldal

57 ¾ ¾ ½x h ½ ¾f ¾h f f½ f h f f ¾ x f h¾ f f f f h f ¹ h¾ ¾¾ x f h¾h ¹ x ¹¾ h h¾ h h¾ f f ¾ ¾x x½ ¾ x x ¾ ¾x ¾ f x ¹ h¾ x¾ ¾ f f f x x x ¹ h¾ x¾f ¾¹ ¹ h f f h¾ x h ¾ h h¾f h¾ ¾ x f h f h f h f h¾x¾ h¾ f½n¾ f f f,f f h¾x¾ h¾ f½n¾ f f f,f f f x¾ ¾ f ¾ h f x f f ¾ f ff ¾x¾ x x x x¾ f ff¾ h h¾ ¾¹ n¾ x¾ x f h n¾ ¾ f½ f ¾¾½ h f f 30 h f f ¾¾½ h f f f,f f ¾ h ¾ h¾h f f h¾h ff f ¾¾½ h ¾ f f h¾ h h¾ x x h h h¾ f ¾ n = u lω ω f f ¾ x ¾¾x f¾ h¾x¾ 57. oldal

58 1 u= 0,5 π tanφ 1+ e ¾ h x x ¹ ¾ h h h¾ n = a tanφ + u lω x¾ ¾ h h¾ f x f ¾h f f ¾f,½ h f h¾f f, x¾ x ¹ f f ¾ x f h¾ ¾ h f ¾¹ f 2 u l ω c W = tanφ f ¾ h¾ ¾ h f ¾¹ h ¾¹ ¹ f f f f hn h¾ x h h f f f f x f f¾ ¾ h¾ h¾h f n¾ x¾ f f f h h h ¾f h¾ f f ¹ ¹f ¾¾ x¾ x½ ¾ ¾ h f h f f f ½x h _ ] ç \Z _ ` _ ç f¾ h f f ¹¾x f f f f f h¾h f x x ¾ f f h¾h f f x x ¹ f h¾ x f E AB = U ABn AB f E x x ¹ f h¾ x f U f f f h¾ ¾ h f ¹f x n x x x ¹ h h h¾ x¾ f f f h¾h f x ¾¹ h f T T T T mnλf d = f d + g p u d L D T f u = 0, u,0, u,..., u } x¾uf x f f f h¾ f = 1,..., m { 1 2 m 58. oldal

59 x ¾ ¹ ¾¾ f ¾ x f n¾ ½ h¾ f f ¾ x¾ f f f¾ f f f ¾ f¾ h h ¹ ¾ f f x 59. oldal

60 ç` Z _ _ çc bz `ç ¾ ¹ ¹¾x f h¾fx¾f ¾ x x¾ x x ½ f ¾,@ x¾ f¾ h h¾h f f f ¾ f¾ h ¾ h f x ¹ ¹ ½ f,@ h¾ ff x f h f nx f f f h f f h x¾ f f f f f h¾ f h f h f ¹¾x f h f½ f x¾ f x¾¹ ¹ x¾ ¾¾ ¹ f ½ f f h h¾ x x¾ x x f ¾ h¾ x x¾ h f ½ x h f x¾ f h¾f f f ^\a çç x h¾h ¾¹ x½x¾ f½ x h ¾ h f ¾ h f ¾¾ ½ f x¾f ¾x ¾ x¾ x½ f½ f ¾¾ ¹ x x¾ f f f h f f ¾ h h¾ x x f f f h¾ ½ ¾¾h h f f f x x h¾¾f ½ ¾f x f½ f -f h¾ ¾ h h¾f f f f ¾ h h¾ ½ x h ¾ f f ½ f x¾x x¾ ¾ ¾ ¹ h¾ ¾ x ½ x f x x¾f h¾ x x h ¾ f½n¾ f f h h¾¾f x f ½ ¾¾h x x¾x f h¾ f f f¾ h h¾ ½ x f x x f ¾ h ¾ x x¾ f h f x f f f f f, n¾ f h¾ ¹, ¾ ¾ f h f 9 h f f ¾ h¾ h f f ¾ ¾ ¾ f¾ h ¾¹ x ½ f f ¹¾ ½ f ¾f f f f h h¾ ¾ x n¾ f f h¾ ¹ ¹ ff h¾ ¹ n¾ f f 60. oldal

61 f¾ h h¾f ¾ x ¹ h¾¾f h f ¾ f f ¹ f f ½ f x x¾ f h ¾ ½ f h¾ f f h¾h f¾ h f f f ¾ h f¾ h¾h ¾ h f f¾ ½ x¾f ¾¹½ ¾ ¾ h¾ ¹¾x f¾ h f h¾ ¾f¾h h f x¾½ ¾¾h h f x x¾ f ¾ h h¾ ¾ f f ¾ ½ h h¾ ¾ ¾ f h¾ ¾x¾ f ¾ ½ x f x x f f f f f h¾h f ¾ x ¹ f½ ¾¾h x x¾ ½ f¾ ¾ ¾ f¾ h f h f x f f h f¾ h¾h x¾ f½ fn f h f h ¾½ f h¾ f f f ¾ n¾ f f¾ h f ¾h h ¾ h,h¾ x¾ ½ f ¾ h h¾ ½ x f x ¾ ¹¾ h¾ ff ¹½ f h¾ h f¾ h¾h ž ` a ^ç x¾ x ¾¾½ n h f ¹f f x f f f h h h f f ¾¾ 61. oldal

62 @h h f ¹f h f ¹f ½ x¾ ¾ f f¾ ¾ f 9 x f n x¾ f f f f f f ¹ h h¾ h¾ ½ f f f f f f ¾ f f f ½ x h ¾ h f f f h¾h f f f½ h f f x½½ f h ¾ h f x ½ h ¾h x¾f½ ¾ h h x¾ f f ¾x ¾x ¹ f f f ½ h ¾ h f ¾ h f f x ¾ f h¾¾ ¹ f¾ ¾ x ½ ¾ h f h ¾ f f f h f f h¾ n¾f f x f x f f f x ¾ f f f h h ¾ h f ¾ x x f f f f x h hf ¾ f f¾ ¾ h f h f ½ x f n¾f x ¾ h f x f f x¾f ½ ½ ¾h ¾ f h ¾ f f ¾ f f f f f f f ¾ f h¾ ¾f f n¾f x ¾ h f h f f ¾ f h¾ f f f ¹ f n ¾ ¹ f f ¾h f ¹ f f ¾ h f f ¾ ¾x ¾ x¾ ¾ x f f f h f f f ¹ f f½ h x¾f x f f ½f f x n f h h h¾ f h¾f ¾¾ ¾x ¾ f f ¾ ¾ h h f ½x h ¾ ½ h h¾ h f¾ h f ¾ f f ¾ h f h f x f½ f f ¾ f f h f x¾ ½ f f Ÿ bcb_ Z\ ç b_ a ^ç^ \ç ½ f h h¾h f f f h f h f f ½ h h x¾f h f½n¾ x h f ¾ f ¾ h h¾ x x h¾ ff¾ h h¾ ½ x f x x f f f f f h¾ ¾ x ½ h h h f f f 62. oldal

63 ½ f x h ff¾ h x½ h h f f½ h h f x ¾¾ f ¾x¾ ¹ x ¾ ¹ f f f ¾ x¾ h h f x¾ ¾ f ¹ f f f f x¾ f ¾ x f ¾ x n¾ ½h f f f f x f ¾ f x¾ f f ¾ ¾¾ f x ¾ h f h f h ½ f h ½ f h h¾fx ½ ¾ h f ½ ¾ h f h¾ h h¾ ¹¾x f x¾f f½n¾ f x x ¹ h¾f h¾ ¹ x f ½ ¾ h f h f f h f f f f ¾ h f f f½ h h f x ¾ ¾x x f¾ ¾ h x¾ h fx x¾x f h f f f f f½ h h f½ ¾ ¾ h f f½ ¾ h ff O h h f f¾ x f ¹ h h f h h f½ ¾ ¾ h ff ¹ x½ ¾ h f 63. oldal

64 ¹ ¾ h f x f x x x f ¾ h x ¾ f f f f nx ¾ h ¹¾ f ¾¹½ ¾¾ f ¾¾ ¾ f f h¾ f f f f ½ ¾¾ h f f f ½ f ¹ f ¾¾ ¾ ½ f ¾ h f f x ¹ h h f f 9 ¾ ¾ h h f x ½ f ¹x ¾ ¾ h f n¾ ¹¾ h f ¾ f f ¾¾x ¾ f f ¹ x¾ f f ¾¾ ¾½ ¾ h f x¾ f ½ f ¹x ¾ ¾ h f h f h f 9 x¾x ¾¾ x¾ 9 x¾x ¾¾ x¾ f x ¾ x f f ¹x¾f x ½ h f ¾ ¾ h f f h f h¾ h¾h f x¾x n¾ ½h f x 64. oldal

65 f f ¾ ¾ h x ¹x¾ x ½ h f ¾ ¾ h f x x ¹ h¾ f ¹ f h h hf½ x x ½ h f ½ f f f½ h f f ¾ hn ¾ f ¾ x ¹ -f h h ff f ¾ ¾x x ¹ f x¾ 9x h h f h¾ f f f f f f f ¾ fx f f f f f f x x¾f h¾ ¹ ¹ h h f f ff x ¾ ¹ h h h f, f h h¾ ¾ ¹ h h h f, f h h¾ ¾ ¹ h h f ¾ h¾ h h¾ x¾ x, f x -f - n¾ h¾ ¹ f - n¾ n¾ x x¾x 9 x x x x ½ f ¾ h¾ ½ f ¾ h¾ h ¹ - x¾ x¾ ¾ n¾f h f h¾ f ¾x ¾, h¾ f f x ¾ h f h f f f h¾, f ¾ ½ h h¾ ¾ x ¾½ x h f n¾f ¾ x¾ x f h¾ f f f h ¾ x h x ¾ h f f f ¾x ¾ x ¾ h h f ¾x ¾x ¾ h h f f x¾ ¾ ½ ¾ f ¾ f f f x f hf ¾x x¾ ¹ f f f x½ x¾f ¾x ¾x ¹ f ¾¾ ¾x f f h f x½ h f f ¾¾ ¾x ¾ h f f x½ x¾ f ¾ f ¾¾ ¾x ¾ h h f ¾ x h ¾ f f f h x h f ¾ h f f ¾x ¾ x ¾ h h f x ¾ x f n¾ f ¾x ¾ x f f h f f ¾¾ ¾x ¾ h h f fx x ¾ ½ f f x ¾x ¾ f ¾ 65. oldal

66 x x¾f½ f½n¾ f x ¾ ¾x x ¾ f f ½ x¾ h h f½n¾ f h x ¾x ¾x f f ¾ ¾ h f f f½ h f f f h f ¹x¾ x ½ h h ¹¾ x f ¾x ¾x ¾ h h f f f x ¾ ¾ h h h ¾ h ¾ ½ f¾ h ¾ f x ¾ ¾ h ff ¾¾ ¾x f f h f ½ h f h f ¾ x ¾ ¾x x f ¹ x¾ x ½ ¾ ¾ h f ¾ h f f x x ½ ¾ ¾ h f ¾ x¾f ¾ x f½ f x ¾x ¾x ¾ ¾ h h f f h f f x ¾ ¾x x f h h f x ¾¾ ¾x ¾ ¾ h h h f ¾¾ ¾x ¾ h f f f f x ¾ ¾ h f ¾x ¾ x h f f ¾x¾ ¾ f ¾ x¾f x¾ ¾ ¹ n¾ ½h f ¾¾ ¾x¾ ¾x ¾x ¾ h f f f f h h f f ¾ h f h f f f f f x f f h¾ ¾ h f f f½ x f h ¾ f h f x x ¾ f h x f Г\a \ çc bz `b \ç _ ç _ ç f f f ¾ f f h h h f h f f h x x f ¾ f x f f f f ¾f h ¾½ x h ¾ x ¾ f f h¾h f x ¹¾x f f f ¾ x¾ h f f f f ¾ f h f f ff h f h¾ ¹¾x f ¾ h x x f f f ¹ f x x¾¾ f½ f f x f hn f h h f f f f h¾, f ½ h h¾ h f ¾¹ h¾ f¾ h ¾ ½ h h¾¾f ¾ f 9 h¾ f h ¹ ¾ f x¾f x f½n¾ f h h f f f f h¾h f f f x ¾ f - h ¹ x f¾ f ¾ f f n h h f oldal

67 ½f f x x¾x ¾ x f f h ¾¾h f h x ¾ f¾ h f ¾ ¾ f f f h f f f ½ h f ff f ½ 9 f n¾ ½h f ¹ x x x h f f ¾ f f ¾,h¾ ¾ ¾ f ¾f ½f f x ¹ h f ½,f f f f, x¾,f f f f ¹¾ f f x h ¾ x¾x f h f f x x¾ f h f x ¹¾ f½n¾ f h f n¾ ¾ f f f f x x¾ ¹ x ¾ f f f¾ h h¾h f f¾ h f h f f ¾ f ¾ ç_\a \ çc bz `b \ç _ ç` Zb_ ç h ¾½ f h¾ f f f h f f h ¾ x¾ x ¾ ¾ ¾x x f f¾ ½ f f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ ½ 67. oldal

68 ¾ f h h f x¾ ½ ¾ x f½ f f h¾ f ¾¹½ ¾ ¾ n¾f ¹ f h¾ f¾ h f f ¾ ½ h h¾ ¾ x hn ¾ h h¾ f ¾ h ¾ ½ x h x¾ f x hn f f x f f ½ x h x¾ f h ¾ ¾ ½ h h¾ h ¾ ¾ h ¾ x ¾ f x f f f h ¾ h¾ h h f f ff h¾ ¹ h h¾h f½ x f x ¾ h h f x¾x ¾ h h f¾ f f h¾ ¹ f x ¾ ¾ x f¾ ½ ¾f f f f h¾ ¾ ¾ x¾½ f f f f f ½ f f f ¾ ½ h h¾ h ¾ f f x f ½ h ¾ ¾ h ¾ x ¾ h f h f h¾ ¹ ¾ ½ h h¾¾f x¾f x h¾ ¹ ¾ ½ h h¾¾f x¾f x h ¾½ f h¾ f f h¾h f f 9 x ¹ -x ¹¾ ½,,f f f f ¾ ½ 9 ¾ ¹¾x 68. oldal

69 ¾f¾h f x¾f n f½ ¾¾h f ¹ f x¾ x¾x x f x f ¾ h h f f f½f¾ f f f f ¾¾,f f x½ h ¾½ f h¾ f f h h¾f f h f ¾ h x½ ¾ f¾¾ ¾ ½ f ¾f ¾ f f f x f ¾ h ¾ x ¾ ¾ f ¾¹½ ¾ ¾ n h f h ¾ x ¾ x ¾ ¾¾ x ¾ h f f f f f ¾ ½ h h¾ ¾ ¾ f¾ h f f x f ¾ h f x ½ ¾ h h¾ f f f ¾f ¾ hn f ¾¾ x f x x ½ f f h¾¾f x¾ n n¾ x¾ f f ¾¹ ½ ¾ ¾ f ¾ f h f x f f x h¾ f f f ¾ h f f f, ¾ h ¾ h f¾ h f ¾ h¾ f h¾ nx f x ¹ f½ ¾ f ¾ ¹ ¾ ½ x h ¾ f f ½ f n¾ f f f½ ¾ x h f ¹ ¾ f,f f ¾ ¾ f ¾ ¾ f,f f f ½ x¾ h x x f ¾x n n ¾, ¾ f f ½ x¾ h f f h f½n¾ f h¾, ¾ f ¾ f ¾ ½ ¾¹½ ¾ ¾ ¾ x f¾½ hn¾ f f ¾ f¾ h x½ f½ x h x½ f h¾ ¹ f f x f f f f¾ h x½ ¾ ½ f f¾ h f x ¹ f½ f n¾ f f¾ f f h¾h f x¾ x f f ¾ h f 9 -D f 9 f ½ f f ¾x¾¾ f f h¾ f ¹½ f n¾ f h ¾½ f h¾ f f h¾h f ¾ f 69. oldal

70 h¾ ½ f h¾ ¾ x,f f f n¾f h¾h f f n¾f ¾ 9, O h f x f 9 x ¾ f¾ ½ ¾ ¾ f h¾ f x x½ ¾ f f ¾f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ f f f ¾ ¹ ¾¾x ¾ ¾ f h f h ¹ ½ ¾ f x x f f h n h f h f f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ h f f¾ h f f f x¾¹ f h¾ x f, ¾ h ¾ h f¾ h Z _ b çc bz `ç x¾ ½ f nx f f¾ f f f f h f x¾f h f f ¾ ¾ f¾¾ f f f h¾ f ¾¾h ¾ f x f¾ f f f f ¾ ½ f f f ¾¾ ¾ ¹¾x f ¾ f h f ¹ ¾ h f f f n f x½ f½ f f f½f f x¾ x¾ f f ¾ h f f x ¾, f f ¾ f f ½ x h ¾ f f ¾ ¾f x¾ ¹ f f ¹ ½ x ¹ ¾ h f f ¾ ¾ h f f, f f ¾ ½ f ¾¹½ ¾ ¾ f¾ h f f f h¾h h f ½ x h f f ¾¹½ ¾ ¾ f¾ h f h ½ f, ¾ ½ f n¾ f f f f f f ½f f x ¹ f f ¾ h f, f f f f f ¾ h f f ¾ h f¾ h x½ ¾ 70. oldal

71 , f f f ¾ f f¾ ¾ h f f h x f¾ ¾ f½n¾ f f f f f f f f f f f x f½n¾ f f h 9 f f,f f ¾ x¾ x¾x f ½f f x x¾ f f f f ¾ f¾ h D f½ nf D¾ fn f,f f ¾f h x x¾ h x h¾h f h h¾f f ¾ ½ h h¾ ¾ f f ¹ x¾ x¾, O h ¾ ¾x x f ¾ ¾ f x h¾h f,f f f x ¾ ¾x ¾ h¾ ¹ x ¾ n ¾ f f f f ¾ f x ½ h h¾ x bz `ç ` ç ½ f x¾x f9 f ½x f f h¾h f f f x f ¾f h f ¾ ¾x x f x x ¹ ¹ x h f 71. oldal

72 h f h f ½ f f h¾ ¹ ½ f f h¾ ¹ h¾ ¾ ¾x ¾ ½ f,f f h¾ h h,,f f ½ f¾¾ f x f h f, ¾ f h h¾ f ½ f ½ x¾x ¹ f f h f f h f ½ f h¾h f x f h f ¾ h ¾ f x½ ¹ x½ f h f f f x f f f ¹f f f f ¹f f f h f x¾ Ih f¾¾ f x¾ x x f ¾ x¾ h h¾f f x¾ h h¾f ½h ¾ x f f h f 72. oldal

73 h f h x¾ h h¾f½h ¾ x f x¾ h h¾f½h ¾ x f f ½h ¾ x f f h f f f x¾ x f f¾ h ¾h x h f ¾ h f O x x f x x f f ¾ f f f x¾ x h f, f x f x¾ ¾ x f f¾ ½ h f x n¾f f x¾ ¾ x h f n¾f f x ½ x ¾ f h h¾h f f ¾ f f f x¾ f x ¾ f ¾ f f ¾¹½ f ½ n h ½ f x¾ ¾ f ¾ 73. oldal

74 h f h f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f½h ¾ x f f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f½h ¾ x f f, f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f ½h ¾ x f f h f h f f f½n¾ f ¾ f ¾h f f f x h ff f ¾h h h f f h f h f f f f x f½n¾ f f f, ¾ f f f x f f f, h f¾, h¾f f½ h h¾ ¾ ¾ h f ¹ f ¾ f f f f x f ¾ f x¾ f ¾ f f ½ x ¾f f h ff f½ h h x ½h ¾ x f f h f h f, f½x f, f½x f h f ¾ f ¹f f f h¾ h f f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f h f f h f f h¾¾ h f ¾ ½ h h¾ ¾ x h f¾ h f f f f ¾ f h ¾½ f h¾ f f ¾ ¾ ¾ ½ ¾¹½ ¾ h h f f f f f f f 74. oldal

75 ½f f x ¾ ½x h f h¾ ¾ ¾ ½ h h¾ x h ¾ x¾ h f¾ f¾ ½ f f ¾ f f h¾ f h f h f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f f h¾ f f f, h f½ f x f ¾ h h¾ f f x¾ x½ ¹f ¹f f f h f ¾¹ ¾f f f ¾h x ¹x x ¾x ¾ x f ¹ f f½ f h¾ f f h¾f f f ¾ x¾ f½ x h f f f h¾ h¾ f f ¾ h h¾ f x f ¾ f½ x x ¹ x¾¹ x x¾ ¾ ¾ 75. oldal

76 h f h f h¾ x h¾ x x¾x x h¾h f, x¾ ½ f f ¾ 76. oldal

77 b^ç f ¾ ½ f x h ¹ ¾ h f h¾h f f f f h¾f f f ¾ ¹ f ¾ ½x h f f¾¾ f f f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ ¾x x f f n f f ¹ n f f f f f f f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ ¾x x f f ¾ h f ¾x f f 9 h f _ cç _ \ç _ ] ç a _ ç ç^b[ \ ça _^ _ç h¾ f ¾ ¾ f ¾ x¾ ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ f x ½ ¾x 9 f f f ¾ h¾ h f ¾h f f½ f f f f x¾ ¾ h h¾h f x½ x ¹ x x ¾ h x ¾ f f ¾ x f ¾ f h¾h f x ¾ x ¹ x¾ ¾ x Q ULS = ( 2+ Π ) c B f Q ULS f x½ x ¹ Bf¾h f f½¾ x ¾¾x cf f f x f h f h f f½f f f f x¾9 f ¾ h f h f f½f f f f x¾9 f ¾ kn x ¾ x ¾¾h f f½ ¾ x c= 1 x x f x½ x ¹ m 2 kn kn Q ULS = ( 2+Π) 1 1m = 5, 14 2 m m 77. oldal

78 ¾ h h¾ ¾ h f f f x x¾¾ x f¾h f f½ x ¾ f f f f f h h¾f f f f f f f x ¹¾ h h¾ f ¾ x¾ f h f f f¾ f ¾¹x ¾ f f ½ f ¾¹¾ f f¾ f f h f f ¾h f ¾x x¾ f f f ¹ ¾ h¾ f x f ¾f ¾ h f h f x¾f ¾ f f x ¾ ¾ h¾ f¾ f f f f x h¾ f f f x¾ f f f h f f½f f f f x¾ f¾ h x¾ x½ h f f½f f f f x¾ f¾ h x¾ x½ f f x¾ x½ h f f h f h¾ f ¹ f x¾ x ¾ h f¾¾f 9 f ¾ h¾ x ¹ f ¹ ¾ h¾ f f f h¾ h f f f½ h x ¾h ¾h f ¾¾ ¾ n¾ x¾ f ¾ f x¾x x ¹ x¾ ¾ ¹½ ¾¾h x f h f f ¾ h f x ½ ¾¾h h f x¾f ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾ h h f ¾ h f 78. oldal

79 Élek száma a raszterméret függvényében Élekszáma Élek száma Hatványfüggvény Pontok száma f f ¾x ¾x ¾ h f f x x ¹ f¾ ½ ¾ h h f x x ¾x ¾x ¾ h f f x x ¹ f¾ ½ ¾ h h f x x h f f x ¾ h f f h f f ¾ h¾¾ x¾x 10,000% Analítkus megoldástól való eltérés Eltérés 1,000% 0,100% Pontosság Hatványfüggvény Élek száma f f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f n¾ x¾ x x f ½ ¾ h h f x¾x n¾ x¾ ¾ f½ ¾ h h f f f ¾ f½ ¾¾h f f f½ h f ¾ h ¹ x ¾ ¾x ¾ f ¾¾ ¾ 79. oldal

80 ½ h f f x x ¾ h f f f f½ h x f f f¾½ h f f h f f½f h f f½f f f f f f f x¾ ¾ ¾ h¾ x¾ ¾ ¾ h¾ ½ h f f ½ h f f f¾ ¾ h¾ f h¾ h f h f f f¾ h h¾ f f f x x f f ½ x h f f ¹¾ f ¾ h¾ ¾ ¹ ½ x h f x f h f h¾ f ¹ f¾ ¾ h¾¾f x ž _ cç _ \ç _ ] ç a _ ç ç _ ç _ \ç Zç \Z _ ` _ _ç ½x f x f f ¹¾h f f½ f ¹ ¾ x¾f x ¾ f f ¾h f f½ ¾ x ¾¾x x f x 9f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ f f x f ¾ f - h h¾h f f f ¹ f ¾ f f h f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ ¾ f f x½ x ¾x h x x x f h f h¾ f 80. oldal

81 h f h f f½f f f f x¾ h f h f f½f f f f x¾ ¹ ¹ - - h f h f f½f f f f h f h f f½f f f f x¾ x¾ ¹ ¹ - - h f f½ ¹ x f h h¾h f ¾ ½ ¾ h f ¾ h h¾ ¹ x½x¾ f h¾ x ¹ N q 2 ϕ exp( π tan( ϕ) ) tan 45 + = ( N q 1) N c = tan( ϕ) := := ( ) N γ := 2 N q 1 tan( ϕ) = oldal

82 h f f½ x x f f f x ¹ f ¾h f s γ := 1 s q := 1 s c := 1 x¾ ¹ ¾ f f ¾x x x ¹ ¾ x ¾x q := 1 c := q N q 1 N q 1 = 1 γ ( 1 f) m B := + 1 = 1 ¹ f ¾h f ¾ ( ) R k := B c N c c s c b c + N q s q q q+ 0.5 γ N γ s γ γ B = m kn. ¾ h h¾ f x ¾¹¾ h¾ ¾ x f x h h f ¾ h f h h f x½ x f h h¾ ¾ h f h f 9 ¾ x ¾ h h¾ f f ¾¾ x¾ ¾h f f½ ¹ x f h h¾h f f f h h f 82. oldal

83 f h f f½ h¾f f ¾ f f h f f½ h¾f f ¾ f f f¾ f f¾h f f½ h¾f f f ½ f f x ¾¾ f¾ h¾ f f f f¾ ¾ h h¾ f f f x f f f ¾f f f x¾ x½ ½ f h h¾ f f½ ½ f f,f f 9 n ¾n ½ ¹ ¾¹ ¾ h¾ ¾ x¾ ¾ h h¾ h h¾ f f½ x h h f f h h f 83. oldal

84 @h h h f h f f½ h¾f h f f½ h¾f - - Sorszám φ [ ] LmtState Geo EC PLA Saját Eltérés EC Eltérés PLA ,2 154, ,7 3,8% 1,0% ,1 195, ,4 6,0% 2,9% ,3 255, ,2 4,9% 2,6% ,7 345, ,7 0,5% 1,9% ,1 484, ,0 4,5% 1,4% ,0 1105, ,6 5,7% 0,7% ,0 3320, ,0 Sávalap teherbírása Teherbírás [kn] 3000,0 2000,0 1000,0 0, Lmt State Euro Code Plastc lmt Analyss Saját program φ [ ] f h f f½ h¾f f h f f½ h¾f x h h¾¾f ¾ h x ¾ x x¾ f f f h f x¾ x½ ½ f h h¾ x f x x¾ f f x¾f x½ x f h h¾¾f f½ x ¹ f ¹ ¹½x h f f½f¾ f f f x x¾f ¾ h x¾x n¾ f f h f f f f f¾ h h¾f ¾ h h¾ h h h¾ ½ ¾ h f ¾ 84. oldal

85 100 Hba nagysága Hba [%] Lehetséges csúszólapok száma Eltérés a PLA-tól Hatvány (Eltérés a PLA-tól) Eltérés az EuroCode-tól Hatvány (Eltérés az EuroCode-tól) f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f h x ½ ¾ f ¾ ¾ f ½ f f f f h f ff f h h¾f f f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾x f x¾ x½ ½ f h h¾ n¾ x¾ ¹f f ¾ h h¾ h¾h f ¾ n¾ ¹¾ f f f ¾ h f ¾ f ¹ ¾ h¾ ¾ x f ¹ f f f ¾h f ¹ ¾ f f f n¾f x¾¾ f h f ¾x f x h f h f h¾ ¾ ¾x ¾ ¾ ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ x f f f x¾ x½ f ¾f9 f x f f f h f h f 9 f n f ¾ h f 9 f n f ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ ¹ f n f ¾ h f f 85. oldal

86 h f n f ¾ h f n f ¾ f f f½ x n¾f f x x x f f x¾ x½f f h f ¾ f ¾f f f ¾ x ½ f x ¹¾ f¾ h h¾f f f½ h ¾ Ÿ Z ` ça _^ _\ç ZZ _ Z ç _ _ ç h f¾ h¾ x ¹ ¹ ¾ f f f f¾¾h h f f h h¾h ff f h f x½ f ¹ f f¾ 4 c φ m0 = tg(45 + ) nγ oldal

87 f nf x f ¾¹¾ h¾ ¾ f f f x f ¾ fx¾ f ¾h x ¹ ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ f x n 9f f f x f ¾ f - f f f¾¾h f f ¾h x ¹ h h¾f f f x¾ ¾¹x¾ f f f¾ f f ½ f x¾f ¾ f f f f fn¾f f ¾ f f x¾ ¾ h f½ h x ¾h ¾h f ¾ f f f ¾ h¾ f f x x ¾ f¾ h h¾ ¾ ¾¹ n¾ x¾ f f x¾ x½ ¾ x f h f ¾f f ¾ x n¾ ¾ h f h f h f¾ h¾ h f h f¾ h¾ x x x¾ f f f f x¾¾ h x¾ x½ x¾ f f f f x¾¾ h x¾ x½, f f x x½ ¾ ¾¹ n¾ x¾ x ¹ f h¾ x ¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾¾ h h¾f f x h f h f ¾¾½ h f f f h f x¾ f h x ¾h x x x ¾¹ h f ¾ 87. oldal

88 h f f ¾¾½ h f f x¾ x h f f ¾¾½ h f f x¾ x½ f f f f f x x f f½ f f ¾ h f f x¾ h x ¾h ¾ h h¾ f x f f ½ f f ¾ h f f x h f ¾ h x¾ x½ f h f ¾ h x¾ x½ f f f h f x ½ f f fn¾ f x x f f ¾ x x x f f ¾ ¾¹ h ç _ a b` ç ½f¾¾ h¾ f h h¾h f f f f ¾ h¾ h f 88. oldal

89 h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f f ¾ ¾ ½f¾¾ h¾ ¾ h f ¹ ½ f ¾ ¾ ¾ ¾x h f x ¹ ¾ h f x¾ x½ ½ f h h¾¾f ¾ h f f½f¾¾ h¾ f ¾ x ¾ h f f f ¾ ¾ f f ¾ h h f f f h f f f ¹ f h x¾ h¾ f 89. oldal

90 h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f f f ¾ h h¾ f x ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ h h f h f ½f¾¾ h¾x x h¾x x Sorszám φ [ ] Analtkus Állékonyság LmtState Geo 1 0 2,500 2, ,094 3, ,876 3, ,964 4, ,588 6,589 h f ½x h f x f f h h¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾x ¾ ¹ ¾ h ¹ ¾ f ½f¾¾ h¾ ¾ h f ¹ f h¾x x ¾ f h f h f ¾ ¾ h¾x x h ¾ x x¾ f f f f ¾ h¾ x x¾ f ¾h h f ¾ h f h f h h f f f f½ h¾ f f¾ h x x ¾ ¹ f f f f f ¾ h¾ f 90. oldal

91 Vízszntes feszültségek passzív földnyomás esetén 0 Vízszntes feszültség [kn/m 2 ] ,1 0,2 Terepszntıl mért távolság [m] 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 LmtState Geo eredménye Analtkus megoldás Számított eredmény trendvonala f 9f¾¾ h¾ f ¾h f f 9f¾¾ h¾ f ¾h f ¾ h x ¾ f n¾f ¾ f f f ¾ h¾¾f f x ¾ ¾x h f ¾ ½ ¾¾h f f ¾ ¾ h ¾ ¾ ¾ ¾x f f ¾ x ¹ f x x¾x ¾ h¾f ¾ h x¾f9 f ¾ x¾ x½f f f f ¾ h f f f f x¾ ¾ ¾ h h¾f ¾ f f f ¾ x h f x x¾ ¾¾ 91. oldal

92 _ Z \a ç h f 9f¾¾ f f x¾ h f 9f¾¾ f f x¾ ¾ ¾ x x f h f¾ ¹ ¾x f f h f f x½ f ¾ x h h f h f¾ h¾ f ¾¹ x ½ h f ¾ h f¾ f f x f - ¾¹¾ h¾ ¾ f x f ¾ h ¾x x ¾ f x x x ¾¾ ¾ h h¾ f f ¾ x h f h f f h f f f ¾ h x¾ x½ f ¾ h x¾ x½ 92. oldal

93 h f ¾f h ½ f f ¾ h x¾ x½ h f ¾f h ½ f f ¾ h x¾ x½ ¾ h h¾ f x f h f x¾ ½ f f ¾ h f ¹ ½f f x f ¾f f f x f ½ h f ¾ ¾x x x f f ¾ x ¾ f¾ ¾ x x - f ¾ f ¾h f ¾ - f ¾ ¾x f x¾ f f¾ ¾ ¾x x x x¾x ¹ f f f ¾ f¾ x - f f f ¾ f ¾f h x h h ¹ f x¾ x½ f ¾f 93. oldal

94 çгç _^ _` ç f h x¾ f f x h h f ¾ f f f f f h¾ ½ h ¾ h h¾ f f ½ f f x ¾ f f f ¾ x¾ x h x¾ ¹ ¾x f½f¾ f f f f¾ h f h f nx f ¾ x½ ¹ f h¾f ¹ n f x½ ¹ x f f f n f f ¹¾x f f,h¾½ f f x¾¾ h h¾ h h¾ f x¾f ¾¾ f¾ h¾ f x¾¹ ¾ ¾ ¾¾ x f ¾ h h¾ h h¾ ¾¾ f¾ h¾ ¾ h f f f ¹ f f½¾h h x ¾h ¾ h h¾ h f¾ h ¾ ¾¾ f¾ ff ¹ f x¾¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾ h h¾ f ¾ h¾ ¹ f f h f h ¾ h f f f ¾ f n¾f x ¾ ¾ h f h ff f f¾ x ¾ ¾¾ h h¾ f ¾ ¾ f f h h f f f h h¾ ¾ h f f h h f½ ¾ h f f f x ¾ ¾¾ h h¾ f f h ff ¹ f x ¾ ¾ ¾ ¾ f h f½ n n f ¾ h f f x½x¾ f ¹¾ n¾ f h¾ ¹ ¾ f h¾ f h ¾ ¾x f h h¾ f ¹ ç \ Z _ ç f f ½ h ½ f x f f½f f ¾ h f h ff f f¾ f f f¾ h f h ¾ h f f h¾h f ¾ h f f ¾ h¾h f x¾ ¾x ¾ x f f ¾ x f f f f ¾ ¾ f x h f ¾ h f x ¾ h f x f f f ¾f¾ x¾ f x f x¾ 94. oldal

95 h f x ¾ ¾ h f f h f x ¾ ¾ h f f f f f f x ¾ h¾f ¾ ½ f ½ h h¾f¾ h f f f ¾ ¾ h h¾ ¾ f x¾ f f h f ¾ ¾ h f ff ¾¹ f h x ½ f h f ½ ¾ h f ¾¾ ¾ ¾ h f f f ¾¹x f ½ h f ¾ f f¾ f ¾x ¾x f ¾¹ f h ¾ f h x ½ x ½ h h f x x¾ ½ ¾ ¾ f f ¾x x f f x ¹ ¾h f¾ f x¾ f½ f ¾ 95. oldal

96 h ¾ h h¾h f h ¾f f x¾ ¾ x h ¾ h h¾h f h ¾f f x¾ ¾ x ž _ cb^ç _ b _ ç ½ ¾f ¾h f f½ f f f h¾ ¾h ¾ ¾x x ¾ h f f f f½ x¾ f f f n¾ f h¾h f f f ¹ ¾¾ f f x f f x¾ ½ ff f f ¹¾x ¾ f h¾ x x h f ½ ¾ ¹ - h f ½ ¾ ¹ oldal

97 h f ½ ¾ h¾ h f ½ ¾ ¹ ¹ - h f f x¾ h¾ x ¾ x¾ x½ h¾ f ¹¾ ¾x f f Ÿ _ ] ç f f½ ¾ h¾ f f¾¾h ¾ h f f h¾ f f f f ¹ ¾ ½ ¾ f f¾¾h f f ¾ ¾ h h¾ f¾ f f ¾x ¾x ¾ f x ¾ h, f x f f f h¾x x ¾ ½ h¾ ¾ ¾ f¾ h f f f f h¾ ¾ h f h f 9x f x x x¾ x h¾ f9 f¾ ½ f n¾ f f f h f ¾ f f f ¾ f ¾ x ¾ ¾½ f ¾ h f f h x ¾h ¾ f ¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾ ¾ h h¾ f f h f ½ h ½ f ¹ ¹ f f h f h¾ ¾ h h¾h f f f f¾ ½ f x h f h¾ ¹¾x f f f h f h¾ f h¾h f ¾ h f f ¾ h f f f h f h¾ ¾ h f ¹ ¾¹ x ¹ f ¾ f ¾ f ¾h fx¾ h f f x ¾ h f ½ f f ¾ f ¹ h f h f f f x f ¹ ½x h f h½ f h¾ f ¾ ¾ x x f x f h 97. oldal

98 \ ba Zç _` ç ç b ç, f ¾ x h f x n¾ ½ f ¾ f h x¾ h f h f ¾h ff x¾½ f f h f f f ¾ ¾f f f ¾h x ¹ f h f f f x x ¾ ½ f¾ h f f f ¹h f f x¾ f f f¾ x f ¾h x x x f ¹ x ½x h f x h¾ x ¹ ¾h f f½ x¾x f f ¾ h f f½ h¾ ¾ f f¾¾h f f f ¾h f f½ x ¹ x¾f h¾ f xx½ x ¾h f f½ x½ ¾ h¾ h¾ f ¾ ¾x ¾ h¾ f ¾ h f f f x ¾h f f½ ¾ ¾h f f f x h ¾¾ h f x h h f x h h f f x f f½f f ¾ x¾f f f f ¾f x f f½ f f x¾¾ ½ ½ h h¾h f h f f ¾h x x f f x x x ¹ f x¾ f x ¹ f f½ h¾ x h f f x¾ ¾ f ¾ ¾x ¾ f ¹ ¾h x ¹ ¹ x¾f xx½ f f½ h¾ h n¾f f h f f x¾ h f 98. oldal

99 h f h h f h f ¾ f ¾h ¾ f f f f f f x x x h f f f ff f f ¾ ¾x ¹f x¾,h¾ ½x h x ¾ x ¾ f f½ ¹ h f f ¾h ¹f f f ¾ f f ¾¹½x h f f ¾ x¾f ¾ ¾ h h f f x ¾ ¾h h f½ x x x h f ¾ h h f ¾ h f ¾ h f ¾ h¾ f½ 99. oldal

100 h f 2 ¾ h f h f 2 ¾ h f x ¾ n¾ ¾ h¾ x ¾ ¾ x ¹ f f½f f f f x¾ ¾¾x f f h h f ¾h x x ¾ f f f¾f x x f x x ¾ ¾ h f f x½½ f h¾ f ¹ f f f ¾ ¹ f f f f x ¾ ¾ f ¾ f¾ h x h f h n f 2¾¾ ¾¾x x f f h x¾h f n¾ ½ h x ¹ ¾ x h f¾ h¾f ¹ ¾ f f f ¾ f f h¾f h ¾ h ¾ h f f n f f ¾ h¾f 100. oldal