A szimplex tábla. p. 1
|
|
- Ottó Király
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex tábla segítségével p 1
2 Emlékeztető: a szimplex algoritmus Tekintsük az alábbi lineáris programot z = max c T x st Ax = b x 0 ahol A egy m n mátrix, rang(a) = rang(a,b) = m, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Legyen B egy bázis, ekkor az oszlopok megfelelő átrendezése után A = [B N] [ ] [ ] xb B 1 b Legyen továbbá x = = x N 0 tartozó bázismegoldás és tegyük fel, hogy ez a bázismegoldás megengedett (B 1 b 0) a B bázishoz p 2
3 Emlékeztető: a szimplex algoritmus A lineáris program a nembázisváltozók terében max z 0 + j N z jx j st x B = b j N y jx j x B,x N 0 ahol N a nembázisváltozók halmaza b = B 1 b y j a B 1 N mátrix j-edik nembázisváltozóhoz tartozó oszlopa, y j = B 1 a j z 0 = c B T B 1 b = c B T b z j a c N T c B T B 1 N sorvektor j-edik nembázis-változóhoz tartozó eleme p 3
4 Emlékeztető: a szimplex algoritmus A pivotszabályok x k beléphet a bázisba, ha z k > 0 x r kilép a bázisból: r = argmin i {1,,m} { bi y ik : y ik > 0 A (primál) szimplex algoritmus optimalitási feltétele: az x megengedett bázismegoldás optimális megoldás, ha j N : z j 0 Az alábbiakban feltesszük, hogy a megengedett bázismegoldásunk nem degenerált, vagyis b > 0 A degenerált esettel később foglalkozunk } p 4
5 Nemkorlátos megoldás Adva egy x megengedett bázismegoldás, legyen x k egy nembázisváltozó úgy, hogy z k > 0 max st x = [ ] xb x N z 0 +z k x ] k [ b = 0 x 0 +[ yk e k ]x k Ekkor x k növelésével nő a célfüggvény értéke Tudjuk, hogy x k -t addig növelhetjük, amíg valamelyik bázisváltozó negatívvá nem válik x k min i B { bi y ik : y ik > 0 } p 5
6 Nemkorlátos megoldás A korlát csak akkor van értelmezve, ha van i bázisváltozó, melyre y ik > 0 Ha ilyen nincs, tehát y k 0, akkor nincs bázisváltozó, amely blokkolná x k növelését Tétel: Egy max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris program megoldása nemkorlátos, ha van x megengedett bázismegoldás és x k nembázisváltozó, hogy z k > 0 és y k 0 [ ] yk Biz: a d = e k a megengedett tartomány egy iránya, és a x = x+dλ,λ 0 pontok mind megengedett megoldások Ilyenkor minden K > 0-hoz létezik λ > 0, hogy c T x = z 0 +λz k > K p 6
7 Nemkorlátos megoldás: példa Adott kanonikus formában a következő lineáris program max x 1 + 3x 2 st x 1 2x 2 4 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 Az x 3 [ és x 4 slack-változók] bevezetésével [ ] A =, b =, c T = [ ] [ ] 2 1 Tekintsük a B = [a 2 a 3 ] = [ ] [ ][ ] x x B = = = x bázist 1 0 [ ] 3, x 10 N = [ x1 x 4 ] = [ ] 0 0 p 7
8 Nemkorlátos megoldás: példa A szokásos paraméterek z 0 = c B T b = 9 [ ] 1 1 c T N c T B B 1 N = [1 0] [3 0] = [4 3] 1 2 [ ][ ] [ ] B 1 N = = A lineáris program az aktuális bázisban max 9+4x 1 3x [ ] [ ] [ ] 4 x2 3 1 st = x x x 1,x 2,x 3,x 4 0 [ ] 1 x 2 4 p 8
9 Nemkorlátos megoldás: példa A nemkorlátosságot okozó sugár x = x 1 x 2 x 3 x 4 = λ, λ 0 0 A célfüggvény értéke 9+4λ Az eredeti változók terében [ x1 x 2 ] = [ 0 3 ] [ ] λ : λ > x 2 [0 3] T d -x 1 +x x 1-2x 2 4 x p 9 1
10 A szimplex algoritmus Tekintsük az alábbi lineáris programot z = max c T x st Ax = b x 0 ahol A egy m n mátrix, rang(a) = rang(a,b) = m, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Tegyük fel, hogy egyik bázismegoldás sem degenerált A szimplex algoritmus egy iteratív eljárás a fenti lineáris program megoldására, amely nem igényel mást csak lineáris egyenletrendszerek megoldását és egyszerű lineáris algebrai műveleteket Inicializálás: keressünk egy kezdeti megengedett bázismegoldást és a hozzá tartozó B bázist p 10
11 A szimplex algoritmus: fő ciklus 1 Oldjuk meg a Bx B = b egyenletrendszert A megoldás egyedi: x B = B 1 b = b és legyen x N = 0 2 Oldjuk meg a w T B = c B T egyenletrendszert A megoldás egyedi: w T = c B T B 1 Számoljuk ki minden j nembázisváltozóra z j = c j w T a j értékét és legyen a belépő (nembázis)változó k = argmax j N 3 Ha z k 0, akkor vége: z j [ ] xb x N (Dantzig s pivot rule) optimális megoldás és a célfüggvény értéke c B T x B Ellenkező esetben tovább a következő lépésre p 11
12 A szimplex algoritmus: fő ciklus 4 Oldjuk meg a By k = a k egyenletrendszert A megoldás egyedi: y k = B 1 a k Ha y k 0, akkor vége: a lineáris program nemkorlátos a ] ] } {[ b yk +[ λ : λ 0 sugár mentén 0 e k Ellenkező esetben tovább a következő lépésre 5 Pivot: x k belép a bázisba és x Br kilép a bázisból, ahol { } bi r = argmin : y ik > 0 i {1,,m} y ik (minimum ratio test) Frissítsük a B bázist (a Br -t felváltja a k ), N-t, c B T -t és c N T -t és vissza az első lépésre p 12
13 A szimplex algoritmus: komplexitás Tétel: Ha egyik lépésben sem talál degenerált bázismegoldást, akkor a szimplex algoritmus véges számú lépésben megtalálja az optimális megoldást vagy megmutatja, hogy a lineáris program nemkorlátos Biz: minden iterációban három eset egyike következhet be ha z k 0, akkor kiszállunk az optimális megoldással ha z k > 0 de y k 0, akkor megállapítjuk, hogy a lineáris program nemkorlátos és kiszállunk ha z k > 0 és y k 0, akkor a bázisból kilép egy r változó úgy, hogy b r > 0 és a célfüggvény értéke z k br > 0 határozottan nő Tehát minden iterációs lépésben vagy kiszállunk, vagy egy új, az előzőtől eltérő megengedett bázismegoldást adunk A bázismegoldások száma véges p 13
14 Degeneráció Ha x k belép a bázisba, x Br kilép onnan és y k 0 Pivot előtt z 0 x B x k = 0 Pivot után z 0 +z k br x B b r y k x k = b r A bázismegoldás degenerált, ha x B = b 0 Ekkor van x Br = b r = 0, és ha ráadásul > 0, akkor { } x Br bi blokkolja x k növelését: min : y ik > 0 = 0 y i {1,,m} y ik rk A pivot utánx k = b r = 0 és a célfüggvény értéke maradz 0 A pivot során ugyanabban az extrém pontban maradtunk p 14
15 Degeneráció Cycling: egyik degenerált bázismegoldásról a másikra ugorva körbejárunk ugyanazon az extrém ponton Ilyenkor a véges futás nem garantált A gyakorlatban nagyon ritkán fordul elő Pivotszabály: mivel a bázisba belépő változó kiválasztása tetszőleges ha z j > 0, különböző szabályok adhatók Dantzig s pivot rule: k = argmaxz j j N Mohó (greedy): válasszuk azt a változót, ami a legnagyobb növekedést okozza a célfüggvényben Bland s pivoting rule: válasszuk a legkisebb indexű nembázisváltozót amire z j > 0 és ha több bázisváltozóra is x Br = 0, válasszuk a legkisebb indexűt kilépő változónak Bland szabályának használatával elkerülhető a cycling p 15
16 A szimplex algoritmus: komplexitás A Dantzig pivot szabály használata esetén a szimplex algoritmus komplexitása exponenciális lehet Legrosszabb esetben végig kell nézni akár ( n m bázismegoldást Adható példa, ahol ez bekövetkezik Szinte minden determinisztikus szabályhoz van ellenpélda Nyitott kérdés: van-e determinisztikus szabály, amely az exponenciálisnál jobb futási időt ad? A gyakorlatban a szimplex algoritmus nagyon gyors Általában m és n függvényében lineáris számú pivot elég Léteznek garantáltan polinom-idejű belsőpontos megoldó algoritmusok (Hacsián-féle ellipszoid módszer, Karmarkar algoritmusa) ) p 16
17 A szimplex tábla A szimplex algoritmus jelen formájában minden lépésben három lineáris egyenletrendszer megoldását igényli A szimplex táblák használatával ez elkerülhető Tegyük fel, hogy van egy kezdeti megengedett bázismegoldásunk B bázissal Legyen z egy új változó, ami célfüggvény aktuális értékét jelöli z = c B T x B +c N T x N Tekintsük a lineáris programot az alábbi formában max z st z c T B x B c T N x N = 0 Bx B + Nx N = b x B, x N 0 p 17
18 A szimplex tábla A x N megadja x B -t: x B +B 1 Nx N = B 1 b És tudjuk, hogy z = c B T B 1 b+(c N T c B T B 1 N)x N z +0x B +(c B T B 1 N c N T )x N = c B T B 1 b A nembázisváltozók terében max z st z + 0x B + (c T B B 1 N c T N )x N = c T B B 1 b I m x B + B 1 Nx N = B 1 b x B, x N 0 A fenti alak táblázat formájában z x B x N RHS z 1 0 c B T B 1 N c N T c B T B 1 b 0 sor x B 0 I m B 1 N B 1 b 1m sorok p 18
19 A szimplex tábla z x B1 x Bm x N1 x Nn m RHS z z 1 z n m z 0 x B y 1,1 y 1,n m b1 x Bm y m,1 y m,n m bm x B1,x B2,,x Bm sorra a bázisváltozók x N1,x N2,,x Nn m sorra a nembázisváltozók z j a c B T B 1 N c N T sorvektor j nembázisváltozóhoz tartozó eleme és z 0 = c B T B 1 b bi a B 1 b oszlopvektor i-edik eleme y ij a B 1 N mátrix (i,j) eleme p 19
20 A szimplex tábla: belépő változó A célfüggvény alakja a korábbiakhoz képest megváltozott z + j N z j x j = z 0 A célfüggvény értékének növeléséhez olyan k nembázisváltozót kell keresnünk, amelyre z k < 0 A belépő változó a tábla nulladik sorából kiolvasható A bázisba belép k nembázisváltozó k = argmin j N z j Optimalitási feltétel z k = min j N z j 0 p 20
21 A szimplex tábla: kilépő változó A bázisváltozók kifejezése a szimplex táblában I m x B +B 1 Nx N = B 1 b A x Bi bázisváltozó a tábla i-edik sorából olvasható ki x Bi + j N y ij x j = b i x Bi értéke x k növelésére y ik x k -val csökken nemkorlátos a megoldás, ha nincs pozitív elem k oszlopában: y k 0 a bázisból kilépő r változó r = argmin i {1,,m} { } bi : y ik > 0 y ik p 21
22 A szimplex tábla: pivot Tegyük fel, hogy k belép a bázisba r kilép A pivot előtt a szimplex tábla z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z z j z k z 0 x B y 1j y 1k b1 x Br y rj br x Bm y mj y mk bm p 22
23 A szimplex tábla: pivot 1 Osszuk el az r-edik sort -val z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z z j z k z 0 x B y 1j y 1k b1 x Br y rj 1 br x Bm y mj y mk bm p 23
24 A szimplex tábla: pivot 2 Minden i = 1,2,,m : i r sorra vonjuk ki a sorból az r-edik sor y ik -szorosát z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z z j z k z 0 x B1 0 1 y 1k 0 y 1j y 1k y rj 0 br b1 y 1k x Br y rj 1 br x Bm 0 0 y mk 1 y mj y mk y rj 0 bm y mk br p 24
25 A szimplex tábla: pivot 3 Vonjuk ki a nulladik sorból az r-edik sor z k -szorosát z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z 1 0 z k y 1k 0 x B1 0 1 y 1k 0 y 1j y 1k y rj z j z k y rj 0 z 0 z k br 0 br b1 y 1k x k y rj 1 br x Bm 0 0 y mk 1 y mj y mk y rj 0 bm y mk br x k belépett a bázisba, ezért az új szimplex táblában az r-edik sor most már x k -t adja meg x Br kilépett a bázisból és nembázis változó lett p 25
26 A szimplex tábla: példa Tekintsük a lineáris programot max x 1 x 2 + 4x 3 st x 1 + x 2 + 2x 3 9 x 1 + x 2 x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Slack-változókkal standard alakra hozva max x 1 x 2 + 4x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 st x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 9 x 1 + x 2 x 3 + x 5 = 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 p 26
27 A szimplex tábla: példa Először kezdeti bázist kell választanunk: álljon ez a slack-változók oszlopaiból Kanonikus alakban adott max{c T x : Ax b,x 0} lineáris program esetén a bevezetendő x s slack-változók oszlopai mindig bázist alkotnak: max{c T x : Ax+Ix s = b,x 0,x s 0} és B = I mindig nemszinguláris Ha ráadásul b 0, akkor ez a bázis egyben megengedett is, hiszen b = B 1 b = b 0 Ellenkező esetben a kezdeti bázis keresése speciális lépéseket igényel (itt nem tárgyaljuk) Legyen tehát B = [a 4 a 5 a 6 ] A nulladik sor: c B T B 1 N c N T = c N T mert az x s bázisváltozókhoz a célfüggvényben 0 együttható áll és így c B T = 0, és hasonlóan z 0 = c B T B 1 b = 0 p 27
28 A szimplex tábla: példa A kezdeti szimplex tábla (a nulladik sort invertálni kell!) z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x A bázis nem optimális mert z 3 = 4 A belépő változó x 3 mert z 3 = min j N z j = 4 Nem kapunk nemkorlátos eredményt, mert van y i3 > 0 A kilépő változó x 6 mert b6 y 63 = min{ 9 2,4} = 4 p 28
29 A szimplex tábla: példa 1 Osszuk el az x 6 sorát y 63 -mal, ami most 1 a tábla sorait most a hozzá tartozó bázisváltozó indexével azonosítjuk, és nem a sorindexszel ezért az x 6 sorának elemei rendre az y 6j és b 6 indexet kapják hasonlóan a többi sorra z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x p 29
30 A szimplex tábla: példa 2 Az x 4 és x 5 sorából vonjuk ki az x 6 sorának y 4k - illetve y 5k -szorosát az x 4 sorából az x 6 sorának kétszeresét kell kivonni lényeg az y 43 és az y 53 kinullázása z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x p 30
31 A szimplex tábla: példa 3 Vonjuk ki a nulladik sorból az x 6 sorának z 3 -szorosát most az x 6 sorának négyszeresét kell hozzáadni a nulladik sorhoz lényeg a z 3 kinullázása z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Pivot vége, új szimplex bázist kaptunk (B = {x 3,x 4,x 5 }) A szimplex tábla utolsó sora most már az x 3 -hoz tartozik, érdemes ezt a szimplex táblán jelölni p 31
32 A szimplex tábla: példa A szimplex tábla használata a nulladik sor utolsó eleme mindig a célfüggvény az aktuális bázishoz tartozó értéke, most z = 16 a bázisváltozók értékeit kiolvashatjuk az RHS oszlopból (ha negatív elem van benne, elrontottunk valamit) ha a nulladik sor nem tartalmaz negatív elemet, optimális a bázis z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x p 32
33 A szimplex tábla: példa Az aktuális tábla nem optimális, mert z 1 = 3 Tehát belép a bázisba x 1 Van kilépő változó (vagyis nem kaptunk nemkorlátos megoldást), mert y 41 > 0 Kilép x 4 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Osztjuk x 4 sorát 3-mal, a kapott sort hozzáadjuk x 3 sorához egyszer, és a nulladik sorhoz háromszor p 33
34 A szimplex tábla: példa z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x A bázis optimális x Az optimális megoldáshoz tartozó célfüggvény értéke a nulladik sor utolsó eleme: z = 17 A bázisváltozók értékei az RHS oszlopból: 13 3 [ x1 x 5 x 3 ] = [ Az optimális megoldás: x T = [ ] p 34 ]
35 A szimplex tábla: példa Oldjuk meg a következő lineáris programot max 2x 1 + x 2 + 3x 3 st 2x 1 3x 2 + x 3 0 2x 2 + 4x 3 1 x 1 x 2 3 x 1, x 2, x 3 0 Slack-változókkal standard alakra hozva max 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 st 2x 1 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 2 + 4x 3 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 6 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 p 35
36 A szimplex tábla: példa A kezdeti szimplex tábla z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x x 3 belép a bázisba, x 4 kilép x 4 sorának négyszeresét kivonjuk x 5 sorából, és a háromszorosát hozzáadjuk a nulladik sorhoz Degenerált pivot, mert b 4 = 0 A pivot után ugyanabban az extrém pontban fogunk maradni p 36
37 A szimplex tábla: példa A pivot utáni szimplex tábla z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x x 2 belép a bázisba, x 5 kilép p 37
38 A szimplex tábla: példa Az új szimplex tábla z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x A bázisba belépő változó x Azonban x 4 oszlopában minden elem negatív Vagyis x 4 szabadon növelhető anélkül, hogy bármely változó értéke negatívvá válna, miközben a célfüggvény értéke szintén nő Nincs korlátos megoldás p 38
39 A szimplex tábla: példa A szimplex táblából kiolvasható a nemkorlátosságot okozó x+λd : λ 0 félegyenes egyenlete x az aktuális bázismegoldás d előáll a szimplex tábla x 4 nembázisváltozóhoz tartozó oszlopából x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Az indexelésre és az előjelekre vigyázni kell = λ, λ 0 p 39
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenAlkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenÉrzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenA szimplex algoritmus
. gyakorlat A szimplex algoritmus Az előző órán bevezetett feladat optimális megoldását fogjuk megvizsgálni. Ehhez új fogalmakat, és egy algoritmust tanulunk meg. Hogy az algoritmust alkalmazni tudjuk,
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenÁttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenEgészértékű lineáris programozás
p. Egészértékű lineáris programozás Integer Linear Programming (ILP) és Mixed Integer Linear Programming (MIP) nevezetes kombinatorikus optimizálási problémák megfogalmazása ILP formájában definíció, tulajdonságok,
RészletesebbenSzimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:
Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenKétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
RészletesebbenOperációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar
Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
RészletesebbenKlasszikus alkalmazások
Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenLineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebbenlineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását
1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenBevezetés a lineáris programozásba
Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel
RészletesebbenS Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T
Döntéselmélet S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Szállítási feladat meghatározása Speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenAz ellipszoid algoritmus
Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenKorlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2
Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2 A módszert Imreh Balázs, Imreh Csanád: Kombinatorikus optimalizálás Novadat, Győr, 25 egyetemi tankönyve alapján, kisebb változtatásokkal fogjuk bemutatni.
RészletesebbenHORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása
Bevezetés HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Discrete smooth approximation: an application of linear programming The best discrete approximation can be
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenKomáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS
OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebbenszantai Az operációkutatás matematikai módszerei
http://wwwmathbmehu/ szantai Az operációkutatás matematikai módszerei Bővített óravázlat Összeállította: Szántai Tamás Budapest 1999 A bővített óravázlatot Prékopa Andrásnak a Bolyai János Matematikai
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenHiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver
Dr.Bajalinov Erik Debreceni Egyetem Informatikai Kara Bajalinov@Inf.UniDeb.Hu Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver mobidiák könyvtár Tartalomjegyzék I. Bevezetés a hiperbolikus
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Utolsó frissítés: május 20. Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga Utolsó frissítés: 2011. május 20. Tartalomjegyzék 1. TU mátrixok: kerekítés és színezés 3 1.1. Emlékeztet......................................
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenLineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
RészletesebbenA lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról
A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról Nagy Adrienn A doktori disszertáció tézisei Témavezető: Illés Tibor Egyetemi Docens, PhD Témavezető: Kovács
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
Részletesebben