Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Átírás

1 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják egymásnak a náluk levő tetraéder valamelyik lapját. Ha Aladár i-t (i = 1, 2, 3, 4), Bendegúz pedig j-t (j = 1, 2, 3, 4) mutat, akkor az alábbi táblázat i-edik sorának j-edik eleme megmutatja, hogy kinek mennyi pénzt kell fizetnie a másiknak. Ha például Aladár 3- at mutat, Bendegúz pedig 2-t, akkor a táblázat harmadik sorának második eleme ( 2) szerint Aladár fizet Bendegúznak két forintot. A táblázat tehát Aladár lehetséges nyereségeit vagy veszteségeit tartalmazza, ha a megfelelő elem pozitív akkor Aladár kap pénzt Bendegúztól, ha negatív, akkor ő fizet Bendegúznak. A kérdés az, hogy a játékosok milyen taktikával játsszák a játékot, ha feltesszük, hogy sok partit szeretnének lebonyolítani. Íme a fizetési táblázat, melyet egy 4 4-es [a ij ] mátrixként is felfoghatunk. Bendegúz Aladár Aladár arra törekszik, hogy az egyes esetekben a számára legrosszabb eset a lehető legjobb legyen. Ezért megnézi, hogy az egyes alternatíváknál nevezzük ezeket stratégiáknak mekkora a táblázat megfelelő sorában a legkisebb érték, és úgy próbál játszani, hogy ez minél nagyobb legyen. Tehát a fizetési mátrix sorminimumainak maximumát keresi meg. Jelen esetben max{ 4, 1, 2, 3} = 1 = a 22. Bendegúz hasonlóan gondolkodik, a legrosszabb eseteket szeretné elkerülni. Mivel a táblázat Aladár szemszögéből készült, ezért ő a mátrix sormaximumainak minimumát keresi meg, amely most min{3, 1, 4, 6} = 1 = a 22. Könnyű látni, hogy mindkét játékos abban érdekelt, hogy állandóan a 2-t tartalmazó lapot mutassa fel. Ugyanis ha ettől eltérne valamelyikük, akkor nem járna jobban, mert a 22 = 1 a sorában minimális, oszlopában pedig maximális. Eszerint a fenti játékot le sem kell játszani, mert mindig ugyanazt fogják lépni a játékosok, és így játékonként Aladár 1 forintot veszítene (amely az ő szempontjából 1 forintként jelenik meg). A a választott stratégiák sorszámaiból képzett (2, 2) párt tiszta nyeregpontnak fogjuk hívni, míg a 22 = 1 a játék értéke. Tekintsünk most általánosan egy k n-es [a ij ] (i = 1,..., k; j = 1,..., n) fizetési mátrixot. Két játékos közül az első a k sor, a második n oszlop közül választhat. A választottak alapján az A mátrixból amely az első játékos szempontjából készült kikeresik, hogy kinek mennyit kell fizetni a másiknak. Ilymódon A egyértelműen meghatározza a játékot. 2. Definíció. Az [a ij ] mátrixszal megadott mátrixjátéknál az (i 0, j 0 ) párt tiszta nyeregpontnak hívjuk, ha a i0 j 0 a sorában minimális és oszlopában maximális, azaz a ij0 a i0 j 0 a i0,j i, j (i = 1,..., k; j = 1,..., n). Ekkor v = a i0 j 0 a játék értéke.

2 2 Amennyiben egy mátrixjátéknak van tiszta nyeregpontja, akkor a játék megoldásának az (i 0, j 0, v) hármast tekintjük. A következő két tétel közül az első egy eljárást ad tiszta nyeregpont létezésének eldöntésére, továbbá annak megkeresésére. A második több tiszta nyeregpont esetén azok felcserélhetőségét mondja ki. 3. Tétel. Az [a ij ] mátrixjátéknak az (i 0, j 0 ) pár akkor és csak akkor tiszta nyeregpontja, ha max min{a ij } = a i0 j 0 = min max{a ij }. i j j i 4. Tétel. Ha egy [a ij ] mátrixszal megadott játéknak több tiszta nyeregpontja van akkor azok ekvivalensek egymással. 5. Példa. [a ij ] = Ebben a játékban max i min j {a ij } = 3 = min j max i {a ij }, de a tiszta nyeregpont négy (egymással egyenértékű) helyen is előfordul: 3 = a 11 = a 14 = a 31 = a 34. Most az első játékos kedvére választhat az első és harmadik stratégiák közül. Hasonlóan a második játékos szabadon cserélgethet az első és negyedik stratégiái között.

3 3 Mátrixjátékok általános vizsgálata Tekintsük most egy k n-es a 11 a a 1n a 21 a a 2n [a ij ] = a k1 a k2... a kn mátrixszal adott mátrixjátékot, és tegyük fel, hogy a játékosoknak nincs tiszta stratégiájuk (tehát max i min j {a ij } = min j max i {a ij }). Ebben az esetben egyik fél sem fog ragaszkodni egy konkrét stratégiához, hiszen a másik fél azt kiismerve a játékban kedvezőbb helyzetbe kerülhet. Ugyanez a helyzet akkor is, ha valamelyik játékos előre meghatározott módon cserélgeti a választásait, hiszen egy idő után a másik játékos rájöhet a szabályszerűségre, és az információt a saját javára használhatja fel. A legjobb amit tehetnek, hogy véletlenszerűen választanak az alternatívák közül, tehát keverik a stratégiákat. Ekkor viszont az a kérdés merül fel, hogy az egyes választási lehetőségekhez mekkora valószínűségeket rendeljenek hozzá, másképpen fogalmazva, milyenek legyenek a valószínűség-eloszlások. Jelölje a p = [p 1, p 2,..., p k ] vektor azt, hogy az első játékos a mátrix első, második, stb. k-adik sorát rendre p 1, p 2, stb. p k valószínűséggel választja, ahol k i=1 p i = 1. Hasonlóan a q = [q 1, q 2,..., q n ] ( k j=1 q j = 1) vektor a második játékos alternatíváihoz tartozó valószínűség-eloszlást mutatja. Ekkor az első játékos nyereményének várható értéke az k n E( p, q) = a ij p i q j = p A q i=1 j=1 kifejezéssel számolható. Ebből adott p, q vektorok esetén rögtön eldönthető, hogy kinek előnyös a játékot így játszani. Nyilvánvaló, hogy a hátrányos helyzetben levő fél változtatni szeretne. De vajon sikerülhet-e neki? Most azt vizsgáljuk meg, hogyan kell a kevert stratégiákat megválasztani a jétékosoknak, hogy a lehető legjobban járjanak a játék során. Egyensúlyi helyzet akkor alakul ki, ha a szembenálló feleknek van olyan p 0 ill. q 0 kevert stratégiájuk, melyekre bármely p és q mellett teljesül. E( p, q 0 ) E( p 0, q 0 ) E( p 0, q) (1) 6. Definíció. A ( p 0, q 0 ) vektorpár az A mátrixjáték nyeregpontja, ha bármely p és q eloszlásra E( p, q 0 ) E( p 0, q 0 ) E( p 0, q). Ekkor v = E( p 0, q 0 ) a játék értéke. 7. Tétel. (Játékelmélet alaptétele, Neumann János) Minden mátrixjátéknak van nyeregpontja. Meg kell jegyeznünk, hogy több nyeregpont esetén azok egymással egyenértékűek, ugyanazt a v értéket szolgáltatják. Továbbá könnyen látható, hogy a tiszta stratégia a kevert stratégia olyan speciális esete, mikor a valószínűség-eloszlásban egy valószínűség 1 lesz, a többi pedig 0. A fő kérdés a továbbiakban az, hogyan lehet megkeresni a nyeregpontot?

4 4 Mátrixjátékok vizsgálata speciális esetekben I. ESET 8. Tétel. Ha egy [a ij ] IR k n mátrix minden sorában ugyanaz az S szám az elemek összege, továbbá ugyanaz az O szám az egy oszlopban levő elemek összege, akkor [ 1 p 0 = k, 1 k,..., 1 ] [ 1, q 0 = k n, 1 n,..., 1 ], n továbbá v = ki=1 nj=1 a ij k n = S n = O k. 9. Példa. Az IR 3 4 mátrixszal adott játék esetén minden sorban az elemek összege S = 8, és minden oszlopban az elemek összege O = 6. Az előző tétel szerint a játékosok egyenletesen osztják szét az egységnyi valószínűséget az alternatíváik között: [ 1 p 0 = 3, 1 3, 1 ] [ 1, q 0 = 3 4, 1 4, 1 4, 1 ]. 4 A játék az első játékos számára kedvező, mert a játék értéke pozitív. v = 2 = 8 4 = 6 3 Vannak olyan mátrixjátékok, amelyeknél a feltételek ellenőrzése pillanatok alatt megtörténhet. Ezekben az esetekben a játék vizsgálatát leggyorsabban az előző tétellel lehet végrehajtani. Tekintsünk két ilyen példát. 10. Példa. Legyenek x és y tetszőleges valós számok. Ha [ ] x y IR 2 2 y x akkor S = O = x + y, és mindkét játékosnak 1/2-1/2 valószínűséggel kell választania az egyes lehetőségeit. A játék értéke v = (x + y)/ Példa. Bármely a, b, c valós számok esetén az a b c c a b b c a IR 3 3 mátrixszal megadott játékra S = O = a + b + c, tehát az egyes stratégiákra rendre 1/3 valószínűség jut. A játék értéke v = (a + b + c)/3.

5 5 II. ESET (2 2-es játékok) Legyen most [ a11 a 12 a 21 a 22 egy tiszta nyeregponttal nem rendelkező mátrixjáték. Mivel mindkét játékosnak két választási lehetősége van, így a stratégiáik p = [p 1, p 2 ] = [p, 1 p] illetve q = [q 1, q 2 ] = [q, 1 q] alakban írhatók, ahol 0 p, q 1. Tehát a játék megoldásához elegendő p, q és v meghatározása. 12. Tétel. Ha egy 2 2-es A mátrixjátéknak nincs tiszta nyeregpontja akkor a 11 a 12 a 21 + a Tétel. Ha egy 2 2-es A mátrixjátéknak nincs tiszta nyeregpontja akkor 14. Példa. Az p = a 22 a 21 A, q = a 22 a 12 A [ ], v = a 11a 22 a 21 a 12. A mátrixjátéknak nincs tiszta nyeregpontja. Mivel 2 ( 3) ( 3) + 4 = 12, ezért p = 7/12, q = 7/12 és v = 1/12. Az előző tétel használata nélkül is könnyen meghatározhatók a p, q és v értékek. Erre két módszer is ajánlkozik. Az elsőt algebrai módszernek hívjuk és lényegében az előző tétel bizonyításának lépéseit számoljuk végig az adott mátrix esetén. A második eljárást geometriai módszernek nevezzük, mert az E( p 0, q 0 ) = E(p 0, q 0 ) várható értékre vonatkozó (1) egyenlőtlenségeket használja p = 0 és p = 1 illetve q = 0 és q = 1 esetén. 15. Példa. Lásd 2 2-es mátrixjátékokra vonatkozó mintafeladat. Mivel a mintapéldában nincs leírva az egyenlőtlenségek pontos származtatása, ezért itt tesszük ezt meg. Legyen tehát [a ij ] IR 2 2. Ekkor tetszőleges p és q valószínűségek esetén E(p, q) = a 11 pq + a 12 p(1 q) + a 21 (1 p)q + a 22 (1 p)(1 q). (1) alapján az alábbi egyenlőtlenségrendszerek írhatók fel. és E(1, q 0 ) = a 11 q 0 + a 12 (1 q 0 ) v E(0, q 0 ) = a 21 q 0 + a 22 (1 q 0 ) v v min E(p 0, 1) = a 11 p 0 + a 21 (1 p 0 ) v E(p 0, 0) = a 12 p 0 + a 22 (1 p 0 ) v v max A két egyenlőtlenségrendszert rendezve és külön-külön grafikusan megoldva egyszerűen juthatunk el az optimális stratégiák és a játék értékének meghatározásához. ]

6 6 III. ESET (2 n-es vagy k 2-es játékok) Ezen speciális típusnál ötvöződik az előző esetnél megismert grafikus és algebrai megoldás. Először a geometriai módszert felhasználva meghatározzuk a két választási lehetőséggel rendelkező játékos kevert stratégiáját. A 2 2-es játék megoldásától ez abban különbözik, hogy a megfelelő egyenlőtlenség-rendszer kettőnél több egyenlőtlenséget tartalmaz. A második lépésben az első lépés eredményét is felhasználva algebrai úton kiszámoljuk a másik játékos kevert stratégiáját. 16. Példa. Lásd 2 5-ös mátrixjátékra vonatkozó mintafeladatot.

7 7 Mátrixjátékok megoldás szimplex módszerrel Tekintsük most ismét a k n-es a 11 a a 1n a 21 a a 2n [a ij ] = a k1 a k2... a kn mátrixszal megadott játékot. Most egy univerzális módszert ismertetünk a játékosok optimális stratégiáinak meghatározására. A módszer akkor is működik, ha tiszta stratégia van, de azért annak kritériumát érdemes először a sorminimumokkal és az oszlopmaximumokkal tesztelni, mert a feltétel teljesülése esetén gyorsabban jutunk megoldáshoz, mint az általános eljárással. A megoldás lépéseit pontokba szedve fogalmazzuk meg. 1. Ha az A mátrix elemei között van negatív érték, akkor válasszunk egy (lehetőleg kicsi) pozitív c számot úgy, hogy az A mátrix minden eleméhez c-t adva, a kapott A 1 mátrix minden eleme nemnegatív legyen. 2. A szimplex módszert alkalmazva megoldjuk az A 1 x 1 x 0 1 x max, A 1 ȳ 1 ȳ 0 1 ȳ min primál-duál feladatpárt. 3. A primál programozási feladat és duálisának megoldásában legyen a közös maximális ill. minimális érték ṽ. Az első játékos optimális stratégiájára p = [p 1,..., p k ] = 1 ṽ ȳ = 1 ṽ [y 1,..., y k ] = teljesül, míg a második játékos optimális stratégiája q = [q 1,..., q n ] = 1 ṽ x = 1 ṽ [x 1,..., x n ] = [ y1 ṽ,... y ] k ṽ [ x1 ṽ,... x ] n ṽ alapján számolható. Tehát az első játékos optimális stratégiájára a duális feladat megoldásából, a második játékos optimális staratégiájára a primál feladatéból következtethetünk. Az eredeti A mátrixjáték értéke v = 1 ṽ c. 17. Példa. Lásd a mátrixjátékok szimplex módszerrel való elemzésére vonatkozó mintafeladatot.