1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

Átírás

1 1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI

2 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c x + c 0 d x + d 0 célfüggvény optimumát keressük, akkor hiperbolikus programozási feladatról beszélünk.

3 2/12 Hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldása 2 dimenziós HP- feladatok esetén alkalmazható a grafikus megoldás.

4 2/12 Hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldása 2 dimenziós HP- feladatok esetén alkalmazható a grafikus megoldás. A lehetséges megoldások halmazának meghatározása az LP-feladatoknál tanultakkal megegyező módon történik.

5 2/12 Hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldása 2 dimenziós HP- feladatok esetén alkalmazható a grafikus megoldás. A lehetséges megoldások halmazának meghatározása az LP-feladatoknál tanultakkal megegyező módon történik. A célfüggvény rögzített értékeihez tartozó pontok most is egyenessereget alkotnak. z 0 = c x + c 0 z 0 = c 1 x + c 2 y + c 0 d x + d 0 d 1 x + d 2 y + d 0

6 2/12 Hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldása 2 dimenziós HP- feladatok esetén alkalmazható a grafikus megoldás. A lehetséges megoldások halmazának meghatározása az LP-feladatoknál tanultakkal megegyező módon történik. A célfüggvény rögzített értékeihez tartozó pontok most is egyenessereget alkotnak. z 0 = c x + c 0 z 0 = c 1 x + c 2 y + c 0 d x + d 0 d 1 x + d 2 y + d 0 z 0 (d 1 x + d 2 y + d 0 ) = c 1 x + c 2 y + c 0

7 2/12 Hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldása 2 dimenziós HP- feladatok esetén alkalmazható a grafikus megoldás. A lehetséges megoldások halmazának meghatározása az LP-feladatoknál tanultakkal megegyező módon történik. A célfüggvény rögzített értékeihez tartozó pontok most is egyenessereget alkotnak. z 0 = c x + c 0 z 0 = c 1 x + c 2 y + c 0 d x + d 0 d 1 x + d 2 y + d 0 z 0 (d 1 x + d 2 y + d 0 ) = c 1 x + c 2 y + c 0 (z 0 d 2 c 2 ) y = (c 1 z 0 d 1 ) x + c 0 z 0 d 0

8 2/12 Hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldása 2 dimenziós HP- feladatok esetén alkalmazható a grafikus megoldás. A lehetséges megoldások halmazának meghatározása az LP-feladatoknál tanultakkal megegyező módon történik. A célfüggvény rögzített értékeihez tartozó pontok most is egyenessereget alkotnak. z 0 = c x + c 0 z 0 = c 1 x + c 2 y + c 0 d x + d 0 d 1 x + d 2 y + d 0 z 0 (d 1 x + d 2 y + d 0 ) = c 1 x + c 2 y + c 0 (z 0 d 2 c 2 ) y = (c 1 z 0 d 1 ) x + c 0 z 0 d 0 Egyszerűen belátható, hogy a fenti egyenessereg egyenesei egyetlen pontban metszik egymást.

9 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

10 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

11 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

12 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

13 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

14 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

15 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

16 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

17 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

18 3/12 Feladatok 1. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 2x 1 x 2 x 1 + x = z min

19 3/12 A célfüggvény által meghatározott egyenessereg egyenesei egy ponton mennek át.

20 3/12 A célfüggvény által meghatározott egyenessereg egyenesei egy ponton mennek át. A célfüggvény által meghatározott egyenesek egyenlete: 2x 1 x 2 x 1 + x = z 0 (2 z 0 )x 1 (1 + z 0 )x 2 = z 0.

21 3/12 A célfüggvény által meghatározott egyenessereg egyenesei egy ponton mennek át. A célfüggvény által meghatározott egyenesek egyenlete: 2x 1 x 2 x 1 + x = z 0 (2 z 0 )x 1 (1 + z 0 )x 2 = z 0. Az egyenesek metszéspontjának meghatározásához tekintsük a z 0 = 2 illetve a z 0 = 1 egyeneseket!

22 3/12 A célfüggvény által meghatározott egyenessereg egyenesei egy ponton mennek át. A célfüggvény által meghatározott egyenesek egyenlete: 2x 1 x 2 x 1 + x = z 0 (2 z 0 )x 1 (1 + z 0 )x 2 = z 0. Az egyenesek metszéspontjának meghatározásához tekintsük a z 0 = 2 illetve a z 0 = 1 egyeneseket! Ha z 0 = 2, akkor a (2 2)x 1 (1 + 2)x 2 = 2 3x 2 = 2 egyenlethez jutunk.

23 3/12 A célfüggvény által meghatározott egyenessereg egyenesei egy ponton mennek át. A célfüggvény által meghatározott egyenesek egyenlete: 2x 1 x 2 x 1 + x = z 0 (2 z 0 )x 1 (1 + z 0 )x 2 = z 0. Az egyenesek metszéspontjának meghatározásához tekintsük a z 0 = 2 illetve a z 0 = 1 egyeneseket! Ha z 0 = 2, akkor a (2 2)x 1 (1 + 2)x 2 = 2 3x 2 = 2 egyenlethez jutunk. A z 0 = 1 esetben pedig a (2 + 1)x 1 (1 1)x 2 = 1 3x 1 = 1 egyenlethez.

24 3/12 A célfüggvény által meghatározott egyenessereg egyenesei egy ponton mennek át. A célfüggvény által meghatározott egyenesek egyenlete: 2x 1 x 2 x 1 + x = z 0 (2 z 0 )x 1 (1 + z 0 )x 2 = z 0. Az egyenesek metszéspontjának meghatározásához tekintsük a z 0 = 2 illetve a z 0 = 1 egyeneseket! Ha z 0 = 2, akkor a (2 2)x 1 (1 + 2)x 2 = 2 3x 2 = 2 egyenlethez jutunk. A z 0 = 1 esetben pedig a (2 + 1)x 1 (1 1)x 2 = 1 3x 1 = 1 egyenlethez. Így látható, hogy az egyenesek a P ( 1 3, 2 3 ) pontban metszik egymást.

25 3/12 Másrészt, az egyenesek egyenletének x 2 = 2 z 1 + z x 1 z 1 + z alakjából leolvasható, hogy az egyenes az x 2 tengelyt b = z 1+z-nél metszi.

26 3/12 Másrészt, az egyenesek egyenletének x 2 = 2 z 1 + z x 1 z 1 + z alakjából leolvasható, hogy az egyenes az x 2 tengelyt b = z 1+z-nél metszi. A fenti eredményből z-t kifejezhetjük: z = b b + 1 = b + 1.

27 3/12 Másrészt, az egyenesek egyenletének x 2 = 2 z 1 + z x 1 z 1 + z alakjából leolvasható, hogy az egyenes az x 2 tengelyt b = z 1+z-nél metszi. A fenti eredményből z-t kifejezhetjük: z = b b + 1 = b + 1. Ahonnan látható, hogy z pontosan akkor minimális, ha 1 b+1 minimális. Mivel 1 b + 1 > 0, ezért b+1 akkor minimális, ha b + 1 maximális, azaz a fenti egyenesek közül a maximális tengelymetszetű egyeneshez tartozik a minimális célfüggvényérték.

28 3/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót.

29 3/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót.

30 3/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót.

31 3/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót. Az ábráról leolvasható, hogy az optimális célfüggvény értéket akkor kapjuk, ha x 1 = 0 és x 2 = 6 a célfüggvény értéke ekkor z = = 6 7

32 3/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót. Az ábráról leolvasható, hogy az optimális célfüggvény értéket akkor kapjuk, ha x 1 = 0 és x 2 = 6 a célfüggvény értéke ekkor z = = 6 7 Megjegyzés: Az optimális célfüggvényértékhez tartozó egyenest úgy is megtalálhatjuk, hogy a ábrázoljuk a z 0 = 0 és a z 0 = 1 célfüggvényértékekhez tartozó egyeneseket és ezek alapján leolvassuk, hogy a célfüggvényérték melyik irányban növekszenek. (Ennél a feladatnál az óramutató járásával egyező irányban.)

33 4/12 2. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + x 2 5 3x 1 + x 2 4 x 1 + 5x x 1 3, 0 x 2 3 x 1 + 2x 2 3 2x 1 + x = z max

34 4/12 2. Oldjuk meg grafikusan az alábbi HP-feladatot! x 1 + x 2 5 Először ábrázoljuk a lehetséges megoldások halmazát! 3x 1 + x 2 4 x 1 + 5x x 1 3, 0 x 2 3 x 1 + 2x 2 3 2x 1 + x = z max

35 4/12 A célfüggvény által meghatározott egyenesek egyenlete: x 1 + 2x 2 3 2x 1 + x = z 0 (2z 0 1)x 1 + (z 0 2)x 2 = 3 z 0. Az egyenesek metszéspontjának meghatározásához tekintsük a z 0 = 1 2 illetve a z 0 = 2 egyeneseket! Ha z 0 = 1 2, akkor a ( )x 1 + ( 1 2 2)x 2 = x 2 = 7 2 egyenlethez jutunk, míg a z 0 = 2 esetben a (2 2 1)x 1 + (2 2)x 2 = 3 2 3x 1 = 5. Így látható, hogy az egyenesek a P ( 5 3, 7 3 ) pontban metszik egymást.

36 4/12 Másrészt, az egyenesek egyenletének x 2 = 1 2z z 2 x z z 2 alakjából leolvasható, hogy az egyenes az x 2 tengelyt b = 3+z z 2-nél metszi. A fenti eredményből z-t kifejezhetjük: z = 2b 3 b + 1 = 2 5 b + 1. Ahonnan látható, hogy z pontosan akkor maximális, ha 5 b+1 minimális. Mivel b+1 > 0, ezért 5 b+1 akkor minimális, ha b+1 maximális, azaz a fenti egyenesek közül a maximális tengelymetszetű egyeneshez tartozik a maximális célfüggvényérték.

37 4/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót.

38 4/12 Ábrázoljunk néhány egyenest a célfüggvény szintvonalai közül, és jelöljük be a maximális tengelymetszethez tartozót. Az ábráról leolvasható, hogy az optimális célfüggvény értéket ott veszi fel a rendszer, ahol az x 2 = 3 egyenes és az x 2 = 4 3x 1 egyenes metszik egymást. Ez a pont a Q( 1 3 ; 3) pont. A célfüggvény értéke: z = = =

39 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal

40 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal Ha a hiperbolikus programozási feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos

41 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal Ha a hiperbolikus programozási feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos és a nevező az L halmaz minden pontjában pozitív,

42 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal Ha a hiperbolikus programozási feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos és a nevező az L halmaz minden pontjában pozitív, akkor a HP-feladat az alábbi módszerrel egy ekvivalens LP-feladattá alakítható.

43 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal Ha a hiperbolikus programozási feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos és a nevező az L halmaz minden pontjában pozitív, akkor a HP-feladat az alábbi módszerrel egy ekvivalens LP-feladattá alakítható. A célfüggvényt egy t változóval bővítjük: z(x) = t(c x + c 0) t(d x + d 0 ).

44 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal Ha a hiperbolikus programozási feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos és a nevező az L halmaz minden pontjában pozitív, akkor a HP-feladat az alábbi módszerrel egy ekvivalens LP-feladattá alakítható. A célfüggvényt egy t változóval bővítjük: z(x) = t(c x + c 0) t(d x + d 0 ). Majd megköveteljük, hogy a nevező 1 legyen,

45 5/12 Hiperbolikus programozási feladat megoldása szimplex algoritmussal Ha a hiperbolikus programozási feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos és a nevező az L halmaz minden pontjában pozitív, akkor a HP-feladat az alábbi módszerrel egy ekvivalens LP-feladattá alakítható. A célfüggvényt egy t változóval bővítjük: z(x) = t(c x + c 0) t(d x + d 0 ). Majd megköveteljük, hogy a nevező 1 legyen, azaz a feltételrendszert kiegészítjük a feltétellel. t d x + d 0 t = 1

46 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max

47 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max Belátható, hogy ha [y, t ] a fenti LP-feladat optimális megoldása, akkor t 0 és ekkor a HP-feladat optimális megoldása formulával számolható. x = 1 t y.

48 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max Belátható, hogy ha [y, t ] a fenti LP-feladat optimális megoldása, akkor t 0 és ekkor a HP-feladat optimális megoldása formulával számolható. x = 1 t y. Tehát a HP-feladat megoldása az alábbi lépésekre bontható

49 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max Belátható, hogy ha [y, t ] a fenti LP-feladat optimális megoldása, akkor t 0 és ekkor a HP-feladat optimális megoldása formulával számolható. x = 1 t y. Tehát a HP-feladat megoldása az alábbi lépésekre bontható ❶ L korlátosság vizsgálata.

50 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max Belátható, hogy ha [y, t ] a fenti LP-feladat optimális megoldása, akkor t 0 és ekkor a HP-feladat optimális megoldása formulával számolható. x = 1 t y. Tehát a HP-feladat megoldása az alábbi lépésekre bontható ❶ L korlátosság vizsgálata. ❷ Az ekvivalens LP-feladat felírása

51 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max Belátható, hogy ha [y, t ] a fenti LP-feladat optimális megoldása, akkor t 0 és ekkor a HP-feladat optimális megoldása formulával számolható. x = 1 t y. Tehát a HP-feladat megoldása az alábbi lépésekre bontható ❶ L korlátosság vizsgálata. ❷ Az ekvivalens LP-feladat felírása ❸ Az LP-feladat megoldása [y, t ]

52 6/12 Bevezetve az y = t x jelölést, az alábbi módosított normál feladathoz jutunk: Ay tb 0 t d x + d 0 t = 1 y 0, t 0 cy + c 0 t = z max Belátható, hogy ha [y, t ] a fenti LP-feladat optimális megoldása, akkor t 0 és ekkor a HP-feladat optimális megoldása formulával számolható. x = 1 t y. Tehát a HP-feladat megoldása az alábbi lépésekre bontható ❶ L korlátosság vizsgálata. ❷ Az ekvivalens LP-feladat felírása ❸ Az LP-feladat megoldása [y, t ] ❹ A HP-feladat x optimális megoldásának származtatása

53 7/12 Feladatok 3.Oldjuk meg az alábbi HP-feladatot szimplex algoritmussal: x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 2x 1 x 2 x 1 + x = z max

54 7/12 Feladatok 3.Oldjuk meg az alábbi HP-feladatot szimplex algoritmussal: x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 2x 1 x 2 x 1 + x = z max A második feltételből kivonva az elsőt, a 2x 1 4 feltételt kapjuk, amely alapján 0 x 1 2 feltétel igaz az első változóra. A második változó korlátosságát könnyen igazolhatjuk, ha az előbb kapott feltételt összevetjük valamelyik eredeti feltétellel. Így a változók mindegyike korlátos, így a lehetséges megoldások halmaza is korlátos.

55 8/12 Áttérhetünk az említett módosított normál alakú LP-feladatra: x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 2x 1 x 2 x 1 + x = z max y 1 + 2y 2 12t 0 3y 1 + 2y 2 16t 0 2y 1 + y 2 10t 0 y 1 + y 2 + t = 1 y 1, y 2, t 0 2y 1 y 2 = z max

56 8/12 Áttérhetünk az említett módosított normál alakú LP-feladatra: y 1 + 2y 2 12t 0 3y 1 + 2y 2 16t 0 2y 1 + y 2 10t 0 y 1 + y 2 + t = 1 y 1, y 2, t 0 y 1 y 2 t z u u u u z y 1 y 2 = z max

57 8/12 Áttérhetünk az említett módosított normál alakú LP-feladatra: y 1 + 2y 2 12t 0 3y 1 + 2y 2 16t 0 2y 1 + y 2 10t 0 y 1 + y 2 + t = 1 y 1, y 2, t 0 2y 1 y 2 = z max y 1 y 2 t z u u u u z y 1 y 2 z u u u t z 0 0 0

58 9/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: y 1 y 2 z u u u t 1 1 1

59 9/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: y 1 y 2 z u u u t z 1 6 u u y t 1 12 u 3 y

60 9/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: y 1 y 2 z u u u t z 1 6 u u y t 1 12 u 3 y 2 Így a módosított normálfeladat optimális megoldása y 1 = 5 6, y 2 = 0, t =

61 9/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: y 1 y 2 z u u u t z 1 6 u u y t 1 12 u 3 y 2 Így a módosított normálfeladat optimális megoldása y 1 = 5 6, y 2 = 0, t = 1 6. Az eredeti HP-feladat optimális megoldása: x = 1 [ 5 ] [ ] =

62 10/12 4.Oldjuk meg az alábbi HP-feladatot szimplex algoritmussal: x 1 + 2x 2 + 6x 3 10 x 1 + x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 3x 2 + x 3 1 2x 1 + 3x 2 + 2x = z max

63 10/12 4.Oldjuk meg az alábbi HP-feladatot szimplex algoritmussal: x 1 + 2x 2 + 6x 3 10 x 1 + x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 3x 2 + x 3 1 2x 1 + 3x 2 + 2x = z max Az első feltételből a változókra az alábbi korlátok kaphatók, azáltal, hogy a reláció baloldalából nemnegatív tagokat elhagyva szintén igaz relációkat kapunk: x x 2 10 x 2 5 6x 3 10 x A változók mindegyike korlátos, így a lehetséges megoldások halmaza is korlátos.

64 10/12 Áttérhetünk a módosított normál alakú LP-feladatra: x 1 + 2x 2 + 6x 3 10 x 1 + x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 3x 2 + x 3 1 2x 1 + 3x 2 + 2x = z max

65 10/12 Áttérhetünk a módosított normál alakú LP-feladatra: x 1 + 2x 2 + 6x 3 10 x 1 + x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 3x 2 + x 3 1 2x 1 + 3x 2 + 2x = z max y 1 + 2y 2 + 6y 3 10t 0 y 1 + y 2 + 2y 3 6t 0 2y 1 + 3y 2 + 2y 3 + t = 1 y 1, y 2, y 3, t 0 y 1 + 3y 2 + y 3 t = z max

66 10/12 Oldjuk meg a módosított normál alakú LP-feladatot: y 1 + 2y 2 + 6y 3 10t 0 y 1 + y 2 + 2y 3 6t 0 2y 1 + 3y 2 + 2y 3 + t = 1 y 1, y 2, y 3, t 0 y 1 + 3y 2 + y 3 t = z max y 1 y 2 y 3 t z u u u z

67 10/12 Oldjuk meg a módosított normál alakú LP-feladatot: y 1 + 2y 2 + 6y 3 10t 0 y 1 + y 2 + 2y 3 6t 0 2y 1 + 3y 2 + 2y 3 + t = 1 y 1, y 2, y 3, t 0 y 1 + 3y 2 + y 3 t = z max y 1 y 2 y 3 t z u u u z z y 1 y 2 y u u t z

68 10/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: y 1 y 2 y 3 z u u t

69 10/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: y 1 y 2 y 3 z u u t z y y 1 u 1 y u t

70 10/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y 2 y u u t z y y 1 u 1 y u t 3 32 Így a módosított normálfeladat optimális megoldása y 1 = 0, y 2 = 5 16, y 3 = 0, t =

71 10/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y 2 y u u t z y y 1 u 1 y u t 3 32 Így a módosított normálfeladat optimális megoldása y 1 = 0, y 2 = 5 16, y 3 = 0, t = Az eredeti HP-feladat optimális megoldása: x = =

72 11/12 5.Oldjuk meg az alábbi HP-feladatot szimplex algoritmussal: 2x 1 + 3x 2 6 3x 1 + 2x 2 6 x 1 0, 0 x x 1 + x 2 3 2x 1 + x = z max

73 11/12 5.Oldjuk meg az alábbi HP-feladatot szimplex algoritmussal: 2x 1 + 3x 2 6 3x 1 + 2x 2 6 x 1 0, 0 x x 1 + x 2 3 2x 1 + x = z max A második változó korlátosságát a feladat alapból garantálja. Az második feltételből a nem-negatív 2x 2 értéket elhagyva a baloldalból a 3x 1 6 x 1 2 Tehát a változók mindegyike korlátos, így a lehetséges megoldások halmaza is korlátos.

74 11/12 Áttérhetünk a módosított normál alakú LP-feladatra. A 0 x feltételt érdemes szétbontani, így a változókra csak a szokásos nemnegativitási feltételek lesznek:

75 11/12 Áttérhetünk a módosított normál alakú LP-feladatra. A 0 x feltételt érdemes szétbontani, így a változókra csak a szokásos nemnegativitási feltételek lesznek: 2x 1 + 3x 2 6 3x 1 + 2x 2 6 x x 1, x 2 0 x 1 + x 2 3 2x 1 + x = z max

76 11/12 Áttérhetünk a módosított normál alakú LP-feladatra. A 0 x feltételt érdemes szétbontani, így a változókra csak a szokásos nemnegativitási feltételek lesznek: 2x 1 + 3x 2 6 3x 1 + 2x 2 6 x 2 x 1, x x 1 + x 2 3 2x 1 + x = z max 2y 1 + 3y 2 6t 0 3y 1 + 2y 2 6t 0 2y 1 y t 0 + y 2 + t = 1 y 1, y 2, t 0 y 1 + y 2 3t = z max

77 11/12 Oldjuk meg a módosított normál feladatot! 2y 1 + 3y 2 6t 0 3y 1 + 2y 2 6t 0 2y 1 y t 0 + y 2 + t = 1 y 1, y 2, t 0 y 1 + y 2 3t = z max y 1 y 2 t z u u u u z

78 11/12 Oldjuk meg a módosított normál feladatot! 2y 1 + 3y 2 6t 0 3y 1 + 2y 2 6t 0 2y 1 y t 0 + y 2 + t = 1 y 1, y 2, t 0 y 1 + y 2 3t = z max y 1 y 2 t z u u u u z z y 1 y u u u t z 0 0 0

79 11/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y u u u t 2 1 1

80 11/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y u u u t u 2 y 2 7 z u y u t

81 11/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y u u u t u 2 y 2 7 z u y u t z u 2 u 3 u y y t

82 11/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y u u u u 2 y 2 7 z u y u t t Így a módosított normálfeladat optimális megoldása y 1 = 2 9, y 2 = 1 3, t = z u 2 u 3 u y y t

83 11/12 A normálfeladat megoldásánál megismert módon maximalizáljuk az elsődleges célfüggvényt: z y 1 y u u u u 2 y 2 7 z u y u t t Így a módosított normálfeladat optimális megoldása y 1 = 2 9, y 2 = 1 3, t = 2 9. Amelyből az eredeti HP-feladat optimális megoldása: ] [ ] x = = 9 [ z u 2 u 3 u y y t

84 12/12 Felhasznált Irodalom [1.] Bajalinov Erik - Imreh Balázs: Operációkutatás, Polygon [2.] Imreh Balázs: Bevezetés az operációkutatásba, Phare [3.] Temesi József - Varró Zoltán: Operációkutatás, Aula 2007.