Döntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Döntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat)"

Mariska Sipos
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 VII. előadás Legyenek adottak Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat) I, I 2,, I i,, I m személyek és a J, J 2,, J j,, J n munkák. Azt, hogy melyik személy melyik munkához ért ( melyik munkára van kvalifikálva) célszerűen az ún. kvalifikációs mátrixba foglalhatjuk össze: az m*n méretű mátrix (i,j) edik cellájában * álljon, ha az I i személy a J j munkát el tudja látni. Feladat eldönteni azt, hogy hozzárendelhető-e minden személy olyan munkához amihez ért, feltéve ha egy munkát csak egy munkás láthat el. (Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés megengedett csak.)

2 Egyszerű Kőnig-feladat Tétel (KŐNIG): Adott kvalifikációs mátrix esetén - vagy minden személyt el lehet látni munkával, - vagy létezik a személyeknek olyan P részhalmaza, amelyre P > J(P). (Szavakban: vagy megoldható a feladat, vagy létezik a munkásoknak olyan részhalmaza, hogy a munkások száma több, mint azon munkák száma, amennyit együttesen el tudnak látni.) Feladat: Egy tervező iroda 5 tervfeladatot kap. Az iroda 5 munkatársa kapja a feladatokat ( mindenki egyet és csak egyet). Ismert az egyes munkatársak felkészültségének és a munkában mutatott intenzitásának figyelembevételével a feladatok megoldásához szükséges idő napokban. F F2 F F4 F5 T T2 2 4 T 2 2 T T Melyik tervező melyik feladatot kapja, hogy az iroda minél hamarabb teljesítse a megbízást? 2

3 Futószalag feladat (szűkkeresztmetszet feladat) Egy üzemben működő futószalag J, J 2,, J j,, J n munkahelyeire az I, I 2,, I i,, I n munkások állíthatók be dolgozni. Ismertek a t ij > 0 i=,2,,n; j=,2,,n értékek (nem negatív egész szám), amelyek azt az időt mutatják, amennyi idő alatt az I i munkás a J j munkahely feladatát el tudja látni. Feladat úgy elhelyezni a munkásokat a futószalag melletti munkahelyekre, hogy a leghosszabb műveleti idő ( a futószalag továbbítási üteme ) minimális legyen. Futószalag feladat A megoldás algoritmusa: Elkészítünk egy kezdeti hozzárendelést. Ebben a kezdeti H hozzárendelésben a maximális műveleti időt jelölje t: t = max t ij. (i,j) H Ezután készítsük el egy n*n-es egyszerű Kőnig-feladat kvalifikációs mátrixát úgy, hogy az (i,j)-dik cellában álljon, ha t ij < t. Ha ez az egyszerű Kőnig-feladat nem oldható meg, akkor a H hozzárendelés a feladat optimális megoldása. Ha ez az egyszerű Kőnig-feladat megoldható - jelölje az új hozzárendelést H nyilván t = max t ij < max t ij. (i,j) H (i,j) H Az eredeti feladatunkra jobb megoldást kaptunk.

4 Futószalag feladat Az eljárást addig ismételjük, amíg olyan H hozzárendelést kapunk, amelyhez tartozó egyszerű Kőnig-feladat nem oldható meg. Oldjuk meg az alábbi futószalag feladatot! J J 2 J J 4 J 5 J I 2 I I I I 2 5 Futószalag feladat 0.lépés: Adjunk meg egy kezdeti hozzárendelést! J J 2 J J 4 J 5 J I 2 I I I I 2 5 t= 4

5 Futószalag feladat. lépés : A házasság feladat kvalifikációs mátrixa, és az útkeresés. J J 2 J J 4 J 5 J I +J Van út! I 2 I +J 2 +J A házasság feladat megoldható, egy jobb hozzárendelés adható meg! I 4 I +s +I +I +I -I -I -I J J 2 J J 4 J 5 J I 2 I I I I 2 5 Futószalag feladat.lépés: Adjunk meg a jobb hozzárendelést! I I J 2 J 2 J I 2 I I 2 5 J 4 4 J 5 J 9 t=5 5

6 Futószalagfeladat 2. lépés : A házasság feladat kvalifikációs mátrixa, és az útkeresés. J J 2 J J 4 J 5 J I I 2 I +J -J 2 Van út! A házasság feladat megoldható, egy jobb hozzárendelés adható meg! I 4 I +s +I +I -I -I -I I 2 I I 2 I I J 2 J 2 J 5 J 4 4 J 5 J 9 Futószalag feladat 2.lépés: Adjunk meg a jobb hozzárendelést! I I J 2 J 2 J I 2 I I 2 5 J 4 4 J 5 J 9 t=4

7 Futószalag feladat. lépés : A házasság feladat kvalifikációs mátrixa, és az útkeresés. I I 2 I I 4 I J J 2 J J 4 J 5 J +I +I +I A futószalag ütemideje t=4. +I +I +J +J 2 +s +J +J 5 +J Nincs út! Ez a házasság feladat már nem valósítható meg, ezért az előző hozzárendelés már optimális! I I J 2 J 2 J I 2 I I 2 5 J 4 4 J 5 J 9 Feladat: Egy beruházás során az E, E2,, E5 eszközök közül választhatunk, amelyeknek a beszerzési költsége rendre 9,2,,7,5 pénzegység. A vállalat az eszközök bizonyos csoportjait tudja hasznosan felhasználni, éspedig ezek a következők: {E,E}, {E2,E4}, {E,E,E5}. Ezek hasznossága rendre,2, pénzegység. Melyik eszközöket vásároljuk meg, hogy az összhasznosság és az eszközök árának különbsége a lehető legnagyobb legyen? Táblázatosan: E E2 E E4 E5 C * * 2 C2 * * C * * * 7

8 E E2 E E4 E5 C * * 2 C2 * * C * * * Megoldás: Jelöljük E j -vel az eszközöket, C i -vel az eszközcsoportokat. Legyen a i a C i hasznossága, b j pedig az E j beszerzési költsége. Legyen R a megvásárolandó eszközök halmaza és R a nem megvásárolt eszközök halmaza, jelölje P az R halmazba tartozó eszközök által meghatározott eszközcsoportokat és P a többi eszközcsoportot. Ekkor a maximalizálandó célfüggvény: a i - b j a i - b j Alakítsuk át a célfüggvényt: a i - b j = a i - a i - b j = a i ( a i + b j ) max A fenti maximalizálás a a i konstans értéke miatt ekvivalens a i + b j minimalizálásával. Ez nem más, mint az általános Kőnig feladat folyamproblémára visszavezetett hálózatában a vágás értéke, amit a folyamproblémában minimalizálni kell.

9 Ábrán szemléltetve: S C a C 2 a 2 a p s s C p a p+ C p+ a m C m E E r b b r E r+ b r+ b n E n A feladat megoldását a Kőnig feladat megoldására megismert algoritmussal végezzük. Három eset lehetséges:. S={s} Kőnig feladat megoldható és R=0 Egyik eszközt sem szabad megvenni! 2. S ={s } Kőnig feladat nem oldható meg és R=E Célszerű mindegyik eszközt megvenni!. Ha a vágás az ábra szerinti, akkor az S-beli R eszközhalmaz az optimális megoldás (a megcímkézett eszközök) Ellátási feladat Oldjuk meg az ismertetett ellátási feladatot! E E2 E E4 E5 C * * 2 C2 * * C * * * A feladat megoldása az általános Kőnig feladat megoldási algoritmusával történik. 9

10 Ellátási feladat 0. lépés: Készítsünk kezdeti szállítást az Észak-Nyugati sarokmódszer segítségével E E2 E E4 E5 C * * 2 C2 * * C * * * E E2 E E4 E5 0 C C C Ellátási feladat. lépés: Oldjuk meg a Kőnig feladatot E E2 E E4 E5 0 C C s 0 C A Kőnig feladat nem oldható meg! Javasolt eszköz vásárlás: R={E2,E4} Célfüggvény értéke: 2-(2+7)= +C2 +C E E2 E E4 E5 C * * 2 C2 * * C * * * 0

11 Vége a mai órának!

Hasonló dokumentumok

Hálózati Folyamok Alkalmazásai. Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék

Hálózati Folyamok Alkalmazásai Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék Maximális folyam 7 7 9 3 2 7 source 8 4 7 sink 7 2 9 7 5 7 6 Maximális folyam feladat Adott [N, A] digráf (irányított