Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
|
|
- Eszter Zsófia Vargané
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Operációkutatás I. 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás
2 Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat és katona gyártása, fa és festék kell) Max z = 3x 1 + 2x 2 [profit] x 1 + x 2 80 [fa] 2x 1 + x [festék] x 1, x 2 0 Legyen egy egység fa piaci ára y 1 ($), egy egység festék ára y 2 ($). Mit tehet a gyártó? Eladhatja az erőforrásait (fa, festék) piaci áron Vehet további fát és festéket Gyárt a rendelkezésre álló erőforrásokból és eladja a játékokat Mi a legjobb stratégia (feltéve, hogy mindent tényleg el tud adni)?
3 Árazási interpretáció Ha eladja a készletét 80y y 2 profitra tesz szert Ha egy katona (piaci) előálĺıtási ára kisebb, mint az eladási ára, azaz y 1 + 2y 2 < 3($) akkor a gyártó korlátlan hasznot el tud érni. Miért? 1 db katona gyártási költsége y 1 + 2y 2 = x 1 db katona esetén: (y 1 + 2y 2 )x 1 a költség Mivel y 1 + 2y 2 < 3, legyen pl. y 1 + 2y 2 = 2.9$ (költség), az eladási ár pedig 3$ = 1db katona esetén a profit 0.1$ = x 1 db katona esetén: 0.1x 1 $ (ami tetszőlegesen nagy lehet)
4 Árazási interpretáció Hasonlóan megy a dolog a vonatokra is: Ha egy vonat (piaci) előálĺıtási ára kisebb, mint az eladási ára, azaz y 1 + y 2 < 2($) akkor a gyártó korlátlan hasznot el tud érni. De hogyan működik a piac? A piac (hosszú távon) nem engedi, hogy a gyártó korlátlan haszonra tegyen szert. Ellenkezőleg, úgy álĺıtja be az árakat, hogy a gyártó a lehető legkisebb profitot realizálja.
5 Árazási interpretáció: a piac ár képzése A piac a következő optimalizálási feladatot oldja meg : Min 80y y 2 y 1 + 2y 2 3 [katonák] y 1 + y 2 2 [vonatok] y 1, y 2 0 Ezt hívjuk az eredeti feladat duálisának Az eredeti feladatot (ez alapján) primál feladatnak hívjuk.
6 Primál-duál feladatpár A primál feladat: A duál feladat: Max z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + x x 1 + x x 1, x 2 0 Min w = 80y y 2 y 1 + 2y 2 3 y 1 + y 2 2 y 1, y 2 0
7 Primál-duál feladatpár A primál-duál feladatpár általánosan: n a ij x j b i i = 1,2,... m j=1 Primál feladat x j 0 j = 1,2,... n n max c i x i = z i=1 m a ij y i c j j = 1,2,... n i=1 Duál feladat y i 0 i = 1,2,... m m min b i y i = w i=1
8 Primál-duál feladatpár A primál-duál feladatpár általánosan, mátrix formában: A primál feladat: A duál feladat: Max c T x = z Ax b x 0 Min b T y = w A T y c y 0 A duál a (standard alakú) primából egyszerűen megkapható transzponáljuk A mátrixot cseréljük fel b és c vektorok szerepét cseréljük az egyenlőtlenségeket -ra Max helyett Min feladatot írunk fel
9 Primál-duál feladatpár Álĺıtás. A duál feladat duálisa az eredeti primál feladat. Bizonyítás. Átírva a duális feladatot maximalizálási standard alakra m ( a ij)y i c j j = 1,2,... n i=1 Duál feladat y i 0 i = 1,2,... m m max ( b i)y i = w i=1 n ( a ij)x j b i i = 1,2,... m j=1 Duál duálisa x j 0 j = 1,2,... n n min (c j)x j = z j=1 ami ekvivalens a primál feladattal.
10 Gazdasági értelmezés Tegyük fel, hogy az LP feladatunk egy korlátozott erőforrások mellett maximális nyereséget célzó gyártási folyamat modellje (ld. katona-vonat mintapélda): m erőforrások száma n gyártott termékek száma x j j termékből gyártott mennyiség a ij j termék egységnyi mennyiségének előálĺıtásához szükséges mennyiség a i erőforrásból b i az i erőforrásból rendelkezésre álló mennyiség c j a j termék egységnyi előálĺıtásával (majd eladásával) keletkező haszon
11 Gazdasági értelmezés A duál feladat megoldásában y i a primál (eredeti) feladat i erőforrásához tartozó ún. marginális ár, vagy más néven árnyék ár. Az erőforrás értéke az LP megoldójának szemszögéből Az i erőforrás mennyiségének növelésével (bizonyos határokon belül) éppen yi -gal nő a nyereség (azaz a célfüggvény értéke) Viszont ha túl sok van egy erőforrásból, az nem érhet sokat 1 Továbbá yi -nál többet már nem érdemes fizetni az i erőforrásért, míg kisebbet igen 1 ld. később komplementáris lazaság rész
12 Gyenge dualitás tétel Tétel. (Gyenge dualitás) Ha x = (x 1,..., x n ) lehetséges megoldása a primál feladatnak és y = (y 1,..., y m ) lehetséges megoldása a duál feladatnak, akkor c T x b T y, azaz n m c j x j b i y i. j=1 Vagyis a duális feladat bármely lehetséges megoldása felső korlátot ad a primál bármely lehetséges megoldására (azaz az optimális megoldásra is). Bizonyítás. Egyszerű helyettesítés becsléssel: ( n n m ) m n c j x j y i a ij x j = x j a ij y i j=1 vagy mátrixosan: j=1 i=1 i=1 i=1 j=1 c T x (A T y) T x = (y T A)x = y T (Ax) y T b = b T y m b i y i, i=1
13 Gyenge dualitás Látjuk, hogy a korlátosság és a megoldhatóság nem függetlenek egymástól Ha a primál nem korlátos, akkor a duálnak nincs lehetséges megoldása Hasonlóan, ha a duál nem korlátos, akkor a primálnak nincs lehetséges megoldása Lehetséges, hogy egyiknek sincs lehetséges megoldása De ha mindkettőnek van, akkor mindkettő korlátos Továbbá a primál és a duál feladat egyidejű optimalitása ellenőrizhető
14 Primál-duál esetek
15 Erős dualitás tétel Tétel. (Erős dualitás) Ha x = (x 1,..., x n ) egy optimális megoldása a primál feladatnak és y = (y 1,..., y m ) optimális megoldása a duál feladatnak, akkor c T x = b T y, azaz n c j x j = j=1 m b i y i. i=1 Továbbá az is igaz, hogy y T (b Ax ) = 0 és x T (A T y c) = 0. Egyszerűen: ha valamely i-edik feltétel egyenlet nem éles (azaz nincs egyenlőség) a primál optimumban, akkor a kapcsolódó duál y i változó 0 kell legyen. Visszafelé, ha egy primál x i változó szigorúan pozitív, akkor a kapcsolódó duális feltétel egyenlet éles (=) kell legyen. Ezt komplementáris lazaságnak hívjuk.
16 Erős dualitás tétel A második rész bizonyítása: 0 y T (b Ax) = y T b y T Ax = b T y (A T y) T x b T y c T x = 0, illetve 0 x T (A T y c) = (y T A c T )x = y T (Ax) c T x y T b c T x = b T y c T x = 0.
17 Erős dualitás tétel Az első rész bizonyítás vázlata példán keresztül: Példa. Adott a következő primál feladat: x 1 x 2 x 3 + 3x 4 1 5x 1 + x 2 + 3x 3 + 8x 4 55 x 1 + 2x 2 + 3x 3 5x 4 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0 max 4x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 = z A feladat megoldásának utolsó szótára x 4 = 5 x 1 x 3 x 5 x 7 x 6 = 1 + 5x 1 + 9x x x 7 x 2 = 14 2x 1 4x 3 5x 5 3x 7 z = 29 2x 1 2x 3 11x 5 6x 7
18 A duális feladat: y 1 + 5y 2 y 3 4 y 1 + y 2 + 2y 3 1 y 1 + 3y 2 + 3y 3 5 3y 1 + 8y 2 5y 3 3 y 1, y 2, y 3 0 min y y 2 + 3y 3 = w A duális egy optimális megoldása: y = (11, 0, 6) A primál feladat utolsó szótárában a mesterséges változók célfüggvény együtthatói: c 5 = 11, c 6 = 0, c 7 = 6 (Mit veszünk észre?)
19 Erős dualitás tétel A gyenge dualitási tétel miatt elég, ha találunk egy olyan (y1, y 1, y 3 ) duál lehetséges megoldást, amelyre 4 j=1 c jx j = 3 i=1 b iyi Az eredeti feladat utolsó szótárából kiolvasható a duális feladat megoldása. A példában x 4 = 5 x 1 x 3 x 5 x 7 x 6 = 1 + 5x 1 + 9x x x 7 x 2 = 14 2x 1 4x 3 5x 5 3x 7 z = 29 2x 1 2x 3 11x 5 +0x 6 6x 7 A duális változók az eredeti feladat mesterséges változóihoz rendelhetők: x 5 y 1, x 6 y 2, x 7 y 3 y 1 = 11, y 2 = 0, y 3 = 6 Az általános esetben az utolsó szótárhoz érve kell számolással az optimumok egyenlőségét.
20 Dualitási tételből adódó lehetőségek A dualitás fogalma rendkívül hasznos, mert rugalmas hozzáállást teszt lehetővé az LP feladatok megoldásánál. 1 A szimplex algoritmus iterációszáma közeĺıtőleg a sorok számával arányos sok feltétel, kevés változó esetén érdemes áttérni a duálisra 2 Ha az első esetben szükség van 2 fázisra, míg a duálisnál nincs, érdemes áttérni 3 Ha menet közben kell új feltételeket hozzávenni az LP-hez a duál feladattal dolgozva az új feltétel csak egy új, nembázis változóként jelenik meg hozzávesszük az aktuális szótárhoz, és folytatjuk a feladatmegoldást
21 Általános LP feladat Mi a helyzet akkor, ha az LP feladatunk tartalmaz egyenlőséget vagy nem korlátozott változót (ami felvehet negatív értéket is)? A jó hír, hogy ez kezelhető, ugyanis az egyenlőség feltétel egy nem korlátozott (duál) változóhoz tartozik egy nem korlátozott változó esetén egy egyenlőség feltétel kell legyen (a duálban) Miért? Például tegyük fel, hogy x 1 + x 2 = 80 [fa] 3x 1 + 2x 2 5x 1 + 2x 2 = ( 1) (x 1 + x 2 ) +3 (2x }{{} 1 + x 2 ) }{{} = Azaz y 1 nem korlátozott (itt 1) = 220$
22 Általános LP feladat Visszafelé, tfh. x 1 -nek nincs előjelre vonatkozó korlátozása Ekkor például 3x 1 + 2x 2 4x 1 + 2x 2 nem igaz (pl. ha x 1 = 1; x 2 0 továbbra is áll) általánosan 3x 1 (y 1 + 2y 2 )x 1 [ ], vagyis y 1 + 2y 2 értéket beálĺıtva a maximális 3 értékre negatív x 1 esetén is igaz marad a [ ] felső becslés. Hasonlóan igaz, hogy egy primál feltétel egy nem-pozitív duál változóhoz tartozik nem-pozitív primál változóhoz egy duál feltétel tartozik
23 Általános LP feladat Összegezve: Primál (Max) Duál (Min) i-edik feltétel y i 0 i-edik feltétel y i 0 i-edik feltétel = y i nem korlátozott x i 0 i-edik feltétel x i 0 i-edik feltétel x i nem korlátozott i-edik feltétel =
24 Általános LP feladat Példa. Primál Duál Max z = 3x 1 + 2x 2 + x 3 x 1 + x x x 1 + x 2 + x 3 = 100 x 1 + x 3 40 x 1 x 2 0 x 3 0 nem korlátozott Min w = 80y y y 3 y 1 + 2y 2 + y 3 = 3 y 1 + y y 1 + y 2 + y 3 1 y 1 0 y 2 nem korlátozott y 3 0
25 LP feladatok megoldhatósága Inkonzisztencia: egyenletek és egyenlőtlenségek egy m elemű n a ij x j b i j=1 n a ij x j = b i j=1 i I i E rendszere inkonzisztens, ha léteznek olyan y 1, y 2,..., y m valós számok, amelyekre teljesül, hogy m a ij y i = 0 i=1 m b i y i < 0 i=1 y i 0 j = 1, 2,..., n i I
26 LP feladatok megoldhatósága Tucker lehetetlenségi tétele egyenlet és egyenlőtlenség rendszerekre. Egyenletek és egyenlőtlenségek egy rendszere akkor és csak akkor megoldhatatlan, ha inkonzisztens Nem bizonyítjuk A tétel bizonyítható a lineáris programozás alaptételének és az erős dualitás tételének általános LP feladatokra vonatkozó formájára támaszkodva
27 Komplementáris lazaság Ha a primál-duál feladatpár Max c T x Ax b x 0 Min b T y A T y c y 0 akkor azt mondjuk, hogy x = (x 1,... x n ) és y 1 = (y 1,..., y m ) komplementárisak, ha y T (b Ax) = 0 és x T (A T y c) = 0. Vagyis ha y i > 0, akkor x-et az i-edik egyenletbe helyettesítve =-et kapunk ( a feltétel éles ) ha x i > 0, akkor y-t a duális feladat i-edik egyenletébe helyettesítve az = teljesül
28 Komplementáris lazaság A primál feladat: Max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 6 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 6 b 2 x 1 x 2 x 3 0 A duális: Min w = b 1 y 1 + b 2 y 2 a 11 y 1 + a 21 y 2 c 1 a 12 y 1 + a 22 y 2 c 2 a 13 y 1 + a 23 y 2 c 3 y 1 y 2 0 Komplementáris lazaság: y i (b i a i1 x 1 a i2 x 2 a i3 x 3 ) = 0 (i = 1,2) x i (a 1j y 1 + a 2j y 2 c j ) = 0 (j = 1,2,3)
29 Komplementáris lazaság tétel Az erős dualitás tételnél több is tudunk mondani: Tétel. (Komplementáris lazaság) Tegyük fel, hogy x a primál feladat optimális megoldása. Ekkor Ha y a duál optimális megoldása, akkor x és y komplementáris Ha y lehetséges megoldása a duálisnak és komplementáris x-szel, akkor y optimális megoldása a duálnak Létezik olyan lehetséges y megoldása a duálnak, hogy x és y komplementáris.
30 Komplementáris lazaság Tekintsük a következő feladatot: Max z = 6x 1 + x 2 x 3 x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 5 3x 1 + x 2 x 3 8 x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 nem korlátos x 2, x 3, x 4 0 Azt szeretnénk ellenőrizni, hogy vajon a következők egyike optimális megoldás-e: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0 x 1 = 3, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0 Gondoljuk át, miért pont ezeket választottuk?
31 Komplementáris lazaság: példa Annak ellenőrzéséhez, hogy a javasolt megoldások valamelyik optimális-e, kelleni fog a duális feladat: Max z = 6x 1 + x 2 x 3 x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 5 3x 1 + x 2 x 3 8 x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 nem korlátos x 2, x 3, x 4 0 Duál: Min w = 5y 1 + 8y 2 + y 3 y 1 + 3y 2 = 6 2y 1 + y 2 + y 3 1 y 1 y 2 + y 3 1 y 1 + y 3 1 y 1, y 2 0 y 3 nem korlátos
32 Komplementáris lazaság: példa Az első javaslat: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0; tegyük fel, hogy ez optimális Ekkor létezik y = (y 1, y 2, y 3 ) lehetséges megoldása a duálisnak ami komplementáris x-szel Az első primál feltétel: x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = = 4 < 5 nem éles y 1 = 0 kell legyen a komplementaritás miatt A második primál feltétel: 3x 1 + x 2 x 3 = = 7 < 8 nem éles y 2 = 0 kell legyen a komplementaritás miatt Ezek alapján az első duál feltétel: y 1 + 3y 2 = = 0 6 azaz (y 1, y 2, y 3 ) nem lehetséges megoldása a duálnak, de feltettük, hogy az x nem optimális megoldása a primálnak
33 Komplementáris lazaság: példa Az második javaslat: x 1 = 3, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0; tegyük fel, hogy ez optimális Ekkor létezik y = (y 1, y 2, y 3 ) lehetséges megoldása a duálisnak ami komplementáris x-szel Az első primál feltétel: x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = = 4 < 5 nem éles y 1 = 0 kell legyen a komplementaritás miatt A második primál feltétel: 3x 1 + x 2 x 3 = = 8 éles A harmadik primál feltétel: x 2 + x 3 + x 4 = = 1 éles Előjel feltételek is teljesülnek (x 1, x 2, x 3, x 4 0) x lehetséges megoldása a primálnak
34 Komplemetáris lazaság: példa Nézzünk meg a x értékeit a duálra vonatkozóan x 1 nem korlátos első duál feltétel y 1 + 3y 2 = 6 éles (szükségszerűen) x 3 > 0 a harmadik duál feltételnek élesnek kell legyen: y 1 y 2 + y 3 = 1 Összegezve az eddigieket: y 1 = 0 y 1 + 3y 2 = 6 y 1 y 2 + y 3 = 1 Ennek az egyértelmű megoldása: y 1 = 0, y 2 = 2, y 3 = 1. A konstrukcióból adódóan ez komplementáris x-szel. Az utolsó lépés annak ellenőrzése, hogy y lehetséges megoldása-e a duálnak. Igen x optimális megoldása a primálnak.
35 Komplementáris lazaság: összegzés Összefoglalva: 1 Adott x (javasolt primál megoldás), ellenőrizzük, hogy lehetséges-e 2 Nézzük meg mely y i változóknak kell 0-nak lennie 3 Nézzük meg mely duál feltételeknek kell élesnek lennie egyenletrendszert kapunk 4 Oldjuk meg ezt a rendszert 5 Ellenőrizzük, hogy a kapott megoldás lehetséges megoldása-e a duálnak Ha minden lépés sikeres volt, akkor az adott x optimális, különben nem. Kérdés: mi van akkor, ha x lehetséges, de nem bázismegoldás?
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenKövetelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
RészletesebbenKövetelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenÁttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
RészletesebbenA szimplex algoritmus
. gyakorlat A szimplex algoritmus Az előző órán bevezetett feladat optimális megoldását fogjuk megvizsgálni. Ehhez új fogalmakat, és egy algoritmust tanulunk meg. Hogy az algoritmust alkalmazni tudjuk,
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenKétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenA szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
Részletesebben2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenÉrzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
RészletesebbenOperációkutatás példatár
1 Operációkutatás példatár 2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
RészletesebbenAlkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,
RészletesebbenDöntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba
I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenDiverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenBevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.
Részletesebben11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
Részletesebbenlineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását
1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenA dualitás elve. Készítette: Dr. Ábrahám István
A dalitás elve Készítette: Dr. Ábrahám István A dalitás fogalma, alapösszefüggései Definíció: Adott a lineáris programozás maimm feladata: 0 A b f()=c* ma Ekkor felírható a kővetkező minimm feladat: y
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Részletesebben3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
3. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI
1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c
RészletesebbenTovábbi programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 3. Gyakorlat Egy újságárus 20 centért szerez be egy adott napilapot a kiadótól és 25-ért adja
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenEgyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma
Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben
RészletesebbenTartalom. Matematikai alapok. Fontos fogalmak Termékgyártási példafeladat
6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
Részletesebbenb) Írja fel a feladat duálisát és adja meg ennek optimális megoldását!
1. Három nemnegatív számot kell meghatározni úgy, hogy az elsőt héttel, a másodikat tizennéggyel, a harmadikat hattal szorozva és ezeket a szorzatokat összeadva az így keletkezett szám minél nagyobb legyen.
RészletesebbenG Y A K O R L Ó F E L A D A T O K
Döntéselmélet G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K Lineáris programozás I Egy vállalat kétféle terméket gyárt, az A és B termékeket. A következő adatok ismertek: A vállalat éves munkaóra-kapacitása 1440 óra,
RészletesebbenLineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenOptimumkeresés számítógépen
C Optimumkeresés számítógépen Az optimumok megtalálása mind a gazdasági életben, mind az élet sok más területén nagy jelentőségű. A matematikában számos módszert dolgoztak ki erre a célra, például a függvények
RészletesebbenBranch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAz ellipszoid algoritmus
Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenOptimalizálási eljárások MSc hallgatók számára Előadás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 2 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter 2014. február 20-27. 1. Dualizálás Tekintsük az alábbi, explicit feltételekkel megadott optimalizálási feladatot, amelyet
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenDöntési módszerek Tantárgyi útmutató
Gazdálkodási és menedzsment alapszak Nappali tagozat Döntési módszerek Tantárgyi útmutató 2018/19. tanév II. félév 1 Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa: Döntési módszerek. D Kontaktórák száma/hét:
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenOperációkutatás vizsga
Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenA minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel
A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel 1 A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel DR. BENKŐJÁNOS GATE, Logisztikai Tanszék A hálózat
RészletesebbenNövényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
Részletesebben1. Előadás Lineáris programozás
1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és
RészletesebbenKlasszikus alkalmazások
Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási
RészletesebbenOperációkutatás II. Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo Nappali Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás II. Tantárgy kódja: OPKT2KOMEMM Tanterv szerinti óraszám:
RészletesebbenOperációkutatás gyakorlattámogató jegyzet
TÁMOP-4...F-4//KONV-05-0009 A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK DUÁLIS ÉS MODULÁRIS KÉPZÉSEINEK KIALAKÍTÁSA A PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEMEN Király Balázs Operációkutatás gyakorlattámogató jegyzet Pécs 05 A
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
RészletesebbenOperációkutatás II. Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo Nappali Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás II. Tantárgy kódja: OPKT2KOMEMM Tanterv szerinti óraszám:
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
Részletesebben462 Trigonometrikus egyenetek II. rész
Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #
RészletesebbenOperációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar
Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenLineáris programozás belsőpontos
Lineáris programozás belsőpontos módszerei illes@math.elte.hu Operációkutatási Tanszék Budapest 2007. február - április Speciális lineáris programozási feladat (példa) Legyen adott a következő lineáris
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................
Részletesebben1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a
A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebbenoperációkutatás példatár
operációkutatás példatár . MŰVELETEK MÁTIXOKKAL. (Megoldás a.-es gyakorló ideóban.) Itt annak ezek a mátriok illete ektorok: A c B d * E f * Végezzük el a köetkező műeleteket: A B B E B c B A A E B d..
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
Részletesebben