Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet"

Átírás

1 Operációkutatás I. 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás

2 Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat és katona gyártása, fa és festék kell) Max z = 3x 1 + 2x 2 [profit] x 1 + x 2 80 [fa] 2x 1 + x [festék] x 1, x 2 0 Legyen egy egység fa piaci ára y 1 ($), egy egység festék ára y 2 ($). Mit tehet a gyártó? Eladhatja az erőforrásait (fa, festék) piaci áron Vehet további fát és festéket Gyárt a rendelkezésre álló erőforrásokból és eladja a játékokat Mi a legjobb stratégia (feltéve, hogy mindent tényleg el tud adni)?

3 Árazási interpretáció Ha eladja a készletét 80y y 2 profitra tesz szert Ha egy katona (piaci) előálĺıtási ára kisebb, mint az eladási ára, azaz y 1 + 2y 2 < 3($) akkor a gyártó korlátlan hasznot el tud érni. Miért? 1 db katona gyártási költsége y 1 + 2y 2 = x 1 db katona esetén: (y 1 + 2y 2 )x 1 a költség Mivel y 1 + 2y 2 < 3, legyen pl. y 1 + 2y 2 = 2.9$ (költség), az eladási ár pedig 3$ = 1db katona esetén a profit 0.1$ = x 1 db katona esetén: 0.1x 1 $ (ami tetszőlegesen nagy lehet)

4 Árazási interpretáció Hasonlóan megy a dolog a vonatokra is: Ha egy vonat (piaci) előálĺıtási ára kisebb, mint az eladási ára, azaz y 1 + y 2 < 2($) akkor a gyártó korlátlan hasznot el tud érni. De hogyan működik a piac? A piac (hosszú távon) nem engedi, hogy a gyártó korlátlan haszonra tegyen szert. Ellenkezőleg, úgy álĺıtja be az árakat, hogy a gyártó a lehető legkisebb profitot realizálja.

5 Árazási interpretáció: a piac ár képzése A piac a következő optimalizálási feladatot oldja meg : Min 80y y 2 y 1 + 2y 2 3 [katonák] y 1 + y 2 2 [vonatok] y 1, y 2 0 Ezt hívjuk az eredeti feladat duálisának Az eredeti feladatot (ez alapján) primál feladatnak hívjuk.

6 Primál-duál feladatpár A primál feladat: A duál feladat: Max z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + x x 1 + x x 1, x 2 0 Min w = 80y y 2 y 1 + 2y 2 3 y 1 + y 2 2 y 1, y 2 0

7 Primál-duál feladatpár A primál-duál feladatpár általánosan: n a ij x j b i i = 1,2,... m j=1 Primál feladat x j 0 j = 1,2,... n n max c i x i = z i=1 m a ij y i c j j = 1,2,... n i=1 Duál feladat y i 0 i = 1,2,... m m min b i y i = w i=1

8 Primál-duál feladatpár A primál-duál feladatpár általánosan, mátrix formában: A primál feladat: A duál feladat: Max c T x = z Ax b x 0 Min b T y = w A T y c y 0 A duál a (standard alakú) primából egyszerűen megkapható transzponáljuk A mátrixot cseréljük fel b és c vektorok szerepét cseréljük az egyenlőtlenségeket -ra Max helyett Min feladatot írunk fel

9 Primál-duál feladatpár Álĺıtás. A duál feladat duálisa az eredeti primál feladat. Bizonyítás. Átírva a duális feladatot maximalizálási standard alakra m ( a ij)y i c j j = 1,2,... n i=1 Duál feladat y i 0 i = 1,2,... m m max ( b i)y i = w i=1 n ( a ij)x j b i i = 1,2,... m j=1 Duál duálisa x j 0 j = 1,2,... n n min (c j)x j = z j=1 ami ekvivalens a primál feladattal.

10 Gazdasági értelmezés Tegyük fel, hogy az LP feladatunk egy korlátozott erőforrások mellett maximális nyereséget célzó gyártási folyamat modellje (ld. katona-vonat mintapélda): m erőforrások száma n gyártott termékek száma x j j termékből gyártott mennyiség a ij j termék egységnyi mennyiségének előálĺıtásához szükséges mennyiség a i erőforrásból b i az i erőforrásból rendelkezésre álló mennyiség c j a j termék egységnyi előálĺıtásával (majd eladásával) keletkező haszon

11 Gazdasági értelmezés A duál feladat megoldásában y i a primál (eredeti) feladat i erőforrásához tartozó ún. marginális ár, vagy más néven árnyék ár. Az erőforrás értéke az LP megoldójának szemszögéből Az i erőforrás mennyiségének növelésével (bizonyos határokon belül) éppen yi -gal nő a nyereség (azaz a célfüggvény értéke) Viszont ha túl sok van egy erőforrásból, az nem érhet sokat 1 Továbbá yi -nál többet már nem érdemes fizetni az i erőforrásért, míg kisebbet igen 1 ld. később komplementáris lazaság rész

12 Gyenge dualitás tétel Tétel. (Gyenge dualitás) Ha x = (x 1,..., x n ) lehetséges megoldása a primál feladatnak és y = (y 1,..., y m ) lehetséges megoldása a duál feladatnak, akkor c T x b T y, azaz n m c j x j b i y i. j=1 Vagyis a duális feladat bármely lehetséges megoldása felső korlátot ad a primál bármely lehetséges megoldására (azaz az optimális megoldásra is). Bizonyítás. Egyszerű helyettesítés becsléssel: ( n n m ) m n c j x j y i a ij x j = x j a ij y i j=1 vagy mátrixosan: j=1 i=1 i=1 i=1 j=1 c T x (A T y) T x = (y T A)x = y T (Ax) y T b = b T y m b i y i, i=1

13 Gyenge dualitás Látjuk, hogy a korlátosság és a megoldhatóság nem függetlenek egymástól Ha a primál nem korlátos, akkor a duálnak nincs lehetséges megoldása Hasonlóan, ha a duál nem korlátos, akkor a primálnak nincs lehetséges megoldása Lehetséges, hogy egyiknek sincs lehetséges megoldása De ha mindkettőnek van, akkor mindkettő korlátos Továbbá a primál és a duál feladat egyidejű optimalitása ellenőrizhető

14 Primál-duál esetek

15 Erős dualitás tétel Tétel. (Erős dualitás) Ha x = (x 1,..., x n ) egy optimális megoldása a primál feladatnak és y = (y 1,..., y m ) optimális megoldása a duál feladatnak, akkor c T x = b T y, azaz n c j x j = j=1 m b i y i. i=1 Továbbá az is igaz, hogy y T (b Ax ) = 0 és x T (A T y c) = 0. Egyszerűen: ha valamely i-edik feltétel egyenlet nem éles (azaz nincs egyenlőség) a primál optimumban, akkor a kapcsolódó duál y i változó 0 kell legyen. Visszafelé, ha egy primál x i változó szigorúan pozitív, akkor a kapcsolódó duális feltétel egyenlet éles (=) kell legyen. Ezt komplementáris lazaságnak hívjuk.

16 Erős dualitás tétel A második rész bizonyítása: 0 y T (b Ax) = y T b y T Ax = b T y (A T y) T x b T y c T x = 0, illetve 0 x T (A T y c) = (y T A c T )x = y T (Ax) c T x y T b c T x = b T y c T x = 0.

17 Erős dualitás tétel Az első rész bizonyítás vázlata példán keresztül: Példa. Adott a következő primál feladat: x 1 x 2 x 3 + 3x 4 1 5x 1 + x 2 + 3x 3 + 8x 4 55 x 1 + 2x 2 + 3x 3 5x 4 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0 max 4x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 = z A feladat megoldásának utolsó szótára x 4 = 5 x 1 x 3 x 5 x 7 x 6 = 1 + 5x 1 + 9x x x 7 x 2 = 14 2x 1 4x 3 5x 5 3x 7 z = 29 2x 1 2x 3 11x 5 6x 7

18 A duális feladat: y 1 + 5y 2 y 3 4 y 1 + y 2 + 2y 3 1 y 1 + 3y 2 + 3y 3 5 3y 1 + 8y 2 5y 3 3 y 1, y 2, y 3 0 min y y 2 + 3y 3 = w A duális egy optimális megoldása: y = (11, 0, 6) A primál feladat utolsó szótárában a mesterséges változók célfüggvény együtthatói: c 5 = 11, c 6 = 0, c 7 = 6 (Mit veszünk észre?)

19 Erős dualitás tétel A gyenge dualitási tétel miatt elég, ha találunk egy olyan (y1, y 1, y 3 ) duál lehetséges megoldást, amelyre 4 j=1 c jx j = 3 i=1 b iyi Az eredeti feladat utolsó szótárából kiolvasható a duális feladat megoldása. A példában x 4 = 5 x 1 x 3 x 5 x 7 x 6 = 1 + 5x 1 + 9x x x 7 x 2 = 14 2x 1 4x 3 5x 5 3x 7 z = 29 2x 1 2x 3 11x 5 +0x 6 6x 7 A duális változók az eredeti feladat mesterséges változóihoz rendelhetők: x 5 y 1, x 6 y 2, x 7 y 3 y 1 = 11, y 2 = 0, y 3 = 6 Az általános esetben az utolsó szótárhoz érve kell számolással az optimumok egyenlőségét.

20 Dualitási tételből adódó lehetőségek A dualitás fogalma rendkívül hasznos, mert rugalmas hozzáállást teszt lehetővé az LP feladatok megoldásánál. 1 A szimplex algoritmus iterációszáma közeĺıtőleg a sorok számával arányos sok feltétel, kevés változó esetén érdemes áttérni a duálisra 2 Ha az első esetben szükség van 2 fázisra, míg a duálisnál nincs, érdemes áttérni 3 Ha menet közben kell új feltételeket hozzávenni az LP-hez a duál feladattal dolgozva az új feltétel csak egy új, nembázis változóként jelenik meg hozzávesszük az aktuális szótárhoz, és folytatjuk a feladatmegoldást

21 Általános LP feladat Mi a helyzet akkor, ha az LP feladatunk tartalmaz egyenlőséget vagy nem korlátozott változót (ami felvehet negatív értéket is)? A jó hír, hogy ez kezelhető, ugyanis az egyenlőség feltétel egy nem korlátozott (duál) változóhoz tartozik egy nem korlátozott változó esetén egy egyenlőség feltétel kell legyen (a duálban) Miért? Például tegyük fel, hogy x 1 + x 2 = 80 [fa] 3x 1 + 2x 2 5x 1 + 2x 2 = ( 1) (x 1 + x 2 ) +3 (2x }{{} 1 + x 2 ) }{{} = Azaz y 1 nem korlátozott (itt 1) = 220$

22 Általános LP feladat Visszafelé, tfh. x 1 -nek nincs előjelre vonatkozó korlátozása Ekkor például 3x 1 + 2x 2 4x 1 + 2x 2 nem igaz (pl. ha x 1 = 1; x 2 0 továbbra is áll) általánosan 3x 1 (y 1 + 2y 2 )x 1 [ ], vagyis y 1 + 2y 2 értéket beálĺıtva a maximális 3 értékre negatív x 1 esetén is igaz marad a [ ] felső becslés. Hasonlóan igaz, hogy egy primál feltétel egy nem-pozitív duál változóhoz tartozik nem-pozitív primál változóhoz egy duál feltétel tartozik

23 Általános LP feladat Összegezve: Primál (Max) Duál (Min) i-edik feltétel y i 0 i-edik feltétel y i 0 i-edik feltétel = y i nem korlátozott x i 0 i-edik feltétel x i 0 i-edik feltétel x i nem korlátozott i-edik feltétel =

24 Általános LP feladat Példa. Primál Duál Max z = 3x 1 + 2x 2 + x 3 x 1 + x x x 1 + x 2 + x 3 = 100 x 1 + x 3 40 x 1 x 2 0 x 3 0 nem korlátozott Min w = 80y y y 3 y 1 + 2y 2 + y 3 = 3 y 1 + y y 1 + y 2 + y 3 1 y 1 0 y 2 nem korlátozott y 3 0

25 LP feladatok megoldhatósága Inkonzisztencia: egyenletek és egyenlőtlenségek egy m elemű n a ij x j b i j=1 n a ij x j = b i j=1 i I i E rendszere inkonzisztens, ha léteznek olyan y 1, y 2,..., y m valós számok, amelyekre teljesül, hogy m a ij y i = 0 i=1 m b i y i < 0 i=1 y i 0 j = 1, 2,..., n i I

26 LP feladatok megoldhatósága Tucker lehetetlenségi tétele egyenlet és egyenlőtlenség rendszerekre. Egyenletek és egyenlőtlenségek egy rendszere akkor és csak akkor megoldhatatlan, ha inkonzisztens Nem bizonyítjuk A tétel bizonyítható a lineáris programozás alaptételének és az erős dualitás tételének általános LP feladatokra vonatkozó formájára támaszkodva

27 Komplementáris lazaság Ha a primál-duál feladatpár Max c T x Ax b x 0 Min b T y A T y c y 0 akkor azt mondjuk, hogy x = (x 1,... x n ) és y 1 = (y 1,..., y m ) komplementárisak, ha y T (b Ax) = 0 és x T (A T y c) = 0. Vagyis ha y i > 0, akkor x-et az i-edik egyenletbe helyettesítve =-et kapunk ( a feltétel éles ) ha x i > 0, akkor y-t a duális feladat i-edik egyenletébe helyettesítve az = teljesül

28 Komplementáris lazaság A primál feladat: Max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 6 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 6 b 2 x 1 x 2 x 3 0 A duális: Min w = b 1 y 1 + b 2 y 2 a 11 y 1 + a 21 y 2 c 1 a 12 y 1 + a 22 y 2 c 2 a 13 y 1 + a 23 y 2 c 3 y 1 y 2 0 Komplementáris lazaság: y i (b i a i1 x 1 a i2 x 2 a i3 x 3 ) = 0 (i = 1,2) x i (a 1j y 1 + a 2j y 2 c j ) = 0 (j = 1,2,3)

29 Komplementáris lazaság tétel Az erős dualitás tételnél több is tudunk mondani: Tétel. (Komplementáris lazaság) Tegyük fel, hogy x a primál feladat optimális megoldása. Ekkor Ha y a duál optimális megoldása, akkor x és y komplementáris Ha y lehetséges megoldása a duálisnak és komplementáris x-szel, akkor y optimális megoldása a duálnak Létezik olyan lehetséges y megoldása a duálnak, hogy x és y komplementáris.

30 Komplementáris lazaság Tekintsük a következő feladatot: Max z = 6x 1 + x 2 x 3 x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 5 3x 1 + x 2 x 3 8 x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 nem korlátos x 2, x 3, x 4 0 Azt szeretnénk ellenőrizni, hogy vajon a következők egyike optimális megoldás-e: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0 x 1 = 3, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0 Gondoljuk át, miért pont ezeket választottuk?

31 Komplementáris lazaság: példa Annak ellenőrzéséhez, hogy a javasolt megoldások valamelyik optimális-e, kelleni fog a duális feladat: Max z = 6x 1 + x 2 x 3 x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 5 3x 1 + x 2 x 3 8 x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 nem korlátos x 2, x 3, x 4 0 Duál: Min w = 5y 1 + 8y 2 + y 3 y 1 + 3y 2 = 6 2y 1 + y 2 + y 3 1 y 1 y 2 + y 3 1 y 1 + y 3 1 y 1, y 2 0 y 3 nem korlátos

32 Komplementáris lazaság: példa Az első javaslat: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0; tegyük fel, hogy ez optimális Ekkor létezik y = (y 1, y 2, y 3 ) lehetséges megoldása a duálisnak ami komplementáris x-szel Az első primál feltétel: x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = = 4 < 5 nem éles y 1 = 0 kell legyen a komplementaritás miatt A második primál feltétel: 3x 1 + x 2 x 3 = = 7 < 8 nem éles y 2 = 0 kell legyen a komplementaritás miatt Ezek alapján az első duál feltétel: y 1 + 3y 2 = = 0 6 azaz (y 1, y 2, y 3 ) nem lehetséges megoldása a duálnak, de feltettük, hogy az x nem optimális megoldása a primálnak

33 Komplementáris lazaság: példa Az második javaslat: x 1 = 3, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0; tegyük fel, hogy ez optimális Ekkor létezik y = (y 1, y 2, y 3 ) lehetséges megoldása a duálisnak ami komplementáris x-szel Az első primál feltétel: x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = = 4 < 5 nem éles y 1 = 0 kell legyen a komplementaritás miatt A második primál feltétel: 3x 1 + x 2 x 3 = = 8 éles A harmadik primál feltétel: x 2 + x 3 + x 4 = = 1 éles Előjel feltételek is teljesülnek (x 1, x 2, x 3, x 4 0) x lehetséges megoldása a primálnak

34 Komplemetáris lazaság: példa Nézzünk meg a x értékeit a duálra vonatkozóan x 1 nem korlátos első duál feltétel y 1 + 3y 2 = 6 éles (szükségszerűen) x 3 > 0 a harmadik duál feltételnek élesnek kell legyen: y 1 y 2 + y 3 = 1 Összegezve az eddigieket: y 1 = 0 y 1 + 3y 2 = 6 y 1 y 2 + y 3 = 1 Ennek az egyértelmű megoldása: y 1 = 0, y 2 = 2, y 3 = 1. A konstrukcióból adódóan ez komplementáris x-szel. Az utolsó lépés annak ellenőrzése, hogy y lehetséges megoldása-e a duálnak. Igen x optimális megoldása a primálnak.

35 Komplementáris lazaság: összegzés Összefoglalva: 1 Adott x (javasolt primál megoldás), ellenőrizzük, hogy lehetséges-e 2 Nézzük meg mely y i változóknak kell 0-nak lennie 3 Nézzük meg mely duál feltételeknek kell élesnek lennie egyenletrendszert kapunk 4 Oldjuk meg ezt a rendszert 5 Ellenőrizzük, hogy a kapott megoldás lehetséges megoldása-e a duálnak Ha minden lépés sikeres volt, akkor az adott x optimális, különben nem. Kérdés: mi van akkor, ha x lehetséges, de nem bázismegoldás?

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/ Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor

Részletesebben

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus . gyakorlat A szimplex algoritmus Az előző órán bevezetett feladat optimális megoldását fogjuk megvizsgálni. Ehhez új fogalmakat, és egy algoritmust tanulunk meg. Hogy az algoritmust alkalmazni tudjuk,

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét

Részletesebben

4. Előadás: Erős dualitás

4. Előadás: Erős dualitás Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei

Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei 5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Operációkutatás példatár

Operációkutatás példatár 1 Operációkutatás példatár 2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen

Részletesebben

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre

Részletesebben

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását 1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Nem-lineáris programozási feladatok

Nem-lineáris programozási feladatok Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

A dualitás elve. Készítette: Dr. Ábrahám István

A dualitás elve. Készítette: Dr. Ábrahám István A dalitás elve Készítette: Dr. Ábrahám István A dalitás fogalma, alapösszefüggései Definíció: Adott a lineáris programozás maimm feladata: 0 A b f()=c* ma Ekkor felírható a kővetkező minimm feladat: y

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 3. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak

Részletesebben

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39 5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI 1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c

Részletesebben

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv

Részletesebben

Döntési rendszerek I.

Döntési rendszerek I. Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 3. Gyakorlat Egy újságárus 20 centért szerez be egy adott napilapot a kiadótól és 25-ért adja

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

Tartalom. Matematikai alapok. Fontos fogalmak Termékgyártási példafeladat

Tartalom. Matematikai alapok. Fontos fogalmak Termékgyártási példafeladat 6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

b) Írja fel a feladat duálisát és adja meg ennek optimális megoldását!

b) Írja fel a feladat duálisát és adja meg ennek optimális megoldását! 1. Három nemnegatív számot kell meghatározni úgy, hogy az elsőt héttel, a másodikat tizennéggyel, a harmadikat hattal szorozva és ezeket a szorzatokat összeadva az így keletkezett szám minél nagyobb legyen.

Részletesebben

G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K

G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K Döntéselmélet G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K Lineáris programozás I Egy vállalat kétféle terméket gyárt, az A és B termékeket. A következő adatok ismertek: A vállalat éves munkaóra-kapacitása 1440 óra,

Részletesebben

Lineáris programozás. A mese

Lineáris programozás. A mese Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.

Részletesebben

Az impulzusnyomatékok általános elmélete

Az impulzusnyomatékok általános elmélete Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Optimumkeresés számítógépen

Optimumkeresés számítógépen C Optimumkeresés számítógépen Az optimumok megtalálása mind a gazdasági életben, mind az élet sok más területén nagy jelentőségű. A matematikában számos módszert dolgoztak ki erre a célra, például a függvények

Részletesebben

Branch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.

Branch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11. 11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Az ellipszoid algoritmus

Az ellipszoid algoritmus Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára Előadás

Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára Előadás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 2 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter 2014. február 20-27. 1. Dualizálás Tekintsük az alábbi, explicit feltételekkel megadott optimalizálási feladatot, amelyet

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Döntési módszerek Tantárgyi útmutató

Döntési módszerek Tantárgyi útmutató Gazdálkodási és menedzsment alapszak Nappali tagozat Döntési módszerek Tantárgyi útmutató 2018/19. tanév II. félév 1 Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa: Döntési módszerek. D Kontaktórák száma/hét:

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel

A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel 1 A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel DR. BENKŐJÁNOS GATE, Logisztikai Tanszék A hálózat

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás

1. Előadás Lineáris programozás 1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató

Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo Nappali Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás II. Tantárgy kódja: OPKT2KOMEMM Tanterv szerinti óraszám:

Részletesebben

Operációkutatás gyakorlattámogató jegyzet

Operációkutatás gyakorlattámogató jegyzet TÁMOP-4...F-4//KONV-05-0009 A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK DUÁLIS ÉS MODULÁRIS KÉPZÉSEINEK KIALAKÍTÁSA A PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEMEN Király Balázs Operációkutatás gyakorlattámogató jegyzet Pécs 05 A

Részletesebben

XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot

Részletesebben

Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató

Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo Nappali Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás II. Tantárgy kódja: OPKT2KOMEMM Tanterv szerinti óraszám:

Részletesebben

Döntési rendszerek I.

Döntési rendszerek I. Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek

Részletesebben

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #

Részletesebben

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

Lineáris algebra. (közgazdászoknak) Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Lineáris programozás belsőpontos

Lineáris programozás belsőpontos Lineáris programozás belsőpontos módszerei illes@math.elte.hu Operációkutatási Tanszék Budapest 2007. február - április Speciális lineáris programozási feladat (példa) Legyen adott a következő lineáris

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Jegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga

Jegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

operációkutatás példatár

operációkutatás példatár operációkutatás példatár . MŰVELETEK MÁTIXOKKAL. (Megoldás a.-es gyakorló ideóban.) Itt annak ezek a mátriok illete ektorok: A c B d * E f * Végezzük el a köetkező műeleteket: A B B E B c B A A E B d..

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben