Érzékenységvizsgálat

Átírás

1 Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális megoldás, célfüggvény értéke változhat Az érzékenységvizsgálat olyan elemzı eljárás, amelynek során felderíthetı, hogy milyen hatással vannak az optimális megoldásra (optimális bázisra) a modell paramétereinek (b i, c j és a ij ) értékeiben bekövetkezett változások. Optimális bázis változatlansága = bázisváltozók továbbra is bázisváltozók maradnak (értékük változhat!)

2 Érzékenységvizsgálat grafikusan kapacitás változása z= 0x Alap feladat x x + x + 50x x x x max Az elsı erıforrás kapacitását 0 egységgel bıvítjük x + x 60 Optimális megoldás megváltozik! Az érzékenységvizsgálat esetei. Milyen mértékben módosíthatjuk a célfüggvény együtthatóit, hogy az optimális bázis ne változzon? Nembázis változó együtthatójának módosítása Bázis változó együtthatójának módosítása. A kapacitásvektor mely komponenseit és milyen mértékben változtathatjuk meg anélkül, hogy az optimális bázis ne változzon?. Nembázis változóhoz tartozó oszlopvektor módosítása 4. Hogyan változtatja meg az optimális megoldást, ha új feltételt írunk a modellbe? 5. Hogyan változtatja meg az optimális megoldást, ha új változót vezetünk be a modellbe?

3 A célfüggvény együtthatóinak változása Nembázis változó célfüggvény együtthatójának változása Ha egy nembázis változó célfüggvénybeli együtthatójának módosítása során optimális marad az eredeti bázis, akkor az optimális z érték és a döntési változók értékei sem változnak. Egy nembázis változó redukált költsége (maximumfeladat esetén) az a legnagyobb érték, amivel a változó célfüggvénybeli együtthatóját még növelhetjük, anélkül, hogy az aktuális bázis optimalitását elvesztené, és a nembázis változót az (új) optimális bázisba be kellene vonni. Bázis változó célfüggvény együtthatójának változása ha az eredeti bázis optimális marad: döntési változók értékei nem módosulnak, de az optimális z érték megváltozik (célfüggvény együttható változása miatt!) bázisváltozó célfüggvény együtthatójának módosítása után csak akkor marad az aktuális bázis továbbra is optimális, ha mindegyik célfüggvény együttható nemnegatív marad A kapacitásvektor komponenseinek változása Árnyékár: Az i-edik feltétel (i-edik erıforrás) árnyékára megmutatja, hogy mennyivel javul (maximumfeladatnál nı, minimumfeladatnál csökken) a célfüggvény optimális értéke, ha b i -t (az i-edik erıforrás kapacitását) -gyel növeljük (tehát b i helyett b i + lesz a korlát) csak akkor érvényes, ha az i-edik korlátozó feltétel jobb oldalának (kapacitás) növelése nem módosítja az optimális bázist. ha az optimális megoldásban az i-edik erıforrás árnyékára pozitív és értéke y 0i, akkor b i egy egységnyi változására a célfüggvény értéke y 0i -val változik, azaz b i érzékeny paraméter ha y 0i = 0, akkor az optimális megoldás nem változik a b i változtatására

4 Dakota probléma A Dakota Bútorkészítı Cég íróasztalokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szükséges: durva asztalosmunka és felületkezelés. Az egyes bútortípusok elıállításához a különbözı erıforrásokból szükséges mennyiséget a táblázat adatai mutatják. Jelenleg 48 egység faanyag, 0 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalosmunka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 0, egy szék pedig 0 dollárért adható el. Mivel az erıforrásokat már megvásárolták, a Dakota cég az összbevételét kívánja maximalizálni. Erıforrás Faanyag Íróasztal 8 egység Asztal 6 egység Szék egység Felületkezelés 4 óra óra,5 óra Asztalosmunka óra,5 óra 0,5 óra Forrás: Winston, o. alapján Dakota-probléma (primál feladat) x = a gyártott íróasztalok száma x = a gyártott asztalok száma x = a gyártott székek száma Erıforrás Faanyag Felületkezelés Asztalosmunka Eladási ár ($/db) Íróasztal 8 egység 4 óra óra 60 Asztal 6 egység óra,5 óra 0 A feladat matematikai modellje 8x + 6x + x 48 4x + x x +,5x 60x + 0x Szék egység,5 óra 0,5 óra 0 +,5x x, x, x + 0x ,5x Kapacitás (óra) max 4

5 Dakota probléma primál feladat megoldása Dakota probléma célegyüttható növelésének hatása I. c növelése 4-gyel x nem került be a bázisba 5

6 Dakota probléma célegyüttható növelésének hatása II. c növelése 5-tel x bekerült a bázisba, de értéke 0 Dakota probléma célegyüttható növelésének hatása III. c növelése 6-tal x bekerült a bázisba: az eredeti bázis már nem optimális 6

7 Dakota probléma megengedhetı növekedés I. Dakota probléma megengedhetı növekedés II. c növelése 0-zel (60 70) 7

8 Dakota probléma megengedhetı növekedés III. c növelése 0-szal (60 80) Optimális megoldás megváltozott! Paraméteres programozás Paraméteresnek nevezzük azokat a lineáris modelleket, amelyeknek A, b, c T elemei között függvények is szerepelnek. Ha ezek a függvények egyváltozósak és elsı fokúak, akkor a modellt egyparaméteres lineáris modellnek nevezzük. Paraméter a célfüggvényben x 0 A x b z= (p T + q T t) x max t skalár, α t β Keressük azokat a bázisokat és t-nek azon intervallumait, amelyekben a feladat optimális megoldásai vannak. 8

9 Paraméter a b vektorban Paraméteres programozás x 0 A x b+ d t z= c T x max α t β Duál párján keresztül oldjuk meg => paraméter a célfüggvénybe kerül Köszönöm a figyelmet! 9