A Markowitz modell: kvadratikus programozás

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Markowitz modell: kvadratikus programozás"

Marika Nagy
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 1 / 16

2 Portfolió Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ennek a legegyszerűbb változatát ismertetjük (irodalom: Robert J. Vanderbei, Linear Programing, Foundations and Extensions). Adott n db. potenciális befektetés, jelölje R i (i = 1,..., n) a i-edik befektetés értékét (tőke+ kamat) a következő időperiódusban. Ekkor R i -t valószínűségi változónak tekinthetjük, jóllehet, bizonyos befektetések esetén ez determinisztikus is lehet. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 2 / 16

3 Portfolió alatt nemnegatív x i (i = 1,..., n) számok összességét értjük, melyek összege éppen 1. Most x i azt mutatja meg, hogy egységnyi tőkének mely részéért vásároltunk az i-edik befektetésből. Így portfoliónk (egységnyi befektetésre eső) értéke a következő időperiódusban R = x i R i. A portfolió várható értéke: E R = x i E R i. Ha ezt akarjuk maximalizálni, akkor a helyzet egyszerű, teljes tőkénket a legnagyobb várható értékű befektetésbe fektetjük. De sajnos, a magas nyereségű befektetések egyúttal magas kockázatúak is. Azaz hosszú távon jól teljesítenek, de rövid távon nagyon nagy az ingadozásuk. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 3 / 16

4 Markowitz egy portfolió kockázatát annak varianciájaként definiálta: var R = E(R E R) 2 ( ) 2 = E x i (R i E R i ) ( ) 2 = E x i Ri ahol R i = R i E R i. A várható értéket maximalizálni a kockázatot minimalizálni kellene. Ez két ellenkező irányú cél, melyet egyszerre nem teljesíthetünk. A Markowitz modellben arra törekszünk, hogy a várható értéket úgy maximalizáljuk, hogy közben a kockázat ne legyen túl nagy. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 4 / 16

5 Markowitz egy µ pozitív paramétert vezetett be (kockázat elkerülési paraméter), és a következő optimalizálási problémát veti fel: maximalizálja feltéve, hogy ( ) 2 x i E R i µ E x i Ri x i = 1 (1) x i 0 (i = 1,..., n). A µ kockázat elkerülési paraméter a kockázat fontosságát jelzi a várható értékkel szemben, ha értéke nagy, akkor a kockázatot csökkentjük, a várható érték ellenében, míg kis értékénél magas kockázatot vállalunk a magas várható érték érdekében. Pédául, ha µ = 0 akkor a várható értéket maximalizáljuk, és a kockázatot figyelmen kívül hagyjuk. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 5 / 16

6 Az (1) maximalizálási optimum problémával egyenértékű az alábbi minimalizálási optimum probléma: minimalizálja feltéve, hogy n x i = 1 ( ) 2 x i E R i + µ E x i Ri (2) x i 0 (i = 1,..., n). A célfüggvény alakjából kiolvasható, hogy annak kvadratikus része pozitív szemidefinít. (2) egy kvadratikus programozási minimumprobléma. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 6 / 16

7 A varianciát tovább alakítva kapjuk, hogy ( ) 2 ( ) ( ) ( E x i Ri = E x i Ri x j Rj = E j=1 ahol = n j=1 x i x j E( R i Rj ) = n C ij = E( R i Rj ) j=1 j=1 x i x j C ij ) x i x j Ri Rj a kovariancia mátrix. Bevezetve a r i = E R i jelölést, optimalizálási problémánk átírható a következő alakba: minimalizálja n r i x i + µ n x i x j C ij j=1 feltéve, hogy x i = 1 (3) x i 0 (i = 1,..., n) Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 7 / 16

8 Látható, hogy a megoldáshoz szükségünk van minden befektetés nyereségének és a kovariancia mátrixnak a becslésére. Ezeket azonban nem ismerjük, viszont a múltbeli adatok alapján becsülhetők. Táblázatunk nyolc különböző lehetséges befektetésre: 1 3 hónapos US kincstárjegy, 2 US hosszú lejáratú kötvény, 3 S& P 500, 4 Wilshire 500 (kis cégek részvényeinek összessége), 5 NASDAQ Composite, 6 Lehman Brothers Corporate Bonds Index, 7 EAFE (index Európa, Ázsia, Távolkelet befektetéseire), 8 arany nézve mutatja az évenkénti értékeket az időszakra 1$ befektetett összegre nézve. Így pl. 1$ január 1-én 3 hónapos US kincstárjegybe fektetve, ugyanezen év december 31-én 1, 075$-re nőtt. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 8 / 16

9 Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 9 / 16

10 Legyen R i (t) (i = 1,..., n) a i-edik befektetés értéke az t évben. Egy egyszerű becslés ennek E R i várható értékére, a múltbeli értékek átlaga (számtani közepe): r i = E R i = 1 T T R i (t). Ennek az egyszerű képletnek két hátránya van. Az első az, hogy ami 1973-ban történt, az bizonyára kevésbbé van hatással a jövőre, mint az, ami 1994-ben történt. Így, ha ugyanolyan súllyal vesszük figyelembe a múltbeli éveket, akkor a régi eseményeknek túl nagy jelentőséget tulajdonítunk, a közelmúltbeli események rovására. Egy jobb becslést kaphatunk, ha a E R i = t=1 T p T t R i (t) t=1 T p T t t=1 diszkontált összeget számoljuk, ahol p a diszkontálási faktor. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 10 / 16

11 A p = 0, 9 értéket véve a súlyozott átlag nagyobb súlyt ad a közelmúlt éveinek. Például arany esetén az átlagos érték 1,129, míg a súlyozott 1,053. Legtöbb szakértő 1995-ben úgy gondolta, hogy az 5, 3%-os növekedés reálisabb, mint a 12, 9%. Az alábbi számításokban a becslések p = 0, 9 súllyal lettek kiszámolva. A második probléma az átlag kiszámítási módja. Egy befektetésnek melynek értéke az első évben 1,1, a másodikban 0,9 az átlagértéke 1,0, vagyis nincs se növekedés, se veszteség. Azonban 1$ így befektetve a második év végén 1, 1 0, 9 = 0, 99$ lesz, vagyis 1%-kal kisebb mint az átlag. Ez nem nagy eltérés, de ha pl. az érték az első évben 2, a másodikban 0,5 az átlagértéke 1,25, viszont az érték a második év végén 2 0, 5 = 1$ lesz ami már 25%-kal kisebb mint az átlag, azaz jelentős az eltérés. Ez már egy olyan hatás amit korrigálni kell. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 11 / 16

12 Ennek eszköze a súlyozott geometriai középpel képezett átlag: T p T t ln R i (t) ( T ) 1 t=1 E R i = exp T = T R i (t) (pt t p ) T t t=1 p T t t=1 Ez a becslés pl. aranyra 2, 9%-ot ad ami sokkal jobban összhangban van a szakértők véleményével (legalábbis 1995-ben). Hasonlóan lehet a kovariancia mátrix C ij elemeit is becsülni a múltbeli adatok alapján, például azok számtani közepével: C ij = 1 T 2 T t=1 s=1 t=1 T (R i (t) r i )(R j (s) r j ) (i, j = 1,..., n). Az r i, C ij értékeket ismerve, adott µ mellett a (3) kvadratikus programozási feladat megoldható. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 12 / 16

13 A következő táblázat az optimális portfoliókat adja meg a µ paraméter több értékénél (az 1995 évre vonatkozóan). Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 13 / 16

14 Látható, hogy µ = 0-nál a portfoliónk egyetlen befektetést tartalmaz EAFE-t, mert ennek a legmagasabb a várható értéke a múltbeli adatok alapján. Nagyon magas, pl. µ = 1024 esetén, portfoliónk 93, 3%-ban hosszú lejáratú US államkötvényt tartalmaz, és csak 2, 2%nyi EAFE-t, mert az előzőnek kicsi, utóbbinak nagy a varianciája (a múltbeli adatokból becsülve). A µ értékét folytonosan változtatva, az optimális portfolió várható értékét (középérték) és varianciáját ábrázolva egy görbét kapunk, melyet esetünkben az alábbi ábra mutat: Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 14 / 16

15 Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 15 / 16

16 Itt a vízszintes tengelyen az optimális portfolió várható értékei, a függőleges tengelyen a varianciák (100-zal szorozva) vannak feltüntetve, a µ értékek a megfelelő pontoknál be vannak írva. Ugyancsak be vannak jelölve az egyes befektetések adatai. A kapott görbét efficient frontier -nek nevezzük (magyarul kb. hatékonysági határgörbe). E görbe felett (vagy rajta) van az összes (az optimális portfolió meghatározásánál) figyelembevett befektetés. Minden olyan portfolió, melynek várható értéke és varianciája nem erre a görbére esik (felette van) javítható, így csak olyan portfolióba szabad befektetni, mely a hatékonysági határgörbén van. Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév, II. félév 16 / 16

Hasonló dokumentumok

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer