A Markowitz modell: kvadratikus programozás

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Markowitz modell: kvadratikus programozás"

Árpád Nemes
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. Ennek a legegyszer bb változatát ismertetjük (irodalom: Robert J. Vanderbei, Linear Programing, Foundations and Extensions. Adott n db. potenciális befektetés, jelölje R i (i = 1,..., n a i-edik befektetés értékét (t ke+ kamat a következ id periódusban. Ekkor R i -t valószín ségi változónak tekinthetjük, jóllehet, bizonyos befektetések esetén ez determinisztikus is lehet. Portfolió alatt nemnegatív x i (i = 1,..., n számok összességét értjük, melyek összege éppen 1. Most x i azt mutatja meg, hogy egységnyi t kének mely részéért vásároltunk az i-edik befektetésb l. Így portfoliónk (egységnyi befektetésre es értéke a következ id periódusban R = x i R i. A portfolió várható értéke: E R = x i E R i. Ha ezt akarjuk maximalizálni, akkor a helyzet egyszer, teljes t kénket a legnagyobb várható érték befektetésbe fektetjük. De sajnos, a magas nyereség befektetések egyúttal magas kockázatúak is. Azaz hosszú távon jól teljesítenek, de rövid távon nagyon nagy az ingadozásuk. 1

potenciális befektetés, jelölje R i (i = 1,..., n a i-edik befektetés értékét (t ke+ kamat a következ id periódusban.

2 2 Markowitz egy portfolió kockázatát annak varianciájaként deniálta: ( n var R = E(R E R 2 2 = E x i (R i E R i ahol ( n 2 = E x i Ri R i = R i E R i. A várható értéket maximalizálni a kockázatot minimalizálni kellene. Ez két ellenkez irányú cél, melyet egyszerre nem teljesíthetünk. A Markowitz modellben arra törekszünk, hogy a várható értéket úgy maximalizáljuk, hogy közben a kockázat ne legyen túl nagy. Markowitz egy µ pozitív paramétert vezetett be (kockázat elkerülési paraméter, és a következ optimalizálási problémát veti fel: ( n 2 maximalizálja x i E R i µ E x i Ri feltéve, hogy x i = 1 (1 x i 0 (i = 1,..., n. A µ kockázat elkerülési paraméter a kockázat fontosságát jelzi a várható értékkel szemben, ha értéke nagy, akkor a kockázatot csökkentjük, a várható érték ellenében, míg kis értékénél magas kockázatot vállalunk a magas várható érték érdekében. Pédául, ha µ = 0 akkor a várható értéket maximalizáljuk, és

A Markowitz modellben arra törekszünk, hogy a várható értéket úgy maximalizáljuk, hogy közben a kockázat ne legyen túl nagy.

3 a kockázatot gyelmen kívül hagyjuk. Az (1 maximalizálási optimum problémával egyenérték az alábbi minimalizálási optimum probléma: 3 minimalizálja feltéve, hogy ( n n 2 x i E R i + µ E x i Ri x i = 1 (2 x i 0 (i = 1,..., n. A célfüggvény alakjából kiolvasható, hogy annak kvadratikus része pozitív szemidenít. (2 egy kvadratikus programozási minimumprobléma. A varianciát tovább alakítva kapjuk, hogy ( n 2 E x i Ri ( n ( ( = E x i Ri x j Rj = E j=1 j=1 x i x j Ri Rj = n x i x j E( R i Rj = n j=1 j=1 x i x j C ij ahol C ij = E( R i Rj

x i E R i + µ E x i Ri x i = 1 (2 x i 0 (i = 1,..., n.

4 4 a kovariancia mátrix. Bevezetve a r i = E R i jelölést, optimalizálási problémánk átírható minimalizálja feltéve, hogy n r i x i + µ n x i x j C ij x i = 1 j=1 x i 0 (i = 1,..., n (3 alakba. Látható, hogy a megoldáshoz szükségünk van minden befektetés nyereségének és a kovariancia mátrixnak a becslésére. Ezeket azonban nem ismerjük, viszont a múltbeli adatok alapján becsülhet k. Táblázatunk nyolc különböz lehetséges befektetésre: (1 3 hónapos US kincstárjegy, (2 US hosszú lejáratú kötvény, (3 S& P 500, (4 Wilshire 500 (kis cégek részvényeinek összessége, (5 NASDAQ Composite, (6 Lehman Brothers Corporate Bonds Index, (7 EAFE (index Európa, Ázsia, Távolkelet befektetéseire, (8 arany nézve mutatja az évenkénti értékeket az id szakra 1$ befektetett összegre nézve. Így pl. 1$ január 1-én 3 hónapos US kincstárjegybe fektetve, ugyanezen év december 31-én 1, 075$-re n tt.

Táblázatunk nyolc különböz lehetséges befektetésre: (1 3 hónapos US kincstárjegy, (2 US hosszú lejáratú kötvény, (3 S& P 500, (4 Wilshire 500 (kis cégek részvényeinek összessége, (5 NASDAQ Composite,

5 5 Legyen R i (t (i = 1,..., n a i-edik befektetés értéke az t évben. Egy egyszer becslés ennek E R i várható értékére, a múltbeli értékek átlaga (számtani közepe: r i = E R i = 1 T T R i (t. Ennek az egyszer képletnek két hátránya van.

6 6 Az els az, hogy ami 1973-ban történt, az bizonyára kevésbbé van hatással a jöv re, mint az, ami 1994-ben történt. Így, ha ugyanolyan súllyal vesszük gyelembe a múltbeli éveket, akkor a régi eseményeknek túl nagy jelent séget tulajdonítunk, a közelmúltbeli események rovására. Egy jobb becslést kaphatunk, ha a E R i = T p T t R i (t T p T t diszkontált összeget számoljuk, ahol p a diszkontálási faktor. A p = 0, 9 értéket véve a súlyozott átlag nagyobb súlyt ad a közelmúlt éveinek. Például arany esetén az átlagos érték 1,129, míg a súlyozott 1,053. Legtöbb szakért 1995-ben úgy gondolta, hogy az 5, 3%-os növekedés reálisabb, mint a 12, 9%. Az alábbi számításokban a becslések p = 0, 9 súllyal lettek kiszámolva. A második probléma az átlag kiszámítási módja. Egy befektetésnek melynek értéke az els évben 1,1, a másodikban 0,9 az átlagértéke 1,0, vagyis nincs se növekedés, se veszteség. Azonban 1$ így befektetve a második év végén 1, 1 0, 9 = 0, 99$ lesz, vagyis 1%-kal kisebb mint az átlag. Ez nem nagy eltérés, de ha pl. az érték az els évben 2, a másodikban 0,5 az átlagértéke 1,25, viszont az érték a második év végén 2 0, 5 = 1$ lesz ami már 25%-kal kisebb mint az átlag, azaz jelent s az eltérés. Ez már egy olyan hatás amit korrigálni kell. Ennek

Egy jobb becslést kaphatunk, ha a E R i = T p T t R i (t T p T t diszkontált összeget számoljuk, ahol p a diszkontálási faktor.

7 eszköze a súlyozott geometriai középpel képezett átlag: T p T t ln R i (t ( T E R i = exp T = R i (t (pt t p T t 1 T p T t Ez a becslés pl. aranyra 2, 9%-ot ad ami sokkal jobban összhangban van a szakért k véleményével (legalábbis 1995-ben. Hasonlóan lehet a C ij kovariancia mátrix elemeit is becsülni a múltbeli adatok alapján, például: C ij = 1 T (R i (t r i (R j (t r j (i, j = 1,..., n. T Az r i, C ij értékeket ismerve, adott µ mellett a (3 kvadratikus programozási feladat megoldható. A következ táblázat az optimális portfoliókat adja meg a µ paraméter több értékénél (az 1995 évre vonatkozóan. 7 Látható, hogy µ = 0-nál a portfoliónk egyetlen befektetést tartalmaz EAFE-t, mert ennek a legmagasabb a várható értéke

Hasonlóan lehet a C ij kovariancia mátrix elemeit is becsülni a múltbeli adatok alapján, például: C ij = 1 T (R i (t r i (R j (t r j (i, j = 1,..., n.

8 8 a múltbei adatok alapján. Nagyon magas, pl. µ = 1024 esetén, portfoliónk 93, 3%-ban hosszú lejáratú US államkötvényt tartalmaz, és csak 2, 2%nyi EAFE-t, mert az el z nek kicsi, utóbbinak nagy a varianciája (a múltbeli adatokból becsülve. A µ értékét folytonosan változtatva, az optimális portfolió várható értékét (középérték és varianciáját ábrázolva egy görbét kapunk, melyet esetünkben az alábbi ábra mutat: Itt a vízszintes tengelyen az optimális portfolió várható értékei, a függ leges tengelyen a varianciák (100-zal szorozva vannak feltüntetve, a µ értékek a megfelel pontoknál be vannak

a varianciája (a múltbeli adatokból becsülve.

9 írva. Ugyancsak be vannak jelölve az egyes befektetések adatai. A kapott görbét ecient frontier -nek nevezzük (magyarul kb. hatékonysági határgörbe. E görbe felett (vagy rajta van az összes (az optimális portfolió meghatározásánál gyelembevett befektetés. Minden olyan portfolió, melynek várható értéke és varianciája nem erre a görbére esik (felette van javítható, így csak olyan portfolióba szabad befektetni, mely a hatékonysági határgörbén van. 9

E görbe felett (vagy rajta van az összes (az optimális portfolió meghatározásánál gyelembevett befektetés.

Hasonló dokumentumok

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,