A stratégiák összes kombinációján (X) adjunk meg egy eloszlást (z) Az eloszlás (z) szerint egy megfigyelő választ egy x X-et, ami alapján mindkét

Átírás

1 Készítette: Jánki Zoltán Richárd

2 Robert Aumann (1930) Izraeli-amerikai matematikus 1974-ben általánosította a Nash-egyensúlyt 2005-ben közgazdasági Nobel-díjat kapott (kooperatív és nem-kooperatív játékok)

3 A stratégiák összes kombinációján (X) adjunk meg egy eloszlást (z) Az eloszlás (z) szerint egy megfigyelő választ egy x X-et, ami alapján mindkét játékos megkapja, hogy mely stratégiát kell játszaniuk (létezik publikus eset is) Csak a stratégiát ismerik, a választott x-et nem Az eloszlás korrelált egyensúly, ha egyik játékosnak sem éri meg eltérni a megfigyelő javaslatától (tfh.: más sem tér el)

4 Bimátrix játék vizsgálata (m x n) z eloszlás a mátrixon, és A B A z 11 z 12 B z 21 z 22 Várható kifizetések: 1. játékos (i. sor): 2. játékos (j. oszlop):

5 Nemek harca R = Opera Football Opera (2,5) (0,0) Football (0,0) (5,2) Az eloszlásunkat határozza meg egy érmefeldobás (fej/írás) Fej esetén Opera/Opera Írás esetén Football/Football ½ - ½ valószínűség

6 Az egyes stratégiakombinációkhoz rendelt valószínűségek felírhatók mátrixként A B A z 11 z 12 B z 21 z 22 O F O 1/2 0 F 0 1/2 ½ ½ = 1

7 A várható nyereséget az eloszlás és kifizetési mátrix lineáris kombinációja adja z 11 * R(O,O) + z 12 * R(O,F) + z 21 * R(F,O) + z 22 * R(F,F) ½ * * * 0 + ½ * 5 = 7/2 = 3,5 A bimátrix játék egyes mezőiben szereplő értékpárok a hozzájuk tartozó valószínűségekkel együtt korrelált stratégia párokat alkotnak

8 Ha az eloszlásban valamely stratégiapárt 1 valószínűséggel játsszák, akkor az tiszta stratégiapár. Amennyiben a valószínűségek mátrixa az alábbi formában kerül felírásra: A akkor kevert stratégiapárokról beszélünk. B A qr q[1-r] B [1-q]r [1-q][1-r]

9 Tulajdonképpen, ha az 1. játékosnak az A stratégiát javasoljuk, akkor azt ő z 11 + z 12 valószínűséggel játssza. Ennek ismeretében viszont, ha a 2. játékosnak az A stratégiát javasoljuk, akkor azt ő z 11 / (z 11 + z 12 ) valószínűséggel játssza. A B A z 11 z 12 B z 21 z 22

10 Mindkét játékos maximalizálni szeretné a várható nyereségét a kapott javaslat függvényében Ennélfogva, ha az 1. játékos elfogadja a javaslatot az A stratégiára, akkor a várható nyeresége: z 11 *R(A,A) / (z 11 + z 12 ) + z 12 *R(A,B) / (z 11 + z 12 ) Ha figyelmen kívül hagyja a javaslatot: z 11 *R(B,A) / (z 11 + z 12 ) + z 12 *R(B,B) / (z 11 + z 12 )

11 z 11 *R(A,A) / (z 11 + z 12 ) + z 12 *R(A,B) / (z 11 + z 12 ) z 11 *R(B,A) / (z 11 + z 12 ) + z 12 *R(B,B) / (z 11 + z 12 ) z 11 *R(A,A) + z 12 *R(A,B) z 11 *R(B,A) + z 12 *R(B,B)

12 Antoine Augustine Cournot ( ) Francia filozófus, matematikus Nagyban hozzájárult a közgazdaságtanhoz Cournot duopólium: Adott két vállalat, amely azonos minőségben ugyanazt a terméket állítja elő. Céljuk, a profit maximalizálása, és csak a kibocsátott termékek mennyiségéről dönthetnek.

13 A vállalatok rendelkeznek egy ún. reakciófüggvénnyel. A két vállalat reakciófüggvényének metszéspontjában található a Cournotegyensúly. Ebben a pontban a másik kibocsátására vonatkozó becslés = ténylegessel.

14 Maximalizálási feladatunk van, és a bevételt egy kétváltozós függvény adja meg. Ahol az első derivált 0, ott a függvénynek szélsőértéke van. Deriváljunk parciálisan, mégpedig a vállalat saját bevételi függvényét a saját kibocsátás szerint.

15 Ágazati kibocsátás: q = q 1 + q 2 Keresleti függvény: q Bevétel: f 1 = (100 - (q 1 + q 2 )) * q 1 f 2 = (100 - (q 1 + q 2 )) * q 2 (q 2 rögzített) (q 1 rögzített) f 1 = 100 2q 1 q 2 =0 q 2 = 100 2q 1 f 2 = 100 2q 2 q 1 =0 q 1 = 100 2q 2 Keresleti függvénybe visszahelyettesítve: 100-2(100-2q 1 )-q 1 = q 1 = 0 q 1 = 100/3 = q 2 q = 200/3 f 1 = 10000/9 f 2 = 10000/9

16 Ha kartellba tömörülnek az előző példában szereplő vállalatok: Keresleti függvény: 100-q Bevétel: f = (100-q)*q = -q q f = 100 2q = 0 q = 50, tehát q 1 = q 2 = 25 f = 50*50 = 2500 f 1 = f 2 = 1250 Összegezve: kevesebb kibocsátás, magasabb ár.

17 Megfelelője a licitálás, azonban különböző variánsai terjedtek el. Angol aukció: adott (kikiáltási) árról felfelé haladva licitálnak (a legtöbbet ajánló nyer) Holland aukció: magas (ideális) árról lefelé haladnak egészen addig, amíg legelőször valaki meg nem állítja (virágpiac, hal árusítás) Zárt licit: zárt borítékban hagyják a licitet, aki a legtöbbet ajánlja, az nyer, annyit fizet, amennyi ajánlott Vickrey-aukció: Olyan, mint a zárt licit, viszont csak a második legmagasabb árat kell kifizetni Multiunit aukció: Több ugyanolyan termékre licitálunk, de a termékek száma korlátozott.

18 Minden résztvevő kezdetben aktív. Az induló összeg és a növekedés mértéke fixált. Minden lépésben: A licitálók az utolsó összeg + növekedés mértékét mondják be. Minden körben 0 vagy több játékos inaktív lesz (nem licitál az adott tárgyra tovább). Legalább 2 aktív résztvevő szükséges a következő lépéshez. Az egyetlen aktív játékos (aki bennmarad), ő nyer.

19 Kezdetben minden résztvevő inaktív. Az induló összeg és a csökkenés mértéke rögzített. Az első jelentkező nyeri az árut. Ha nincs ilyen, akkor csökkentik az utolsó árat a rögzített mértékkel.

20 William Vickrey nevéhez fűződik 1996-ban Nobel-díjat kapott az aukciók elemzéséért Tétel: A Vickrey-aukcióknál az optimális stratégia az igazmondás.

21 Bizonyítás: legyen n (>1) a játékosok száma. Legyen v i : az áru értéke az i. játékos számára b i : az érte adott ajánlat az i. játékos esetén Az i. játékos nyeresége: Belátható, hogy a domináns stratégia a b i = v i, hiszen ha az i. játékos többet fizet, akkor negatív haszonnal zár, ha kevesebbet fizet, akkor meg elvesztheti.

22 Egy termékből több példány is eladásra kerül A megvásárolható termékek száma ismert A licitáló meghatározza, hogy mennyit hajlandó fizetni az adott számú termékért Az ár növekszik, a vásárolni kívánt mennyiség csökken

23 Tfh. két játékos szeretne venni karórákat, majd azokat értékesíteni (6 db eladó) 1. játékos: 3000$-ral rendelkezik 2. játékos 2500$-ral rendelkezik Az árak növekszenek 100$-onként Ár/db 1. játékos 2. játékos 500$ $ $ $ 3 3

24 Az előző esetben ész nélkül licitáltak a vevők. Az értékesítők így nyertek 4800$-t a 6 db óráért. Az 1. kör után tudják a résztvevők egymásról, hogy mekkora az az összeg, aminél többet nem hajlandóak költeni. Mindketten egyre többet veszítenek, ezt kell belátniuk.

25 Ár/db 1. játékos 2. játékos 500$ $ 3 3 Az 1. játékos tudja, hogy nem szerezhet 3-nál több karórát, ha a 2. játékosnak is szüksége van rá minden áron. A 2. játékosnak nincs jobb lehetősége, mint kompromisszumot kötni. Ha mindketten alkalmazkodnak, akkor soksok dollárt spórolhatnak meg.

26 Ebben az esetben, ha 1000$-ért tudják továbbértékesíteni a megvásárolt órákat, akkor 3*400$ = 1200$-t nyernek az üzleten. Az aukción értékesítők viszont a 4800$ helyett csak 3600$-hoz jutottak a játékosok kompromisszuma miatt.

27 Pluhár András: Játékelmélet (jegyzet) Wikipedia David Ramsey: Correlated Equilibria (presentation) V.S. Subrahmanian: Auctions I.