A Cournot-féle duopólium

Átírás

1 A Cournot-féle duopólium. Kínálati duopólium: két termelő állít elő termékeket. Verseny a termékmennyiségekkel 3. A piaci kereslet inverz függvénye: p a. Valamely ár mellett kialakuló keresletet két vállalat elégíti ki. Legyen i az i-edik vállalat outputja, i,, akkor ez azt jelenti, hogy p a ( + ). Ennek segítségével a vállalatok teljes evételei határozhatók meg ill., TR TR ( ) p [ a ( + )] a, ( ) p [ a ( + )] a. Az ezeknek megfelelő határevételei MR dtr d ( ) a MR, és ( ) a MR. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy mindkét vállalat költségszerkezete azonos, mégpedig ( ) c FC TC +, Een az eseten a határköltségek dtc MC d ( ) MC ( ) c MC, A profitmaximum feltétele, hogy a határevétel egyenlő legyen a határköltséggel, így az optimális termelési szintek meghatározása az alái feltételek alapján történik: ill., ( ) a c MR,

2 ( ) a c MR. Ha ezeket az egyenleteket -re, illetve -re rendezzük át, akkor azt kapjuk, hogy, ill.,. Látszik, hogy az I-es vállalat döntése a II-es vállalat döntésétől függ és fordítva, a II-es vállalat döntése attól függ, hogy az I-es vállalat mennyit állít elő, tehát a két cég termelési szintjéről való döntéseiket a másik vállalat valós vagy vélt döntésére reagálva hozza meg. Ennek szelleméen a fenti összefüggéseket reakciófüggvényeknek nevezzük. A reakciófüggvények segítségével határozhatók meg az egyensúlyi mennyiségek: 3. Ez a helyzet látható az alái koordináta-rendszereen; itt az egyes vállalatok reakciófüggvényeit R -vel, i,, jelöltük. i

3 R 3 R 3 Könnyen megmutatható, hogy a egyensúly stail. Ugyanis tegyük fel, 3 hogy valamelyik vállalat legyen ez most az I-es aól indul ki, hogy a másik vállalat semmit sem állít elő. Een az eseten az I-es vállalat termelési szintjét ennek megfelelően rögzíti; ez most az A pont lenne. Ez jelenti a II-es vállalat döntésének alapját, amely ennek alapján reakciófüggvényét figyeleme véve outputját a B pontan rögzítené. Ezt követi az I-es vállalat döntése, st. Látható, hogy ennek a váltakozó döntési folyamatnak a végeredménye a koráan analitikusan meghatározott egyensúlyi pont lesz. 3

4 R C B R A Feladat: Tegyük fel, hogy a két vállalat a terméket különöző technológia segítségével állítja elő. Ennek megfelelően a költségfüggvények már nem azonosak, most TC ( ) c + FC és TC ( ) c + FC, ahol c < c. Hogyan hat ez az egyensúlyi pontra? 4

5 A Stackelerg-modell A Stackelerg-duopólium elméletét szintén a mennyiségi verseny modellezésére dolgozták ki. Tegyük fel most is, hogy a piaci keresletet most is a p a, illetve p a ( + ) inverz keresleti függvénnyel adjuk meg. Cournot modelljével szemen azonan most azt tételezzük fel, hogy létezik egy vezető vállalat, amelynek döntése a másik a követő vállalat számára adottság, a követő vállalat tehát a vezető vállalat döntéséhez úgy alkalmazkodik, mintha Cournot-verseny volna. Ezt azt jelenti, hogy ( ), vagyis a vezető vállalat tudja, hogy a követő vállalat termelési döntését annak függvényéen hozza, amit ő maga döntött. Legyen az I-es vállalat a vezető cég, a II-es vállalat pedig a követő. Akkor a teljes evételek: ill., TR ( ) p [ a ( + ( ))] a ( ), TR ( ) p [ a ( + )] a. Az ezeknek megfelelő határevételei (Vigyázat, a TR ( ) kifejezés utolsó tagja deriválásnál szorzatként kezelendő!): és d ( ) a + ( ) MR, d ( ) a MR. Most is azonosnak tekintjük a technológiákat és eől adódóan a költségfüggvényeket is, azaz mindkét vállalat esetén érvényes a kifejezés, Een az eseten a határköltségek ( ) c FC TC + ( ) MC ( ) c MC 5

6 Ennek alapján a profitmaximumok feltételei és d a + d ( ) c a Az utói összefüggést -re megoldva azt kapjuk, hogy c, amivel viszont máris a vezető vállalat profitmaximum-feltételéen szereplő ( ) kifejezést is meghatároztuk. Ennek megfelelően d d felhasználásával a vezető vállalat profitja maximális, ha teljesül a a + feltétel. Eől az optimális érték könnyen adódik,. Ezeknek az eredményeknek a c, ezt felhasználva kapjuk a követő vállalat optimális kiocsátására:. 4 Feladat: Tegyük fel, hogy a két vállalat a terméket különöző technológia segítségével állítja elő. Ennek megfelelően a költségfüggvények már nem azonosak, most TC ( ) c + FC és TC ( ) c + FC, ahol c < c. Hogyan hat ez az egyensúlyra? 6

7 A Bertrand-Modell Nem sokkal Cournot modelljének megjelenése után fogalmazta meg Joseph Bertrand francia matematikus kritikáját. Cournot modelljéen nem nyilatkozott arról, hogy az árak változnake. Bertrand felfogása szerint két vállalat versenye sokkal inká az árak területén zajlik, mint az árképzésnél sokkal időigényese termelésen. Felfogása szerint tehát a valóságot inká olyan modell írná le, amelyen a két vállalat szintén szimultán módon az árak megállapításával konkurálnának. Cournot és Stackelerg megközelítéseihez hasonlóan tehát itt is arról van szó, hogy a két vállalat a piac teljes keresletét egymás között osztanák fel, a különség az, hogy ezt az árverseny segítségével valósítanák meg. Tegyük fel, hogy a teljes piaci keresletet a szokásos inverz keresleti függvénnyel modellezzük: p a. Nyilvánvaló, hogy a két vállalat kölcsönös függősége een az eseten is megmarad, hiszen ha valamelyikük a profitmaximalizáló árat szeretné meghatározni, akkor ez töek között attól is függ, hogy a versenytárs vajon milyen árat állapított meg. Ha az utói alacsonya lenne, akkor az egész piaci kereslet nála jelenne meg és az elői vállalat evétele zérus lenne. Ezzel tehát olyan helyzet alakult ki, hogy a teljes piaci keresletet az a vállalat tudná kielégíteni, amelyik a terméket alacsonya áron kínálja, a terméket magasa áron kínáló vállalat felé irányuló kereslet 0 lesz. Amennyien a két ár éppen egyenlő egymással, akkor az ezen ár mellett létező piaci keresletet megfelezik. Ennek értelméen az I-es vállalat keresleti függvénye az alái képlettel írható le a II-es vállalat által rögzített p ár az I-es vállalat számára természetesen adottság: 0, ha p > p, ha p p. D ( p, p ) ( p, p ) D ( p, p ), A fenti kifejezésnek megfelelő inverz keresleti függvényt a következő grafikonan piros a színnel jelöltük; itt a ( 0,a) és,0 kereslet inverz keresleti göréje. ha p < p pontok által meghatározott egyenes a teljes piaci 7

8 p a p D ( p p, p ) ( p p, p ) D a Világosan látszik, hogy az I-es vállalat inverz keresleti függvénye nem folytonos, ezért nem is deriválható, vagyis a szokásos marginális elemzés itt nem alkalmazható. Feladat: Gondolja meg: mi a tartalmi kapcsolat a deriválhatóság és közgazdasági jelenségek elemzése között? A proléma megoldását a következő gondolatmenet segítségével találjuk. Tudjuk, hogy az a vállalat éri el a maximális profitot, amelyik a terméket alacsonya áron kínálja, így mindkét vállalat arra törekszik, hogy minél alacsonya árat állapítson meg. Az ár alsó határa viszont a határköltség. Ha az ár egyenlő lenne a határköltséggel, akkor ez azt jelentené, hogy az utolsó megtermelt termékegység előállítása éppen annyia kerülne, amint amekkora evételt realizálna a termelő, ha ezt eladná. A határköltségnél alacsonya ár ezek szerint azt implikálná, hogy az utolsó termékegység nem hozná e a termelés költségeit, tehát veszteségesen állították volna elő ezt; ez pedig nem racionális. Így a vállalatok áraikat legfelje a határköltség szintjére csökkentenék. a) Tegyük fel, hogy a két vállalat azonos határköltségek mellett termel, azaz c c c, amiől c p p adódik. Tehát c p a, illetve. Mivel az árak azonosak, ezért a két vállalat ezt a termékmennyiséget közösen állítanák elő, vagyis ezt a termékmennyiséget egy koráan említett feltételezés szerint fele-fele 8

9 arányan termelik. Ezért érvényes, hogy így:. A két vállalat profitjai Π p c c c 0 és Π p c c c Megállapítható, hogy a Bertrand-duopól azonos határköltségek esetén nem iztosít pozitív profitot. ) Tekintsük most azt az esetet, amikor a határköltségek különözőek, legyen például c c, és c < c. Egyik elképzelhető árazási stratégia lenne p p. Az I-es vállalat számára ez viszont nem lenne optimális, hiszen c ha ezt az árat csak nagyon kis mértéken csökkentené, akkor az egész piaci kereslet felé irányulna, ami nyilván nagyo profitot jelentene, azaz ha az I-es vállalat az árat a p c τ szinten rögzítené, akkor ezzel kiszorítaná a II-es vállalatot a piacról. Ha tehát p c τ és p c a két vállalat által rögzített árak lennének, akkor az I-es vállalat esetén azt kapnánk, hogy + τ p c τ a, amiől és nyilván 0 adódna. Az utói egyenlőségől Π 0 következne, míg az I-es vállalat profitja + τ + τ Π p c ( c τ) c > 0 lenne. Az I-es vállalat profitja pozitív, mert az árat nem a saját határköltség-szintjére csökkentené, hanem csak valamivel a II-es vállalat által meghatározott minimális ára alá. 0. 9