1. Lineáris differenciaegyenletek

Átírás

1 Lineáris differenciaegyenletek Tekintsük az alábbi egyenletet: f(n) af(n ) + bf(n + ), (K < n < N) f(k) d, f(n) d Keressük a megoldást f(n) α n alakban Így kajuk a következőket: α n aα n + bα n+ α a + bα α, ± 4ab b Az alábbi eseteket különböztethetjük meg: 4ab 0 Ebben az esetben két különböző megoldás van, α és α, az egyenlet általános megoldása edig f(n) c α n + c α n 4ab 0 Ebben az esetben csak egy megoldás van, mégedig α /b Viszont ilyenkor az eredeti egyenletnek nemcsak ( ) n, b hanem nα n n ( n b) is megoldása, uis: ( ( ( + ( [ n a(n ) + b(n + ) a(n )b + b(n + ) ] b b b b b ( [ abn ab + b + n ] ( [ 4ab + n 4ab ] b ( [ 4ab n + n 4ab ] ( n b b Az eredeti egyenlet általános megoldása ilyenkor tehát: f(n) c α n + c nα n c ( b + c n A c és c konstansokat a eremfeltételekből határozhatjuk meg ( b Feladatok Határozzuk meg azt az f(n) függvényt, amelyre teljesülnek az alábbiak: f(n) 4 f(n ) + 3 f(n + ), 0 < n < 0, f(0) 0, f(0) 4 Határozzuk meg azt az f(n) függvényt, amelyre teljesülnek az alábbiak: f(n) 6 f(n ) + f(n + ), 0 < n <, f(0) 4, f() A Fibonacci-számokat a következőkéen definiáljuk: F, F, és n > esetén F n F n + F n Adjunk zárt formulát F n -re! 4 Határozzuk meg azt az f(n) függvényt, amelyre teljesülnek az alábbiak: f(n) 3 f(n ) + 3 f(n + ) + 3 f(n + ), n, f(0) 0, lim n f(n) 5 Határozzuk meg azokat az f(n) függvényeket, amelyekre teljesül az alábbi: f(n) f(n ) + f(n + ) Segítség: Mutassuk meg, hogy f(n) n kielégíti az egyenletet Utána tegyük fel, hogy f (n) és f (n) szintén kielégíti az egyenletet, és keressük meg azt az egyenletet, amit g(n) f (n) f (n) kielégít

2 A tönkremenés roblémája A következő robléma nagyon fontos modell a sztochasztikus folyamatok témakörében Tegyük fel, hogy egy olyan szerencsejátékban veszünk részt, ahol minden egyes játszmában az előzményektől függetlenül valószínűséggel nyerünk forintot, valószínűséggel edig veszítünk ugyanennyit A játékot n forinttal kezdjük és addig folytatjuk, amíg el nem veszítjük az összes énzünket, vagy énzünk el nem ér egy előre rögzített összeget (A) A feladat kacsán a következő kérdéseket fogjuk vizsgálni: Mi a valószínűsége, hogy nyerünk? Mi a valószínűsége, hogy veszítünk? Mi a valószínűsége, hogy végtelenségig tudunk játszani? Mi a helyzet, ha ellenfelünknek végtelen sok énze van? És ha nekünk? Legalább mekkora összeggel kezdjük a játékot, ha egy adott valószínűséggel nyerni akarunk? Átlagosan hány játszmából áll egy játék? A nyerés valószínűsége Jelölje f(n) annak valószínűségét, hogy n forinttal indulva végül megnyerjük a játékot Ekkor a robléma az alábbi differenciaegyenletre vezet: f(n) f(n + ) + ( ) f(n ), a eremfeltételek edig f(0) 0 és f(a) A megoldás függ attól, hogy teljesül vagy sem Ha, akkor Ezzel az általános megoldás: α n α n+ + ( )α n α α + ( ) 0 α α + ( ) α, ± 4( ) α, α ( f(n) c α n + c α n c + c Használjuk fel c és c meghatározásához, hogy f(0) 0 és f(a) Ezzel: ( ) 0 0 c + c c + c c + c ( Az első egyenletből c c következik, amit a másodikba helyettesítve: ( ) A ( ) ( A c + c c c c ) A c ( ) A és c ( ) A ( ) ) A, Vagyis az f(0) 0 és f(a) eremfeltételeknek megfelelő megoldás: ( ( f(n) c α n + c α n ( ) A ( ) A ( ) A

3 Tehát ebben az esetben azt katuk, hogy ( f(n) ( ) A Ha, akkor α n αn+ + αn α α + Ezzel az általános megoldás: 0 α α + α, ± 4 ( α) f(n) c α n + c nα n c + c n Most is használjuk fel a c és c meghatározásához, hogy f(0) 0 és f(a) Ezzel: 0 c + c 0 c c + c A Az első egyenletből kaott c 0 -t a másodikba helyettesítve kajuk, hogy c A Vagyis az f(0) 0 és f(a) eremfeltételeknek megfelelő megoldás: Tehát most azt katuk, hogy f(n) c α + c nα n 0 + n A n A f(n) n A Mi a helyzet, ha ellenfelünknek végtelen sok énze van (azaz A )? Ekkor természetesen a játékot nem nyerhetjük meg, legfeljebb azt érhetjük el, hogy ne veszítsünk, azaz a játék végtelen sokáig tartson Ennek valószínűsége: Ha <, akkor lim f(n) 0 A Ha, akkor lim f(n) 0 A 3 Ha >, akkor lim A f(n) ( Feladatok Fej vagy írást játszok a barátommal, ha fejet dobunk, akkor én fizetek neki forintot, ha írást, akkor ő nekem Nekem 0 forintom van, ő 40 forinttal indul, és addig játszunk, míg valaki el nem veszti minden énzét Sajnos az érme nem szabályos: az írás valószínűsége a) Milyen valószínűséggel fogok nyerni, illetve veszíteni? b) Mekkora a nyereségem várható értéke? c) Mekkora indulóösszeggel játsszak, ha legalább 0,95 eséllyel nyerni akarok (a barátomnak most is 40 forintja van)? Megoldás: Most, n 0, A Ezekkel:

4 a) P ( nyerek ) 0,56, P ( veszítek ) 0,4389, b) E 0, ( 0,56) , c) Most A 40 + n, n? ( ( +40 0,95 ( ) [ n ( ( ) ] 40 0,95 ( ) [ n ( ) ] 40 0,95 ( ( ) 40 0,95 ln ( 0,95 ) 40 ln ( ) 40 0,95 }{{},954 [( ] ln n ln }{{} 0,08 n 36,975 Mivel n egész, ezért n 37 Ellenőrzéské: n 37 esetében a nyerés valószínűsége 0,950, míg n 36 esetében 0,946 Tegyük fel, hogy most szabályos énzérmével játszunk (minden más a fentiek szerint alakul) a) Milyen valószínűséggel fogok nyerni, illetve veszíteni? b) Mekkora a nyereményem várható értéke? c) Mekkora indulóösszeggel játsszak, ha legalább 0,95 eséllyel nyerni akarok? Megoldás: Most 0,5, n 0, A Ezekkel: a) P ( nyerek ) 0,, P ( veszítek ) 0,8, b) E 0, 40 + ( 0,) 0 0, c) Most is A 40 + n, n? n 40 + n 0,95 n 0,95(40 + n) n 38 n Tegyük fel, hogy én 00 forinttal, ellenfelem edig 400 forinttal indul, az érme nem szabályos: az írás valószínűsége a) Milyen valószínűséggel fogok nyerni, illetve veszíteni? b) Mekkora a nyereségem várható értéke?

5 c) Mekkora indulóösszeggel játsszak, ha legalább 0,95 eséllyel nyerni akarok? Megoldás: Most, n 00, A Ezekkel: a) P ( nyerek ) 0,9997, P ( veszítek ) 0,0003, b) E 0, ( 0,9997) ,83, c) Most A n, n? A már látott megoldási menetet követve n 38 adódik Összehasonlítva a nyerés valószínűségére kaott értéket az feladatban kaottal látható a hatalmas különbség Úgy is megfogalmazhattuk volna a feladatokat, hogy mindkét esetben 00 forintunk van, az ellenfélnek edig 400, de míg a második esetben minden egyes játszmában Ft cserél gazdát, addig az első esetben játszmánként 0 Ft a tét A kaott eredmények alaján otimális stratégiát is megfogalmazhatunk: ha a játék nekünk kedvező (azaz > /), akkor érdemes mindig a lehető legkisebb téttel játszani, ha ellenfelünk számára kedvező ( < /), akkor edig a lehető legnagyobbal 4 Ellenfelem most azt javasolja, hogy cseréljük fel a szereeket Azaz, ha fejet dobunk, akkor ő fizet nekem forintot, ha írást, akkor én neki Az írás valószínűsége most is Nagylelkűen azt is felajánlja, hogy ő csak 8 forinttal indul Mekkora összeggel induljak, ha most is legalább 0,95 valószínűséggel nyerni akarok? Megoldás: Most, A n + 8, n? Járjunk el úgy, mint az feladatban: ( ( +8 0,95 ( ) [ n ( ( ) ] 8 0,95 ( ) [ n ( ) ] 8 0,95 ( ( ) 8 0,95 Viszont itt a baloldali kifejezés negatív (kb 0,063), tehát nincs logaritmusa (az egész ersze azért van, mert most > ) Vagyis azt katuk, hogy ez az egyenlőtlenség nem oldható meg Tehát bármennyi énzzel is ülünk le játszani, a nyerési valószínűségünk soha nem lesz több 0,95-nál, de azt is tudjuk, hogy minél több énzzel kezdünk, annál nagyobb valószínűséggel nyerjük meg végül a játékot Akkor legfeljebb mekkora lehet a nyerésünk valószínűsége? lim P (nyerek) lim n n ( ( ( ) 8 +8 lim n ( ) 8 7 ( ( +8 lim n ( ( ( ) 8 Általánosan, ha <, nekünk n forintunk van, ellenfelünk edig n egységgel kezdi a játékot, akkor a nyerésünk valószínűségének határértéke: ( ( lim P (nyerek) lim ( ) n n n+n Most a relációs jelek iránya azért változik meg, mert negatív értékkel osztottunk vagy szoroztunk

6 5 Tegyük fel, hogy nekem most is 0 forintom van, viszont az ellenfelemnek végtelen sok énze van, a nyerési esélyem edig minden egyes játszmában 0,55 a) Milyen valószínűséggel fogom elvesztíteni az összes énzemet? b) Mi a valószínűsége, hogy a játék során valamikor 6 forintom lesz? És annak, hogy 00? c) Mi a valószínűsége, hogy végtelen sokáig tart a játék? d) Mekkora indulóösszeggel játsszak, hogy legalább 0,9 valószínűséggel ne veszítsek? 6 Tegyük fel, hogy nekem most is 0 forintom van, viszont az ellenfelemnek végtelen sok énze van, a nyerési esélyem edig minden egyes játszmában 0,45 a) Milyen valószínűséggel fogom elvesztíteni az összes énzemet? b) Mi a valószínűsége, hogy a játék során valamikor 5 forintom lesz? És annak, hogy 0? c) Mi a valószínűsége, hogy végtelen sokáig tart a játék? 7 Wagner úr záráskor kilé a Három Piros Dugóhúzóból, és az elfogyasztott nagy mennységű whisky hatására / / valószínűséggel lé egyet jobbra illetve balra Bolyongását addig folytatja, míg bele nem esik a kocsmától 400 léésre levő tengerbe, vagy el nem éri a 00 léésnyire található kényelmes szemetes kukát a) Mekkora valószínűséggel éri el a biztonságos szemetest? Milyen eséllyel zuhan bele a tengerbe? Mekkora annak a valószínűsége, hogy bolyongása sosem ér véget? b) Fülig Jimmy elhatározza, olyan módon csökkenti Wagner úr esélyeit, hogy ás egy mély gödröt a kocsma és a tenger közé Hová ássák a gödröt, ha azt szeretnék, hogy Wagner úr legfeljebb 0,5 valószínűséggel érjen haza? c) Megjelenik Tüskés Vanek, aki azt javasolja, hogy inkább hajítsák a tengerbe a szemetest, mely Wagner úr szállásául szolgált, ekkor ugyanis biztosan a tengerben köt ki (mármint Wagner úr) Igaza van neki? 8 Piszkos Fred ellota Wagner úr bal ciőjét, aki így a hirtelen támadt aszimmetria hatására 0,45 valószínűséggel lé a szemetes, és 0,55 valószínűséggel lé a tenger felé Válaszoljuk meg így is az előző feladat kérdéseit! Számítógées feladatok Jelölje f(n, n, ) annak valószínűségét, hogy megnyerünk egy olyan játékot, melyben nekünk n kezdőtőkénk van, ellenfelünknek n, és minden egyes játszmában valószínűséggel nyerünk (illetve valószínűséggel veszítünk) egy egységet a) Határozzuk meg a következőket: f(0,000,08), f(00,0000,08), f(0,00,04), f(,0,04) b) Ábrázoljuk az f(00,00, ) függvényt! Legyen n 00 és n 00 A vízszintes tengelyen ábrázoljuk a játékok számát, a függőlegesen edig az aktuális tőkénket a) Ábrázoljuk a folyamatot 0,5 esetén! b) Ábrázoljuk a folyamatot 0,6 esetén! A játék várható időtartama Jelölje d(n) a játék várható időtartamát (azaz a játszmák várható számát) a bevezetőben leírt szerencsejáték esetén Ekkor az alábbi differenciaegyenlet szolgáltatja a megoldást: d(n) d(n + ) + ( ) d(n ) +, a eremfeltételek most d(0) 0 és d(a) 0 A megoldás most is függ attól, hogy teljesül vagy sem

7 Ha : Vegyük észre, hogy d(n) n megoldása az egyenletnek, továbbá a linearitás miatt bármely két megoldás δ(n) különbsége kielégíti a δ(n) δ(n + ) + ( ) δ(n ) ( egyenletet, melyről már tudjuk, hogy minden megoldása c + c alakú Tehát esetén az általános megoldás: d(n) n ( + c + c A eremfeltételek felhasználásával kajuk a megoldást: Ha : d(n) n A ( ( ) A Az előző esetben talált artikuláris megoldás most nem felel meg, de a d(n) n már kielégíti az egyenletet, továbbá a linearitás miatt bármely két megoldás δ(n) különbsége kielégíti a δ(n) δ(n + ) + δ(n ) egyenletet, melynek minden megoldása c + c n alakú, így esetén az általános megoldás: A eremfeltételek felhasználásával a megoldás: d(n) n + c + c n d(n) n(a n) Feladatok Határozzuk meg az előző feladatokban a játék várható időtartamát (ahol lehet)! Általános esetben mi a helyzet, ha A? Vizsgáljuk a kérdést <, és > esetén! Számítógées feladatok Jelölje d(n, n, ) a játék osszának váható értékét egy olyan játékben, ahol nekünk n kezdőtőkénk van, ellenfelünknek n, és minden egyes játszmában valószínűséggel nyerünk (illetve valószínűséggel veszítünk) egy egységet a) Határozzuk meg a következőket: d(0,00,08), d(0,0000,08), d(00,000,04), d(0,00,04) b) Ábrázoljuk az d(00,00, ) és d(0,00, ) függvényt!