Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea
|
|
- Mária Halászné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1 / 37
2 1 Nevezetes normál formájú játékok Iteráció Szigorúan dominált stratégiák iteratív kiküszöbölése Dominancia Játékok tulajdonságai Egzisztencia és unicitás Kevert stratégiák Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2 / 37
3 Definíciók I Játékosok: N = {1,..,n} Stratégiahalmazok: S 1,...,S n (teljes) stratégiatér: ezek szorzata - S = S 1... S n kifizetőfüggvények: f i : S R, i = 1,..,n G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } Olyan játékok ahol S i -k végesek: véges játékok 2 játékos esetén mindkét játékos kifizetőfüggvénye megadható egy n-dim mátrixal. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 3 / 37
4 Fogolydilemma 1. fogoly 2. fogoly N V N (-2,-2) (-10,-1) V (-1,-10) (-5,-5) táblázat: Fogolydilemma kifizetési bimátrixa. V: vall, N: Nem vall Az 1. fogoly nem tudja mit fog csinálni a másik, de a V stratégia választásával mindkét esetben jobban jár. (A 2. ue.) "szigorúan dominált stratégiák kiküszöbölése" Itt egyértelmű Nash-egyensúly (NE) -ra vezet. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4 / 37
5 Nemek harca fiú lány Wellhello Blind Myself Wellhello (1,2) (0,0) Blind Myself (0,0) (2,1) táblázat: Nemek harca játék kifizetési bimátrixa Itt két NE is van, ha mindketten a Wellhellot vagy mindketten a Blind Myself-et választják. Tegyük most fel, hogy valójában a Wellhellot szeretik mindketten jobban, ez 2-2, a Blind Myself pedig 1-1 egység örömöt szerez. Ekkor is mindkét azonos választás Nash-egyensúlyban van, annak ellenére, hogy a Blind Myself a teljes haszon tekintetében egyértelműen rosszabb (Pareto-szuboptimális - akkor lenne Pareto optimális ha nem létezne olyan alternatíva ami az egyik játékos kifizetését javítja és a másikét nem rontja). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5 / 37
6 Héja-galamb játék (hawk and dove game) A fogolydilemmához hasonló héja-galamb játék konfliktushelyzetek modellezését célozza (kocsmai verekedések, háborúk, biológiában különböző fajok vetélkedése stb.). Mindkét félnek két stratégiája van, a provokáló (héja) és a kompromisszumkereső (galamb). héja galamb héja (0,0) (4,1) galamb (1,4) (3,3) táblázat: Héja-galamb játék kifizetési bimátrixa A játék másik elnevezése a gyáva nyúl : amikor egy keskeny egyenes úton egymással szembe indul két autós. Amelyik előbb félrerántja a kormányt, az gyáva nyúl, gúny és megvetés tárgya. Ha viszont egyik sem rántja félre, akkor két bátor halottal lesz gazdagabb a helyi legendárium. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 6 / 37
7 Iterált fogolydilemma 1979-ben és 1982-ben is versenyt írtak ki az iterált Fogolydilemma kapcsán. Iterált stratégiát megvalósító programokat kellett beküldeni, és ezeket eresztették össze fix számú körben. A világ minden tájáról érkeztek különböző, akár igen nagy bonyolultságú megoldások, ámde mindegyiken felülkerekedett Anatol Rapoport szociológus Tit-for-Tat (TFT) stratégiája - Szemet-Szemért: az első körben kooperálunk, később pedig azt tesszük, amit ellenfelünk tett az előző körben. Később a versenyeket kiíró Robert Axelrod még további két analízissel igazolta a TFT stratégia hatékonyságát/ésszerűségét az iterált Fogolydilemma esetében: (1) végzett egy úgynevezett ökológiai analízist, ahol egy végtelen méretű populáció az eredeti versenyekben résztvevő programokból alkotott adott arányú részpopulációinak alakulását vizsgálta, feltéve, hogy ezek mérete (pontosabban a teljes populációhoz viszonyított arányuk) függ az átlagos hasznuktól, amit egy-egy körben nyernek. Itt is a TFT részpopuláció jött ki győztesként. A másik kísérlet, (2) evolúciós analízis címen vált ismertté. Itt Axelrod egy genetikus algoritmushoz hasonló környezetet konstruált, és azon belül evolvált bináris kromoszómák (génszekvenciák) által kódolt iterált stratégiákat. Ezeket vetette körről körre, generációról generációra össze, és a sikeresebbek örökítődhettek tovább. Ennél a kísérletnél is a TFT-hez igen hasonló tulajdonságokkal rendelkező iterált stratégiát kódoló génszekvencia jött ki eredményül. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 7 / 37
8 2. példa 1. játékos 2. játékos B K J F (1,0) (1,2) (0,1) L (0,3) (0,1) (2,0) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 8 / 37
9 2. példa 1. játékos 2. játékos B K J F (1,0) (1,2) (0,1) L (0,3) (0,1) (2,0) Az 1. játékos egyik stratégiája sem dominálja szigorúan a másikat, de a 2. játékos K stratégiája szigorúan dominálja J-t elhagyjuk. A megmaradt mátrixban F szigorúan dominálja L-et, az így megmaradtban pedig K dominálja B-t. (F,K) "Szigorúan dominált stratégiák iteratív kiküszöbölése" Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 9 / 37
10 Nullösszegű játékok Minden A valós mátrix definiál egy játékot, ahol a sorjátékos az egyik sort, az oszlopjátékos az egyik oszlopot választja, és a sorjátékos nyereménye a választott sor és oszlop találkozásában levő a ij elem, míg az oszlopjátékosé a ij. A mátrix - kifizetési mátrix, A mátrix sorai/oszlopai - a sor/oszlop játékos tiszta stratégiái, pl (feltűntetve a minimális nyereséget és a maximális veszteséget): A = Ha a sorjátékos a második sort választja, az oszlopjátékos pedig a harmadik oszlopot, akkor garantált, hogy a sor legalább 1-et nyer, de az is, hogy többet nem. Azaz ezek megjátszását optimális illetve egyensúlyi stratégiáknak tekinthetjük. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 10 / 37
11 Nullösszegű játékok II: A nyeregpont Jelentse m i az i-edik sor minimumát, M j pedig a j-edik oszlop maximumát, azaz m i = mina ij, M j = max j i a ij Legyen továbbá Ekkor m = maxm i és M = minm j i j m M (a minimumok maximuma a maximumok minimuma) Ha m = M akkor r,s hogy a rs = m = M (ez a mátrix nyeregpontja) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 11 / 37
12 Cournot-duopólium Egy folytonos példa Egy iparág, két meghatározó vállalat, melyek egy homogén terméket állítanak elő. Stratégiák: termelési volumenek. Adott az inverz keresleti függvény, amely az iparág össztermeléséhez rendeli hozzá azt a legmagasabb árat, amelyen a piac kiürül. Adott a vállalatok (azonos) költségfüggvénye. Definiáljuk azt a játékot ahol a kifizetőfüggvények a bruttó nyereségek (a költségekkel csökkentett árbevétel). Tfh: az inverz keresleti függvény és a költségfüggvény lineáris. Ha q 1 és q 2 jelölik a két vállalat (nemnegatív) termelési volumenét, akkor az i játékos kifizetőfüggvénye: f i (q 1,q 2 ) = q i p(q 1,q 2 ) C(q i ) p(q 1,q 2 ) = max{a b(q 1 +q 2 ), 0} C(q i ) = cq i, a,b,c > 0, a > c, i = 1, 2 c - termelési költség, q i - termelt mennyiség, p - a termék ára 0 termelési volumen 0 nyereség. Túl nagy termelési volumen veszteség, függetlenül attól, mekkora termelést választ a másik. NE-t lásd később. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 12 / 37
13 Dominancia S i : Azon stratégiaprofilok halmaza, amik nem tartalmazzák az i játékos stratégiáját. (csonka stratégiaprofilok) ha s i S i akkor s = (s i,s i ) az a stratégiaprofil ahol az i játékos az s i stratégiáját, míg a többiek s i -t játszák. Definíció Legyen G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n }-ben s i és t i S i az i játékos két stratégiája. s i szigorúan dominálja t i -t ha gyengén dominálja ha f i (s i,s i ) > f i (t i,s i ) s i S i Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 13 / 37
14 Nash-egyensúly Definíció Legyen G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n }-ben egy n-személyes játék normál formában. Egy s stratégiaprofilt Nash-egyensúlypontnak (NEP v NE) nevezünk, ha f i (s i,s i) f i (s i,s i) s i S i i = 1,...,n vegyük észre hogy egyszerre csak 1 játékos válthat stratégiát Definíció Az s S stratégiaprofilt domináns Nash-egyensúlypontnak (DNEP) nevezünk, ha f i (s i,s i ) f i (s i,s i ) s S i = 1,...,n "függetlenül attól hogy a másik mit játszik, én a DNEP-hez tartozó stratégiával járok jobban" - minden játékosra pl a fogolydilemmában a (V,V) DNEP, a nemek harcában a (W,W) nem DNEP. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 14 / 37
15 Erős Nash-egyensúly (N>2) esetén érdekes. Koalíció: játékosok egy halmaza. Definíció Legyen G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n }-ben egy n-személyes játék normál formában. Egy s stratégiaprofilt erős Nash-egyensúlypontnak (SNE) nevezünk, ha s NE, és C 2 N f i (s C,s C ) f i(s C,s C ) i C &( j C) (f j (s C,s C ) < f j(s C,s C )) Az erős Nash-egyensúly (SNE - Strong Nash Equilibrium) egy olyan NE, amire igaz hogy nem létezik olyan koalíció ami ha koordináltan változtatja meg a stratégiáját - a többiek változatlan döntése mellett - akkor azzal minden tagja jobban jár (és legalább egyikük szigorúan). Szemben a NE unilaterális deviációival, az SNE koalíciós elhajlást is megenged. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 15 / 37
16 Erős Nash-egyensúly: Ellenpélda Legyen S 1 = {F,L}, S 2 = {B,J}, S 1 = {E,H} P3 : S 3 = E P3 : S 3 = H P1 P2 B J F (2,2,2) (3,1,0) L (0,1,3) (1,2,3) P1 P2 B J F (1,4,1) (0,0,0) L (3,0,3) (2,1,-1) S=(F,B,E) NE (unilaterális deviációkra stabil), de C = {1, 3} hogy T=(L,B,H) esetén f i (T) > f i (S) i C Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 16 / 37
17 Felcserélhetőség Definíció Ha s = (s 1,...,s n ) és t = (t 1,...,t n ) a G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } játék két NEP-je és u = (u 1,...,u n ) u i {s i,t i } i = 1,...,n szintén NEP akkor s és t felcserélhetőek. Ha G-nek csak egyetlen NEP-je van vagy 2 NEP-je felcserélhető, akkor G rendelkezik a felcserélhetőségi tulajdonsággal. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 17 / 37
18 Antagonizmus Definíció A G = {S 1,S 2 ;f 1,f 2 } kétszemélyes játékot antagonisztikusnak nevezzük, ha s 1,t 1 S 1 és s 2,t 2 S 2 stratégiapárosra f 1 (s 1,s 2 ) f 1 (t 1,t 2 ) f 2 (s 1,s 2 ) f 2 (t 1,t 2 ) (ha átmegyünk t-ből s-be, az első játékos kifizetése pontosan akkor nő ha a másodiké csökken) Antagonisztikus játékokban a játékosok érdekei ellentétesek. A konstans összegű játékok (f 1 +f 2 = c) antagonisztikusak, de nem minden antagonisztikus játék konstans összegű. Tétel Minden antagonisztikus játék rendelkezik a felcserélhetőségi tulajdonsággal, és minden NEP-ben mindkét játékos kifizetőfüggvényének értéke azonos (nem a két játékosra, hanem a két NEP-ra vonatkozva). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 18 / 37
19 Nash halmaz, stratégiai ekvivalencia E. = G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } NEP-jei. e f iff ha e és f E felcserélhetőek. A reláció reflexív, szimmetrikus de nem tranzitív. Definíció Az E egy olyan D részhalmazát, amelyre d 1,d 2 D esetén d 1 d 2 Nash-halmaznak nevezzük. Ha egy Nash-halmaz nem valódi részhalmaza egyetlen Nash-halmaznak sem, akkor maximális Nash-halmaznak hívjuk. Definíció Legyen G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } H = {S 1,...,S n ; g 1,...,g n } G és H stratégiailag ekvivalens, ha NEP-jaik halmaza megegyezik. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 19 / 37
20 3 tétel Tétel G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } játék esetén ha ϕ i : R R szig. mon. növő minden i-re, akkor a H = {S 1,...,S n ; ϕ 1 f 1,...,ϕ n f n } játék stratégiailag ekvivalens G-vel. Tétel A G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } játék játékban a szigorúan dominált sratégiák iteratív kiküszöbölésével egyetlen NEP-et sem vesztünk el. Tétel Ha a G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } játék véges, és a szigorúan dominált sratégiák iteratív kiküszöbölésével egyetlen s stratégiaprofil marad, akkor s a G játék egyetlen NEP-je. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 20 / 37
21 Egzisztencia I Érmepárosítás: ha megegyezik az oldal az 1. játékos nyer (és vica versa). Véges, 2 személyes, 0 összegű játék. játékos 2 Fej Írás játékos 1 Fej (1,-1) (-1,1) Írás (-1,1) (1,-1) táblázat: Érmepárosítási játék kifizetési bimátrixa Nincs NEP. G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n }, legyen most S i R ki (elég véges dimenzióra kimondani) Recall: NEP: f i (s i,s i ) f i(s i,s i ) s i S i i = 1,...,n Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 21 / 37
22 Best-response function Definíció Az i játékos B i : S 2 Si legjobbválasz-leképzése B i (s) = {t i S i f i (t i,s i ) f i (r i,s i ), r i S i } B i (s) az i-ik játékos legjobb stratégiáit tartalmazza, ha a többi játékos az s i csonka stratégiaprofilban szereplő stratégiákat játsza. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 22 / 37
23 Legjobbválasz-leképzés - példa Közlegelők problémája ("Tragedy of the commons"): 2 parasztnak van 3-3 tehene.. tehenek száma a legelőn liter tej/tehén játékos 2. játékos (4,4) (3,6) (2,6) 2 (6,3) (4,4) (2,3) 3 (6,2) (3,2) (0,0) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 23 / 37
24 Egzisztencia II Definíció Az egész játékra vonatkozó B : S 2 S B(s) = B 1 (s)... B n (s) vagyis t B iff t i B i (s) i = 1,...,n Az s S stratégiaprofil akkor és csak akkor NEP-ja a G játéknak, ha s fixpontja a B legjobbválasz-leképzésnek, vagyis ha s B(s ) Tétel Legyen G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } normál formában megadott játék, ahol a stratégiahalmazok véges dimenziós euklideszi terek nemüres, konvex, kompakt részhalmazai, és a kifizetőfüggvények folytonosak a stratégiaprofilok S halmazán. Ha a G játékra vonatkozó B legjobbválasz-leképzés egyértékű, akkor G-nek van legalább egy NEP-je. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 24 / 37
25 Cournot-duopólium III f i (q 1,q 2 ) = q i p(q 1,q 2 ) c(q i ) p(q 1,q 2 ) = max{a b(q 1 +q 2 ), 0} Ha a második vállalat kibocsátása q 2, az első vállalat legjobb válasza erre az f 1 (q 1 ) = q 1 (a b(q 1 +q 2 )) cq 1 = aq 1 bq 2 1 bq 1 q 2 cq 1 kvadratikus kifizetésfüggvényt maximalizáló q 1 : df 1 (q 1 ) dq 1 = a 2bq 1 bq 2 c = 0 q 1 = a c 2b q 2 2 A legjobb válasz az egyik játékos q i kibocsátására max{ a c legjobbválasz-leképzés egyértelmű (vagyis egy függvény). 2b qi 2, 0} és a Fixpont (duopólium): q 1 = q 2 = q = a c 2b q a c 2 q = 3b a szimmetria miatt az egész iparág kibocsátása qtot D = 2(a c) 3b, az ár pedig p D = a+2c 3 Monopol kibocsátás (q1 M = q 1 ha q 2 = 0): a c 2b, monopolár: pm = a+c 2 p D < p M, qtot D > qm TOT Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 25 / 37
26 Mi a baj a NEP-al? Tekintsük ismét a közlegelők problémáját: Adott egy közlegelő amely 10 tehenet tud eltrartani úgy hogy ekkor mindegyik tehén 10 l tejet ad (egységnyi idő alatt). Az egyik gazda gondol egyet és kiküld még egy tehenet a legelőre egy-egy tehénnek már kevesebb fű jut, ezért mindegyik csak 9 l tejet ad. Viszont az a gazda amelyik 2 tehenet legeltet 2*9=18 l tejhez jut. Ezt észreveszi egy másik gazda is, ő is kiküld még egyet még kevesebb fű jut a teheneknek, egy tehén már csak 8 l tejet ad, de a 2 dezertőrnek 16 l teje lesz. Mikor már 8 gazda tart 2 tehenet, ők 2*(10-8)=4 l tejet kapnak, a 9-ik gazda nem nyer semmit a 2. tehénnel. Ha egy gazda úgy dönt hogy visszavonja az egyik tehenét, rosszabbul jár. Annyi Nash-egyensúly van, ahány féleképpen 10-ből el tudunk hagyni 2-őt = 10 alatt a 2=45. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 26 / 37
27 Unicitás Definíció A G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } játék pontosan akkor konkáv ha az S = S 1,...,S n stratégiahalmazok kompaktak és konvexek, és az f i (s i,s i ) függvény konkáv s i -ben rögzített s i mellett i-re Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 27 / 37
28 Példa Cournot-duopólium. S i = [0, 1], c : [0, 1] R, c(x) = 1 2x, p : [0, 2] R p(q TOT ) = { q TOT ha 0 q TOT q TOT egyébként A profitfüggvéynek: f i : [0, 1] 2 R, f i (x 1,x 2 ) = x i p(x 1 +x 2 ) 1 2 x i, i {1, 2} Elemi számolással igazolható hogy f i szigorúan konkáv fv-e x i -nek a [0, 1] intervallumon. Ugyancsak belátható hogy az X 1 = {(x 1,x 2 ) 2 x 1 1 1, 2 x 2 1, x 1 +x 2 = 3 2 } halmaz minden eleme NEP (hf). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 28 / 37
29 Unicitás II Tétel Legyen G = {S 1,...,S n ; f 1,...,f n } konkáv játék, és tegyük fel hogy a B legjobbválasz-leképzés egyértékű. Ha a B függvény kontrakció, akkor G-nek csak egy egyensúlypontja van. f a d távolságfüggvénnyel ellátott M metrikus téren kontrakció ha ( 0 k < 1)( (x,y) M)(d(f(x),f(y)) kd(x,y)) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 29 / 37
30 Kevert stratégiák Neumann János 1928 Adott valószínűséggel játszhatunk 1 adott stratégiát. i N egy kevert stratégiája q i Q ahol (s j S i ) q i (s j ) > 0 és s j S i q i (s j ) = 1 (q i (s j ) egy függvény ami az i-ik játékos minden lehetséges stratégiájához egy valószínűséget rendel - tiszta: q i (s j ) = 1 csak 1 j esetén, a többire 0) Kevert stratégia kombinációk kifizetőfüggvények várható értékek: q = (q 1,...,q n ) Q = Q 1... Q n Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 30 / 37
31 Kevert stratégiák - példa: nullösszegű játék p - annak a valsége hogy Peti Down the line -t szervál (CC - cross court) q - annak a valsége hogy Jani DL-re számítva helyezkedik Jani q-mix DL (q) CC (1 q) DL (p) (50,50) (80,20) 50q+80(1-q) Peti CC (1 p) (90,10) (20,80) 90q+20(1-q) p-mix 50p+10(1-p) 20p+80(1-p) Peti optimális p választása: válasszuk meg p-t úgy, hogy Jani ne preferálhassa egyik tiszta stratégiáját sem! 50p + 10(1 p) = 20p + 80(1 p) p=0.7 Jani sikerrátája = = = 38% Petié = 62% Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 31 / 37
32 Kevert stratégiák - példa: nullösszegű játék/2 Jani q-mix DL (q) CC (1 q) DL (p) (50,50) (80,20) 50q+80(1-q) Peti CC (1 p) (90,10) (20,80) 90q+20(1-q) p-mix 50p+10(1-p) 20p+80(1-p) Jani optimális q választása: válasszuk meg q-t úgy, hogy Peti ne preferálhassa egyik tiszta stratégiáját sem! 50q + 80(1 q) = 90q+20(1 q) q=0.6 Peti sikerrátája = 62% Janié = 38% Ha pl p = 0.7, q = 0.5, Jani kifzetése = = 38 Mindegy! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 32 / 37
33 Kevert stratégiák - példa: nullösszegű játék/3 Jani q-mix DL (q) CC (1 q) DL (p) (50,50) (80,20) 50q+80(1-q) Peti CC (1 p) (90,10) (20,80) 90q+20(1-q) p-mix 50p+10(1-p) 20p+80(1-p) p = 0.5, q = 0.5 Jani kifzetése = = 40 p = 0.5, q = 0.7 Jani kifzetése = = 36 p = 0.5, q = 0.3 Jani kifzetése = = 44 Ha Peti p = 0.5-öt játszik p = 0.7 helyett, Jani-nak van értelme preferálnia a CC stratégiát. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 33 / 37
34 Kevert stratégiák - példa: nullösszegű játék/4 ábra: Legjobbválasz-függvények Jani és Peti esetében Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 34 / 37
35 Kevert stratégiák - példa: nullösszegű játék/ q 0 0 p Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 35 / 37
36 Kevert Nash egyensúly q = (q 1,...q n) kevert NE ha ( i N)( q i Q i )f i (q i,q i ) f i(q i,q i ) Tétel Nash, 1951: Ha az n személyes játék tiszta stratégiahalmazai végesek, akkor a keveréssel létrejövő halmazok szorzatán defniált játéknak van legalább egy kevert egyensúlya. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 36 / 37
37 Kevert stratégiák - nemek harca (nem nullösszegű) Tekintsük ismét a nemek harca játékot: fiú lány Welhello Blind Myself Wellhello (1,2) (0,0) Blind Myself (0,0) (2,1) táblázat: Nemek harca játék kifizetési bimátrixa A randomizált NE: Fiú: q(wellhello)= 2/3, q(blind Myself)= 1/3 Lány: q(wellhello)= 1/3, q(blind Myself)= 2/3. Várható kifizetés: (2/3, 2/3), ami igazságos, de alacsonyabb mint a determinisztikus NE esetén. (pl fiú: = = 6 9 = 2 3 ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 37 / 37
Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31
Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31 1 Az információ szerepe Játékok extenzív formában Csercsik
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 8 Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
Részletesebben2015/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Egy példa Adott két TV csatorna (N1, N2), melyek 100 millió nézőért versenyeznek.
RészletesebbenRasmusen, Eric: Games and Information (Third Edition, Blackwell, 2001)
Játékelmélet szociológusoknak J-1 Bevezetés a játékelméletbe szociológusok számára Ajánlott irodalom: Mészáros József: Játékelmélet (Gondolat, 2003) Filep László: Játékelmélet (Filum, 2001) Csontos László
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenPiaci szerkezetek VK. Gyakorló feladatok a 4. anyagrészhez
Piaci szerkezetek VK Gyakorló feladatok a 4. anyagrészhez Cournot-oligopólium Feladatgyűjtemény 259./1. teszt Egy oligopol piacon az egyensúlyban A. minden vállalat határköltsége ugyanakkora; B. a vállalatok
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
RészletesebbenJÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK
1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3
RészletesebbenA stratégiák összes kombinációján (X) adjunk meg egy eloszlást (z) Az eloszlás (z) szerint egy megfigyelő választ egy x X-et, ami alapján mindkét
Készítette: Jánki Zoltán Richárd Robert Aumann (1930) Izraeli-amerikai matematikus 1974-ben általánosította a Nash-egyensúlyt 2005-ben közgazdasági Nobel-díjat kapott (kooperatív és nem-kooperatív játékok)
RészletesebbenNem-kooperatív játékok
Nem-kooperatív játékok Versengő ágensek konfliktusai játékelmélet Cselekvéseivel mások cselekvéseinek hatását befolyásolják. Ettől a cselekvések (mind) várható haszna meg fog változni. A változás az én
RészletesebbenJátékelmélet 1. Forgó Ferenc Pintér Miklós Simonovits András Solymosi Tamás. (elektronikus jegyzet)
Játékelmélet 1 (elektronikus jegyzet) Forgó Ferenc Pintér Miklós Simonovits András Solymosi Tamás 2005 1 Ez a munka az OTKA T046194 pályázat támogatásával készült. 2 El szó Nagyon sok jó játékelmélet könyv
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenTovábbi forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
RészletesebbenUniversität M Mis is k k olol ci c, F Eg a y kultä etem t, für Wi Gazda rts ságcha tudft o sw máis n s yen i scha Kar, ften,
6. Előadás Piaci stratégiai cselekvések leírása játékelméleti modellek segítségével 1994: Neumann János és Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior. A játékelmélet segítségével egzakt matematikai
RészletesebbenCsercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21
Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai
Részletesebben11. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 11. előadás Kvadratikus alakok, Stratégiai viselkedés
11. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Leontyev-modell, Sajátérték 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg, hogy az x valós paraméter mely értékeire lesz az alábbi A mátrix
RészletesebbenMikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 12. hét STRATÉGIAI VISELKEDÉS ELEMZÉSE JÁTÉKELMÉLET
MIKROÖKONÓMIA I. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. B STRATÉGIAI VISELKEDÉS ELEMZÉSE JÁTÉKELMÉLET K hegyi Gergely, Horn Dániel, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 17. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenSarokba a bástyát! = nim
Nim-összeadás, játékok összege Sarokba a bástyát! = nim Nim (két csomóval) Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó
Részletesebben1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenPIACI SZERKEZETEK BMEGT30A hét, 1-2. óra: Játékelméleti bevezető, Cournot- és Bertrandoligopólium
PIACI SZERKEZETEK BMEGT30A104 7. hét, 1-2. óra: Játékelméleti bevezető, Cournot- és Bertrandoligopólium PRN: 9., 10. fejezet 2019.03.25. 10:15 2019.03.27. 12:15 QAF14 Kupcsik Réka (kupcsikr@kgt.bme.hu)
RészletesebbenAz előadásokat és a gyakorlatokat pénteken az M 316 tanteremben tartjuk. Az előadás időpontja: , a gyakorlat időpontja:
Játékelmélet (2017 / 2018-as tanév, II. félév) (TTMME0208 / TMME0205, TTMMG0208 / TMMG0205) Az előadásokat és a gyakorlatokat pénteken az M 316 tanteremben tartjuk. Az előadás időpontja: 10 00 11 45, a
RészletesebbenPIACI SZERKEZETEK BMEGT30A hét, 1-2. óra: Játékelmélet, Cournot- és Bertrand-oligopólium
PIACI SZERKEZETEK BMEGT30A104 7. hét, 1-2. óra: Játékelmélet, Cournot- és Bertrand-oligopólium PRN: 9. és 10. fejezet 2018.03.19. 10:15 2018.03.21. 12:15 QAF14 Kupcsik Réka (kupcsikr@kgt.bme.hu) Oligopóliumok
RészletesebbenKözgazdaságtan I. 11. alkalom
Közgazdaságtan I. 11. alkalom 2018-2019/II. 2019. Április 24. Tóth-Bozó Brigitta Tóth-Bozó Brigitta Általános információk Fogadóóra szerda 13-14, előzetes bejelentkezés szükséges e-mailben! QA218-as szoba
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 20. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenPIACI JÁTSZMÁK. Bevezető Közgazdaságtan Tanszék
PIACI JÁTSZMÁK Bevezető 2018. 09. 03 Közgazdaságtan Tanszék banhidiz@kgt.bme.hu Általános információk Piaci játszmák (BMEGT30V200) Oktatók és témakörök: Bánhidi Zoltán (banhidiz@kgt.bme.hu) Bevezető témakörök
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenJátékelméleti alapvetés - I
Játékelméleti alapvetés - I Fáth Gábor (SZFKI) ELTE 2005. június 1. Alkalmazások pszichológia biológia nyelvészet közgazdaságtan számítástudomány Játékelmélet filozófia politika tudomány etika kulturális
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGTAN. Játékelmélet Szalai László
KÖZGAZDASÁGTAN Játékelmélet 2017. 10. 09. Szalai László Játékelméleti problémák Racionális, haszonmaximalizáló játékosok Döntéselmélet vs. játékelmélet Döntések közötti interakciók A játékosok által élérhető
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenPIACI SZERKEZETEK BMEGT30A hét, 1. óra: Differenciált termékes Bertrand-oligopólium
PIACI SZERKEZETEK BMEGT30A104 8. hét, 1. óra: Differenciált termékes Bertrand-oligopólium PRN: 10. fejezet 2019.04.01. 10:15 QAF14 Kupcsik Réka (kupcsikr@kgt.bme.hu) Emlékeztető Bertrand-modell: árverseny
RészletesebbenKözgazdaságtan. A vállalatok kínálata Szalai László
Közgazdaságtan A vállalatok kínálata Szalai László A vállalat kínálata Döntési faktorok Termelési mennyiség Értékesítési ár Korlátozó feltételek Technológiai korlátok Termelési függvény Gazdasági korlátok
RészletesebbenAlkuegyensúlyok és stabil halmazok
Alkuegyensúlyok és stabil halmazok Bednay Dezső Megjelent: Solymosi Tamás Temesi József (szerk.): Egyensúly és optimum. Tanulmányok Forgó Ferenc 70. születésnapjára. Aula Kiadó. Budapest. 2012. ISBN 978-963-339-018-4
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenPiaci szerkezetek VK. Gyakorló feladatok a 3., az 5. és a 7. anyagrészhez
Piaci szerkezetek VK Gyakorló feladatok a 3., az 5. és a 7. anyagrészhez Kartellek Feladatgyűjtemény 266./33. teszt A kartellekkel kapcsolatos engedékenységi politika azt jelenti, hogy A. bizonyos esetekben
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenA relációelmélet alapjai
A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal
RészletesebbenBEVEZETÉS A JÁTÉKELMÉLETBE: VÁZLAT. MTA Közgazdaságtudományi Kutatóközpont Budapest, Budaörsi út 45, 1112 e-mail: simonov@econ.core.hu 2007. május 6.
Simonovits András: BME, Matematikai Intézet BEVEZETÉS A JÁTÉKELMÉLETBE: VÁZLAT MTA Közgazdaságtudományi Kutatóközpont Budapest, Budaörsi út 45, 1112 e-mail: simonov@econ.core.hu 2007. május 6. i ELŐSZÓ
Részletesebbenf B B 1 B 2 A A 2 0-1
az előadáson tárgyalt példák-1 Fogolydilemma A játék 2 2-es, nem-kooperatív, kétszemélyes és szimmetrikus. A játékos lehetőségei: A 1 : elismeri a bankrablást B játékos lehetőségei: B 1 : elismeri a bankrablást
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenAgrárstratégiai irányok játékelméleti alapokon
fejlesztés,felzárkózás Agrárstratégiai irányok játékelméleti alapokon Dr. Zöldréti Attila Miskolc 2015.09.04. Mit értünk stratégia fogalma alatt? Ne tévedjünk el! Egy irányba kell haladni! Azért nem ilyen
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenA változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.
Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk
RészletesebbenMikro- és makroökonómia. Monopolisztikus verseny, Oligopóliumok Szalai László
Mikro- és makroökonómia Monopolisztikus verseny, Oligopóliumok Szalai László 2017.10.12. Piaci feltételek A termékek nem homogének, de hasonlóak A különbség kisebb termékjellemzőkben jelentkezik Pl.: Coca-Cola
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenPIACI JÁTSZMÁK. Fiú. Színház. Színház (4 ; 2) (0 ; 0) A38 (0 ; 0) (2 ; 4) Lány
PIACI JÁTSZMÁK Bevezető Mindenki saját sorsának kovácsa tartja a közmondás. Ez azonban csak részben igaz; saját választásaink és cselekedeteink eredményét rendszerint más szereplők döntései is befolyásolják.
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely február
MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenA tiszta stratégiával a biztosan elérhető nyereség:
Mátrixjátékok ismétlés: Mátrixjátékok megoldásáról (ismétlés) Legyen adott két játékos, A és B. A két játékos véges stratégia halmazból választ. Jelölje A stratégia vektorát u U, míg B stratégia vektorát
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenElőadó: Dr. Kertész Krisztián
Előadó: Dr. Kertész Krisztián E-mail: k.krisztian@efp.hu A termelés költségei függenek a technológiától, az inputtényezők árától és a termelés mennyiségétől, de a továbbiakban a technológiának és az inputtényezők
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenOperációkutatás vizsga
Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenGYAKORLÓ FELADATOK 4: KÖLTSÉGEK ÉS KÖLTSÉGFÜGGVÉNYEK
GYAKORLÓ FELADATOK 4: KÖLTSÉGEK ÉS KÖLTSÉGFÜGGVÉNYEK 1. Egy terméket rövid távon a függvény által leírt költséggel lehet előállítani. A termelés határköltségét az összefüggés adja meg. a) Írja fel a termelés
RészletesebbenStruktúra nélküli adatszerkezetek
Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben4. Fogyasztói preferenciák elmélete
4. Fogyasztói preferenciák elmélete (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapjai, 47-63) 4.1 Preferencia relációk Mit jelent a fogyasztó választása? Legyen X egy olyan halmaz amelynek az elemei azok a lehetőségek
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenOnline migrációs ütemezési modellek
Online migrációs ütemezési modellek Az online migrációs modellekben a régebben ütemezett munkák is átütemezhetőek valamilyen korlátozott mértékben az új munka ütemezése mellett. Ez csökkentheti a versenyképességi
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenA Cournot-féle duopólium
A Cournot-féle duopólium. Kínálati duopólium: két termelő állít elő termékeket. Verseny a termékmennyiségekkel 3. A piaci kereslet inverz függvénye: p a. Valamely ár mellett kialakuló keresletet két vállalat
RészletesebbenA Morra játék Módosított Morra Blöff és alullicitálás mint racionális stratégiák
A Morra játék Módosított Morra Blöff és alullicitálás mint racionális stratégiák Előadás felépítése Morra játék háttere, fajtái Módosított Morra Egyszerűsítési stratégiák Blöff és alullicitálás Mi az Morra?
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenJátékelmélet. előadás jegyzet. Kátai-Urbán Kamilla. Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli.
Játékelmélet Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli Irodalom előadás jegyzet J. D. Williams: Játékelmélet Filep László: Játékelmélet 1. Előadás Történeti
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenGépi tanulás a gyakorlatban. Lineáris regresszió
Gépi tanulás a gyakorlatban Lineáris regresszió Lineáris Regresszió Legyen adott egy tanuló adatbázis: Rendelkezésünkre áll egy olyan előfeldolgozott adathalmaz, aminek sorai az egyes ingatlanokat írják
RészletesebbenMatematikai statisztika 1.
Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Részletesebben