Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21

Átírás

1 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21

2 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai A mag Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 2 / 21

3 Nash bargaining Nash - bargaining (alku) példa Bill s goods Utility to Bill utility to Jack book 2 4 whip 2 2 ball 2 1 bat 2 2 box 4 1 Jack s goods pen 10 1 toy 4 1 knife 6 2 hat 2 2 Bargaining situation: Maximalizáljuk a hasznosságváltozások szorzatát: Bill Jack-nek adja: book, whip, ball, bat B:-8, J: +9 Jack Bill-nek adja: pen, toy, knife J:-4 B: +20 B: +12, J: Ha pl. a labdát nem: B: +14 J: Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 3 / 21

4 Kooperatív játékelmélet Átváltható hasznosságú (TU) játékok Adott n játékos, akik összefoghatnak egymással. Az a játékoscsoport, amely együtt cselekszik ún. koaĺıciót alkot. Különböző koaĺıciók különböző hasznossági szintet érhetnek el. A koaĺıciók hasznossága egymással összehasonĺıtható. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 4 / 21

5 Koaĺıció alakítás Kooperatív játékok Példa a, b, c és d játszanak 16 féle képpen alakíthatnak koaĺıciót. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 5 / 21

6 Koaĺıció alakítás Kooperatív játékok Példa a, b, c és d játszanak 16 féle képpen alakíthatnak koaĺıciót. Lehetséges koaĺıciók {a, b} {a} {a, c} {a, b, c} üres halmaz {b} {a, d} {a, b, d} nagykoaĺıció { } {c} {b, c} {a, c, d} {a, b, c, d} {d} {b, d} {b, c, d} {c, d} Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 5 / 21

7 Koaĺıció alakítás Példa a, b, c és d játszanak 16 féle képpen alakíthatnak koaĺıciót. Lehetséges koaĺıciók {a, b} {a} {a, c} {a, b, c} üres halmaz {b} {a, d} {a, b, d} nagykoaĺıció { } {c} {b, c} {a, c, d} {a, b, c, d} {d} {b, d} {b, c, d} {c, d} Megfigyelés Egy n-fős játékban 2 n a lehetséges koaĺıciók száma. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 5 / 21

8 Átváltható hasznosságú játékok definíciója Matematikai megközeĺıtés Egy kooperatív játék karakterisztikus függvény formában egy rendezett pár (N, v) amely áll egy játékoshalmazból N = {1, 2,..., n} és egy karakterisztikus függvényből v : 2 N R ahol v( ) = 0. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 6 / 21

9 Átváltható hasznosságú játékok definíciója Matematikai megközeĺıtés Egy kooperatív játék karakterisztikus függvény formában egy rendezett pár (N, v) amely áll Koaĺıciók egy játékoshalmazból N = {1, 2,..., n} és egy karakterisztikus függvényből v : 2 N R ahol v( ) = 0. A v(s) számon az S koaĺıció értékét értjük. Ezt az S koaĺıció minden külső segítség nélkül el tudja érni. A v(n) szám mutatja tehát a játékosok által elérhető összhasznosságot. Ez a torta amit a résztvevők között igazságságosan szét kell osztani. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 6 / 21

10 Egyszerű szavazási játék Kooperatív játékok Példa Legyen N egy parlament képviselőinek a halmaza. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 7 / 21

11 Egyszerű szavazási játék Kooperatív játékok Példa Legyen N egy parlament képviselőinek a halmaza. Többségi szavazás Legyen S N egy képviselőcsoport ekkor v(s) = 1 ha S > N 2 máskülönben v(s) = 0 Kérdés Mekkora hatalommal bír egy képviselő? Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 7 / 21

12 Súlyozott szavazási játék Példa A Miniszterek Tanácsa az EU egyik legfontosabb döntési szerve. Az periódusban a következő szavazási rendszer volt érvényben: Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 8 / 21

13 Súlyozott szavazási játék Példa A Miniszterek Tanácsa az EU egyik legfontosabb döntési szerve. Az periódusban a következő szavazási rendszer volt érvényben: Ország Súly Németország 4 Olaszország 4 Franciaország 4 Hollandia 2 Belgium 2 Luxemburg 1 Kvóta 12 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 8 / 21

14 Súlyozott szavazási játék Banzhaf-index Egy koaĺıció akkor döntőképes, ha a súlya legalább 12. A Banzhaf index kiszámolásához feĺırjuk az összes lehetséges koaĺıciót, majd megvizsgáljuk, hogy egy játékos kilépésével döntőképes marad-e. Egy játékos befolyását úgy kapjuk meg, hogy megszámoljuk, hogy hányszor volt kritikus, majd elosztjuk azzal, hogy az összes játékos összesen hányszor volt kritikus. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 9 / 21

15 Súlyozott szavazási játék Banzhaf-index A döntőképes koaĺıciók (piros színben a kritikus játékosok): Koaĺıció Összsúly Koaĺıció Összsúly NOHB 12 NOFH 14 NFHB 12 NOFB 14 OFHB 12 NOFL 13 NOHBL 13 NOFHB 16 NFHBL 13 NOFHL 15 OFHBL 13 NOFBL 15 NOF 12 NOFHBL 17 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 10 / 21

16 Súlyozott szavazási játék Banzhaf-index Összesen 42 alkalommal volt kritikus egy játékos, ebből Németország 10-szer. Azaz Németország befolyása = A kapott Banzhaf-indexeket a következő táblázat összegzi. Ország Súly β i Németország Olaszország Franciaország Hollandia Belgium Luxemburg 1 0 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 11 / 21

17 Stratégiailag ekvivalens játékok A játékosok hasznosság-mérési skálájának kezdőpontja és skálaegysége is tetszőleges. Ha az U fv. reprezentálja egy játékos preferenciáit, akkor az αu + β is alkalmas a reprezentációra. Definíció Az (N, v) játék stratégiailag ekvivalens az (N, w) játékkal ha léteznek olyan α > 0 és β 1,..., β n R számok, hogy w(s) = αv(s) + i S β i S N Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 12 / 21

18 TU CFF játékok tulajdonságai TU CFF játékok tulajdonságai Az (N, v) játék Definíció Additív, ha v(s) = i S v({i}) S N Szuperadditív, ha v(s) + v(t ) v(s T ) áll fenn olyan S, T N -re, amelyre S T = Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 13 / 21

19 TU CFF játékok tulajdonságai TU CFF játékok tulajdonságai Az (N, v) játék Definíció Additív, ha v(s) = i S v({i}) S N Szuperadditív, ha v(s) + v(t ) v(s T ) áll fenn olyan S, T N -re, amelyre S T = Definíció Monoton, ha S T v(s) v(t ) S, T N 0-monoton, ha S T v(s) + i T \S v({i}) v(t ) S, T N Szimmetrikus, ha S = T v(s) = v(t ) S, T N Egyszerű, ha v(n) = 1 és v(s) {0, 1} S N Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 13 / 21

20 TU CFF játékok tulajdonságai TU CFF játékok tulajdonságai II Az (N, v) játék Definíció Konvex, ha v(s) + v(t ) v(s T ) + v(s T ) S, T N Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 14 / 21

21 TU CFF játékok tulajdonságai TU CFF játékok tulajdonságai II Az (N, v) játék Definíció Álĺıtások: Konvex, ha v(s) + v(t ) v(s T ) + v(s T ) S, T N A konvex játékok halmaza zárt a stratégiai ekvivalenciára nézve (egy konv. játékkal strat ekv. minden játék is konv.). v pontosan akkor konvex, ha v(q {i}) v(q) v(r {i}) v(r) teljesül minden i N-re és Q R N \ {i}-re. v additív v konvex v szuperadditív, de az implikációk nem megfordíthatóak Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 14 / 21

22 TU CFF játékok tulajdonságai Bizonyítás Álĺıtás 2 bizonyítása irány S := Q {i} T := R S T := R {i} S T := Q Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 15 / 21

23 TU CFF játékok tulajdonságai Bizonyítás II Álĺıtás 2 bizonyítása irány Legyen S \ T = {i 1, i 2,..., i s }, ekkor v((s T ) i 1 ) v(s T ) v(t i 1 ) v(t ) v((s T ) i 1 i 2 ) v((s T ) i 1 ) v(t i 1 i 2 ) v(t i 1 ). v(s) v((s T ) i 1 i s 1 ) v(s T ) v(t i 1 i s 1 ) egyenlőtlenségeket összeadva kapjuk az kívánt összefüggést. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 16 / 21

24 Kifizetések Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai Azt mondjuk hogy az (N, v) játékban az x = (x 1,..., x n ) kifizetés-vektor elérhető az S koaĺıció számára, ha i S x i v(s) elfogadható az S koaĺıció számára, ha i S x i v(s) előnyösebb S számára mint az y = (y 1,..., y n ) kifizetés vektor, ha minden tagja számára határozottan jobb, azaz x i > y i i S Az S koaĺıción keresztül dominálja az y = (y 1,..., y n ) kifizetés vektort, ha S számára x elérhető, és előnyösebb mint y (jelölés: xdom S y) Nem dominált az S koaĺıción keresztül, ha nincs olyan az S számára elérhető z kifizetés vektor, amire zdom S x dominálja az y = (y 1,..., y n ) kifizetés vektort ha S xdom S y (jelölés: xdomy) nem dominált ha egyetlen S koaĺıción keresztül sem dominált. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 17 / 21

25 Kifizetések II Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai Álĺıtások Az x R n kifizetés-vektor pontosan akkor elfogadható az S koaĺıció számára, ha x S-en keresztül nem dominált. S N esetén a dom S egy szigorú parciális rendezés (azaz aszimmetrikus és tranzitív) a kifizetés-vektorok R n halmazán A dom reláció mindig irreflexív, de még egy szupaeradditív játékban sem feltétlenül aszimmetrikus vagy tranzitív. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 18 / 21

26 Kifizetések III Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai Azt mondjuk hogy az (N, v) játékban az x = (x 1,..., x n ) kifizetés-vektor szétosztás ha i N x i = v(n) (N számára elfogadható és elérhető) elosztás ha i N x i = v(n) és x i > v({i}) i N (individual rationality) mag-elosztás Ha i N x i = v(n) és i S x i v(s) S N (group rationality) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 19 / 21

27 A mag (The Core) Kooperatív játékok A mag Egyéni és csoportos racionalitás: x i v(s) i S S N pl. (v(1) = v(2) = v(3) = 0): x(1) 0, x(2) 0, x(1) 0 x(12) v(12), x(23) v(23), x(13) v(13) x(123) v(123) x(1) + x(2) + x(3) = v(123) Ha pl. v(12) = 90, v(13) = 80, v(23) = 70, v(123) = 135, a mag (az (123) koaĺıcióra nézve) a kifizetések terében egy háromszög az alábbi csúcsokkal: (66,55,15), (65,25,45), (35,55,45). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 20 / 21

28 A mag A mag LP Definíció Az e {0, 1} N vektorra azt mondjuk hogy az S N koaĺıció tagsági vektora, ha i S esetén e S i = 1 i / S esetén pedig e S i = 0 Adott (N, v) játék esetén tekintsük a következő LP-t: min e N x e S x v(s) S N x R A mag (ha nem üres) mindig egy hipersíkokkal határolt poliéder a kifizetések terében. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 21 / 21