Regressziós játékok. Pintér Miklós. XXVII. OPKUT Konferencia 2007, június 7-9. Balatonöszöd. Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék

Átírás

1 Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék XXVII. OPKUT Konferencia 2007, június 7-9. Balatonöszöd

2 Tartalomjegyzék 1 2 3

3 Statisztikus játék Legyen (Ω, M, P) valószínűségi mező rögzítet, v : Ω P(N) R egy függvény, hogy S P(N)-re, v(, S) egy valószínűségi változó aminek van várhatórétéke, és ω Ω-ra, v(ω, ) = 0, ahol N = {1,..., n} a játékosok véges halmaza. Ekkor a v függvényt statisztikus játéknak nevezzük.

4 Példa Felépítés Példa Legyen Ω = {ω 1, ω 2 }, M = P(Ω), P({ω 1 }) = 1 3, N = 3. v(ω 1, {1}) = 0 v(ω 2, {1}) = 0 v(ω 1, {2}) = 1 4 v(ω 1, {3}) = 1 3 v(ω 1, {1, 2}) = 1 3 v(ω 1, {1, 3}) = 1 v(ω 1, {2, 3}) = 3 8 v(ω 1, {1, 2, 3}) = 2 5 v(ω 2, {2}) = 1 4 v(ω 2, {3}) = 1 2 v(ω 2, {1, 2}) = 1 3 v(ω 2, {1, 3}) = 1 2 v(ω 2, {2, 3}) = v(ω 2, {1, 2, 3}) = 3 5

5 A statisztikus játékok részosztályai A v G N statisztikus játék (S, T P(N)) monoton, ha (S T ) (v(s) P-m.m. v(t )),

6 A statisztikus játékok részosztályai A v G N statisztikus játék (S, T P(N)) monoton, ha (S T ) (v(s) P-m.m. v(t )), additív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) = P-m.m. v(s T )),

7 A statisztikus játékok részosztályai A v G N statisztikus játék (S, T P(N)) monoton, ha (S T ) (v(s) P-m.m. v(t )), additív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) = P-m.m. v(s T )), szuperadditív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) P-m.m. v(s T )),

8 A statisztikus játékok részosztályai A v G N statisztikus játék (S, T P(N)) monoton, ha (S T ) (v(s) P-m.m. v(t )), additív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) = P-m.m. v(s T )), szuperadditív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) P-m.m. v(s T )), szubadditív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) P-m.m. v(s T )),

9 A statisztikus játékok részosztályai A v G N statisztikus játék (S, T P(N)) monoton, ha (S T ) (v(s) P-m.m. v(t )), additív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) = P-m.m. v(s T )), szuperadditív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) P-m.m. v(s T )), szubadditív, ha (S T = ) (v(s) + v(t ) P-m.m. v(s T )), P lényeges, ha v(n) > P-m.m. v({i}). i N

10 Statisztikus Shapley-érték Legyen i N tetszőlegesen rögzített, és legyen v i (S) = v(s {i}) v(s), ahol S N. Legyen P8Sh i = P fsh i szorzatmérték, ahol < S!( N S 1)! fsh(s) i, ha i / S = N! : 0 különben.

11 Statisztikus Shapley-érték Legyen v G N tetszőleges statisztikus játék rögzített. Ekkor az i játékos statisztikus Shapley-értéke φ S i a következő = X S P(N) φ S i (v) = S!( N S 1)! N! Z (Ω N,M P(N)) Z (Ω,M) v i dp i Sh v i (S) dp,

12 Megoldás Felépítés Legyen B G N rögzített. A ψ : B R N függvényt a B halmazon értelmezett megoldásnak nevezzük. ψ, a B G N halmazon értelmezett megoldás a statisztikus Shapley-érték megoldás (φ S ), ha v B-re, ψ(v) a v játék statisztikus Shapley-értékeinek vektora. Legyen v G N tetszőlegesen rögzített. Ekkor i v P-m.m. j (i, j N), ha v i (S) = P-m.m v j (S) S N-re, hogy i, j / S.

13 Tulajdonságok Legyen B G N tetszőlegesen rögzített, és legyen ψ a B halmazon értelmezett megoldás. A ψ megoldás statisztikusan Pareto-optimális (SPO), ha v B-re, P ψ i(v) = R Ω v(n) dp, i N

14 Tulajdonságok Legyen B G N tetszőlegesen rögzített, és legyen ψ a B halmazon értelmezett megoldás. A ψ megoldás statisztikusan Pareto-optimális (SPO), ha v B-re, P ψ i(v) = R v(n) dp, Ω statisztikusan nulla játékos tulajdonságú (SNP), ha v B-re, (v i = P-m.m.0) (ψ i(v) = 0), i N

15 Tulajdonságok Legyen B G N tetszőlegesen rögzített, és legyen ψ a B halmazon értelmezett megoldás. A ψ megoldás statisztikusan Pareto-optimális (SPO), ha v B-re, P ψ i(v) = R v(n) dp, Ω statisztikusan nulla játékos tulajdonságú (SNP), ha v B-re, (v i = P-m.m.0) (ψ i(v) = 0), statisztikusan egyenlően kezelő (SETP), ha v B-re, (i v P-m.m. j) (ψ i(v) = ψ j(v)), i N

16 Tulajdonságok Legyen B G N tetszőlegesen rögzített, és legyen ψ a B halmazon értelmezett megoldás. A ψ megoldás statisztikusan Pareto-optimális (SPO), ha v B-re, P ψ i(v) = R v(n) dp, Ω statisztikusan nulla játékos tulajdonságú (SNP), ha v B-re, (v i = P-m.m.0) (ψ i(v) = 0), statisztikusan egyenlően kezelő (SETP), ha v B-re, (i v P-m.m. j) (ψ i(v) = ψ j(v)), statisztikusan additív (SADD), ha v, w B-re, hogy z B, z = P-m.m. v + w, ψ(z) = ψ(v) + ψ(w). i N

17 Tulajdonságok Legyen B G N tetszőlegesen rögzített, és legyen ψ a B halmazon értelmezett megoldás. A ψ megoldás statisztikusan Pareto-optimális (SPO), ha v B-re, P ψ i(v) = R v(n) dp, Ω statisztikusan nulla játékos tulajdonságú (SNP), ha v B-re, (v i = P-m.m.0) (ψ i(v) = 0), statisztikusan egyenlően kezelő (SETP), ha v B-re, (i v P-m.m. j) (ψ i(v) = ψ j(v)), statisztikusan additív (SADD), ha v, w B-re, hogy z B, z = P-m.m. v + w, ψ(z) = ψ(v) + ψ(w). statisztikusan monoton (SM) / statisztikusan egyenlőség monoton (SEM), ha v, w B-re, (v i P-m.m. / = P-m.m. w i, i N) (ψ i(v) / = ψ i(w)). i N

18 Statisztikus alapjátékok v G N statisztikus alapjáték, ha (i, j / SNP(v)) (i v P-m.m. j), ahol SNP(v) = {h N v h = P-m.m. 0}. Következmény Ha v G N statisztikus alapjáték, akkor tetszőleges α R-ra, αv szintén statisztikus alapjáték. (Ω, M, P) reprezentálja R (A, B(A))-t, ahol A R n, ha tetszőleges µ R-ra, v : Ω A, hogy C B(A)-ra µ(c) = P(v 1 (C)).

19 A Shapley-féle axiomatizálás Tétel Legyen M N és B G N olyan, hogy (Ω, M, P) reprezentálja M A -t, és tetszőleges v B-re v 1,..., v k B statisztikus alapjátékok k M, hogy 1 a v 1,..., v k generálta kúp B-ben van, kp 2 α 1,..., α k R súlyok, hogy v = P-m.m. α iv i. Ekkor ψ a B halamzon értelmezett megoldás pontosan akkor SPO, SNP, SETP és SADD, ha ψ = φ S. i=1

20 A Young-féle axiomatizálás Tétel Legyen M N és B G N olyan, hogy (Ω, M, P) reprezentálja M A -t, és tetszőleges v B-re v 1,..., v k B statisztikus alapjátékok k M, hogy 1 a v 1,..., v k generálta kúp B-ben van, kp 2 α 1,..., α k R + súlyok, hogy v = P-m.m. α iv i. Ekkor ψ a B halamzon értelmezett megoldás pontosan akkor SPO, SETP és SEM, ha ψ = φ S. i=1

21 Alapfogalom Legyen N = {ξ 1,..., ξ n} a játékosok halmaza, ahol ξ i olyan valószínűségi változó amelynek létezik a varianciája i = 1,..., n. var(η) var(η P i S β iξ i) max β i R, i S (1) Legyen ω Ω tetszőlegesen rögzített, ahol ω a magyarázott (η) és a magyarázó változók (ξ 1,..., ξ n) körét. S P(N)-re legyen v(ω, S) az (1) feladat megoldása.

22 Példa Felépítés Példa Legyen Ω = {ω 1, ω 2 }, M = P(Ω), P({ω 1 }) = 1, N = 3. A kovarianciamátrix 3 az ω 1 világállapotban C A, és az ω 2 világállapotban C A.

23 Axiomatizálások Tétel Legyen (Ω, M, P) = ([0, 1], B([0, 1]), λ). Ekkor ψ a GR N halmazon értelmezett megoldás pontosan akkor SPO, SNP, SETP és SADD, ha ψ = φ S. Tétel Legyen (Ω, M, P) = ([0, 1], B([0, 1]), λ). Ekkor ψ a GR N halmazon értelmezett megoldás pontosan akkor SPO, SETP és SM, ha ψ = φ S.