Diszkrét matematika I.

Átírás

1 Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz

2 Kombinatorika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 2. Általános szita formula Tétel Legyenek A 1,... A n az A véges halamz részhalmazai, f : A R tetszőleges függvény. Legyenek S = f (x) x A S r = f (x) 0 i 1<i 2< <i r k x A i1 A i2 A ir S 0 = f (x) x A\ n i=1 A i Ekkor S 0 = S S 1 + S 2 S 3 ±... ( 1) k S k A = {1, 2,..., 999}, A 1 = {n : 1 n < 1000, 2 n}, A 2 = {n : 1 n < 1000, 3 n}, A 3 = {n : 1 n < 1000, 5 n}, f (x) = 1. S 0 : 2-vel, 3-mal, 5-tel nem osztható 1000-nél kisebb számok száma.

3 Kombinatorika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 3. Általános szita formula bizonyítása S 0 = S S 1 + S 2 S 3 ±... ( 1) k S k : S 0 = f (x), S = f (x) x A\ n i=1 A i x A S r = f (x) 0 i 1<i 2< <i r k x A i1 A i2 A ir Bizonyítás Ha x A \ n i=1 A i, akkor f (x) mindkét oldalon egyszer szerepel. Ha x n i=1 A i, legyenek A j1,..., A jt azon részhalmazok, melyeknek x eleme. Ekkor f (x) a bal oldalon nem szerepel. Jobb oldalon a f (x) 0 i 1<i 2< <i r k x A i1 A i2 A ir összegben szerepel, ha {i 1,..., i r } {j 1,..., j t }. Ilyen r elemű indexhalmaz ( t r) darab van. Így f (x) együtthatója t ( ) t ( 1) r = 0 (Biz.: gyakorlaton). r r=0

4 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 4. Matematikai logika A logika a helyes következtetés tudománya. Alkalmazási területek: matemaikta; informatika; mesterséges inteligencia;... Minden bogár rovar. tagadás: Van olyan bogár, ami nem rovar. Esik az eső, de meleg van, bár a nap is elbújt, és az idő is későre jár. tagadás:?

5 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 5. Axiomatikus módszer A tudományok a valóság egy részének modellezésével foglalkoznak. Axiomatikus módszer: közismert, nem definiált fogalamkból (alapfogalmakból) és bizonyos feltevésekből (axiomákból) a logika szabályai szerint milyen következtetéseket vonunk le (milyen tételeket bizonyítunk). Euklidészi geometria Alapfogalmak pont, egyenes, sík. Axiómák párhuzamossági axióma,... Az axiomatikus módszer előnye: elég leellenőrizni az axiómák teljesülését.

6 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 6. Predikátumok Definíció Predikátum: olyan váltózóktól függő definiálatlan alapfogalom, amelyhez a változóik értékétől függően valamilyen igazságérték tartozik: igaz (I, ), hamis (H, ), és a kettő egyidejüleg nem teljesül. M(): Minden jogász hazudik. 0-változós, értéke: I. Sz(x): x egy szám. E(x): x egy egyenes. P(x): x egy pont. I (x, y): x illeszkedik y-ra. F (x, y): x az y férje. Gy(x, y, z): x az y és z gyereke. 1-változós, értéke: Sz(1) =I, Sz(h) =H. 1-változós. 1-változós. 2 -változós. 2-változós. 3-változós.

7 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 7. Logikai jelek A predikátumokat logikai jelekkel tudjuk összekötni: Tagadás, jele A És, jele A B Vagy (megengedő), jele A B Ha..., akkor... (implikáció), jele A B Ekvivalencia, jele A B Igazságtáblázat A B A A B A B A B A B I I H I I I I I H H H I H H H I I H I I H H H I H H I I

8 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 8. Logikai jelek Köznyelvbe a vagy háromféle értelemmel bírhat: Megengedő vagy:,,átok reá ki gyávaságból vagy lustaságból elmarad A B I H I I I H I H Kizáró vagy:,,vagy bolondok vagyunk és elveszünk egy szálig, vagy ez a mi hitünk valóságra válik I H I H I H I H Összeférhetetlen vagy:,,iszik vagy vezet! I H I H I H I I

9 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 9. Logikai jelek Az implikáció (A B) csak logikai összefügést jelent, és nem okozatit! 2 2 = 4 i 2 = = 4 hétfő van A B I H I I H H I I Hamis álĺıtásból minden következik: 2 2 = 5 i 2 = 2 Adott logikai jel, más módon is kifejezhető: (A B) ( A B)

10 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 10. Logikai kelek Kvantorok egzisztenciális kvantor:,,létezik,,,van olyan univerzális kvantor:,,minden V (x): x veréb M(x): x madár Minden veréb madár.: x(v (x) M(x)). Van olyan madár ami veréb.: x(m(x) V (x)). Minden veréb madár de nem minden madár veréb.: ( x(v (x) M(x)) ) ( x(m(x) V (x)) ).

11 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 11. Formulák A formulák predikátumokból és logikai jelekből alkotott,,mondatok. Definíció (Formulák) A predikátumok a legegyszerübb, u.n. elemi formulák. Ha A, B két formula, akkor A, (A B), (A B), (A B), (A B) is formulák. Ha A egy formula és x egy változó, akkor, ( xa) és ( xa) is formulák. Minden veréb madár de nem minden madár veréb.: ( x(v (x) M(x)) ) ( x(m(x) V (x)) ). egy formula. Ha nem okoz féreértést, a zárójelek elhagyhatóak.

12 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 12. Zárt/nyitott formulák Definíció Ha A egy formula és x egy változó, akkor, ( xa) és ( xa) formulákban az x változó az A formulában minden előfordulása a kvantor hatáskörében van. Ha egy formulában a váltózó adott előfordulása egy kvantor hatáskörében van, akkor az előfordulás kötött, egyébként szabad. Ha egy formulában a váltózónak van szabad előfordulása, akkor a változó szabad változó, egyébként kötött változó. Ha egy formulának van szabad változója, akkor nyitott formula, egyébként zárt formula. Gy(x, y): x gyereke y-nak. y Gy(x, y) x-nek létezik szülője.

13 Logika Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 13. Zárt/nyitott formulák E(x): x egy egyenes. P(x): x egy pont. I (x, y): x illeszkedik y-ra. E(x), P(x), I (x, y) (elemi) nyitott formulák. A(x, y) legyen E(x) P(y) I (x, y) Az x egyenes illeszkedik az y pontra. B(x, y) legyen P(x) P(y) (x = y) Az x és y pontok különbözőek. C(x) legyen ye(x) P(y) I (x, y) Van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x szabad, y kötött változó. D() legyen xe(x) ye(x) P(y) I (x, y) Minden x egyenes esetén, van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x,y kötött változó.

14 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 14. Halmazok Halmazelméletben az alapvető fogalmak predikátumok, nem definiáljuk őket: A halmaz (rendszer, osztály, összeség,... ) elemeinek gondolati burka. x A, ha az x eleme az A halmaznak. A halmazok alapvető tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk őket. Például: Meghatározottsági axióma Egy halmazt az elemei egyértelműen meghatároznak. Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyan azok az elemeik. Egy halmaznak egy elem csak egyszere lehet eleme.

15 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 15. Halmazok Részhalmazok Definíció Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A B, ha x(x A x B). Ha A B-nek, de A B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A B. A részhalmazok tulajdonságai: Álĺıtás (Biz.: HF) 1. A A A (reflexivitás). 2. A, B, C A B B C A C (tranzitivitás). 3. A, B A B B A A = B (antiszimmetria). Halmazok egyenlősége az 1. és 2. tulajdonságot teljesíti, de a 3. nem: 3. A, B A = B B = A (szimmetria).

16 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 16. Halmazok Definíció A halmaz és F(x) formula esetén {x A : F(x)} = {x A F(x)} halmaz elemei pontosan azon elemei A-nak, melyekre F(x) igaz. {n Z : n 0 mod 2}: páros számok halmaza. {g Z p : a Z p n N g n a mod p}: generátorok, primitív gyökök. {z C : Im z = 0}: valós számok halmaza. {z C : n N z n = 1}: komplex egységgyökök.

17 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 17. Halmazok Speciális halmazok Üres halmaz Azt a halmazt, melynek nincs eleme -el jelöljük. A megatározottsági axióma alapján ez egyértelmű. A A halmaz A Halmaz megadása elemei felsorolásával Azt a halamzt, melynek csak az a elem az eleme, {a}-el jelöljük. Azt a halmaz, melynek az a és b az eleme, {a, b}-el jelöljük,... Speciálisan = {}, illetve, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.

18 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 18. Műveletek halmazokkal Definíció Az A és B halmazok uniója: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B elemeit tartalmazza. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A A A az a halmaz, mely az A összes elemének elemét tartalmazza. Speciálisan A B = {A, B}. {a, b, c} {b, c, d} = {a, b, c, d}. {n : n 0 mod 2} {n : n 1 mod 2} = Z {n : n 0 mod 3} {n : n 1 mod 3} {n : n 2 mod 3} = Z Rövidebben, ha a = {n : n a mod m}, akkor m = 2 esetén 0 1 = Z m = 3 esetén = Z Általában { a : a {0, 1,..., m 1} } = m 1 a=0 a = Z

19 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 19. Műveletek halmazokkal Az unió tulajdonságai Álĺıtás 1. A = A 2. A B = B A (kommutativitás) 3. A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 4. A A = A (idempotencia) 5. A B A B = B Bizonyítás 1. Egy x pontosan akkor eleme mindkét oldalnak, ha x A. 2. Egy x pontosan akkor eleme mindkét oldalnak, ha x A vagy x B. 3, 4. Hasonló. 5. : A B A B B, de A B B mindíg teljesül, így A B = B. : Ha A B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.

20 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 20. Műveletek halmazokkal Definíció Az A és B halmazok metszete: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B közös elemeit tartalmazza: A B = {x A : x B} Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A A A a következő halmaz Speciálisan A B = {A, B}. A = {x : A A x A} {a, b, c} {b, c, d} = {b}. Ha E n = {z C : z n = 1} az n-edik egységgyökök halmaza, akkor E 2 E 4 = E 2 E 6 E 8 = E 2 E n E m = E (n,m) n=1 En = E1 = {1}

21 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 21. Műveletek halmazokkal Definíció Ha A B =, akkor A és B diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer és A =, akkor A diszjunkt, illetve A elemei diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer és A bármely két eleme diszjunkt, akkor A elemei páronként diszjunktak. Az {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak. Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronként diszjunktak. Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.

22 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 22. Műveletek halmazokkal A metszet tulajdonságai Álĺıtás (Biz.: HF) 1. A = 2. A B = B A (kommutativitás) 3. A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 4. A A = A (idempotencia) 5. A B A B = A

23 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 23. Műveletek halmazokkal Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai Álĺıtás 1. A (B C) = (A B) (A C). 2. A (B C) = (A B) (A C).

24 Halmazelmélet Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 24. Műveletek halmazokkal 1. A (B C) = (A B) (A C). 2. A (B C) = (A B) (A C). Bizonyítás 1. x A (B C) x A x B C. Így x pontosan akkor eleme a baloldalnak, ha x A x B vagy x A x C azaz x (A B) (A C). 2. HF, hasonló