Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Átírás

1 Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK A) Mátrixok, determinánsok B) Vektorok a 3-dimenziós geometriai térben C) Lineáris egyenletrendszerek, lineáris tér D) Lineáris transzformációk E) Logika F) Halmazalgebra, csoportelmélet, kombinatorika G) Relációk, hálók H) Gráfok ELMÉLETI KÉRDÉSEK A) Mátrixok, determinánsok 1. Írjon fel olyan négyzetes mátrixot, amelyiknek nincs inverze! Indokolja, hogy miért nincs! 2. Mit értünk egy A mátrix inverzén? Mi a feltétele az inverz-mátrix létezésének? 3. Definiálja a mátrix rangjának fogalmát! 4. Milyen mátrixokat nevezünk diagonálmátrixnak? Mely diagonálmátrixok determinánsa 0? 5. Mi a mátrix rangja? Mondjon példát 3 3-as mátrixra, amelynek a rangja 2! 6. Mit mond ki a Cramer-szabály? 7. Definiálja a mátrix inverzének fogalmát és fogalmazza meg az inverz mátrix létezésének feltételét a mátrix rangjának felhasználásával! B) Vektorok a 3-dimenziós geometriai térben 1. Mit nevezünk vektoriális szorzatnak? 2. Mit nevezünk skaláris szorzatnak? 3. Írja fel két vektor skaláris szorzatát! Hogyan számoljuk ki ezt az értéket, ha a két vektort koordinátáival adjuk meg? 4. Írja fel két vektor vektoriális szorzatának abszolútértékét! Hogyan számoljuk ki ezt az értéket, ha a két vektort koordinátáival adjuk meg? 1

2 C) Lineáris egyenletrendszerek, lineáris tér 1. Mit jelent az, hogy az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer a lineáris tér bázisa? Mutasson egy példát bázisra! 2. Mit jelent az, hogy az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer a lineáris tér generátorrendszere? Mutasson egy példát generátorrendszerre, ami nem bázis! 3. Mit jelent az, hogy egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszer lineárisan független? 4. Mikor nevezünk egy vektorrendszert lineárisan függetlennek? Mutasson példát lineárisan független vektorrendszerre! 5. Hogyan definiálja a bázis fogalmát lineáris térben? 6. Mit nevezünk lineáris egyenletrendszernek? Írjon példát olyan lineáris egyenletrendszerre, amelyiknek nincsen megoldása! 7. Hogyan lehet egy lineáris egyenletrendszert inverz mátrix módszerrel megoldani? Mi a módszer alkalmazásának feltétele? D) Lineáris transzformációk 1. Mit nevezünk lineáris transzformációnak? 2. Mit értünk egy lineáris transzformáció sajátvektorán ill. sajátértékén? 3. Mondjon példát lineáris transzformációra egy háromdimenziós lineáris térben! 4. Mit jelent az, hogy az L lineáris téren értelmezett ϕ transzformáció lineáris? Mondjon példát lineáris transzformációra! E) Logika 1. Mikor nevezünk egy logikai következtetést helyesnek? 2. Mikor nevezzük az F 1 és F 2 kijelentéslogikai formulákat egyenértékűnek? 3. Írja le a kijelentéslogika de Morgan azonosságait! 4. Hány kétváltozós logikai művelet van? 5. Milyen logikai formulát tekintünk tautológiának? 6. Mit értünk egy implikáció kontrapozícióján? Adjon meg egy szöveges példát! F) Halmazalgebra, csoportelmélet, kombinatorika 1. Mit tud mondani a Pascal-háromszög n-edik soráról? 2

3 2. Hány részhalmaza van egy 10 elemű halmaznak? Hányszorosára nő egy n elemű halmaz részhalmazainak száma, ha a halmazhoz két további elemet hozzáveszünk? 3. Mit ért egy H halmaz hatványhalmazán? 4. Írja fel a Pascal-háromszög képzési szabályát a binomiális együtthatók segítségével! 5. Milyen összefüggés van n elem k-adosztályú és (n k)-adosztályú ismétlés nélküli kombinációi között? Miért? 6. Mit nevezünk félcsoportnak? Mondjon két példát! 7. Mi a Pascal-háromszög képzési szabálya? Írja fel a Pascal-háromszög n-edik sorában álló elemeket! 8. Mit nevezünk félcsoportnak? Mondjon példát egységelemes félcsoportra, amelyik nem csoport! 9. Mit jelent az, hogy egy kétváltozós művelet idempotens? Mondjon két példát idempotens műveletre! G) Relációk, hálók 1. Definiálja az ekvivalencia-reláció fogalmát! Mondjon példát ekvivalencia-relációra! 2. Definiálja a részben-rendezési reláció fogalmát! Mutasson példát részben-rendezési relációra! 3. Mondjon példát ekvivalencia-relációra! Magyarázza meg, hogy a példa miért helyes! 4. Mit nevezünk bináris relációnak? Mondjon példát homogén és nem homogén bináris relációra! 5. Mit nevezünk hálónak? 6. Mit jelent az, hogy egy (L;, ) háló disztributív? Írja le képlettel! 7. Soroljon fel a (H;, ) háló műveleti tuajdonságai közül hármat és írja le azokat képlettel! H) Gráfok 1. Mit nevezünk egy gráf Hamilton körének, illetve Hamilton útjának? 2. Mit nevezünk páros gráfnak? 3. Mit nevezünk Prüfer kódnak? Mutasson példát a kód előállítására! 4. Mit nevezünk síkgráfnak? 5. Mit mond ki Kuratowski tétele? 6. Mit nevezünk fának és erdőnek a gráfelméletben? 7. Definiálja a gráf kromatikus számának fogalmát! Mennyi egy fa kromatikus száma? 8. Mondja ki a síkgráfokra vonatkozó Euler-tételt! 3

4 9. Milyen gráfot nevezünk regulárisnak? Mutasson példát egy 3-reguláris gráfra! 10. Adjon meg egy szükséges és elégséges feltételt arra, hogy egy G gráfnak létezzen zárt Eulerbejárása! Mutasson egy példát Euler-gráfra! 11. Definiálja a hurokmentes gráf kromatikus számának fogalmát! 12. Milyen feltételek mellett van egy közönséges gráfnak zárt Euler-bejárása? Ismertesse a zárt Euler-bejárás előállításának algoritmusát! 13. Milyen közönséges gráfot nevezünk fának? Rajzolja le az összes 4 pontú fát! TESZTKÉRDÉSEK Eldöntendő ill. feleletválasztós kérdések (Fontos: indoklás nélküli válaszért általában nem jár pont!) A) Mátrixok, determinánsok 1. Ha egy mátrixot megszorzunk az inverzével (feltéve, hogy létezik), akkor egységmátrixot kapunk. 2. Egy 3 3-as diagonális mátrix rangja lehet Egy 3 3-as diagonális mátrix rangja lehet Két diagonálmátrix szorzata (ha létezik), szintén diagonálmátrix. B) Vektorok a 3-dimenziós geometriai térben 1. Ha két vektor skaláris szorzata negatív, akkor a két vektor szöge nagyobb, mint Két vektor skaláris szorzatának értéke legfeljebb a nagyobbik vektor hosszának a négyzetével egyenlő. 3. Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor párhuzamos egymással. 4. Két vektor skaláris szorzata pontosan akkor negatív, ha a két vektor szöge nagyobb, mint 90. C) Lineáris egyenletrendszerek, lineáris tér 1. Ha egy lineáris egyenletrendszer ismeretleneinek a száma megegyezik a lineárisan független egyenletek számával, akkor az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. 2. Válassza ki az alábbi vektorrendszerek közül az R 2 két-dimenziós tér egy bázisát! (A) (1, 2), (1, 3), (1, 4) (B) (1, 1), (2, 2) (C) (0, 0), (1, 0) (D) (0, 1), (2, 1) 4

5 3. Ha B = b 1, b 2,..., b n egy n-dimenziós tér bázisa, akkor a tér minden vektora egyértelműen fejezhető ki a b 1, b 2,..., b n vektorok lineáris kombinációjaként. 4. Egy n egyenletből álló n ismeretlenes egyenletrendszernek minden ismeretlenre pontosan egy megoldása van. 5. Ha egy vektorrendszer lineárisan összefüggő, akkor bármely vektora kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. D) Lineáris transzformációk 1. Egy lineáris téren mindig értelmezhető olyan lineáris transzformáció, ami a 0 vektort egy tőle különböző v vektorba viszi. 2. Ha egy lineáris transzformáció egyik sajátértéke 0, akkor van két különböző vektor, amelyek képe megegyezik. 3. Ha V egy lineáris tér, és ϕ : V V lineáris transzformáció, akkor létezik ϕ-nek sajátértéke. 4. Egy kétdimenziós lineáris téren értelmezett lineáris transzformációnak legfeljebb két sajátértéke lehet. 5. Van olyan ϕ lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora. 6. Minden lineáris transzformációnak van legalább egy valós sajátértéke. 7. Egy háromdimenziós lineáris téren értelmezett lineáris transzformációnak mindig van három olyan sajátvektora, amelyek lineárisan független rendszert alkotnak. 8. Ha egy ϕ lineáris transzformációnak van sajátvektora, akkor végtelen sok van. 9. Ha a ϕ : R 2 R 2 lineáris transzformációnak a 0 sajátértéke, akkor a transzformációmátrix oszlopvektorai konstansszorosai egymásnak. E) Logika 1. x y ( Pxy Pyx ) tagadása a x y ( Pxy Pyx ) formula. 2. Az F = p q logikai formula megfordítása az F formula tagadása. 3. Ha az [A 1, A 2,..., A n ] B következtetés helyes, akkor a B állítás minden interpretáció esetén igaz. 4. Logikailag ekvivalensek-e a következő kijelentések? Ha 2m-es a karácsonyfa, akkor nagy a boldogság. Ha nincs nagy boldogság, akkor nem 2m-es a karácsonyfa. 5. Ha az F 1 és F 2 logikai formulák egyenértékűek, akkor F 1 F 2 tautológia. 5

6 6. Ha a B kijelentés az A 1, A 2, A 3 kijelentések következménye, akkor B logikai értéke minden interpretációban igaz. 7. x y(pxy Pyx) tagadása a x y( Pxy Pyx) formula. 8. Ha p q logikai értéke 1 úgy, hogy q logikai értéke 1, akkor p logikai értéke A kijelentéslogikából ismert implikáció művelete idempotens. 10. Ha két kijelentéslogikai formula egyenértékű, akkor őket az ekvivalencia jelével összekötve tautológiát kapunk. 11. Ha a [ p 1, p 2,..., p n ] q logikai következtetés helyes, akkor q = i esetén a p1, p 2,..., p n premisszák legalább egyike igaz. 12. Ha az A 1, A 2 és A 3 állításokból következik a B állítás, akkor B minden interpretáció esetén igaz. 13. Igaz-e, hogy logikailag ekvivalensek a következő kijelentések? Ha hótorlaszok vannak, akkor járhatatlanok az utak. Ha nincsenek hótorlaszok, akkor nem járhatatlanok az utak. 14. A kijelentéslogikából ismert implikáció művelete asszociatív. 15. Igaz-e, hogy logikailag ekvivalensek a következő kijelentések? Ha zöld a fű, akkor sokat locsolták. Ha a füvet nem locsolták, akkor nem zöld a fű. F) Halmazalgebra, csoportelmélet, kombinatorika 1. Az {1, 2, 3, 4} halmaz legalább kételemű részhalmazainak a száma Ha egy véges halmazhoz hozzáveszünk még egy elemet, akkor a részhalmazok száma megkétszereződik. 3. A komplex számok halmaza a szorzással csoportot alkot. 4. Egy n-elemű halmaz hatványhalmazának 2 2n részhalmaza van. 5. A 3 3-as mátrixok a mátrixszorzás művelettel csoportot alkotnak. 6. A halmazokon értelmezett szimmetrikus-differencia művelet idempotens. 7. Ha egy véges halmaz elemszámát megkétszerezzük, akkor hatványhalmazának elemszáma is kétszeresére változik. 8. Az 1, 2,..., 10 számok közül kevesebbféleképpen lehet kiválasztani két különböző páros számot, mint egy páros és egy páratlan számot. 9. Véges halmaznak a hatványhalmaza is véges halmaz. 10. Egy n Z + elemű halmaz (ismétlés nélküli) variációinak számát az (ismétlés nélküli) kombinációinak számával osztva egész számot kapunk eredményül. 6

7 11. n elem k-ad osztályú, ismétlés nélküli variációinak száma nagyobb vagy egyenlő a k-ad osztályú, ismétlés nélküli kombinációinak számánál. 12. Az n elemet tartalmazó halmaz hatványhalmazának elemszáma 2 n. 13. n elem k-ad osztályú kombinációinak száma kevesebb, mint a k-ad osztályú variációinak száma, ha n k Véges, nemüres halmaz hatványhalmazának mindig van legalább két eleme. G) Relációk, hálók 1. Ha egy homogén, bináris reláció antiszimmetrikus és tranzitív, akkor parciális rendezési reláció. 2. A háromdimenziós tér egyeneseinek halmazán értelmezett merőlegesség ekvivalencia reláció. 3. Minden részben rendezett halmaznak van vagy legkisebb vagy legnagyobb eleme. 4. Egy korlátos háló minden esetben disztributív. 5. Tetszőleges H halmaz P (H) hatványhalmaza hálót alkot az unió és a metszet műveletekkel. 6. Ha a H halmazon értelmezett egy részben rendezési reláció és erre nézve a halmaznak van legnagyobb eleme, akkor a maximális elemek száma pontosan egy. 7. Legyen az n elemű A halmazon értelmezett R homogén bináris reláció ekvivalenciareláció. Az R reláció szerinti különböző ekvivalenciaosztályok száma legfeljebb n. 8. Egy parciális rendezés háló, ha bármely két elemének van szuprémuma és infimuma. 9. Egy homogén bináris reláció vagy ekvivalencia-reláció vagy pedig parciális rendezési reláció, harmadik eset nincs. H) Gráfok 1. Ha egy egyszerű gráf nem síkgráf, akkor van olyan részgráfja, ami az ötpontú teljes gráffal izomorf. 2. Egy fa Prüfer-kódjában nem szerepelhet a pontokhoz tartozó sorszámok közül a legkisebb. 3. Ha a G gráfnak van Hamilton-köre, akkor Hamilton-útja is van. 4. Ha a G gráf reguláris, akkor létezik nyílt vagy zárt Euler bejárása. 7

8 5. Ha G 20 egyszerű gráf körmentes, akkor kromatikus száma legfeljebb A G 7 teljes gráfban van Hamilton-kör. 7. A G 20 teljes gráfban nincs zárt Euler-bejárás. 8. Ha egy egyszerű gráfnak 11 csúcsa van és 5 komponense, akkor éleinek száma legalább Van olyan G 6 egyszerű gráf, amely pontjainak fokszámai rendre: 0,3,1,2,2, Az n-csúcsú gráf kromatikus száma 3, ha (A) n = 5, teljes gráf (B) n = 15, fagráf (C) n = 15, körgráf (D) n = 16, körgráf 11. Ha egy gráf összefüggő és 4-reguláris, akkor Euler-gráf. 12. Egy egyszerű gráf kromatikus száma legfeljebb 4 lehet. 13. Ha a G gráf fa, akkor kromatikus száma legfeljebb Ha egy n szögpontú gráf k darab komponensből áll és körmentes, akkor éleinek száma n k. 15. Létezik olyan egyszerű gráf, amelynek n > 1 csúcsa van, és minden csúcs fokszáma különböző. 16. Létezik olyan 3-reguláris gráf, amelynek öt csúcsa van. 17. Nincs olyan teljes gráf, amelyik síkgráf. 18. Létezik olyan 3-reguláris gráf, amelynek négy csúcsa van. 19. A fagráfok mindig kiszínezhetők 2 színnel. 20. Ha egy gráfban nincs olyan kör, ami minden pontot tartalmaz, akkor van Hamilton köre. 21. Ha egy körmentes gráf éleinek száma 2-vel kevesebb, mint a csúcsainak száma, akkor a gráf két komponensből áll. 22. Az {1, 2, 3, 4} csúcshalmazú különböző fagráfok száma A páros gráfok 2 színnel kiszínezhetőek. 8