Periodikus figyelésű készletezési modell megoldása általános feltételek mellett

Átírás

1 Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka BME OMIKK LOGISZTIKA 9. k. 4. sz júlus augusztus. p Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka Perodkus fgyelésű készletezés modell megoldása általános feltételek mellett Dr. Benkő János egyetem tanár Szent István Egyetem Gépészmérnök Kar Géptan Intézet Logsztka Tanszék A készletek jelenlétét a gazdaságban fzka és gazdaság kényszerek ndokolják. Bármennyre s szeretnénk a készletek jelenleg smeretenk szernt a termelés és ellátás folyamatokból nem küszöbölhetők k legfeljebb csökkenthetők. A készletek optmáls nagyságának a meghatározásával foglalkozó tudomány a készletezés elmélet amely általában matematka modellek felhasználásával segít a döntéshozókat. A modellek egyk nagy csoportja az ún. perodkus készletfgyelésű modellek képezk amelyek alkalmasak előre becsülhető de cklusonként változó gények leírására. A tanulmány egy lyen modell általános korlátozó feltételek (peródusonként maxmáls gyártás maxmáls készlet a feltöltés után mnmáls készlet a peródus végén stb.) mellett megoldására tesz javaslatot. Tárgyszavak: készletezés; modellezés; matematka modell; raktározás; költség; algortmus. Történet áttekntés Az első klasszkusnak teknthető készletgazdálkodás modellt amely optmáls rendelés tételnagyság (EOQ) modellje néven vált smerté már 95-ben publkálták []. Az optmáls rendelés tételnagyság számítására alkalmas modell lletve formula alkalmazhatóságának eredet feltétele gen szgorúak és a gyakorlatban rtkán teljesülnek ennek ellenére egyszerűségének köszönhetően a ma napg a leggyakrabban emlegetett és használt modell. Széles körű felhasználásának nemcsak az a magyarázata hogy matematkalag kevésbé képzett szakemberek számára s elérhető hanem az s hogy a megoldás nem túlzottan érzékeny a bemenő paraméterek pontosságára. Az eredetből továbbfejlesztett modellek alkotják a folyamatos készletfgyelésű modelleket [2]. Ezek 47

2 Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka képesek fgyelembe venn a hányt a véges feltöltés kapactást a darabonként rendelés költség tételnagyságtól való függését stb. de továbbra s feltételezk hogy a felhasználás vagy fogyás ráta mnden cklusban állandó. A folyamatos készletfgyelésű modellek elsősorban a nagy tételszámokat közel egyenletes ütemben gyártó cégeknél alkalmazhatók a kndulás feltételek megsértése nélkül. Ezek a feltételek a szezonáls ngadozásokat mutató kereskedelemben vagy a megrendelések változását követő termelésben azonban nem teljesülnek. Ilyenkor ha nem akarunk túl nagy hbát elkövetn kénytelenek vagyunk bonyolultabb nagyobb felkészültséget feltételező és több munkát génylő modelleket alkalmazn. Ezek egyk nagy csoportját az ún. perodkus készletfgyelésű modellek képezk amelyek alkalmasak előre becsülhető cklusonként (peródusonként) változó gények leírására. Az első lyen modellt Wagner és Wthn 958-ban publkálták [3] akk a megoldásra a dnamkus programozást használták fel. Az algortmust később maga Wthn fejlesztette tovább [4]. Az 50-es évek végén és a 60-as évek elején a számítástechnka vszonylagos fejletlensége arra késztette a matematkusokat és a kutatókat hogy mnél ksebb memóra és számításgényű algortmusokat fejlesszenek k. Ez a törekvés vsszaköszön a Wagner-Wthn algortmusban s amelyben az alkotók az eredmények pontosságának rovására egyszerűsítették a számításokat pontosabban olyan a korlátokat és a költségfüggvényt fogalmazták meg amelyekkel jelentősen csökkenést a számításgény. Az elmúlt évek a számítástechnka fejlődésével am többek között a számítások sebességének növekedésében s megnylvánult az akadályok megszűntek és lehetőség nyílt arra hogy a korábbaknál pontosabb a valóságot jobban tükröző modelleket alkossunk. E tanulmány s a Wagner- Wthn modell továbbfejlesztésével lletve a fejlesztett modell megoldásával foglalkozk. A továbbfejlesztett modell Az új modellben az előrelépést az jelent hogy abban a gyakorlat által jogosan gényelt alsó és felső korlátok írhatók elő továbbá az eredethez képest a költségfüggvényben a készlet fogalma s közelebb áll a valósághoz. A korlátozó feltételek következők: peródusonként beszerzés vagy gyártás és a feltöltés után készlet nem léphetnek át adott határokat a peródusok végén a készlet pedg nem csökkenhet az előírt sznt alá. Tekntsük először modellben fgyelembe vett költségelemeket. Legyen K a peródusok (=2 n) elején jelentkező a rendelés vagy a gyártás ndításakor felmerülő állandó költség amt rendelés vagy beállítás költségnek nevezünk. A darabonként beszerzés vagy gyártás költség (c ) általában állandó de az új modellben peródusonként változhat esetleg a rendelés tételnagyság függvénye s lehet. A darabonként készlettartás költség (h ) ugyancsak lehet állandó peródusonként változó és a készletnagyság függvénye. Az eredet modellben a készlettartás költséggel arányos készletnek a vzsgált peródus végén megmaradó mennységet tekntették. A fejlesztett változatban lneárs változást feltételezve a peródus elején és végén mérhető mennységek átlagával azonosítjuk a készletet am lehet tetszőleges vagy korlátozott nagyságú. A készlet mnmumának a korlátozása a gyakorlatban általában bztonság megfontolásokra vezethető vssza és egy olyan mnmáls sznt (s) előírását jelent am alá a készlet soha nem csökkenhet. A készlet felső hatá- 48

3 Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka rat az egy peródus alatt beszerezhető vagy gyártható mennység (Z) vagy a rendelkezésre álló raktárkapactás (S) determnálja. Értelemszerűen az -edk peródus végén megmaradó mennység (készlet) az (+)-edk peródus belépőkészlete. Feltételezzük hogy a belépőkészlet az első peródus elején smert nagyságú az n-edk peródus végén pedg a készlet 0-ra csökken. A modellben a fogyás ráta (egységny dőre eső készletváltozás) helyett a készletváltozást az -edk az peródus szükségletével r (=2...n) jellemezzük. A vázolt készletezés probléma megoldásának célja meghatározn az egyes peródusok elején rendelendő vagy gyártandó mennységet (z (=2...n)) úgy hogy a teljes költséget mnmalzáljuk. A megoldáshoz célszerűen a dnamkus programozást használjuk amelynek változó a készletezéssel összefüggésben a következők. Az -edk fázst az - edk peródussal azonosítjuk az állapotok pedg feleljenek meg az -edk peródusba belépő lehetséges készleteknek amt x (=2...n)-vel jelölünk. Az x készlet az első peródus elején smert nagyságú és az utolsó peródus vagys a tervezés horzont végén nulla azaz x n+ =0. A döntés változó legyen a -edk peródus elején megrendelt vagy gyártott mennység (z ). A szükséglet az -edk dőszakban pedg legyen r. Az -edk dőszakban felmerülő költség B (x z ) így a belépőkészlet (x ) és a gyártott mennység (z ) függvénye. Amnt azt előre jeleztük a költségek közül az állandó rendelés vagy beállítás (K) a darabszámmal arányos c beszerzés vagy gyártás és a h készlettartás költséget vesszük fgyelembe. A készlet az -edk peródusban a feltöltés után készlet x +z és a peródus végén megmaradó készlet x + =x +z r átlaga azaz x + z + x + z r = x + z r / 2 2 amt felhasználva az -edk peródus költsége: B ( x z ) = K + c ( z )z + h ( x + z r / 2 ) ha a z > 0 = h ( x r / 2 ) ha a z = 0. A B (x z ) költségfüggvényben a c darab- és a h készlettartás költség peródusonként változhat sőt az sem szükséges hogy B (x z ) lneárs függvény legyen. Például az életben nagyon gyakran előfordul hogy nagyobb tételszám rendelésekor kedvezményeket kapunk azaz a darabonként ár (c ) a rendelés tételnagyság (z ) függvénye. A probléma természetéből fakadóan a lehetséges korlátozások a következők: a peródusonként beszerzés vagy gyártás maxmalzált Z z a készlet a gyártás vagy feltöltés után maxmalzált S z + x a hányt nem engedjük meg x z r 0 + a készlet a peródus végén mnmalzált s x. Mvel z -t választottuk döntés változónak a korlátozó feltételeket az alábbak szernt rendezzük: z Z z S x z r x x s. Az utolsó feltételt alakítsuk át az. ábrából felírható x + egyenlettel amelyből az = x + z r x = x + + r z. 49

4 Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka készlet S s z maxmáls készlet a feltöltés után r r 2 z z=z 3 r 3 2 x x 2 x kezdő kezdõ részlet készlet maxmáls rendelés vagy gyártás mnmáls készlet a peródus végén peródus. ábra Egy három peródusos modell Ezt helyettesítve az utolsó feltételbe és rendezve az A feladat megoldásának tovább feltétele: x + r z s + z x + + r s. A feltételeket összevonva: mn{ Z ( x + + r s )( S x )} z max{ r x } Jelentse C (x z ) az alpoltkák teljes költségét az - edk peródus elejétől az n-edk peródus végég amelyek értelemszerűen a belépő készlet és a gyártott mennység függvénye és x belépőkészlet esetén jelölje értékét. C ( x ) a C(x z ) halmaz mnmáls A korlátozó feltételeket fgyelembe véve a legjobb alpoltkák a n r nz + = x azaz az összes beszerezhető vagy gyárható menynység és az első peródusba belépő készlet összege nem lehet kevesebb mnt az összes szükséglet. Az első peródus szükséglete pedg nem lehet nagyobb mnta az első peródusba belépőkészlet és a peródusonként maxmálsan beszerezhető vagy gyárható mennység összege: r Z +. x A tervezés horzont végén az x n+ =0 csak akkor teljesül ha az s rn C ( x ) = = mn mn z mn{ Z ( x+ r s z max{ r x } z mn{ Z ( x+ r s )( S x )} z max{ r x } )( S { C ( x z )} = { B ( x z ) + C x )} + rekurzív formulával számíthatók mnden = 2 n peródusban ahol a nulla és az Cn + x + =x +z r. ( x + z r )} defnícó szernt azaz a mnmáls készlet nem lehet nagyobb az utolsó peródus gényénél. A leírt algortmus alapján készített számítógépprogram bemutatásához tekntsük a következő példát. A program adatbevtel képernyőjét a 2. ábra mutatja. 50

5 Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka 2. ábra Az nput adatok és az eredmények 0 mnmáls készletszntnél Egy vállalat anyagellátás osztályának az éves termelés program megvalósítása érdekében kéthavonta az. táblázatban megadott mennységben (r ) kell a gyártáshoz szükséges alapanyagokat bztosítana. A beszerzés ár (c ) peródusonként változó és a raktárkapactás pedg korlátozott S=9 t. Az első peródusba belépőkészlet x =2 t. A rendelés költség K=2 ezer Ft/rendelés a fajlagos készlettartás költség mnden peródusban egyenlő h = ezer Ft/t. Határozzuk meg az optmáls készletezés poltkát. Kérdés ehhez az egyes peródusokban mekkora mennységeket (z ) rendeljünk ha a mnmáls készletet nem korlátozzuk majd vzsgáljuk meg hogy mlyen költségnövekedéssel jár ha a mnmáls készletet t-ra növeljük.. táblázat Peródus () Beszerzés ár (c ) [ezer Ft/t] Szükséglet (r ) [t] Készlettartás költség (h ) [ezer Ft/t] A program futásának eredménye (a peródusok belépő készlete (x ) a peródusokban beszerzett mennységek (z ) és a feltöltés után készletek (x +z )) nulla mnmáls készletszntnél a 2. ábrán t-ás mnmáls készletszntnél pedg a 3. ábrán láthatók. Az első esetben az összes beszerzés és készletezés költség 3955 ezer Ft am a mnmáls készletsznt növelésekor 445 ezer Ft-ra növekszk azaz az t-ás mnmáls készletsznt okozta költségnövekedés 9 ezer Ft. 5

6 Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka 3. ábra Az nput adatok és az eredmények t-ás mnmáls készletszntnél Irodalom [] Harrs F.: Operatons and cost. A.W.Shaw Co. Chcago. 95. [2] Benkő J.: Logsztka tervezés. Dnaszta Kadó Budapest [3] Wagner H. M.; Wthn T. M.: Dynamc verson of the economc lot sze model. = Management Scence p [4] Hadley G.; Wthn T. M.: Analyss of nventory systems. Prentce-Hall 963. [5] Chkán A. (szerk): Készletezés modellek. Közgazdaság és Jog Könyvkadó Budapest 983. [6] Tersne R. J.: Prncples of nventory and materals management. North-Holland Amsterdam