Általános esetben az atomok (vagy molekulák) nem függetlenek, közöttük erős
|
|
- Flóra Nemesné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 I. BEVEZETÉS A STATISZTIKUS MÓDSZEREKBE Ebben a fejezetben konkrét példán vzsgáljuk meg, hogy mlyen jellegzetes tulajdonsága vannak a makroszkopkus testeknek statsztkus fzka szempontból. A megoldás során megsmerkedünk a fzka ezen területén használatos szemlélettel és módszerekkel. A módszerek pontos és általános megfogalmazására a következő fejezetekben kerül majd sor. A példa, amely tulajdonképpen az egyk statsztkus fzka alapfeladat, a következő: Írjuk le egy homogén, zárt, makroszkopkus rendszer vselkedését, ha azt már régen magára hagytuk, vagys amkor beállt a termodnamka egyensúly. Adott a teljes térfogat: V, az atomok vagy molekulák) száma: N 0, és az egész rendszer összenergája: E. Általános esetben az atomok vagy molekulák) nem függetlenek, közöttük erős kölcsönhatás s lehetséges, am azonban rendszernt rövd hatótávolságú. Célszerű bevezetn olyan összetevőket, melyek közelítőleg függetlennek teknthetők. Erősen kölcsönható rendszerben a következőképpen defnáljuk az ún. részrendszereket: a teljes rendszert nagyszámú, N darab olyan részre bontjuk, melyek sokkal ksebbek, mnt a makroszkopkus test, de sokkal nagyobbak a mkroszkopkus méreteknél pl. az atom távolságoknál), s így még mndg nagyon sok részecskét tartalmaznak. Tpkus makroszkopkus méret az 1 cm, atom méret a 10 8 cm; a részrendszer jellemző mérete tehát lehet pl cm. E, V, N 0 részrendszerek Mnden részrendszernek van saját belső energája, mely a részrendszer térfogatával arányos, és van kölcsönhatás energája a szomszédos részrendszerekkel. Az atom kölcsönhatás távolság rövd hatótávolságú erők esetén jóval ksebb a részrendszer méretenél, ezért a részrendszer kölcsönhatás energája körülbelül a részrenszer felületével arányos. Atom méretekben a részrendszer nagy, ezért a felület/térfogat vszony kcs, s a felület energa elhanyagolható az e j belső energához képest 1
2 j a részrendszer sorszáma). Ekkor gaz lesz, hogy N E = e j. j=1 I.1) A kfejezés nylván egzakttá tehető, ha a teljes rendszer részecskeszáma és mérete a végtelenhez tart, mközben a sűrűség állandó marad, vagys, ha V, N 0 és N 0 /V = állandó. Ilyenkor ugyans a részrendszerek méretét s mnden határon túl növelhetjük. Ezt a határátmenetet nevezzük termodnamka határesetnek. A makroszkopkus testek jó közelítéssel termodnamka határesetben lévő rendszereknek teknthetők.) A teljes rendszerről föltettük, hogy termodnamka egyensúlyban van, ezért a részrendszereknek s egyensúlyban kell lennük. Nem szabad azonban elfelejten, hogy az egyensúlyt éppen a részrendszerek kölcsönhatása matt érte el a rendszer, hszen ha nem lett volna kölcsönhatás, akkor mnden a kndulás állapotban maradt volna. Ezért tehát azt mondhatjuk, hogy a részrendszerek kölcsönhatása alapvető a termodnamka egyensúly elérésben, de ha már beállt az egyensúly, akkor a kölcsönhatás elhanyagolható. A részrendszerekről azt s föltehetjük, hogy számuk nagy. Ez makroszkopkus rendszereknél mndg teljesíthető. A feltevésre azért van szükség, hogy az alkalmazásra kerülő módszert, melyben lényeges, hogy N nagy legyen, használhassuk. Annak érdekében, hogy az alábbakban bemutatandó egyszerű kombnatorka megfontolással dolgozhassunk, tegyük föl azt s, hogy a részrendszerek egyformák. Bebzonyítható, hogy eredményenk ez utóbb feltevéstől függetlenül s gazak. Általánosan azt mondhatjuk, hogy a részrendszereknek négy lényeges tulajdonsággal kell rendelkeznük: megkülönböztethetőek, közelítőleg függetlenek gaz rájuk I.1)), egyformák és számuk nagyon nagy. A teljes rendszernek csak néhány makroszkopkus paraméterét smerjük E, V, N 0 ), ezért nagyon sok olyan különböző állapota lehet, mely teljesít azt a megszorítást, hogy ezek az adatok ne változzanak. Az egyszerűség kedvéért legyenek a részrendszerek olyanok, hogy térfogatuk és a bennük lévő részecskék száma rögzített. Tegyük föl, hogy megszámoztuk egy részrendszer lehetséges állapotat úgy, hogy ezek energájuk nemcsökkenő sorrendjében következnek egymás után. Az -dk állapothoz az ε energa tartozk, és gaz az, hogy ε 1 ε 2... ε ε A részrendszerek s makroszkopkusak, tehát energanívók sokszorosan degeneráltak, ezért ugyanaz az ε érték nagy számú különböző állapothoz tartozhat. A részrendszerek egyformák, ezért mnden más részrendszer s csak ezekkel az energaszntekkel rendelkezhet. Nylván az s lehetséges, hogy az adott állapotban nemcsak egy részrendszer van, hanem több. Legyen az -dk állapotban lévő részrendszerek száma n = 1,2,...). A részrendszerek teljes száma, N azonban rögzített, ezért N = n. =1 2 I.2)
3 A teljes energa így s írható: E = n ε. =1 I.3) Ezek után azt kérdezzük, m a teljes rendszer állapotanak száma, ha előírjuk, hogy hány részrendszer van az egyes állapotokban, vagys ha megadjuk az {n } halmazt. Jelöljük ezt a számot P {n } ) -vel. A részrendszerek megkülönböztethetőek. Ezen azt értjük, hogy a teljes rendszer különböző állapotat kapjuk, ha két eltérő állapotban levő részrendszer állapotát megcseréljük tehát más állapotot jelent pl. az, ha az 1. számú részrendszer az 1., a 2. számú a 2. állapotban van, és az, ha a 2. számú az 1. és az 1. számú a 2. állapotban). Nem kapunk azonban új állapotot, ha az azonos állapotban levő részrendszerek állapotat cseréljük meg. Ezért: P {n } ) = N! n 1!n 2!..., n = N. I.4) Könnyen megadható annak valószínűsége s, hogy az adott {n } állapotrendszer valósuljon meg. Jelölje e valószínűséget ρ {n } ). Az összes állapotok száma:... P {n } ) P {n } ), n 3 n 1 n 2 {n } n = N. I.5) Rögzített {n } esetén nylván mnden elrendeződés egyforma eséllyel jön létre, ezért a keresett valószínűség: ρ {n } ) = P {n } ) P {n } ). I.6) {n } A következő lépés a legvalószínűbb eloszlás meghatározása lesz. Ezt I.6) szernt akkor kapjuk, ha megadjuk, mely {ñ }-re maxmáls P {n } ). Az {ñ } halmazt nevezzük {n } legvalószínűbb értékének. Látn fogjuk, hogy az ñ értékek nagyok lesznek. Ezt most egyelőre föltesszük, és később gazoljuk a feltevés jogosságát. Kényelmesebb, ha P {n } ) logartmusának keressük a maxmumát: ln P {n } ) = lnn! A Strlng-formula szernt, n 1 esetén lnn!. =1 n ) n n! 2πn, e lnn! n + 1 ) lnn n + ln 2π. 2 3
4 A nagy n mellett a konstansok elhagyhatók, ezért lnn! nlnn n. I.7) I.7) fölhasználásával: ln P {n } ) = N lnn N n lnn n ). n ε mellék- Ennek a kfejezésnek keressük a maxmumát az N = n és az E = feltételekkel. A Lagrange-féle multplkátor-módszert alkalmazva: δ P {n } ) α n β ) n ε = 0, lnn )δn α δn β ε δn = 0. Ennek tetszőleges δn -re gaznak kell lenne, tehát pl. δn = δ,k -ra s. Ebből: mnden -re, azaz Az I.2) mellékfeltétel szernt lnñ + α + βε = 0 ñ = e α βε. I.8) I.9) N = e α βε e α Z, I.10) ahol Z = e βε. I.11) A Z mennységet egy részrendszer állapotösszegének nevezzük. A továbbakban nagyon fontos mennység lesz, látn fogjuk, hogy Z smeretében mnden várható érték megkapható. Az I.3) mellékfeltétel alapján E = ε e α βε = N Z ε e βε. I.12) Ebből az mplct egyenletből kell meghatározn β-t ez általában nehéz feladat), s ezután I.10) szernt e α már kszámítható. I.9)-be helyettesítve, a legvalószínűbb értékre ñ = N e βε I.13) Z 4
5 adódk. Látható, hogy ñ N a jel arányosságot jelent), tehát ñ nagy szám, vagys jogos volt a kndulás feltevés. Az e βε /Z mennység neve Boltzmann-faktor. Szemléletes jelentése a következő: annak a valószínűségét adja meg, hogy egy részrendszer az -edk állapotban van. Ezek szernt E/N egy részrendszer átlagos energájaként értelmezhető l. I.12)). A másodk varácó vzsgálatával azt s be lehet látn, hogy ñ valóban P {n } ) maxmumát adja meg, és nem mnmumát. I.11)-ből leolvasható, hogy ñ és E az állapotösszeggel így fejezhető k: ñ = N lnz, I.14) β ε E N = ε e βε = lnz Z β. I.15) Ezután határozzuk meg azt, hogy átlagosan hány részrendszer van az -dk állapotban, vagys menny n átlagértéke. A valószínűségszámításból smert átlagolás szernt és I.6)-ot felhasználva: n P {n } ) n = {n } {n } P {n } ). I.16) Az átlagolás elvégzésére érdemes a következő általános P {n,ω } ) függvényt bevezetn: P {n,ω } ) = N! n! ωn 1 1 ωn ωn..., n = N. I.17) Az ω = 1 = 1,2,...) esetben vsszakapjuk az eredet P {n } ) -t. Az általános P {n,ω } ) -vel I.16) átírható lyen formába: n = ω ln P {n,ω } ) ω. I.18) {n} {ω =1} Éppen ez a felírás az előnye I.17) használatának. n 2 értéke s kfejezhető hasonló módszerrel: n 2 P {n } ) n 2 = {n } P {n } ) = ω P {n,ω } ) ω P {n,ω } ) ω ω = {n } ω ω + {n } ω P {n,ω } ) {n } ω P {n,ω } ) {n } P {n,ω } ) ω {n } P {n,ω } ) ω {n } 5 {n } 2 {ω =1}. {ω =1}
6 Ezen átalakítás után, I.18)-at felhasználva, a következő összefüggést kapjuk: n 2 n)2 n n ) 2 n = ω ω I.19) {ω =1}. A baloldal éppen a valószínűségszámításban defnált szórásnégyzet, az átlagértéktől való eltérés. A legvalószínűbb értéket az új P {n,ω } ) -vel s ugyanúgy számolhatjuk k, mnt az előbb, s azt kapjuk, hogy n legvalószínűbb értéke rögzített {ω } mellett ñ {ω }) = ω e α βε, e α = N Z. I.20) Csak az ω szorzó jelent változást I.9)-hez képest.) Az eddgek smeretében n szgorú matematka módszerekkel pl. a központ határeloszlás tétel vagy a nyeregpont módszer segítségével) kértékelhető. Eredményül az adódk, hogy a legvalószínűbb érték és a várható érték jó közelítéssel megegyezk, vagys n ñ. I.21) Ha az átlag közel esk a legvalószínűbb értékhez, akkor ez azt jelent, hogy kcs a szórás, tehát kcsk a fluktuácók. Termodnamka rendszerben tudjuk, hogy kcsk a fluktuácók, így tehát fzkalag kézenfekvő eredményt kapunk. I.21) bzonyítása hosszadalmas lenne, ezért most feltevésnek tekntjük, és bebzonyítjuk, hogy ez következetes lépés. I.20) alapján ω n ω ω ñ ω = ñ n. I.19)-be helyettesítve: n 2 n ) 2 = n. I.22) Az lyen tulajdonságú szórást normál szórásnak nevezk a valószínűségszámításban. Az n -k nagyok, mert n N, ezért n 2 n ) 2 N 2, tehát az I.22)-bel különbség sokkal ksebb, mnt az egyes tagok. Átalakítva: n 2 n ) 2 n = 1 n 1 N, I.23) am azt mutatja, hogy az átlagérték körül relatv szórás kcs, és nullához tart, ha N a termodnamka határesetben). Ha kcs a szórás, akkor szükség szernt a legvalószínűbb érték s nagyon közel van az átlagértékhez, tehát kndulásunk helyes volt. P {n } ) tehát a következőképpen ábrázolható az egyk n változó függvényében n j = konst, ha j): 6
7 P {n } 1 N ñ /N n /N A görbe nagyon éles, szélessége kcs, a Drac-féle deltafüggvény jó közelítésének teknthető. Szemléletesen az s látszk, hogy n ñ -n kívül nagyon kevés állapot fordul elő. Ezért tehát azt mondhatjuk, hogy a legvalószínűbb értéket megvalósító állapotok száma jó közelítésel megegyezk az összes állapotok számával. Be lehet látn, hogy a fent megállapítás a nagy számok törvénye egyk kfejezésének teknthető. A szórás tetszőleges F addtv mennység esetében s kcs. Ilyen mennység pl. az energa vagy a mágnesezettség. Az addtv szó helyett a termodnamkában az extenzv jelzőt használják.) Legyen az F mennység értéke a részrendszer -edk állapotában F. Ekkor F = n F, F = n F. A szórásnégyzet egyszerűen kszámítható: F F) 2 =,j n n )n j n j )F F j = n 2 n ) 2) F 2, hszen a részrendszerek függetlenek. A relatv szórás négyzete I.22) alapján: n F F) 2 F 2 = 1 N F 2 ) N 2. n N F Mvel n /N a termodnamka határesetben véges, a relatv szórás arányos 1/ N-nel. Emlékeztetünk arra, hogy szórást azért tapasztalunk, mert a makroszkopkus rendszerről csak kevés dolgot smerünk, például azt, hogy az energája állandó, s ez a mkroszkopkus mennységek sok különböző értékével egyeztethető össze. Vzsgáljuk a rendszer egy másk lényeges tulajdonságát s. Ehhez bevezetjük a Z 0 β) segédmennységet, melyet a teljes rendszer állapotösszegének nevezünk. Gondolatban engedjük meg, hogy az összenerga ne csak az E értéket vegye föl, hanem legyen tetszőleges. I.11)-hez hasonlóan defnáljuk Z 0 -t: Z 0 β) = j e βe j, 7
8 ahol j a teljes rendszer j-edk állapotát jelent, s E j az ehhez tartozó energát. Z 0 β) a mostan gondolatmenetben csak matematka segédmennység, de a későbbekben látn fogjuk, hogy mlyen fontos fzka jelentése van. Az E energához tartozó állapotok számát, tehát az energa degenerácójának fokát, jelöljük WE )-vel. Az E és E +δe energák közé eső állapotok száma nylván WE )δe /, ha δe E, és két szomszédos energa érték különbsége. Legyen E 0 a teljes rendszer legalacsonyabb energaszntje. Z 0 β)-ban az állapotok szernt összegzésről áttérhetünk az energa szernt ntegrálásra: Z 0 β) = E 0 e βe ωe )de, ωe) = WE). ωe)-t a rendszer állapotsűrűségének nevezzük. Tegyük föl, hogy az ntegrandus mnden poztv β-ra nullához tart, ha E tart a végtelenhez. Tekntsük ezentúl Z 0 β)-t β függvényeként. β-nak azt az értéket, melyet I.12) határoz meg s melyet eddg β-val jelöltünk) a megkülönböztetés kedvéért jelöljük β-val. Az I.15) egyenlet természetesen Zβ)-nak a β helyen vett derváltját jelent. A Laplace-transzformácó nvertálás képletét felhasználva, az állapotsűrűség így írható: ωe) = 1 2π β + β Z 0 β)e βe dβ = 1 2π Z 0 β + β )e β +β )E dβ, ahol β tetszőleges poztv szám. Melőtt továbbmennénk, célszerű megadn Z 0 β) más kfejezését s. A részrendszerek függetlenek, tehát E j = ε 1j1 + ε 2j ε NjN. j α jelent az α-adk részrendszer valamelyk állapotát. j nylván a {j α } halmazzal ekvvalens, így Z 0 β) = {j α } exp{ βε 1j1 + ε 2j ε NjN )}. Mndegyk részrendszer egyforma, ezért Z 0 β) = exp{ βε 1j1 } j1 N = Zβ) N, ahol N a Loschmdt-szám nagyságrendjébe esk. β-ra I.15) szernt gaz, hogy lnz 0 β) β = E. β= β 8
9 Az állapotsűrűség ntegrál-előállításában válasszuk β -t β-nak. Írjuk az ntegrandust exponencáls alakba, és fejtsünk sorba β szernt ez az ún. nyeregpont módszer): ωe) = 1 2π exp { = exp{lnz 0 β) + βe} lnz 0 β) + βe 1 2 2π 2 lnz 0 β) β 2 2 lnz 0 β) β 2 β= β β } 1/ ). β= β) dβ Itt felhasználtuk az e ax2 dx = π a Gauss-ntegrált. Mndkét oldal logartmusát véve: lnωe) = lnz 0 β) + βe 1 2 ln 2π 2 lnz 0 β) β 2 β= β ) I.24) Mvel Z 0 = Z N, lnz 0 = N lnz, ωe) tehát N-nek gen gyorsan változó függvénye, s ez a makroszkopkus testek egyk alapvető sajátossága. Határozzuk meg a legvalószínűbb állapotok számát s! lnp max lnp {ñ } ) = N lnn ñ lnñ. I.9)-et behelyettesítve, I.10 12) felhasználásával: lnp {ñ } ) = N lnz + βe. I.24) utolsó tagja ln N nagyságrendű, ez E és N nagyságrendje mellett elhanyagolható, s így azt kapjuk, hogy P {ñ } ) ωe) {n } P {n } ). Számítással s gazoltuk azt, amt korábban csak szemléletesen láttunk: az összes és a legvalószínűbb állapotok száma közel azonos. Ez másképpen azt jelent, hogy P {n } ) nagyon éles függvény, s ebből már következk az s, hogy a szórások kcsk, tehát a legvalószínűbb és a várható érték csak keveset tér el. Megsmerkedtünk tehát a makroszkopkus testek statsztkus szempontból nagyon fontos tulajdonságaval: a termodnamka határesetben a legvalószínűbb értéket megvalósító állapotok száma jó közelítéssel megegyezk az összes állapotok számával 9
10 ebből már következk, hogy az addtv mennységek legvalószínűbb és várható értéke s jó közelítéssel azonos), és az állapotok száma N-nek gyorsan változó függvénye. Ezek a tulajdonságok nemcsak a zárt rendszerre jellemzőek, hanem mnden smert makroszkopkus testre, tehát a makroszkopkus rendszerek alapvető tulajdonsága. A továbbakban egzaktul megoldható példán llusztráljuk a fenteket. Tekntsünk nagyszámú, egymástól független, egydmenzós harmonkus kvantumoszcllátort olyan elrendezésben, amelyben mnden oszcllátor valamlyen rögzített hely köré lokalzált. Képzeljünk el pl. rácspontokba elhelyezett oszcllátorokat. Ebben a konkrét modellben k tudjuk számoln a legvalószínűbb állapotok és az összes állapotok számát s, és ellenőrzhetjük a fent tulajdonságokat. Az egyes oszcllátorok eleget tesznek a részrendszer ránt támasztott követelményeknek. Annak ellenére, hogy kvantumrészecskék, fölcserélhetők, hszen meg lehet különböztetn, hogy melyk rácsponthoz tartoznak.) Ezért mnden oszcllátort részrendszernek tekntünk, s ekkor N = N 0. A kvantummechanka szernt az egyes oszcllátorok energája e j = m j + 1 ) hν, m j = 0,1,2,... j = 1,2,...,N). 2 m j azt mutatja meg, hogy a j-edk oszcllátor melyk gerjesztett energasznten helyezkedk el. Az egyes energaszntek, amelyek ebben a példában nem degeneráltak, megszámozhatók a következő módon: ε = 1) + 1 ) hν, = 1,2, Az állapotösszeg: Z = e βε = e βhν/2 l=0 e βlhν = e βhν/2 1 e βhν, amből lnz = 1 2 βhν ln1 e βhν ). I.15) szernt a belső energa s kfejezhető Z-vel: E N = lnz β. A belső energa smeretében ebből az egyenletből lehet a β paramétert meghatározn. Z konkrét alakját beírva: ) E 1 N = hν e βhν. I.25) 1 10
11 I.1) alapján másképpen s fölírhatjuk a teljes energát: E = N e j = j=1 N j=1 m j + 1 ) hν = 1 Nhν + Mhν, 2 2 M N m j. j=1 Ezentúl mnden mennységet N-nel és M-mel célszerű kfejezn. A két egyenlet összehasonlításából: 1 e βhν 1 = M ) N + M, azaz βhν = ln. N M Z képletéből β-t kküszöbölve: lnz = 1 2 ln N + M M I.13) felhasználásával azt kapjuk, hogy ) lnñ = lnn βε lnz. Képezzük most a következő mennységet: ñ lnñ = N lnn E ) N + M hν ln M ahol felhasználtuk, hogy kfejezve: n = N és ) N ln. N + M N ln N + M M ) ) N + N ln, N + M n ε = E. A belső energát N-nel és M-mel ñ lnñ = N lnn N + M) lnn + M) + M lnm + N lnn. Defnícó szernt P max = N!/ faktorálsa szerepel). Ezzel: ñ! ñ 1 és tt az ehhez legközelebb egész szám lnp max = N lnn ñ lnñ = N + M) lnn + M) M lnm N lnn. Számoljuk most meg az összes lehetséges állapotot! Ehhez képzeljük el a következő szemléltetést: Rendeljünk mnden oszcllátorhoz egy dobozt, és tegyünk anny fehér golyót egy-egy dobozba, amekkora m j értéke az adott j-re. Az ábra egy lehetséges esetet mutat: N. m 1 = 2 m 2 = 1 m 3 = 0 m 4 = 5 m N = 3 11
12 Helyezzük ezután egy sorba a golyókat úgy, hogy két szomszédos doboz tartalmát egy fekete golyóval választjuk külön. Az előző ábrának tehát a következő sorrend felel meg: Az összes fehér golyók száma defnícó szernt M, a fekete golyóké pedg N 1. Ezzel szemléltettük az egész rendszer egy lehetséges állapotát. Ettől eltérő állapotnak más golyósorrend felel meg. Új elrendezést kapunk, ha felcserélünk fehér és fekete golyókat, de nem kapunk újat, ha csak az azonos színűeket permutáljuk. Az összes állapotok száma tehát: WE) = {n } P {n } ) = N + M 1)!. N 1)!M! A Strlng-formula, I.7), szernt: ln {n } P {n } ) = N + M 1) lnn + M 1) M lnm N 1) lnn 1). Ezek után összehasonlíthatjuk P max és {n } P {n } ) logartmusát. A két kfejezés csak abban különbözk, hogy az utóbb esetben 1) s szerepel a zárójelekben. Ha azonban N és M Loschmdt-szám nagyságrendű, akkor ez jogosan elhanyagolható. Ezzel megmutattuk, hogy a legvalószínűbb állapotok száma jó közelítéssel megegyezk az összes állapotok számával. Határozzuk meg WE) konkrét alakját s! N és M nagyon nagy, ezért WE) N + M)N+M M M N N. Másrészt E hν = N 2 + M. Ezt behelyettesítve, és felhasználva, hogy E 0 Nhν/2 az alapállapot energa: ωe) = WE) 1 2 N E N 0 hν ) E/hν+N/2 E + E0 E E 0 ) N. I.26) E E 0 Az ωe) állapotsűrűség tehát N-nek tényleg gyorsan változó függvénye, am összhangban van I.24)-gyel. Abban az esetben, ha E E 0, ωe) E N, vagys az állapotsűrűség nagy ktevőjű hatványfüggvényként vselkedk. 12
Az entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenAz elektromos kölcsönhatás
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy
RészletesebbenA TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI
A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI BEVEZETÉS Alkotórészek: molekulárs modell + statsztka Mért kell a statsztka? Mert 0 23 nagyságrend mkroszkopkus változója
RészletesebbenBUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK
BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök
RészletesebbenElektrokémia 03. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, Nernst-egyenlet. Láng Győző
lektrokéma 03. Cellareakcó potencálja, elektródreakcó potencálja, Nernst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Cellareakcó Közvetlenül nem mérhető (
RészletesebbenA MOLEKULADINAMIKAI MÓDSZEREK SZISZTEMATIKUS TÁRGYALÁSA: KLASSZIKUS DINAMIKA A POSTERIORI KORREKCIÓJA
A MOLEKULADINAMIKAI MÓDSZEREK SZISZTEMATIKUS TÁRGYALÁSA: KLASSZIKUS DINAMIKA A POSTERIORI KORREKCIÓJA KLASSZIKUS DINAMIKA Klasszkus magok mozognak egy elre elkészített potencálfelületen. Potencálfelület
RészletesebbenA kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája
A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
RészletesebbenAzonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
RészletesebbenEgy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról
Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenStatisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenMéréselmélet: 5. előadás,
5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,
Részletesebbens n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés
A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,
RészletesebbenSupport Vector Machines
Support Vector Machnes Ormánd Róbert MA-SZE Mest. Int. Kutatócsoport 2009. február 17. Előadás vázlata Rövd bevezetés a gép tanulásba Bevezetés az SVM tanuló módszerbe Alapötlet Nem szeparálható eset Kernel
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
Részletesebben2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17
Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1
RészletesebbenVÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006
ÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZÉFOLYAM 6. Az elszgetelt rendszer határfelületén át nem áramlk sem energa, sem anyag. A zárt rendszer határfelületén energa léhet át, anyag nem. A nytott rendszer
RészletesebbenBevezetés a kémiai termodinamikába
A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenA mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek
A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenFolyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
RészletesebbenA sokaság/minta eloszlásának jellemzése
3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,
RészletesebbenMinősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata
Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek
Részletesebben1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék
1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenVariancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat?
Varanca-analízs (NOV Mért nem csnálunk kétmntás t-próbákat? B Van különbség a csoportok között? Nncs, az eltérés csak véletlen! Ez a nullhpotézs. és B nncs különbség Legyen, B és C 3 csoport! B és C nncs
RészletesebbenIDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17.
IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence 2014. október 17. I. Generatív és dszkrmnatív modellek Korábban megsmerkedtünk a felügyelt tanulással (supervsed learnng). Legyen adott a D = {, y } P =1 tanító halmaz, ahol
RészletesebbenPéldák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):
F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).
RészletesebbenVéletlenszám generátorok. 6. előadás
Véletlenszám generátorok 6. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes
RészletesebbenHely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel
Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja
RészletesebbenElektromos zajok. Átlagérték Időben változó jel átlagértéke alatt a jel idő szerinti integráljának és a közben eltelt időnek a hányadosát értik:
Elektromos zajok Átlagérték, négyzetes átlag, effektív érték Átlagérték dőben változó jel átlagértéke alatt a jel dő szernt ntegráljának és a közben eltelt dőnek a hányadosát értk: τ τ dt Négyzetes átlag
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenII. STATISZTIKUS FIZIKAI ALAPFOGALMAK
II. STATISZTIKUS FIZIKAI ALAPFOGALMAK II.1. Mikroállapotok leírása A következő fejezetekben a termodinamikai egyensúlyban levő rendszerek statisztikus fizikai leírásával foglalkozunk. Az ilyen rendszerekre
RészletesebbenElektrokémia 03. (Biologia BSc )
lektokéma 03. (Bologa BSc ) Cellaeakcó potencálja, elektódeakcó potencálja, Nenst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loánd Tudományegyetem Budapest Cellaeakcó Közvetlenül nem méhető
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenAz α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10
9.4. Táblázatkezelés.. Folyadék gőz egyensúly kétkomponensű rendszerben Az illékonyabb komponens koncentrációja (móltörtje) nagyobb a gőzfázisban, mint a folyadékfázisban. Móltört a folyadékfázisban x;
RészletesebbenFelső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya
1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra
RészletesebbenTanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.
8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbenösszetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.
A termodinamika 2. főtétele kis rendszerekben Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem Statisztikus sokaságok Nyomás Nyomás: a tartály falával ütköző molekulák, a falra erőt fejtenek ki Az ütközésben a részecske
RészletesebbenMonte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte
Részletesebben+ - kondenzátor. Elektromos áram
Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben8. Programozási tételek felsoroló típusokra
8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy
RészletesebbenPeriodikus figyelésű készletezési modell megoldása általános feltételek mellett
Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka BME OMIKK LOGISZTIKA 9. k. 4. sz. 2004. júlus augusztus. p. 47 52. Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka Perodkus fgyelésű készletezés modell megoldása általános
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok
Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos
RészletesebbenDarupályák ellenőrző mérése
Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenReakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó
RészletesebbenIdegen atomok hatása a grafén vezet képességére
hatása a grafén vezet képességére Eötvös Loránd Tudományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Mahe Tisk'11 Vázlat 1 Kisérleti eredmények Kémiai szennyez k hatása a Fermi-energiára A vezet képesség
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenCompton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.
Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenTiszta és kevert stratégiák
sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenKLASSZIKUS TERMODINAMIKA
Klasszkus termodnamka KLASSZIKUS ERMODINAMIKA Póta György: Modern fzka kéma (Dgtáls ankönyvtár, 2013), 1.1 fejezet P. W. Atkns: Fzka kéma I. (ankönyvkadó, Budapest, 2002) Amkor először tanulod, egyáltalán
RészletesebbenA Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA
A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenAlapmőveletek koncentrált erıkkel
Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
RészletesebbenAlapvető elektrokémiai definíciók
Alapvető elektrokéma defnícók Az elektrokéma cella Elektródnak nevezünk egy onvezető fázssal (másodfajú vezető, pl. egy elektroltoldat, elektroltolvadék) érntkező elektronvezetőt (elsőfajú vezető, pl.
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenI. posztulátum: A magukra hagyott makroszkopikus rendszerek kellően hosszú idő után a termodinamikai egyensúly állapotába kerülnek.
1 / 10 A TételWiki wikiből 1 Az egyensúlyi statisztikus fizika feltevései 2 A Gibbs féle sokaságfogalom 3 Az entrópia 4 A mikrokanonikus sokaság 5 A hőmérséklet 6 A nyomás 7 A kémiai potenciál 8 Fundamentális
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Részletesebben