Analízis I. jegyzet. László István november 3.

Átírás

1 Analízis I. jegzet László István november 3.

2 Tartalomjegzék 1. Halmazok Halmaz fogalma Halmaz megadása Eplicit megadás Implicit megadás Halmazok szemléltetése: Venn-diagram Halmazrelációk Egenlőség Diszjunkt halmazok Részhalmaz Valódi részhalmaz Halmazműveletek Metszet Unió Különbség Szimmetrikus különbség Komplementer Descartes-szorzat Összetett műveletek, azonosságok Gakorló feladatok Nevezetes számhalmazok, műveletek Természetes számok Alapműveletek A számegenes Negatív és egész számok Racionális számok Irracionális számok Valós számok Intervallumok A valós számokon túl Számrendszerek, számábrázolás Heliértékek, számrendszerek A gakorlatban használt számrendszerek

3 TARTALOMJEGYZÉK Természetes (előjel nélküli) számok bináris ábrázolása Előjel nélküli bináris számok összeadása és szorzása Negatív számok bináris ábrázolása Előjeles bináris számok összeadása és szorzása Racionális számok ábrázolása, heliértékes törtek Irracionális számok ábrázolása Gakorló feladatok Koordinátarendszerek, ponthalmazok Koordinátarendszerek Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer Polárkoordinátarendszer Szögmérés, szögmértékek Koordináta-transzformációk derékszögű és poláris rendszer között Síkbeli ponthalmazok Görbék általában Egenesek egenletei Egenesek konstruálása Adott ponton átmenő, adott meredekségű egenes egenlete Két pontra illesztett egenes egenlete Egenesekkel határolt tartománok Körök, körlapok Egéb görbék és tartománok Koordináta-csere Összetett alakzatok Ponthalmazok polárkoordinátarendszerben Gakorló feladatok Függvéntani alapok Függvén fogalma Inverz függvén Leszűkítés, kiterjesztés Kompozíció Egváltozós valós függvének Függvén megadása Függvén grafikonja Leszűkítés Inverz függvén Kompozíció Alapvető függvén-tulajdonságok Monotonitás Korlátosság Paritás

4 TARTALOMJEGYZÉK Paritás és műveletek Periodicitás Gakorló feladatok Alapfüggvének Konstans függvének Identitásfüggvén Hatvánfüggvének Pozitív egész kitevőjű hatvánfüggvének Zérus kitevőjű hatvánfüggvén Negatív egész kitevőjű hatvánfüggvének Gökfüggvének Racionális kitevőjű hatvánfüggvének Eponenciális függvének Az e szám Logaritmus függvének Trigonometrikus függvének Szinusz és koszinusz függvén Tangens és kotangens függvén Arkuszfüggvének Függvének képzése Lineáris transzformációk Argumentumon kívüli transzformációk Argumentumon belüli transzformációk Az általános lineáris transzformáció Függvének képzése alapműveletekkel Függvének összege és különbsége Függvének szorzata Reciprok függvének Függvének hánadosa Polinomok A polinomfüggvének grafikonja A polinom gökei és gökténezős alakja Interpoláció polinomokkal Lineáris illesztés két pontra Az első módszer: egenletrendszer A második módszer: bázisfüggvének Másodfokú illesztés három pontra Az első módszer: egenletrendszer A második módszer: bázisfüggvének Az általános eset: a Lagrange-féle interpolációs polinom Gakorló feladatok

5 Bevezető Az analízis elemzést, vizsgálatot jelent. Vizsgálni, elemezni sokmindent lehet (pl. a kémia vag a pszichológia is használja a fogalmat), ám a matematikában ezen hagománosan függvének vizsgálatát szoktuk érteni. A függvének a világ matematikai leírásának olan alapvető fontosságú képződménei, hog a matematika tudománának egik fő ága éppen ezekkel, típusaikkal, tulajdonságaikkal foglalkozik. Ezt az ágat magát analízisnek nevezik, magarul függvéntannak mondhatjuk. A függvének családja igen gazdag, a világ sokfélesége függvének sokféleségét igénli. Ebben a kurzusban ezek közül csupán ún. egváltozós függvének ( számokhoz számokat rendelő ) analízisével foglalkozunk. A függvéntan bonolultabb eseteihez is az egváltozós analízisen át vezet az út. Ez a jegzet mérnök-informatikus hallgatók számára készült, a függvéntanba (egváltozós analízisbe) való bevezetés céljával. Szem előtt kívánja tartani, hog nem matematikusok, hanem mérnökök számára készül nem tankönv, hanem jegzet Ez azt jelenti, hog inkább próbál szemléletes lenni, mint formálisan precíz, inkább próbálja körülírni, intuitív módon bevezetni a fogalmakat és összefüggéseket, mint definíciók és tételek logikailag megkérdőjelezhetetlen rendszereként, inkább próbálja felvetni az építkezés során előkerülő kérdéseket, mint eg-eg mégol pontos, ám nehezen érthető definícióval, előzmének nélkül elejét venni azoknak. E jegzet vázul szolgál a tárg előadásaihoz, a fejezetek végén elhelezett gakorló feladatok révén pedig a csoportos gakorlatokhoz is. 4

6 1. fejezet Halmazok A tantárgunk alapját képező függvén fogalma a halmaz fogalmára épül. 1 Ebben a szakaszban áttekintjük a halmazokkal kapcsolatos alapvető ismereteket Halmaz fogalma Halmaz: Dolgok jól meghatározott összessége. A halmaz alapfogalom, vagis matematikai értelemben más, egszerűbb fogalomra nem vezethető vissza, fent valójában nem is a definícióját, csak eg körülírását látjuk. Akkor tekintjük a halmazt jól meghatározottnak, ha bármilen dologról egértelműen eldönthető, hog hozzá tartozik-e a halmazhoz vag sem. Halmazhoz tartozás: Bármel a dolog kétféle módon viszonulhat eg (jól meghatározott) A halmazhoz: eleme annak, vag sem. Jelölés: a A ill. a / A Vizsgálhatjuk, hog eg halmaznak hán eleme van: menni a halmaz számossága. Halmazok tartalmazhatnak véges darabszámú elemet, de akár végtelen sokat is. 2 Számosság: Véges halmazok számossága alatt az elemszámukat értjük. Jelölés: A Negatív számosság nincs, viszont létezik zérus elemszámú halmaz. Üreshalmaz: Az üreshalmaz nem tartalmaz eg elemet sem, számossága 0. Egetlen ilen halmaz létezik. Jelölés: 1 Érdekességként említjük, hog a modern, aiomatikus elméleti megalapozás szerint a matematika a halmaz-függvén fogalompárra építhető. Kettejük összefonódására jellemző, hog bármeliküket tekinthetjük alapfogalomnak, másikuk utána már származtatható. A klasszikus tárgalásmódban mégis inkább a halmazból szokás kiindulni. 2 Érdekes módon végtelen halmazok számosságán belül is lehet különbséget tenni (mintha bizonos végtelen menniségek között is lenne több és kevesebb ), de ezzel itt nem foglalkozunk. 5

7 1. FEJEZET. HALMAZOK Halmaz megadása Eplicit megadás A legegszerűbb megadási mód az elemek felsorolása. Példa: A = { 2; 7,24; 5614; 39; 9 4} ; B = {Andi; Bandi; Cili} (A megadás rendszerint {} zárójelek között történik.) Az első öt számot, a második három embert tartalmaz. Például a számítógépes adatbázisok táblái (rekordok sorozata) ilen, felsorolással megadott halmazok. Felsorolással természetesen elméletileg is csak véges, gakorlatilag pedig leginkább csak viszonlag kis elemszámú halmazokat lehet megadni Implicit megadás Megfelelő az is, ha olan meghatározást, tulajdonságot, eljárást adunk, amivel bármiről eldönthető, eleme-e a halmaznak. Példák: A={az iskolával adott időpontban jogviszonban lévő hallgatók}; B= ={a bázakerettei lakosok}; C ={1000-nél kisebb természetes számok}; D ={prímszámok}; E ={eg adott 200 jegű szám prímténezői}; F ={a Fibonacci-sorozat első eleme} Hangsúlozzuk, hog nem szükséges részben vag egészben felsorolva látni, vag akár elképzelni ezen halmazok elemeit ahhoz, hog a halmazt meghatározottnak tekinthessük. Pl. szükség esetén eg emberről a lakcím-kártája alapján eldönthető, hog bázakerettei lakos-e vag sem, eg adott számról pedig véges idő alatt eldönthető, hog prím-e. Egészen bonolult, gakorlatilag esetleg kivitelezhetetlen eljárás is lehet a kritérium: pl. eg igen nag szám prímténezős felbontása nem biztos, hog megoldható a Nap kihűléséig, de belátható, hog az eljárás véges idő alatt eredménre vezet; attól, hog esetleg gakorlatilag nem tudjuk megmondani eg akár véges halmaz elemeit, halmazelméleti értelemben még jól meghatározott lehet Halmazok szemléltetése: Venn-diagram Halmazok szemléltetésének legáltalánosabb módja a Venn-diagram. Speciális halmazok szerkezetének érzékeltetésére léteznek speciális adott célra jobban megfelelő szemléltetések, de halmazok egmáshoz való viszonának (relációjának), ill. a rajtuk végzett műveletek alapjainak megértéséhez ez az egszerű, alsó tagozatból ismert eljárás megfelelő. A Venn-diagram eg síkbeli (papíron ábrázolható) modell, melben a halmazokat tartománokkal ábrázoljuk. Eges elemeknek a halmazhoz való tartozását úg érzékeltetjük, hog az elemet jelző grafikus szimbólumot a halmazt szimbolizáló tartománon belül vag kívül helezzük el. A tartománok viszonával modellezhető a szimbolizált halmazok viszona.

8 1. FEJEZET. HALMAZOK 7 B C D F E A A: háromszögek; B : hegesszögű háromszögek; C : derékszögű háromszögek; D : tompaszögű háromszögek; E : egenlő szárú háromszögek; F : egenlő oldalú háromszögek 1.1. ábra. Háromszögek osztálozásának Venn-diagramja Halmazrelációk A reláció általában két dolog viszonát jelenti valamel szempontból ti. hog az adott szempontból kapcsolatban vannak-e. 3 Az alábbiakban sorra vesszük a legfontosabb relációkat, vagis azokat az alapvető viszonokat, melek két halmaz között lehetségesek Egenlőség Egenlőség: Két halmazt pontosan akkor tekintünk egenlőnek, ha uganazokat az elemeket tartalmazzák. A : B, B : A Jelölés: A = B Ha két halmaz nem egenlő, akkor az pontosan azt jelenti, hog a két érintett közül valamel halmaznak legalább eg olan eleme van, ami a másiknak nem eleme. Néhán tulajdonság: minden halmaz egenlő önmagával: A = A (a reláció refleív) az egenlőség kölcsönös: A = B B = A (a reláció szimmetrikus) valamivel egenlők egmással is egenlők : A = B B = C A = C (a reláció tranzitív) 3 Eg reláció maga is eg halmaz, mel azon elempárok összességéből áll, melek az adott szempont szerint kapcsolatban vannak egmással, vagis melek az adott relációnak elemei.

9 1. FEJEZET. HALMAZOK 8 egenlő halmazok számossága is egenlő Diszjunkt halmazok Diszjunkt (különálló) halmazok: Ha nem létezik olan elem, mel eg A és eg B halmaznak egaránt eleme, akkor azt mondjuk, hog a két halmaz különálló, vag diszjunkt. A : / B, B : / A Az ilen halmazoknak nincs tehát közös elemük, a metszet művelete szerint: A B = A B Néhán tulajdonság: 1.2. ábra. Diszjunkt halmazok. Eg nemüres halmaz soha nem diszjunkt önmagához: A A = A (a reláció irrefleív) A diszjunktság kölcsönös: A B = B A = (a reláció szimmetrikus) Valamihez diszjunktak egmáshoz nem okvetlenül diszjunktak : pl. a páros ill. 4-gel osztható számok halmaza egaránt diszjunkt a páratlan számok halmazához, de előbbiek egmástól nem különállók (a reláció nem tranzitív) Az üreshalmaz minden halmazhoz diszjunkt: A = Részhalmaz Részhalmaz: Ha eg A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor azt mondjuk, hog A halmaz részhalmaza a B halmaznak. A B Jelölés: A B Néhán tulajdonság: Egenlő halmazok részhalmazai egmásnak, minden halmaz részhalmaza önmagának: A A (a reláció refleív)

10 1. FEJEZET. HALMAZOK 9 B A 1.3. ábra. Részhalmaz: A B Különböző halmazok nem lehetnek kölcsönösen egmás részhalmazai: A B B A A = B (a reláció antiszimmetrikus) Részhalmaz részhalmaza szintén részhalmaz : A B B C A C (a reláció tranzitív) Az üreshalmaz bármel halmaznak részhalmaza: A Eg halmaz valamel részhalmazának számossága nem lehet nagobb az eredeti halmaz számosságánál: A B A B Valódi részhalmaz Valódi részhalmaz: Ha A halmaz részhalmaza a B halmaznak, de nem egenlő vele, akkor azt mondjuk, hog A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak. Jelölés: A B Néhán tulajdonság: Nincs olan halmaz, mel önmaga valódi részhalmaza (a reláció irrefleív) Két halmaz nem lehet kölcsönösen egmás valódi részhalmaza (a reláció antiszimmetrikus) Valódi részhalmaz valódi részhalmaza szintén valódi részhalmaz : A B B C A C (a reláció tranzitív) Az üreshalmaz önmagán kívül bármel halmaznak valódi részhalmaza Eg halmaz valamel valódi részhalmazának számossága nem lehet nagobb az eredeti halmaz számosságánál: A B A B. (Véges halmazt tekintve a valódi részhalmaz számossága már egenlő sem lehet az eredetiével, végtelennél lehet: pl. a páros számok az egész számok valódi részhalmazát alkotják, mégis egaránt (megszámlálhatóan) végtelen számosságúak.)

11 1. FEJEZET. HALMAZOK Halmazműveletek A halmazműveletek során két adott halmazból meghatározott módon eg harmadik keletkezik. 4 Eg tipikus gakorlati megvalósulása a halmazműveletek működésének, amikor pl. eg adatbázis-lekérdezést futtatunk eg táblán. A lekérdezésben megfogalmazott logikai műveletek mögötti halmazművelet eredméne a lekérdezés eredméne, ami szintén tábla rekordokból álló halmaz. Az alábbiakban áttekintjük az alapvető halmazműveleteket Metszet Halmazok metszete: A és B halmazok metszetén azon elemek halmazát értjük, melnek elemei A-nak és B-nek is elemei. Jelölés: A B A B = {a a A a B} A B Néhán tulajdonság: 1.4. ábra. Két halmaz metszete: A B A művelet eredméne az operandusok sorrendjétől független, vagis a metszetképzés művelete kommutatív : A B = B A Mivel (A B) C =A (B C), a metszetképzés művelete asszociatív, tehát értelmes az ilen leírás is: A B C Tetszőleges halmaz önmagával vett metszete önmaga: A A = A Tetszőleges halmaz üreshalmazzal képzett metszete üreshalmaz: A = Ha a két érintett halmaz diszjunkt, akkor A B = Két halmaz metszete mindkét halmaznak részhalmaza: A B A és A B B. Íg tehát két halmaz metszetének számossága nem lehet nagobb a kisebb számmosságúénál: A B min ( A, B ) 4 A műveletek olan függvének (lám, milen elválaszthatatlanul jár egütt halmaz és függvén fogalma!), melek két elemből alkotott párhoz eg harmadikat rendelnek. A számok közti közismert alapműveletek is ilenek: pl. az összeadás két számból eg harmadikat csinál két számhoz eg harmadikat rendel.

12 1. FEJEZET. HALMAZOK Unió Halmazok uniója: A és B halmazok unióján (egesítésén) azon elemek halmazát értjük, melnek elemei A-nak vag B-nek (legalább egiknek) elemei. Jelölés: A B A B = {a a A a B} A B Néhán tulajdonság: 1.5. ábra. Két halmaz uniója: A B A művelet eredméne az operandusok sorrendjétől független, vagis az unióképzés művelete kommutatív : A B = B A Mivel (A B) C = A (B C), az unióképzés művelete asszociatív, tehát értelmes az ilen leírás is: A B C Tetszőleges halmaz önmagával képzett uniója önmaga: A A = A Tetszőleges halmaz üreshalmazzal képzett uniója önmaga: A = A Két halmaz uniójának mindkét halmaz részhalmaza: A A B és B A B. Íg tehát két halmaz uniójának számossága nem lehet kisebb a nagobb számmosságúénál: A B ma ( A, B ) Különbség Halmazok különbsége: A és B halmazok különbségén azon elemek halmazát értjük, melnek elemei A-nak elemei, de B-nek nem. Jelölés: A\B A\B = {a a A a / B} Néhán tulajdonság: A művelet eredméne nem független az operandusok sorrendjétől, tehát nem kommutatív : A\B B \A Pl. ha A B, akkor A\B =, viszont B \A

13 1. FEJEZET. HALMAZOK 12 A B 1.6. ábra. Két halmaz különbsége: A\B Mivel (A\B)\C eredméne nem okvetlenül egezik meg A\(B \C) eredménével, a művelet nem asszociatív. A különbség részhalmaza a kisebbítendőnek: A \ B A. Íg tehát két halmaz különbségének számossága nem lehet nagobb a kisebbítendő számosságánál: A\B A Szimmetrikus különbség Szimmetrikus különbség: A és B halmazok szimmetrikus különbségén azon elemek halmazát értjük, melnek elemei A és B közül pontosan egiknek elemei. Jelölés: A B A B = { ( A / B) ( B / A)} A B 1.7. ábra. Két halmaz szimmetrikus különbsége: A B Néhán tulajdonság: Az előzőekkel ez íg is kifejezhető: A B=(A\B) (B\A)=(A B)\(A B) A művelet eredméne az operandusok sorrendjétől független, vagis a művelet kommutatív : A B = B A Saját részhalmazzal képzett szimmetrikus különbség maga az egszerű különbség: A B A B = B \A

14 1. FEJEZET. HALMAZOK 13 Két halmaz szimmetrikus különbsége részhalmaza az uniójuknak: A B A B. Íg tehát két halmaz szimmetrikus különbségének számossága nem lehet nagobb uniójuk számosságánál: A B A B Diszjunkt halmazok szimmetrikus különbsége az uniójukkal egenlő: A B = A B = A B Komplementer Az eddigi kétoperandusú műveletek után ez egetlen operandussal rendelkezik. A komplementer halmaz az eredetinek eg adott alaphalmazra vonatkozó kiegészítő halmaza. (Voltaképp az adott alaphalmaz maga is eg operandus, csak rögzített.) Komplementer halmaz: Legen adott eg U alaphalmaz. Eg A U halmaz komplementerén az U \ A halmazt értjük. Jelölés: A A Néhán tulajdonság: 1.8. ábra. Komplementer. Halmaz saját komplementerével vett uniója a teljes alaphalmazt adja: A A = U Bármel halmaz diszjunkt saját komplementeréhez: A A = Descartes-szorzat Míg a fenti halmazműveletek eredménhalmazainak elemei az operandusok ( bemeneti halmazok) elemei közül kerülnek ki, a Descartes-szorzattal adódó eredménhalmaz elemei nem ilenek, hanem az operandusok elemeiből képzett struktúrák: rendezett n-esek. Rendezett n-es: Olan n-elemű felsorolás, melben számít az elemek sorrendje. Jelölés: (a 1 ; a 2 ;...; a n )

15 1. FEJEZET. HALMAZOK 14 Bármilen elemek szerepelhetnek eg ilen felsorolásban pl. (tollam; telefonom; macskám) ilen sorrendű felsorolása eg rendezett hármas, (tollam; macskám; telefonom) már eg másik rendezett hármas, mivel más a felsorolás sorrendje. Két rendezett hármas egenlőségéhez nem elég az elemekből képzett halmazok egenlősége a felsorolási sorrendnek is egezni kell. A gakorlatban gakran 2 vag 3 elemű felsorolással talákozunk. Ezek neve speciálisan rendezett pár, ill. rendezett hármas. Descartes-szorzat: Adottak az A 1 ; A 2 ;...; A n halmazok. Ezek Descartes-szorzatán azon (a 1 ; a 2 ;...; a n ) rendezett n-esek összességét értjük, meleknek első, második stb. eleme rendre ezen halmazokból kerül ki. Jelölés: A 1 A 2... A n = {(a 1 ; a 2 ;...; a n ) a 1 A 1 ; a 2 A 2 ;...; a n A n } Egszerű kombinatorikai meggondolással adódik, hog véges elemszámú halmazok Descartes-szorzatának elemszáma a ténezők elemszámának szorzata: A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n Példa: Legen A = {1; 2; 3}, B = {4; 5}. Mi a két halmaz Descartes-szorzata? A B = {(1; 4) ; (1; 5) ; (2; 4) ; (2; 5) ; (3; 4) ; (3; 5)} A Descartes-szorzat mint halmaz számpárokat tartalmaz. A szorzat elemszáma láthatóan a ténezők elemszámainak szorzata. Igaz-e, hog (5; 2) A B? Nem igaz, (2; 5) A B, de az elemek megfordításával adódó pár nem uganaz. Igaz-e, hog 2 A B? Nem igaz, mivel A B elemei már formálisan is eleve rendezett párok, nem pedig számok. Más kérdés, hog 2 eleme több olan párnak is, melek A B-nek elemei. Példa: Ha N a nők, F a férfiak halmaza, akkor hog tekintünk a házaspárok H halmazára? A házaspárok a nők és férfiak Descartes-szorzatának részhalmaza: H N F. N F uganis a nőkből és férfiakból elméletileg alkotható párok összességét jelenti, de ezeknek csak töredéke valódi házassági kapcsolat. A Descartes-szorzat értelmének egik gakorlati megtestesülése pl. eg adatbázisrekord, melnek eges mezői különféle halmazokból érkeznek. Eg konkrét rekord eleme az illető halmazok Descartes-szorzatának, eg ezekból alkotott tábla pedig részhalmaza annak. Gakran megtörténik, hog a Descartes-szorzat ténezői megegeznek, vagis halmazok önmagukkal vett Descartes-szorzatát képezzük. Példa: A valós számhalmaz önmagával képzett Descartes-szorzata a valós számpárok halmaza: R R = {(; ) R, R} Jelölés: halmaz önmagával vett Descartes-szorzatának jelölésére használható a hatvánozás szimbóluma is: R R = R 2, R R R = R Összetett műveletek, azonosságok A megismert alapműveletekből összetettebb formulák, bonolultabb halmazműveletek is felépíthetők. Eg kompleebb formula is elemi műveletek egmás utáni

16 1. FEJEZET. HALMAZOK 15 elvégzésére bomlik; Venn-diagram segíthet az eges műveletek s íg a formula egészének kiértékelésénél. Mintapélda: Tekintsük a következő összetett halmazműveletet: ((A\B) C) ((B C)\A) Ábrázoljuk Venn-diagramon a művelet eredménét! C C A B A B 1.9. ábra. Az ((A\B) C) ((B C)\A) formula kiértékelésének eges részletei. A formulát a zárójelezésnek megfelelően részekre bontjuk. Kívülről befelé haladva látjuk, hog legkülső (utoljára végrehajtandó) műveletként két nagobb egség unióját kell képezni. Az első egségen belül eg metszetképzést látunk, melnek operandusa maga is különbség. Hasonlóképp járunk el a másik ágon is, majd az elemekre bontott formula kiértékelését alulról építjük vissza. C A B ábra. ((A\B) C) ((B C)\A) művelet végeredméne. A Venn-diagramon megjelenített eredménhalmaz nilván egéb módokon is kifejezhető. Kis gakorlattal fejben is ki tudunk találni rá újabb műveletsorokat, pl. ((A C) (B C))\(A B) vag ((A B) C)\(A B C), esetleg (A C) (B C).

17 1. FEJEZET. HALMAZOK 16 Az azonosságok olan, változókat tartalmazó egenlőségek, melek a változók aktuális értékétől függetlenül tetszőleges értékre igazak. Segítségükkel formulák igén szerint átalakíthatók. Miután a halmazok között definiáltuk az egenlőséget és a műveleteket, megemlítünk néhán azonosságot. Néhán alapvető halmazműveleti azonosság: A\(A B) = A\B (A\B) C = (A C)\B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A\(B C) = (A\B) (A\C) A\(B C) = (A\B) (A\C) Ezek az azonosságok igazolhatók pl. úg, hog az egenlőség oldalait külön kiértékeljük Venn-diagramon, és az eredméneket összevetjük Gakorló feladatok I. A háromszögek osztálozásának Venn-diagramját vázoljuk eg papírra, és minden tartománába rajzoljunk eg oda tartozó háromszöget. II. Helezzük el eg Venn-diagramon a következő halmazok rendszerét: trapézok (T R), deltoidok (D), paralelogrammák (P ), négzetek (N), téglalapok (T L), rombuszok (R) Az ábra minden tartománába rajzoljunk példaként eg megfelelő négszöget. III. Ábrázoljuk Venn-diagramon a következő műveletek eredménét. A B A B ((C A) (C \B)) A ((A B) B) C (((A B) C) A)\B IV. Döntsük el az alábbi egenlőségekről, hog azonosságok-e. (A B) C? = A (B C) A? = B \A (A B) (B C)? = (A B) (B C) (C A) B (A\B)\C? = A\(B \C) (A B) C? = A (B C) A B? = A B

18 2. fejezet Nevezetes számhalmazok, műveletek A szám absztrakció, mel eredendően menniségek mérésére, jellemzésére született, aztán persze a matematika fejlődésével elvontabb tartalmakkal is gazdagodott természetes számoktól komple számokig, almák megszámlálásától elektromágneses terek leírásáig sokmindenre használható. Az alábbiakban röviden áttekintjük a számfogalom kialakulásának fokozatait, ahog azt története során az emberiség, ill. tanulmánai során bárki egénileg végigjárja Természetes számok A számfogalom első, legegszerűbb szintje dolgok megszámlálásából születik. Azt is szokták mondani, hog ezek lénegében a pozitív egész számok (esetleg a 0), de ebben a meghatározásban olan kifejezések ( pozitív, egész ) szerepelnek, melek épp a fogalom további fejlődése során nernek értelmet. Vegük észre, hog a természetes számok lénegében darabszámok valójában véges halmazok számosságai. Pl. a 3 szám eg olan absztrakt tulajdonság, mel pl. három elefántot, három palacsintasütőt, vag eg-eg kutát-macskáthörcsögöt tartalmazó, egmásra egébként nem is hasonlító halmaz közös jellemzője. Értelemszerűen szimbolizálható három vonás rajzolásával (pl. római szám!), vag három ujjunk felmutatásával. Ezek a számok születnek a legtermészetesebb módon. A nulla valójában már eg kis absztrakció, annak felismerése, hog a semmi is valami jelölésre érdemes. Amúg ez éppen az üreshalmaz számossága. Természetes számok: Darabszámok véges halmazok számosságai: {1,2,3,4,5,...} Jelölés: N +, N + 0 A jelölés a naturalis (természetes) szó kezdőbetűjét őrzi. A nulla beleértése körüli bizontalanságot érdemes egértelműsíteni a jelölésben látható indeekkel. 17

19 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK Alapműveletek Az első számok megszületése hamar magával hozza az első művelet megszületését. Ha valahán dolog mellé újabb valahán dolgot teszünk, az összeadás művelete adja az összesített darabszámot. Az összeadás művelete bizonos értelemben az unió halmazműveletből születik. Összeadás: Ha a N + 0 és b N+ 0 két véges, diszjunkt A és B halmaz elemszáma (számossága), akkor a+b az A B halmaz elemszáma: a+b = A B Ha valahán dolog közül néhánat elveszünk, a megmaradók darabszámát a kivonás művelete adja. A számok kivonásának gökere a halmazok különbségének képzésénél keresendő. Kivonás: Ha B A, a N + 0 és b N+ 0 pedig ezen A és B halmazok elemszámai, akkor a b az A\B halmaz elemszáma: a b = A\B Nem célunk itt részletesebben belemenni további műveletekbe és tulajdonságaikba, csupán a halmazelméleti vonatkozások okán említettük a fentieket. A szorzás a természetes számok szintjén voltaképp ismételt összeadásokat jelent, az osztás komplikáltabb A számegenes A természetes számok összessége egesével növekvő sorozatként felfűzhető eg egenesre. Ezzel meg is kezdődik a (valós) számok szerkezetét tükröző szemléletes modell felépítése: a számegenes benépesítése. A számegenes mint modell az összeadás és kivonás értelmezésénél lehetővé teszi a lépegetős szemléletet ábra. Természetes számok és összeadás a számegenesen: 5+3 = Negatív és egész számok A kivonás fentebb látott halmazos értelmezésével nem lépünk ki a természetes számok köréből. A lépegetős szemlélet viszont felveti, hog kisebb számból nagobbat kivonva visszafelé lépegetve foltatható a számegenes az ellenkező iránban, a természetes számok indukálta zérus-oldali határon túl. A negatív számok bevezetése számolástechnikai praktikum: a hiánzó jellemzése egenértékűvé, eg modellben kezelhetővé válik a létezővel. (Kisiskolásoknak pl. az adósság fogalmával (pénz hiánával) magarázzák a negatív számokat.) Egész számok immár negatív számokkal kibővített halmazának jelölése: Z. Szokásosak még a Z + 0, Z stb. variációk is.

20 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK ábra. Kivonás és negatív számok a számegenesen: 2 5 = Racionális számok Az osztás műveletének alapja az a szándék, hog eg menniséget egenlő részekre osszunk. Können érthető, hog a természetes számok bázisán a feladat csak bizonos elemszámú halmazok megfelelő számú részre osztásakor hajtható végre tökéletesen. Lénegében ezek módjának és kritériumainak vizsgálatából fejlődik ki a számelmélet nevű matematikai tudománág, benne az oszthatóság fogalmával, a prímszámok rejtéles halmazával és egészen modern és gakorlatias felhasználási módokkal, mint pl. az RSA titkosítás, melre pl. napjaink internetes adatforgalmának biztonsága nagrészt épül. Ha az osztás nem hajtható végre egész végeredménnel, akkor új szám születik: eg tört, eg racionális szám belépünk az egségni távolságra sorakozó egész számok közti hézagokba. Egre nagobb osztóval az egségni hossz egre finomabb felbontásához jutunk. Egre újabb osztókat alkalmazva, majd az osztott részekből akárhánat véve egre több új szám keletkezik, egre sűrűbben benépesítve az egész számok, sőt aztán egmás közti hézagaikat is. Racionális szám: A két egész hánadosaként felírt törteket racionális számoknak nevezzük. (p, q Z, = p q ) Jelölés: Q ábra. A racionális számok születése. Eg megfelelő törthöz egetlen racionális szám tartozik, viszont eg racionális számhoz több végtelen sok tört tartozik, hiszen ha eg van, annak bármelik bővített alakja is megegező értéket ad. Pl. 2 5 = 4 10 = 6 15 =... Können érthető, hog a számegenes bármilen kis szakaszát tekintve (bármennire ránagítva ) újabb felosztások sokasága jelenik meg, vagis bármel

21 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 20 kicsin szakaszon (intervallumon) van racionális szám, sőt, végtelen sok van: a racionális számok halmaza mindenütt sűrű. Tétel: A racionális számok halmaza a nég alapműveletre zárt: két racionális szám összege, különbsége, szorzata és hánadosa is (a nullával osztástól eltekintve) racionális szám. Können megmutatható, hog a b ill. c d, egész számok hánadosaként felírt racionális számok között végzett alapműveletek is ileneket adnak eredménül: a b ± c d = ad±bc bd a b c d = ac bd a b c d = a b d c = ad bc Akkor tehát a racionális számok foltonosan ki is töltik a számegenes minden elképzelhető pozícióját? Ha igen, akkor minden rendben, hiszen tetszőleges finomsággal tudunk jellemezni menniségeket, az alapműveleteket pedig hibátlanul el tudjuk végezni lénegében egszerű egész aritmetikával; megvannak a gakorlatilag értelmes, racionális számok. Szép kerek lenne ez íg, de még szebb, hog nem íg van Istennek van humora Irracionális számok A racionális számok roppant sűrűsége mellett döbbenetes, szinte felfoghatatlan, hihetetlen, irracionális, hog bizonos pontok kimaradnak megússzák az egre finomabb felosztásokkal keletkező racionális helek sortüzét. A racionalitás-irracionalitás problémakör egik szemléletes kérdése a következő. Kérdés: Tudunk-e úg egenest illeszteni eg koordinátarendszer origójára, hog egetlen (egész koordinátájú) rácspontot se érintsen? Érezzük, hog eg elindított egenessel a rácsszerkezetben (végtelen) hosszan haladva nem könnű minden rácspontot kikerülni. (Vag mégis?) Ez a kérdés íg éppen az irracionális számok létezésére vonatkozik: a valamel rácspontot érintő egenesek meredekség-értéke (irántangense) nilván racionális, hiszen ha az egenes átmeg az (; ) koordinátájú ponton, akkor a meredeksége m =, vagis egészek hánadosa, vagis racionális. Az irracionális meredekség-értékkel rendelkező egenesek viszont minden rácspontot kikerülnek bár csak épp hog, uganis végtelen útjuk során tetszőleges közelségbe kerülnek rácspontokhoz.

22 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK ábra. Racionális és irracionális meredekségek koordináta-rácson. A probléma bonolultságához képest meglepően egszerűen belátható, hog például a 2 nem lehet racionális, vagis nem létezik olan egészekből álló tört, melet tehát számlálót és nevezőt négzetre emelve 2-t kapnánk (vagis a négzetre emelt számláló éppen kétszerese lenne a négzetre emelt nevezőnek). Úg is mondhatjuk: nincs két olan egész szám, hog egiknek a négzete épp a másik négzetének kétszerese lenne. Tétel: 2 irracionális. Bizonítás: Ha 2 = p p2 q alakú kifejezés lenne (p, q Z), akkor q = 2, p 2 = 2 = 2q 2. Können belátható, hog eg négzetszám nem lehet eg másik négzetszám kétszerese. Eg négzetszám uganis minden prímténezőjéből páros számút tartalmaz, tehát az utolsó egenlőségünk bal oldalán a 2 prímténező páros sokszor, jobb oldalán pedig (a külső 2-es szorzóval) páratlanszor szerepel. Tehát utóbbi egenlőség és visszamenőleg az eredeti nem lehet igaz: 2 nem írható fel p q alakban. (Itt persze azért felhasználtunk eg nagon erős és nem triviális tételt: a számelmélet alaptételét, mel a prímténezőkre bontás egértelműségéről szól.) Felmerül a kérdés, van-e értelme foglalkozni ilen számokkal. A racionális számokkal tetszőleges, minden igént kielégítő pontossággal tudjuk ábrázolni a gakorlatban előforduló menniségeket, a műszaki tudománok pedig a számításokban alapvetően megelégszenek eg kellően nag véges pontossággal. Ilen értelemben akár azt is mondhatjuk, hog közvetlenül nincs szükségünk irracioná-

23 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 22 lis számokra. 1 Kicsit közvetettebben azonban ezek is jól használható számok, a műveletek hatóköre hibátlanul kiterjeszthető, íg ezeket is teljes értékű számnak tekintjük. Irracionális számok: A nem racionális, ám a számegenesen pozícióval azonosítható számokat irracionális számoknak nevezzük. Jelölés: Q Q Q = Ne gondoljuk, hog nehéz irracionális számot találni. Pl. ha eg már van, akkor ebből bármel racionális számmal végzett alapművelet újabb irracionális számot alkot. Pl. = biztosan irracionális, hiszen ha racionális lenne, akkor átrendezve 1 = 2 egenlőség nilván nem lehet igaz, mivel a bal oldal a műveleti zártság miatt racionális, a jobb oldal pedig bizonítottan irracionális, és ez ellentmondás. Íg tehát egetlen irracionális szám ismeretében máris végtelen sok újabbat generálhatunk. Ráadásul rövid meggondolás után látszik, hog a 2-nél látott gondolatmenet bármel nem-négzetszám esetén működik, vagis ha eg egész szám négzetgöke nem egész, akkor már biztosan irracionális. Egéb utakon is lehet irracionális számokat találni; összességében az derül ki, hog az irracionális számok többen ( sűrűbben ) vannak, mint a racionálisak, de ezt részletesebben itt nem tárgaljuk. Tétel: Racionális és irracionális szám között végzett alapműveletek eredméne irracionális. Tegük fel, hog Q, / Q. Lehet-e racionális pl. z = +? Ha z Q lenne, akkor átrendezve = = z jobboldala a racionális számokra vonatkozó műveleti zártság miatt racionális, tehát is az kellene legen, miközben kiinduláskor ezt irracionálisnak feltételeztük. Ez az ellentmondás arra utal, hog z és íg a művelet eredméne nem lehet racionális. Az összeadáson kívül a többi műveletre is hasonlóképp belátható az állítás. Az irracionális számok halmaza ezzel egütt nem zárt még az alapműveletekre sem: két irracionális szám összege, szorzata stb. können lehet racionális, pl = 6. Két irracionális szám között végzett alapművelet eredménének racionalitására általános szabál nem létezik: lehet racionális és irracionális. Egedi esetekben megfelelő körülmének között el lehet dönteni Valós számok A racionális és irracionális számok egüttesen már foltonosan töltik ki a modellezésül használt számegenest. Ezek összességét a foltonos számegenes pontjaival szimbolizált számok összességét nevezzük valós számoknak. 1 Elsőre haszontalannak (legalábbis gakorlatias szempontból kevésbé fontosnak) tűnő dolgokra épülő elméleteknek is bármikor lehet gakorlati haszna; a matematika története tele van ilenekkel aki kicsit ért a matematikához, a (rövidtávú és túlzottan konkrét) hasznosság kérdését nem feszegeti.

24 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 23 Valós számok immár irracionális számokkal kibővített halmazának jelölése: R. Szokásosak még a R + 0, R stb. variációk is. R = Q Q Q Q Z N R 2.5. ábra. A megismert számhalmazok szerkezetének áttekintése. A megismert számhalmazok egmáshoz való viszona a következőképpen foglalható össze: N Z Q R, Q R, Q Q = Intervallumok A valós számhalmaz (számegenes) gakran használt részhalmazai a számközök vag intervallumok. Ezek a speciális halmazok lénegében két adott szám közti valós számok összességét jelentik. Nem lénegtelen apróság, hog magukat a végpontokat jelző számokat az intervallumhoz tartozónak tekintjük-e eszerint zártság szempontjából különböző módosulatokat ismerünk, meleket jelöléssel is megkülönböztetünk. Véges intervallum: Legen a, b R, a < b. E két szám a következő intervallumokat határozza meg: [a, b] = { R a b} (zárt intervallum) ]a, b[ = { R a < < b} (nílt intervallum) [a, b[ = { R a < b} (balról zárt, jobbról nílt intervallum) ]a, b] = { R a < b} (balról nílt, jobbról zárt intervallum) A végesek mellé ezzel a jelölésmóddal hozzávehetünk végtelen hosszú intervallumokat, melek legalább egik oldalon nem rendelkeznek véges határral. Ilenkor az intervallum határának a ( végtelen ) szimbólumot használjuk. Mivel azonban ez nem eg valós szám, hanem eg minden valós számon túli, megfoghatatlan elméleti képződmén, nem tartozhat hozzá az intervallumhoz ezt fejezzük ki azzal, hog a oldalán az intervallum mindig nitott. Pl. ]0; [=R +, ] ; 0] = R 0.

25 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 24 a a a a b b b b [a, b] ]a, b[ [a, b[ ]a, b] 2.6. ábra. Intervallumok ábrázolása A valós számokon túl A számfogalom bővítése ezen a ponton nem ér véget. Ahog a valós számok eg egenest, úg az ún. komple számok (C) eg (a valós számegenest is tartalmazó) síkot népesítenek be. A komple számok fontos szerephez jutnak a műszaki tudománokban, de ezzel a témával itt most nem foglalkozunk. Csupán érdekességként említjük, hog a számfogalom végleges lezárását még a komple számokon is túl az ún. kvaterniók jelentik, melek modellje már nem egenes (egdimenziós tér), nem sík (kétdimenziós tér), hanem a négdimenziós tér Számrendszerek, számábrázolás A számfogalom felépítésével szorosan egütt jár a számok jelölésére szolgáló szimbólumrendszer kialakulása. Itt eg külön szakaszban röviden áttekintünk néhán, a számok leírt és számítógépen ábrázolt alakjaival kapcsolatos fontosabb tudnivalót Heliértékek, számrendszerek Ha természetes számokat (darabszámokat) kell jelölnünk, gakran folamodunk ma is ahhoz, hog papíron vonalakat rajzolunk (pl. kategóriánkénti kigűjtésnél). Minden bizonnal ezt tették korai elődeink is, akár a barlang falára feljegezve a napok múlását, vag az elejtett vadak számát. Ha sok vonás esetén pl. áthúzással csoportokat alkotunk, esetleg egéb jelöléssel nagobb csoportokat, akkor a csoportosítás ötletével máris eljutottunk a heliértékes számábrázolás alapötletéig. Csupán eg alapszámban kell megegeznünk, mel szerint a csoportosítást végezzük: enni elemet sorolunk eg csoportba, enni csoportból készítünk nagobb csoportot stb. a csoportosítási elv bármel 1-nél nagobb egészre mint alapszámra működik. Bármilen alapszámot alkalmazzunk is, teljes értékű számrendszert tudunk rá alkotni: a számrendszer heliértékeit az alapszám hatvánai adják, és szük-

26 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 25 ségünk van az alapszámnak megfelelő menniségű szimbólumra (számjegre) az eges heliértékek menniségének jelöléséhez. (Zérustól az alapszámtól eggel kevesebbig kellenek a számjegek.) Können belátható, hog íg tetszőleges természetes számhoz kölcsönösen egértelműen rendelhető eg szimbólum: a szám adott számrendszer-beli alakja; pl. a 3519 szimbólum alatt egész pontosan a értéket értjük. Nem heliérték-alapú számábrázolások is ismeretesek (pl. a római számok), de ezek történeti érdekességükön túl valós matematikai tartalmat kevésbé hordoznak, komol munkára alkalmatlanok A gakorlatban használt számrendszerek A gakorlatban leginkább a tízes (decimális) számrendszert használjuk, ha ezt szoktuk meg, ebben gondolkodunk legkönnebben. Ennek gökere természetesen mindig kéznél lévő számolóeszközünk: ujjaink száma. A matematikatörténet azonban ismer ettől eltérő számrendszereket: pl. a 12-es és 60-as alapúakat előbbi emlékét őrzi pl. a tucat fogalma, utóbbiét a szög- és időmérésben használatos egségek. Számok puszta jelölésére bármel számrendszer alkalmas, de vannak, amelek bizonos célokra praktikusabbak a többinél. A 12-es és 60-as számrendszer például azért jó, mert alapszámaik nagságukhoz képest viszonlag sok osztóval rendelkeznek: a 12 nég valódi osztóval, a 60 tíz valódi osztóval rendelkezik. A 12-nél alig kisebb 10-nek pl. csak két valódi osztója van. Eg számrendszerben az alapszám hatvánaira és valódi osztóira léteznek a legkönnebb oszthatósági szabálok, a fejben számolás tehát a viszonlag sok osztóval rendelkező alapszámú rendszerekben könnű. 10-es számrendszerben a legkönnebb oszthatósági szabálok a 2-ről és az 5-ről szólnak, mert ezek az alapszám valódi osztói. Pl. 12-es rendszerben a 2, 3, 4, 6 számokkal való oszthatóság az utolsó jeggel eldönthető. Ebből a szempontból nilván legelőntelenebbek a prím alapú rendszerek. Egészen más szempontok nomán, a számítástechnika fejlődésével kaptak kiemelt szerepet a 2-es (bináris) és egéb 2-hatván alapú számrendszerek. A 2-es a legkisebb elképzelhető alapszám eg számrendszer számára, mindössze két számjeget használ: 0, 1. Két állapot megkülönböztetése és reprezentálása technikailag könnű feladat: azonosítható eg kétállapotú elemmel pl. eg áramköri kapcsolóval. Eg ilen bináris számjeg a bit (bi nar digit). A számítógépek belső architektúrája a processzor működése, a memória felépítése erre alapul. A memória nolcites egségekből (bájt) áll, melek egenként 2 8 = 256 érték megkülönböztetésére alkalmasak. Eg 32-bites processzor eg lépésben 32 bites számokkal (32 jegű kettes számrendszerbeli) számokkal tud műveleteket végezni. A kettes számrendszer előnével egütt járó hátrána, hog a kis alapszám miatt terjengős: a számok felírásához viszonlag sok jeg szükséges. Ezért alkalmazunk 2-hatván alapú számrendszereket (leginkább 16-os, headecimális rendszert), hog a bináris logikához illeszkedően, ám mégis annál tömörebben jelölhessünk számokat.

27 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 26 A 16-os számrendszerben 16 számjegre van szükség, ezért a rendelkezésünkre álló 10 számjeg mellett szükséges további hatot az ábécé betűiből választjuk: A; B; C; D; E; F ezek értéke 10-től 15-ig terjed Természetes (előjel nélküli) számok bináris ábrázolása n biten 2 n féle érték különböztethető meg a számok 0-tól 2 n 1-ig ábrázolhatók. Pl. 8 biten a legnagobb ábrázolható érték = 255; 0-tól 255-ig ez összesen 2 8 = 256 különböző érték. Eg adott számrendszerben felírt szám értékének meghatározásakor (dekódolásakor) az eges heliértékekből a megfelelő szimbólum szerinti darabszámot kell venni, majd ezeket az összes heliértékre összeadni. Mintapélda: Menni az értéke az bináris számnak? ábra. Bináris szám értékének meghatározása. Mivel minden heliértékből csak 0 vag 1 darab lehet, mindössze anni a dolgunk, hog az 1-es értékű heliértékeket összeadjuk: = 3251, tehát = Eg érték adott számrendszerben való felírásához meg kell keresnünk azt a legnagobb heliértéket, ami az ábrázolandó számban megvan, majd ezen a heliértéken jelölni kell, hog hánszor van meg. A már kifejezett értéket le kell vonnunk az eredetiből, és a maradékra ismételni az eljárást amíg a teljes menniség el nem fog. Mintapélda: Menni 2510 értéke binárisan? Az átalakítást a következőképp végezzük: = 462, = ábra. Szám felírása bináris alakban. = 206, = 78, = 14, 14 8 = 6, 6 4 = 2, 2 2 = 0. Tehát = A logika bármel más számrendszerben hasonló, pl. 16-os számrendszerben is megadhatók a fenti számok: = CB3 16 ill = 9CE 16.

28 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 27 A bináris és headecimális számrendszerek között können kezelhető közvetlen átjárás is van épp erre lett kitalálva a 16-os számrendszer. Mivel 2 4 = 16, a bináris számjegek (bitek) minden 4-es csoportja eg headecimális számjegnek felel meg. 9 C E ábra. A bináris és headecimális számjegek megfeleltetése, a 2510 alakjai Előjel nélküli bináris számok összeadása és szorzása Az összeadás és szorzás hasonló aritmetikával végezhető, ahog tízes számrendszerben, az átviteleknél figelembe véve, hog az alapszám 2. Példa: Végezzük el a összeadást! valóban = = Példa: Végezzük el a szorzást! valóban = Negatív számok bináris ábrázolása Írásban a negatív számot úg jelöljük, hog a pozitív megfelelője (abszolútértéke) elé negatív előjelet teszünk. A számítógépi ábrázolásban is megtehetnénk ezt, de eg ennél kicsit ravaszabb eljárás használatos, ami elsőre kicsit furcsa, ám a számolás gakorlati kivitelezését megkönníti. Az ábrázoláshoz rendelkezésre álló bitek közül a legmagasabb heliértékűt használjuk az előjel tárolására: 0 érték pozitív, 1 érték negatív előjelet jelent. Vagis eg előjeles bináris szám legfelső bitjéből azonnal látható az előjele. Pozitív szám ábrázolása íg megegezik az előjel nélküli alak ábrázolásánál látottakkal.

29 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 28 A negatív számokat ún. kettes komplemenssel ábrázoljuk. Kettes komplemens: Eg n-bites, nemnegatív szám kettes komplemensén a 2 n számot (annak alsó n bitjét) értjük. A 0 kettes komplemense önmaga. A kettes komplemens formálisan úg is megkapható, hog minden bitet ellenkezőjére váltunk, majd hozzáadunk 1-et. A bitek átbillentése önmagában 2 n 1 megalkotását jelenti. Pl. 8 bit esetén = 255 = % Az szám bitjeinek átbillentésével adódó számban az eredetihez képest pont ellentétesen lesznek 1 és 0 jegek, vagis egütt a csupa 1 jegekből álló n bites számot, esetünkben 255-öt adják. Hozzáadva 1-et már valóban 2 n -et (itt 256 -et) kapunk. Mintapélda: Hogan ábrázoljuk nolc biten a 12 értéket? A +12 a következőképp néz ki nolc biten: Minden bitet ellenkezőjére váltva: Ehhez 1-et adva: Ez tehát a 2 alakja 8 biten. (Előjel nélküli számként értelmezve ez 244 = ) Miért ez a komplikáltnak tűnő eljárás? Azért, mert ilen módon ábrázolt számokkal a műveletek előjel-szabálai (az esetleges túlcsorduló bitek levágása után) automatikusan helesen működnek, miközben egszerű előjel nélküli aritmetikával számolhatunk Előjeles bináris számok összeadása és szorzása Mintapélda: Végezzük el a kivonást. Valójában a 37 +( 12) összeadást fogjuk elvégezni: A túlcsorduló bit figelembe vétele nélkül adódó = 25 valóban a heles eredmén. Vegük észre, hog előjel nélküli értelmezés szerint voltaképp a = 37+ +(256 12) összeadást végeztük el, ami pontosan 256-tal több értékénél. Éppen ez a felesleg válik le a túlcsorduló bit levágásakor ezért ad az eljárás heles eredmént. Mintapélda: Végezzük el a ( 3) 8 szorzást (nolc biten)!

30 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK A túlcsorduló biteket figelmen kívül hagva (ezért nem foltattuk az alsó sorban az összeadást) a nolcbites eredmén , ami előjeles számként értelmezve valóban 24 (annak kettes komplemensként való ábrázolása). Mintapélda: Végezzük el a ( 3) ( 8) szorzást nolc biten! A túlcsorduló biteket figelmen kívül hagva a nolcbites eredmén , ami valóban Racionális számok ábrázolása, heliértékes törtek A racionális számok egészekből képzett törtek. Eltérő nevezőjű törtek összehasonlítása és a velük való számolás azonban körülménes (közös nevező stb.), ezért a gakorlatban szeretjük használni a tizedes törteket, melek heliértékes írásmóddal képesek leírni nem egész számokat is. Tizedes törtek nagsága können összehasonlítható, a számolások jól definiált aritmetika szerint végezhetők. A tizedes tört olan heliértékes írásmód, melben az alapszám negatív kitevőjű hatvánait is heliértékként is használjuk, pl. 1,234 = Két egész szám egmással való osztása az ismert aritmetika ( írásban osztás ) szerint végezhető. Ez az algoritmus olkor véges lépésben befejeződik (véges sok tizedesjeggel leírható számot eredménez), máskor végtelen ciklusba kerül (végtelen szakaszos tizedes törtet eredménez). Pl. 2 5 =0,4, viszont 1 3 =0, = = 0. 3.

31 2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK 30 Akkor keletkezik végtelen hosszú tört, ha az osztási algoritmus végső ( nullákat lehozós ) fázisában mindig újabb, zérustól különböző osztási maradék jelentkezik (pl. az 1/3 osztáskor szépen megfigelhető, hog mindig 1 a maradék). Eg n egész számmal való osztáskor véges számú összesen n 1 zérustól különböző osztási maradék keletkezhet, íg ha az eljárás nem áll meg véges lépésben, akkor előbb-utóbb törvénszerűen előkerül valamelik, korábban már előfordult maradék, és nilván szakaszos ismétlődés kezdődik. (Ez azt is jelenti, hog az ismétlődő szakasz hossza mindenképp kisebb az osztó értékénél.) A szakaszos ismétlődés nem az ábrázolt szám abszolút tulajdonsága, hanem az éppen aktuális számrendszer alapszámához való viszonának sajátossága. Az említett 1/3 szám tízes számrendszerbeli (tizedes tört) alakja végtelen szakaszos, de pl. hármas számrendszerben ( harmados tört alakban) egszerűen 1/3=0,1 3, mivel a harmadospont utáni első, 1 /3-os heliértékből 1 van. Tehát változhat, hog eg adott racionális szám különböző számrendszerekben felírva véges-e vag épp szakaszos végtelen, de semmiképp sem szakasz nélküli végtelen az már az irracionális számok jellegzetessége. Példa: Tekintsük az hánadost. Mi a tizedes tört alakja? : = 2, Látható, hog eg korábbi maradék (175) ismét megjelenik innen kezdve nilván végtelen ismétlődés indul: = 2, Tétel: Racionális számok tizedes tört alakja véges vag szakaszos végtelen. Fordítva is igaz: eg véges vag szakaszos végtelen tizedes tört értéke biztosan racionális szám. A tétel első iránát a fentiekben indokoltuk, a megfordítás illusztrálására eljárást adunk arra, hogan határozható meg két egész hánadosaként eg megfelelő alakú (véges, vag szakaszos végtelen) tizedes tört értéke. Mintapélda: Mi a tört alakja az 1,2345 tizedes törtnek? A véges tizedes törtek természetes tört alakját egszerű meghatározni. A tizedesvesszőt a végére toljuk (10 anniadik hatvánával szorozva, ahán pozícióval hátrébb kell tenni), majd a kapott egész számot 10 megfelelő hatvánával osztva már fel is írtunk eg alkalmas, egészekből álló törtet, mel lehetőség szerint egszerűsíthető is. 1,2345 = =