KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium"

Átírás

1 válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés különbözô módszereibe ad betekintést. A kvantummechanika eg szinte szemléletes oldalát ismerjük meg és egszer csak elkezdünk a dolgon önállóan gondolkozni. Heti nég órás kurzust és két óra gakorlatot feltételezve a könv anagának nag része elôadható eg félév alatt. Ahol az egész elméleti fizikára csak két félév jut, ott talán meg lehetne kísérelni, a mechanikáról és elektrodinamikáról a kvantummechanika és a statisztikus fizika javára lemondani (az érdeklôdés és a színvonal növekedésének reménében). Geszti Kvantummechanikája eg gondosan kidolgozott tankönv, amel kibontakoztatja a tárg lebilincselô vonzerejét. A szerzôt megilleti a diákság, az egész hazai fizikustársadalom lelkes köszönete. Reméljük, sikeres példája követôkre talál. Utóirat. Aki teheti, olvassa Geszti könvét párhuzamosan Patkós András Bevezetés a kvantummechanikába: 6 elôadás Fenman modorában címû munkájával (Tpote, Budapest, 22). Fizika ugan csak eg van, de ezt az eget a fizikusok (esetenként nagon is) egéni gondolkodás- és beszédmódja színes sokasággá képezi le. A két mû párhuzamos olvasása elôsegíti mind a teljesebb tárgismeret elsajátítását, mind az önálló gondolkodás kialakulását. Hajdu János (Köln/Budapest) A FIZIKA TANÍTÁSA KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinth Friges Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónai Utcai Református Gimnázium Ha valamit nem értesz, írj róla tanulmánt! (Buza László) Még mielôtt az olvasó nagon megijedne, szeretnénk leszögezni, hog a fenti idézet nem a szerzôk hozzáértését hivatott minôsíteni, sokkal inkább egfajta módszertani útmutatás kíván lenni. Az ELTE Fizika Doktori Iskolájának elôadásait látogatva meglepetten tapasztaltuk, hog a kaotikus mechanika nevû tantárg vizsgafeltételeként mindenkinek saját szimulációt kellett készítenie eg tetszôlegesen választott kaotikus példából. Eleinte hitetlenkedve fogadtuk, hog mi erre valaha is képesek leszünk, azonban a szimuláció során szerzett tapasztalatok arra sarkalltak minket, hog kollégáinknak is megmutassuk, a káosz megértéséhez egetlen jó út vezet: a kísérletezés, a saját felfedezés élméne. Mindehhez oktatási segédanagot is készítettünk, amel eg nagon hasznos, ingenesen letölthetô program a Dnamic Solver használatának segítségével bemutatja, hog egszerû szimulációval miként vizsgálhatjuk a bonolult tálban mozgó goló kaotikus mozgását. Az oktatási segédanag amel lénegében összefoglalja, hogan írhatunk be különbözô differencálegenleteket a programba, valamint milen grafikus beállításokra van szükség a szimuláció futtatásához letölthetô az ELTE Fizika Tanítása Doktori Iskola honlapjáról []. A kaotikus mozgások elméleti hátterét természetesen nem kívánjuk részletesen tárgalni, erre jó szakirodalom áll rendelkezésre [2] és számos cikk foglalkozik a téma középiskolai tanításával is, azonban a legfontosabb vonásokat bemutatjuk eg konkrét példán, a bonolult tálban mozgó goló esetén. Milen a bonolult tál? Kaotikus mozgás vizsgálatához szabáltalan mozgásra van szükségünk. Szabáltalanságon itt azt értjük, hog a vizsgált mozgás tetszôlegesen hosszú ideig sem ismétli önmagát. Matematikailag nézve minden, legalább három elsôrendû, nemlineáris, közönséges differenciálegenlettel leírható rendszer viselkedése általában kaotikus []. Ez a megfogalmazás persze nagon messze áll attól, amit középiskolás diákoknak akár szakkör keretein belül meg lehet tanítani, de ezt leegszerûsíthetjük számukra úg, hog például az egdimenziós gerjesztett és a kétdimenziós súrlódásmentes mozgások döntô többsége kaotikus. Az általunk bemutatott példa ez utóbbi osztálba tartozik, itt azonban figelni kell arra, hog ha az energián kívül létezik még eg megmaradó menniség, akkor az megakadálozza a kaotikus mozgás kialakulását. Tálban mozgó goló esetén (súrlódásmentes esetben) ahol maga a tál alakja határozza meg a potenciált tehát azt kell megkövetelnünk, hog a tál legen bonolult, azaz ne legen forgásszimmetrikus (. és 2. ábra). Ilenkor uganis a tál alakja centrális A FIZIKA TANÍTÁSA 2

2 v ma = 2 v ma =6 v ma = 2. ábra. A tál -tengel (vag szimmetria miatt -tengel) menti metszete. A vízszintes segédvonalak a V ma =, V ma =6ésV ma = 2 esetekben mutatják a tál peremét. potenciálnak felelne meg, ahol a perdület megmaradása miatt a pálák egszerûek lennének éppen úg, ahog a centrális erôtérben mozgó bolgó példájában is, íg nem alakulhatna ki szabáltalan mozgás []. Az általunk vizsgált (nem forgásszimmetrikus) potenciálfüggvén a következô: v (vag ) V(, ) = Alkalmasan megválasztott (dimenziótlan) egségekben a V = konstans görbe egben a tál alakja is. A goló mozgásegenletei A goló mozgását leíró differenciálegenletek abban az esetben, ha a tál nem túl meredek egszerûek: ẍ = V V, valamint ÿ =. Súrlódásmentes esetben az energiamegmaradás miatt a goló potenciális és mozgási energiájának 2. ábra. A tál közepének szintvonalai (ekvipotenciális görbéi). A szintvonalakat csak a [ ; ] intervallumon rajzoltuk meg, mert ezen a részen (a tál belsejében) látszik legjobban, hog a tál nem forgásszimmetrikus összege állandó. Ezt a szimuláció programozása során paraméterként kezeljük (E -vel jelöljük, ami a dimenziótlan összenergia), íg vizsgálható például az is, hog különbözô energiák esetén miként változik a mozgás jellege (ezt eg késôbbi pontban részletesen bemutatjuk). Most pedig nézzük meg, hogan mutatható be a kaotikus mozgás három fô jellemzôje (szabáltalanság, elôrejelezhetetlenség, fraktálszerkezet a fázistérben) ezen az egszerû példán. A kaotikus mozgás elsô jellemzôje: szabáltalan mozgás A goló mozgásegenleteit az ẋ = u és ẏ = v jelölések bevezetésével können átalakíthatjuk úg, hog nég nemlineáris, elsôrendû differenciálegenletet kapjunk. A korábban említett matematikai definíció szerint íg azt várjuk, hog a kaotikus mozgás megjelenik a rendszerben. Vizsgáljuk a mozgás páláját különbözô kezdôfeltételekbôl kiindulva! Ha azt akarjuk, hog az E összenergia a különbözô kezdôfeltételek esetén uganaz legen, indíthatjuk a golót úg, hog mindig eg adott magasságból, de különbözô helekrôl engedjük el nulla kezdôsebességgel. A V (,) = E egenlet határozza meg az edén alakját az E -nek megfelelô magasságban. Eg másik módszer az E összenergia állandó értéken tartására különbözô kezdôfeltételek esetén az, hog tetszôleges pontból indítjuk a golót úg, hog az iránú sebessége nulla, azaz v =,az iránú u kezdôsebességet viszont a program segítségével számoltatjuk ki úg, hog az összenergia mindig az adott E érték maradjon. Ilenkor tehát a dimenziótlan energia képletébôl kiindulva: E = 2 v 2 2 u 2 V, az iránú sebességre azt kapjuk, hog: Ha a programba ezt a kifejezést írjuk be u értéké- re, elérhetjük, hog az összenergia tetszôleges kezdôfeltétel kiválasztása esetén uganaz maradjon. Ha a golót tehát különbözô kezdôfeltételekkel indítjuk, azt találjuk, hog a fenti elvárásnak megfelelôen az esetek döntô többségében annak mozgása kaotikus, a tál minden pontját bejárja úg, hog közben a mozgása teljesen szabáltalan. Akadnak azonban olan jól megválasztott kezdôfeltételek is, amelekbôl indulva a mozgás kvázi-periodikus lesz. Ez azt jelenti, hog a mozgás közel önmagába visszatérô periodikus mozgás. Mivel a visszatérés nem tökéletes, a pálák nem vékon vonalként, hanem fekete sávokként jelennek meg. Az ilen mozgásokat szabálosaknak tekintjük. A. ábrán láthatjuk a mozgást az síkon eg kaotikus, valamint két kvázi-periodikus esetben. u = 2 E v 2 2 V(, ). 22 FIZIKAI SZEMLE 2 / 2

3 . ábra. Bonolult tálban mozgó goló mozgása az síkban. Mindhárom esetben E =6ésv =, a további kezdôfeltételek pedig a három különbözô esetben: a) =, =,; b) = 2,, = 2,; c) = 2,, =,. Az a) eset kaotikus, a goló bejárja az egész tálat, a fekete tartomán a goló mozgásának noma íg a tál pereméig terjed az adott összenergia esetén. A b), c) eset kvázi-periodikus, a tál peremét az összehasonlíthatóság kedvéért jelöltük. 2 A kaotikus mozgás második jellemzôje: elôrejelezhetetlenség. ábra. Bonolult tálban, kaotikusan mozgó goló fákladiagramja. A paraméter: E = 6, a kezdôfeltételek: =, {,97;,98;,99; ;,;,2;,}, v =. t 5. ábra. Az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapján található, a 2 órás csapadékösszegre vonatkozó valószínûségi elôrejelzés 2. május 9-én [5]. A grafikonok itt másfél napig futnak egütt, az elôrejelzési idô körülbelül,5 nap. A kaotikus mozgás eg másik fontos tulajdonsága, hog a kezdôfeltételekre nagon érzéken. Ennek következméne az a középiskolai diákoknak meglepô tén, hog két, egmáshoz nagon közel indított goló pálája gorsan szétválik, azaz kis kezdeti eltérés nagon nag késôbbi különbséghez vezet. Ez azt is jelenti, hog a goló mozgása hoszszú távon elôrejelezhetetlen, leírása csak valószínûségi fogalmakkal lehetséges. Mindez persze azért olan meglepô a középiskolában, mert ott gakorlatilag csak olan mozgásokat tárgalunk, amelek túl egszerûek ahhoz, hog kaotikussá váljanak. Azaz csak a kivételt tanítjuk, a bonolultabb fizikai rendszerekre jellemzô általános mozgásformát nem. Pedig az egszerû kaotikus rendszerek vizsgálatával könnedén rámutathatnánk arra, hog a valószínûségi leírás nem csak a kvantummechanika jellemzôje (ott persze más okból), hanem a mindenki által jóval egszerûbbnek vélt mechanika sajátja is. A kezdôfeltételekre való érzékenséget legjobban az úgnevezett fákladiagramon szemléltethetjük. Ezen különbözô, de egmáshoz nagon közeli kezdôfeltételekbôl indított mozgások valamilen jellemzôjét (például a helkoordináta egik komponensét) ábrázoljuk az idô függvénében. A tipikus fákladiagram valóban a fákla alakjára emlékeztet: eg bizonos ideig a különbözô mozgások egütt haladnak, késôbb azonban drasztikusan szétválnak, és eg idô után jól látszik, hog teljesen lehetetlen elôrejelezni a goló mozgását. A mozgás t grafikonját 7 különbözô, de egmáshoz nagon közel esô kezdôfeltétellel indítva ábrázoltuk (. ábra). Látszik, hog t = 2 idôpontig a grafikonok egütt mozognak, utána viszont szétválnak. A mozgás tehát csak körülbelül 2 idôegségig jelezhetô elôre. Ennél hosszabb idôkre az adható meg, hog milen valószínûséggel kerül a mozgó test eg adott állapot körnezetébe. Mivel a bonolult tálban mozgó goló konzervatív rendszer, ezért értéke csak az E paraméter által meghatározott értékeken belül mozoghat, íg a fákla nem nílik teljesen szét (az edén iránú mérete az E = 6 magasságban körülbelül,26 egség,. ábra). A diákok számára érdekes lehet, hog a meteorológiai elôrejelzésben is teljesen hasonló fákladiagramokat használnak: az adott idôpontban mért légköri adatokból, valamint több, nagon közeli adatból kiindulva párhuzamosan több szimulációt futtatnak egszerre, és vizsgálják, hog a különbözô adatokból indult elôrejelzések meddig maradnak nagjából egütt. Az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapján is találhatók ilen valószínûségi fákladiagramok; az 5. ábra szemléltetésképpen mutatja a 2. május 9-én készült elôrejelzés eg grafikonját. A FIZIKA TANÍTÁSA 2

4 a) b) c) d) 6. ábra. A goló kaotikus mozgásának Poincaré-metszete az síkon (v =, valamint E = 6). A kaotikusság ebben az ábrázolásban onnét látszik, hog a pontok beszórnak eg kiterjedt tartománt, összhangban az elôrejelezhetetlenséggel. Kezdôfeltétel: =, =, v =. (Az a tén, hog ez jelentôsen eltér a. és a. ábrák kezdôfeltételeitôl, mutatja, hog a rendszerben nagon könnû kaotikus mozgást találni.) A kaotikus mozgás harmadik jellemzôje: fraktálszerkezet a fázistérben 7. ábra. A goló néhán kvázi-periodikus mozgásának Poincaré-metszete (v =, valamint E = 6) kvázi-periodikus részekkel. Kezdôfeltételek: a) =,8, = 2,6 és v =;b) = 2,7, =,7 és v =; c) = 2,, = 2, és v =;d) = 2,, =, és v =. Mindeddig arról volt szó, hog a kaotikus mozgás szabáltalan, elôrejelezhetetlen, íg gakorlatilag derült égbôl villámcsapásként ér minket a harmadik tulajdonság: a rendezettség. Ehhez persze megfelelô módon kell vizsgálnunk a mozgást. A módszer lénege, hog például a bonolult tálban mozgó goló esetében az síkot nézve csak bizonos pillanatokban ábrázoljuk a goló helét. Ez az úgnevezett Poincaré-leképezés. Azt, hog milen pillanatokban ábrázoljuk a goló pozícióját, többféleképpen is megválaszthatjuk, azonban talán a legegszerûbb eset az, amikor a v = feltételt választjuk. Ez azt jelenti, hog azokban a pillanatokban fénképezzük le a goló helzetét, amikor az iránú sebessége éppen lesz, és balról jobbra halad az iránban. A programban beállítjuk, hog a mozgás Poincaréleképezését szeretnénk ábrázolni az imént említett feltétellel. (Ennek részletes leírását lásd a letölthetô oktatási segédanagban [].) Ezek után, ha eg véletlenszerûen választott kezdôfeltétellel elindítjuk a mozgást, rendszerint a kaotikus eset Poincaré-metszetét kapjuk, ami a 6. ábrán látható módon néz ki. A grafikont nézve mindjárt szembetûnik, hog a pontokkal beszórt kaotikus tartománban vannak lukak, azaz fehér foltok. Állítsuk be most úg a kezdôfeltételeket, hog a lukakban lévô mozgásokat vizsgáljuk. A következô, 7. ábra nég olan, különbözô kezdôfeltétellel elindított mozgás Poincaré-metszetét mutatja, amelek a lukakba esnek. Ezek az esetek az úgnevezett kvázi-periodikus esetek, amelekhez hasonlóakat már korábban bemutattunk. A 7. ábra c) és d) része a. ábra b) és c) részében ábrázolt kvázi-periodikus mozgások Poincaré-metszete. A kvázi-periodikus mozgások képe ebben az ábrázolásban tehát zárt görbe, ami arra is utal, hog az ilen mozgások pontosan elôrejelezhetôk, ezért ôket egszerûeknek tekinthetjük. Ezek után nem marad más hátra, mint a grafikonok egesítése, azaz a Poincaré-metszetek több, különbözô kezdôfeltétellel való megrajzolása, ami kiadja a mozgás teljes Poincaré-térképét (8. ábra). Ha valami meglepô és izgalmas a káoszban a diákok számára, akkor ez biztosan az. Eg ilen Poincaré-térkép megrajzolása (a szimuláció beprogramozása után) egáltalán nem bonolult, viszont benne rejlik a saját felfedezés élménének lehetôsége, a kísérletezés szépsége. Ráadásul ez az, ami segít megértetni a diákokkal, hog a káosz nem teljes rendezetlenség (véletlenszerûség), hanem szabálos struktúrával rendelkezô rendszer. 8. ábra. A goló mozgásának teljes Poincaré-térképe (E = 6). A 6. és 7. ábra görbéit közös koordinátarendszerben rajzoltuk fel, néhán további kezdôfeltételhez tartozó görbével kiegészítve. 2 FIZIKAI SZEMLE 2 / 2

5 A 8. ábrán látható Poincarémetszet fraktálszerkezetû. Korábban is olvashattunk a Fizikai Szemlében a fraktálokról, íg most a teljesség igéne nélkül csak annit jegzünk meg, hog az itt látható fraktálszerkezet az úgnevezett kövér fraktál, ami a konzervatív rendszerek sajátossága. Eg hasonlóan kövérfraktál-típusú kaotikus jelenség, a rugalmas inga tárgalását eg korábbi cikkben olvashatjuk [6]. Érdekes megfigelni azt is akár házi feladatként is kiadható a diákoknak, hog a) E = miként változik a Poincaré-metszet fraktálszerkezete, ha a goló teljes energiáját, mint paramétert változtatjuk. Ezt mutatja be a 9. ábra. A kaotikus (pontozott) tartomán mindkét esetben nag kiterjedésû. Ezeken belül a mozgás elôrejelezhetetlen, hosszú távon valószínûségi szemléletben értelmezhetô. (A zárt görbék elôrejelezhetô, kvázi-periodikus mozgásokhoz tartoznak.) Miért érdemes tanítani a káoszt? Amint azt a most bemutatott példából is látja a tisztelt olvasó, a káosz megértéséhez nem kellenek bonolult fogalmak, középiskolában (sajnos a szûkös kerettantervi számok miatt inkább csak szakkörön) tanítható. b) E = 2 9. ábra. A 8. ábrához hasonlóan megrajzolt Poincaré-térképek E =ése = 2 esetekben. Segít a valószínûségi szemlélet elfogadásában azáltal, hog megmutathatjuk, ez nem csak a kvantummechanika sajátja. Ráadásul megajándékozza a diákokat a felfedezés örömével, és teret ad nekik a kísérletezésre, az önálló munkára, saját eredmének elérésére. Irodalom. vag Tél T., Gruiz M.: Kaotikus Dinamika. Nemzeti Tankönvkiadó, Budapest, 22.. Gruiz M., Tél T.: A káoszról, kicsit bôvebben. Fizikai Szemle 55 (25) Gruiz M., Tél T.: A káosz. Fizikai Szemle 55 (25) a letöltés idôpontja: 2. május Gruiz M., Radnai G., Tél T.: A rugalmas fonalú ingáról mai szemmel. Fizikai Szemle 56 (26) 7. XVII. SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló, III. rész Sükösd Csaba BME Nukleáris Technika Tanszék Számítógépes feladat. ábra. A Millikan-kísérlet szimulációjának képernôje. A számítógépes feladatban eg idegen, távoli világból érkezett Millikan-kísérlet szimulációjával kellett meghatározni az elemi töltés ottani értékét. A kiosztott feladatlap szerint: Eg távoli világból érkezett hozzánk a mellékelt kísérlet (. ábra). A szükséges adatokat a kísérlet leírásában elküldték (nagon sokban hasonlítanak a földi adatokra). Az elemi töltés értéke azonban valószínûleg más. Határozzuk meg az ottani elemi töltés értékét a hozzánk eljutott ottani Millikan-kísérlet segítségével! Általános leírás Millikan kondenzátorlemezek közé porlasztott olajcseppek elektromos töltését mérte meg, és ebbôl a kísérletbôl határozta meg az elemi töltést. A FIZIKA TANÍTÁSA 25

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Ha vasalják a szinusz-görbét

Ha vasalják a szinusz-görbét A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

Záró monitoring jelentés

Záró monitoring jelentés Záró monitoring jelentés (megfeleltetés és szinopszis) 13. számú fejlesztési t ÁROP-3.A.2-2013-2013-0017 projekthez Verziószám: 3.0 verzió Budapest, 2014. október 31. 1 Tartalom 1. Vezetői összefoglaló...

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

A 2013. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY ÜNNEPÉLYES EREDMÉNYHIRDETÉSE

A 2013. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY ÜNNEPÉLYES EREDMÉNYHIRDETÉSE százalék 70 60 50 40 30 20 10 63 48 0 2010 2011 2012 2013 év 9. ábra. A kísérleti feladatok megoldásának eredményessége az egyes években. táblázatba foglalni, és az adatok alapján a számításokat elvégezni,

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES FOLYAMATMODELLEK AZ ELMÉLETI FIZIKÁBAN

SZÁMÍTÓGÉPES FOLYAMATMODELLEK AZ ELMÉLETI FIZIKÁBAN SZÁMÍTÓGÉPES FOLYAMATMODELLEK AZ ELMÉLETI FIZIKÁBAN Bárdos Gyula, bardos@dtp.atomki.hu Elméleti Fizikai Tanszék, Kossuth Lajos Tudományegyetem Computer experiments in the education of theoretical physics

Részletesebben

A fizikaoktatás jövője a felsőfokú alapképzésben

A fizikaoktatás jövője a felsőfokú alapképzésben A fizikaoktatás jövője a felsőfokú alapképzésben Radnóti Katalin ELTE TTK Fizikai Intézet Főiskolai tanár rad8012@helka.iif.hu http://members.iif.hu/rad8012/ Békéscsaba 2010. augusztus 26. Az előadásban

Részletesebben

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA HARCOS GERGELY Ha a(n) eg számelméleti függvén, akkor természetes feladat a a(m)a(n)w(m, n) m±nh alakú additív konvolúciós összegek vizsgálata. Ha W :

Részletesebben

FOLYADÉKCSEPPES LEVELEK NAPÉGÉSE Egy biooptikai diákkísérlet

FOLYADÉKCSEPPES LEVELEK NAPÉGÉSE Egy biooptikai diákkísérlet A FIZIKA TANÍTÁSA FOLYADÉKCSEPPES LEVELEK NAPÉGÉSE Egy biooptikai diákkísérlet Stonawski Tamás, Murguly Alexandra, Pátzay Richárd, Cérna László Ecsedi Báthori István Református Gimnázium és Kollégium,

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

JÁTSZÓTÉRI FIZIKA GIMNAZISTÁKNAK

JÁTSZÓTÉRI FIZIKA GIMNAZISTÁKNAK JÁTSZÓTÉRI FIZIKA GIMNAZISTÁKNAK Gallai Ditta BME Két Tanítási Nyelvű Gimnázium, Budapest, gallai.ditta@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS Az oktatás sikerességében

Részletesebben

Diplomamunka. Szabó Anett

Diplomamunka. Szabó Anett Diplomamunka Intracelluláris Ca 2+ -dinamika vizsgálata Szabó Anett Témavezet : dr. Tóth János docens Budapesti M szaki és Gazdaságtudománi Egetem Matematika Intézet Analízis Tanszék BME 2010 TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

A CIKLONOK SZEMLÉLETES TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLÁBAN THE SUGGESTIVE TEACHING OF THE CYCLONES IN A SECONDARY SCHOOL

A CIKLONOK SZEMLÉLETES TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLÁBAN THE SUGGESTIVE TEACHING OF THE CYCLONES IN A SECONDARY SCHOOL A CIKLONOK SZEMLÉLETES TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLÁBAN THE SUGGESTIVE TEACHING OF THE CYCLONES IN A SECONDARY SCHOOL Szeidemann Ákos 1, Beck Róbert 1 Eötvös József Gimnázium és Kollégium, Tata az ELTE Fizika Tanítása

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről

Részletesebben

Fejlesztő neve: BODÓ JÁNOSNÉ. Tanóra címe: A RUGÓERŐ VIZSGÁLATA TANULÓI KÍSÉRLET FIZIKAÓRÁN

Fejlesztő neve: BODÓ JÁNOSNÉ. Tanóra címe: A RUGÓERŐ VIZSGÁLATA TANULÓI KÍSÉRLET FIZIKAÓRÁN Fejlesztő neve: BODÓ JÁNOSNÉ Tanóra címe: A RUGÓERŐ VIZSGÁLATA TANULÓI KÍSÉRLET FIZIKAÓRÁN 1. Az óra tartalma A tanulási téma bemutatása; A téma és a módszer összekapcsolásának indoklása: A rugóerő vizsgálata

Részletesebben

FÉNYT KIBOCSÁTÓ DIÓDÁK ALKALMAZÁSA A KÖZÉPISKOLAI FIZIKAOKTATÁSBAN

FÉNYT KIBOCSÁTÓ DIÓDÁK ALKALMAZÁSA A KÖZÉPISKOLAI FIZIKAOKTATÁSBAN Kísérlet a Lenz-ágyúval. A verseny elôkészületei során többször jártam a Csodák Palotájában és azt tapasztaltam, hogy sokan egy óriási játszótérnek tekintik a kiállítást. Nyílván ez célja is a szervezôknek,

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR 10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)

Részletesebben

NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL

NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL Közgazdasági- és Regionális Tudománok Intézete Pécsi Tudománegetem, Közgazdaságtudománi Kar MŐHELYTANULMÁNYOK NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL Barancsuk János 2009/1

Részletesebben

A számítógép felhasználása a modern fizika BSc szintű oktatásában

A számítógép felhasználása a modern fizika BSc szintű oktatásában Doktori értekezés A számítógép felhasználása a modern fizika BSc szintű oktatásában Nagy Péter Témavezető: Dr. Tasnádi Péter egyetemi tanár ELTE TTK Fizika Doktori Iskola Vezető: Dr. Palla László Fizika

Részletesebben

BMEEOHSAT17 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

BMEEOHSAT17 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK A C É L S Z E R K E Z E T E K I. BMEEOHSAT17 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi ejlesztése HEFOP/004/3.3.1/0001.01

Részletesebben

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti

Részletesebben

A Magyar Lemezárugyár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egyéb játékdobozok tükrében

A Magyar Lemezárugyár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egyéb játékdobozok tükrében TIPOGRÁFIAI DIÁKKONFERENCIA 2009. DECEMBER ELTE BTK Művészetelméleti és Médiakutatási Intézet A Magar Lemezárugár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egéb játékdobozok tükrében Megesi

Részletesebben

Acélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17.

Acélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17. Acélszerkezetek 2. előadás 2012.02.17. Méretezési eladat Tervezés: új eladat Keresztmetszeti méretek, szerkezet, kapcsolatok a tervező által meghatározandóak Gazdasági, műszaki, esztétikai érdekek Ellenőrzés:

Részletesebben

Vasbetonszerkezetek II. STNA252

Vasbetonszerkezetek II. STNA252 Szilárdságtan és Tartószerkezet Tanszéke Vasbetonszerkezetek II. STNA5 Pécs, 007. november STNA5 Szerző: Kiss Rita M. Műszaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN szám: Kézirat lezárva: 007. november 30. STNA5

Részletesebben

Doktori munka. Solymosi József: NUKLEÁRIS KÖRNYEZETELLENŐRZŐ MÉRŐRENDSZEREK. Alkotás leírása

Doktori munka. Solymosi József: NUKLEÁRIS KÖRNYEZETELLENŐRZŐ MÉRŐRENDSZEREK. Alkotás leírása Doktori munka Solymosi József: NUKLEÁRIS KÖRNYEZETELLENŐRZŐ MÉRŐRENDSZEREK Alkotás leírása Budapest, 1990. 2 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A doktori munka célja az egyéni eredmény bemutatása. Feltétlenül hangsúlyoznom

Részletesebben

Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév

Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév Köszönetnyilvánítás: Az órai példák kidolgozásáért, és az otthoni példákkal kapcsolatos kérdések készséges megválaszolásáért köszönet illeti

Részletesebben

Helyi tanterv Fizika az általános iskolák 7 8. évfolyama számára

Helyi tanterv Fizika az általános iskolák 7 8. évfolyama számára Helyi tanterv Fizika az általános iskolák 7 8. évfolyama számára A természettudományos kompetencia középpontjában a természetet és a természet működését megismerni igyekvő ember áll. A fizika tantárgy

Részletesebben

"A fizika tanítása" Az ELTE Fizika Doktori Iskolájának új önálló programja, fizikatanároknak

A fizika tanítása Az ELTE Fizika Doktori Iskolájának új önálló programja, fizikatanároknak "A fizika tanítása" Az ELTE Fizika Doktori Iskolájának új önálló programja, fizikatanároknak Az új képzési forma beindításának háttere és indoklása Csökkenőben a fizika társadalmi presztizse A XX. század

Részletesebben

A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN

A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN Balogh Éva Jósa András Megyei Kórház, Onkoradiológiai Osztály, Nyíregyháza Angeli István Debreceni Egyetem, Kísérleti Fizika Tanszék A civilizációs ártalmaknak,

Részletesebben

Szakál Ferenc Pál A szükséges pedagógus-státuszok számításának változásai és egyéb összefüggései

Szakál Ferenc Pál A szükséges pedagógus-státuszok számításának változásai és egyéb összefüggései Szakál Ferenc Pál A szükséges pedagógus-státuszok számításának változásai és egyéb összefüggései 1. A státusz-meghatározás korábbi szabályai, módja Emlékeim szerint korábban nem volt egységesen előírt

Részletesebben

FERROMÁGNESES ANYAGOK RONCSOLÁSMENTES VIZSGÁLATA MÁGNESESHISZTERÉZIS-ALHURKOK MÉRÉSE ALAPJÁN. Mágneses adaptív teszt (MAT) Vértesy Gábor

FERROMÁGNESES ANYAGOK RONCSOLÁSMENTES VIZSGÁLATA MÁGNESESHISZTERÉZIS-ALHURKOK MÉRÉSE ALAPJÁN. Mágneses adaptív teszt (MAT) Vértesy Gábor FERROMÁGNESES ANYAGOK RONCSOLÁSMENTES VIZSGÁLATA MÁGNESESHISZTERÉZIS-ALHURKOK Vértesy Gábor MÉRÉSE ALAPJÁN MTA TTK Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Intézet Olyan új, gyorsan elvégezhetô, megbízható és

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

KÁOSZKÍSÉRLETEK A KÖZÉPISKOLAI FIZIKA OKTATÁSÁBAN CHAOS EXPERIMENTS IN HIGH SCHOOL PHYSICS EDUCATION

KÁOSZKÍSÉRLETEK A KÖZÉPISKOLAI FIZIKA OKTATÁSÁBAN CHAOS EXPERIMENTS IN HIGH SCHOOL PHYSICS EDUCATION KÁOSZKÍSÉRLETEK A KÖZÉPISKOLAI FIZIKA OKTATÁSÁBAN CHAOS EXPERIMENTS IN HIGH SCHOOL PHYSICS EDUCATION Szatmáry-Bajkó Ildikó 1 1 Petőfi Sándor Általános Iskola és Gimnázium, Vecsés; ELTE PhD-hallgató, Neveléstudományi

Részletesebben

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják A Baktay Ervin Gimnázium alap matematika tanterve a 6 évfolyamos gimnáziumi osztályok számára 7. 8. 9. 10. 11. 12. heti óraszám 3 cs. 3 cs. 3 cs. 4 4 4 éves óraszám 108 108 108 144 144 120 (cs.: csoportbontásban)

Részletesebben

Ez a gyűjtemény Muki bácsinak a Jedlik Ányos Gimnázium Vermes Miklós emlékszobájában fellelhető tudományos és ismeretterjesztő cikkeit tartalmazza.

Ez a gyűjtemény Muki bácsinak a Jedlik Ányos Gimnázium Vermes Miklós emlékszobájában fellelhető tudományos és ismeretterjesztő cikkeit tartalmazza. Ez a gyűjtemény Muki bácsinak a Jedlik Ányos Gimnázium Vermes Miklós emlékszobájában fellelhető tudományos és ismeretterjesztő cikkeit tartalmazza. Betűrendes mutató: A bifilárgraviméter A biztosítékok

Részletesebben

FIZIKA. helyi programja. tantárgy. Készült a Katolikus Pedagógia Szervezési és Továbbképzési Intézet által készített kerettanterv alapján.

FIZIKA. helyi programja. tantárgy. Készült a Katolikus Pedagógia Szervezési és Továbbképzési Intézet által készített kerettanterv alapján. FIZIKA tantárgy helyi programja Készült a Katolikus Pedagógia Szervezési és Továbbképzési Intézet által készített kerettanterv alapján. 2013 Alapóraszámú FIZIKA helyi tanterv a szakközépiskolák számára

Részletesebben

A PC vagyis a személyi számítógép. XII. rész

A PC vagyis a személyi számítógép. XII. rész ismerd meg! A PC vagyis a személyi számítógép XII. rész 1. Monitorok és megjelenítésvezérlõ kártyák A monitor a számítógép egyik legszembetûnõbb része. Ezen követhetjük nyomon a gép mûködését, a programok

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 28. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 28. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

PENDULUMHULLÁM, AVAGY SZERELEM ELSÔ LÁTÁSRA

PENDULUMHULLÁM, AVAGY SZERELEM ELSÔ LÁTÁSRA Rámutattunk, hogy ( álöltözetben ) magnetosztatikai problémák megoldása során körültekintônek kell lenni az Ampère-féle gerjesztési törvény alkalmazása során. Az érvényességi kör az elektrodinamika-tankönyvek

Részletesebben

AZ MVM RT. ÁLTAL RENDEZETT ELSÔ MAGYAR KAPACITÁSAUKCIÓRÓL

AZ MVM RT. ÁLTAL RENDEZETT ELSÔ MAGYAR KAPACITÁSAUKCIÓRÓL AZ MVM RT. ÁLTAL RENDEZETT ELSÔ MAGYAR KAPACITÁSAUKCIÓRÓL n A 2001. ÉVI CX. TÖRVÉNY A VILLAMOS ENERGIÁRÓL (TOVÁBBIAKBAN VET) ELSÔ MONDATA SZE- RINT AZ ORSZÁGGYÛLÉS A FOGYASZTÓK BIZTONSÁGOS, MEGFELELÔ MINÔSÉGÛ

Részletesebben

KERÉKPÁR MOZGÁSI JELLEMZÔINEK MEGHATÁROZÁSA ISKOLAI PROJEKTFELADATBAN

KERÉKPÁR MOZGÁSI JELLEMZÔINEK MEGHATÁROZÁSA ISKOLAI PROJEKTFELADATBAN KERÉKPÁR MOZGÁSI JELLEMZÔINEK MEGHATÁROZÁSA ISKOLAI PROJEKTFELADATBAN Beke Tamás Nagyasszonyunk Katolikus Ált. Isk. és Gimn., Kalocsa A tanév végén azt a feladatot adtam a 9. évfolyamon, hogy a tanulók

Részletesebben

7-8. évf. Fizika. 72 óra. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Kötelező. Szabad Összesen. 1. Természettudományos vizsgálati módszerek 6 1 7

7-8. évf. Fizika. 72 óra. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Kötelező. Szabad Összesen. 1. Természettudományos vizsgálati módszerek 6 1 7 2.2.09.2 b 2+1 7. évfolyam Az általános iskolai természettudományos oktatás, ezen belül a 7 8. évfolyamon a fizika tantárgy célja a gyermekekben ösztönösen meglévő kíváncsiság, tudásvágy megerősítése,

Részletesebben

19. Az elektron fajlagos töltése

19. Az elektron fajlagos töltése 19. Az elektron fajlagos töltése Hegyi Ádám 2015. február Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Mérési összeállítás 4 2.1. Helmholtz-tekercsek.............................. 5 2.2. Hall-szonda..................................

Részletesebben

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

V.2. GRAFIKONOK. A feladatsor jellemzői

V.2. GRAFIKONOK. A feladatsor jellemzői V.2. GRAFIKONOK Tárgy, téma Grafikonok, diagramok. Előzmények A feladatsor jellemzői Egyenes vonalú egyenletes mozgás, sebesség út idő összefüggésének ismerete. Átlagsebesség. Cél Különböző grafikonok,

Részletesebben

ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú ű ű ű ű Ó ű ű ű ű Ü É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű É Ó Ú Ó Ü Ő Ó Ó ű É ű ű ű É ű É ű ű ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű É É ű Ö ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö

Részletesebben

ő ü ő ü ő ü ő Ő ü ő ú ő ű ü ú ő ű ű ű ú ű ő ő ő ő ő Ó Á Á ő ő ő ő ő ő ő ő Ó Ó ü ő ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ü ü ü ü ü ő Á ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ő ü ő ő ő ü ű ű ű ű ű ú ű ú ű ú ü É ü ő É ű ő ű

Részletesebben

Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika Megoldandó feladatok: I.

Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika Megoldandó feladatok: I. Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika 1.5. Mennyi ideig esik le egy tárgy 10 cm magasról, és mekkora lesz a végsebessége?

Részletesebben

É Ú ű Ö ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű Ú Ü ű Ú Ö ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ö ű É ű Ö ű Ö Ú Ó ű ű Ü Ú ű É Ó ű ű ű Ö ű ű É ű É É Ö É É É É É Ö Ö É Ú É Ó Ú É É Ö Ö Ö ű Ó ű Ö ű ű ű ű

Részletesebben

ö ó É ó Ú ÜÉ ó ö ó ó ö É ó ó ó ó Ü ó ó É ó ó Ú ó ő Úó É ö ó Ü ó ó ó ó Ú ó Ü ó É Ó ő ó ó ó ó ö É ö ó ó Ü ó É ö ó ó ó É ó É Ü ó ó ö ú Ö É Ú É Ü É ó ó ó Ü ó Ü ő É Ö Ó É ó ó ó ó ó ó ó ó ó ö ó Ó ő ö ó ó ó ó

Részletesebben

Ú É ő ő ő ő ő Ú É ő ő ő ő ű ű ő ő ő ő ő ű ű ő ő ő Ú ő Ú É É Ú Ú ű ű ő ő É ő Ó ű ű ő ő ű ő É Ó Ü ő ű ő ő ű ő ű Ó É É Ó Ü Ü ő Ú Ü É É Ú É É ő É Ú É Ó É Ü ő ő Ú É ő ő ű ő ű Ú ő Ü É Ú É ő ő É É ű ő Ú É Ü ű

Részletesebben

É Ő ú ú Ü Ú Ü ú Ü Ú Ú Ú Ü Ü Ú ű Ü ú É Ü Ü Ü Ú ú ű Ü Ü Ü ű ű Ü Ü ú Ú ű Ü ű Ú ű Ü ű Ú Ü É É ű É É É É É Ü Ü Ü É ÉÉ Ö ú É É É É ÉÉ É É É ű ú Ó Ö ú Ó Ö ú Ó ú ú Ü Ü ú É É É Ö Ö Ö Ó Ü Ú Ó É É É É Ü Ú Ó Ő Ó ú

Részletesebben

Ö É ű Ú ő Ú ő ű ő ő ő ű Ü ő Ú Ú Ú Ú Ú ű Ü É ű ő ő Ú Ú É Ú ő Ú ő Ú ő É ő Ó É ő ű ű ő ő ő Ó Ú Ó ő ő Ü ő ő ű Ü Ú Ú Ü Ú Ó Ú Ú Ü Ü Ü ő Ö Ö É É É É É É Ó ő ő ű ő ű ű ű ő ő Ú É Ú É Ü űé É Ú ő ő É ő Ü ő ű É É

Részletesebben

II. MUNKAERŐ-KERESLET 1. BEVEZETÉS

II. MUNKAERŐ-KERESLET 1. BEVEZETÉS II. MUNKAERŐ-KERESLET 1. BEVEZETÉS Kõrösi Gábor A kereslet alakulásának vizsgálata a kínálatéval azonos jelentõségû a munkagazdaságtanban. A két oldal elemzésének eszközei azonban lényegesen eltérnek egymástól:

Részletesebben

AKárpát-medencében élõk munkaerõpiaci helyzete és az õket érõ

AKárpát-medencében élõk munkaerõpiaci helyzete és az õket érõ CSÁKÓ MIHÁLY Az ezredforduló munkaerõpiaci kihívásai a Kárpát-medencében 1 Bevezetés: a kérdés, jelentõsége, megközelítése AKárpát-medencében élõk munkaerõpiaci helyzete és az õket érõ kihívások két szempontból

Részletesebben

É ü ü ű ü Ü ü É É ü Ó Ú É É Ö É Ó ű ű ű ű ü ű ü ü Ú ü ű ü ü ű ü Ó ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü Ö Ü ű ü ü ü ü ű ü ü É ű ü ü ü ü ű Ü Ö É ü ü ü ü É ü ü ü É ü ű ű ü ü ü ü ü ű ü ü ü Ó ü ü ű ű ü ü ü ü ü ü É ű ü É Ó ü

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

VII.4. ÚJ UTAK KERESÉSE (SZAKMÓDSZERTAN)

VII.4. ÚJ UTAK KERESÉSE (SZAKMÓDSZERTAN) VII.4. ÚJ UTAK KERESÉSE (SZAKMÓDSZERTAN) MIT TUDNAK A KÖZÉPISKOLÁSOK AZ ENERGIÁRÓL? - EGY FELMÉRÉS EREDMÉNYEI WHAT DO SECONDARY SCHOOL STUDENTS KNOW ABOUT ENERGY? RESULTS OF A TEST Juhász András 1, Nagy

Részletesebben

Ember és természet. műveltségterület. Fizika. 7-8. évfolyam

Ember és természet. műveltségterület. Fizika. 7-8. évfolyam Ember és természet műveltségterület Fizika 7-8. évfolyam Szandaszőlősi Általános és Alapfokú Művészeti Iskola 2013 Ajánlás A fizika tanterv a Mozaik Kiadó kerettantervének kiegészített változata. Az átdolgozásnál

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 15. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 15. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Részletesebben

É Ő É É Á É Á Ü Ú ű Á ü Á ú ü ú ü Á Á Ú Ü ü ű ú ü ú Ü ű Ü ü ü ű ü ü ű ű ü ü ü ü ü ü ú ü ü ú ű ü ü ü ü ü ü ú Ü ü ü Á Ü ú ü ú ü ü ü ü ü ü ú ü Ú ú ü ü ü ü ú ú ű ú ü ü ú ű ü ü É ú ü ü ü ü ú Á ü ü É Á ü ü ü

Részletesebben

ÉRTÉKELÉS. Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzat Polgármesteri Hivatala részére végzett munkanap fényképezésről

ÉRTÉKELÉS. Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzat Polgármesteri Hivatala részére végzett munkanap fényképezésről ÉRTÉKELÉS Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzat Polgármesteri Hivatala részére végzett munkanap fényképezésről Készítette: B u d a p e s t, 2009. augusztus 03. A projekt az Európai Unió

Részletesebben

É ö ü ú ü ö ú ö ü ö ü ú ü ű ü ü ö ö ö ú ü ö ü ü ö ü ü ü ü ü Ü ü ö ú ü ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ü ö ö ú ö ü ö ü ö ö ö ú ö ö ö ö ú ú ö ü ö ü ú ü Ú É ö ö ö ö ö ú ö ű ö ű ö ú ö ö ú Ú ü ö ö ö ö

Részletesebben

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 51. ročník Fyzikálnej olympiády. Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 51.

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 51. ročník Fyzikálnej olympiády. Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 51. Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 51. ročník Fyzikálnej olympiády Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 51. évfolyam Az BB kategória 01. fordulójának feladatai (Archimédiász) (A

Részletesebben

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:

Részletesebben

Országos kompetenciamérés 2007 Feladatok és jellemzőik. matematika 10. évfolyam

Országos kompetenciamérés 2007 Feladatok és jellemzőik. matematika 10. évfolyam 2007 Országos kompetenciamérés 2007 Feladatok és jellemzőik matematika 10. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 2008 10. ÉVFOLYAM A KOMPETENCIAMÉRÉSEKRŐL 2007 májusában immár ötödik alkalommal került

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 18. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 18. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

ö ö ö ŕ ö Ź ű ö ú ŕ ö ö ô ű ö ú ü ú ö ű ö ô ű ö ú ů ü ô ö Ż ŕ ú ö ö ö ô ú ö ú ü ö ö ö ö ű ö ú ń ú ô ú ń ö ö ö ö ö ŕ ń ö ś ö ô ö ű ö ś ú ô ö ô ö ű ö ú ú ö ö ú Ć ś Ś ś ű ö ö ö ö ö ú ú ô ô ö ńů ö ú Ź ô ö

Részletesebben

Fizika az általános iskolák 7 8. évfolyama számára

Fizika az általános iskolák 7 8. évfolyama számára Fizika az általános iskolák 7 8. évfolyama számára A természettudományos kompetencia középpontjában a természetet és a természet működését megismerni igyekvő ember áll. A fizika tantárgy a természet működésének

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

Bolyai János Általános Iskola, Óvoda és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Fizika

Bolyai János Általános Iskola, Óvoda és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Fizika Bolyai János Általános Iskola, Óvoda és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 4032 Debrecen, Bolyai u. 29. sz. Tel.: (52) 420-377 Tel./fax: (52) 429-773 E-mail: bolyai@iskola.debrecen..hu 7 8. évfolyam A

Részletesebben

Matematika. 1-4. évfolyam. tantárgy 2013.

Matematika. 1-4. évfolyam. tantárgy 2013. Matematika tantárgy 1-4. évfolyam 2013. Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási,

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

Ł Ö ł ä 19/190 Ó É É ń ô ú Ś ú Ü Ö Ö ć ú łö ú ć Öł ü ú ú ć ú ä úä ú ú Ź ł ű Ö ú ć łö Ö łö ú łö đ ń ú Ö ś Ö ż Ö ć ź Ś Ę Ö ę ú Ť ć ć ô ż Ś Ö ł ę Ś Óż ü ć ä đ ł ä Ö Ö Ö ú ľ Ö ę ć Ú ż ü ř ń ć ú ü řő Ö ń ú

Részletesebben

Dr. Szász Gábor, Csuka Antal: A Mechanika oktatási módszerei különböz képzési formában

Dr. Szász Gábor, Csuka Antal: A Mechanika oktatási módszerei különböz képzési formában Dr. Szász Gábor, Csuka Antal: A Mechanika oktatási módszerei különböz képzési formában Tömör összefoglaló A szerzk BSc-szint mszaki mechanikát oktatnak a Gábor Dénes Fiskola (GDF) Mszaki Menedzser Szakán

Részletesebben

ł ł Ą Ą ł Ą ł ú ľ Ö ľ ő ľ ö ő ü ő ö ő ú ö ó ľ ő ő ő ó ó ú ľ Ö ő ü ľ ľ ö ö ö ö ľő ó ó ö ö ü ő ő Ĺ ó ö ö ú ó ő ü ö Ű ö ő ü ő ó ó ö Ť ľ Ĺ ö Ĺ ó ű ľ ľ ő ö ö ű ö Ĺ ö ö ő ü ö ń ő ľ ľ ö ý ť ö ó ó ó ű ő Ĺ ü ľ

Részletesebben

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok Iskolakultúra 005/10 Radnóti Katalin Általános Fizika Tanszék, TTK, ELTE Hogyan lehet eredményesen tanulni a fizika tantárgyat? Szinte közhelyszámba megy, hogy a fizika az egyik legkeésbé kedelt a tantárgyak

Részletesebben

Baranya megyei német családból származom, 1957-ben jöttem a fõvárosba, ahol sok mindennel próbálkoztam. Dolgoztam a rádiónál,

Baranya megyei német családból származom, 1957-ben jöttem a fõvárosba, ahol sok mindennel próbálkoztam. Dolgoztam a rádiónál, 66 Interjú NEM HAGYHATNAK MAGUNKRA BENNÜNKET Beszélgetés Kalász Mártonnal, a Magyar Írószövetség új elnökével Kérem, mondjon néhány szót az olvasóknak magáról, eddigi pályájáról. Baranya megyei német családból

Részletesebben

ĺ ľ É ĺ ö ľ ę ľ ĺ É Č ľ ł ĺ Ö Ö ö ö Ö Ü ĺ ľé ö ĺ ľ ö Í Ó Ó Ę Ú ľ ö ľ ö ĺ ł Í ĺ ĺĺ Ą ľ ĺĺłĺ Ą ö ĺ Ĺ Ü Íö Ü ĺ ö ł ö ű ö Ü ö Ü ö ń ĺ ö Ó Ą ą Í ń ö ö ű ö Ü ł Ö Ö ö Í ÓÜ Í Í Ö ĺ ń Í ĺ ł Ó Ü ö ö Ü ö Ú ĺ ö ű

Részletesebben

Kézipatika. az ország tetején. Beszélgetés Zorkóczy Ferenc háziorvossal, a mátraszentimrei kézigyógyszertár kezelôjével.

Kézipatika. az ország tetején. Beszélgetés Zorkóczy Ferenc háziorvossal, a mátraszentimrei kézigyógyszertár kezelôjével. Kézipatika az ország tetején Mátraszentimre Magyarország legmagasabban átlagosan 800 méteren fekvô önálló települése. Hivatalosan még öt települést foglal magában: Mátraszentistvánt és Mátraszentlászlót,

Részletesebben

Táncoló vízcseppek. Tartalomjegyzék. Bevezető

Táncoló vízcseppek. Tartalomjegyzék. Bevezető TUDEK 2013 Szerző: Veres Kincső Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Fizika kategória Felkészítő tanár: Szász Ágota Táncoló vízcseppek Tartalomjegyzék Bevezető... 1 1. Leidenfrost jelenség... 2

Részletesebben

Bírálat. Mastalir Ágnes: "Rétegszerkezetű és mezopórusos katalizátorok alkalmazása szerves kémiai reakciókban" című MTA doktori értekezéséről

Bírálat. Mastalir Ágnes: Rétegszerkezetű és mezopórusos katalizátorok alkalmazása szerves kémiai reakciókban című MTA doktori értekezéséről Bírálat Mastalir Ágnes: "Rétegszerkezetű és mezopórusos katalizátorok alkalmazása szerves kémiai reakciókban" című MTA doktori értekezéséről Mastalir Ágnes MTA doktori értekezésének terjedelme 157 oldal.

Részletesebben

A történelem érettségi a K-T-tengelyen Válasz Dupcsik Csaba és Repárszky Ildikó kritikájára. Kritika és válasz

A történelem érettségi a K-T-tengelyen Válasz Dupcsik Csaba és Repárszky Ildikó kritikájára. Kritika és válasz A történelem érettségi a K-T-tengelyen Válasz Dupcsik Csaba és Repárszky Ildikó kritikájára Kritika és válasz Érdeklődéssel olvastuk Repárszky Ildikó és Dupcsik Csaba elemzését a történelem érettségi szerkezetében

Részletesebben

Fizika tanterv a normál, kéttannyelvű és sportiskolai tantervi képzésben résztvevők számára 7 8.

Fizika tanterv a normál, kéttannyelvű és sportiskolai tantervi képzésben résztvevők számára 7 8. Fizika tanterv a normál, kéttannyelvű és sportiskolai tantervi képzésben résztvevők számára 7 8. A természettudományos kompetencia középpontjában a természetet és a természet működését megismerni igyekvő

Részletesebben