Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP A/1-11/

Átírás

1 ! Nugat-magarországi Egetem Armuth Miklós, Karácsoni Zsolt, Bodnár Miklós Statika Műszaki metaadatázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.1..A/1-11/

2 GSPulisherEngine tudasfelho.hu!! A pálázat keretein elül létrehoztunk eg speciális, felhő alapú adatázist, tudásfelhő néven, ami egmástól függetlenül is értelmes tudásmorzsákól építkezik. Ezekől az elemi építőkövekől lehet felépíteni eg-eg órai tananagot, vag akár eg tantárg teles egzetét. A létreött tananagokat a program online fordíta le eg adott eszközre, íg a tananagok optimálisan tudnak megelenni a diákok okostelefonán, vag akár eg nag előadó kivetítőén is. A proekten résztvevő oktatók a saát maguk által felesztett, létrehozott tananagokat feltöltötték a felhő alapú adatázisa. A felhasznált anagok minden eleme mindig magával GSPulisherEngine viszi az eredetileg megadott metaadatokat (pl. fénkép készítőe), íg a felhasználás során a hivatkozás automatikussá válik.! Ma nagon sok oktatási kísérlet zalik a világan, de még nem látszik pontosan, hog a fordított osztál (flipped classroom) vag a MOOC (massive open online courses) nílt videó anagai elentik a árható utat. Az azonan mindenki számára világos, hog változtatni kell a megszokott módszereken. A kidolgozott tudásfelhő keretrendszer egszerre képes kezelni az egéni tanulási utakat, de akár ki tud szolgálni tö ezer hallgatót is egszerre.! Minden oktató a saát elátása szerint tuda alkalmazni, használni, alakítani az adatázisát, valamint szaadon használhata a mások által feltöltött tanagag elemeket anélkül, hog a hivatkozásra külön hangsúlt kellene fektetnie. Az eges elemekől összeállított egzetek akár személre szahatók, ha pontosan ehatárolható a célcsoport tudásszinte.! Az elkészült tananagok nem statikus, nomtatott (PDF) egzetek, hanem eg állandóan változó, változtatható képekől, videókól és 3D modellekől felépített dinamikus rendszer. Az oktatók az ipar által megkövetelt legmoderne technológiákat naprakészen tudák eépíteni a tudásfelhően tárolt dinamikus egzeteike anélkül, hog ú PDF egzetet kellene kiadni. Ez az online rendszer iztosíta a tananagoknak és magának az oktatásnak a fenntarthatóságát is.! A dinamikus, metaadat struktúrára épülő tananagainknak een a egzeten, csak eg pillanatfelvétele, lenomata tud megelenni. A videóknak, az interaktív és 3D struktúráknak, valamint a frissülő tartalmaknak a megelenítésére íg nincsen lehetőségünk.! Az e-learning nem feleslegessé teszi a tanárokat, hanem lehetővé teszi számukra, hog úg foglalkozhassanak a diákaikkal, ahog a mai, felgorsult világ megköveteli.

3 1. Bevezetés, alapfogalmak 1.1. Erő Az erő nem definiálható, fizikai-tapasztalati alapfogalom. Az erő két különöző test egmásra gakorolt hatásaként tapasztalható, melnek során megváltozik vag megváltozhat a test(ek) mozgásállapota. (Például ha eg mozgásan lévő testet megállítunk vag eg nugaloman lévő testet mozgása hozunk, akkor erőt fetünk ki.) Az erő vektormenniség, amit - nagsága ami az erőegséghez viszonított aszolút szám - irána ami az erő hatásvonalával, egenesével párhuzamos egenes - értelme amit az erő iránáan felvett níl határoz meg - támadásponta ellemez. Az erő hatásvonala mentén tetszőlegesen eltolható. Az erő a hatásvonala mentén árhol tetszőleges iránú vetületekre ontható fel. kg m N. s Az erő mértékegsége: Newton [ ] 1. ára: Az erő ellemzői Két test mindig eg felület mentén érintkezik egmással. Az egmásra kifetett erőhatás e felületen adódik át ha ez a felület kicsi, akkor ó közelítéssel pontnak, pontszerűnek tekinthető, és az erőt koncentrált erőnek (F [kn]), ellenkező eseten megoszló erőnek (vonal (q [kn/m]), felület (q [kn/m ]) vag térfogat (q [kn/m 3 ]) mentén megoszló) nevezzük. A műszaki, mérnöki gakorlatan a nehézségi erő a legfontosa. Ha egideűleg tö erő is hat eg testre, akkor azt erőrendszernek nevezzük. Ha az erőrendszer erői (hatásvonalai) eg síka esnek, akkor síkeli erőrendszerről eszélünk. Ha az erőrendszer erőinek hatásvonalára nem lehet eg síkot ráfektetni, akkor téreli erőrendszerről eszélünk. 1.. Statika feladata A statika feladata egrészről megállapítani azt a legegszerű erőrendszert, amivel eg adott erőrendszer helettesíthető ez az eredő meghatározás. Másrészről az a feladat, hog eg 1

4 adott testet kiegensúlozzunk, meghatározzuk azokat a feltételeket, amelek mellett a test nugaloman marad Egensúl Ha eg nugaloman lévő, merevnek tekintett test a reá működő erők hatására nugaloman marad, akkor azt monduk, hog a testre ható erők egensúlan vannak, azaz a test egensúlan van Alaptételek, aiómák I. Két erő akkor és csak akkor van egensúlan, ha az a két erő közös hatásvonalú, egenlő nagságú és ellentétes értelmű. II. Három erő akkor és csak akkor van egensúlan, ha hatásvonalaik eg síkan vannak, a hatásvonalaik eg közös pontan metszik egmást és a vektorháromszög foltonos nílfolammal záródik. III. Egensúlan lévő erőrendszer esetén nem változik meg az egensúl, ha az adott erőrendszerhez(től) hozzáadunk vag elveszünk eg önmagáan egensúlan lévő erőrendszert. IV. Két test egmásra kifetett erőhatása párosával egenlő nagságú, közös hatásvonalú és ellentétes értelmű (Newton féle akció-reakció, hatás-ellenhatás törvéne) Nomaték (síkeli erőrendszer esetén) Adott erő adott pontra vett nomatéka alatt az erő nagságának és az erőkarnak a szorzatát értük, ahol az erőkar alatt adott erő hatásvonalának (egenesnek) adott ponttól mért távolságát értük. A nomaték mértékegsége: [ kn m] vag [ N m]. A nomaték értelmezhető úg is, mint eg erőpár, ahol a két erő nagsága azonos, hatásvonalaik párhuzamosak, de ellentétes értelműek és nem esnek eg egenese. Ennek az erőpárnak íg erőhatása nincs, csak forgatóhatása. A nomaték meghatározásához szükséges erőkar leolvasása (. ára) a következő elgondolás szerint történik: az adott pontól (amire a nomatékot felíruk) merőlegest állítunk az adott erő hatásvonalára a merőleges egenes hossza az erőkar nagsága!

5 . ára: A nomaték számításához szükséges erőkar fogalma, meghatározása A feladatok megoldására két lehetőség van: a számító és a szerkesztő elárás. Vetületi tétel: eg erőrendszer eges elemeinek tetszőleges iránra vett előelheles vetületösszege egenlő uganazon erőrendszer helettesítő (eredő) ereének uganazon irán szerinti vetületével. Nomatéki tétel (síkeli erőrendszerek esetére): eg erőrendszer eges elemeinek adott pontra vett előelheles nomatékösszege megegezik uganazon erőrendszer helettesítő (eredő) ereének uganazon pontra vett nomatékával. 3

6 1. Síkeli közös metszéspontú erőrendszerek A feezeten olan erőrendszerekkel foglalkozunk, ahol az erőrendszer valamenni elemének hatásvonala uganaan a pontan metszi egmást Síkeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helettesítő) ereének a meghatározása E témakören olan eseteket vizsgálunk, amikor adott eg erőrendszer valamenni eleme (nagsága és irána) és eg viszonítási koordinátarendszer (ez a viszonítási koordináta rendszer a példákan adott, de tudni kell, hog tetszőlegesen felvehető ármilen elhelezkedéssel). A feladat ilenkor a következő: meghatározni az erőrendszer helettesítő, azaz eredő ereét. Ki kell számolni az eredő erő nagságát, meg kell határozni az eredő erő hatásvonalának iránát a viszonítási koordinátarendszerhez képest. E két adat meghatározásáól áll az eredő erő számítása közös metszéspontú erőrendszer esetéen! példa Adott a 1. ára szerinti - viszonítási koordináta rendszer, F 1 és F erők. A viszonítási koordináta rendszer középpontához csatlakozik két rúd. Egik rudat az F 1, a másik rudat F nagságú és értelmű erő terheli. Határozzuk meg az erőrendszer eredőét! 1. ára: Közös metszéspontú erőrendszer eredőe Megoldás számítással vetületi tétel alkalmazása: iránú vetületi egenletet írunk fel, azaz összegezzük előelhelesen az erőrendszer minden olan elemét, amelnek hatásvonala párhuzamos az tengellel: F F1 F [kN] Az egenlőségen az F 1 erő pozitív előellel szerepel, mivel F 1 irána egeesik a viszonítási koordinátarendszer pozitív iránával, míg az F erő negatív előellel szerepel, mivel irána ellentétes a viszonítási koordinátarendszer pozitív iránával. Az eredmén szerint az erőrendszer eredőének nagsága 40 [N], hatásvonala egeesik az eges elemek hatásvonalával, míg irána ellentétes a viszonítási koordinátarendszer pozitív iránával. Az eredmén feltüntetése helesen: F R 40[kN]( ). Az eredménül kapott erő előele mindig az erő iránára utal a viszonítási koordináta rendszer adott pozitív iránához képest! 1

7 Megoldás szerkesztéssel: először felvesszük a léptéket (. ára) ezt mindig az erők nagságának és elhelezkedésének a figelemevételével tesszük meg. Ezután eg tetszőlegesen választott P pontól az F 1 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F 1 erő értelmével megegező iránan. Az egenes hossza a léptéknek megfelelően 6 cm (3. ára).. ára: Lépték felvétele - az erők nagságának és elhelezkedésének figelemevételével 3. ára: F 1 erő nagságának megfelelő hosszú egenes Ezt követően az F 1 erő végpontáól az F erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F erő értelmével megegező iránan (4. ára). 4. ára: F erő nagságának megfelelő hosszú egenes Az eredő erő támadásponta a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F 1 erő támadásponta. A helettesítő erő végponta pedig az utolsónak felvett F végpontával egezik meg. Ezt a két pontot összekötve kapuk meg az erőrendszer eredőét (5. ára). 5. ára: Eredő erő meghatározása - egenes húzása P pontól F végpontáa

8 A eredő erőnek megfelelő egenes ( P, F végponta ) hosszát leolvassuk, és a léptéknek megfelelően feltüntetük az eredő erő nagságát. Jelen eseten az egenes hossza 4 cm, ami 40 [N] nak felel meg. A szerkesztésől adódóan az eredő erő hatásvonala párhuzamos a viszonítási koordinátarendszer tengelével. Az eredő erő értelme az áráról leolvasható, a szerkesztésől adódik példa Adott (6. ára) eg közös metszéspontú erőrendszer öt eleme, a nagság és az irán. Adott F 1 18 [kn], F 16 [kn], F 3 11 [kn], F 4 5 [kn], F 5 19 [kn] és α 1 [ ], α 0 [ ], α 3 8 [ ], α 4 3 [ ], α 5 14 [ ]. A közös metszéspont a viszonítási koordináta rendszer középponta. Határozzuk meg az erőrendszer eredőét! Megoldás számítással vetületi tétel alkalmazása: iránú vetületi egenletet írunk fel, azaz összegezzük előelhelesen az erőrendszer minden olan elemét vag elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelek hatásvonala párhuzamos az tengellel F F F cos 1 81 cos 1 + F + F 3 F 4 F 5 ( α1) + F cos( α ) + F3 cos( 90 - α3 ) F4 cos( α 4 ) F5 cos( 90 - α5 ) ( ) + 61 cos( 0 ) + 1 cos( 90-8 ) 5 cos( 3 ) 91 cos( ) 11,09[kN] 6. ára: Közös metszéspontú erőrendszer eredőének meghatározása Az eredmén szerint az erőrendszer eredőének tengelre vett vetületének nagsága 11,09 [kn], hatásvonala párhuzamos az tengellel, értelme megegezik a viszonítási koordinátatengel pozitív értelmével. Az eredmén feltüntetése helesen: 3

9 F FR 11,09[kN]( ). iránú vetületi egenletet írunk fel, azaz összegezzük előelhelesen az erőrendszer minden olan elemét vag elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelek hatásvonala párhuzamos az tengellel F F F sin 1 81 sin 1 + F + F 3 + F 4 F 5 ( α1) + F sin( α ) + F3 sin( 90 - α3 ) + F4 sin( α4 ) F5 sin( 90 - α5 ) ( ) + 61 sin( 0 ) + 1 sin( 90-8 ) + 5 sin( 3 ) 91 sin( ) 3,5[kN] Az eredmén szerint az erőrendszer eredőének tengelre vett vetületének nagsága 3,5 [kn], párhuzamos az tengellel, értelme ellentétes a viszonítási koordinátatengel pozitív értelmével. Az eredmén feltüntetése helesen: F FR 3,5[kN]( ). Az eredő erő nagságát a következők szerint kapuk meg: F F + F 11,09 + 3,5 11,56 [kn]. R R R A következő lépés az eredő erő, helzetének megadása a viszonítási koordináta rendszeren hogan helezkedik el az eredő erő a viszonítási koordináta rendszer tengeleihez képest. Azt szeretnénk megtudni, hog az eredő erő hatásvonala mekkora szöget zár e a viszonítási koordinátarendszer tengeleivel. A 7. ára elöléseit használva a vízszintessel ezárt szög legen α. Meghatározása valamel szögfüggvén alkalmazásával történik.. 7. ára: Az eredő erő helzete a viszonítási koordináta rendszeren F α arcsin F R R F arccos F F arctan F 11,09 3,5 11,09 arcsin arccos arctan 11,56 11,56 3,5 R R R R ][7,37 A harmadik lépés az eredő erő helének a meghatározása, azonan közös metszéspontú erőrendszereknél ez egértelmű az eredő erő hatásvonala is az eddigi közös metszésponton meg át. Megoldás szerkesztéssel: először felvesszük a léptéket (8. ára) ezt mindig az erők nagságának és elhelezkedésének a figelemevételével tesszük meg.. 4

10 8. ára: Lépték felvétele - az erők nagságának és elhelezkedésének figelemevételével Következő lépés: eg tetszőlegesen választott P pontól az F 1 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F 1 erő értelmével megegező iránan. Az egenes hossza a léptéknek megfelelően 3,6 [cm] (9. ára). 9. ára: F1 erő nagságának megfelelő hosszú egenes Következő lépés: az F 1 erő végpontáól az F erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F erő értelmével megegező iránan (10. ára). 10. ára: F erő nagságának megfelelő hosszú egenes Következő lépés: az F erő végpontáól az F 3 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F 3 erő értelmével megegező iránan (11. ára). 11. ára: F 3 erő nagságának megfelelő hosszú egenes Következő lépés: az F 3 erő végpontáól az F 4 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F 4 erő értelmével megegező iránan (1. ára). 5

11 1. ára: F 4 erő nagságának megfelelő hosszú egenes Következő lépés: az F 4 erő végpontáól az F 5 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F 5 erő értelmével megegező iránan (13. ára). 13. ára: F 5 erő nagságának megfelelő hosszú egenes Az eredő erő támadásponta a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F 1 erő támadásponta. A helettesítő erő végponta pedig az utolsónak felvett F 5 erő végpontával egezik meg. Ezt a két pontot összekötve kapuk meg az erőrendszer eredőét (14. ára). Az eredő erőnek megfelelő egenes ( P, F 5 végponta ) hosszát leolvassuk, és a léptéknek megfelelően feltüntetük az eredő erő nagságát. Jelen eseten az egenes hossza,31 [cm], ami 11,55 [kn] nak felel meg. Az eredő erő irána leolvasható (14. ára), a szerkesztésől adódik. A 15. ára mutata meg pontosan az eredőnek a viszonítási koordinátarendszer tengeleivel ezárt szögét. 6

12 14. ára: Eredő erő meghatározása - egenes húzása P pontól F 5 végpontáa 15. ára: Az eredő erő helzete a viszonítási koordinátarendszeren Az eredő erő hele pedig egértelmű, a támadáspont a közös metszéspontan lesz. 1.. Síkeli közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása Kiegensúlozási feladatok esetéen a tartószerkezetekre ható erőrendszer eredőe nulla máskülönen nem lenne egensúlan. Az erőrendszert a megadott külső erők és a kénszereknél éredő ismeretlen kénszer (reakció vag támasz) erők alkoták. A kénszereknél éredő reakcióerők tarták egensúlan az adott szerkezetet. Ezért hívuk kiegensúlozásnak ezt a típusú feladatot, mert kiszámoluk, hog a támaszoknál fellépő erőknek mekkora nagságúnak és milen iránúnak kell lenni, hog a tartószerkezet ne mozdulon el, azaz egensúlan legen. E témakören olan egszerű eseteket vizsgálunk, amikor adott eg külső terhelő erő, és meg kell határozni a támaszoknál (kénszereknél) éredő reakció (támasz vag kénszererőket) erőket. A közös metszéspontú erőrendszer ellegzetessége, hog az adott külső erők és a támaszerők hatásvonalai eg adott pontan metszik egmást. A feladat megoldásához itt is célszerű felvenni eg viszonítási koordináta rendszert, amit avasolt az erőrendszer közös metszéspontáan elhelezni. A feladat ilenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiánzó elemeit, azaz a támaszoknál éredő ismeretlen reakcióerőket, a nagságukat az iránuk (hatásvonal, értelem) adódik! 7

13 A szerkesztő elárás során hasonlóan árunk el mint eredő erő szerkesztésekor. A lépték felvétele után az ismert erőt felmérük, mad annak támadás- és végpontáan párhuzamosokat húzunk az ismeretlen nagságú, de ismert hatásvonalú erőkkel példa: Adott a 16. ára szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok hele (a3 [m], [m], c4 [m]) és a C csuklót terhelő F34 [kn] koncentrált erő. Határozzuk meg a támaszoknál fellépő reakcióerőket! 16. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása - daruszerkezet A számító elárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagságukat és iránukat (értelmüket), meg kell ecsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példáan: az A és B csuklóknál fellépő reakciók nagságát F A -nak és F B -nek feltételezzük. Az iránuk: mivel az AC és BC tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerkezeti elemen nincs erő (önsúltól eltekintünk) ez azt elenti, hog een a két tartószerkezeti elemen rúdiránú erők lépnek fel. Azaz: két végén terhelt, csuklós rudakan csak rúdiránú erő éred! Amiől következik, hog ezek a tartószerkezeti elemek rúdiránan akarnak elmozdulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarák megakadálozni. Azaz az ismeretlen támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hossztengelével, a kérdés csak az értelmük. Ha azt nem tuduk kikövetkeztetni a külső ható erőkől és a tartószerkezet elrendezéséől, akkor feltételeznünk kell (17. ára)! A következő lépésen a vetületi egenleteket használuk fel, amit egensúlozási feladatok megoldása során vetületi egensúli egenleteknek nevezünk. Az egenlőség egik oldalán az erőrendszer valamenni, ismert és ismeretlen elemének összegezzük előelhelesen a viszonítási koordinátarendszerrel párhuzamos komponenseit, és ezeket egenlővé tesszük nullával. Uganis ha az erőrendszer ere- 8

14 R R R dőe nulla, akkor F F + F 0 egenlőség csak úg lehet igaz, ha az eredő erő viszonítási tengelre vett komponensei külön-külön egenlők nullával. 17. ára: Támaszerők nagságának és értelmének a feltételezése ( α) + F cos( β) F 0 FA cos B és ( α) + F sin( β) F F 0 FA sin B. Elői két egenleten két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hog a két egenletől álló kétismeretlenes egenletrendszert megolduk. Az α és β szögek meghatározása: c 4 α arctan arctan 38,66 ][ és a c 4 β arctan arctan 63,43 ][. Behelettesítés a vetületi egenleteke: ( α) + F cos( β) F cos( 38,66 ) + F cos( ) F 0 FA cos B A B 63,43 és F 0 F A sin Az első egenletől: F FB cos cos ( 63,43 ) ( 38,66 ) A, ( α) + F sin( β) F F sin( 38,66 ) + F sin( 63,43 ) 43 mad ehelettesítve második egenlete: B A B 9

15 FB cos 0 cos F B cos cos ( 63,43 ) ( 38,66 ) ( 63,43 ) ( 38,66 ) sin sin ( 38,66 ) + F sin( 63,43 ) B ( 38,66 ) + sin( 63,43 ) F B 63,37 cos( 63,43 ) sin( 38,66 ) + sin( 63,43 ) cos( 38,66 ) Visszahelettesítés után F A -ra a következőt kapuk: F FB cos cos ( 63,43 ) ( 38,66 ) 63,37 cos cos( 63,43 ) ( 38,66 ) A 36,3 43, ahonnan [ kn] [ kn] Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagsága F A 36,3 [ kn] és F B 63,37[ kn]... Az F B kénszererőnek feltételezett értelem heles volt, mivel pozitív értéket kaptunk. Azonan az F a támasznál feltételezett támaszerőnek az előele negatív, ami annit elent, hog az ismeretlen értelmű erőnek a feltételezett irán nem volt ó! A valós értelme az erőnek éppen ellentétes (18. ára). 18. ára: Az ismeretlen támaszerők nagsága és értelme helesen árázolva A szerkesztő elárás során hasonlóan árunk el mint az eredő erő meghatározása esetéen. Azzal a különséggel, hog kiegensúlozási példák esetéen a léptékhelesen felvett erőknek nílfoltonosan záródniuk kell, hiszen az eredő erő nulla. Jelen példáan első lépésként felvesszük a léptéket (19. ára). 19. ára: Lépték felvétele - az erők nagságának és elhelezkedésének figelemevételével 10

16 A következő lépés, hog az ismert ható erőt, az F koncentrált erőt léptékhelesen felvesszük (0. ára). 0. ára: Ható külső erő felvétele léptékhelesen A számolási megoldásnál már kifetettük, hog a támaszoknál miért csak a tartószerkezeti elemek (AC és BC elemek) hossztengelével párhuzamos hatásvonalú erők érednek. Ha ezt eláttuk, akkor a szerkesztő elárás következő lépése, hog párhuzamost húzunk a már felvett F koncentrált erő támadáspontán át az AC tartószerkezeti elem hossztengelével (1. ára). Ezután az F koncentrált erő végpontán át a BC tartószerkezeti elem hossztengelével húzunk párhuzamost (. ára). 1. ára: Párhuzamos az AC elem hossztengelével az F erő támadáspontán keresztül 11

17 . ára: Párhuzamos a BC elem hossztengelével az F erő végpontán keresztül Következőként a két párhuzamost meghosszaítuk, hog metsszék egmást (3. ára). A metszéspont foga meghatározni a csuklóknál éredő reakcióerők nagságát és értelmét. A nagságot a felvett lépték alapán határozhatuk meg, míg a támaszerők értelme adódik, hiszen foltonos nílfolammal kell záródnia a vektorsokszögnek (3. ára). 1

18 3. ára: A reakcióerők nagsága és értelme a szerkesztő elárásól Eg harmadik megoldási lehetőség, hog az elői vektor-háromszöget nem léptékhelesen, hanem csak vázlatosan vesszük fel (4. ára). Een az eseten a vektorok irána, azaz az általános háromszög első szögei és egik oldala (F erő) ismert. A feladat, hog a háromszög ismeretlen oldalainak a hosszát trigonometrikus összefüggések felhasználásával kiszámítsuk. 13

19 4. ára: A közös metszéspontú erőrendszer elemeiől felvett vektorháromszög vázlata A sinustétel alkalmazása: sin F F A ( β α) sin( 90 β) sin( 90 α) F B, amiől külön-külön kife- + ezhetük az F A és F B ismeretleneket. Eredménül az elői két módszerhez hasonlóan F A 36,3 [kn] t és F B 63,36 [kn]-t kapunk példa: Adott a 5. ára szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok hele (a4 [m],,5 [m], c4,5 [m]) és a C csuklót terhelő F7 [kn] koncentrált erő. Feladat, hog meghatározzuk az A és B csuklóknál fellépő támaszerőket! Feltételeznünk kell az ismeretlen reakció erők nagságát és értelmét (6. ára)! A hatásvonaluk ismert, mivel az AC és BC tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül éri terhelés. Íg ezek az elemek hossztengelükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni. Ezt az elmozdulást akadálozzák meg a támaszoknál fellépő kénszererők, amik hatásvonala íg az AC és BC tartószerkezeti elemek hossztengelével párhuzamos. 14

20 5. ára: Közös metszéspontú erőrendszer 6. ára: Reakció erők nagságának és értelmének a feltételezése Következő lépésként célszerű felvenni a viszonítási koordinátarendszert, és elhelezni aa a ponta, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egmást elen eseten ez a C pont. Uganekkor feltüntetük a két tartószerkezeti elem hossztengelének (azaz a feltételezett reakcióerők hatásvonalának is egen) a viszonítási koordinátarendszer tengeleivel ezárt szögeit (7. ára). Ezután kezdhetük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítuk a 4 a 4 ki: α arctan arctan 58[] és β arctan arctan 41,63[].,5 c 4,5 Következő lépésen írhatuk fel a vetületi egensúli egenleteket: ΣF 0 F cos( α) + F cos( β) és ΣF 0 F sin( α) + F sin( β) F A B A B 15

21 7. ára: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonítási koordinátarendszer tengeleinek a ezárt szöge A kér egenletől álló két ismeretlenes (F A, F B ) egenletrendszer megoldása után a következőket kapuk eredménül a reakcióerőkre: F A 0,47[ kn] és F B 14,51[ kn]. Ezek a reakció erők nagsága. Mivel az egenletrendszer megoldásáól pozitív értékeket kaptunk megoldásul, ez annit elent, hog a támaszerőknek feltételezett értelem heles volt, azok megfelelnek a 7. ára szerint feltüntetettnek. A szerkesztő elárást a lépték felvételével kezdük (8. ára). 8. ára: Lépték felvétele a szerkesztő eláráshoz Következő lépésként az ismert F koncentrált erőt mérük fel (9. ára). 9. ára: Szerkesztő elárás - F koncentrált erő felmérése 16

22 Ezután az AC tartószerkezeti elem hossztengelével húzunk párhuzamost a F erő támadáspontán át (30. ára), mad a BC tartószerkezeti elem hossztengelével húzunk párhuzamost az F erő végpontán át (31. ára). 30. ára: Szerkesztő elárás - párhuzamos az A csuklónál éredő támaszerő hatásvonalával 31. ára: Szerkesztő elárás - párhuzamos a B támasznál éredő kénszererő hatásvonalával A két párhuzamost meghosszaítuk, hog metsszék egmást, íg megkaptuk az erőrendszer elemeinek a vektorháromszögét - az ismeretlen reakcióerők nagságát a felvett lépték segítségével olvashatuk le (3. ára). A támaszerők értelme pedig adódik aól, hog az erőrendszer elemeinek foltonos nílértelemmel kell záródniuk a vektorháromszögen. A feladatot megoldhatuk úg is, hog az erőrendszer elemeinek hatásvonalait vázlatszerűen razoluk meg. Een az eseten a háromszög első szögeinek és egik oldalának az ismeretéen trigonometrikus összefüggések felhasználásával számolhatuk ki az ismeretlen reakcióerőket. 17

23 3. ára: Szerkesztő elárás - reakcióerők leolvasása a lépték ismeretéen a vektorháromszögről példa: Adott a 33. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, ami egik végén eg csuklóval (A pont), másik végén eg görgővel (B pont) van megtámasztva. F 17 [kn], a 1 [m], α 1 50 [ ] és α 30 [ ]. Határozzuk meg a támaszerőket! 33. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása 34. ára: A viszonítási koordinátarendszer elhelezése a közös metszéspontan, reakcióerők nagságának és iránának feltételezése Az erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az A és B ismeretlen támaszerők. Ennek a három erőnek kell egensúlan lennie. Három erő egensúlának a feltétele, hog ha- 18

24 tásvonalaiknak eg pontan kell metszeniük egmást és a vektorsokszögnek foltonos nílértelemmel kell záródnia. A vetületi egenleteknek egenként zérussal kell egenlőnek lennie. Sinus tételől: Cosinus tételől: c sin sin( α ) ( 180 α ( 90 α )) 1 sin sin ( 50 ) ( 70 ) 1 1,63[m] ( 4a) + ( 4a) cos( 90 α1) ( 4 1) + 1,63 ( 4 1) 1,63 cos( ) 3,48[m] c + ( 4a) 3,48 + ( 4 1) 1,63 β arccos arccos c ( 4a) 3,48 ( 4 1) Cosinus tételől: és iránú vetületi egensúli egenletek: F cos( α1) + A cos( β) B cos( 90 - α ) ( 50 ) + A cos( 3,9 ) B cos( ) ΣF 0 17 cos 17 sin F sin( α1) + A sin( β) + B sin( 90 α ) ( 50 ) + A sin( 3,9 ) + B sin( ) ΣF 0 A két egenletől álló két-ismeretlenes egenletrendszer megoldása A-ra és B-re: A 16,07 [kn] és 7,53 [kn]. ][9, 3 Mivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek feltételezett értelmek helesek! példa: Adott a 35. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva. F 3 [kn], a [m] és α40 [ ]. Határozzuk meg a támaszerőket! 35. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása 19

25 36. ára: A viszonítási koordinátarendszer elhelezése a közös metszéspontan, reakcióerők nagságának és iránának feltételezése és iránú vetületi egensúli egenlet: ( α) + A sin( α) 3 sin( 40 ) + A sin( ) ΣF 0 F sin 40 A -3. Ez azt elenti, hog az A támaszerő nagsága 3 [kn], irána azonan ellentétes azzal, amit feltételeztünk (Hia! A hivatkozási forrás nem található.). 37. ára: Rosszul feltételezett A reakcióerő iránának avítása iránú vetületi egensúli egenlet: ΣF ( α) A cos( α) B 3 cos( 40 ) 3 cos( 40 ) B 0 F cos B -35,4. Ez azt elenti, hog az B támaszerő nagsága 35,4 [kn], irána azonan ellentétes azzal, amit feltételeztünk (38. ára). 0

26 38. ára: Rosszul feltételezett B reakcióerő iránának avítása példa Adott a 39. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva. F 40 [kn], a 3 [m], 1 [m] és α60 [ ]. Határozzuk meg a támaszerőket! 39. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása Megoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakcióerők alkoták három erő összesen. Az egensúl feltétele, hog ennek a három erőnek a hatásvonala eg pontan metssze egmást. A B pontan a támaszerő hatásvonalának az irána ismert, mivel a BC tartószerkezeti elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. A B ismeretlen erő nagságát és értelmét veszszük fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszaítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával (40. ára). Ezen a ponton kell az A támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az egensúl feltételének a telesítéséhez. Een az eseten az előző példákhoz hasonlóan - a sinus 1

27 és cosinus tétel felhasználásával tuduk kiszámolni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egensúli egenletek felírásához kellenek. 40. ára: Támaszerő értelmének feltételezése, mad hatásvonalának meghosszaítása az F erő hatásvonaláig Ehelett a nomatéki tételt használuk fel az ismeretlen kénszererők kiszámításához. Mivel a tartószerkezetre ható erőrendszer eredőe zérus, íg az erőrendszer eges elemeinek nomatékösszege a tartó (a sík) ármel pontára nézve nullának kell lenni. Nincs más teendőnk, mint kiválasztani eg olan pontát a tartónak, amelen lehetőség szerint átmeg valamelik ismeretlen erő hatásvonala íg lehet a nomatéki egensúli egenleten az ismeretleneket a minimálisra csökkenteni. Jelen példáan felvesszük elő az A, A, B, B ismeretlen nagságú és iránú erőket (41. ára), mad az A pontra alkalmazzuk a nomatéki tételt, felíruk a nomatéki egensúli egenletet. Az egenlet felírásához nemcsak eg viszonítási koordinátarendszert, hanem eg viszonítási forgatási iránt is célszerű felvenni (41. ára)!

28 41. ára: Ismeretlen reakcióerők felvétele a nomatéki egenlethez a ΣMA 0 F (a + ) + B F (a + ) + B a sinα F (a + ) 40 (3+ 1) B 53,33[ kn] a 3. 3

29 1. Síkeli párhuzamos erőrendszerek Een a témakören olan erőrendszereket vizsgálunk meleken valamenni erő hatásvonala párhuzamos egmással. Ahog a közös metszéspontú erőrendszereknél, itt is kéttípusú példákkal találkozhatunk eredő erő számítással és kiegensúlozással Síkeli párhuzamos erőrendszer eredő ereének meghatározása A feladat, hog az erőrendszer eredőének a nagságát, helzetét és helét meghatározzuk a viszonítási koordináta rendszeren. A számító elárás során a viszonítási koordinátarendszert vesszük fel elsőnek. Ezt célszerű úg megtenni, hog valamelik koordináta tengelt párhuzamosnak választuk az erőrendszer elemeinek a hatásvonalával. Az eredő nagságának meghatározásához a vetületi egenletet használuk fel, helzete egértelmű, helének megadásához pedig a nomatéki tételt foguk használni példa Adott (1. ára) eg párhuzamos erőrendszer három eleme és elhelezkedésük a viszonításimkoordináta rendszeren. Megoldás számítással vetületi tétel alkalmazása: iránú vetületi egenletet írunk fel, azaz összegezzük előelhelesen az erőrendszer valamenni elemét ΣF F1 F + F [kN]. Az eredő erő nagsága tehát F R 41 [kn]. Helzete egértelmű, párhuzamos az erőrendszer eges elemeinek a hatásvonalával. Értelme megegezik a viszonítási koordinátarendszer tengelének pozitív értelmével, mivel a vetületi egenletől pozitív számot kaptunk. 1. ára: Párhuzamos erőrendszer eredőének meghatározása 1

30 Az eredő helét kell meghatározni még a viszonítási koordinátarendszeren. Ehhez a nomatéki tételt alkalmazzuk, miszerint eg erőrendszer eredőének adott pontra vett nomatéka meg kell, hog egezzen az erőrendszer eges elemeinek uganazon pontra vett nomatékösszegével. Az adott pontot célszerű a felvett viszonítási koordinátarendszer középpontának választani, illetve eg viszonítási forgatási iránt is célszerű felvenni elen példáan a pozitív forgatási irán az óramutató árásával ellentétes iránnak felel meg (. ára).. ára: Párhuzamos erőrendszer eredő ereének a meghatározása - nomatéki tétel felírása az eredő helének a számításához ΣM 0 FR k R F1 k1 F k + F3 k 3. Amennien minden ismert adatot ehelettesítünk az egenlete, akkor csak a kr lesz ismeretlen, ami nem más, mint az eredő erő hatásvonalának távolsága a viszonítási koordinátarendszer tengelétől. ΣM 0 R 14 k 3,1910, + 80,3. Az egenlőségől, ha kifeezzük a k R -t, a következőt kapuk: k R,06[m]. Megoldás szerkesztéssel. Az áttekinthetőség miatt az erőket egmás mellett razoluk. Első lépésként felvesszük a léptéket (3. ára). 3. ára: Lépték felvétele - az erők nagságának és elhelezkedésének figelemevételével Ezután a léptéknek megfelelően tetszőleges helre felmérük az F 1 erőt (4. ára).

31 4. ára: Eredő erő szerkesztése - F 1 erő felvétele Következő lépésként az F 1 erő végpontáól az F erőt mérük fel léptékhelesen (5. ára), mad az F erő végpontáól az F 3 erőt (6. ára). 5. ára: Eredő erő szerkesztése - F erő felvétele Az eredő erő nagságát az F 1 erő támadáspontáól az F 3 erő végpontáa húzott egenes leolvasása után kapuk meg (7. ára). Az eredő erő helzete, irána adódik a szerkesztésől. Meg kell még határozni, hog a felvett viszonítási koordinátarendszeren hol helezkedik el az eredő erő. 6. ára: Eredő erő szerkesztése - F 3 erő felvétele 3

32 7. ára: Eredő erő szerkesztése - eredő erő leolvasása Az eredő erő helzetének a kiszerkesztéséhez a vektor- és kötélsokszög szerkesztést használuk. Először is úa léptéket veszünk fel a távolságok felméréséhez (8. ára). 8. ára: Lépték felvétele a távolságok felméréséhez A (9. ára) szerint a léptéknek megfelelően felvesszük az erőket a viszonítási koordinátarendszeren. Az árát kiegészítük a o oldalán a már megismert vektorsokszöggel, ami mellé tetszőleges helre eg P pontot veszünk fel, amit póluspontnak nevezünk (10. ára). Fontos, hog a póluspontnak a hele nem efolásola a végeredmént, ezért vehetük fel tetszőleges helre. Következő lépéseken az erőrendszer eges elemeit úgnevezett segéderőkkel felontuk, helettesítük őket. Ehhez a P póluspontot használuk fel. Először az F 1 erőt ontuk fel/helettesítük S 1 és S segéderőkkel (11. ára), azaz F 1 erő az S 1 és S eredőeként fogható fel. 4

33 9. ára: Erőrendszer elemeinek léptékarános felvétele a viszonítási koordinátarendszeren 10. ára: A vektorára és a póluspont felvétele Következő lépésen az F erőt ontuk fel, anni megkötéssel, hog az egik összetevő az S erő ellentette, azaz S legen. A másik összetevő S 3 erő lesz (1. ára). Hasonlóan árunk el az F 3 erő felontásával is az egik összetevő az S 3 erő ellentette, azaz S 3 legen. A másik összetevő S 4 erő lesz (13. ára). 5

34 11. ára: F 1 erő felontása S 1 és S segéderőkkel 1. ára: F erő felontása S és S 3 segéderőkkel 13. ára: F 3 erő felontása S 3 és S 4 segéderőkkel 6

35 Ezután az S segéderőkkel helettesítük az erőrendszer eges elemeit a szerkesztést a 13. ára al oldalán foltatuk. Az F 1 erőt S 1 és S erőkre ontottuk fel, tehát a három erő hatásvonala eg tetszőleges pontan, legen K 1 pont, metszik egmást. Ezt a K 1 pontot tetszőleges helen felvesszük az F 1 erő hatásvonalán, mad ezen a ponton keresztül párhuzamost húzunk S 1 hatásvonalával úg, hog másik erő hatásvonalát ne metsszük el (14. ára). 14. ára: Párhuzamos S 1 segéderő hatásvonalával K 1 tetszőlegesen felvett ponton át Következő lépéséen az S segéderő hatásvonalával húzok párhuzamost még mindig a K 1 ponton keresztül, de úg, hog elmetssze az F erő hatásvonalát is (K ) hiszen az S segéderőt felhasználtuk az F erő felontása során is (15. ára). 15. ára: Párhuzamos S segéderő hatásvonalával K 1 tetszőlegesen felvett ponton át, kimetszve K pontot 7

36 Az F, S és S 3 erők közös metszésponta a K pont lesz. Emiatt következő lépésként S 3 segéderővel húzunk párhuzamost K ponton át, hog metssze F 3 erő hatásvonalát (16. ára). 16. ára: Párhuzamos S 3 segéderő hatásvonalával K ponton át, kimetszve K 3 pontot Utolsó előtti lépésként S 4 segéderővel húzunk párhuzamost a K 3 ponton át, mivel az F 3 erőt S 3 és S 4 segéderőkkel helettesítettük (17. ára). 17. ára: Párhuzamos S 4 segéderő hatásvonalával K 3 ponton át 8

37 A o oldali vektorsokszögől adódik, hog az eredő erőt S 1 és S 4 segéderőkkel helettesítettük. Eszerint az S 1 és S 4 segéderők, illetve az eredő erő hatásvonala eg pontan kell, hog metsszék egmást. Utolsó lépésként az S 1 és S 4 segéderőkkel húzott párhuzamosokat metszésre kell hozni K 4 pont. Ezen a ponton kell átmennie az eredő erő hatásvonalának, aminek az iránát már ismerük. Ezzel az eredő erő meghatározás feladata telessé vált. 18. ára: Eredő helének meghatározása - S 1, S 4 segéderő meghosszaítása, metszése, K 4 pont megadása Az eredő erőnek a hele, távolsága a viszonítási koordinátarendszertől, leolvasható az áráról. Eszerint az eredő erő hatásvonala és a viszonítási tengel távolsága,06 [m]. A 14. ára árasorozat o oldala a vektorsokszög, míg a segéderőknek a aloldali, párhuzamos része a kötélsokszög. 1.. Síkeli párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása E témakören olan eseteket vizsgálunk, amikor eg tartószerkezeti elemre (pl.: gerenda) eg vag tö külső terhelő erő hat, amelek hatásvonalai egmással párhuzamosak. A tartószerkezetet különöző kénszerek (merev efogás, csukló, görgő) támaszták meg, iztosítva ezzel az egensúlt, hog a tartószerkezet ne mozdulon el. Meg kell határozni a támaszoknál (kénszereknél) éredő reakció (támasz vag kénszererőket) erőket. A feladat megoldásához itt is célszerű felvenni eg viszonítási koordináta rendszert és eg viszonítási forgatási iránt is. A feladat ilenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiánzó elemeit, azaz a támaszoknál éredő ismeretlen reakcióerőket, a nagságukat és az iránukat (hatásvonal, értelem)! A szerkesztő elárás során hasonlóan árunk el, mint eredő erő szerkesztésekor. 9

38 1..1. példa Adott az 19. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, aloldali végén eg csuklóval (A pont), ooldali végén eg görgővel (B pont) megtámasztva. A tartószerkezetet hossztengelére merőlegesen terheli F 1 19 [kn], F 6 [kn] és F 3 15 [kn] koncentrált erő. Elhelezkedésük ismert, a 1 [m]. 19. ára: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegensúlozása - reakció erő meghatározás A számító elárás során az első lépés, hog a támaszoknál fellépő támasz erők nagságát és iránát feltételezzük. Az A csukló megakadálozza a tartószerkezet elmozdulását mind, min iránokan. Ezért ott A és A erőket is feltételezünk. A B támasz csak a támaszra merőleges elmozdulását akadálozza meg a tartószerkezetnek, íg ott csak eg tengellel párhuzamos hatásvonalú erő nagságát és értelmét feltételezzük (0. ára). A tartószerkezetet terhelő erőrendszernek íg öt eleme van elen példáan, F 1, F és F 3 ható erők és F A, F B ismeretlen erők. 0. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása - támaszerők nagságának és iránának feltételezése Az egensúl feltétele, hog az eredő nagsága nulla legen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószerkezet sem, sem iránan nem mozdul el. Azonan ha az eredő erő zérus, az nem elenti automatikusan, hog nem mozdul el a szerkezet. Uganis az eredő erő lehet erőpár is. Azaz az erőrendszer eredőének erőértéke zérus, de nomatéka van. Een az eseten a tartószerkezet eg adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egensúl feltétele, hog a tartószerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végez. Ehhez nem elegendő a már ismert két vetületi egensúli egenletet felírni: 10

39 ΣF 0 és ΣF 0 A + B() F1 + F F3. A Matematikai szempontól sem megoldható a két egenletől álló három-ismeretlenes egenletrendszer. Az erőrendszerre uganúg érvénes a nomatéki tétel is. Ha azonan az erőrendszer eredőe nulla, annak nomatéka ármel tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Íg írhatuk fel tetszőlegesen választott pontra a nomatéki egensúli egenletet. A pontot, amire vesszük az erőrendszer valamenni elemének a nomatékösszegét, úg célszerű felvenni, hog az egenleten az ismeretlenek száma minimális legen. Ezt úg érhetük el, hog a nomatékot olan pontra íruk fel, amelen minél tö ismeretlen erő hatásvonala átmeg. Jelen példáan először az A pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: ΣMA 0. F (1,5a) + F (1,5a + 1,75a) F (1,5a + 1,75a + 1,75a) + B (1,5a + 1,75a + 1,75a + 3a) 3 1 Az egenlőségen az egetlen ismeretlen a B támasznál fellépő B reakcióerő, mivel A és A hatásvonala is átmeg az A ponton, íg nomatékuk az A pontra zérus. Behelettesítés után: ΣM A 0 [51 kn] 5,1 [m] + [6 kn] 3,5[m] [91 kn] 5[m] + B 8[m]. Az egenletől B- re a következőt kapuk: B 4,15 [kn]. Mivel eredménül pozitív értéket kapunk, ez azt elenti, hog a B erőnek feltételezett irán heles volt, az eredmén felírása helesen: B 4,15 [kn] ( ). A következő lépésen a B pontra is felírunk eg nomatéki egensúli egenletet: ΣM 0 F (3a) F (3a + 1,75a) + F (3a + 1,75a + 1,75a) A 1 B 3. (1,5a + 1,75a + 1,75a + 3a) Az egenlőségen az egetlen ismeretlen az A támasznál fellépő A reakcióerő, mivel A és B () hatásvonala is átmeg a B ponton, íg nomatékuk a B pontra zérus. Behelettesítés után: ΣM B 0 19[kN] 3[m] [6 kn] 4,75[m] + [51 kn] 5,6 [m] A 8[m]. Az egenletől A - ra a következőt kapuk: A 3,875 [kn]. Mivel eredménül pozitív értéket kapunk, ez azt elenti, hog az A erőnek feltételezett irán heles volt, az eredmén felírása helesen: A 3,875 [kn] ( ). Az iránú vetületi egensúli egenletől egértelműen kiderül, hog az A pontan feltételezett A reakcióerő zérus. Az iránú vetületi egenlete, ha ehelettesítünk, ellenőrizhetük a nomatéki egensúli egenletek eredméneit: ΣF 0 3, , Az egenlőség fennáll. Az A reakcióerő nagsága megegezik az A -nal ( A A + A 0 + 3,875 3,875[kN] ), ha- 11

40 tásvonala párhuzamos az tengellel, míg értelme pozitív a viszonítási koordinátatengelhez képest. A szerkesztő elárás nagon hasonlóan zalik, mint a párhuzamos erőrendszer eredőének a 14. ára árasorozaton emutatott elárása. Először felvesszük a léptéket mind az erőnek, mint a távolságnak (1. ára), mad léptékhelesen felvesszük a tartószerkezetet és a rá ható erőket (. ára). 1. ára: Lépték felvétele. ára: A tartószerkezet és a rá ható erők léptékheles felvétele 3. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása - vektorára razolása 1

41 A következő lépésen az. ára o oldalára egmás után felmérük a ható erőket, F 1, F és F 3 koncentrált erőket (3. ára) és eg tetszőleges helre felvesszük a P póluspontot. Az F 1, F és F 3 koncentrált erőket felontuk, helettesítük S segéderőkkel. Először az F 1 erőt ontuk fel S 1 és S segéderőkre (4. ára). Ezután az F erőt helettesítük S és S 3 segéderőkkel (5. ára), végül F 3 erőt ontuk fel S 3 és S 4 segéderőkre (6. ára). Tuduk azt, hog az erőrendszer két ismeretlen elemét, A és B erőket, ha felmérük a vektoráráa, akkor a vektorsokszögnek foltonos nílértelemmel kell záródnia. Íg lesz az eredő erő nulla, íg lesz egensúl. Az A és B erők nagságának a megszerkesztéséhez a kötélárát kell megrazolnunk. 4. ára: F 1 erő felontása S 1 és S segéderőkre 5. ára: F erő felontása -S és S 3 segéderőkre 13

42 6. ára: F 3 erő felontása -S 3 és S 4 segéderőkre Először párhuzamost húzunk S 1 segéderővel az A ponton keresztül, hog metssze F 1 erő hatásvonalát (7. ára) uganis S 1 segéderő ellentette, -S 1 az A reakcióerőt helettesítő erő egike lesz. Az A reakcióerő hatásvonalának pedig egetlen pontát ismerük, magát az A pontot. Azért nem a B pontól indítuk a szerkesztést, mert a B támaszerőnek a hatásvonala ismert görgő esetéen támaszra merőleges. A kötélára szerkesztése végén az utolsó segéderőnek (S 4 ) metszeni kellene az A támaszerő hatásvonalát, azaz az A ponton kellene áthaladnia. Ez pedig nem lehetséges csak véletlenszerűen sikerülhet. 7. ára: Kötélára - párhuzamos S 1 segéderővel az A ponton át 14

43 8. ára: Kötélára - párhuzamos S segéderővel K 1 ponton át, metszve F hatásvonalát K pontan Következő lépésként S segéderővel húzunk párhuzamost a K 1 ponton át úg, hog S hatásvonala metssze F hatásvonalát (8. ára). A metszéspont K. Ezután S 3 segéderő hatásvonalával húzunk párhuzamost K ponton át, hog elmetsszük F 3 hatásvonalát a K 3 pontan (9. ára). Végül K 3 ponton át húzunk párhuzamost S 4 segéderővel, hog metssze B támaszerő hatásvonalát (30. ára). A metszéspont K 4. Ezután összekötük A és K 4 pontokat, az egenest záróvonalnak nevezzük (31. ára). 9. ára: Kötélára - párhuzamos S 3 segéderővel K ponton át, metszve F 3 hatásvonalát K 3 pontan 15

44 30. ára: Kötélára - párhuzamos S 4 segéderővel K 3 ponton át, metszve B hatásvonalát K 4 pontan 31. ára: Kötélára - záróvonal szerkesztés, A és K 4 pontok összekötése pontvonallal Végül a záróvonallal párhuzamost húzunk a vektorárán szereplő P pólusponton keresztül (3. ára). Jól látható a kötéláráról, hog az A támaszerőt a (-)Z és (-)S 1 segéderők helettesítik ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egmást az A pontan, míg a B támaszerőt (-)S 4 és Z segéderők helettesítik ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egmást az K 4 pontan. 16

45 3. ára: Záróvonal ehúzása a pólusponton át, K 5 pontot kimetszve a vektoráráól, a reakció erők leolvasása A vektoráráról leolvashatuk a felvett lépték segítségével a támaszerők nagságát! 1... példa Adott a 33. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, a viszonítási koordinátarendszer, az F11 [kn] koncentrált erő, q 1 5 [kn/m] és q 3 [kn] vonal mentén egenletesen megoszló erők, illetve az a [m] távolság. 33. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása - koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egenes tengelű tartószerkezet Első lépésen a megoszló erőket helettesítük koncentrált erőkkel erre azért van szükség, mert a megoszló erőknek a nomatékát eg tetszőlegesen választott pontra a helettesítő erőknek a hatásvonala foga meghatározni, ezek alapán olvassuk le az erőkarokat. A q 1 5 [kn/m] egenletesen megoszló terhelés 1,5a 3 [m] hosszon hat, míg a q 3 [kn/m] egenletesen megoszló terhelés 3a 6 [m] hosszon hat. A helettesítő erők nagsága: Q1 1 q (1,5a) 5 (1,5 ) 15[kN] és q (3a) 3 (3 ) 18[kN]. Q Látható, a helettesítő erő nagsága az azt szimolizáló téglalap területével egezik meg, ezért a hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlpontáa helezzük el (34. ára). 17

46 34. ára: Egenletesen megoszló erők helettesítése koncentrált erőkkel Ezután a tartót megtámasztó kénszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagságát és iránát. Az A pontan eg csukló a támasz, ami megakadálozza a tartószerkezet elmozdulását és iránokan. Íg az A pontan A és A kénszererőket feltételezünk. A B pontan eg görgő a kénszer, íg ott a támaszra merőleges hatásvonalú B reakcióerőt feltételezünk (35. ára). Ezután már felírhatuk az egensúli egenleteket. 35. ára: Reakcióerők nagságának és iránának, értelmének feltételezése Először az A pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: ΣM A q 0 Q ( 1,5a + a) + B ( 1,5a + a + a) ( q 1,5a) ( q ( a + a + a) ) 1,5a + F ( 1,5a + a) + B ( 1,5a + a + a) 1 1 ( 1,5a) 1,5a Q 1,5a 1 Behelettesítés után: ΣM A 5 0 a + a + a 1,5a + F a + a + a 3a ( q 3a) 1,5a + F (,5a) + B ( 3,5a) ( 1,5 ) 3 ( 3 3 ) 1,5 + 1,5 ( ) + B ( 3,5 ) Az egenlőségől a B ismeretlent kifeezve: B 6,5 [kn]. A B pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet:.. 18

47 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,5a A a F 3 a q 8,5 a q 1,5a a a A a F a a a a a a a q 1,5a a a 1,5a q 1,5a a a A a F a a a a Q 1,5a a a Q 0 ΣM B Behelettesítés után: 7 A ,5 5 0 ΣM A + +. Az egenlőségől az A ismeretlent kifeezve: A 17,5 [kn]. Ellenőrzésként az iránú vetületi egensúli egenletet íruk fel: ( ) ( ) 0 6,5 17, ,5 5 B A F a a a q 1,5a q 0 ΣF Az iránú vetületi egenleten csak az A ismeretlen szerepel, ami íg nullával egenlő. A keresett reakcióerők eredménei helesen feltüntetve: A 17,5 [kn] ( ) és B 6,5 [kn] ( ).

48 1. Síkeli általános erőrendszerek Síkeli általános erőrendszer esetéen az erőrendszer eges elemei egmáshoz képest telesen általános helzeten helezkednek el. Eddigi ismereteinket felhasználva vag eredő erő számítás, vag kiegensúlozás a feladatunk Síkeli általános erőrendszer eredő (helettesítő) ereének a meghatározása példa Adott a (1. ára) az - viszonítási koordináta rendszer, F 1 [kn], F [kn] és F 3 [kn] erők nagsága és irána a viszonítási koordináta rendszeren, M [knm] koncentrált nomaték és a [m] távolság. F 1 5 [kn], α 1 85 [ ], F 4 [kn], α 50 [ ], F 3 15 [kn], α 3 15 [ ], M 19 [knm] és a 1,6 [m] távolság. 1. ára: Közös metszéspontú erőrendszer eredő ereének meghatározása Megoldás számítással: első lépésen a vetületi tételt alkalmazzuk a viszonítási koordinátarendszer két tengelére. Az iránú vetületi egenlet: F F F sin 1 5 cos85 5 sin 1 + F F ( 90 - α ) + F cos( 90 - α ) F sin( 90 - α ) sin50 F cosα cos15 + F sinα F cosα ( ) + 4 cos( ) 51 sin( ) 11, Ez azt elenti, hog az eredő erő a viszonítási koordinátarendszer tengelére vett vetületének nagsága 11,86 [kn], értelme pedig ellentétes. A vetületi egenlet eredméne helesen felírva: F FR 11,86 [kn]( ). Az iránú vetületi egenlet: 1

49 F F F cos 1 5 sin85 5 cos 1 + F F F sinα ( 90 - α ) + F sin( 90 - α ) F cos( 90 - α ) cos50 15 sin F cosα F sinα ( ) + 4 sin( ) 15 cos( ) 6, Ez azt elenti, hog az eredő erő a viszonítási koordinátarendszer tengelére vett vetületének nagsága 6,9 [kn], irána pedig ellentétes. A vetületi egenlet eredméne helesen felírva: F F 6,9[kN] ( ) R. Az eredő erő nagságát a következők szerint kapuk meg: F F + F 11,86 + 6,9 13,4 [kn]. R R R A következő lépés az erőrendszer eredőének az elhelezkedése, helzetének megadása a viszonítási koordináta rendszeren hogan helezkedik el az eredő erő a viszonítási koordináta rendszer tengeleihez képest. Azt szeretnénk megtudni, hog az eredő erő hatásvonala mekkora szöget zár e a viszonítási koordinátarendszer tengeleivel. A. ára elöléseit használva az α a vízszintessel ezárt szög. Meghatározása valamel szögfüggvén alkalmazásával történik.. ára: Eredő erő nagságának és helzetének a meghatározása a viszonítási koordináta rendszeren α FR F FR R arcsin arccos arctan F R F R F R. 6,9 11,86 6,9 arcsin arccos arctan 7,9 ][ 13,4 13,4 11,86 Végül pedig azt kell meghatároznunk, hog az eredő erő hol helezkedik a viszonítási koordináta rendszeren. Ehhez a nomatéki tételt használuk fel, azaz az erőrendszer minden eges elemének vesszük a nomatékát eg adott pontra, elen eseten a viszonítási koordináta rendszer középpontára, és előelhelesen összegezzük őket. Az egenlet heles felírásához és az előelheles összegzéséhez célszerű felvenni eg viszonítási forgatási iránt (a viszonítási koordináta rendszerünk oforgású, ami egértelműen meghatározza a viszonítási

50 forgatási iránt is). Adott pont körüli pozitív forgatásnak az óramutató árásával ellentétes iránt értük. 3. ára: Erőrendszer eges elemeinek nomatéka a viszonítási koordináta rendszer középpontára A 3. ára az eges erők hatásvonalának a meghosszaítását mutata, illetve az origóól ezen egenesekre ocsátott merőlegesek (k 1, k, k 3 ) vannak feltüntetve. E merőleges egenesek hosszát kellene kiszámolni a nomatékok meghatározásához, ami lehetséges, de hosszadalmas. Ehelett a következőket tesszük. Az eges erőknek a vetületi egenletek során már kiszámítottuk az és iránú komponenseit. A nomatéki tétel értelméen, ha az adott erő eges komponenseinek a nomatékát vesszük külön-külön adott pontra, uganazt kapuk, mintha magának az adott erőnek vettük volna a nomatékát az adott pontra. Ennek figeleme vételével a nomatéki tétel első részének alkalmazása: ΣM F F cos(α ) (3 1 + F cos(α 3 O 1 (3 1 3 )af 1 )af sin(α )( F a ( )af + )( F sin(α a) ) (3 a) M )( F sin(α a) ) (1,9 )( + F a )( F a (3 a) M )af + cos(α )( + a) 5 cos(85 ) (3 )6,1 5 sin(85 ) (1,6) 4 sin(50 ) (1,9 )6,1 + 4 cos(50 ) (1,6) cos(15 ) (1,6) 51 sin(15 ) (3 )6,1 91 1,53 Ez azt elenti, hog az erőrendszer eges elemeinek origóra (O pont) vett eredő nomatéka 1,53 [knm] nagságú. A forgatóhatás irána az óramutató árásával megegező iránú. Ezt onnan tuduk, hog az eredménre negatív értéket kaptunk, ami a felvett viszonítási forgatási iránunkkal ellentétes iránt elent. Ez az érték és a forgatás irána meg kell egezzen az erőrendszer eredőének ugancsak az origóra vett nomatékával. Figeleme véve, hog az eredő hogan (α, β szögek) helezkedik el a viszonítási koordinátarendszeren, a 4. ára szemlélteti az eredő erőnek a helét. A kérdés a k R távolság. A nomatéki tétel második részének alkalmazása: Σ M O 1,53[kNm] k R F, ahonnan R 3 3 3