Dr. Karácsonyi Zsolt

Átírás

1 tananagfelesztés a TÁOP-.1.1.C-1/1/ sz. proekt keretéen valósult meg Nugat-magarországi Egetem Simoni Károl űszaki, Faanagtudománi és űvészeti Kar űszaki echanika és Tartószerkezetek ntézet Szilárdságtan Dr. Karácsoni Zsolt Digitális egzet/tananag Sopron, 015

2 tananagfelesztés a TÁOP-.1.1.C-1/1/ sz. proekt keretéen valósult meg Szerző: Dr. Karácsoni Zsolt egetemi adunktus Lektorálta: Dr. ndor Krisztián egetemi docens SN Kiada: Nugat-magarországi Egetem Kiadó 900 Sopron, acs-zs. u.. Felelős kiadó: Prof. Dr. Németh Róert tudomános és külügi rektorhelettes digitális tananag a TÁOP-.1.1.C-1/1/ számú proekt keretéen, az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális lap társfinanszírozásával valósult meg. Karácsoni Zsolt, 015.

3 Tartalomegzék Tartalomegzék... Előszó, evezetés Keresztmetszeti ellemzők (terület, súlpont, súlponti tengelre számított inercia, keresztmetszeti ténező, inerciasugár) meghatározása Síkeli erőrendszerek kiegensúlozásának ismétlése Kéttámaszú, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése génevételi árák szerkesztési szaálai erev efogású, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése Tört tengelű tartók igénevételeinek ismétlése Gerer tartók igénevételeinek ismétlése Háromcsuklós keretek igénevételeinek ismétlése Húzó igénevétel, húzófeszültség Nomó igénevétel, nomófeszültség Halító igénevétel, halításól származó normál (húzó-nomó) és nírófeszültség Csavaró igénevétel, csavarásól származó nírófeszültség Kör és körgűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nomatéka és poláris keresztmetszeti ténezőe Kör és körgűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nírófeszültség Közelítően tiszta níró igénevétel, nírófeszültség Kihalás Felhasznált és aánlott irodalom... 15

4 Előszó, evezetés mechanika a fizikának eg területe, általánosan úg lehet megfogalmazni, hog a testek mozgásával, a testekre ható erőkkel és a kettő közötti összefüggésekkel foglalkozó tudomán. E szerint a mechanika felosztható (1. ára) kinematikára és dinamikára. 1. ára: mechanika felosztása kinematika csak a testek mozgását vizsgála téren és idően, de a mozgást kiváltó okokat (az erőket) nem tárgala. dinamika a testek egmásra hatásával foglalkozik, figeleme veszi a testekre ható erőket, a mozgások kiváltó okait. Eszerint a dinamika továi két csoportra ontható: statikára és kinetikára. statika azokat a testeket vizsgála, melek nugaloma vannak a rá ható erők következtéen, míg a kinetika az erők hatására mozgásan lévő testeket tárgala. merev testek statikááan (röviden statika) vizsgált tartószerkezetek anagát telesen merevnek tekintük. Ez azt elenti, úg tekintük a terhelt testet (tartót), hog az alakát, méreteit nem változtata a rá ható erők következtéen. szilárd testek statikááan (röviden szilárdságtan) vizsgált tartószerkezetek anagát szilárdnak tekintük. Ez azt elenti, nem csak a tartóra működő külső erők egensúlával, azok eloszlásával (igénevételek) foglalkozunk, hanem a test (tartó) alakváltozásait és a keletkező/éredő feszültségeket is vizsgáluk. mechanika a mérnökképzések műszaki alapozó tárga, amelnek az ismeretek elsaátításán túl nag elentősége van a mérnöki prolémafelismerő és megoldó készség felesztésen. egzet döntően a szilárd testek statikáával (szilárdságtan) foglalkozik gakorlati példák emutatásán keresztül. Ehhez azonan nagon fontos ismerni a tartók egensúli helzetének feltételeit, körülméneit. Emiatt a példatár első feléen a lehető legrészleteseen foglalkozunk a merev testek statikáának (statika) átismétlésével és elmélítésével, míg a második részen háttére szorítuk ezeket, és a szilárdságtani ismeretekre fektetük a hangsúlt. z eges feezet címeknek megfelelően fordítuk a figelmet a különöző témakörökre.

5 1. Keresztmetszeti ellemzők (terület, súlpont, súlponti tengelre számított inercia, keresztmetszeti ténező, inerciasugár) meghatározása példa dott a. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S) a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a,5 cm.. ára: Súlpontszámítás, viszonítási koordinátarendszer elhelezése megoldáshoz a keresztmetszetek elsőrendű statikai nomatékának a definícióát használuk fel. Először eg viszonítási koordinátarendszert veszünk fel lehetőség szerint a megadott keresztmetszet valamelik szélső, sarokpontáan (. ára). Ezután felosztuk a síkidomunkat olan szaálos keresztmetszetrészekre, melek súlpontának a hele egértelmű (. ára). Ez négszög, háromszög, kör vag félkör is lehet. keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapuk. a (a + 0,75a + 1,5a),5 a,5, 0,1 cm ,5 a 0,75 a 1,15 a 1,15, 7,0 cm ,1 cm ,5 a + 1,15 a +,5 a 7,65 a 0,1 + 7,0 + 0, 1 7,65 cm. 5

6 6 súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire külön - külön.. ára: z összetett keresztmetszet felosztása súlpontszámításhoz. ára: súlponti tengelek helzete a viszonítási koordinátarendszerhez képest keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: a 0,5 ) a (,5 a 1,75 ) a (1,15 a ) a (,5 a 7, ' S S S

7 7,65 a S 9,75 a + 1,97 a + 1,6 a amiől: S 1,5 a 7,65 a 1,75 a 1,75,5,8cm Látható, hog az súlponti tengel éppen a keresztmetszet iránú hosszának a felée esik. Ha alaposan szemügre vesszük. ára elrendezését, látható, hog az súlponti tengel szimmetria tengel is egen. későiekre nézve azt a megállapítást tehetük, hog amennien eg keresztmetszet rendelkezik szimmetriatengellel, akkor az egen súlponti tengel is. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' S ,65 a (,5 a ) 1,65 a + (1,15 a ) 1,75 a + (,5 a ) 1,65 a S 7,65 a S 5,8 a + 1,55 a + 5,8 a amiől: 1,11 a S 1,59 a 1,59,5,98 cm. 7,65 a 5. ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (5. ára). keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: 7

8 ,5a a 1 + (,5a a) (1,5a) 0,75 a (1,5 a) + 1 0,5 a + 10,16 a + 0,1 a 10,91 a 10,91,5 6,17 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a (,5a) 1 + (a,5a) (0,05a) 1,5 a (0,75 a) (1,5 a 0,75 a) (0,15a) 5,7 a ,05 a + 0,05 a 5,8 a 5,8,5 7, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 10,91 a 6,17 W 6, a 6,,5 97, cm. t 1,75 a,8 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 5,8 a 7, W,51 a,51,5 5,8 cm. t 1,66 a,15 keresztmetszetek ellemzésére gakran használatos menniség az inerciasugár: keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i. i 10,91 a 1,196 a 1,196, 5,99 cm. 7,65a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 5,8 a 0,87 a 0,87, 5,19 cm. 7,65a példa dott a 6. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a 1,6 cm. 6. ára szerint az összetett keresztmetszetet vastag vonallal elöltük és három téglalapra osztottuk fel. keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapuk. a 1,5 a 1,5 a 1,5 1,,8 cm. 1 6 a,5 a 9 a 9 1,,0 cm. 6 8

9 a a a 1, 10, cm ,5 a + 9a + a 1,5 a,8 +,0 + 10, 7,1 cm. 6. ára: Összetett keresztmetszet felontása téglalapokra súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire külön - külön. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' 1,5 a S (1,5 a ),75 a + (9 a ),5 a + (a ),5 a S 1,5 a S 5,6 a + 0,5 a + 1 a amiől: S 9,88 a 1,5 a,75 a,75 1,6, cm 7. ára: súlponti tengelek helzete a viszonítási koordinátarendszerhez képest 9

10 keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' 1,5a S (1,5 a ) 0,5a + (9 a ) a + (a ) a S 1,5 a S 0,75 a + 18 a + 16 a 5,75a amiől: S,a, 1,6,8cm. 1,5a súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (8. ára). keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a (1,5a) 1 a (a) (a 1,5a) a + (a a) (0,75a) + a (,5 a) 1 + (a,5a) (0,5a) + 0,8 a + 1,5 a + 15,19 a +,5 a + 1, a +,5 a,8 a,8 1,6 19, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: 1,5 a a 1 a (a) (1,5a a) (1,9a) + (a a) (1,6a) +,5 a ( a) 1 + (,5 a a) (0,a) + 0,15 a + 5,15 a + a + 1, a + 1, a + 10, a 1,55 a 11, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe:,8 a 19, W 8,9 a 8,9 1,6,96 cm. t,75 a, keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1,55 a 11, W 8,9 a 8,9 1,6,95 cm. t,6 a,16 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 1,55 1,6 i,8 a 1,5 a 1,5 1, 6,0 cm. 1,5 a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 10

11 i 1,55 a 1, a 1, 1, 6 1,95 cm. 1,5 a 8. ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése példa dott a 9. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a 8 cm. 9. ára: T alakú keresztmetszet keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek (az árán nem tüntettük külön fel, egértelmű kell legen) területeinek összegzésével kapuk. a a a 56 cm. 1 8 a a a 56 cm a + a 8a cm. 11

12 súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire. ivel az tengel szimmetria tengel, ezért súlponti tengel is egen, ezért csak tengelre íruk fel a statikai nomatékot. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' S a S (a ),5 a + ( a ) a 6a 8 a S 18 a + 8 a amiől: S,5 a,5 8 6cm. 8a súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (10. ára). keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a a 1 + (a a) (1,5 a) + a ( a) 1 + (a a) (1,5a) 0, a + 6,5 a + 5, a + 6,5a 18,16 a 18, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a (a) a a + 5, a + 0, a 5,66 a 5, cm ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 18,16 a 78 W 5,59 a 5, cm. t,5 a 6 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 5,66 a 18 W,8 a, cm. t a 16 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 1

13 1 8 1,51 a 1,51 a 8 a 18,16 i 1,08 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 8 0,8 a 0,8 a 8 a 5,66 i 6,7 cm példa dott a 11. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a cm. 11. ára: szimmetrikus alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve) és felosztása téglalapokra keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek (11. ára) területeinek összegzésével kapuk. 1 a a a 1 cm. 8 a 8 a a 8 cm. 5 a 5 a 5 a 0 cm a 16 a 5 a 8 a 1 6 cm. súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire. ivel az tengel szimmetria tengel, ezért súlponti tengel is egen, ezért csak tengelre íruk fel a statikai nomatékot. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: a 0,5 ) a (5 a 5 ) a (8 a 9,5 ) a ( a ' S S S + + a,5 a 0 a 8,5 a 16 S

14 71a amiől: S,75 a,75 8,88 cm. 16a súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (1. ára). 1. ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a a 1 5a a (a a) (5,06 a) + (5a a) (,9 a) + a (8 a) 1 + (a 8a) (0,56a) + 0,5a + 76,81 a +,67 a +,51 a + 0,a 0 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: + 77,6 a 00,8 a 00,8 a (a) 1 8a a + 1 a (5a) + 1,5a + 0,67 a + 10, a 1, a 1 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1, 00,8 a 0 W 6 a 6 88 cm. t 5,565 a 11,1 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1, a 1 W 5, a 5,,6 cm. t,5 a 5 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 00,8a,5 a,5 7,08 cm. 16a 1

15 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 1, a 0,91 a 0,91 1,8 cm. 16 a példa dott a 1. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a cm. 1. ára: Szimmetrikus alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve) keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapuk. a 5 a 5 a 5 5 cm. 1 8a a 8a 8 7 cm a + 8 a + 5 a 18 a cm. keresztmetszet és tengele is szimmetriatengel, íg súlponti tengelek is. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk. 5a a 1 + (5a a) (,5 a) 6 a cm. + a (8 a) 1 0,8 a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: + 0,5 a +,67 a a (5a) + 8 a a 0,8 a + 0,67 a 1,5 a 1,5 171,5 cm. 1 1 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 6 a 1996 W 9, a 9, 18, cm. t 5 a 15 15

16 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1,5 a 171,5 W 8,6 a 8,6, cm. t,5 a 7,5 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 6a,7 a,7 11,1 cm. 18a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 1,5 a 1,09 a 1,09,7 cm. 18 a példa dott a 1. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: Ød 0 cm. 1. ára: Kör keresztmetszet (vastaggal kiemelve) keresztmetszet területe: d π 0 π 1,16 cm. keresztmetszet és tengele is szimmetriatengel, íg súlponti tengelek is. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 0 π 785 cm. 6 6 súlponti tengelekre vonatkozó keresztmetszeti ténező számítása: d π 0 π d π 0 π W 6 6 W 785, cm. d d 0 súlponti tengelekre vonatkozó inerciasugár számítása: 16

17 i i d π 6 d π d π 6 d π d 16 d 0 5 cm példa dott a 15. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: ØD 15 cm, Ød 11 cm. D - d π ( ) ( ) keresztmetszet területe: π 81,68 cm. 15. ára: Gűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve) keresztmetszet és tengele is szimmetriatengel, íg súlponti tengelek is. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: (D d ) π (15 11 ) π 1766 cm. 6 6 súlponti tengelekre vonatkozó keresztmetszeti ténező számítása: (D d ) π (15 11 ) π (D d ) π (15 11 ) π W 6 6 W 5,5 cm. d D D súlponti tengelekre vonatkozó inerciasugár számítása: i ( D -d ) π ( D -d ) π i 6 ( D -d ) π 6 ( D -d ) π 16 ( D - d ) ( D - d ) ( ) ( ) ,65 cm. ( D -d ) ( ) D -d 17

18 . Síkeli erőrendszerek kiegensúlozásának ismétlése.1.1. példa: dott a 16. ára szerinti szerkezet, az C és C tartószerkezeti elemek, az, és C pontok hele és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Határozzuk meg a támaszoknál fellépő reakcióerőket számítással és a zárt szelvén keresztmetszetű C tartóelemet ellenőrizzük tiszta húzásra. dott: a m, m, c m, F kn. keresztmetszet: 80X60X zárt szelvén, 5,9 cm. rúd szilárdsága: f h.100 N/mm. számító elárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagságukat és iránukat (értelmüket), meg kell ecsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példáan: az és csuklóknál fellépő reakciók nagságát F nak és F nek feltételezzük. z iránuk: mivel az C és C tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerkezeti elemen nincs erő (önsúltól eltekintünk) ez azt elenti, hog een a két tartószerkezeti elemen rúdiránú erők lépnek fel. zaz: két végén terhelt, csuklós rudakan csak rúdiránú erő éred. miől következik, hog ezek a tartószerkezeti elemek rúdiránan akarnak elmozdulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarák megakadálozni. 16. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása daruszerkezet zaz az ismeretlen támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hossztengelével, a kérdés csak az iránításuk. Ha azt nem tuduk kikövetkeztetni a külső ható erőkől és a tartószerkezet elrendezéséől, akkor feltételeznünk kell (17. ára). következő lépésen a vetületi egenleteket használuk fel, amit egensúlozási feladatok megoldása során vetületi egensúli egenleteknek nevezünk. z egenlőség egik oldalán az erőrendszer valamenni, ismert és ismeretlen elemének összegezzük előelhelesen a viszonítási koordinátarendszerrel párhuzamos komponenseit, és ezeket egenlővé tesszük nullával. Uganis ha az erőrendszer 18

19 R R R eredőe nulla, akkor F F + F 0 egenlőség csak úg lehet igaz, ha az eredő erő viszonítási tengelre vett komponensei külön külön egenlők nullával. 17. ára: Támaszerők nagságának és értelmének a feltételezése ( α) + F cos( β) F 0 F cos és F ( α) + F sin( β) F 0 F sin. Elői két egenleten két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hog a két egenletől álló két ismeretlenes egenletrendszert megolduk. z α és β szögek meghatározása: c α arctan arctan a + + 8,66 és c β arctan arctan 6,. ehelettesítés a vetületi egenleteke: ( α) + F cos( β) F cos( 8,66 ) + F cos( ) F 0 F cos 6, és F 0 F sin z első egenletől: F F cos cos ( α) + F sin( β) F F sin( 8,66 ) + F sin( 6, ) ( 6, ) ( 8,66 ) mad ehelettesítve második egenlete:, 19

20 F cos 0 cos F cos cos ( 6, ) ( 8,66 ) ( 6, ) ( 8,66 ) sin sin ( 8,66 ) + F sin( 6, ) ( 8,66 ) + sin( 6, ) F 6,7kN ( ) cos( 6, ). sin( 8,66 ) + sin( 6, ) cos( 8,66 ) Visszahelettesítés után F ra a következőt kapuk: F ( 6, ) ( 8,66 ) cos( 6, ) ( 8,66 ), ahonnan F cos 6,7 6, F 6,kN( ). cos cos Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagsága F 6, kn és F 6,7 kn. z F kénszererőnek feltételezett iránítás heles volt, mivel pozitív értéket kaptunk. zonan az támasznál feltételezett támaszerőnek az előele negatív, ami annit elent, hog az ismeretlen értelmű erőnek a feltételezett irán nem volt ó. valós iránítása az erőnek éppen ellentétes (18. ára). ásik megoldási lehetőség, ha két dara nomatéki egensúli egenletet írunk fel. Elő az pontra: 0 F a F(a + ) F sinβ a F(a + ), mad a pontra: 18. ára: z ismeretlen támaszerők nagsága és iránítása helesen árázolva 0 F z első egenletől: a F F sinα a F 0

21 F F(a + ) ( + ) sinβ a sin(6, ) 6,6 kn( ). második egenletől: F F 6, 8 F 6,8 kn( ). sinα a sin(8,66 ) z C tartószerkezeti elem igénevétele tiszta húzás, níró és halító igénevétel nem lép fel, a maimális normál igénevétel megegezik az F reakcióerővel. z C tartószerkezeti elemen fellépő húzófeszültség: húzó N ma 6,8 10 σ 67,1 N/mm. 5,9 10 Összehasonlítás a szilárdsággal: f h.100 N/mm > 67,1 N/mm σhúzó EGFELEL.1.. példa: dott a 19. ára szerinti szerkezet, az C és C tartószerkezeti elemek, az, és C pontok hele és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Feladat, hog meghatározzuk az és csuklóknál fellépő támaszerőket számítással és az C, C kör keresztmetszetű tartószerkezeti elemek szükséges átmérőét. dott: a m,,5 m, c,5 m, F7 kn. rudak/kötelek szilárdsága: f h.100 N/mm. 19. ára: Közös metszéspontú erőrendszer Feltételeznünk kell az ismeretlen reakció erők nagságát és értelmét (0. ára). hatásvonaluk ismert, mivel az C és C tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül éri terhelés. Íg ezek az elemek hossztengelükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni. 1

22 0. ára: Reakció erők nagságának és értelmének a feltételezése Ezt az elmozdulást akadálozzák meg a támaszoknál fellépő kénszererők, amik hatásvonala íg az C és C tartószerkezeti elemek hossztengelével párhuzamos. Következő lépésként célszerű felvenni a viszonítási koordinátarendszert, és elhelezni aa a ponta, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egmást elen eseten ez a C pont. Uganekkor feltüntetük a két tartószerkezeti elem hossztengelének (azaz a feltételezett reakcióerők hatásvonalának is egen) a viszonítási koordinátarendszer tengeleivel ezárt szögeit (1. ára). Ezután kezdhetük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítuk a a ki: α arctan arctan 58 és β arctan arctan 1,6.,5 c,5 Következő lépésen írhatuk fel a vetületi egensúli egenleteket: F F ( ) + F cosβ ( ) 0 F cosα és 0 F sin ( α) + F sinβ ( ) F két egenletől álló két ismeretlenes (F, F) egenletrendszer megoldása után a következőket kapuk eredménül a reakcióerőkre: F 0,7 kn( ) és F 1,51 kn( ). Ezek a reakció erők nagságai. ivel az egenletrendszer megoldásáól pozitív értékeket kaptunk megoldásul, ez annit elent, hog a támaszerőknek feltételezett iránítás heles volt, azok megfelelnek a 1. ára szerint feltüntetettnek. ásik megoldási lehetőség, hog felírunk az és pontokra nomatéki egensúli egenleteket: ( ) ( c) 0 F + F sinβ + és

23 1. ára: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonítási koordinátarendszer tengeleinek a ezárt szöge ( α) ( c) 0 Fc F sin +. Ezekől uganazokat az eredméneket kapuk a támaszerőkre. z C és C tartószerkezeti elemek igénevétele tiszta húzás, níró, halító igénevétel nem lép fel. maimális húzóerők megegeznek a támaszoknál éredő reakcióerőkkel. szükséges dc átmérő meghatározása: f h. S C C C S f C h. f h. 0, ,7 mm d C π 0,7 C d C 16,1 mm d C cm. π szükséges dc átmérő meghatározása: f h. S C S C 1,5110 C 15,1 mm f f 100 C h. h. d C π 15,1 C d C 1,59 mm d C 1,5 cm. π.1.. példa: dott a. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, ami egik végén eg csuklóval ( pont), másik végén eg görgővel ( pont) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket számítással, számítsuk ki a halításól származó maimális normál és nírófeszültség és ellenőrizzünk. dott: F 17 kn, a 1 m, α150 és α0. Szelvén: -00 z 10 cm, Sz 15 cm, v 7,5 mm. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm.

24 . ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása z erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az és ismeretlen támaszerők. Ennek a három erőnek kell egensúlan lennie. Három erő egensúlának a feltétele, hog hatásvonalaiknak eg pontan kell metszeniük egmást és a vektorsokszögnek foltonos nílértelemmel kell záródnia. vetületi egenleteknek egenként zérussal kell egenlőnek lennie.. ára: viszonítási koordinátarendszer elhelezése a közös metszéspontan, reakcióerők nagságának és iránának feltételezése ( ) ( ( )) sinα Sinus tételől: sin 180 α 90 α Cosinus tételől: 1 sin sin ( 50 ) ( 70 ) 1 1,6m ( a) + ( a) cos( 90 α ) ( 1) + 1,6 ( 1) 1,6 cos( 90 0 ),8m c ( ) 1 ( ) c + a, ,6 Cosinus tételől: β arccos ( ) arccos ( ), 9 c a,8 1 és iránú vetületi egensúli egenletek: 17 cos Fcos( α1) + cos( β) cos( 90 -α ) ( 50 ) + cos(,9 ) cos( 90-0 ) F 0 17sin Fsin( α1) + sin( β) + sin( 90 α ) ( 50 ) + sin(,9 ) + sin( 90 0 ) F 0 két egenletől álló két ismeretlenes egenletrendszer megoldása ra és re:

25 16,07 kn( ) és 7,5 kn( ). ivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek feltételezett iránítások helesek. másik megoldási lehetőség szerint a kénszerek azonosítása alapán vesszük/tételezzük fel az egensúlozó erők nagságát és iránát. pontan a görgő támaszta meg a tartót, ezért ott a támaszra merőleges iránan vesszük fel az ismeretlen támaszerőt. z pontan csukló iztosíta, hog ne mozdulon el a tartó. Ez a kénszer csak a forgást engedi meg a tartónak, az elmozdulást nem. Emiatt tételezhetük fel a viszonítási koordinátarendszer és iránával párhuzamosan fellépő támaszerőket az pontan (. ára).. ára: Reakcióerők nagságának és iránának feltételezése Een az eseten három egensúli egenlet felírásával és az egenletrendszer megoldásával megkapuk az eredméneket. Nomatéki egensúli egenlet az pontra: ( α ) a + sin( 90 -α ) a 0 Fsin 1 7,5 kn( ). Nomatéki egensúli egenlet a pontra: 0 Fsinα1 ( ) a a iránú vetületi egensúli egenlet: 6,51 kn( ). ( α ) + cos( 90 -α ) F 0 Fcos 1 1,69 kn ( ). z pontan éredő támaszerő eredőe: + 6,51 + 1,69 16,07 kn( ). z éredő első erőket és az igénevételek eloszlását a tartó hossztengele mentén a 5. ára mutata e: 5

26 5. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 1,0 10 (N mm) t () 100(mm) 7,1 10 (mm ) z 60,8 N/mm hal σ. 60,8 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 6,5110 (N) 1,5 10 (mm ) 7 v(),1 10 (mm ) 7,5(mm) 5,07 N/mm hal. τ 5,07 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.. példa: dott a 6. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval ( és pontan) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Határozzuk meg a kör keresztmetszetű C tartószerkezeti elem szükséges átmérőét. Ellenőrizzük a felfüggesztett, szelvénű, vízszintes tartóelemet halításra (normál és nírófeszültség). dott: F kn, a m és α0. Vízszintes tartóelem keresztmetszete: 00 szelvén, z 10 cm, Sz 15 cm, v 7,5 mm, a halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. C kötél szilárdsága: f h.80 N/mm. 6

27 6. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása 7. ára: viszonítási koordinátarendszer elhelezése a közös metszéspontan, reakcióerők nagságának és iránának feltételezése 8. ára: Rosszul feltételezett támaszerő iránának avítása 7

28 iránú vetületi egensúli egenlet: ( α) + sin( α) sin( 0 ) + sin( ) F 0 Fsin 0 kn ( ). Ez azt elenti, hog az támaszerő nagsága kn, irána azonan ellentétes azzal, amit feltételeztünk (8. ára). z iránú vetületi egensúli egenlet: ( α) cos( α) cos( 0 ) cos( ) F 0 Fcos 0 5, 5, kn ( ). 9. ára: Rosszul feltételezett reakcióerő iránának avítása 0. ára: Feltételezett reakcióerők 8

29 Ez azt elenti, hog az támaszerő nagsága 5, kn, irána azonan ellentétes azzal, amit feltételeztünk (9. ára). másik megoldási lehetőség, hog a pontan éredő támaszerő nagságát felvesszük, iránát pedig a C rúdelem hossztengelével párhuzamos. Een nincs változás. ivel az pontan nem ismerük az elmozdulás iránát, ezért felvesszük külön külön az és támaszerőket (0. ára). Nomatéki egensúli egenlet az pontra: ( ) a 0 a Fcosα 5, 5, kn( ). Nomatéki egensúli egenlet a C pontra: C ( α) a 0 a Fcos 17,6 17,6 kn( ). iránú vetületi egensúli egenlet: F ( α) 0 + Fsin 1,78 1,78 kn( ). z pontan éredő támaszerő eredőe: + 1, ,6,0 kn( ). függőleges, C tartóelem igénevétele tiszta húzás, a fellépő maimális első erő megegezik a kénszernél éredő reakcióerővel. 1. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása 9

30 szükséges dc átmérő meghatározása: f h. S C C C S f C h. f h. 5, ,5 mm d C π 0,5 C d C,68 mm d C,5 cm. π felfüggesztett, szelvénű tartón éredő igénevételeket és eloszlásukat a 1. ára mutata e. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 5, 10 (N mm) t 50(mm) 8, N/mm () (mm ) z hal σ. 8, N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 17,6 10 (N) 1,5 10 (mm ) 7 v(),1 10 (mm ) 7,5(mm) 1,7 N/mm hal. τ 1,7 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.5. példa dott a. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval ( és pont) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Ellenőrizzük a zárt szelvén (60 60 ) keresztmetszetű C tartóelemet kihalásra! dott: F 0 kn, a m, 1 m és α60. C tartóelem keresztmetszetére, anagára és a megtámasztására vonatkozó adatok tálázatól: ν 1 (két végén csuklós megtámasztás), 6,61 cm, 5,1 cm, E N/mm, λh ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása 0

31 egoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakcióerők alkoták három erő összesen. z egensúl feltétele, hog ennek a három erőnek a hatásvonala eg pontan metssze egmást. pontan a támaszerő hatásvonalának az irána ismert, mivel a C tartószerkezeti elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. ismeretlen erő nagságát és értelmét vesszük fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszaítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával (. ára). Ez lesz a D pont. Ezen a ponton kell az támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az egensúl feltételének a telesítéséhez. Een az eseten a tartó geometriááól ki tuduk számolni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egensúli egenletek felírásához kellenek. z távolság (d+c) meghatározása: a tanα d +,6 m ( d + c) 0,5 c tan60 0,5 z α meghatározása:. ára: Támaszerők iránításának feltételezése, mad hatásvonalaik meghosszaítása az F erő hatásvonaláig a a tanα c,1m tanα' α' 7, 9. c tan60 ( d + c) c,6,1 iránú vetületi egensúli egenlet: ( α' ) cos( α) 0 + cos( 7,9 ) cos( ) F 0 F + cos 60. 1

32 . ára: Rosszul feltételezett reakcióerő iránának avítása iránú vetületi egensúli egenlet: ( α' ) + sinα ( ) sin( 7,9 ) + sin( ) F 0 sin 60. két egenletől álló, két ismeretlenes egenletrendszer megoldása: 8,08 8,08 kn( ), irána a feltételezettel ellentétes (. ára), 5, kn( ), irána megegezik a feltételezett iránnal (. ára). másik megoldás, hog nomatéki egensúli egenleteket írunk fel. Een az eseten a kiindulási támaszerők nagságának és iránának a feltételezései a 5. ára szerintiek. 5. ára: Reakcióerők feltételezése Nomatéki egensúli egenlet az pontra: a 0 sinα F(a + ) 5, kn( ). sinα

33 Nomatéki egensúli egenlet a pontra: a 0 F (a + ) 6,19 6,19 kn( ). sinα iránú vetületi egensúli egenlet: F ( α) 0 F + cos 1, 1, kn( ). z pontan éredő támaszerő eredőe: + 1, + 6,19 8,07 kn( ). C tartóelem keresztmetszeti ellemzőének, a kiseik inerciasugár meghatározása: i min min 5,1 6,61, cm. tartó redukált hosszának a meghatározása: l red ( d + c) ν,6 1,6 m 6 cm. karcsúsági ténező számítása: λ l red 6 150,., i min λh 105 < 150, λ a kritikus feszültséget a rugalmas kihalás, az Euler-féle képlet szerint kell meghatározni: π E π σ 91,59 N/mm. krit λ 150, C rúdan éredő normál igénevétel megegezik a támasztási pontan fellépő reakcióerővel. C rúdan fellépő normálfeszültség meghatározása: N C 5, 10 σ fel 80,68 N/mm < σ krit 91,59 N/mm EGFELEL! példa dott az 6. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, aloldali végén eg csuklóval ( pont), ooldali végén eg görgővel ( pont) megtámasztva. tartószerkezetet hossztengelére merőlegesen terheli F1, F és F koncentrált erők. Határozzuk meg a kénszereknél éredő támaszerőket számítással és ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F119 kn, F6 kn és F 15 kn, a 1 m. Keresztmetszet: zárt szelvén, z 159 cm, a halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm.

34 6. ára: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegensúlozása reakció erő meghatározás számító elárás során az első lépés, hog a támaszoknál fellépő támasz erők nagságát és iránát feltételezzük. z csukló megakadálozza a tartószerkezet elmozdulását úg, mint iránan. Ezért ott és erőket is feltételeznünk kell. támasz csak a támaszra merőleges elmozdulását akadálozza meg a tartószerkezetnek, íg ott csak eg tengellel párhuzamos hatásvonalú erő nagságát és értelmét feltételezzük (7. ára). tartószerkezetet terhelő erőrendszernek íg öt eleme van elen példáan, F1, F és F ható erők és F, F ismeretlen erők. 7. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása támaszerők nagságának és iránának feltételezése z egensúl feltétele, hog az eredő nagsága nulla legen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószerkezet sem, sem iránan nem mozdul el. zonan ha az eredő erő zérus, az nem elenti automatikusan, hog nem mozdul el a szerkezet. Uganis az eredő erő lehet erőpár is. zaz az erőrendszer eredőének erőértéke zérus, de nomatéka van. Een az eseten a tartószerkezet eg adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egensúl feltétele, hog a tartószerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végezhet. Ehhez nem elegendő a már ismert két vetületi egensúli egenletet felírni: F 0 és F 0 + F1 + F F. atematikai szempontól sem megoldható a két egenletől álló három ismeretlenes egenletrendszer. z erőrendszerre uganúg érvénes a nomatéki tétel is. Ha azonan az erőrendszer eredőe nulla, annak nomatéka ármel tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Íg írhatuk fel tetszőlegesen választott pontra a nomatéki egensúli egenletet. pontot, amire vesszük az erőrendszer valamenni elemének a nomatékösszegét, úg célszerű felvenni, hog

35 az egenleten az ismeretlenek száma minimális legen. Ezt úg érhetük el, hog a nomatékot olan pontra íruk fel, amelen minél tö ismeretlen erő hatásvonala átmeg. Jelen példáan először az pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: 0. F (1,5a) + F (1,5a + 1,75a) F (1,5a + 1,75a + 1,75a) + (1,5a + 1,75a + 1,75a + a) 1 z egenlőségen az egetlen ismeretlen a támasznál fellépő reakcióerő, mivel és hatásvonala is átmeg az ponton, íg nomatékuk az pontra zérus. ehelettesítés után: 0 15,0 1,5 + 6,0,5 19,0 5,0 + 8,0. z egenletől re a következőt kapuk:,15 kn( ). ivel eredménül pozitív értéket kapunk, ez azt elenti, hog heles volt a erőnek feltételezett irána. z eredmén felírása helesen:,15 kn ( ). 8. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása következő lépésen a pontra is felírunk eg nomatéki egensúli egenletet: 0 F (a) F (a + 1,75a) + F (a + 1,75a + 1,75a) 1. (1,5a + 1,75a + 1,75a + a) z egenlőségen az egetlen ismeretlen az támasznál fellépő reakcióerő, mivel és hatásvonala is átmeg a ponton, íg nomatékuk a pontra zérus. ehelettesítés után: 5

36 0 19,0,0 6,0, ,0 6,5 8,0. z egenletől ra a következőt kapuk:,875 kn ( ). ivel eredménül pozitív értéket kapunk, ez azt elenti, hog heles volt az erőnek feltételezett irána. z eredmén felírása helesen:,875 kn ( ). z iránú vetületi egensúli egenletől egértelműen kiderül, hog az pontan feltételezett komponens zérus. z iránú vetületi egenlete, ha ehelettesítünk, ellenőrizhetük a nomatéki egensúli egenletek eredméneit: ΣF 0,875 +, z egenlőség fennáll. z reakcióerő nagsága megegezik az nal ( + 0 +,875,875kN( ) ), hatásvonala párhuzamos az tengellel, míg iránítása pozitív a viszonítási koordinátatengelhez képest. reakcióerőket és az éredő igénevételeket a 8. ára mutata e. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 1,6 10 (N mm) t 100(mm) 9, N/mm () (mm ) z hal σ. 9, N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma.1.7. példa dott a 9. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet és a viszonítási koordinátarendszer. Határozzuk meg a támaszoknál éredő kénszererőket számítással és aduk meg az alkalmazandó szelvént a halítás szilárdsága alapán, ellenőrízzünk nírásra. dott: F11 kn koncentrált erő, q15 kn/m és q kn vonal mentén egenletesen megoszló erők, a m. Keresztmetszet: -szelvén. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 9. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egenes tengelű tartószerkezet 6

37 Első lépésen a megoszló erőket helettesítük koncentrált erőkkel erre azért van szükség, mert a megoszló erőknek a nomatékát eg tetszőlegesen választott pontra a helettesítő erőknek a hatásvonala foga meghatározni, ezek alapán olvassuk le az erőkarokat. q15 kn/m egenletesen megoszló terhelés 1,5a m hosszon hat, míg a q kn/m egenletesen megoszló terhelés a 6 m hosszon hat. helettesítő erők nagsága: Q q 1 (1,5a) 5(1,5 ) 15 kn és Q q (a) ( ) 18 kn. 1 Látható, a helettesítő erő nagsága az azt szimolizáló téglalap területével egezik meg, a hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlpontáa helezzük el (0. ára). 0. ára: Egenletesen megoszló erők helettesítése koncentrált erőkkel 1. ára: Reakcióerők nagságának és iránának, értelmének feltételezése Ezután a tartót megtámasztó kénszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagságát és iránát. z pontan eg csukló a támasz, ami megakadálozza a tartószerkezet elmozdulását és iránokan. Íg az pontan és kénszererőket feltételezünk. pontan eg görgő a kénszer, íg ott a támaszra merőleges hatásvonalú reakcióerőt feltételezünk (1. ára). Ezután már felírhatuk az egensúli egenleteket. Először az pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: 0 1,5a Q Q1 a + a + a 1,5a + F ( 1,5a + a) + ( 1,5a + a + a) 7

38 ( q 1,5a) ( q ( a + a + a) ) 1,5a + F( 1,5a + a) + ( 1,5a + a + a) 1 q1 ( 1,5a) 1,5a ehelettesítés után: a a + a + a ( q a) 1,5a + F(,5a) + (,5a) ( 1,5 ) 5 0 ( ) 1, (,5 ) + (,5 ). z egenlőségől a ismeretlent kifeezve: 6,5 kn( ). pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: ( a + a + 1,5a) ( q 1,5a) a + a + + ( q ( a + a + a) ) a + F a ( a + a + 1,5a) q Q 1 a 8,5 q + ehelettesítés után: 1,5a a + a + + Q 1,5a a + F a a + a + a a + F a a + a + a (,5a ) 5 8, z egenlőségől az ismeretlent kifeezve: 17,5 kn( ). Ellenőrzésként az iránú vetületi egensúli egenletet íruk fel: F 0 q1 5 1,5 1,5a q ( a + a + a) F + ( + + ) ,5+ 6, z iránú vetületi egenleten csak az ismeretlen szerepel, ami íg nullával egenlő. keresett reakcióerők eredménei helesen feltüntetve: 17,5 kn ( ) és 6,5 kn ( ). reakcióerőket és az éredő igénevételeket az. ára mutata e. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma f hal. ma z t () W ma z W z f ma hal. 1, mm 6,7 cm tálázatól: 0 szelvén halítás tengelére keresztmetszeti ténezőe: Wz 5 cm, Sz 06 cm, v 8,7 mm. 8

39 . ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z Sz () 0,5 10 (N) 7 v(),5 10 (mm 5,06 10 (mm ) ) 8,7(mm) 11, N/mm hal. τ 11, N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.8. példa dott az. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet és a viszonítási koordinátarendszer. Határozzuk meg a támaszoknál éredő kénszererőket, és ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F17 kn, α0, q1 kn/m és q kn vonal mentén egenletesen megoszló erők, a m. Keresztmetszet: U-szelvénől és lapos acélól ( v) összeforgatott négszög keresztmetszet: U 180, 0 cm, v 5 mm. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm. Elő felvesszük a kénszereknél az ismeretlen nagságú és feltételezett iránú erőket (. ára), mad nomatéki egensúli egenletet írunk fel az és pontokra. 9

40 . ára: Egenes tengelű tartó általános terhelése. ára: smeretlen nagságú és iránú reakcióerők felvétele q 0 ( 1,5 ) 1 ( 1,5a) q a + 1,5a ( a + 1,5a ) 1,5a + F ( 1,5a + a) sinα + ( 1,5a + a) + 1,5 ( + 1,5 ) 1, ( 1,5 + ) sin0 + ( 1,5 + ) ismeretlenre a következőt kapuk: 16,75 kn( ) F ( 1,5 ) ( 1,5a) sin0 + q sinα + ( + 1,5 ) ( a + 1,5a ) + q 1 1,5a 1,5a a + 1,5a + 1,5 + 1,5 + 1,5 + ( 1,5a + a) ( 1,5 + ) ismeretlenre a következőt kapuk: 1,75 kn( ). z iránú vetületi egensúli egenlet felírása után kifeezhetük az ismeretlent is: F 0 F cosα 1,7 kn( ). z reakcióerő nagsága: + 1,7 + 1,75 19,7 kn ( ). z ismeretlen erőknek feltételezett iránok és iránítások minden eseten ók voltak. másik megoldási lehetőség, hog visszavezetük a példát három erő egensúlára. Ehhez meg kell határozni az aktív erők eredőét. Een az eseten a viszonítási koordinátarendszert célszerű a tartó valamelik végén elhelezni (5. ára), amit most az pontan veszünk fel. 0

41 5. ára: viszonítási koordinátarendszer felvétele az aktív erők eredőének a meghatározásához F F cosα 1,7 kn( ). F F sinα q 1 1,5a q,5a 9,5 F 9,5kN( ). FR F + F 1,7 + 9,5,97 kn( ). 6. ára: ktív erők eredőének hele és helzete a tartón tgα R R F α R 6, 8 F O,5m F R (6. ára) R q 1 ( 1,5a ) q a + 1,5a ( a + 1,5a ) 1,5a + F sinα ( 1,5a + a ) z aktív erők eredőének (FR) a hatásvonala az pontan metszi a támaszerő hatásvonalát, eől adódóan az pontan éredő egensúlozó erő hatásvonalának is ezen az ponton kell áthaladnia, iránítása pedig adódik a vektorháromszögől. 1

42 eghatározható az támaszerő hatásvonalának a viszonítási koordinátatengelekkel ezárt α szöge: tg α R tgα R (a R ) 6,9m és a tgα α 0,9 R 7. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása Ez alapán az és iránú vetületi egensúli egenletek: F 0 F cosα cosα 19,8 kn( ) és R R F FR sinα R + + sin α 16,7kN( ). reakcióerőket és az éredő igénevételeket az 7. ára mutata e. keresztmetszet z súlponti, halítás tengelére vett inerciáa: U 180 z z 1 cm. v h + v + v 00, ,5 0,5

43 halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 6,75 10 (N mm) t 95(mm) 76,17 N/mm () 7,110 (mm ) z hal σ. 76,17 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma.1.9. példa dott az 8. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket és a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød átmérőét és ellenőrízzünk nírásra. dott: F0 kn koncentrált erő, q5 kn/m vonal mentén egenletesen megoszló erő, 8 knm koncentrált nomaték, a 1 m. halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 8. ára: Kéttámaszú tartó kiegensúlozása egoldás: elő felvesszük a kénszereknél az ismeretlen nagságú és iránú erőket (9. ára), mad nomatéki egensúli egenletet írunk fel az és pontokra. z pontan csak függőleges, iránú erőt veszünk fel, mivel az kivételével iránú erő nem működik az erőrendszeren. Íg a vízszintes vetületi egensúl csak úg telesül, ha q ( a + 0,75a) a 0,75a a + 1,5a + + F a + a 1+ 0,751 ( 1+ 0,751) 1+ 1, ismeretlenre a következőt kapuk: 15,6 kn ( ). 0 a + Fa + + q,75a 0,75a ,75 0,75 z ismeretlenre a következőt kapuk: 18,9 18,9 kn ( ). reakcióerőket és az éredő igénevételeket az 50. ára mutata e.

44 9. ára: smeretlen támaszerők felvétele / feltételezése 50. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása halításól származó maimális normálfeszültség: 6 hal. ma ma d ma 18,9 10 σ ma f hal. t () d 119, mm z d π f hal. π 110 π 6 d 10 mm. félszelvén statikai nomatéka a halítás tengelére:

45 1 π d Sz ( 0) 0, 565,87 5, 6 1,97 cm. d 1 π 10 súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 10 π z 1018 cm , Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 18,9 10 (N) 1, 10 (mm ) 7 v() 1,0 10 (mm ) 10(mm),15 N/mm hal. τ,15 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma 5

46 . Kéttámaszú, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők egüttesen) hatására a tartó elseéen is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük első erőknek vag más néven igénevételeknek. tartószerkezet eg tetszőleges K keresztmetszetének igénevételét ol módon határozzuk meg, hog a K keresztmetszettől ora vag alra ható külső erők (aktív és reakció erőket egüttesen értük) eredőét számítuk ki. egkülönöztetük a normál igénevételt (tartószerkezet hossztengelével párhuzamos hatásvonalú külső erők eredőe), níró igénevételt (tartószerkezet hossztengelére merőleges hatásvonalú külső erők eredőe) és a halító igénevételt. z eges igénevételekről, elsőerő típusokról már etettünk szót. Een a feezeten olan egenes tengelű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelekre nemcsak tengeliránú, hanem hossztengelre merőleges külső erők is hatnak. Íg nemcsak normál, hanem níró és halító igénevételek is fellépnek. feladat, hog a első erők változását a tartó hossztengele mentén megszerkesszük, illetve megrazoluk. Ehhez a tartó valamenni keresztmetszetéen ismernünk kell a fellépő igénevételeket. z igénevétel (első erő) definícióát megismételük: a tartószerkezet eg tetszőleges K keresztmetszetének igénevételén az adott K keresztmetszettől ora vag alra ható külső erők (aktív és reakció erők) eredőét értük..1. génevételi árák szerkesztési szaálai Jelölések: N normálerő ára T níróerő ára halító nomatéki ára 1. tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ára vonala a tartótengellel párhuzamosan halad.. Koncentrált erő helén az N és T árán az erő megfelelő iránú összetevőének megfelelő ugrás van.. nomatéki ára vonala lineárisan halad azon a szakaszon, ahol nincs erőhatás. koncentrált erő helén az áráan törés van.. z és T ára között differenciális kapcsolat van. níróerő ára függvénét integrálva kapuk a nomatéki ára függvénét, illetve a nomatéki ára függvénét deriválva kapuk a níróerő ára függvénét. 5. Előző pontól következik, hog a nomaték heli/lokális szélsőértékei ott lépnek fel, ahol a níróerő nulla. 6

47 6. tartó végein, ha nincs koncentrált nomaték, akkor a nomaték nulla. 7. Koncentrált erő helén a nomatéki áráan törés van. 8. egoszló terhelés alatt a T ára vonala ferde helzetű egenes, meredeksége a teherintenzitás. 9. egoszló terhelés alatt az ára paraola, adott pontához húzott érintő irántangense az adott hel níróeree. 10. z N és T árán a koncentrált nomaték nem okoz változást. 11. koncentrált nomaték helén, az árán a nomatéknak megfelelő ugrás van példa dott az 51. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartó halításra és nírásra. dott: F7 kn, q1 kn/m és q kn/m, a m és α60. keresztmetszet: 80 szelvén. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 51. ára: Egenes tengelű, kéttámaszú tartó terhelések és támaszerők Először mindig a normál igénevételi árát razoluk meg. zokat az erőket összegezzük az eges keresztmetszeteken, amelek hatásvonala párhuzamos a tartó hossztengelével. Een az eseten az ől és az F erő iránú komponenséől származik normál igénevétel. 5. ára mutata a normál igénevételnek az eloszlását a tartó hossztengele mentén. szerkesztési szaáloknak megfelelően láthatuk, hog a tartóra két helen koncentrált normál erő ( és F) hat. Ezeken a heleken azonos nagságú, de ellentétes iránú ugrás található, mivel a két erő iránítása ellentétes. terheletlen szakaszon a tartó hossztengelével párhuzamosan haladunk. Nagon egszerűen ellenőrizhetük, hog ól dolgoztunk e. Uganazon keresztmetszeten két oldalról nézve a első erőknek ki kell egensúlozniuk egmást. zaz azonos keresztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos nagságú, de ellentétes iránítású erőket kell kapnunk eredménül. 7

48 5. ára: Normálerő ára Elő az ponttól tetszőleges < 5 m távolságan található K keresztmetszetet vizsgáluk. 5. ára felső részén láthatuk, hog a K keresztmetszettől ora eső tartószerkezeti részt megtartottuk. alra található összes (elen eseten eg) normálerőnek a hatását vettük figeleme a vizsgált K keresztmetszetre. 5. ára alsó részén a tartó al oldali részét tartottuk meg, és a K keresztmetszettől ora lévő normálerők hatását összegeztük a vizsgált keresztmetszetre. Látható, hog két oldalról nézve uganazon K keresztmetszeten a első erő nagsága azonos, iránítása ellentétes. 5. ára: Normál igénevétel értelmezése uganazon K keresztmetszeten, két oldalról nézve normálerő ára alá közvetlenül razoluk a níróerő árát. zoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, meleknek a tartó hossztengelére merőleges komponense van. Ezek az, q1, q, F és erők. tartó al oldalán az pontan az koncentrált erőhatás miatt az erő nagságának megfelelően ugrunk (5. ára), a níró igénevétel értéke az keresztmetszeten 11,8 kn első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helzetű egenessel indulunk el az ugrással ellentétesen, mivel q1 és egmással ellentétes irána mutatnak második lépés. C keresztmetszet níró igénevételének meghatározás a keresztmetszettől ora és alra eső níróerők eredőének külön külön meghatározásával (55. ára). 8

49 5. ára: Níróerő ára első, második lépés 55. ára: C keresztmetszet níró igénevételének értelmezése két oldalról nézve Ha a C keresztmetszettől alra eső níró erőket összegezzük: T q 1 11,8 5,8 T 5,8 kn( ). C Ha C keresztmetszettől ora eső níró erőket összegezzük: T C q 5 15, 6,06 5 5,8 T 5,8 kn( ). F Láthatuk, hog uganazon keresztmetszeten két oldalról vizsgálva a két níró igénevétel éppen kiegenlíti egmást. zaz a C keresztmetszeten fennáll az egensúl, mivel a nagság megegezik (a minimális eltérés a kerekítésekől adódik), míg az iránok ellentétesek egmással. nnen a q megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egenessel haladunk tová egészen az F koncentrált erő támadáspontáig harmadik lépés, ahol az F erő komponensének megfelelően ugrunk lefele (56. ára) negedik lépés. C C 9

50 56. ára: Níróerő ára harmadik, negedik lépés T q 11,8 0,16 T 0,16 kn( ). D q1 z árán az erők nagsága és a geometria miatt nehezen látható, de a níró erő értéke a tengel alá esik a vizsgált keresztmetszeten. Ezután ön az F erő komponensének a figelemevétele: T q q 11,8 0,16 F 0,16 6,06 6, D 1 ( ) T 6, kn. D Ha D keresztmetszettől ora eső níró erőket összegezzük: D 57. ára: D keresztmetszet níró igénevételének értelmezése két oldalról nézve T q 15, 6, D D 6, kn( ) z F erő komponensének a figelemevétele: T. T q 15, 6, F 6, 6,06 0, 17 D D 0,17 kn( ) T. 50

51 nnen toválépve a q megoszló terhelésnek megfelelően ferde helzetű egenessel haladok tová a következő koncentrált erőhatásig, ami a erő ötödik lépés. Végül pedig a koncentrált erő nagságának megfelelően felfelé ugrunk hatodik lépés (58. ára). 58. ára: Níróerő ára ötödik, hatodik lépés keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D keresztmetszeteké. 59. ára: Nomatéki ára szerkesztése első lépés 51

52 z utolsó igénevétel fata a halító nomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztengele mentén. Ezt az árát közvetlenül a níróerő ára alá razoluk. Fontos tudnivaló (ahog a szerkesztési szaáloknál már említettük), hog a nomatéki és níróerő ára között differenciális kapcsolat áll fenn. Ennek figelemevételével legelőször megnézzük, melik keresztmetszeten áll fenn a T 0 egenlőség ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőértéknek kell lenni. Ezután, megnézzük, hog a tartó végein működik e koncentrált nomaték ha nem, ott a nomaték értéke zérus. Végül pedig megtekintük, hog a tartón működik e valahol koncentrált nomaték ha igen, ott ugrás lesz a nomatéki árán. Ezek figelemevételével tesszük meg az első lépést a nomatéki ára razolásakor. 59. ára mutata, hog T 0 a D keresztmetszet közvetlen közeléen lesz mivel nagon kis távolságról van szó, ezért úg tekintük, hog a D keresztmetszeten van a zérus. zt is láthatuk, hog a tartón sehol, se a végeken, se a tartószerkezeten nem működik koncentrált nomaték, íg a tartó két végén zérus a nomaték, és nem lesz ugrás sem a nomatéki áráan. Következő lépésen a D keresztmetszet halító igénevételét vizsgáluk meg két oldalról nézve, megkeressük a lokális szélsőértéket (60. ára). 60. ára: D keresztmetszet halító igénevételének értelmezése két oldalról nézve q D + q1,5 5 +,5 11,8 5, D, knm ( ) és D D q 1,5 + 1,5 + 15,,19, 19 knm ( ). Láthatuk, hog a halító igénevétel nagsága mindkét eseten, knm, és mindkét eseten az alsó a húzott oldal. Uganazon D keresztmetszeten két oldalról nézve az igénevételek kiegenlítik egmást, azaz az egensúl fennáll. 5