Dr. Karácsonyi Zsolt

Átírás

1 tananagfelesztés a TÁOP-.1.1.C-1/1/ sz. proekt keretéen valósult meg Nugat-magarországi Egetem Simoni Károl űszaki, Faanagtudománi és űvészeti Kar űszaki echanika és Tartószerkezetek ntézet Szilárdságtan Dr. Karácsoni Zsolt Digitális egzet/tananag Sopron, 015

2 tananagfelesztés a TÁOP-.1.1.C-1/1/ sz. proekt keretéen valósult meg Szerző: Dr. Karácsoni Zsolt egetemi adunktus Lektorálta: Dr. ndor Krisztián egetemi docens SN Kiada: Nugat-magarországi Egetem Kiadó 900 Sopron, acs-zs. u.. Felelős kiadó: Prof. Dr. Németh Róert tudomános és külügi rektorhelettes digitális tananag a TÁOP-.1.1.C-1/1/ számú proekt keretéen, az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális lap társfinanszírozásával valósult meg. Karácsoni Zsolt, 015.

3 Tartalomegzék Tartalomegzék... Előszó, evezetés Keresztmetszeti ellemzők (terület, súlpont, súlponti tengelre számított inercia, keresztmetszeti ténező, inerciasugár) meghatározása Síkeli erőrendszerek kiegensúlozásának ismétlése Kéttámaszú, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése génevételi árák szerkesztési szaálai erev efogású, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése Tört tengelű tartók igénevételeinek ismétlése Gerer tartók igénevételeinek ismétlése Háromcsuklós keretek igénevételeinek ismétlése Húzó igénevétel, húzófeszültség Nomó igénevétel, nomófeszültség Halító igénevétel, halításól származó normál (húzó-nomó) és nírófeszültség Csavaró igénevétel, csavarásól származó nírófeszültség Kör és körgűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nomatéka és poláris keresztmetszeti ténezőe Kör és körgűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nírófeszültség Közelítően tiszta níró igénevétel, nírófeszültség Kihalás Felhasznált és aánlott irodalom... 15

4 Előszó, evezetés mechanika a fizikának eg területe, általánosan úg lehet megfogalmazni, hog a testek mozgásával, a testekre ható erőkkel és a kettő közötti összefüggésekkel foglalkozó tudomán. E szerint a mechanika felosztható (1. ára) kinematikára és dinamikára. 1. ára: mechanika felosztása kinematika csak a testek mozgását vizsgála téren és idően, de a mozgást kiváltó okokat (az erőket) nem tárgala. dinamika a testek egmásra hatásával foglalkozik, figeleme veszi a testekre ható erőket, a mozgások kiváltó okait. Eszerint a dinamika továi két csoportra ontható: statikára és kinetikára. statika azokat a testeket vizsgála, melek nugaloma vannak a rá ható erők következtéen, míg a kinetika az erők hatására mozgásan lévő testeket tárgala. merev testek statikááan (röviden statika) vizsgált tartószerkezetek anagát telesen merevnek tekintük. Ez azt elenti, úg tekintük a terhelt testet (tartót), hog az alakát, méreteit nem változtata a rá ható erők következtéen. szilárd testek statikááan (röviden szilárdságtan) vizsgált tartószerkezetek anagát szilárdnak tekintük. Ez azt elenti, nem csak a tartóra működő külső erők egensúlával, azok eloszlásával (igénevételek) foglalkozunk, hanem a test (tartó) alakváltozásait és a keletkező/éredő feszültségeket is vizsgáluk. mechanika a mérnökképzések műszaki alapozó tárga, amelnek az ismeretek elsaátításán túl nag elentősége van a mérnöki prolémafelismerő és megoldó készség felesztésen. egzet döntően a szilárd testek statikáával (szilárdságtan) foglalkozik gakorlati példák emutatásán keresztül. Ehhez azonan nagon fontos ismerni a tartók egensúli helzetének feltételeit, körülméneit. Emiatt a példatár első feléen a lehető legrészleteseen foglalkozunk a merev testek statikáának (statika) átismétlésével és elmélítésével, míg a második részen háttére szorítuk ezeket, és a szilárdságtani ismeretekre fektetük a hangsúlt. z eges feezet címeknek megfelelően fordítuk a figelmet a különöző témakörökre.

5 1. Keresztmetszeti ellemzők (terület, súlpont, súlponti tengelre számított inercia, keresztmetszeti ténező, inerciasugár) meghatározása példa dott a. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S) a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a,5 cm.. ára: Súlpontszámítás, viszonítási koordinátarendszer elhelezése megoldáshoz a keresztmetszetek elsőrendű statikai nomatékának a definícióát használuk fel. Először eg viszonítási koordinátarendszert veszünk fel lehetőség szerint a megadott keresztmetszet valamelik szélső, sarokpontáan (. ára). Ezután felosztuk a síkidomunkat olan szaálos keresztmetszetrészekre, melek súlpontának a hele egértelmű (. ára). Ez négszög, háromszög, kör vag félkör is lehet. keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapuk. a (a + 0,75a + 1,5a),5 a,5, 0,1 cm ,5 a 0,75 a 1,15 a 1,15, 7,0 cm ,1 cm ,5 a + 1,15 a +,5 a 7,65 a 0,1 + 7,0 + 0, 1 7,65 cm. 5

6 6 súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire külön - külön.. ára: z összetett keresztmetszet felosztása súlpontszámításhoz. ára: súlponti tengelek helzete a viszonítási koordinátarendszerhez képest keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: a 0,5 ) a (,5 a 1,75 ) a (1,15 a ) a (,5 a 7, ' S S S

7 7,65 a S 9,75 a + 1,97 a + 1,6 a amiől: S 1,5 a 7,65 a 1,75 a 1,75,5,8cm Látható, hog az súlponti tengel éppen a keresztmetszet iránú hosszának a felée esik. Ha alaposan szemügre vesszük. ára elrendezését, látható, hog az súlponti tengel szimmetria tengel is egen. későiekre nézve azt a megállapítást tehetük, hog amennien eg keresztmetszet rendelkezik szimmetriatengellel, akkor az egen súlponti tengel is. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' S ,65 a (,5 a ) 1,65 a + (1,15 a ) 1,75 a + (,5 a ) 1,65 a S 7,65 a S 5,8 a + 1,55 a + 5,8 a amiől: 1,11 a S 1,59 a 1,59,5,98 cm. 7,65 a 5. ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (5. ára). keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: 7

8 ,5a a 1 + (,5a a) (1,5a) 0,75 a (1,5 a) + 1 0,5 a + 10,16 a + 0,1 a 10,91 a 10,91,5 6,17 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a (,5a) 1 + (a,5a) (0,05a) 1,5 a (0,75 a) (1,5 a 0,75 a) (0,15a) 5,7 a ,05 a + 0,05 a 5,8 a 5,8,5 7, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 10,91 a 6,17 W 6, a 6,,5 97, cm. t 1,75 a,8 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 5,8 a 7, W,51 a,51,5 5,8 cm. t 1,66 a,15 keresztmetszetek ellemzésére gakran használatos menniség az inerciasugár: keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i. i 10,91 a 1,196 a 1,196, 5,99 cm. 7,65a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 5,8 a 0,87 a 0,87, 5,19 cm. 7,65a példa dott a 6. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a 1,6 cm. 6. ára szerint az összetett keresztmetszetet vastag vonallal elöltük és három téglalapra osztottuk fel. keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapuk. a 1,5 a 1,5 a 1,5 1,,8 cm. 1 6 a,5 a 9 a 9 1,,0 cm. 6 8

9 a a a 1, 10, cm ,5 a + 9a + a 1,5 a,8 +,0 + 10, 7,1 cm. 6. ára: Összetett keresztmetszet felontása téglalapokra súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire külön - külön. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' 1,5 a S (1,5 a ),75 a + (9 a ),5 a + (a ),5 a S 1,5 a S 5,6 a + 0,5 a + 1 a amiől: S 9,88 a 1,5 a,75 a,75 1,6, cm 7. ára: súlponti tengelek helzete a viszonítási koordinátarendszerhez képest 9

10 keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' 1,5a S (1,5 a ) 0,5a + (9 a ) a + (a ) a S 1,5 a S 0,75 a + 18 a + 16 a 5,75a amiől: S,a, 1,6,8cm. 1,5a súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (8. ára). keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a (1,5a) 1 a (a) (a 1,5a) a + (a a) (0,75a) + a (,5 a) 1 + (a,5a) (0,5a) + 0,8 a + 1,5 a + 15,19 a +,5 a + 1, a +,5 a,8 a,8 1,6 19, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: 1,5 a a 1 a (a) (1,5a a) (1,9a) + (a a) (1,6a) +,5 a ( a) 1 + (,5 a a) (0,a) + 0,15 a + 5,15 a + a + 1, a + 1, a + 10, a 1,55 a 11, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe:,8 a 19, W 8,9 a 8,9 1,6,96 cm. t,75 a, keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1,55 a 11, W 8,9 a 8,9 1,6,95 cm. t,6 a,16 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 1,55 1,6 i,8 a 1,5 a 1,5 1, 6,0 cm. 1,5 a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 10

11 i 1,55 a 1, a 1, 1, 6 1,95 cm. 1,5 a 8. ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése példa dott a 9. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a 8 cm. 9. ára: T alakú keresztmetszet keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek (az árán nem tüntettük külön fel, egértelmű kell legen) területeinek összegzésével kapuk. a a a 56 cm. 1 8 a a a 56 cm a + a 8a cm. 11

12 súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire. ivel az tengel szimmetria tengel, ezért súlponti tengel is egen, ezért csak tengelre íruk fel a statikai nomatékot. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: S ' S a S (a ),5 a + ( a ) a 6a 8 a S 18 a + 8 a amiől: S,5 a,5 8 6cm. 8a súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (10. ára). keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a a 1 + (a a) (1,5 a) + a ( a) 1 + (a a) (1,5a) 0, a + 6,5 a + 5, a + 6,5a 18,16 a 18, cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a (a) a a + 5, a + 0, a 5,66 a 5, cm ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 18,16 a 78 W 5,59 a 5, cm. t,5 a 6 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 5,66 a 18 W,8 a, cm. t a 16 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 1

13 1 8 1,51 a 1,51 a 8 a 18,16 i 1,08 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: 8 0,8 a 0,8 a 8 a 5,66 i 6,7 cm példa dott a 11. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a cm. 11. ára: szimmetrikus alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve) és felosztása téglalapokra keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek (11. ára) területeinek összegzésével kapuk. 1 a a a 1 cm. 8 a 8 a a 8 cm. 5 a 5 a 5 a 0 cm a 16 a 5 a 8 a 1 6 cm. súlpont meghatározásához az elsőrendű statikai nomatékot íruk fel a felvett viszonítási koordinátarendszer tengeleire. ivel az tengel szimmetria tengel, ezért súlponti tengel is egen, ezért csak tengelre íruk fel a statikai nomatékot. keresztmetszet tengelre vett statikai nomatéka: a 0,5 ) a (5 a 5 ) a (8 a 9,5 ) a ( a ' S S S + + a,5 a 0 a 8,5 a 16 S

14 71a amiől: S,75 a,75 8,88 cm. 16a súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk (1. ára). 1. ára: súlponti tengelekre számított inerciához a teles keresztmetszet és az eges keresztmetszet részek súlponti tengeleinek elhelezkedése keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: a a 1 5a a (a a) (5,06 a) + (5a a) (,9 a) + a (8 a) 1 + (a 8a) (0,56a) + 0,5a + 76,81 a +,67 a +,51 a + 0,a 0 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: + 77,6 a 00,8 a 00,8 a (a) 1 8a a + 1 a (5a) + 1,5a + 0,67 a + 10, a 1, a 1 cm. keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1, 00,8 a 0 W 6 a 6 88 cm. t 5,565 a 11,1 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1, a 1 W 5, a 5,,6 cm. t,5 a 5 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 00,8a,5 a,5 7,08 cm. 16a 1

15 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 1, a 0,91 a 0,91 1,8 cm. 16 a példa dott a 1. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: a cm. 1. ára: Szimmetrikus alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve) keresztmetszet területét az eges keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapuk. a 5 a 5 a 5 5 cm. 1 8a a 8a 8 7 cm a + 8 a + 5 a 18 a cm. keresztmetszet és tengele is szimmetriatengel, íg súlponti tengelek is. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket alkalmazzuk. 5a a 1 + (5a a) (,5 a) 6 a cm. + a (8 a) 1 0,8 a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciáa: + 0,5 a +,67 a a (5a) + 8 a a 0,8 a + 0,67 a 1,5 a 1,5 171,5 cm. 1 1 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 6 a 1996 W 9, a 9, 18, cm. t 5 a 15 15

16 keresztmetszet súlponti tengelére vett keresztmetszeti ténezőe: 1,5 a 171,5 W 8,6 a 8,6, cm. t,5 a 7,5 keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 6a,7 a,7 11,1 cm. 18a keresztmetszet súlponti tengelére vett inerciasugara: i 1,5 a 1,09 a 1,09,7 cm. 18 a példa dott a 1. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: Ød 0 cm. 1. ára: Kör keresztmetszet (vastaggal kiemelve) keresztmetszet területe: d π 0 π 1,16 cm. keresztmetszet és tengele is szimmetriatengel, íg súlponti tengelek is. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 0 π 785 cm. 6 6 súlponti tengelekre vonatkozó keresztmetszeti ténező számítása: d π 0 π d π 0 π W 6 6 W 785, cm. d d 0 súlponti tengelekre vonatkozó inerciasugár számítása: 16

17 i i d π 6 d π d π 6 d π d 16 d 0 5 cm példa dott a 15. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti ellemzőket, a síkidom területét, súlponti koordinátáit (S; S), a súlponti tengeleire vett inerciákat és keresztmetszeti ténezőket, illetve az inerciasugarakat. dott: ØD 15 cm, Ød 11 cm. D - d π ( ) ( ) keresztmetszet területe: π 81,68 cm. 15. ára: Gűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve) keresztmetszet és tengele is szimmetriatengel, íg súlponti tengelek is. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: (D d ) π (15 11 ) π 1766 cm. 6 6 súlponti tengelekre vonatkozó keresztmetszeti ténező számítása: (D d ) π (15 11 ) π (D d ) π (15 11 ) π W 6 6 W 5,5 cm. d D D súlponti tengelekre vonatkozó inerciasugár számítása: i ( D -d ) π ( D -d ) π i 6 ( D -d ) π 6 ( D -d ) π 16 ( D - d ) ( D - d ) ( ) ( ) ,65 cm. ( D -d ) ( ) D -d 17

18 . Síkeli erőrendszerek kiegensúlozásának ismétlése.1.1. példa: dott a 16. ára szerinti szerkezet, az C és C tartószerkezeti elemek, az, és C pontok hele és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Határozzuk meg a támaszoknál fellépő reakcióerőket számítással és a zárt szelvén keresztmetszetű C tartóelemet ellenőrizzük tiszta húzásra. dott: a m, m, c m, F kn. keresztmetszet: 80X60X zárt szelvén, 5,9 cm. rúd szilárdsága: f h.100 N/mm. számító elárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagságukat és iránukat (értelmüket), meg kell ecsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példáan: az és csuklóknál fellépő reakciók nagságát F nak és F nek feltételezzük. z iránuk: mivel az C és C tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerkezeti elemen nincs erő (önsúltól eltekintünk) ez azt elenti, hog een a két tartószerkezeti elemen rúdiránú erők lépnek fel. zaz: két végén terhelt, csuklós rudakan csak rúdiránú erő éred. miől következik, hog ezek a tartószerkezeti elemek rúdiránan akarnak elmozdulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarák megakadálozni. 16. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása daruszerkezet zaz az ismeretlen támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hossztengelével, a kérdés csak az iránításuk. Ha azt nem tuduk kikövetkeztetni a külső ható erőkől és a tartószerkezet elrendezéséől, akkor feltételeznünk kell (17. ára). következő lépésen a vetületi egenleteket használuk fel, amit egensúlozási feladatok megoldása során vetületi egensúli egenleteknek nevezünk. z egenlőség egik oldalán az erőrendszer valamenni, ismert és ismeretlen elemének összegezzük előelhelesen a viszonítási koordinátarendszerrel párhuzamos komponenseit, és ezeket egenlővé tesszük nullával. Uganis ha az erőrendszer 18

19 R R R eredőe nulla, akkor F F + F 0 egenlőség csak úg lehet igaz, ha az eredő erő viszonítási tengelre vett komponensei külön külön egenlők nullával. 17. ára: Támaszerők nagságának és értelmének a feltételezése ( α) + F cos( β) F 0 F cos és F ( α) + F sin( β) F 0 F sin. Elői két egenleten két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hog a két egenletől álló két ismeretlenes egenletrendszert megolduk. z α és β szögek meghatározása: c α arctan arctan a + + 8,66 és c β arctan arctan 6,. ehelettesítés a vetületi egenleteke: ( α) + F cos( β) F cos( 8,66 ) + F cos( ) F 0 F cos 6, és F 0 F sin z első egenletől: F F cos cos ( α) + F sin( β) F F sin( 8,66 ) + F sin( 6, ) ( 6, ) ( 8,66 ) mad ehelettesítve második egenlete:, 19

20 F cos 0 cos F cos cos ( 6, ) ( 8,66 ) ( 6, ) ( 8,66 ) sin sin ( 8,66 ) + F sin( 6, ) ( 8,66 ) + sin( 6, ) F 6,7kN ( ) cos( 6, ). sin( 8,66 ) + sin( 6, ) cos( 8,66 ) Visszahelettesítés után F ra a következőt kapuk: F ( 6, ) ( 8,66 ) cos( 6, ) ( 8,66 ), ahonnan F cos 6,7 6, F 6,kN( ). cos cos Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagsága F 6, kn és F 6,7 kn. z F kénszererőnek feltételezett iránítás heles volt, mivel pozitív értéket kaptunk. zonan az támasznál feltételezett támaszerőnek az előele negatív, ami annit elent, hog az ismeretlen értelmű erőnek a feltételezett irán nem volt ó. valós iránítása az erőnek éppen ellentétes (18. ára). ásik megoldási lehetőség, ha két dara nomatéki egensúli egenletet írunk fel. Elő az pontra: 0 F a F(a + ) F sinβ a F(a + ), mad a pontra: 18. ára: z ismeretlen támaszerők nagsága és iránítása helesen árázolva 0 F z első egenletől: a F F sinα a F 0

21 F F(a + ) ( + ) sinβ a sin(6, ) 6,6 kn( ). második egenletől: F F 6, 8 F 6,8 kn( ). sinα a sin(8,66 ) z C tartószerkezeti elem igénevétele tiszta húzás, níró és halító igénevétel nem lép fel, a maimális normál igénevétel megegezik az F reakcióerővel. z C tartószerkezeti elemen fellépő húzófeszültség: húzó N ma 6,8 10 σ 67,1 N/mm. 5,9 10 Összehasonlítás a szilárdsággal: f h.100 N/mm > 67,1 N/mm σhúzó EGFELEL.1.. példa: dott a 19. ára szerinti szerkezet, az C és C tartószerkezeti elemek, az, és C pontok hele és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Feladat, hog meghatározzuk az és csuklóknál fellépő támaszerőket számítással és az C, C kör keresztmetszetű tartószerkezeti elemek szükséges átmérőét. dott: a m,,5 m, c,5 m, F7 kn. rudak/kötelek szilárdsága: f h.100 N/mm. 19. ára: Közös metszéspontú erőrendszer Feltételeznünk kell az ismeretlen reakció erők nagságát és értelmét (0. ára). hatásvonaluk ismert, mivel az C és C tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül éri terhelés. Íg ezek az elemek hossztengelükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni. 1

22 0. ára: Reakció erők nagságának és értelmének a feltételezése Ezt az elmozdulást akadálozzák meg a támaszoknál fellépő kénszererők, amik hatásvonala íg az C és C tartószerkezeti elemek hossztengelével párhuzamos. Következő lépésként célszerű felvenni a viszonítási koordinátarendszert, és elhelezni aa a ponta, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egmást elen eseten ez a C pont. Uganekkor feltüntetük a két tartószerkezeti elem hossztengelének (azaz a feltételezett reakcióerők hatásvonalának is egen) a viszonítási koordinátarendszer tengeleivel ezárt szögeit (1. ára). Ezután kezdhetük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítuk a a ki: α arctan arctan 58 és β arctan arctan 1,6.,5 c,5 Következő lépésen írhatuk fel a vetületi egensúli egenleteket: F F ( ) + F cosβ ( ) 0 F cosα és 0 F sin ( α) + F sinβ ( ) F két egenletől álló két ismeretlenes (F, F) egenletrendszer megoldása után a következőket kapuk eredménül a reakcióerőkre: F 0,7 kn( ) és F 1,51 kn( ). Ezek a reakció erők nagságai. ivel az egenletrendszer megoldásáól pozitív értékeket kaptunk megoldásul, ez annit elent, hog a támaszerőknek feltételezett iránítás heles volt, azok megfelelnek a 1. ára szerint feltüntetettnek. ásik megoldási lehetőség, hog felírunk az és pontokra nomatéki egensúli egenleteket: ( ) ( c) 0 F + F sinβ + és

23 1. ára: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonítási koordinátarendszer tengeleinek a ezárt szöge ( α) ( c) 0 Fc F sin +. Ezekől uganazokat az eredméneket kapuk a támaszerőkre. z C és C tartószerkezeti elemek igénevétele tiszta húzás, níró, halító igénevétel nem lép fel. maimális húzóerők megegeznek a támaszoknál éredő reakcióerőkkel. szükséges dc átmérő meghatározása: f h. S C C C S f C h. f h. 0, ,7 mm d C π 0,7 C d C 16,1 mm d C cm. π szükséges dc átmérő meghatározása: f h. S C S C 1,5110 C 15,1 mm f f 100 C h. h. d C π 15,1 C d C 1,59 mm d C 1,5 cm. π.1.. példa: dott a. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, ami egik végén eg csuklóval ( pont), másik végén eg görgővel ( pont) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket számítással, számítsuk ki a halításól származó maimális normál és nírófeszültség és ellenőrizzünk. dott: F 17 kn, a 1 m, α150 és α0. Szelvén: -00 z 10 cm, Sz 15 cm, v 7,5 mm. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm.

24 . ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása z erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az és ismeretlen támaszerők. Ennek a három erőnek kell egensúlan lennie. Három erő egensúlának a feltétele, hog hatásvonalaiknak eg pontan kell metszeniük egmást és a vektorsokszögnek foltonos nílértelemmel kell záródnia. vetületi egenleteknek egenként zérussal kell egenlőnek lennie.. ára: viszonítási koordinátarendszer elhelezése a közös metszéspontan, reakcióerők nagságának és iránának feltételezése ( ) ( ( )) sinα Sinus tételől: sin 180 α 90 α Cosinus tételől: 1 sin sin ( 50 ) ( 70 ) 1 1,6m ( a) + ( a) cos( 90 α ) ( 1) + 1,6 ( 1) 1,6 cos( 90 0 ),8m c ( ) 1 ( ) c + a, ,6 Cosinus tételől: β arccos ( ) arccos ( ), 9 c a,8 1 és iránú vetületi egensúli egenletek: 17 cos Fcos( α1) + cos( β) cos( 90 -α ) ( 50 ) + cos(,9 ) cos( 90-0 ) F 0 17sin Fsin( α1) + sin( β) + sin( 90 α ) ( 50 ) + sin(,9 ) + sin( 90 0 ) F 0 két egenletől álló két ismeretlenes egenletrendszer megoldása ra és re:

25 16,07 kn( ) és 7,5 kn( ). ivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek feltételezett iránítások helesek. másik megoldási lehetőség szerint a kénszerek azonosítása alapán vesszük/tételezzük fel az egensúlozó erők nagságát és iránát. pontan a görgő támaszta meg a tartót, ezért ott a támaszra merőleges iránan vesszük fel az ismeretlen támaszerőt. z pontan csukló iztosíta, hog ne mozdulon el a tartó. Ez a kénszer csak a forgást engedi meg a tartónak, az elmozdulást nem. Emiatt tételezhetük fel a viszonítási koordinátarendszer és iránával párhuzamosan fellépő támaszerőket az pontan (. ára).. ára: Reakcióerők nagságának és iránának feltételezése Een az eseten három egensúli egenlet felírásával és az egenletrendszer megoldásával megkapuk az eredméneket. Nomatéki egensúli egenlet az pontra: ( α ) a + sin( 90 -α ) a 0 Fsin 1 7,5 kn( ). Nomatéki egensúli egenlet a pontra: 0 Fsinα1 ( ) a a iránú vetületi egensúli egenlet: 6,51 kn( ). ( α ) + cos( 90 -α ) F 0 Fcos 1 1,69 kn ( ). z pontan éredő támaszerő eredőe: + 6,51 + 1,69 16,07 kn( ). z éredő első erőket és az igénevételek eloszlását a tartó hossztengele mentén a 5. ára mutata e: 5

26 5. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 1,0 10 (N mm) t () 100(mm) 7,1 10 (mm ) z 60,8 N/mm hal σ. 60,8 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 6,5110 (N) 1,5 10 (mm ) 7 v(),1 10 (mm ) 7,5(mm) 5,07 N/mm hal. τ 5,07 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.. példa: dott a 6. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval ( és pontan) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Határozzuk meg a kör keresztmetszetű C tartószerkezeti elem szükséges átmérőét. Ellenőrizzük a felfüggesztett, szelvénű, vízszintes tartóelemet halításra (normál és nírófeszültség). dott: F kn, a m és α0. Vízszintes tartóelem keresztmetszete: 00 szelvén, z 10 cm, Sz 15 cm, v 7,5 mm, a halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. C kötél szilárdsága: f h.80 N/mm. 6

27 6. ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása 7. ára: viszonítási koordinátarendszer elhelezése a közös metszéspontan, reakcióerők nagságának és iránának feltételezése 8. ára: Rosszul feltételezett támaszerő iránának avítása 7

28 iránú vetületi egensúli egenlet: ( α) + sin( α) sin( 0 ) + sin( ) F 0 Fsin 0 kn ( ). Ez azt elenti, hog az támaszerő nagsága kn, irána azonan ellentétes azzal, amit feltételeztünk (8. ára). z iránú vetületi egensúli egenlet: ( α) cos( α) cos( 0 ) cos( ) F 0 Fcos 0 5, 5, kn ( ). 9. ára: Rosszul feltételezett reakcióerő iránának avítása 0. ára: Feltételezett reakcióerők 8

29 Ez azt elenti, hog az támaszerő nagsága 5, kn, irána azonan ellentétes azzal, amit feltételeztünk (9. ára). másik megoldási lehetőség, hog a pontan éredő támaszerő nagságát felvesszük, iránát pedig a C rúdelem hossztengelével párhuzamos. Een nincs változás. ivel az pontan nem ismerük az elmozdulás iránát, ezért felvesszük külön külön az és támaszerőket (0. ára). Nomatéki egensúli egenlet az pontra: ( ) a 0 a Fcosα 5, 5, kn( ). Nomatéki egensúli egenlet a C pontra: C ( α) a 0 a Fcos 17,6 17,6 kn( ). iránú vetületi egensúli egenlet: F ( α) 0 + Fsin 1,78 1,78 kn( ). z pontan éredő támaszerő eredőe: + 1, ,6,0 kn( ). függőleges, C tartóelem igénevétele tiszta húzás, a fellépő maimális első erő megegezik a kénszernél éredő reakcióerővel. 1. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása 9

30 szükséges dc átmérő meghatározása: f h. S C C C S f C h. f h. 5, ,5 mm d C π 0,5 C d C,68 mm d C,5 cm. π felfüggesztett, szelvénű tartón éredő igénevételeket és eloszlásukat a 1. ára mutata e. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 5, 10 (N mm) t 50(mm) 8, N/mm () (mm ) z hal σ. 8, N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 17,6 10 (N) 1,5 10 (mm ) 7 v(),1 10 (mm ) 7,5(mm) 1,7 N/mm hal. τ 1,7 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.5. példa dott a. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval ( és pont) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Ellenőrizzük a zárt szelvén (60 60 ) keresztmetszetű C tartóelemet kihalásra! dott: F 0 kn, a m, 1 m és α60. C tartóelem keresztmetszetére, anagára és a megtámasztására vonatkozó adatok tálázatól: ν 1 (két végén csuklós megtámasztás), 6,61 cm, 5,1 cm, E N/mm, λh ára: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozása 0

31 egoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakcióerők alkoták három erő összesen. z egensúl feltétele, hog ennek a három erőnek a hatásvonala eg pontan metssze egmást. pontan a támaszerő hatásvonalának az irána ismert, mivel a C tartószerkezeti elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. ismeretlen erő nagságát és értelmét vesszük fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszaítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával (. ára). Ez lesz a D pont. Ezen a ponton kell az támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az egensúl feltételének a telesítéséhez. Een az eseten a tartó geometriááól ki tuduk számolni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egensúli egenletek felírásához kellenek. z távolság (d+c) meghatározása: a tanα d +,6 m ( d + c) 0,5 c tan60 0,5 z α meghatározása:. ára: Támaszerők iránításának feltételezése, mad hatásvonalaik meghosszaítása az F erő hatásvonaláig a a tanα c,1m tanα' α' 7, 9. c tan60 ( d + c) c,6,1 iránú vetületi egensúli egenlet: ( α' ) cos( α) 0 + cos( 7,9 ) cos( ) F 0 F + cos 60. 1

32 . ára: Rosszul feltételezett reakcióerő iránának avítása iránú vetületi egensúli egenlet: ( α' ) + sinα ( ) sin( 7,9 ) + sin( ) F 0 sin 60. két egenletől álló, két ismeretlenes egenletrendszer megoldása: 8,08 8,08 kn( ), irána a feltételezettel ellentétes (. ára), 5, kn( ), irána megegezik a feltételezett iránnal (. ára). másik megoldás, hog nomatéki egensúli egenleteket írunk fel. Een az eseten a kiindulási támaszerők nagságának és iránának a feltételezései a 5. ára szerintiek. 5. ára: Reakcióerők feltételezése Nomatéki egensúli egenlet az pontra: a 0 sinα F(a + ) 5, kn( ). sinα

33 Nomatéki egensúli egenlet a pontra: a 0 F (a + ) 6,19 6,19 kn( ). sinα iránú vetületi egensúli egenlet: F ( α) 0 F + cos 1, 1, kn( ). z pontan éredő támaszerő eredőe: + 1, + 6,19 8,07 kn( ). C tartóelem keresztmetszeti ellemzőének, a kiseik inerciasugár meghatározása: i min min 5,1 6,61, cm. tartó redukált hosszának a meghatározása: l red ( d + c) ν,6 1,6 m 6 cm. karcsúsági ténező számítása: λ l red 6 150,., i min λh 105 < 150, λ a kritikus feszültséget a rugalmas kihalás, az Euler-féle képlet szerint kell meghatározni: π E π σ 91,59 N/mm. krit λ 150, C rúdan éredő normál igénevétel megegezik a támasztási pontan fellépő reakcióerővel. C rúdan fellépő normálfeszültség meghatározása: N C 5, 10 σ fel 80,68 N/mm < σ krit 91,59 N/mm EGFELEL! példa dott az 6. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet, aloldali végén eg csuklóval ( pont), ooldali végén eg görgővel ( pont) megtámasztva. tartószerkezetet hossztengelére merőlegesen terheli F1, F és F koncentrált erők. Határozzuk meg a kénszereknél éredő támaszerőket számítással és ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F119 kn, F6 kn és F 15 kn, a 1 m. Keresztmetszet: zárt szelvén, z 159 cm, a halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm.

34 6. ára: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegensúlozása reakció erő meghatározás számító elárás során az első lépés, hog a támaszoknál fellépő támasz erők nagságát és iránát feltételezzük. z csukló megakadálozza a tartószerkezet elmozdulását úg, mint iránan. Ezért ott és erőket is feltételeznünk kell. támasz csak a támaszra merőleges elmozdulását akadálozza meg a tartószerkezetnek, íg ott csak eg tengellel párhuzamos hatásvonalú erő nagságát és értelmét feltételezzük (7. ára). tartószerkezetet terhelő erőrendszernek íg öt eleme van elen példáan, F1, F és F ható erők és F, F ismeretlen erők. 7. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása támaszerők nagságának és iránának feltételezése z egensúl feltétele, hog az eredő nagsága nulla legen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószerkezet sem, sem iránan nem mozdul el. zonan ha az eredő erő zérus, az nem elenti automatikusan, hog nem mozdul el a szerkezet. Uganis az eredő erő lehet erőpár is. zaz az erőrendszer eredőének erőértéke zérus, de nomatéka van. Een az eseten a tartószerkezet eg adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egensúl feltétele, hog a tartószerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végezhet. Ehhez nem elegendő a már ismert két vetületi egensúli egenletet felírni: F 0 és F 0 + F1 + F F. atematikai szempontól sem megoldható a két egenletől álló három ismeretlenes egenletrendszer. z erőrendszerre uganúg érvénes a nomatéki tétel is. Ha azonan az erőrendszer eredőe nulla, annak nomatéka ármel tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Íg írhatuk fel tetszőlegesen választott pontra a nomatéki egensúli egenletet. pontot, amire vesszük az erőrendszer valamenni elemének a nomatékösszegét, úg célszerű felvenni, hog

35 az egenleten az ismeretlenek száma minimális legen. Ezt úg érhetük el, hog a nomatékot olan pontra íruk fel, amelen minél tö ismeretlen erő hatásvonala átmeg. Jelen példáan először az pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: 0. F (1,5a) + F (1,5a + 1,75a) F (1,5a + 1,75a + 1,75a) + (1,5a + 1,75a + 1,75a + a) 1 z egenlőségen az egetlen ismeretlen a támasznál fellépő reakcióerő, mivel és hatásvonala is átmeg az ponton, íg nomatékuk az pontra zérus. ehelettesítés után: 0 15,0 1,5 + 6,0,5 19,0 5,0 + 8,0. z egenletől re a következőt kapuk:,15 kn( ). ivel eredménül pozitív értéket kapunk, ez azt elenti, hog heles volt a erőnek feltételezett irána. z eredmén felírása helesen:,15 kn ( ). 8. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása következő lépésen a pontra is felírunk eg nomatéki egensúli egenletet: 0 F (a) F (a + 1,75a) + F (a + 1,75a + 1,75a) 1. (1,5a + 1,75a + 1,75a + a) z egenlőségen az egetlen ismeretlen az támasznál fellépő reakcióerő, mivel és hatásvonala is átmeg a ponton, íg nomatékuk a pontra zérus. ehelettesítés után: 5

36 0 19,0,0 6,0, ,0 6,5 8,0. z egenletől ra a következőt kapuk:,875 kn ( ). ivel eredménül pozitív értéket kapunk, ez azt elenti, hog heles volt az erőnek feltételezett irána. z eredmén felírása helesen:,875 kn ( ). z iránú vetületi egensúli egenletől egértelműen kiderül, hog az pontan feltételezett komponens zérus. z iránú vetületi egenlete, ha ehelettesítünk, ellenőrizhetük a nomatéki egensúli egenletek eredméneit: ΣF 0,875 +, z egenlőség fennáll. z reakcióerő nagsága megegezik az nal ( + 0 +,875,875kN( ) ), hatásvonala párhuzamos az tengellel, míg iránítása pozitív a viszonítási koordinátatengelhez képest. reakcióerőket és az éredő igénevételeket a 8. ára mutata e. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 1,6 10 (N mm) t 100(mm) 9, N/mm () (mm ) z hal σ. 9, N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma.1.7. példa dott a 9. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet és a viszonítási koordinátarendszer. Határozzuk meg a támaszoknál éredő kénszererőket számítással és aduk meg az alkalmazandó szelvént a halítás szilárdsága alapán, ellenőrízzünk nírásra. dott: F11 kn koncentrált erő, q15 kn/m és q kn vonal mentén egenletesen megoszló erők, a m. Keresztmetszet: -szelvén. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 9. ára: Párhuzamos erőrendszer kiegensúlozása koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egenes tengelű tartószerkezet 6

37 Első lépésen a megoszló erőket helettesítük koncentrált erőkkel erre azért van szükség, mert a megoszló erőknek a nomatékát eg tetszőlegesen választott pontra a helettesítő erőknek a hatásvonala foga meghatározni, ezek alapán olvassuk le az erőkarokat. q15 kn/m egenletesen megoszló terhelés 1,5a m hosszon hat, míg a q kn/m egenletesen megoszló terhelés a 6 m hosszon hat. helettesítő erők nagsága: Q q 1 (1,5a) 5(1,5 ) 15 kn és Q q (a) ( ) 18 kn. 1 Látható, a helettesítő erő nagsága az azt szimolizáló téglalap területével egezik meg, a hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlpontáa helezzük el (0. ára). 0. ára: Egenletesen megoszló erők helettesítése koncentrált erőkkel 1. ára: Reakcióerők nagságának és iránának, értelmének feltételezése Ezután a tartót megtámasztó kénszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagságát és iránát. z pontan eg csukló a támasz, ami megakadálozza a tartószerkezet elmozdulását és iránokan. Íg az pontan és kénszererőket feltételezünk. pontan eg görgő a kénszer, íg ott a támaszra merőleges hatásvonalú reakcióerőt feltételezünk (1. ára). Ezután már felírhatuk az egensúli egenleteket. Először az pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: 0 1,5a Q Q1 a + a + a 1,5a + F ( 1,5a + a) + ( 1,5a + a + a) 7

38 ( q 1,5a) ( q ( a + a + a) ) 1,5a + F( 1,5a + a) + ( 1,5a + a + a) 1 q1 ( 1,5a) 1,5a ehelettesítés után: a a + a + a ( q a) 1,5a + F(,5a) + (,5a) ( 1,5 ) 5 0 ( ) 1, (,5 ) + (,5 ). z egenlőségől a ismeretlent kifeezve: 6,5 kn( ). pontra írunk fel eg nomatéki egensúli egenletet: ( a + a + 1,5a) ( q 1,5a) a + a + + ( q ( a + a + a) ) a + F a ( a + a + 1,5a) q Q 1 a 8,5 q + ehelettesítés után: 1,5a a + a + + Q 1,5a a + F a a + a + a a + F a a + a + a (,5a ) 5 8, z egenlőségől az ismeretlent kifeezve: 17,5 kn( ). Ellenőrzésként az iránú vetületi egensúli egenletet íruk fel: F 0 q1 5 1,5 1,5a q ( a + a + a) F + ( + + ) ,5+ 6, z iránú vetületi egenleten csak az ismeretlen szerepel, ami íg nullával egenlő. keresett reakcióerők eredménei helesen feltüntetve: 17,5 kn ( ) és 6,5 kn ( ). reakcióerőket és az éredő igénevételeket az. ára mutata e. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma f hal. ma z t () W ma z W z f ma hal. 1, mm 6,7 cm tálázatól: 0 szelvén halítás tengelére keresztmetszeti ténezőe: Wz 5 cm, Sz 06 cm, v 8,7 mm. 8

39 . ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z Sz () 0,5 10 (N) 7 v(),5 10 (mm 5,06 10 (mm ) ) 8,7(mm) 11, N/mm hal. τ 11, N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.8. példa dott az. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet és a viszonítási koordinátarendszer. Határozzuk meg a támaszoknál éredő kénszererőket, és ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F17 kn, α0, q1 kn/m és q kn vonal mentén egenletesen megoszló erők, a m. Keresztmetszet: U-szelvénől és lapos acélól ( v) összeforgatott négszög keresztmetszet: U 180, 0 cm, v 5 mm. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm. Elő felvesszük a kénszereknél az ismeretlen nagságú és feltételezett iránú erőket (. ára), mad nomatéki egensúli egenletet írunk fel az és pontokra. 9

40 . ára: Egenes tengelű tartó általános terhelése. ára: smeretlen nagságú és iránú reakcióerők felvétele q 0 ( 1,5 ) 1 ( 1,5a) q a + 1,5a ( a + 1,5a ) 1,5a + F ( 1,5a + a) sinα + ( 1,5a + a) + 1,5 ( + 1,5 ) 1, ( 1,5 + ) sin0 + ( 1,5 + ) ismeretlenre a következőt kapuk: 16,75 kn( ) F ( 1,5 ) ( 1,5a) sin0 + q sinα + ( + 1,5 ) ( a + 1,5a ) + q 1 1,5a 1,5a a + 1,5a + 1,5 + 1,5 + 1,5 + ( 1,5a + a) ( 1,5 + ) ismeretlenre a következőt kapuk: 1,75 kn( ). z iránú vetületi egensúli egenlet felírása után kifeezhetük az ismeretlent is: F 0 F cosα 1,7 kn( ). z reakcióerő nagsága: + 1,7 + 1,75 19,7 kn ( ). z ismeretlen erőknek feltételezett iránok és iránítások minden eseten ók voltak. másik megoldási lehetőség, hog visszavezetük a példát három erő egensúlára. Ehhez meg kell határozni az aktív erők eredőét. Een az eseten a viszonítási koordinátarendszert célszerű a tartó valamelik végén elhelezni (5. ára), amit most az pontan veszünk fel. 0

41 5. ára: viszonítási koordinátarendszer felvétele az aktív erők eredőének a meghatározásához F F cosα 1,7 kn( ). F F sinα q 1 1,5a q,5a 9,5 F 9,5kN( ). FR F + F 1,7 + 9,5,97 kn( ). 6. ára: ktív erők eredőének hele és helzete a tartón tgα R R F α R 6, 8 F O,5m F R (6. ára) R q 1 ( 1,5a ) q a + 1,5a ( a + 1,5a ) 1,5a + F sinα ( 1,5a + a ) z aktív erők eredőének (FR) a hatásvonala az pontan metszi a támaszerő hatásvonalát, eől adódóan az pontan éredő egensúlozó erő hatásvonalának is ezen az ponton kell áthaladnia, iránítása pedig adódik a vektorháromszögől. 1

42 eghatározható az támaszerő hatásvonalának a viszonítási koordinátatengelekkel ezárt α szöge: tg α R tgα R (a R ) 6,9m és a tgα α 0,9 R 7. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása Ez alapán az és iránú vetületi egensúli egenletek: F 0 F cosα cosα 19,8 kn( ) és R R F FR sinα R + + sin α 16,7kN( ). reakcióerőket és az éredő igénevételeket az 7. ára mutata e. keresztmetszet z súlponti, halítás tengelére vett inerciáa: U 180 z z 1 cm. v h + v + v 00, ,5 0,5

43 halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 6,75 10 (N mm) t 95(mm) 76,17 N/mm () 7,110 (mm ) z hal σ. 76,17 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma.1.9. példa dott az 8. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket és a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød átmérőét és ellenőrízzünk nírásra. dott: F0 kn koncentrált erő, q5 kn/m vonal mentén egenletesen megoszló erő, 8 knm koncentrált nomaték, a 1 m. halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 8. ára: Kéttámaszú tartó kiegensúlozása egoldás: elő felvesszük a kénszereknél az ismeretlen nagságú és iránú erőket (9. ára), mad nomatéki egensúli egenletet írunk fel az és pontokra. z pontan csak függőleges, iránú erőt veszünk fel, mivel az kivételével iránú erő nem működik az erőrendszeren. Íg a vízszintes vetületi egensúl csak úg telesül, ha q ( a + 0,75a) a 0,75a a + 1,5a + + F a + a 1+ 0,751 ( 1+ 0,751) 1+ 1, ismeretlenre a következőt kapuk: 15,6 kn ( ). 0 a + Fa + + q,75a 0,75a ,75 0,75 z ismeretlenre a következőt kapuk: 18,9 18,9 kn ( ). reakcióerőket és az éredő igénevételeket az 50. ára mutata e.

44 9. ára: smeretlen támaszerők felvétele / feltételezése 50. ára: fellépő reakcióerők és igénevételek árázolása halításól származó maimális normálfeszültség: 6 hal. ma ma d ma 18,9 10 σ ma f hal. t () d 119, mm z d π f hal. π 110 π 6 d 10 mm. félszelvén statikai nomatéka a halítás tengelére:

45 1 π d Sz ( 0) 0, 565,87 5, 6 1,97 cm. d 1 π 10 súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 10 π z 1018 cm , Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 18,9 10 (N) 1, 10 (mm ) 7 v() 1,0 10 (mm ) 10(mm),15 N/mm hal. τ,15 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma 5

46 . Kéttámaszú, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők egüttesen) hatására a tartó elseéen is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük első erőknek vag más néven igénevételeknek. tartószerkezet eg tetszőleges K keresztmetszetének igénevételét ol módon határozzuk meg, hog a K keresztmetszettől ora vag alra ható külső erők (aktív és reakció erőket egüttesen értük) eredőét számítuk ki. egkülönöztetük a normál igénevételt (tartószerkezet hossztengelével párhuzamos hatásvonalú külső erők eredőe), níró igénevételt (tartószerkezet hossztengelére merőleges hatásvonalú külső erők eredőe) és a halító igénevételt. z eges igénevételekről, elsőerő típusokról már etettünk szót. Een a feezeten olan egenes tengelű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelekre nemcsak tengeliránú, hanem hossztengelre merőleges külső erők is hatnak. Íg nemcsak normál, hanem níró és halító igénevételek is fellépnek. feladat, hog a első erők változását a tartó hossztengele mentén megszerkesszük, illetve megrazoluk. Ehhez a tartó valamenni keresztmetszetéen ismernünk kell a fellépő igénevételeket. z igénevétel (első erő) definícióát megismételük: a tartószerkezet eg tetszőleges K keresztmetszetének igénevételén az adott K keresztmetszettől ora vag alra ható külső erők (aktív és reakció erők) eredőét értük..1. génevételi árák szerkesztési szaálai Jelölések: N normálerő ára T níróerő ára halító nomatéki ára 1. tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ára vonala a tartótengellel párhuzamosan halad.. Koncentrált erő helén az N és T árán az erő megfelelő iránú összetevőének megfelelő ugrás van.. nomatéki ára vonala lineárisan halad azon a szakaszon, ahol nincs erőhatás. koncentrált erő helén az áráan törés van.. z és T ára között differenciális kapcsolat van. níróerő ára függvénét integrálva kapuk a nomatéki ára függvénét, illetve a nomatéki ára függvénét deriválva kapuk a níróerő ára függvénét. 5. Előző pontól következik, hog a nomaték heli/lokális szélsőértékei ott lépnek fel, ahol a níróerő nulla. 6

47 6. tartó végein, ha nincs koncentrált nomaték, akkor a nomaték nulla. 7. Koncentrált erő helén a nomatéki áráan törés van. 8. egoszló terhelés alatt a T ára vonala ferde helzetű egenes, meredeksége a teherintenzitás. 9. egoszló terhelés alatt az ára paraola, adott pontához húzott érintő irántangense az adott hel níróeree. 10. z N és T árán a koncentrált nomaték nem okoz változást. 11. koncentrált nomaték helén, az árán a nomatéknak megfelelő ugrás van példa dott az 51. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartó halításra és nírásra. dott: F7 kn, q1 kn/m és q kn/m, a m és α60. keresztmetszet: 80 szelvén. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 51. ára: Egenes tengelű, kéttámaszú tartó terhelések és támaszerők Először mindig a normál igénevételi árát razoluk meg. zokat az erőket összegezzük az eges keresztmetszeteken, amelek hatásvonala párhuzamos a tartó hossztengelével. Een az eseten az ől és az F erő iránú komponenséől származik normál igénevétel. 5. ára mutata a normál igénevételnek az eloszlását a tartó hossztengele mentén. szerkesztési szaáloknak megfelelően láthatuk, hog a tartóra két helen koncentrált normál erő ( és F) hat. Ezeken a heleken azonos nagságú, de ellentétes iránú ugrás található, mivel a két erő iránítása ellentétes. terheletlen szakaszon a tartó hossztengelével párhuzamosan haladunk. Nagon egszerűen ellenőrizhetük, hog ól dolgoztunk e. Uganazon keresztmetszeten két oldalról nézve a első erőknek ki kell egensúlozniuk egmást. zaz azonos keresztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos nagságú, de ellentétes iránítású erőket kell kapnunk eredménül. 7

48 5. ára: Normálerő ára Elő az ponttól tetszőleges < 5 m távolságan található K keresztmetszetet vizsgáluk. 5. ára felső részén láthatuk, hog a K keresztmetszettől ora eső tartószerkezeti részt megtartottuk. alra található összes (elen eseten eg) normálerőnek a hatását vettük figeleme a vizsgált K keresztmetszetre. 5. ára alsó részén a tartó al oldali részét tartottuk meg, és a K keresztmetszettől ora lévő normálerők hatását összegeztük a vizsgált keresztmetszetre. Látható, hog két oldalról nézve uganazon K keresztmetszeten a első erő nagsága azonos, iránítása ellentétes. 5. ára: Normál igénevétel értelmezése uganazon K keresztmetszeten, két oldalról nézve normálerő ára alá közvetlenül razoluk a níróerő árát. zoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, meleknek a tartó hossztengelére merőleges komponense van. Ezek az, q1, q, F és erők. tartó al oldalán az pontan az koncentrált erőhatás miatt az erő nagságának megfelelően ugrunk (5. ára), a níró igénevétel értéke az keresztmetszeten 11,8 kn első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helzetű egenessel indulunk el az ugrással ellentétesen, mivel q1 és egmással ellentétes irána mutatnak második lépés. C keresztmetszet níró igénevételének meghatározás a keresztmetszettől ora és alra eső níróerők eredőének külön külön meghatározásával (55. ára). 8

49 5. ára: Níróerő ára első, második lépés 55. ára: C keresztmetszet níró igénevételének értelmezése két oldalról nézve Ha a C keresztmetszettől alra eső níró erőket összegezzük: T q 1 11,8 5,8 T 5,8 kn( ). C Ha C keresztmetszettől ora eső níró erőket összegezzük: T C q 5 15, 6,06 5 5,8 T 5,8 kn( ). F Láthatuk, hog uganazon keresztmetszeten két oldalról vizsgálva a két níró igénevétel éppen kiegenlíti egmást. zaz a C keresztmetszeten fennáll az egensúl, mivel a nagság megegezik (a minimális eltérés a kerekítésekől adódik), míg az iránok ellentétesek egmással. nnen a q megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egenessel haladunk tová egészen az F koncentrált erő támadáspontáig harmadik lépés, ahol az F erő komponensének megfelelően ugrunk lefele (56. ára) negedik lépés. C C 9

50 56. ára: Níróerő ára harmadik, negedik lépés T q 11,8 0,16 T 0,16 kn( ). D q1 z árán az erők nagsága és a geometria miatt nehezen látható, de a níró erő értéke a tengel alá esik a vizsgált keresztmetszeten. Ezután ön az F erő komponensének a figelemevétele: T q q 11,8 0,16 F 0,16 6,06 6, D 1 ( ) T 6, kn. D Ha D keresztmetszettől ora eső níró erőket összegezzük: D 57. ára: D keresztmetszet níró igénevételének értelmezése két oldalról nézve T q 15, 6, D D 6, kn( ) z F erő komponensének a figelemevétele: T. T q 15, 6, F 6, 6,06 0, 17 D D 0,17 kn( ) T. 50

51 nnen toválépve a q megoszló terhelésnek megfelelően ferde helzetű egenessel haladok tová a következő koncentrált erőhatásig, ami a erő ötödik lépés. Végül pedig a koncentrált erő nagságának megfelelően felfelé ugrunk hatodik lépés (58. ára). 58. ára: Níróerő ára ötödik, hatodik lépés keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D keresztmetszeteké. 59. ára: Nomatéki ára szerkesztése első lépés 51

52 z utolsó igénevétel fata a halító nomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztengele mentén. Ezt az árát közvetlenül a níróerő ára alá razoluk. Fontos tudnivaló (ahog a szerkesztési szaáloknál már említettük), hog a nomatéki és níróerő ára között differenciális kapcsolat áll fenn. Ennek figelemevételével legelőször megnézzük, melik keresztmetszeten áll fenn a T 0 egenlőség ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőértéknek kell lenni. Ezután, megnézzük, hog a tartó végein működik e koncentrált nomaték ha nem, ott a nomaték értéke zérus. Végül pedig megtekintük, hog a tartón működik e valahol koncentrált nomaték ha igen, ott ugrás lesz a nomatéki árán. Ezek figelemevételével tesszük meg az első lépést a nomatéki ára razolásakor. 59. ára mutata, hog T 0 a D keresztmetszet közvetlen közeléen lesz mivel nagon kis távolságról van szó, ezért úg tekintük, hog a D keresztmetszeten van a zérus. zt is láthatuk, hog a tartón sehol, se a végeken, se a tartószerkezeten nem működik koncentrált nomaték, íg a tartó két végén zérus a nomaték, és nem lesz ugrás sem a nomatéki áráan. Következő lépésen a D keresztmetszet halító igénevételét vizsgáluk meg két oldalról nézve, megkeressük a lokális szélsőértéket (60. ára). 60. ára: D keresztmetszet halító igénevételének értelmezése két oldalról nézve q D + q1,5 5 +,5 11,8 5, D, knm ( ) és D D q 1,5 + 1,5 + 15,,19, 19 knm ( ). Láthatuk, hog a halító igénevétel nagsága mindkét eseten, knm, és mindkét eseten az alsó a húzott oldal. Uganazon D keresztmetszeten két oldalról nézve az igénevételek kiegenlítik egmást, azaz az egensúl fennáll. 5

53 Következő lépésen a C keresztmetszet halító igénevételét vizsgáluk meg két oldalról nézve (61. ára). q1 C 11,8 6,5 C 6, 5 knm ( ) és 61. ára: C keresztmetszet halító igénevételének értelmezése két oldalról nézve 6. ára: Nomatéki ára szerkesztése második lépés 5

54 C q 5 5 C F + 5 6, , 5 6,5 6,5 knm ( ). Láthatuk, hog a halító igénevétel nagsága mindkét eseten 6,5 knm, és mindkét eseten az alsó a húzott oldal. Uganazon C keresztmetszeten két oldalról nézve az igénevételek kiegenlítik egmást, azaz az egensúl fennáll. Ezután már csak össze kell kötni az eddig meghatározott pontokat (6. ára). Nég nevezetes pontunk van. ivel a tartó hossztengele mentén végig megoszló terhelés működik, ezért a nomatéki ára végig másodfokú függvén (paraola) szerint változik. halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma, 10 (N mm) t 10(mm) 59,9 N/mm () 7 7,59 10 (mm ) z hal σ. 59,9 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 15, 10 (N),16 10 (mm ) 7 v() 7,59 10 (mm ) 10,1(mm) 6,7 N/mm hal. τ 6,7 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.. példa dott a 6. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F15 kn, q kn/m, a 1 m és α 0, Ød 1 cm. halítási szilárdság: f hal. 150 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 6. ára: Egenes tengelű, kéttámaszú tartó támaszerők felvétele és meghatározása a terhelések és geometria ismeretéen 5

55 feladat megoldását, a felírt egenleteket most már kevese magarázó szöveggel egészítük ki. Először a támaszerőket kell meghatározni. iránú vetületi egensúli egenlet felírása: F 0 Fcosα 15 cos0 1 1 kn ( ). z pontra felírt nomatéki egensúli egenlet: 7 a 0 q 7 a + a F sinα 5 a + 6 a sin ,5 kn ( ). pontra felírt nomatéki egensúli egenlet: 0 q 7 a 1,5 a + F sinα a 8,5 kn ( ) (6. ára). 6 a 7 11, sin C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, normál igénevétel szempontáól (65. ára): N C N C 1,0 kn ( ) és F cos 0 1,0 kn ( ). 6. ára: Támaszerők és normál igénevételi ára C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, níró igénevétel szempontáól: T C 8,5 kn ( ) és 55

56 T C T C q 7 a F sin sin 0 + 7,5-8,5 8,5 kn ( ). D keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, níró igénevétel szempontáól: 65. ára: C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata két oldalról nézve T q a 8,5 1 7,75 D D T 7,75 ( ) és T 7,75 ( ) + F ( ) 15,5 kn ( ). D T D q a ,5 15,5 kn ( ) keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, níró igénevétel szempontáól: T q 5 a - F 8,5 51-7,5 19,5 T 19,5 ( ) és 1 9,5 + 19,5 + 7,5 8 kn ( ). T T q a 1 8,0 T 8,0 kn ( ) (66. ára). z F keresztmetszet pontos helének a meghatározása fontos, mert ott a níróerő értéke nulla lesz. Ez azt elenti, hog az F (és ) keresztmetszet(ek)en lokális nomatéki szélsőérték lesz. z F keresztmetszet hele a C től számítva: [ kn] [ kn/m] T 8,5 C F,06 m, q z F keresztmetszet hele a D től számítva: [ kn] [ kn/m] T 7,75 D F 1,97 m (66. ára). q z F keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, níró igénevétel szempontáól (67. ára): T F T F q,06 8,5,06 ~ 0 q,97 F +,97 7,5 + 7,5 ~ 0 56

57 66. ára: Níró igénevételi ára 67. ára: z F keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata két oldalról nézve halító igénevétel meghatározása az F keresztmetszeten két oldalról nézve:,06,06 F,06 + q 8,5, ,75 F 16,75 knm ( ), F,97 q F,97 F 1,97 +,97 16, 75 knm ( ) (69. ára). 7,5 1,97 + 7,5,97 16,75 halító igénevétel meghatározása a keresztmetszeten két oldalról nézve: q F 1 8, ,51 8,0 8, 0 knm ( ), 57

58 q 8,0 8, 0 knm ( ) (70. ára). halító igénevételi ára (68. ára) szélsőértékeinek a meghatározásán kívül tetszőleges keresztmetszet igénevételének a meghatározását hasonló módon kell elvégezni. mi érdekes lehet számunkra, annak a keresztmetszetnek a meghatározása, ahol a halító igénevétel értéke zérus. Láthatuk, hog ez a keresztmetszet valahol közelítően a D és keresztmetszetek közé esik. Pontos meghatározása: q... 0 ( - ) 7,5 ( - ) másodfokú egenletől: 1 11, m és, m. ivel a tartó hossza összesen nincs 11m, ezért csak az, m a ó megoldás. zaz a nomaték a tartó o oldali végétől (E keresztmetszet), m re lesz zérus. 68. ára: Nomatéki ára 58

59 69. ára: Halító igénevétel maghatározása az F keresztmetszeten két oldalról nézve 70. ára: Halító igénevétel maghatározása a keresztmetszeten két oldalról nézve súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 1 π z 1018 cm. 6 6 halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 16,75 10 (N mm) t 60(mm) 98,5 N/mm () 7 1,0 10 (mm ) z hal σ. 98,5 N/mm < 150 N/mm f hal. EGFELEL ma félszelvén statikai nomatéka a halítás tengelére: 1 π d Sz ( 0) 0, 565,87 5, 6 1,97 cm. d 1 π , Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 19,5 10 (N) 1, 10 (mm ) 7 v() 1,0 10 (mm ) 10(mm),6 N/mm hal. τ,6 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma.1.. példa dott a 71. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, számítsuk ki a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød átmérőét. dott: F15 kn, q kn/m, a1 m és α 0. halítási szilárdság: f hal. 10 N/mm. 59

60 71. ára: Egenes tengelű, kéttámaszú, két oldalt konzolosan túlnúló tartó 0 q1 a 0,5 a - F,5 a - q 1 0,51-1,51-51 (,5+ 1) +,51 1, kn ( ), 0 q 5 a a + q (1,5 1+,5 1) a (,5 a + a) +,5 a a (1,5 a +,5 a) + F a -,5 1,5 a 19,78 kn ( ), 0. z keresztmetszet níró igénevételének számítása: T a 1 6 T 6 kn ( ), mad ugrás az árán T q ,78 kn ( ). C keresztmetszet níró igénevételének számítása: T C q 1 a ,78 10,78 kn ( ). D keresztmetszet níró igénevételének számítása: T D D q 1 a - q 1,5 a + 1-1, ,78 D,78 kn ( ), mad ugrás az árán T,78 F,78 1 7, T 7, kn ( ). keresztmetszet níró igénevételének számítása: T q 1 a - q,5 a + F 1-, , , T 15, kn ( ), mad ugrás az árán T - 15, + 1, 6 kn ( ). 60

61 7. ára: Níró igénevételi ára z keresztmetszet halító igénevételének számítása: ( a) ( 1) q1 6 knm ( ). 1 q 1 a q 5 a (,5 a + a) F,5 a +,5 a 5 1 (, ) 1, ,, knm ( ). D keresztmetszet halító igénevételének számítása: (,5 a) (,51) q D + a + 1, 1 17,9 knm ( ), 1 (1, ,5 1) + ( 1,5 1) ( 1,5 a) q D q1 a (1,5 a + 1,5 a) + D 17,95 knm ( ).,5 a 19,78,5 1 17,95 61

62 7. ára: Halító igénevételi ára keresztmetszet halító igénevételének számítása: ( 1,5 a) ( 1,51) q,5 knm ( )., (,5 1) (,5 a) q + q1 a ( 1,5 a +,5 a) + F a + 1,9 knm ( ). ( 1,5 1+,5 1) ,78,5 1, 9,5 a halításól származó maimális normálfeszültség: 6 hal. ma ma d ma 17,95 10 σ ma f hal. t () d 115,07 mm z d π f hal. π 10 π 6 d 10 mm. 6

63 . erev efogású, egenes tengelű tartók igénevételeinek ismétlése mereven efogott tartók reakcióerőinek a számítására koráan nem tértünk ki, ezért ezzel most részletesen foglalkozunk példa dott a 7. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F8 kn, q kn/m, 5 knm és a1 m. Keresztmetszet: zárt szelvén, z 97 cm, a halítási szilárdság: f hal. 150 N/mm. Első lépésen a kénszernél fellépő ismeretlen nagságú és iránú reakciókat kell meghatározni. merev efogás megakadálozza a tartó és iránú elmozdulását, illetve az elfordulást a sík normálisa, a z irán körül. Ennek megfelelően az pontan és iránú támaszerők ( és ) és forgatónomaték () éred. Ezek nagságát és iránát vesszük fel a 75. ára szerint. 7. ára: Egenes tengelű, mereven efogott tartó 75. ára: Egenes tengelű, mereven efogott tartó ismeretlen reakciók felvétele z ismeretlenek meghatározásához a vetületi és nomatéki egensúli egenleteket használuk fel: iránú vetületi egensúli egenlet: F 0, iránú vetületi egensúli egenlet: F 0 q 6 a F kn ( ), az pontra felírt nomatéki egensúli egenlet: 6

64 ( 6 a) ( 6 1) q 0 + F 6 a knm ( ). Normál igénevétel nem lesz a tartón, a níró igénevételi ára szerkesztését az eddig tanultak szerint végezzük el. z pontan az, tengelre merőleges erő hat, mint níró erő. Ennek megfelelően ugrás lesz een a pontan, és a C pontan is az F koncentrált erő miatt, ami a tartó másik végén helezkedik el (76. ára). nomatéki ára szerkesztése során anni údonság lesz az eddigi példákhoz képest, hog a szerkesztési szaálok (.1) 1. ponta értelméen a tartón működő koncentrált nomatéknak megfelelő ugrás lesz a halító igénevételi árán. tartó al oldali végén (az pontan) az koncentrált nomaték működik. ivel a nomaték értékét kivétel nélkül a tartó húzott oldalára mérük fel, aa az irána ugrunk, amelik oldalt a koncentrált nomaték húzza. 76. ára: Níró igénevételi ára z keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata két oldalról nézve: 59 knm ( ), és ( 6 a) ( 6 1) q F 6 a knm ( ). Láthatuk, mindkét eseten azonos eredmént kapunk, a nomaték nagsága 59 knm és a felső a húzott oldal. keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata két oldalról nézve (77. ára): q + ( a) ( 1) nomaték figelemevétele: a ( ) + 5 ( ) knm ( ) kNm ( ) és az koncentrált 6

65 77. ára: keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata két oldalról nézve ( a) ( 1) q F a knm ( ) és az kon- centrált nomaték figelemevétele: knm ( ) 5 knm ( ) 8 knm ( ). halító igénevételi árát a 78. ára mutata. 78. ára: Halító igénevételi ára halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma (N mm) t 15(mm) 18,9 N/mm () 7,97 10 (mm ) z hal σ. 18,9 N/mm < 150 N/mm f hal. EGFELEL ma 65

66 .1.. példa dott a 79. ára szerinti egenes tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartót halításra. dott: F110 kn, F15 kn, q kn/m, 0 knm, a m,,5 m, cd1 m, e1,5 m és α68, ØD 0 cm, Ød 16 cm, a halítási szilárdság: f hal. 10 N/mm. 79. ára: Egenes tengelű, mereven efogott tartó Egensúli egenletek: F F cosα + 10 cos68,75 kn ( ), 0 q (d + e) F1 sinα + F (1 + 1,5) 10 sin F 1,77 kn ( ), d + e F (a + + c + d) q ( d + e) a + + c + F 1 + 1, ( +, ) q 1 5,15 knm ( ). sinα (a + ) ( 1+ 1,5) +, sin68 ( +,5) 80. ára: Normál és níró erő ára 66

67 C keresztmetszet níró igénevételének számítása (80. ára): T 1,77kN ( ), mad az F1 erő komponensének megfelelő ugrás: T 1,77 ( ) C + F1 ( ) 1,77 9,7 7,5 7,5 kn ( ). T C F q (d + e) 15 (1 + 1,5) 7,5 kn ( ), mad az F1 erő komponensének megfelelő ugrás: C C T 7,5 ( ) + F1 ( ) 7,5 9,7 1,77 1,77 kn ( ). D keresztmetszet níró igénevételének számítása (80. ára): T D ugrás: T D F 1 q d 1,77 9,7 1-10,5 10,5 kn ( ), mad az F erőnek megfelelő 10,5 ( ) + F ( ) 10,5 +15,5 kn ( ). 81. ára: Nomatéki ára 67

68 T D T D q e 1,5,5,5 kn ( ), mad az F erőnek megfelelő ugrás:,5 ( ) + F ( ), ,5 kn ( ). nomatéki árán (81. ára), a tartó al oldali végén az nomatéknak megfelelően ugrunk. z alsó oldalt húzza, ezért lefele ugrunk. keresztmetszet nomatékának számítása: a 5,15 1,77 8,69 8, 69 knm ( ), mad az ugrásnak megfelelően ugrás a nomatéki árán: 8,69 ( ) + 0 ( ) 8,69+0 8,69 8,69 knm ( ). d + e F ( + c + d) F1 q (d + e) + + c 1+ 1,5 15 (, ) 9,7,5 (1 + 1,5) +, ,7 knm ( ), mad az ugrásnak megfelelően ugrás a nomatéki árán: 8,7 ( ) + 0 ( ) 8,7+0 8,7 knm ( ). C keresztmetszet nomatékának számítása: C C + 1, 1 knm ( ), (a + ) 5, ,77 ( +,5) 1,1 d + e 1+ 1,5 q (d + e) + c + F (c + d) (1+ 1,5) (1+ 1) C 1,1 knm ( ). súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: (D d ) π (0 16 ) π z 67 cm. 6 6 halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 8,69 10 (N mm) t 100(mm) 10,9 N/mm () 7,6 10 (mm ) z hal σ. 10,9 N/mm < 10 N/mm f hal. EGFELEL ma 68

69 5. Tört tengelű tartók igénevételeinek ismétlése Een a feezeten a törttengelű tartók igénevételei áráinak a megszerkesztését és az eges keresztmetszetek eges igénevételeinek kiszámítását tanulmánozzuk. z első erőkre vonatkozó szaálok, definíciók változatlanok, uganúg kell alkalmazni azokat, mint az előző két feezeten. nehézséget a következő szokta okozni. Egenes tengelű tartók esetéen hozzászoktunk, egértelmű volt, hog a tartó hossztengele ege esik az viszonítási tengellel. Eől adódóan magától értetődőnek tűnik, hog eg iránnal párhuzamos hatásvonalú erő normál igénevételt okoz. Elői, tuladonképpen hiás megállapítás a tört tengelű tartókra nem érvénes. indig az adott külső erő (terhelés vag reakció erő) és a vizsgált tartószerkezeti rész hossztengelének egmáshoz viszonított elhelezkedését kell szem előtt tartanunk és vizsgálnunk. zokra kell alkalmazni a már megtanult definíciókat, szerkesztési szaálokat példa dott a 8. ára szerinti tört tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, aduk meg az alkalmazandó szelvént a halítás szilárdsága alapán, ellenőrízzünk nírásra. dott: F10 kn, q kn/m, a0,5 m. Keresztmetszet: -szelvén. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 8. ára: Tört tengelű tartó Először a kénszernél felvesszük az ismeretlen nagságú és iránú támaszerőket (8. ára), mad felíruk az egensúli egenleteket. F F 0 F kn ( ), 0 q a 0,5,5 kn ( ), ( a) ( 0,5) q 0 F a ,5 + 8,8 knm ( ). 69

70 vízszintes tartószerkezeti elem () normál igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala megegező iránú ( és F) a tartórész hossztengelével. z keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N 0, mad az nek megfelelően ugrás N kn ( ). 8. ára: Normál igénevételi ára vízszintes () tartó elem keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a vízszintes () tartórészen: N 10 kn ( ), illetve N -F 10 N 1 0 kn ( ). függőleges tartószerkezeti elem (C) normál igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala megegező iránú ( és q) a tartórész hossztengelével. keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a függőleges (C) tartórészen: N q a,5 0,5 0, illetve ha a keresztmetszettől ora lévő normál ( iránnal párhuzamos hatásvonalú) erőket szeretnénk összegezni, láthatuk, hog nincs ilen erő. függőleges tartószerkezeti elem normál igénevétele zérus (8. ára). 8. ára: Normál igénevételi ára függőleges (C) tartó elem vízszintes tartószerkezeti elem () níró igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala merőleges iránú ( és q) a tartórész hossztengelére. 70

71 z keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T T 0, mad az nak megfelelően ugrás 0 +,5 kn ( ). keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a vízszintes () tartórészen: T q a,5 0, ára: Níró igénevételi ára keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a függőleges (C) tartórészen: T 10 kn ( ). halító igénevételi ára megrazolásához először megnézzük, hog a tartó két végén ( és C pontok) van e koncentrált nomaték. ivel az pontan van (), ezért ott ugrás lesz a nomatéki árán. Ezután megnézzük, hog működik e valahol a tartó hossztengele mentén koncentrált nomaték. Ha a níróerő árát vizsgáluk meg, akkor láthatuk, hog nomatéki lokális szélsőértékhelet nem kell keresnünk, mivel a níró igénevételi ára sehol sem metszi a nulla vonalat. z keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: 0, mad az nak megfelelően ugrás 0 + 8,8 knm ( ). keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: + q a 1,5 a a 8,8 + 0,5 1,5 0,5,5 0,5 5 knm ( ), F a 10 0,5 5 5 knm ( ) (86. ára). 86. ára: keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata két oldalról nézve 71

72 87. ára: vízszintes () tartószerkezeti elem halító igénevételi áráa keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata során arra kell figelni, hog a sarokkapcsolat a nomatékot továada egik tartószerkezeti elemről a másikra (88. ára). nomatéki árán az értékeknek a megfelelő, húzott oldalra kell kerülni. 88. ára: függőleges (C) tartószerkezeti elem halító igénevételi áráa halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma f hal. ma z t () W ma z W z f ma hal. 8, mm 88,1 cm tálázatól: 160 szelvén halítás tengelére keresztmetszeti ténezőe: Wz 117 cm, Sz 68 cm, v 6, mm. Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z Sz () 10,0 10 (N) 6 v() 9,5 10 (mm 6,8 10 (mm ) ) 6,(mm) 11,5 N/mm hal. τ 11,5 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma példa dott a 89. ára szerinti tört tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, határozzuk meg a halításól származó maimális normál és nírófeszültséget, végezzük el az ellenőrzést. dott: F15 kn, q kn/m,,0 knm, a1,0 m. keresztmetszetek: kör, Ød 1 cm. halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm. 7

73 89. ára: Tört tengelű tartó; támaszerők feltételezése Először a kénszereknél felvesszük az ismeretlen nagságú és iránú támaszerőket (89. ára), mad felíruk az egensúli egenleteket. 0 + F a q a a +,5 a ,51 7,78 7,78 kn ( ), 90. ára: tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével 7

74 C 0 7, kn ( ),,5 F1,5 a q a a 0 q a a - F 1,5 a , , - +,5 a,5 1 1,5 151,51 11 a 6,0 kn ( ) (90. ára). függőleges tartószerkezeti elem (C) normál igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala megegező iránú ( és q) a tartórész hossztengelével. z keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N N 0, mad az nak megfelelően ugrás: kn ( ). C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a függőleges (C) tartórészen (91. ára): N C C 6 kn ( ), illetve C N -q a N 6 kn ( ). 91. ára: z C tartószerkezeti elem normál igénevétele vízszintes tartószerkezeti elem (C) normál igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala megegező iránú (, F és ) a tartórész hossztengelével. C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a vízszintes (C) tartórészen: N F 7, 15 7,78 N 7,78 kn ( ), illetve C N C 7,78 kn ( ). C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N 0, mad a nek megfelelően ugrás 7

75 9. ára: C tartószerkezeti elem normál igénevétele N 0 + 7,78 kn ( ), illetve N F 7, 15 7,78 N 7,78 kn ( ) (9. ára). függőleges tartószerkezeti elem (C) níró igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala merőleges iránú (, F és ) a tartórész hossztengelére. z keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T T 0, mad az nek megfelelően ugrás: 0 + 7, kn ( ). C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a függőleges (C) tartórészen (9. ára): T F 7, 15 7,78 T 7,78 kn ( ), illetve C T 7,78 kn ( ). C C 9. ára: z C tartószerkezeti elem níró igénevétele vízszintes tartószerkezeti elem (C) níró igénevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáluk, amelek hatásvonala merőleges iránú ( és q) a tartórész hossztengelére. C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a vízszintes (C) tartórészen: T C C 6 kn ( ), illetve C T -q a T 6 kn ( ). keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T 0. 75

76 9. ára: C tartószerkezeti elem níró igénevétele halító igénevételi ára megrazolásához először megnézzük, hog a tartó két végén ( és pontok) van e koncentrált nomaték. ivel nincs, ott a nomaték értékek zérus. Ezután megnézzük, hog működik e valahol a tartó hossztengele mentén koncentrált nomaték. függőleges tartószerkezeti elemen működő koncentrált nomaték miatt a halító igénevételi árán ugrás lesz aan a pontan. Ha a níróerő árát vizsgáluk meg, akkor láthatuk, hog nomatéki lokális szélsőértékhelet a függőleges tartószerkezeti elemen kell keresnünk. D keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (95. ára): 95. ára: D keresztmetszet halító igénevételének meghatározása D D 1,5 a 7, 1,5 1 10,8 knm ( ), mad az nek megfelelően ugrás 10,8 10,8 6,8 knm ( ), D D F 1,5 a q a 1 a a 15 1, ,78 1 6,8 6,8 knm ( ), mad az nek megfelelően ugrás D D 6,8 10,8 10, 8 knm ( ). C keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (96. ára):,5 a - - F 1,5 a 7,, ,5 1 6,0 knm ( ), C C C q a 1 a 111 6,0 6, 0 knm ( ). z E keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (97. ára): E a +,5 a - - F 1,5 a + q a a ,, , ,0 E 0,0. 76

77 96. ára: C keresztmetszet halító igénevételének meghatározása 97. ára: z E keresztmetszet halító igénevételének meghatározása 98. ára: z F keresztmetszet halító igénevételének meghatározása 77

78 z F keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (98. ára): F F q a 1 a 1,5 a 111 7,78 1,5 1 17,67 17, 67 knm ( ). a 7, 1 17,66 knm ( ), F Ezek alapán már megrazolhatuk (megszerkeszthetük) a halító igénevételi árát (99. ára). 99. ára: halító igénevételi ára súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 1 π z 1018 cm. 6 6 halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 17,67 10 (N mm) t 60(mm) 10,9 N/mm () 7 1,0 10 (mm ) z hal σ. 10,9 N/mm < 110 N/mm f hal. EGFELEL ma félszelvén statikai nomatéka a halítás tengelére: 1 π d Sz ( 0) 0, 565,87 5, 6 1,97 cm. d 1 π , Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 7,78 10 (N) 1, 10 (mm ) 7 v() 1,0 10 (mm ) 10(mm) 0,9 N/mm hal. τ 0,9 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma 78

79 5.1.. példa dott a 100. ára szerinti tört tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, határozzuk meg a halításól származó maimális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést. dott: F115 kn, F10 kn, q kn/m, 15 knm, α0, a1,0 m. keresztmetszetek: függőleges (D, C elemek), U60, z 80 cm, vízszintes (DC elem), 0, z 50 cm, halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm ára: Tört tengelű tartó; támaszerők iránainak feltételezése 0 q a a + + F1 sinα,5 a F1 cosα a F a 5 a sin0, cos ,75 kn ( ), C 0 a - q a a + + F1 sinα,5 a + F sin0, , a 5 a 1,9 1,9 kn ( ) és D 1 0 F a - F sinα 1,5 a + - q a a sin0 1, ,9 1 +,89 kn ( ). a a z igénevételi árák megrazolása (megszerkesztése) során a három tartószerkezeti elemet (D, DC és C) külön külön vizsgáluk. z eges részek különöző igénevételének a meghatározásánál mindig az adott tartószerkezeti elem hossztengelének és a tartó egészén működő eges erők hatásvonalának a viszonát kell szem előtt tartanunk. 79

80 101. ára: tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével függőleges tartószerkezeti elemek (D és C) normál igénevételi áráit a tartórészek hossztengelével párhuzamos hatásvonalú erők (, F1 és ) határozzák meg. vízszintes tartószerkezeti elem (DC) normál igénevételi áráát a tartó hossztengelével párhuzamos hatásvonalú erők (F, F1, q és ) határozzák meg (10. ára). z keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N N 0, mad az nak megfelelően ugrás 0 +,75 kn ( ). D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az D függőleges tartórészen: N D,75 kn ( ), illetve N + 15 sin 0 +,89,75 N, 75 kn ( ). D F 1 D D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen: N D F 10 kn ( ), illetve N q a 15 cos0 1 1,9 10,0 N 10, 0 kn ( ). D F 1 z E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: D N q a 1 1,9 1,9 N 1, 9 kn ( ), mad az F1 nek E megfelelő ugrás: E E E N 1,9 + F1 cosα 1, cos0 10,0 N 10 kn ( ), illetve N E F 10 kn ( ), mad az F1 nek megfelelő ugrás: 80

81 N E 10 + F1 cosα cos0 1,9 kn ( ). C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen: N C F 1 + F cosα cos0 1,9 kn ( ), illetve N q a 1 1,9 1,9 N 1, 9 kn ( ). C C C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a C függőleges tartórészen: N C sinα,75 15 sin0,89 N, 89 kn ( ), illetve F 1 N,89 kn ( ). C C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N N 0, mad a nak megfelelően ugrás 0 +,89 kn ( ). 10. ára: Normál igénevételi ára függőleges tartószerkezeti elemek (D és C) níró igénevételi áráit a tartórészek hossztengelére merőleges hatásvonalú erők (F, F1, q és ) határozzák meg. vízszintes tartószerkezeti elem (DC) níró igénevételi áráát a tartó hossztengelére merőleges hatásvonalú erők (, F1 és ) határozzák meg (10. ára). z F keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T F T F 0, mad az F nek megfelelően ugrás: 0 + F 10,0 kn ( ). D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az D függőleges tartórészen: T D F 10,0 kn ( ), illetve T q a 15 cos 0 1 1,9 10,0 T 10, 0 kn ( ). D F 1 D 81

82 D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen: T D,75 kn ( ), illetve T + 15 sin0 +,89,75 T, 75 kn ( ). D F 1 D z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T,89 kn ( ), mad az F1 nak megfelelő ugrás: E E E T,89 F1 sinα,89 15 sin0,75 T, 75 kn ( ), illetve T E,75 kn ( ), mad az F1 nak megfelelő ugrás: T E F 1 sinα,75 15 sin0 -,89 T E,89 kn ( ). C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen: T C F 1 sinα,75 15 sin0 -,89 T C, 89 kn ( ), illetve T C,89 kn ( ). C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a C függőleges tartórészen: T C F 1 + F cosα cos0 1,9 kn ( ), illetve T q a 1 1,9 1,9 T 1, 9 kn ( ). C C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T 0, mad a nek megfelelően ugrás: T 0 0 1,9 1,9 T 1, 9 kn ( ). halító igénevételi ára megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nomaték(ok), a lokális szélsőértékhelek (T0 helek) és az eges keresztmetszetek halító igénevételei. z F keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (10. ára): F F 0, illetve sinα 1,5 a F cosα 1,0 a + F1 1 1,0 a + 5,0 a 15 sin0 1,5 1,0 15 cos0 1,0 1, ,9 1,0 1,0 +,89 5,0 1,0 ~ 0 D keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (105. ára): D F a 10 1,0 10,0 knm ( ), illetve D F 1 sinα 1,5 a + q a a,0 a + 5,0 a 15 sin0 1,5 1, ,0 1,0 1,9,0 1,0 +,89 5,0 1,0 10 D 10,0 knm ( ). 8

83 10. ára: Níró igénevételi ára 10. ára: F keresztmetszet halító igénevételének számítása 105. ára: D keresztmetszet halító igénevételének számítása 8

84 z E keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (106. ára): 106. ára: z E keresztmetszet halító igénevételének számítása E 1,5 a + F a,75 1,5 1, ,0,88 knm ( ), illetve E q a a,0 a +,5 a E, 87 knm ( ). 15 1,0 1,0 1,9,0 1,0 +,89,5 1,0,87 G keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (107. ára): 107. ára: G keresztmetszet halító igénevételének számítása G,5 a + F a + F1 sinα a,75,5 1, , sin0,0 1,0 1,66 knm ( ), mad az nek megfelelő ugrás: G 1,66 + 1, ,66 knm ( ), illetve G q a a,0 a + 1,5 a G 7, 65 knm ( ), mad az 1,0 1,0 1,9,0 1,0 +,89 1,5 1,0 7,65 nek megfelelő ugrás: G G 7,65 + 7, ,65 1, 65 knm ( ). C keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata (108. ára): 8

85 108. ára: C keresztmetszet halító igénevételének számítása C + F1 sinα,5 a + F a 5,0 a sin0,5 1, ,0,75 5,0 1,0 5,0 knm ( ), illetve q a a,0 a 1,0 1,0 1,9,0 1,0 ~ 5,0 ~ 5, 0 C knm ( ). tartó halító nomatéki igénevételi áráa (109. ára): C 109. ára: Halító nomatéki igénevételi ára halításól származó maimális normálfeszültség a függőleges tartóelemen: σ hal. ma 6 ma 5 10 (N mm) t 10 (mm) 9, N/mm () 7,8 10 (mm ) z hal σ. 9, N/mm < 110 N/mm f hal. EGFELEL ma 85

86 halításól származó maimális normálfeszültség a vízszintes tartóelemen: σ hal. ma 6 ma 5 10 (N mm) t 10 (mm) 98,8 N/mm () 7,5 10 (mm ) z hal σ. 98,8 N/mm < 110 N/mm f hal. EGFELEL ma példa dott a 110. ára szerinti tört tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, határozzuk meg a ferde tartószerkezeti elemen (E elem) a halításól származó maimális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést. dott: F16 kn, q kn/m, 0 knm, a1,5 m. keresztmetszetek: 0, z 50 cm, halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm ára: Tört tengelű tartó; támaszerő iránainak feltételezése 111. ára: tartóra ható erőrendszer külső erők és a kiszámolt támaszerők 86

87 reakció erők kiszámítása (111. ára): 0 + q a 5,6 a + F, a 7,6 a 0 + 1,5 5,6 1,5 + 16, 1,5 7,6 1,5 18,1 kn ( ), F 0 0 és 0 q a a - F 5, a + 7,6 a 1,79 kn ( ). 0 1,5 1,5-16 5, 1,5 + 7,6 1,5 normál igénevételi ára (11. ára) megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: az erőrendszer eges elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelével párhuzamos hatásvonalú elemei. z keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N N 0, mad az nak megfelelően ugrás: ,1 kn ( ), illetve N q a F + 1, ,79 18,1 N 18, 1kN ( ), mad az nak megfelelően ugrás: N 18,1 + 18,1 + 18,1 0. D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az D függőleges tartórészen: N D 18,1kN ( ), illetve N q a F + 1, ,79 18,1 N 18, 1 kn ( ). D D D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: N D D 0, illetve N 0. z E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a ferde helzetű tartórészen (11. ára): N E sinα q a sinα 18,1 sin9,8 1,5 sin9,8,05 kn ( ), illetve N F sinα + sinα 16 sin9,8 + 1,79 sin9,8,05 N, 05 kn ( ). E E 87

88 11. ára: z E tartószerkezeti elemre ható normál és níró erők z F keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata (11. ára): N F sinα q a sinα 18,1 sin9,8 1,5 sin9,8,05 kn ( ), mad F nak megfelelően ugrás: F F N,05 F sinα,05 16 sin9,8 8,19 N 8, 19 kn ( ), illetve N sinα 1,79 sin9,8 8,19 kn ( ), mad F nak megfelelően ugrás: F F F N 8,19 F sinα 8,19 16 sin9,8,05 N, 05 kn ( ). keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata (11. ára): N sinα q a sinα F sinα 18,1 sin9,8 1,5 sin9,8 16 sin9,8 8,19 N 8, 19 kn ( ), mad nak megfelelően ugrás: N 8,19 + sinα 8,19 + 1,79 sin9,8 0, illetve N 0, mad nak megfelelően ugrás: N 0 + sinα 0 + 1,79 sin9,8 8,19 kn ( ). 11. ára: Normál igénevételi ára 88

89 níró igénevételi ára (11. ára) megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: az erőrendszer eges elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelére merőleges hatásvonalú elemei. z keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T 0, illetve T 0. D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az D függőleges tartórészen: D D T 0, illetve T 0. D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: T D 18,1kN ( ), illetve T q a F + 1, ,79 18,1 T 18,1kN ( ). D D z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: T E q a 18,1 1,5,1 kn ( ), illetve T F ,79,1 T, 1 kn ( ). E E z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a ferde helzetű tartórészen (11. ára): T E cosα q a cosα 18,1cos9,8 1,5cos9,8,7 kn ( ), illetve T F cosα + cosα 16 cos9,8 + 1,79 cos9,8,7 T, 7 kn ( ). E z F keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata (11. ára): E T F cosα q a cosα 18,1 cos9,8 1,5 cos9,8,7 kn ( ), mad F nek megfelelően ugrás: F F T,7 F cosα,7 16 cos9,8 9,8 T 9, 8 kn ( ), illetve T cosα 1,79 cos9,8 9,8 kn ( ), mad F nek megfelelően ugrás: F F F T 9,8 F cosα 9,8 16 cos9,8,7 T, 7 kn ( ). keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata (11. ára): T cosα q a cosα F cosα 18,1 cos9,8 1,5 cos9,8 16 cos9,8 9,8 T 9, 8 kn ( ), mad nek megfelelően ugrás: T 9,8 + cosα 9,8 + 1,79 cos9,8 0, illetve T 0, mad nek megfelelően ugrás: T 0 + cosα 0 + 1,79 cos9,8 9,8 kn ( ). 89

90 11. ára: Níró igénevételi ára halító igénevételi ára megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nomaték(ok), a lokális szélsőértékhelek (T0 helek) és az eges keresztmetszetek halító igénevételei (119. ára). C keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (115. ára): 115. ára: C keresztmetszet halító igénevételének számítása C q a a F5,a + 7,6a C 0, 0 knm ( ), mad az 1,51,5 165,1,5+ 1,797,61,5 0,0 koncentrált nomatéknak megfelelően ugrunk: C 0,0 + 0,0 + 0,

91 116. ára: D keresztmetszet halító igénevételének számítása C 0, mad a koncentrált nomatéknak megfelelően ugrunk: C ,0 0,0 knm ( ). D keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (116. ára): D q a a F5,a + 7,6a D 0, 0 knm ( ), illetve 1,51,5 165,1,5+ 1,797,61,5 0,0 D 0,0 0,0 knm ( ). z E keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (117. ára): 117. ára: z E keresztmetszet halító igénevételének számítása E F 1, a +,6 a 16 1, 1,5 + 1,79,6 1,5,56 knm ( ), illetve E q a a + a 1,5 1, ,1 1,5,55 E,55 knm ( ). 91

92 118. ára: z F keresztmetszet halító igénevételének számítása z F keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (118. ára): F F F, a 1,79, 1,5 8,7 knm ( ), illetve q a, a + 5, a 1,5, 1, ,1 5, 1,5 8,7 8,7 knm ( ). halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 8,7 10 (N mm) t 10 (mm) 108,9 N/mm () 7,5 10 (mm ) z hal σ. 108,9 N/mm < 110 N/mm f hal. EGFELEL ma 119. ára: Halító igénevételi ára 9

93 6. Gerer tartók igénevételeinek ismétlése Een a feezeten olan egenes tengelű tartók igénevételei áráinak a megszerkesztésével foglalkozunk, ameleke eg (vag tö) plusz csuklót építünk e. töletcsuklók számának megfelelően a kénszerek szaadságfokának a számát is uganúg növelük a szerkezet stailitásának megőrzése miatt. első erőkre (igénevételekre) vonatkozó szaálok változatlanok, uganúg kell alkalmazni azokat, mint az előző feezeteken. mit tudni kell, hog a szerkezete épített csukló(k) az erőket (N, T) átadák, de a nomatékot nem. nomatéki ára a csukló pontáan zérus értéket vesz fel. Ezt használuk ki a tölet kénszer(ek)nél éredő ismeretlen támaszerő(k) meghatározására példa dott a 10. ára szerinti Gerer tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartót halításra. Ellenőrizzük a D csuklópont kapcsolatát (15. ára) a kötőelem nírása és palástnomása szerint. dott: F15 kn, F0 kn, q kn/m, a,0 m. keresztmetszet: zárt szelvén, z 1967 cm. zárt szelvén szilárdsága: f hal. 95 N/mm. Ød8 mm, e15 mm. kötőelem nírási szilárdsága: fn 77 N/mm. kötőelem palástnomási szilárdsága: fpn 150 N/mm. 10. ára: Gerer tartó; támaszerők iránainak feltételezése Reakcióerők meghatározása (11. ára): Tuduk, hog a D pontan eépített csukló nomatékot nem ad át, ami annit elent, a D keresztmetszet halító igénevétele zérus: 0. D D D q (1,5 a) 0 C 1,5 a (1,5,0) C 1,5,0 C5, kn ( ). 9

94 q a q (5 a) 0 F1 a + F a +,5 a + C 5 a,0 (5,0) 5,0 + 0,0 +,5,0 + 5, 5,0,0 kn ( ). q (6a) C 0 + F a + F1 6a,75a 5a 7,6 kn ( ). (6,0) + 0,0 + 56,0,0,75,0 5,0 F ára: tartóra ható erőrendszer külső erők és a kiszámolt támaszerők tartó hossztengelével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénevétel nem éred. z E keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T E E 0, mad ugrás az F1 erőnek megfelelően: E T 0 F T 5 kn ( ), illetve T E erőnek megfelelően: E + C + F q 6 a 7,6 + 5, + 0 6,0 5 kn ( ), mad ugrás az F1 T 5 - F z keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T q a 5,0 T kn ( ), mad ugrás az erőnek megfelelően: F 1 T + + 7,6 0,6 kn ( ), illetve T C + F q 5 a 5, + 0 5,0 0,6 T 0, 6 kn ( ), mad ugrás az erőnek megfelelően: T 0,6 + 0,6 + 7,6 kn ( ). 9

95 z F keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T F F 1 q a + 5,0 + 7,6,6 kn ( ), mad ugrás az F erőnek megfelelően: F T,6 F,6 0,6 kn ( ), illetve T F C + q a 5, +,0,6 T F, 6 kn ( ), mad ugrás az F erőnek megfelelően: F F T,6 F,6 0,6 T,6 kn ( ). keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T q,5 a F + 5,5, ,6 7, T 7, kn F1 ( ), mad ugrás a erőnek megfelelően: T 7, + 7, + 16,6 kn ( ), illetve T C q,75 a 5,,75,0 16,6 T 16, 6 kn ( ), mad ugrás a erőnek megfelelően: T 1 6,6 + 16,6 + 7, kn ( ). D keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T D F1 F q,65 a ,65,0 + 7,6 + 5, kn ( ), illetve T D C q 1,5 a 5, 1,5,0 5, T D 5, kn ( ). 1. ára: Níró igénevételi ára C keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: 95

96 TC + F1 F q 6 a 7, ,0 5, T C 5, kn ( ), mad ugrás a C erőnek megfelelően: T C T C T C 5, C 5, 5, 0, illetve 0, mad ugrás a C erőnek megfelelően: 0 + C 0 + 5, 5, kn ( ). halító igénevételi ára megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nomaték(ok), a lokális szélsőértékhelek (T0 helek), az eges keresztmetszetek halító igénevételei (1. ára). níró erő az, G, és H pontokan lesz zérus. G és H pontok helének a megadása (1. ára): T,6 T 7, F FG 0,65 m vag G 1, 85 m és q q T 16,6 T 5, H,15 m vag C CH 1, 5 m. q q 1. ára: níróerő zérus értékei a halító nomaték lokális szélsőérték helei z keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: q a F a +,0 5,0 + 1 q (5 a) C 5 a +,5 a F a (5,0) 5, 5,0 +,5,0 0,0 78,0 knm ( ), illetve 78,0 G keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: 78, 0 knm ( ). 96

97 q (,5 a) G F1,5 a + F 0,5 a + 1,5 a (,5,0) 5,5, ,5,0 + 7,6 1,5,0,96 knm ( ), illetve q (,675 a) G C,675 a + 0,95 a (,675,0) 5,,675,0 + 0,95,0,96 keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: q (,5 a) F,5 a + F 1,5 a + (,5,0) 5,5, ,5, ,8 knm ( ), illetve,5 a 7,6,5,0 G, 96 knm ( ). 1. ára: Halító igénevételi ára q (,75 a) C,75 a 0, 8 knm ( ). (,75,0) 5,,75,0 0,8 H keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: 97

98 q (5,5 a) H F1 5,5 a + F,5 a +,5 a,075 a (5,5,0) 5 5,5,0 + 0,5,0 + 7,6,5,0,075,0 H,65, 65 knm ( ), illetve q (0,675 a) (0,675,0) H C 0,675 a 5, 0,675,0,65 knm ( ). halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma (N mm) t 175(mm) 69, N/mm () 7 19,67 10 (mm ) z hal σ. 69, N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma 15. ára: D csuklópont csomóponti kialakítása kötőelemeken (csavar) fellépő nírási feszültség: T D TD 500 τ 1, N/mm "nírt keresztemetszetek száma" n d π 8 π "" n "" τ 1, N/mm < 77 N/mm fn EGFELEL. fellépő palástnomási feszültség a kötőelem és a zárt szelvén érintkezési felületén: σ T pn D F 0 ( d 10) n ( 810) 500 8, N/mm < 95 N/mm fpn EGFELEL. fellépő palástnomási feszültség a kötőelem és lapos acél (e) érintkezési felületén: 98

99 σ T pn D F 0 ( d e) n ( 8 15) 500 5,6 N/mm < 150 N/mm fpn EGFELEL példa dott a 16. ára szerinti Gerer tartó. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, ellenőrizzük a tartót halításra. Ellenőrizzük a C csuklópont kapcsolatát (11. ára) a kötőelem nírása és palástnomása szerint. dott: F 16 kn, q kn/m, a,0 m. ØD cm, Ød 0 cm, Ød 8 cm, v 5,0 mm, a halítási szilárdság: f hal. 10 N/mm. kötőelem nírási szilárdsága: fn 77 N/mm. kötőelem palástnomási szilárdsága: fpn 150 N/mm. 16. ára: Gerer tartó; támaszerők iránának feltételezése Reakcióerők meghatározása (17. ára): 0. C C C q a 0 a,0,0,0 kn ( ). q (,5 a) 0 F 1,5 a +,5 a (,5,0) 16 1,5,0 +,5,0 8,875 knm ( ). q (,5 a) 0 + F a +,5 a,5 kn ( ). (,5,0) + 16,0 + 8,875,5,0 F 0. tartó hossztengelével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénevétel nem éred. z keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: 99

100 T T 0, mad ugrás az erőnek megfelelően: ,5,5 kn ( ), illetve q,5 a F +,5,0 16 +,5 T,5 kn ( ), mad ugrás T az erőnek megfelelően: T,5 +,5 +, ára: tartóra ható erőrendszer külső erők és a kiszámolt támaszerők D keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T D T D q 1,5 a,5 1,5,0 5 kn ( ), mad ugrás az F erőnek megfelelően: 5 F ,0 kn ( ), illetve D q a +,0 + 9,0 T D 9, 0 kn ( ), mad ugrás az F erőnek T megfelelően: D D T 9,0 F 9, T 5, 0 kn ( ). C keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T C q,5 a F,5,5,0 16 kn ( ), illetve C q a +,0 + T C, 0 kn ( ). T keresztmetszet níró igénevételének a vizsgálata: T T 0, mad ugrás a erőnek megfelelően: ,0 kn ( ), illetve T q,5 a F +,5,0 16 +,5,0 T, 0 kn ( ), mad ugrás a erőnek megfelelően: T,0 +,0 +,

101 18. ára: Níró igénevételi ára halító igénevételi ára megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nomaték(ok), a lokális szélsőértékhelek (T0 helek) és az eges keresztmetszetek halító igénevételei (10. ára). níró erő az E pontan lesz zérus. E pont helének a megadása (19. ára): T 9,0 T,0 D DE m vag G 1, 0 m. q q 19. ára: níróerő zérus értékei a halító nomaték lokális szélsőérték helei z keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: 0, mad az koncentrált nomatéknak megfelelően ugrunk: ,875 8,875 knm ( ), illetve q (,5 a),5 a F 1,5 a (,5,0),5,0 16 1,5,0 8,875 koncentrált nomatéknak megfelelően ugrunk: 8, , , D keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: 8, 875 knm ( ), mad az 101

102 D knm ( ), illetve q (1,5 a) + (1,5,0) 1,5 a 8,875 +,5 1,5,0 1,0 q ( a) (,0) D a,0 1 D 1, 0 knm ( ). C keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: q (,5 a) C + + F a,5 a, illetve (,5,0) 8, ,0,5,5,0 0 q a,0 C a, ára: Halító igénevételi ára z E keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: q (,75 a) E + + F 1,5 a,75 a E 1, 5 knm ( ), illetve (,75,0) 8, ,5,5,75,0 1,5 q (0,5 a) (0,5,0) E 0,5 a 0,5,0 1,5 knm ( ). 10

103 11. ára: C csuklópont csomóponti kialakítása súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: (D d ) π ( 0 ) π z 8 cm. 6 6 halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 8,88 10 (N mm) t 10(mm) 119, N/mm () 7 8, 10 (mm ) z hal σ. 119, N/mm < 10 N/mm f hal. EGFELEL ma kötőelemeken (csavar) fellépő nírási feszültség: T C TC 000 τ 0, N/mm "nírt keresztemetszetek száma" n d' π 80 π "" n "" 1 τ 0, N/mm < 77 N/mm fn EGFELEL. fellépő palástnomási feszültség: pn F T 000 σ C,75 N/mm < 150 N/mm fpn EGFELEL. 0 ( d' v) ( 80 5) 10

104 7. Háromcsuklós keretek igénevételeinek ismétlése háromcsuklós keretek támaszainál éredő reakcióerők meghatározásánál uganazt az elvet használuk fel, mint a Gerer tartók esetéen. z eltérés anni lehet, hog itt legfele eg csuklót építünk e a szerkezete. z igénevételi árák meghatározása során uganazon szaálok érvénesek, mint a tört tengelű tartók esetéen példa dott a 1. ára szerinti tört tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, határozzuk meg a vízszintes tartószerkezeti elemen (DE elem) a halításól származó maimális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést. dott: F15 kn, q kn/m, 5 knm, a1,0 m. keresztmetszetek: 60, z 570 cm. halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm. 1. ára: Tört tengelű tartó három csuklós keret; támaszerők feltételezése reakció erők kiszámítása (1. ára): 0 + q a 5,6 a + F, a 7,6 a + a 5 + 1,0 5,6 1,0 + 15, 1,0 7,6 1,0 + 1, ,6 7, 6 + 7,6 150, 6 E 5 + 1,0 1,0 0 + q a a 1,0 a 1,0 a ( 7,6 150,6) 0 18,66 kn ( ) 8,78 8,78 kn ( ). 10

105 0 q a a F 5, a + 5 1,0 1,0 15 5, 1,0 + 7,6 a + 7,6 a + a a , , 6 E 0,6 1,0 +,6 a + a F 1, a 1,0 15 1, 1,0 0,6 + 18,6 + (85 7,6) , kn ( ) 8,78 8,78 kn ( ). 1. ára: tartóra ható erőrendszer külső erők és a kiszámolt támaszerők normál igénevételi ára (15. ára) a következők határozzák meg: az erőrendszer eges elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelével párhuzamos hatásvonalú elemei. z keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N N 0, mad az nak megfelelően ugrás: ,66 kn ( ), illetve N q a F + 1, , 18,66 N 18, 66 kn ( ), mad az nak megfelelően ugrás: N 18, , ,66 0. D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az D függőleges tartórészen: N D 18,66 kn ( ), illetve N q a F + 1, , 18,66 N 18, 66 kn ( ). D D 105

106 D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen: N D 8,78 kn ( ), illetve N 8,78 N 8,78kN ( ). D D z E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen: N E 8,78 kn ( ), illetve N 8,78 N 8,78 kn ( ). E E z E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a ferde helzetű tartórészen (1. ára): 1. ára: z E ferde helzetű tartószerkezeti elemre ható erők felontása normál és níró összetevőkre N E sinα cosα q 1,0 sinα 18,66 sin9,8 8,78 cos9,8 1,0 sin9,8 5,0 E N 5, 0 kn ( ), illetve N E kn ( ). F sinα + sinα + cosα 15 sin9,8 + 1, sin9,8 + 8,78 cos9,8 5,0 z F keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata (1. ára): N F sinα cosα q a sinα N F 5, 0 kn ( ), mad 18,66 sin9,8 8,78 cos9,8 1,0 sin9,8 5,0 F nak megfelelően ugrás: F F N 5,0 F sinα 5,0 15 sin9,8 1,6 N 1, 6 kn ( ), illetve N sinα + cosα 1, sin9,8 + 8,78 cos9,8 1,6 kn ( ), mad F nak F megfelelően ugrás: F N 1,6 F sinα 1,6 15 sin9,8 5,0 kn ( ). 106

107 keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata (1. ára): N sinα cosα q a sinα F sinα 18,66 sin9,8 8,78 cos9,8 1,0 sin9,8 15 sin9,8 1,6 N 1, 6 kn ( ), mad és nak megfelelően ugrás: N 1,6 + sinα + cosα 1,6 + 1, sin9,8 + 8,78 cos9,8 0, illetve N 0, mad és nak megfelelően ugrás: N 0 + sinα + cosα 0 + 1, sin9,8 + 8,78 cos9,8 1,6 kn ( ). 15. ára: Normál igénevételi ára níró igénevételi ára (16. ára) eges értékeit az erőrendszer eges elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg. z keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T 0, mad az erőnek megfelelő ugrás: T 0 + 8,78 kn ( ), illetve T 8,78 T 8,78 kn ( ). D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az D függőleges tartórészen: T D 8,78kN ( ), illetve T 8,78 T 8,78 kn ( ). D D D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: T D 18,66 kn ( ), illetve T q a F + 1, , 18,66 T 18,66 kn ( ). D D z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen: T E q a 18,66 1,0,66 kn ( ), illetve 107

108 T F ,,66 T, 66 kn ( ). E E z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a ferde helzetű tartórészen (1. ára): TE cosα + sinα q a cosα T E 7, 66 kn ( ), illetve 18,66 cos9,8 + 8,78 sin9,8 1,0 cos9,8 7,66 T E F cosα + cosα sinα TE 7, 66 kn ( ). 15 cos9,8 + 1, cos9,8 8,78 sin9,8 7,66 z F keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata (1. ára): TF cosα + sinα q a cosα T F 7, 66 kn ( ), mad 18,66 cos9,8 + 8,78 sin9,8 1,0 cos9,8 7,66 F nek megfelelően ugrás: F F T 7,66 F cosα 7,66 15 cos9,8,86 T, 86 kn ( ), illetve T cosα sinα 1, cos9,8 8,78 sin9,8,86 kn ( ), mad F nek F megfelelően ugrás: F F T,86 F cosα,86 15 cos9,8 7,66 T 7, 66 kn ( ). keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata (1. ára): T cosα + sinα q a cosα F cosα 18,66 cos9,8 + 8,78 sin9,8 1,0 cos9,8 15 cos9,8 -,86 T, 86 kn ( ), mad és nak megfelelően ugrás: T,86 + cosα sinα,86 + 1, cos9,8 8,78 sin9,8 0, illetve T 0, mad és nak megfelelően ugrás: T 0 + cosα sinα 0 + 1, cos9,8 8,78 sin9,8,86 kn ( ). 16. ára: Níró igénevételi ára 108

109 halító igénevételi ára megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nomaték(ok), a lokális szélsőértékhelek (T0 helek), az eges keresztmetszetek halító igénevételei és az E pontan található csukló (11. ára). C keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (17. ára): 17. ára: C keresztmetszet halító igénevételének számítása C q a a F5, a + 7,6 a a C, 78kNm 1,0 1,0 155,1,0 + 1, 7,61,0 8,78 1,0,78 ( ), mad a koncentrált nomatéknak megfelelően ugrunk: C C,78 +,78 + 5,0 8,78 8, 78 knm ( ), illetve a 8,78 1,0 8,78 knm ( ), mad a koncentrált nomatéknak megfelelően ugrunk: C D keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (18. ára): 18. ára: D keresztmetszet halító igénevételének számítása 109

110 C 8,78 + 8,78 + 5,0,78 knm( ). D q a a F5, a + 7,6 a a D, 57 1,0 1,0 155,1,0 + 1, 7,61,0 8,78 1,0,57 knm ( ), illetve + a 5,0 + 8,78 1,0,56 knm ( ). D z E keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (19. ára): 19. ára: z E keresztmetszet halító igénevételének számítása E 0,08 0 illetve E F 1, a +,6 a q a a + 1,0 1, ,66 1,0 + 8,78 1,0 0,08 0. a +,0 a 15 1, 1,0 + 1,,6 1,0 8,78,0 1,0, a z F keresztmetszet halító igénevételének a vizsgálata (10. ára): 10. ára: z F keresztmetszet halító igénevételének számítása 110

111 F, a,0 a 1,, 1,0 8,78,0 1,0 1,06 knm ( ), illetve F q a, a + 5, a + a F 1, 05 knm ( ). 1,0, 1, ,66 5, 1,0 + 8,78 1,0 1, ára: Halító igénevételi ára halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma,56 10 (N mm) t 10 (mm) 96,9 N/mm () 7 5,7 10 (mm ) z hal σ. 96,9 N/mm < 110 N/mm f hal. EGFELEL ma példa dott a 1. ára szerinti tört tengelű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, razoluk meg az igénevételi árákat, határozzuk meg a halításól származó maimális normál és níró feszültséget. dott: q1 kn/m, q kn/m, q kn/m, a1,0 m. keresztmetszetek: 0, z 50 cm, Sz 06 cm. halítási szilárdság: f hal. 110 N/mm, a nírási szilárdság: f hal. 7 N/mm. reakció erők kiszámítása (1. ára): 0 q 1 a 6 a + q a a q a a 1,0 6 1,0 + 1,0 1,0 1,0 1,0 0 q1 a a q a 6 a q 1,0 1,0 1,0 6 1,0 1,0 1, ,0 a a + 8 a 8 a 1, 0 kn ( ). 8 a 16, 0 kn ( ). 111

112 11 1. ára: Tört tengelű tartó három csuklós keret; támaszerők feltételezése 1,0 1,0 a 5 1,0 16 a a q a 5 a 0 D ,0 kn ( ). 1,0 1,0 1,0 5 1,0 1 1,0 1,0 a a q a 5 a a a q 0 1 D + +,0 kn ( ). 1. ára: tartóra ható erőrendszer külső erők és a kiszámolt támaszerők

113 normál igénevételi ára (16. ára) megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: az erőrendszer eges elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelével párhuzamos hatásvonalú elemei. z keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: N N 0, mad az nak megfelelő ugrás: ,0 kn ( ), illetve N a q a + 1,0 1, N 1,0 kn ( ), q1 mad az nak megfelelő ugrás: N C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az C függőleges tartószerkezeti elemen: N C 1,0 kn ( ), illetve N a q a + 1,0 1, N 1,0 kn ( ). C q1 C C keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a CD ferde helzetű tartószerkezeti elemen: 1. ára: CD ferde helzetű tartószerkezeti elemre ható erők felontása normál és níró összetevőkre N sinα cosα + Q cosα 1 sin1 cos1 + 1 cos1 10,67 kn ( ), C illetve NC Q1 sinα Q sinα + sinα cosα N C 10,67 kn ( ). 16 sin1 1sin1 + 16sin1 8 cos1 10,67 11

114 D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a CD ferde helzetű tartószerkezeti elemen: N D sinα cosα + Q cosα Q1 sinα N D 6, 79 kn ( ), illetve 1sin1 cos1 + 1 cos1 16sin1 6,79 N D D Q sinα + N 6,79 kn ( ). sinα cosα 1 sin1 + 16sin1 8cos1 6,79 D keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a DE ferde helzetű tartószerkezeti elemen: N D sinα cosα + Q cosα + Q1 sinα N D 8, 7 kn ( ), illetve 1 sin1 cos1 + 1 cos1 + 16sin1 8,7 N D D Q sinα N 8,7 kn ( ). sinα cosα 1sin1 16sin1 8cos1 8,7 z E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata a DE ferde helzetű tartószerkezeti elemen: N E sinα cosα + Q cosα + Q1 sinα + Q sinα N E 11, 6 kn ( 1 sin1 cos1 + 1 cos1 + 16sin1 + 1 sin1 11,6 ), illetve N sinα cosα 16sin1 8cos1 11,6 N 11, 6 kn ( ). E E 15. ára: DE ferde helzetű tartószerkezeti elemre ható erők felontása normál és níró összetevőkre 11

115 z E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata az E függőleges helzetű tartószerkezeti elemen: N a q a 1 1,0 1,0 16 N 16,0kN ( ), illetve E q1 N 16,0 kn ( ). E keresztmetszet normál igénevételének vizsgálata: E N a q a 1 1,0 1,0 16 N 16, 0 kn ( ), mad q1 ugrás a nak megfelelően: N N , illetve 0, mad ugrás a nak megfelelően: N ,0 kn ( ). níró igénevételi ára (17. ára) megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: az erőrendszer eges elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelére merőleges hatásvonalú elemei. 16. ára: Normál igénevételi ára z keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T 0, mad az nek megfelelő ugrás: T 0 0,0 T kn ( ), illetve T q a 1,0 8,0 kn ( ), mad az nek megfelelő ugrás: T

116 C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az C függőleges tartószerkezeti elemen: T q a 1,0 8,0 kn ( ), illetve C T 8 T 8, 0 kn ( ). C C C keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a CD ferde helzetű tartószerkezeti elemen: T cosα + sinα Q sinα 1 cos1 + sin1 1sin1 9,71kN ( ), illetve C TC Q1 cosα Q cosα + cosα + sinα T C 9, 71kN ( ). 16 cos1 1 cos cos1 + 8sin1 9,71 D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a CD ferde helzetű tartószerkezeti elemen: TD cosα + sinα Q sinα Q1 cosα T D 5, 81 kn ( ), illetve 1 cos1 + sin1 1sin1 16 cos1 5,81 T Q cosα + cosα + sinα 1 cos cos1 + 8sin1 5,81 kn( ). D D keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a DE ferde helzetű tartószerkezeti elemen: TD cosα sinα + Q sinα Q1 cosα T D 1, 95 kn ( ), illetve 1 cos1 sin1 + 1sin1 16 cos1 1,95 T Q cosα + cosα sinα 1 cos cos1 8sin1 1,95 kn( ). D z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata a DE ferde helzetű tartószerkezeti elemen: T E cosα sinα + Q sinα Q1 cosα Q cosα 1 cos1 sin1 + 1sin1 16 cos1 1 cos1-1,59 kn( ), illetve T cosα sinα 16cos1 8sin1 1,58 kn ( ). E E T 1, 59 z E keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata az E függőleges helzetű tartószerkezeti elemen: T E + q a + 1,0 8,0 kn ( ), illetve T 80 T 8,0 kn ( ). E E 116

117 17. ára: Níró igénevételi ára keresztmetszet níró igénevételének vizsgálata: T + q a + 1,0 8,0 kn ( ), mad ugrás a nek megfelelően: T T , illetve 0, mad ugrás a nek megfelelően: T T 8, 0 kn ( ). halító igénevételi ára megszerkesztését, megrazolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nomaték(ok), a lokális szélsőértékhelek (18. ára) (T0 helek), az eges keresztmetszetek halító igénevételei és a D pontan található csukló (19. ára). 18. ára: níróerő zérus értékei a halító nomaték lokális szélsőérték helei 117

118 G keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: G G G + q G, 67 knm ( ), illetve G 1, 1, + 1,,67 G,67 G GC q GC q1 a a q,67, 67 knm ( ). 1,0 1,0 1,0 a C keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: ( a + a) + 8 a ( 1,0 + 1,0) ,0 8 1,, 67 a + q a a 1,0 + 1,0 1,0 8,0 knm ( ), illetve C C q1 a a q 1,0 1,0 1,0 C 8,0 knm ( ). a ( a + a) + 8 a a ( 1,0 + 1,0) ,0 8 1,0 8 G z F keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: + q 1 F CF cosα ( a + sinα) cosα + q a ( a + sinα) CF cosα ( 1,0 +,58 sin1 ) 1,58 cos1 + 1,0 ( 1,0 +,58 sin1 ),58 cos1 +,58 cos1,51 CF CF CF + + F, 51 knm ( ), illetve q 1 F 8,51 ( a cosα) 1,0 F CF ( a + sinα) + ( 8 a cosα) q a ( 8 a cosα a) CF a cosα ( 1,0 +,58 sin1 ) + 16 ( 8 1,0,58 cos1 ) CF ( 8 1,0,58 cos1 1,0 ) ( 1,0,58 cos1 ),51kNm ( ). D keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: D 5 a a + q a a + q1 a a, illetve 51,0 1 1,0 + 1,0 1,0 + 1,0 1,0 0 CF CF 1,0,58 cos1 118

119 19. ára: Halító igénevételi ára D q a a + a 5 a. 1,0 1, , ,0 0 z E keresztmetszet halító igénevételének vizsgálata: E 1,0 1,0 + 1,0 E a ( a + a) + q a a 8 a a ( 1,0 + 1,0) + 1,0 1, ,0 1,0 q a a + q1, 0 knm ( ), illetve a 8 1,0, 0 knm ( ). E E halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 10 (N mm) t () 10 (mm) 7,5 10 (mm ) z 90,5 N/mm hal σ. 90,5 N/mm < 110 N/mm f hal. EGFELEL ma Ellenőrzés nírásra, a halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 1,58 10 (N),06 10 (mm ) 7 v(),5 10 (mm ) 8,7(mm) 7,57 N/mm hal. τ 7,57 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma 119

120 8. Húzó igénevétel, húzófeszültség példa dott a 150. ára szerinti szimmetrikus szerkezetű és terhelésű rácsos tartószerkezet. Határozza meg a reakcióerőket, a rúderőket. maimilás húzó igénevételnek kitett rudat ellenőrizze ára: Rácsos tartószerkezetre ható külső erők és a reakcióerők dott: F0 kn, a1,0 m. Húzott tartóelemek keresztmetszete: kör, ØD5 mm. rúd szilárdsága: f h.90 N/mm. reakcióerők meghatározása: 0 1a F11a F8a F a Fa F 0 kn ( ). 0 + F kn ( ). rúderők meghatározása: z csomópont vizsgálata (151. ára): a a α arctan 5,0 és β arctan 75,96 a a S 1, F 0 S 1, cosβ + S,7 cosα S 1, cos75,96 + S,7 S,7 cos5,0 cos75,96 1,,7 1, S,7 cos5,0 F 0 S sinβ + S sinα + S sin75,96 + sin5,

121 151. ára: S 1, és S,7 rudak első erőinek, igénevételeinek meghatározása ehelettesítés után: S,7 cos5,0 0 sin75,96 + S,7 sin5,0 + 0 cos75,96 S,7 18,86 kn (húzott, (+)). Visszahelettesítés után: S1, 5,98 S1, 5,98 kn (nomott, ( )). z 1 es csomópont vizsgálata (15. ára). a a γ arctan 6, 57 és δ arctan,69 a a 15. ára: S 1, és S 1,7 rudak első erőinek, igénevételeinek meghatározása z ismeretlen rúderőket húzottnak tételezzük fel. F 0 S 1, cosβ + S 5,98 cos75,96 + S 1,7 1,7 cosγ + S 1, cos6,57 + S cosδ 1, cos,69 S 1,7 1, + S1, cos,69 cos6,57 11

122 F 0 S1, sinβ + S1, sinδ S1,7 sinγ - F 5,98sin75,96 + S sin,69 S sin6,57-0 1, 1,7 ehelettesítés után: 1,+ S1, cos,69 0 5,98sin75,96 + S 1, sin,69 + sin6,57-0 cos6,57 S1 1, S1 1, kn (nomott, ( )). Visszahelettesítés után (figelem, az S1, rúdról immár tuduk, hog nomott tartószerkezeti elem, ezért ezt az iránú vetületi egensúli egenleten figeleme kell venni.): 1, S1, cos,69 1, 1, cos,69 S 1,7 cos6,57 cos6,57 S1,7,1 kn (húzott, (+)). z S,6, S, és S6,7 rúderők meghatározása as átmetszés módszerrel (15. ára): z ismeretlen rúderőket húzottnak tételezzük fel. 6 0 F a + F 5 a 6 a S, S S, 50,0 S, 50,0 kn (nomott, ( ))., 1 a a ϕ. a 7 6 rúd vízszintessel ezárt szöge: arctan 18, [ ] 15. ára: S,, S,6 és S 6,7 rudak első erőinek, igénevételeinek meghatározása 1

123 0 F a S 7,6 6 0 F a + F 5 a 6 a S, S S, 50,0 kn (nomott, ( )). a + S7,6 cosϕ a S7,6 sinϕ a S7,6 9,5 kn(húzott, (+)). (cos18, 1 sin18, 1), 1 6 rúd vízszintessel ezárt szöge: arctan 5, 0[ ] 7 0 F a a F a + S S a S, 50,0 a ϕ. a,,6 a S,6 cos5 1 S cosϕ a S,6,6 sin5 1 sinϕ a S,6 17,68 kn(húzott, (+)). z S,7 rúd igénevételének meghatározására nem tértünk ki, igénevétele S,710,16 kn (nomott, ( )). 15. ára: Rácsos tartószerkezet rúdelemeinek normál igénevétele szimmetrikus tartógeometria és terhelés miatt a o oldali rudak igénevételei megegeznek a szimmetriapáruk igénevételével ára a maimális húzó igénevételnek kitett kör keresztmetszetű rudat árázola. z S6,7 rúdelem ellenőrzése: 1

124 155. ára: Kör keresztmetszetű rúd húzó igénevételének ellenőrzése rúdan fellépő húzófeszültség: S 9, π húzó 6,7 σ 80,5 N/mm. Összehasonlítás a szilárdsággal: f h.90 N/mm > 80,5 N/mm σhúzó EGFELEL példa dott a 156. ára szerinti rúd/kötél szerkezet, amit a C csuklópontan koncentrált erővel terhelünk. z igénevétel az C és C tartóelemeken tiszta húzás. Ellenőrizzük a tartót ára: Kör keresztmetszetű rúd/kötél elemek húzó igénevételének ellenőrzése dott: a 0,9 m, 0, m, c,6 m, d 1, m, F0 kn, ØDC0 mm, ØDC10 mm. rudak/kötelek szilárdsága: f h.100 N/mm. z C és C tartóelemeken éredő húzóerők: F F ( ) + F cosβ ( ) 0 F cosα és 0 F sin ( α) + F sinβ ( ) F 1

125 két egenletől álló két ismeretlenes (F, F) egenletrendszer megoldása után a következőket kapuk eredménül a reakcióerőkre, amik egen a rúderők is: S F 9,9 kn ( ). C rudakan fellépő húzófeszültségek: S F 8,6 kn ( ) és C húzó S C 8,6 10 σ C 90,59 N/mm < C 0 π f h.100 N/mm EGFELEL húzó S C 9,9 10 σ C 10,8 N/mm > f h.100 N/mm NE FELEL EG C 10 π példa dott a 157. ára szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval ( és pontan) támasztottunk meg. Ellenőrizzük a C kötél elemet húzásra, megfelel-e. Ha nem felel meg, akkor határozzuk meg a szükséges ØdC méretet. dott: F 5 kn, a m, α0, ØdC,5 cm. kötél szilárdsága: f h.110 N/mm ára: Kötél húzó igénevételének ellenőrzése kötélen éredő húzóerő meghatározása: 0 F cos S F 6,5 kn ( ). C ( α) a + F cosβ ( ) 1,5 a kötélen fellépő húzófeszültség meghatározása: húzó S C 6,5 10 σ C 11, N/mm > f h.110 N/mm NE FELEL EG C 5 π szükséges dc átmérő meghatározása: 15

126 f h. S C S C C f C h. 6, ,91 mm d C π 585,91 C d C 7,1 mm d C cm. π példa dott a 158. ára szerinti 0-as csavarorsó. ekkora erővel lehet terhelni? dott: ØD0 mm, Ød17 mm. csavarorsó anagának szilárdsága: f h.70 N/mm ára: Húzásra igénevett csavarorsó magkeresztmetszet meghatározása: d π 17 π 0 7 mm. maimális Fma húzóerő meghatározása: F h. ma 0 f ,89 kn példa dott a 159. ára szerinti fékrúd, amit tiszta húzásra kell méretezni. dott: l1100 cm, l cm, F150 N. fékrúd szilárdsága: f h.9 N/mm. Határozzuk meg a szükséges Ød átmérőt. fékrúdra ható erőt a nomatékok egensúláól határozhatuk meg: F1 l F1 l1 F l F 650 N. l f h. F d π F f h. d Kerekítés után a szükséges Ød1 cm. F f π h π 9, mm. 16

127 159. ára: Húzott fékrúd példa dott a 160. ára szerinti, hengeren mozgó dugattúrúd. Húzó igénevételre méretezzük ekkora a megengedett nomás (q felületen megoszló terhelés) a hengeren? dott: ØD00 mm, Ød100 mm. dugattúrúd szilárdsága: f h.100 N/mm ára: Húzott dugattúrúd dugattúrúd (Ød) terhelhetősége: f F ma dugattúrú d ma h. Fdugattúrú d f h. d π 100 π N 785 kn. hengeren fellépő húzó erő nagsága nem lehet nago a dugattúrúd terhelhetőségével: Fdugattúrúd Fdugattúrúd q q 1,9 N/mm ( D d ) π ( ). π 17

128 példa dott a 161. ára szerinti függesztés. Húzó igénevételre méretezünk. ekkora a szükséges kötél átmérőe? kötél n 0 d egforma drótszálól áll. dott: G (önsúl) 5 kn, Q (hasznos teher) 6 kn. kötelet képező drótszálak szilárdsága (iztonsági ténező figelemevételével): fh.150 N/mm. szükséges teles keresztmetszet meghatározása: f S kötél kötél S f Eg drótszál szükséges keresztmetszete: h. Q + G , mm f 150 h. kötél 7, drótszál 1,8 mm mm n 0 d drótszál π drótszál d drótszál π 1,6 mm d 1,8 vag,0 mm ára: Kötélerő meghatározás daru (vag lift) szerkezeteknél 18

129 9. Nomó igénevétel, nomófeszültség példa dott a 16. ára szerinti acélcső, amit F nomóerő terhel. ekkora lehet a terhelő erő maimuma? dott: ØD0 mm, Ød0 mm. z acél cső szilárdsága: f n.15 N/mm. 16. ára: Nomott acélcső nomásan dolgozó keresztmetszet meghatározása: ( D d ) π ( 0 0 ) π 0 59,78 mm. fellépő nomófeszültség: n F σ amiől: 0 F ma n σ f 1559, 78 68,7 kn. 0 n példa dott a 16. ára szerint, d átmérőű talpcsap, ami a talpcsapágra nehezedik. ekkorának kell az átmérőt választani? dott:f 6 kn. felületi nomás maimális értéke: fn. N/mm. 0 F f n mm d π d π π 50,6 mm d 5,1 cm. 19

130 16. ára: Talpcsapág példa dott a 16. ára szerinti négzet keresztmetszetű etonoszlop, amit F nomóerő terhel. ekkora az oszlopan keletkező nomófeszültség? 16. ára: eton oszlop nomása 10

131 dott: a0 cm, Ød0 mm, F 180 kn. z oszlop hossza: l 5 m. fellépő nomófeszültség: n F σ N/mm példa Csapágazásnál, csavarkötések kialakításánál a nomóerő göre, palást felületen oszlik meg. Een az eseten palástnomásról eszélünk. palástnomási felületet nem a hengerfelületől, hanem a tengelmetszetől (vízszintes- vag hosszmetszet) számítuk. dott a 165. ára szerinti vízszintes csapág, amit a d átmérőű csap F erővel terhel. ekkora a csapág l hossza? dott: Ød50 mm, F 6 kn. palástnomás maimális értéke: f pn. N/mm. fellépő palástnomás: pn F F F 6000 σ, amiől l 60 mm. d l d f 50 0 pn ára: Vízszintes csapág - nomó igénevétel hengeres felületen példa ekkora átmérőű és hosszúságú csapágat kell kialakítani, hog a csapág hossza 1,5-szerese legen az átmérőnek? dott: F 1 kn. palástnomás maimális értéke: f pn. 5 N/mm, l 1,5 d. fellépő palástnomás: pn F F F F 1000 σ, amiől f d l d l d 1,5 d 1,5 d 0 F 1000 d 0 mm és l 1,5 d 1, mm. f 1,5 5 1,5 11

132 példa dott 166. ára szerinti függesztés. ekkora a teherközvetítő d átmérőű csap palástnomási feszültsége? dott: Ød0 mm, e15 mm, F 16 kn, S 17,18 kn, S 1,05 kn. palástnomás maimális értéke: f pn. 5 N/mm ára: Függesztés összekötő csapának palástnomási feszültsége z S rúderőől származó palástnomási feszültség: pn S S σ S 19,09 N/mm < 5 N/mm f pn. EGFELEL. d ( e) 0 ( 15) 0 z S rúderőől származó palástnomási feszültség: pn S S 1050 σ S,9 N/mm < 5 N/mm f pn. EGFELEL. d ( e) 0 ( 15) 0 z F rúderőől származó palástnomási feszültség: pn F F σ 17,78 N/mm < 5 N/mm F fpn. EGFELEL. d ( e) 0 ( 15) 0 csapot nírásra is ellenőrizni kell. témáról őveen a Közelítően tiszta níró igénevétel, nírófeszültség című feezeten. Továi, palástnomással összefüggő példákat a Közelítően tiszta níró igénevétel, nírófeszültség című feezeten veszünk. 1

133 10. Halító igénevétel, halításól származó normál (húzó-nomó) és nírófeszültség példa dott 167. ára szerinti kéttámaszú tartó (.1.1 példa alapán). ekkora a halításól származó maimális normál és nírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést! dott: X, knm, Szelvén: -60 z 570 cm, Sz 57 cm, v 9, mm. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm ára: szelvénű, kéttámaszú tartó halításól származó normálfeszültsége halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma, 10 (N mm) t 10(mm) 7,9 N/mm () 7 5,7 10 (mm ) z hal σ. 7,9 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 S z () 15, 10 (N),57 10 (mm 7 v() 5,7 10 (mm ) 9,(mm) ) 7,5 N/mm hal. τ 7,5 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma példa dott 168. ára szerinti kéttámaszú tartó (.1. példa alapán). ekkora a halításól származó maimális normálfeszültség? Végezzük el az ellenőrzést! dott: F15 kn, q kn/m, a 1 m és α 0 X-alsó 16,75 knm, X-felső 8,0 knm, Szelvén: U-10 z 6 cm, e 1,6 cm,. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm. halításól származó maimális normálfeszültség az alsó oldalon: σ hal. ma alsó ma-alsó z t () 6 16,75 10 (N mm) 16,0 ( mm) 7,6 N/mm 6 10 (mm ) hal σ. 7,6 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma 1

134 168. ára: U szelvénű, kéttámaszú tartó halításól származó normálfeszültsége halításól származó maimális normálfeszültség a felső oldalon: σ hal. ma felső ma-felső z t () 6 8,0 10 (N mm) (55 16) ( mm) 85,71 N/mm 6 10 (mm ) hal σ. 85,71 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma példa dott a 169. ára szerinti kéttámaszú tartó (.1.1 és példák alapán). ekkora a halításól származó maimális normál és nírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést! dott: F8 kn, q kn/m, 5 knm és a0,5 m X 1,5 knm és TX 0,0 kn. Szelvén: cső: ØD15 cm, Ød11 cm z 1766 cm. halítási szilárdság: f hal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm ára: Cső szelvénű, mereven efogott tartó halításól származó normálfeszültsége halításól származó maimális normálfeszültség: σ hal. ma 6 ma 1,75 10 (N mm) t () 75(mm) 7 1, (mm ) z 6,6 N/mm hal σ. 6,6 N/mm < 95 N/mm f hal. EGFELEL ma félszelvén statikai nomatéka a halítás tengelére: 1

135 1 π (D d S z ( 0) 1 π ( ,8, 16 cm. ) ) 15 D ( D + D d + d ) π (D + d) ( ) π ( ) halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma 5 T,(ma) Sz () 0 10 (N) 1,6 10 (mm 7 z v() 1, (mm ) 0 (mm) hal. τ,85 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma ),85 N/mm példa dott a 170. ára szerinti mereven efogott T-szelvénű tartó, amelnek a végén eg csövet támasztunk meg fala erősített konzolos csőtámasztás. ekkora a távolságra helezhetük a csövet a faltól? ( T szelvén önsúlát elhanagoluk) dott: F1 kn, X F a knm. Szelvén: T 60X60 z,8 cm. T idom halítási szilárdság: f hal. 11 N/mm ára: Egik végén efogott T-szelvén halításól származó maimális normálfeszültség:. f ma hal. 11 ma t () ma F a z,8 10 t 60 16,6 σ hal z a ma 65,16 mm 6 cm. F 1000 () Nmm 15

136 példa dott a 171. ára szerinti kéttámaszú -szelvénű tartó, amelen két koncentrált erő működik. ilen szelvént kell választanunk? (z szelvén önsúlát elhanagoluk) Ellenőrízzük a tartót nírásra! dott: F16 kn, F kn. z idom halítási szilárdság: fhal. 95 N/mm, a nírási szilárdság: f nírás 7 N/mm ára: Kéttámaszú, koncentrált erővel terhelt -szelvén halításól származó maimális normálfeszültség: 6 hal. ma z ma 6 10 σma t () ( K z ) 6158 mm t f 95 z () hal. z tálázatól: -10 szelvén a megfelelő. z -10 szelvén keresztmetszeti adatainak a figelemevételével számított halításól származó normálfeszültség: 6 hal. ma 6 10 σ t 70 7, N/mm < 95 N/mm 10 () fhal. EGFELEL 6 5,7 10 z halításól származó maimális nírófeszültség (Sz 7,7 cm ): τ hal. ma T,(ma) Sz () 6 10 (N),77 10 (mm 6 z v() 5,7 10 (mm ) 5,7 (mm) hal. τ 8,76 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma ) 8,76 N/mm 16

137 példa dott a 17. ára szerinti kéttámaszú övlemezzel erősített -tartó. tartón p megoszló (hasznos) terhelés működik. ekkora a halításól származó maimális normál és nírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést! dott: p 50 kn/m, a 6 m, 15 cm, v cm. Szelvén: -60 z 910 cm, Sz 57 cm, G (önsúl) 9 N/m. halítási szilárdság: f hal. 10 N/mm, a nírási szilárdság: fnírás 7 N/mm. z övlemezek önsúla: Gv (önsúl) 68 N/m. 17. ára: Kéttámaszú, övlemezzel erősített -tartó tartó önsúláól származó terhelés: q G + G N/m1,9 kn/m. v reakcióerők meghatározása a tartó és a terhelés is szimmetrikus, emiatt (p + q) 6 (50 + 1,9) 6 15,18 kn. maimális nomaték értéke a tartó közepén lesz. eghatározása: a a a (p + q) a a a (p + q) a ma (p + q) (p + q) 1, ,6 knm ( ). ma keresztmetszet halítási tengelére vett inerciáa: 17

138 -00 v v t z z () cm. 1 1 halításól származó maimális normálfeszültség: 6 hal. ma 1,6 10 σ t 0 91,75 N/mm < 95 N/mm ma () fhal. EGFELEL z félszelvén statikai nomatéka a halítás tengelére: 60 h v 1 S ( 0) S + v cm. z z halításól származó maimális nírófeszültség: τ hal. ma T,(ma) z 5 Sz () 15,18 10 (N),7 10 (mm 8 v() 5,57 10 (mm ) 9, (mm) hal. τ 1,9 N/mm < 7 N/mm f nírás EGFELEL ma ) 1,9 N/mm példa dott a 17. ára szerinti esztergakés, miközen acél anagot munkálunk meg. Határozzuk meg az esztergakés keresztmetszeti méreteit (a és )! dott: Előtolás: e 1, mm/fordulat. Fogásmélség: f 6 mm. falagos forgácsolási ellenállás: k 100 N/mm. kés alátámasztás nélküli hossza: c 6 cm. z acél halítási szilárdsága: f hal. 100 N/mm. kés négszög keresztmetszetének oldalainak az arána: a. 17. ára: Esztergakés alátámasztása, terhelése forgácsolóerő számítása: F forg. e f k 1, ,08 kn. z esztergakés mértékadó keresztmetszetét terhelő nomaték: 5 ma Fforg. c 10, ,05 10 késszár szükséges keresztmetszete: Nmm. 18

139 f hal. ma z t () t z () f ma hal. 6, mm. t z () a 1 a a 6050 mm. 1 6 keresztmetszet oldalainak az aránáól: ehelettesítés után: a. z a ,9 mm és a 5,7 mm. t 6 6 () 19

140 11. Csavaró igénevétel, csavarásól származó nírófeszültség Kör és körgűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nomatéka és poláris keresztmetszeti ténezőe példa dott a 17. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszet poláris másodrendű nomatékát és poláris keresztmetszeti ténezőét. dott: Ød0 cm. 17. ára: Kör keresztmetszet poláris másodrendű nomatéka Poláris inercia számítása: d π 0 π p cm. Poláris keresztmetszeti ténező számítása: d π p d π 0 π W p 1570,8 cm. d d példa dott a 175. ára szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszet poláris másodrendű nomatékát és poláris keresztmetszeti ténezőét.. dott: ØD15 cm, Ød11 cm ára: Körgűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve) poláris másodrendű nomatéka Poláris inercia számítása: 10

141 (D d ) π (15 11 ) π p 5 cm. Poláris keresztmetszeti ténező számítása: (D d ) π p (D d ) π (15 11 ) π 5 W p 71 cm. D D 16 D Kör és körgűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nírófeszültség példa dott a 176. ára szerinti mereven efogott, kör keresztmetszetű tartó. Határozzuk meg az éredő nírófeszültséget. dott: Ød8 cm, a m, cs.1,5 knm ára: Csavarással terhelt, kör keresztmetszetű, mereven efogott tartó Poláris inercia és poláris keresztmetszeti ténező számítása: d π 8 π p 0,1 cm. d π d π d π 8 π W p 100,5 cm. d d csavarásól származó maimális nírófeszültség: 11

142 csav. csav. 6 6 τ csav. ma ma 1,5 10 1,5 10 ma t () 0 6 W, ,5 10 1,9 N/mm. p p példa dott a 177. ára szerinti acél cső, amit esztergálással munkálunk meg. Határozzuk meg a munkafolamat során éredő maimális nírófeszültséget. dott: Ød5 cm, ØD6 cm. Forgácsolóerő: Ff 7 kn ára: Cső keresztmetszetű acél esztergálása fellépő csavaró nomaték: cs F f D Nmm10 Nm. Poláris inercia és poláris keresztmetszeti ténező számítása: ( ) ( D - d π ) π p mm. ( D - d ) π ( ) π Wp 1958 mm. 16 D csavarásól származó maimális nírófeszültség: csav. csav. 5 5 csav. ma ma,1 10,1 10 τ ma t () 0 9,56 N/mm. 5 W 6,59 10, 10 p p példa dott a 178. ára szerinti forgattús tengel. csapra F erő hat. Határozzuk meg a tengel szükséges átmérőét. dott: F10 kn két tengel távolsága: r0 cm. tengel anagának nírószilárdsága: fcsav. 60 N/mm. fellépő csavaró nomaték: cs F r Nmm000 Nm. f 1

143 178. ára: Forgattús tengel szükséges átmérőének a számítása az éredő nírófeszültség alapán csavarásól származó maimális nírófeszültség: f csav. ma csav. ma p t () W csav. ma p W p D π 16 f csav. ma csav. ma D π 16 csav. 16 ma D csav. f π ma π 6 55,7 mm példa dott a 179. ára szerinti n1 és n fordulatú tengel. Határozzuk meg a tengelek szükséges legkise átmérőét. dott: n110 1/min, n0 1/min. z átvitt telesítmén: P0 kw. tengelek anagának nírószilárdsága: fcsav. 5 N/mm. hatótengelt terhelő csavaró nomaték: P 10 P cs1 ϖ 1 cs1 (π n1) 1,6 Nm. cs1 π n 10 1 π 60 csavarásól származó maimális nírófeszültség: f csav. ma cs1 p t () W cs1 p W p d1 π 16 f cs1 csav. ma 1, d1 π 16 1

144 179. ára: Forgatónomaték átszármaztatása fogaskerekekkel 16 cs1 d 1 csav. f π ma 161, 10 5π 5 0,0 mm cm. hatott tengelt terhelő csavaró nomaték: P 10 P cs ϖ cs ( π n ) 795,77 Nm. cs π n 0 π 60 csavarásól származó maimális nírófeszültség: f csav. ma cs p t () W cs p W p d π 16 f cs csav. ma 7, d π cs d csav. f π ma 167,9610 5π 5 5,5 mm 6 cm példa dott a 180. ára szerinti d átmérőű, n fordulatszámú tengel, amel P telesítmént származtat át. Ellenőrizzük a tengelt csavarásra ára: Fogaskerékáttétel 1

145 dott: n50 1/min. Ød8 cm. z átvitt telesítmén: P, kw. tengelek anagának nírószilárdsága: fcsav. 95 N/mm. hatótengelt terhelő csavaró nomaték: P, 10 P cs ϖ cs ( π n) 8 Nm. cs π n 50 π 60 Poláris inercia és poláris keresztmetszeti ténező számítása: d π 8 π p 0,1 cm. d π d π d π 8 π W p 100,5 cm. d d csavarásól származó maimális nírófeszültség: τ csav. ma csav. csav. 6 6 ma ma 8, 10 8, 10 t () 0 6 W, ,5 10 p p 8,98 N/mm csav τ. 8,98 N/mm < 95 N/mm f csav. EGFELEL ma 15

146 1. Közelítően tiszta níró igénevétel, nírófeszültség példa dott a 181. ára szerinti, nírásra terhelt kötőelem (egnírású szegecs). Ellenőrizzük a kapcsolatot a kötőelem nírása és palástnomása szerint. dott: Ød1,5 cm, e10 mm, F 1 kn. kötőelem nírási szilárdsága: fn 77 N/mm. kötőelem palástnomási szilárdsága: fpn 150 N/mm. Hog hán nírású eg kötőelem, az alapán határozzuk meg, hog a kötőelem elníródásakor hán felület mentén szakadna el ára: Egnírású kötőelem kötőelemen (szegecs) fellépő nírási feszültség: τ F F 1000 "nírt keresztemetszetek száma" d π 15 π 67,91 N/mm "1" "1" τ 67,91 N/mm < 77 N/mm fn EGFELEL. fellépő palástnomási feszültség: pn F F 1000 σ 80 N/mm < 150 N/mm fpn EGFELEL. d e példa dott a 18. ára szerinti, nírásra terhelt kötőelem (szegecs). Ellenőrizzük a kapcsolatot a kötőelem nírása és a fellépő palástnomás szerint. dott: Ød1 cm, e5 mm, F 1 kn. kötőelem nírási szilárdsága: fn 77 N/mm. kötőelem palástnomási szilárdsága: fpn 150 N/mm. 18. ára: Kétnírású kötőelem kötőelemeken (szegecs) fellépő nírási feszültség: 16

147 τ F/ + F/ F 1000 "nírt keresztemetszetek száma" d π 10 π 76,9 N/mm "" "" τ 76,9 N/mm < 77 N/mm fn EGFELEL. fellépő palástnomási feszültség a al oldali kötőelemeken: pn F F/ + F/ 1000 σ 10 N/mm < 150 N/mm fpn EGFELEL ( d e) fellépő palástnomási feszültség a o oldali kötőelemen: pn F F/ + F/ 1000 σ 10 N/mm < 150 N/mm fpn EGFELEL. d e Jelen példáan a geometriai méretek miatt a palástnomási felületek megegeznek, ezért a palástnomási feszültségek is. Ez azonan nem minden csomóponti kialakítás esetén van íg. indig az adott példa, geometriai kialakítás határozza meg a palástnomási felületet és feszültséget is példa dott a 18. ára szerinti 1 es csavar, amit húzásra terhelünk. Ellenőrizzük a csavart nírás és nomás szerint. z F terhelő erő az orsót ki akara húzni a csavarfeől. nírt felület íg eg hengerfelület lesz, amit ha kiterítünk, téglalapot kapunk. téglalap egik oldala a csavar kerülete, míg másik oldala a csavarfe magassága lesz. dott: Ød1 mm, F 6 kn. kötőelem (csavar) nírási szilárdsága: fn 50 N/mm. kötőelem palástnomási szilárdsága: fpn 150 N/mm. 18. ára: Níró igénevétellel terhelt kötőelem 17

148 1.1.. példa dott a 18. ára szerinti, v vastagságú lemez. Ecenterpréssel d átmérőű tárcsát vágunk ki. ekkora a legnago d átmérő, amit még ki lehet a munkaeszközzel vágni? Kivágáskor a fellépő níróerőnek nagonak kell lennie, mint az anag szilárdságáól adódó ellenállásnak. külső F erőnek meg kell haladnia azt a első erőt, amit az anag elcsúszás nélkül el tud viselni. dott: v mm. préssel kifethető maimális erő: F 00 kn. lemez nírási szilárdsága: fn 00 N/mm. 18. ára: Tárcsa kivágása lemezől Kör alakú lemezdara kivágásakor a nírt felület eg hengerfelület, amit ha kiterítünk, téglalapot kapunk. Ennek a téglalapnak a hosszaik oldala a tárcsa kerületével, rövideik oldala a lemez vastagságával egezik meg. fellépő nírófeszültség: F F τ 500 mm. f 00 n nírt keresztmetszet: 500 d π v d 79,57 mm. π v π 18

149 1. Kihalás példa dott a 185. ára szerinti, egik végén szaad, másik végén efogott kör keresztmetszetű tartó. Határozzuk meg a karcsúsági ténezőt! dott: Ød 0 cm, h 1,5 m, ν (egik végén szaad, másik végén efogott tartók esetén) ára: Egik végén szaad, másik végén efogott kör keresztmetszetű tartó kihalása keresztmetszet területe: d π 0 π 1,16 cm. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π 0 π z min 785 cm. 6 6 legkise inerciasugár meghatározása: i min miin 785 1,16 5 cm. tartó redukált hosszának a meghatározása: lred h ν 1,5 m 00 cm. karcsúsági ténező számítása: l λ 00 5 red 60. i min 19

150 1.1.. példa dott a 186. ára szerinti, egik végén szaad, másik végén efogott kör keresztmetszetű tartó. Határozzuk meg a karcsúsági ténezőt! dott: ØD 5 mm, Ød 0 mm, h m, ν 1 (két végén csuklós megtámasztás) ára: Két végén csuklós megtámasztású cső keresztmetszetű tartó kihalása keresztmetszet területe: ( ) ( D - d π 5-1 ) π mm. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: (D d ) π (5 0 ) π z min 7565 mm. 6 6 legkise inerciasugár meghatározása: i i z i min min ,05 mm. tartó redukált hosszának a meghatározása: lred h ν 1 m 000 mm. karcsúsági ténező számítása: lred 000 λ 1,89. 15,05 i min 150

151 1.1.. példa dott a 187. ára szerinti vízszintes, csuklós megtámasztású tartó, amit a C zárt szelvén keresztmetszetű tartó elem támaszt meg, tart egensúlan. Ellenőrizzük a C tartóelemet kihalásra! dott: q 1,5 kn/m, F 6 kn, α 60, a 0,6 m, 0,9 m. tartó keresztmetszetére, anagára és a megtámasztására vonatkozó adatok tálázatól: ν 1 (két végén csuklós megtámasztás),,59 cm,,6 cm, z 5,7 cm, λh ára: Zárt szelvén keresztmetszetű tartó elem kihalása kiseik inerciasugár meghatározása: i min min,6,59 1,18 cm. tartó redukált hosszának a meghatározása: lred h ν 0,6 + 0,9 1 1,08 m 108 cm. karcsúsági ténező számítása: λ l red ,5. 1,18 i min λh 105 > 91,5 λ a kritikus feszültséget a képléken kihalás, a Tetmaer-féle képlet szerint kell meghatározni: σ krit a λ 10 1,1 91, 5 06 N/mm (acél esetén tálázatól: a 10, 1,1). C rúdan éredő normál igénevétel számítása: 151

152 (a + ) 0 sin arctan a q (a + ) F sinα (a + ) a NC 18,99 kn. C rúdan fellépő normálfeszültség meghatározása: N C 18,99 10 σ fel 7, N/mm < σ krit 06 N/mm EGFELEL! példa dott a 188. ára szerinti, csavarorsót szimolizáló tartóelem. Ellenőrizzünk kihalásra! dott: F 5 kn, h 1, m, Ød,5 cm. tartó anagára és a megtámasztására vonatkozó adatok tálázatól: E N/mm, ν 1 (két végén csuklós megtámasztás), λh ára: Kör keresztmetszetű tartó elem kihalása keresztmetszet területe: d π,5 π 9,6 cm. súlponti tengelekre vonatkozó inercia számítása: d π,5 π z min 7,7 cm. 6 6 kiseik inerciasugár meghatározása: 15

153 i min min 7,7 9,6 0,88 cm. tartó redukált hosszának a meghatározása: lred h ν 1, 1 1, m 10 cm. karcsúsági ténező számítása: lred 10 λ 17,7. 0,88 i min λh 105 < 17,7 λ a kritikus feszültséget a rugalmas kihalás, az Euler-féle képlet szerint kell meghatározni: π E π σ 9,97 N/mm. krit λ 17,7 z orsóan fellépő normálfeszültség meghatározása: N 510 σ fel 6,78 N/mm < σ krit 9,97 N/mm EGFELEL! 96 15

154 Felhasznált és aánlott irodalom Jaka S. (198): echanika példatár., egetemi egzet, Józsa. (1991): űszaki mechanikai tálázatok, egetemi egzet Kaliszk S. (1990): echanika. - Szilárdságtan, Tankönvkiadó, Királ. (1978): Szilárdságtan., Tankönvkiadó, árton. (196): Szilárdságtan, űszaki Könvkiadó, uttnánsz Á. (196): Statika, Tankönkiadó, Sárközi Z. (1977): űszaki tálázatok és képletek, űszaki Könvkiadó, Szalai J. (00): űszaki mechanika., egetemi egzet Tímár. (1997): űszaki mechanika. Statika, Veszprémi Egetemi Kiadó, 15