σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

Átírás

1 Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho hasonlóan - nem lneárs, hanem térbel les. A gakorlat sámításokho aonban általában elegendő a ránho tartoó normálfesültséget fgelembe venn, s a több fesültségkomponenst pedg uganúg sámítjuk, mnt a prmatkus rúd hajlításánál: M ' = = (', ' ) = EI (') ' '' 5.65 '' csupán arra kell ügelnünk, hog a kerestmetset váltoása matt a hajlítás tengelére vonatkoó másodrendű nomaték a kerestmetset helének függvéne. A normálfesültség tehát nemcsak '-nek, hanem '-nek s függvéne. Uganeen ok matt a semleges tengel görbület sugara sem állandó: 1 () = M ' ρ EI () '', 5.66 a rúd alakja nem körív, hanem bonolultabb görbe les. A semleges tengel alakjának meghatároásával később foglalkounk. A enhén váltoó kerestmetsetű rúdban felhalmoott rugalmas energát (5.63) ntegrálásával nerjük, most aonban a kerestmetset másodrendű nomatékát nem emelhetjük k a ntegráljel elé, hsen a a koordnáta függvéne. Erősen és hrtelen váltoó kerestmetsetű rudak hajlításánál (5.45. ábra) éppúg fesültségcsúcsok lépnek fel, mnt húó- vag nomógénbevételnél. E fesültségcsúcsokat, lletve a hosstengelre merőleges ránú normálfesültségeket és a esetleg fellépő nírófesültségeket megnt alakténeők felhasnálásával sámíthatjuk, meleket műsak tábláatokból határohatunk meg Egenletes slárdságú hajlított rudak A génbevételek köt smert kapcsolat, a dm() = T() 5.67 d ábra össefüggés révén können beláthatjuk, hog tsta

2 179 hajlításkor a hajlítónomaték nagsága a rúd hossa mentén nem váltohat. Váltoó nomatéknál ugans nírógénbevételnek s ébredne kellene, lenkor aonban már össetett (hajlítás és nírás) a kerestmetset génbevétele. Most mégs feltessük, hog a hajlítónomaték a rúd hossa mentén váltok, de a nírógénbevétel hatását elhanagoljuk. A hajlításból sármaó normálfesültséget és annak mamumát a tsta hajlításnál leveetett össefüggések analógájára sámíthatjuk: = M () ', = M () ' ' '' ''ma 5.68/a/b I ' K ' ' Prmatkus rúdnál a kerestmetset alakja és jellemő állandók, íg a váltoó nagságú hajlítónomaték hatására a normálfesültség eloslására jellemő ferde egenes meredeksége, s eel egütt aok sélső értéke s a kerestmetset helének függvéne. A egenletes slárdságú húott és nomott rúd fogalmáho hasonlóan a hajlított rudaknál s meghatárohatunk eg, a hajlítónomaték váltoásáho gaodó kerestmetsetet, amel mellett a normálfesültségek sélső értéke mnden kerestmetsetben uganakkora. A len hajlított rudat egenletes slárdságúnak neveük, jóllehet csak a sélső sálak fesültsége egenek meg, míg a sélső sálaknál ksebb távolságra lévő kerestmetset pontokban a sélső értékeknél alacsonabb fesültségsntet kapunk (een kívül a húott és nomott öv sélső fesültségenek sem kell absolút értékre megegenük). Anagfelhasnálás sempontjából a leggadaságosabb rúdalakot mégs a een a módon defnált egenletes slárdságú tartóval nerjük. A egenletes slárdságú tartó alakját a hajlítónomaték függvén mellett a kerestmetset alakja befolásolja döntően. Ha a hajlítógénbevétel függvéne lneárs (len a egk végén befogott, sabad végén a rúdtengelre merőleges hatásvonalú, koncentrál erővel terhelt tartó nomaték függvéne) és a kerestmetset alakja téglalap, kétféleképpen s elkésíthetjük a egenletes slárdságú tartóalakot. A K ' = 1 6 sv (s - a téglalap hajlítás tengelével párhuamos oldalának hossúsága, v - a erre merőleges hossúság) kfejeésnek megfelelően v állandó értéken tartásával s lneársan váltok, s állandó értéken tartása mellett pedg v-re eg másodfokú függvént kapunk. Eeket a függvéneket (5.68/b) felhasnálával können meghatárohatjuk. A leveetést a olvasóra bíuk. E helett nkább újra megvsgáljuk a terméset "mechanka tudását". Tegük fel, hog a rúd kör kerestmetsetű, s a ábrának megfelelően, alsó vége befogott, felső sabad végén M 0 koncentrált nomaték és F koncentrált erő hat. Legen 0 a a fesültség, amelet sélső sálakban megengedünk és határouk meg, hogan váltoon a oslop d() átmérője, hog a egenletes slárdság elvét kelégítsük. A hajlítónomaték függvén:

3 180 M() = M 0 + F, a kör kerestmetset hajlítás tengelére vonatkoó kerestmetset téneője: K () = d 3 () π. 3 (5.68/b) felhasnálásával: 0 0 = ma = M () M + F = 3 K () d () π 3 nnen d() = 3 3(M 0 + F) π sabad végre vonatkoó 3M 0 0 = 3 d π 0 0 vag a össefüggésből meghatároható a d 0 kedet átmérővel kfejeve: d() = d 3 0 M 0 + F M ábra A egenlő slárdságú hajlított oslop kör kerestmetsetének átmérője tehát eg harmadfokú függvén sernt váltok. Jó köelítéssel len alakot vesnek fel a sél hajlító hatásának ktett fatörsek, különösen akkor, ha a fa anagának sűrűsége vsonlag kcs s eért a normálgénbevétel hatására kalakuló eponencáls határvonal nem sembeötlő (pl. a fenőféléknél). A valóságban e a két alak ötvöődk, a fatörs alakjára jellemő merdánvonal felső résén a hajlítás követketében kalakuló harmadfokú görbe, alsó résén pedg a nomás hatására fellépő eponencáls görbe domnál Össetett kerestmetsetű rudak hajlítása Össetett kerestmetsetű rudak esetén a rétegek síkja és a hajlítónomaték vektora által beárt sög, a kerestmetset alakja sámtalan varácós lehetőséget btosít. Eek köül két, a gakorlatban fontos esetet tanulmánoák.

4 A rétegek síkja merőlegesen a hajlítónomaték vektorára Terheljük tsta egenes hajlítással a ábrán látható, téglalap kerestmetsetű, prmatkus rudat, melben a rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték síkjával. A rétegek magassága h, megegek a rúd magasságával, a -edk réteg vastagsága pedg v, rugalmasság modulusa E. Mvel a rétegek egmásho elmodulásmentesen vannak össeerősítve, a deformácóra jellemő görbület sugarak egenlők és meg kell egenük a homogénnak feltételeett rúd eredő görbület sugarával. (5.57) felhasnálásával: 1 M = ρ E I ' = 1 M = ρ E I, eredő eredő ábra, ahol I, - a -edk réteg másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, I = n I, - a teljes kerestmetset másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, =1 M, - a teljes M nomatéknak a -edk réteg által felvett rése. A génbevétel defnícója értelmében tetsőleges kerestmetsetben: M = M. n =1, Helettesítsük be de a előő össefüggés első egenlőségéből kfejeett M, -t, majd a görbület sugarak egenlőségét felhasnálva meghatárohatjuk a eredő rugalmasság modulust: E = 1 n E I = 1 n E v h 3 I vh 1 = 1 n eredő, E v. 3 v =1 = 1 A eges rétegekben a normálfesültség eloslására jellemő ferde heletű egenes meredeksége a réteg rugalmasság modulusával aránosan váltok: = E = E M = E = E M, ε, ρ E I E I eredő eredő =1

5 A rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték vektorával Váltotassuk meg a rétegődés ránát a 5.48/a. ábrának megfelelően. A eges rétegek kerestmetsetalakjára most csak ann megkötést tesünk, hog két smmetratengelük legen. A teljes kerestmetset sempontjából elég, ha a hajlítónomaték síkja smmetrasík. A rétegek génbevétele nem marad tsta hajlítás, mert a elmodulásmentes össeerősítés követketében a eges rétegekben hajlítógénbevétel mellett normálerő s fellép (a rétegek görbület sugara különböő és kompatbls alakváltoás létrejöttéhe bonos rétegeknek meg kell núlnuk, bonosaknak pedg össe kell nomódnuk). Ha smernénk a -edk rétegben keletkeő M, hajlítónomatékot és a N, normálerőt, akkor a réteg súlpont tengelétől távolságra lévő pontban fellépő normálfesültséget a két génbevételtől sármaó normálfesültség algebra össegeként sámítanánk. A normálfesültség és a rugalmasság modulus hánadosa pedg - a Hooke-törvén értelmében - megadja a ránú fajlagos hossváltoást: = = M + N E E I E F = 1 M N,,,,, ε, +, 5.69/a E E I E F,, E E lletve 5.48/a. ábra ε 1 M, N, = + E J, A,, 5.69/b ahol F és I, - a -edk réteg kerestmetset-területe a saját súlpont tengelére vonatkoó másodrendű nomatéka, A és J, - a E /E-vel módosított terület és másodrendű nomaték, amelben E rugalmasság modulus jellegű mennség, nagságát teljesen sabadon válasthatjuk, serepe csak ann, hog a össefüggéseket egserűsít.

6 183 A belső erők meghatároásáho egensúl és alakváltoás feltételeket kell megfogalman. A ránú vetület egensúl egenlet at feje k, hog a teljes kerestmetset össes normál-génbevétele - ránú külső erők hánában - nulla: F = 0 = n = 1 N,, 5.70 a belső erők és a terhelő nomaték köt kapcsolatot pedg nomaték egensúl egenlettel fejehetjük k. A 1. réteg súlpontján átmenő, -sel párhuamos tengelre: n n, =1 = 1 S1 M = 0 = M - M + a N ahol a = v - v + v j j=1 1, a -edk réteg súlpontjának a 1. réteg súlpontjától mért távolsága., 5.71 A első alakváltoás feltétel at feje k, hog két réteg köös síkjában a sélső sálak fajlagos hossváltoása megegek, am a elmodulásmentes kapcsolat követkeméne: ε, (felső s á l)= ε,+1(alsó sá l ), = 1,,..., n a másodk alakváltoás feltétel pedg annak matematka megfogalmaása, hog a rúd valamel kerestmetsete a alakváltoás után s sík marad, tehát két egmás mellett lévő, hossúságú réteg vsonlagos sögelfordulása megegek: ε, (alsó sá l ) - ε, (felső sá l) ϕ = = v = ε,+1 (alsó sá l ) - ε (felső sá l) v +1,+1, = 1,,...,n Helettesítsük be a két utóbb egenlőségbe a (5.69/b) össefüggést, úg, hog -he alsó sál esetén v /-t, felső sál esetén -v /-t alkalmaunk. Rendeés után a követkeő két kfejeést nerjük: M,+1 M, N, + 1 N, v v + = 0 J J A A M J,+1,+1,+1, M, = 0 J, + 1 = 1,,...,n-1 Eek a egenletek a (5.70) és (5.71) egensúl egenletekkel n egenletből álló egenletrendsert alkotnak, amelből a n sámú M, és n sámú N, smeretlen meghatároható. Eeket

7 184 a kfejeéseket vsonlag egserűen megkapjuk, ha a fent két egenletből smételt rekurív helettesítéssel kfejeük a smeretlen belső erőket M, és N, függvénében, majd eek (5.70)-be és (5.71)-be való helettesítése után a smeretlenek meghatárohatók: M N,, ahol e = = 1 = J M n, J a A A A M (e J 1, - a ), - a teljes kerestmetset rugalmasság modulusok aránában módosított súlpontjának a 1. réteg súlpontjától mért távolsága, J = [J + a A - e A ],, =1 amel - mnt a össefüggés alapján megállapíthatjuk - nem más, mnt a teljes kerestmetset módosított súlpont tengelre vonatkoó módosított másodrendű nomatéka. A belső erők smeretében a -edk réteg koordnátájú pontjában ébredő normálfesültség:, = M I,, + N F, a fesültségeloslás a ábrán láthatóho les hasonló., A rúd semleges tengelének görbület sugarát a teljes kerestmetset alsó és felső sálának fajlagos hossváltoása alapján sámítjuk: 1 ε (alsó sá l ) - (felső sá l) = ε, n ρ =1 melre (5.60/b)-vel a alább kfejeést kapjuk: 1 M =. ρ E J v A eredő rugalmasság modulust úg kapjuk, hog a fent össefüggést egenlővé tessük a homogénnek tekntett rúd M hatására kalakuló görbületével: 1 M = M =, ρ EJ E I ahonnan 1 E eredő = 1 E I J eredő = n =1 n =1 [I + (a - e ) F ], 1 E [I + a F - e F ], 1.

8 Eltérő húó- és nomórugalmasság modulussal rendelkeő anagú rudak tsta hajlítása A tsta hajlítás elmélet tárgalásánál láttuk, hog a rúd semleges síkja alatt és felett eltérő előjelű normálfesültségek ébrednek. Ha fenntartjuk at a - gakorlatlag jól teljesülő - feltételt, hog a eredetleg sík kerestmetset a alakváltoás után s sík marad és a rúd anagának rugalmasság modulusa húásra és nomásra különböő, akkor a normálfesültségek eloslása lneárs marad ugan, de a egenes meredeksége a húott és nomott övben különbön fog. A váltoó meredekség uganakkor a semleges sík eltolódását vonja maga után, mert a normálfesültségekből sármaó belső erők ránú eredőjének nullával kell egenlőnek lenne. 5.48/b. ábra A semleges tengel helének, aa a húott és nomott kerestmetsetrés meghatároását a fejeet eredménenek felhasnálásával végehetjük el. A eljárást a faanagú rudak esetében leggakrabban előforduló, téglalap kerestmetseten mutatjuk be. A teljes kerestmetsetet a eltérő húó- és nomórugalmasság modulusoknak megfelelően két résre ostjuk a egelőre smeretlen k téneő segítségével (5.48/b. ábra). A módosított súlpontnak a két réteg határvonalára kell esne, íg a előő fejeet módosított súlpontkoordnátát megadó kfejeésének felhasnálásával: e 1 = kh = = 1-1 a A A = 0 + E ( 1 k ) hb h E E 1 ( ) E khb + 1 k hb EE ahonnan E 1 = E + és E = E - jelölés beveetésével: 1 k = + E 1 + E Faanagnál E + > E -, a fent kfejeés neveője mndg nagobb -nél, a semleges tengel (a módosított súlpont) mndg a húott oldal felé tolódk el. A elvleg két rétegből álló kerestmetset geometra és rugalmasság jellemőnek smeretében már alkalmahatjuk a előő fejeet össefüggéset a normálfesültség-eloslás és,

9 186 a eredő hajlító rugalmasság modulus meghatároására. A húott öv normálfesültségeloslása:,1 = M I,1,1 a nomott övé:, = M I,, + N 1 F + N F,1 1, = M I = M I,1, E E E E I 1,1 I J J, + M 1 F + M F 1 E E E 1 E kh F1 J = M J + E E kh, 1 + kh F M E J J E h = 1 ( k) Können ellenőrhetjük, hog a normálfesültségek a 5.48/b. ábrának megfelelően alakulnak, s hog a húott és nomott övben a fesültségeloslás egenesének meredeksége E + -sal és E - - sal arános. A fejeet utolsó össefüggésének felhasnálásával megkapjuk a eredő hajlítórugalmasság modulust. Egserű rendeés után: k + E eredő = E 3 3 k + (1 + k) vag a húó- és nomórugalmasság modulussal kfejeve: E E E E eredő = =. 1 + E E E E E + E - - E E Erőtan méreteés Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A tsta hajlításnál, mnt láttuk, normálfesültségek keletkenek, íg a méreteés során eek mamumát kell össehasonlítan a megengedett fesültséggel: m a m, 5.74 ahol ma ' = M K ', amelben ' - a hajlítás tengele, M ' - a hajlítónomaték vektorának ' tengelre eső vetülete, K ' - a kerestmetset hajlítás tengelére sámított kerestmetset téneője. Egenes hajlításnál annval egserűbb les a helet, hog a hajlítás tengele - mnden külön sámítás nélkül - a kerestmetset súlpontjába tartoó, a hajlítónomaték vektorával egbeeső másodrangú főtengel. Enhén váltoó kerestmetsetű rúdnál abban a pontban kell sámítan a normálfesültség mamumát, amelben a a lehető legnagobb. Ha a rúd anagának a megengedett fesültségen húásra és nomásra nem egforma, akkor a ellenőrést a potív és negatív fesültségmamumokra s el kell végen.

10 187 Alakváltoásra való méreteésnél a görbület sugár mnmuma nem lehet ksebb eg előírt, megengedett értéknél: ρ ρ, 5.75 mn m ρ mn -t a veséles kerestmetsetben a (5.67) kfejeéssel sámítjuk. Terveésnél a (5.74) és (5.75) relácókban egenlőséget tételeünk fel "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A rúd kelégít a erőtan követelméneket, ha M M, 5.76 M H ahol M M -et a mértékadó teher alapján sámítjuk, a határnomaték pedg: M H = H K ', amelet a veséles kerestmetsetben határounk meg. Ha húásra és nomásra nem egforma a határfesültség, akkor a absolút értékre ksebbet kell felhasnáln. Alakváltoásra történő méreteésnél uganúg járunk el, mnt a előő módsernél, ρ mn sámításánál aonban a mértékadó nomaték '-re eső vetületét kell fgelembe venn. Terveésnél tt s a egenlőségekből ndulunk k Csavaró génbevétel Láttuk, hog tsta hajlításnál a rúd fesültség és alakváltoás állapotmeeje már nem homogén - mnt húásnál, nomásnál és nírásnál - a nhomogentás csavaró génbevételnél még sembetűnőbb. A csavarásnál keletkeő fesültségek eloslása, sőt magának a sámításnak a módja s nagmértékben függ a kerestmetset alakjától Kör (és körgűrű) kerestmetsetű rudak tsta csavarása Terheljük a kör kerestmetsetű, prmatkus rúd véglapjat olan - egelőre nem résleteett - megosló erőrendserrel, hog tetsőleges kerestmetsetben a génbevétel: N K = N() = 0, T K = T() = 0, M K = M() = M = áll. legen. A rúd kerestmetsetenek génbevétele, tehát M nagságú, tsta csavarónomaték (5.49. ábra).

11 ábra A rúd alakváltoásáról a követkeőket állapíthatjuk meg. A körhenger alkotó a alakváltoás után csavaralakot vesnek fel. A kerestmetsetek a tengel körül elfordulnak, de továbbra s síkok és eredet alakjukkal egbevágóak maradnak. A rúd felületén kjelölt elem deréksögű négsög élhossa nem, csak élsöge váltonak meg. A hossúságú rúdelem (5.50. ábra) vsgálatánál megállapíthatjuk, hog amennben a két sélső kerestmetset vsonlagos sögelfordulása ϕ, akkor a henger tengellel párhuamos sálanak γ sögváltoása a sál tengeltől mért távolságának, ábra r-nek a függvéne. A ábra alapján felírhatjuk: r ϕ = γ (r), ahonnan γ (r) = r ϕ, mvel ϕ és hánadosa eg kerestmetsetben állandó, a γ sögváltoás r-nek lneárs függvéne. A rúd és a terhelés centrkus smmetrája matt a kerestmetset síkjában lévő és tengelrendsert tetsőlegesen el-forgathatjuk, eért eg tetső-legesen felvett pont körneetének elem hasábja a 5.51/a. ábrán látható módon deformálódk. A ε = ε deformácókomponenseknek uganlen ndeű nírófesültség-komponensek felelnek meg a Hooke-

12 189 törvén értelmében (5.51/b. ábra). Veessük be a = = τ jelölést. Ha a anag nírórugalmasság modulusa G, akkor ϕ τ = τ ( r) =G γ(r)=gr A nírófesültség a kerestmetset valamel pontjában arános a pontnak a tengeltől mért távol ábra ságával, hatásvonala pedg merőleges a köépponttól a ponho húott sugárra (5.49/e. ábra). A fesültség és a külső terhelés kapcsolatát a tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenlet alapján határohatjuk meg: 5.5. ábra ϕ ϕ M = 0 = M - r τ(r)da = M - G r da = M - G I S, A ahonnan ϕ -t kfejeve és (5.77)-be helettesítve kapjuk: τ (r) = M I S r. A A fesültségeloslást a kör kerestmetset eg sugara mentén a 5.5. ábrán láthatjuk. Ne feledkeünk meg arról, hog a dualtás követkeméneként nemcsak a normálsú, hanem a normálsú felületen s fellépnek nírófesültségek. Erre különösen ott kell tekntettel lennünk, ahol a hosstengellel párhuamos síkokban a anag níróslárdsága ksebb, mnt a kerestmetset síkokban (pl. olan fából késült rúd- 5.78

13 190 nál, amelnek hosstengele párhuamos a rostránnal). Ilen esetekben a tönkremenetel a hosstengellel párhuamos síkok egmáson való elcsúsása követketében meg végbe. Eg rúd tetsőleges, r koordnátájú pontjában a fesültség és alakváltoás állapot tenorának mátra: [ T ] M = 0 0 = IS M 0 = r 0 IS r [ Tε ] = 0 0 G 0 0 G A két állapot Mohr-köre a ábrán láthatók ábra A köépponttól különböő r távolságra lévő pontok fesültség állapota hasonló, csak a fesültségek nagsága különböő. A Mohr-körök jellege s ugana, csupán átmérők váltonak r függvénében. A ábra segítségével megállapíthatjuk, hog a egk főfesültség, lletve főalakváltoás rán a tengel, a másk két főránt pedg a, tengelek tengel körül 45 -os elforgatásával nerjük. A főfesültségek és főalakváltoások értéke: 1 = - 3 = =, ε1 = - ε 3 = ε = ε. A nírófesültség mamuma a kerestmetset sélső pontjaban, a kerületen ébred: τ ma = M I S R = M I S R = M K S ahol K S - a kerestmetset polárs kerestmetset téneője., 5.79/a A L hossúságú rúd alakváltoását, amel a fentek értelmében a két végkerestmetset egmásho vsonított elfordulása, eg sögelfordulással jellemeük. Et a egensúl egenletből fejehetjük k:

14 191 = M ϕ, GI amelből a ϕ = M G I S S d + ϕ *, ϕ * ntegrálás állandót a kerület feltételekből határohatjuk meg. Ha a L hossúságú rúd egk vége befogott, aa egk végének elfordulását meggátoljuk ( ábra), a kerület feltétel: ϕ ( = 0) = 0. E feltétel mellett a sögelfordulás: ábra ϕ () = M GI S, a mamáls sögelfordulás: = ( = L) = M L ϕ ma ϕ 5.79/b GI amel a végkerestmetsetek relatív elfordulása. A GI S soratot a rúd csavarómerevségének neveük. A d hossúságú rúdelemben felhalmoott rugalmas energa: du = 1 ( ε + ε )dv = 1 [ ε da]d = b A 1 M = 1 [ da]d = 1 [ M G GI A A S r da]d = 1 M GI A L hossúságú rúdban felhalmoott rugalmas energa és a külső erők saját munkája: U = U = d U = 1 L M d = 1 ~ M L b b b G I G I 0 S S d S S Können beláthatjuk, hog a körgűrű kerestmetset esetén a fent elmondottak érvénesek maradnak. Ilenkor I S termésetesen a körgűrű polárs másodrendű nomatékát jelent. A fesültségeloslás lneárs, de - a ábrának megfelelően - fesültség csak a kerestmetset anag pontjaban ébred. A a feltételeés, hog csavaráskor a kerestmetsetek a alakváltoás során síkok maradnak, csak kör és körgűrű kerestmetsetű rudak esetén teljesül. Mnden egéb ábra - tömör vag üreges - kerestmetsetű rúdnál

15 19 a sík kerestmetset görbült felületté alakul, a kerestmetset pontja egmásho képest ránban elmodulnak. Et a alakváltoás jelenséget öblösödésnek neveük. Ilenkor a kerestmetset alakja s váltoást senved. Ha a kerestmetset öblösödését semm sem gátolja, sabad csavarásról besélünk, ha a öblösödést akadálouk, gátolt csavarásról. E utóbb esetben a rúdban ránú normálfesültségek s ébrednek, amelek nagsága, különösen vékon falú csöveknél, jelentős lehet és eek a normálfesültségek eloslására s hatással vannak. A követkeőkben a sabad csavarás néhán egserűbb esetét tárgaljuk Vékon falú, árt selvénű prmatkus rudak tsta csavarása Legen a tsta csavarásnak ktett prmatkus rúd kerestmetsete eg olan kétseresen össefüggő tartomán (5.56. ábra), amelnél a külső és belső határoló vonal távolsága, aa a cső falvastagsága váltohat, de a rúd egéb méretehe képest kcs. A falvastagságot feleő vonal a köépvonal. Ha a kerestmetset öblösödése nem gátolt, akkor normálfesültségek nem ébrednek s a egetlen fesültségkomponens a nírófesültség. A normálsú kerestmetset-felület aon pontjaban, amelek a külső és belső kerületen helekednek el, a nírófesültség hatásvonala a adott kerület pontho húott érntővel csak párhuamos lehet. Ha a nírófesültségnek érntőre merőleges komponense s lenne, akkor a dualtás tétel értelmében a rúd palástfelületén s ébredne kellene nírófesültségnek, am lehetetlen, mert a rúd palástfelülete tehermentes (tehát nncs, am et a hatást kfejtse). E a egensúl követelmén néhán egserű, de fontos feltételeést tes lehetővé. Mvel a csőkerestmetset falvastagságának kcsnek kell lenne, feltehetjük, hog eg s ívkoordnátával jellemett helen a köépvonalra merőleges egenes mentén a össes nírófesültség párhuamos a köépvonalho húott érntővel és nagságuk s aonos (a falvastagságnak megfelelő ks sakason a váltoás akár rán, akár nagság sempontjából nem lehet jelentős) (5.56/a. ábra) ábra

16 193 Vágjuk k a csőnek eg hossúságú és köépvonalának tetsőleges ívhossúságú darabját (5.56/b. ábra). A dualtás követkeméneként a A pontban a normálsú síkon ébredő τ 1 nírófesültség megegek a tengellel párhuamos síkon (a ábrán - normálsú sík) fellépő nírófesültséggel. Uganet mondhatjuk a B pontho tartoó τ fesültségkomponensekről s. A tengellel párhuamos vetület egenlet a követkeő alakú: F = 0 = τ 1v 1 - τ v, ahonnan τ 1v 1 = τ v = τ(s)v(s) = á ll.. am at jelent, hog a cső falvastagságának és a nírófesültségnek a sorata, a ún. nírófolam mnden pontban uganakkora. Ennek fgelembevételével a tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenletben sereplő ntegrálkfejeés können átalakítható) 5.56/a. ábra): M = 0 = M - τ(s)v(s)k(s)ds = M - τ (s)v(s) k(s)ds, ahol k(s) - a köépvonal s ívkoordnátájú pontjának a csőkerestmetsete súlpontjától mért távolsága. A k(s)ds sorat a ábrán látható, sraffoott háromsög területének a kétserese, eért a árt görbe mentén vett ntegrál a köépvonal által beárt terület kétseresét adja. A fent össefüggésből a nírófesültség kfejehető: M τ(s) =, A v(s) k ahol A k - a csőkerestmetset köépvonala által beárt terület. Nlvánvaló, hog a nírófesültség mamum a legkeskenebb falvastagságú helen keletkek: M τ m a = A v k m n 5.8 A végkerestmetsetek relatív sögelfordulását a rugalmas energa és a külső erők saját munkájának egenlőségéből határohatjuk meg: U = 1 b τ G dv = 1 G W S k = 1 M ϕ ma, L 0 M A v (s) v(s)ds d = M L k 8GA k ds v(s), a kettő egenlőségéből: 1 ds ϕ ma = M L 4GA v(s) k A utóbb három sámoott össefüggést Bredt-féle képleteknek nevek Téglalap kerestmetsetű prmatkus rudak tsta csavarása A tömör, téglalap kerestmetsetű prmatkus rudak csavarásának rugalmasságtan feladata elem úton már nem oldható meg. A rugalmasságtan alapegenletenek felhasnálásá-

17 ábra val aonban a fesültségek és a alakváltoások meghatároásáho sükséges össefüggések végtelen sorok formájában megadhatók. Eeknek a össefüggéseknek a leveetése meglehetősen bonolult, eért csak a végeredméneket kööljük, lletve magaráuk. Ha a sabad csavarás esetére sorítkounk, a alakváltoásra a követkeő megállapításokat tehetjük (5.57/a. ábra): - a kerestmetsetek nem maradnak síkok, öblösödnek, a rúdtengel ránából néve aonban a téglalap alak váltoatlan marad, a kerestmetset a tengel körül merev testként - a öblösödéstől eltekntve - fordul el, - a rúd felsínén berajolt hálóat sögtorulása a oldallapok köepén a legnagobb (a hossabbk oldalon a mamáls), a sarkokon a deréksög nem váltok. Eek alapján a fesültségekről a követkeőket mondhatjuk: - a kerestmetsetek sabad öblösödése matt normálfesültségek nem ébrednek, - a kerestmetset pontjanak fesültség állapota tsta nírás, a köéppontban és a sarokpontokban nem ébred nírófesültség, a legnagobb nírófesültségek a kerestmetset sélen keletkenek, eek hatásvonala mndg párhuamos a adott oldallal, a kerestmetset több pontjában a nírófesültségeknek és ránú össetevője s van, een össetevők nagsága a két tengel mentén parabolkusan váltok (5.57/b. ábra). τ ma A mamálsan nírófesültség a téglalap hossabbk oldalának köepén ébred: = M α a b, ha b a, 5.85 a L hossúságú rúd véglapjanak relatív elfordulása: = M L ϕ ma, 3 βa bg ahol 5.86

18 195 β α =, π π = 1 3, 5 ch b,.. a 1 π β = a 1 th b. 5 π b = 1, 3, a Nagon kesken deréksögű négsögekre, ahol v = a << b, α = β = 1 3, eért τ = 3M ma v b = M v = M 3 v b I 3 b v é s ϕ = 3M v bg = M L L ma 3 I G b, 5.87/a,b ahol I b a kesken deréksögű négsög hossabbk élével egbeeső tengelre vonatkoó másodrendű nomatéka. Más alakú, de tömör kerestmetsetű rudak csavarásakor keletkeő fesültségek és alakváltoások s végtelen sorok formájában adhatók meg. A leggakrabban előforduló kerestmetsetek (háromsög, ellpss, stb.) megfelelő össefüggése sakkönvekben fellelhetők Vékon falú, ntott selvénű prmatkus rudak tsta csavarása A gép- és építőpar serkeetekben gakran előfordulnak olan csavarásra génbe vett rudak, amelek kerestmetsete ntott és - jó köelítéssel - vékon deréksögű téglalap össegére bontható (5.58. ábra) ábra Sabad csavarásnál a kerestmetset öblösödk ugan, de a tengel körül merev testként fordul el. A teljes kerestmetset sögelfordulása tehát megegek résenek, aa a köelítőleg vag pontosan kesken téglalapoknak a elfordulásával. Jó köelítéssel feltehetjük, hog a réskerestmetsetek egmástól függetlenül dolgonak és csavarómerevségük aránában vesk fel a teljes csavarónomatékot: M = M, n =1 ahol n - a kerestmetset felbontott téglalapjanak sáma, M - a -edk kerestmetsetrésre ható csavarónomaték.

19 196 A -edk rés elfordulása (5.87/b)-vel sámítható: = M L = M L ϕ, 3 v b GI b G 3 ahol v és b a -edk téglalap sélessége és hossúsága, a teljes kerestmetset elfordulása: M L ϕ = = M L. n 3 v b GI b G 3 =1 A kettő egenlőségéből meghatároható a réskerestmetsetekre eső csavarónomaték: M = M I b. I b A nírófesültségek mamuma a eges téglalapok hossabbk oldalán van. (5.87/a) felhasnálásával: τ ma = M I b v = M I b v /a Mvel M és I b mnden téglalapra ugana, a absolút mamáls nírófesültség a legvastagabb réskerestmetset hossabbk oldalának köepén ébred: τ m a = M I b v m a. 5.89/b Erőtan méreteés Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A kmutatandó alaprelácó: τ m a τ m, 5.90 ahol τ ma -ot a csavart kerestmetset jellegének megfelelően a (5.79/a), (5.83), (5.85), (5.89/b) össefüggésekkel sámítjuk. τ m értéke a tsta nírás megengedett fesültségevel egenek meg. Hasonlóan mutatjuk k a alakváltoás feltétel kelégülését: ϕ ma ϕ m A mamáls relatív kerestmetsetelfordulást a (5.79/b), (5.84), (5.86), (5.88) kfejeésekkel sámítjuk a kerestmetset alakjának megfelelően. A megengedett sögelfordulást a serkeet hasnálhatósága sabja meg, lletve tábláatokból vehetjük k.

20 "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A vsgálat során k kell mutatn, hog M M M H 5.9 ahol M M a mértékadó génbevétel hatására keletkeő csavarónomaték, M H -t a kerestmetset alakjának megfelelő össefüggéssel sámítjuk τ ma = τ H helettesítéssel. A alakváltoás ellenőrésénél a ϕ M ϕ H Hajlítás és nírás (köönséges hajlítás) A össetett génbevételek köül a leggakrabban előforduló a ún. köönséges hajlítás, mkor a hajlítógénbevétellel eg dőben nírógénbevétel s fellép. Terhelje a egenes, prmatkus rudat olan külső erőrendser, hog tetsőleges kerestmetset génbevételere fennálljon: N K = N() = 0, T K = T() = T (), M K = M() = M (). A terhelés síkja tehát mnden kerestmetsetben a, sík, a génbevételek aonban helről-helre váltonak. A egensúl kelégítése követketében - mnt at a statkában megsmertük - a hajlítónomaték és a nírógénbevétel köött fenn kell állna a dm () = T () 5.94 d kapcsolatnak. A két génbevétel vsgálata nem történhet egmástól függetlenül, hsen a két génbevétel egmásnak függvéne. A (5.94) össefüggés ndokolja ennek a össetett génbevételfajtának a gakorságát, mert tulajdonképpen at mondja k, hog váltoó nagságú hajlítógénbevétel mellett mndg kell ébredne níróerőnek s, a rúdtengelre merőleges terhelések esetén - és e a leggakorbb terheléstípus - pedg a hajlítógénbevétel a hosstengel mentén váltok. Köönséges hajlításkor a fesültség és alakváltoás vsonok lénegesen függenek a rúd geometra jellemőtől, különösen kerestmetsetének alakjától és a terhelés, lletve a génbevételek hatósíkjának a kerestmetset főtengelehe vsonított heletétől. A továbbakban a köönséges hajlítás olan specáls esetevel foglalkounk csak, amkor a prmatkus rúd kerestmetsetének legalább eg smmetratengele van és a hajlítógénbevétel vektora erre a tengelre merőleges vag vele párhuamos (tehát egenes hajlításról van só).

21 A hajlítónomaték vektora merőleges a kerestmetset smmetrasíkjára A köönséges hajlítás fesültség és alakváltoás vsonanak elem úton történő vsgálatánál feltételeük, hog a hajlítógénbevétel hatására keletkeő normálfesültségek eloslása megegek a tsta hajlításnál meghatároottéval. Most egenes hajlítással állunk semben, íg a normálfesültségeket a (5.60)-as kfejeéssel sámíthatjuk. A különbség csupán ann les, hog a () = M () 5.95 I kfejeésnek megfelelően a eloslásra jellemő egenes (5.59/b. ábra) meredeksége a hel függvénében váltok, a hajlítónomaték nagságával aránosan. A köönséges hajlításból sármaó normálfesültségek sélső értéke abban a kerestmetsetben ébred, amelben a legnagobb a hajlítónomaték: +,ma,ma = M I e = M K,ma, 5.96/a,ma = M I,ma,ma e' = M K'. 5.96/b A nírásból sármaó fesültségek meghatároásánál tegük fel, hog a kerestmetset tetsőleges,, koordnátájú pontjában a nírófesültség két, és össetevőre bontható ábra

22 199 Határouk meg elősör a tengellel párhuamos komponenst. Vsgáljuk meg ehhe a rúd eg hossúságú elemének eg tetsőleges koordnátától lefelé eső rését (5.59/f. ábra). E rúdelem bal oldal kerestmetsetének pontjaban () jobb oldal kerestmetsetének pontjaban (+ ) normálfesültségek hatnak a hajlítás követketében. Mndkét kerestmetset pontjaban nírófesültségek s hatnak, a legfelső, koordnátájú pontokban a nírófesültség-komponensek és. A dualtás tétel követkeméneként a rúdelem normálsú felületén s ébredne kell = nírófesültségnek. Mvel a elem hossúság, feltehetjük, hog a normálsú felületen a nírófesültség megoslása egenletes. A rúdelemre ható erők ránú vetület egensúl egenlete a követkeő alakot ölt: F = 0 - ()da + ( + )da + v(), A' A' ahol A' = A'() - a kerestmetset koordnátától kfelé eső résének területe, v() - pedg a kerestmetset sélessége a koordnátájú helen. Rendeük a egenletet és hasnáljuk fel a (5.95) és (5.94) össefüggéseket: = -1 v() = = -1 v() dm A' ( + ) - () da = -1 d () da = v() d ( ) ' 1 T ( ) = - T ( ) ' da = - T ( ) S' ( ) da I v() da = - I A' v() ' d I I v() A' A', 5.97 ahol a S' () jelölésben a vesső arra utal, hog nem a teljes kerestmetset, hanem csak a koordnátától kfelé eső kerestmetset-terület tengelre vonatkoó statka nomatékáról van só. A fent össefüggést Zsuravskj-képletnek neveük első leveetőjéről. E megadja a koordnátájú kerestmetset koordnátájú pontjaban a köönséges hajlítás nírógénbevételéből sármaó nírófesültségnek ránú komponensét. E a nírófesültség-komponens, mnt a képlet mutatja, a koordnátának nem függvéne, nagsága tehát a tengellel párhuamos egenesek mentén aonos. A fesültség eloslásának jellege S ()-tól ésd v()-tól, aa a kerestmetset geometra alakjától függ. A statka nomatékokra vonatkoó össegés tétellel können beláthatjuk, hog koordnátájú sál alatt és felett lévő kerestmetset-terület tengelre vonatkoó elsőrendű nomatéka absolút értékre megegek: S,egés = S',alsó + S',felső = 0, mert a súlponton átmenő tengelre a statka nomaték nulla. A egenlőség sernt S',alsó = - S',felső. A fentek matt, valamnt annak érdekében, hog a (5.97) a nírófesültség-komponenst előjelhelesen adja meg, a össefüggésben a résterület statka nomatékának absolút értékét kell behelettesíten.

23 00 A (5.97) össefüggés tüetesebb analísével a nírófesültség tengel ment eloslásáról s képet nerhetünk. A sélső sálakban S (=e vag e' ) = 0, eért tt nírófesültség nem ébred. E össhangban van aal, hog a rúd tehermentes felületén egébként sem ébredhet fesültségkomponens. A nírófesültség absolút mamuma, vag legalább hel mamuma a =0 helen les, mert a össes lehetséges S' köül a hajlítás tengelétől egk oldalra eső kerestmetsetrés statka nomatéka a legnagobb. Ha a kerestmetset sélessége ugrásserűen váltok, akkor a eloslásfüggvénben s ugrás van. Maga a eloslásfüggvén ábra másod- (pl. téglalap kerestmetset esetén) vag magasabb fokú parabola (5.59/c. ábra). A ábrán néhán kerestmetset jellegetes fesültségeloslását mutatjuk be. A köönséges hajlításnak ktett rúd akkor a leggadaságosabb anagfelhasnálású, ha a másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére uganakkora kerestmetset-terület esetén a lehető legnagobb. E akkor teljesül, ha mnél több terület esk a hajlítás tengelétől távol. Ilen kerestmetsetalak pl. a 5.60/b. ábrán látható, vag a I és U selvénű domacél. Eekben a esetekben a nírófesültségek mamuma mndg a hajlítás tengelében van a legnagobb níróerőnek ktett kerestmetsetben: T S' (=0),ma,ma = I v(= 0) A nírófesültség ránú komponensének meghatároásánál abból ndulhatunk k, hog a kerest-metsetnek eg koordnátájú sélső pontjában a eredő nírófesültség hatásvonalának a adott pontban a ke-restmetset kontúrvonaláho húható érntővel párhuamosnak kell lenne (5.59/a. ábra). Ha nem íg lenne, akkor a dualtás tétel értelmében a rúd külső normálsú felületelemén s ébredne kellene nírófesültségnek, am teher-mentes felület pontban lehetetlen. A kerület pontokban tehát a ábra eredő nírófesültség hatásvonalát a kerestmet-

24 01 set alakja meghatároa (5.59/a. és ábra). Eg koordnátájú sélső pontban a eredő nírófesültség hatásvonalának és a tengelnek a metséspontját jelöljük K-val, s e pont távolságát a koordnátától t = t()-nal. Nem követünk el nag hbát, ha feltételeük, hog a koordnátájú, a tengellel párhuamos egenes pontjaban olan nírófesültségkomponensek ébrednek, hog a eredő nírófesültség hatásvonala mndg átmeg a koordnátának megfelelő t()-nal kjelölt K ponton (5.61. ábra). E feltételeés és a kerület pontokho húandó érntők tengellel beárt sögének, ϕ -nek smerete elegendő a nírófesültség-komponensek sámításáho. A K pont helét a ábra alapján a t() = v() tgϕ össefüggéssel határohatjuk meg. A ránú nírófesültségkomponenst aránpár felállításával kapjuk: (, ) = () t() A össefüggésből követkek, hog tengel ment megoslása lneárs (5.59/e. ábra). Feltételünk sernt a tengel smmetratengel, íg a fesültségkomponensekből sármaó erők a kerestmetseten belül egensúl erőrendsert alkotnak. Ha a kerület pontho húott érntő párhuamos a tengellel, a K pont a végtelenbe esk, íg een a tengellel párhuamos sálon fesültségkomponensek nem ébrednek. Pl. téglalap kerestmetset esetén csak komponensek keletkenek. Általános esetben a eredő nírófesültség: τ = + = t () A nírófesültségek eloslásának smeretében beláthatjuk, hog köönséges hajlításkor a alakváltoás során a kerestmetset nem maradhat sík. A nírókomponensek hatására ugans, aok nagságával arános, sögváltoás lép fel. Mvel a nírófesültségek másod- vag annál magasabb fokú függvén sernt oslanak meg, a hossúságú tartódarabon belül felvett elem hasábok γ sögváltoása a selvén magasságának függvénében váltok, s a 5.6. ábrának megfelelően a eredetleg sík kerestmetset S alakot ves fel. Termésetesen a nírókomponensek hatására s fellép sögváltoás, íg a kerestmetset kétser görbült alakot ölt. A nírófesültségek által okoott kerestmetset-torulás aonban a legtöbb esetben olan ks mértékű, hog a sík kerestmetset megmaradásának feltételeésével leveetett, hajlításból sármaó normálfesültségek össefüggése a gakorlatban kelégítő pontosságúnak mondható.

25 ábra ábra

26 03 A nírófesültségek serepét és jelentőségét a követkeő példán láthatjuk be. A 5.63./a. ábrának megfelelően heleünk két téglalap kerestmetsetű rudat egmás fölé mnden össeerősítés nélkül. Köönséges hajlításkor, ha még a érntkeés felületen fellépő súrlódást s elhanagoljuk, a két rúd egmástól függetlenül működk és a terhelésből sármaó hajlítónomatékot és níróerőt egenlő aránban vesk fel. A két rúd a érntkeés felületen egmáson megcsúsk, alakváltoásuk és fesültségeloslásuk teljesen aonos. Ha valamlen módon (betét, ragastás) skerül elérn, hog a két gerenda egmáson ne csúshasson meg, hog egütt dolgoon, akkor a két kerestmetset egetlen kerestmetsetként működk, s ennek megfelelően alakul a normál- és nírófesültségek eloslása. Können ksámíthatjuk, hog a utóbb esetben (5.63/b. ábra) a rúd kétser akkora nomatékkal terhelhető, mnt a uganolan kerestmetsetű, de egmástól függetlenül működő serkeet. A nírófesültségek eloslásának ábráján láthatjuk, hog a rudak elcsúsását éppen a rúdtengellel párhuamos, normálsú felületen ébredő nírófesültségeknek kell megakadálon. Et a fesültségkomponenst a fesültségkomponens dualtáspárja solgáltatja. Ragastásnál pl. olan ragastóanagot kell alkalman, amelnek níróslárdsága nagobb a génbevételből sármaó, a ragastás síkjában ébredő nírófesültségnél. Betétes kapcsolat kalakításnál olan betéteket kell alkalman, hog aok eg adott h hossúságho tartoó, ránú csústatóerőt képesek legenek felvenn. A ábrának megfelelően a hossúságho tartoó elem csústatóerő: T ()S () T ()S () dh = v()d = v()d = d, I v() I A eg betétre eső h hossúságú sakason fellépő csústatóerőt a kfejeés ntegrálásával kapjuk: h H = dh = S () h T ()d = S () A T, I I 0 0 ahol A T - a níróerő ábra h hossúságú sakasra eső területe. S ()-ban at a koordnátát jelent, amelbe a betétek köépvonala esk (a ábrán látható esetben a = 0, súlpont sál). A köönséges hajlításnak ktett rúd eg általános heletű pontjának fesültség és alakváltoás állapotát a alább két mátrrepreentácó mutatja: T 0 0 = 0 0 µε 0 ε, Tε = 0 µε ε. ε ε ε Ha a kerestmetset alakja téglalap vag néget, tehát a oldalak párhuamosak a tengellel, akkor = = 0 és ε = ε = 0. Vannak a kerestmetsetnek olan specáls pontja, amelekben a fesültség és alakváltoás állapotok egserűsödnek. A sélső sálakban

27 04 nírófesültség nem ébred, ott a fesültség állapot lneárs. A semleges sík pontjaban a fesültség állapot síkbel marad ugan, de mnden normálfesültség-komponens nulla. A ábrán megrajoltuk a deréksögű háromsög kerestmetset jellegetes pontjaban a fesültség Mohrköröket. Köönséges hajlításnál a d hossúságú rúdelemben felhalmoott energa a külső erők saját munkájával kfejeve: du b 1 = ahol χ = 1 = M EI A I ábra 1 ( ε + ε + ε )dv = ( ε + ε T S 1 M T da + da d = + χ d GI v EI GA A A S v ( ) da ( ) A )dad = χ at feje k, hog a nírófesültségek eloslása nem egenletes. Beveetésével a nírógénbevételből sármaó rugalmas energa sámítását a tsta nírásého hasonlóan végeük (lásd a (5.44/a) össefüggést). χ értéke egedül a kerestmetset geometra jellemőnek függvéne. Deréksögű négsög esetén 1,; körnél 1,19; I selvénre jó köelítéssel, A hajlítógénbevétel nomatéká-nak vektora párhuamos a kerestmetset smmetratengelével A tapastalat at mutatja, hog ha a nírógénbevétel hatásvonala nem párhuamos a kerestmetset smmetratengelével, akkor - különösen vékon falú, ntott selvénű rudak-

28 05 nál - a kerestmetset a tengel körül el s fordul a ábrán látható módon. Ebből arra kell követketetnünk, hog a hajlító- és nírógénbevétel mellett járulékos génbevételként csavarónomatéknak s fel kell lépne. Et a jelenséget nem vsgáljuk teljes általánosságban, hanem klasskus példán, eg vékon falú, U alakú selvénen mutatjuk be. Más selvének esetén uganet a vsgálat módsert kell alkalman. A fejeet címének megfelelően egenes hajlítással van dolgunk, íg a hajlítónomatékból sármaó normálfesültséget (5.60)-nal kell sámítanunk. A vékon falvastagságú rudak csavarásánál már megtanultuk, hog a nírófesültségek nagsága a selvénvastagság mentén jó köelítéssel állandó, hatásvonaluk pedg mndg párhuamos a kérdéses pontban a kerestmetset kontúrjáho húott érntővel. A U selvén h magasságú sárában tehát a nírófesültségek hatásvonala a, a b hossúságú sárakban pedg a ten ábra gellel párhuamos ábra A = fesültségkomponenst a 5.67/b. ábrán látható elem rúddarabra ható fesültségekből sármaó erők ránú vetület egensúl feltételéből határohatjuk meg. A s

29 06 ívkoordnátával jellemett helen (s egben a elem sélessége) a elem normálsú felületén fesültség ébred, amel a dualtás tétel értelmében egenlő a hossúságú, normálsú felületen keletkeő nírófesültséggel. Mvel a elem hossúság, feltehetjük, hog a v(s) nagságú felület mnden eges pontjában uganekkora nírófesültség ébred. A egensúl egenlet: F = 0 = ( + )da - ()da - v(s), A' A' Rendeve és (5.60) behelettesítésével: = 1 v(s) = = 1 v(s) A' A ' dm () d I ( + ) - () 1 d () da = da = v(s) da = T () I v(s) A' A' T ()S' (s) da = I v(s) A össefüggés formalag a Zsuravskj-képlet, de ne tévessük sem elől, hog benne a S' (s) és v(s) értelmeése más, mnt a (5.97)-es kfejeésben. S' (s) a s ívhossúságú kerestmetsetrés statka nomatéka a hajlítás tengelére, esetünkben h S' ( s) = v ( s ), v(s) - pedg a selvén tengellel párhuamos kerestmetsetének vastagsága. Példánkban a statka nomaték s-nek elsőfokú függvéne, v állandó, íg a fesültségkomponens megoslása lneárs. A ábrán váoltuk a tengellel párhuamos kerestmetsetrések nírófesültségének eloslását (a felső sáron a statka nomaték előjelet vált, íg a nírófesültség rána s ellentettje les a alsónak). A nírófesültség sélső értéke a A és B jelű sarokpontokban les: = T () h T ()hb,ma vb = I v I A függőleges sáron ébredő nírófesültségek a előő fejeetben megsmert módon, a Zsuravskj-képlettel sámíthatók. Eg koordnátájú helen: S' () = h vb + v ( h - )( h + ), et (5.97)-be helettesítve: = T ()hb I + T () I ( h - ) A össefüggés a = ± h pontokban, a sarokpontokban éppen (5.105)-öt adja. E pontokban tehát a két nírókomponens nagsága megegek. A kerestmetset függőleges sárán a komponens megoslása parabolkus a ábrának megfelelően.

30 07 A nírófesültség eloslásának smeretében határouk meg a + koordnátájú kerestmetsetben a belőlük sármaó belső erők eredőjét (5.69. ábra). A tengellel párhuamos réskerestmetseten ébredő nírófesültségekből keletkeő belső erő (5.106) alapján éppen a kerestmetset külső génbevételének megfelelő níróerővel egenlő: ábra ábra T τ ( ) = T (),

31 08 amnek a ránú vetület egensúl egenletből s követkene kell. A tengellel párhuamos sárak fesültségeből sármaó erők erőpárt alkotnak, melnek nomatéka: τ M () = h da = h T () h vs vds = T ()h v I v I sds = T ()h b v 4I b b. 0 0 A erőből és nomatékból álló erőrendsert átalakíthatjuk eg e C -vel eltolt hatásvonalú egetlen T () erővé, ahol e = M τ = h ( ) b v C. τ T ( ) 4I A C pontot, melnek helét a selvénvastagság köepétől felmért e C távolság adja meg, a kerestmetset nírás vag tau-köéppontjának neveük. A 5.69/c. ábráról megállapíthatjuk, hog a nírófesültségekből sármaó belső erők eredője és a külső terhelés követketében ébredő nírógénbevétel (melet mndg a súlpontra sámítunk) erőpárt alkot, am M () = T ()(e S + e C ) nagságú csavarógénbevételt oko. Ennek hatására fordul el a kerestmetset a nírás köépponton átmenő, tengellel párhuamos egenes körül. Ha meg akarjuk gátoln a köönséges hajlításnak ktett rúd elcsavarodását, akkor a M () nomatékot valamlen módon k kell egensúlon. Ennek egk legegserűbb módja, ha a külső terhelést úg vssük fel a rúdra, hog a belőle sármaó T () níróerő hatásvonala ne a kerestmetset súlpontján, hanem nírás köéppontján menjen át. Ilenkor a csavarónomaték eltűnk, mert T () és T τ () egensúl erőrendsert alkot. A U selvénre leveetett eredmének és megállapítások teljesen tetsőleges alakú, vékon falú, ntott vag árt, sőt, tömör kerestmetsetű selvénekre s általánosíthatók. Mnden kerestmetsetalaknál található eg - annak csak geometra méretetől függő - pont, a nírás köéppont, amelnek a a tulajdonsága, hog ha a nírógénbevétel hatásvonala aon átmeg, akkor a kerestmetset a rúdtengel körül nem fordul el, mert csavarógénbevétel nem lép fel. A nírás köéppont mndg rajta van a kerestmetset smmetratengelén, íg kétseresen smmetrkus alaknál egbeesk a geometra köépponttal (súlponttal). Amennben a nírógénbevétel hatásvonala átmeg a nírás köépponton, a köönséges hajlítás során felhalmoott rugalmas energát (5.10)-vel sámíthatjuk, egébként a csavarásból sármaó rugalmas energát s fgelembe kell venn Köönséges hajlításnak ktett prmatkus rúd alakváltoása Elősör a hajlítónomaték hatására fellépő alakváltoást vsgáljuk egenes és ferde hajlítás esetén, majd a nírásból keletkeő alakváltoással foglalkounk.

32 Egenes hajlításnak ktett rúd alakváltoása A prmatkus rúd terheléséről feltételeük, hog a hajlítónomaték síkja tartalmaa a kerestmetset valamelk fő másodrendű tengelét és a níróerő hatásvonala átmeg a nírás köépponton, aa csavarásmentes, egenes hajlításról van só. A hajlításból sármaó alakváltoását első lépésben a nírásból sármaó alakváltoás elhanagolásával sámítjuk. A ábrán látható kéttámasú tartó, melet a hel függvénében váltoó q() ntentású megosló erőrendserrel terhelünk, koordnátájú kerestmetsetében M () nagságú hajlítógénbevétel ébred. Ennek hatására a hossúságú rúdelem véglapja - a tsta hajlításnál megsmert módon - elfordulnak és egmással ϕ söget árnak be. A rúdelem meggörbül. A elem hossúságon a nomaték csak olan ks mértékben váltok, hog a görbület sugarat a tsta hajlításnál leveetett (5.57) kfejeéssel sámíthatjuk: 1 ( ) = M ( ) ρ E I A léneges különbség a, hog a görbület sugár a hajlítónomaték értékének megfelelően helről-helre váltok ábra

33 10 A semleges sík súlponton átmenő, meggörbült vonalát rugalmas sálnak neveük. E a alakváltoás során csak meggörbül, hossa aonban váltoatlan marad. Ha smerjük a rugalmas sál deformálódott alakjának egenletét, akkor smerjük a egés rúd hajlításból sármaó alakváltoását. A rugalmas sál egenletének meghatároásáho a 5.70/b. ábrán nagítva (és kcst torítva) krajoltuk a rúd hossúságú elemét a alakváltoás után állapotban. A görbület sugár és a rúdelem két végkerestmetsetének egmásho vsonított sögelfordulása köött a súlpont sál váltoatlan hossa teremt kapcsolatot: ϕ = d ϕ 1 lm = -, d ρ() a negatív előjel at feje k, hog potív hajlítónomaték esetén a görbület sugárral jellemett smuló kör köéppontja (0 pont) a rúdtengel - ránítású oldalára esk. Jelöljük a rugalmas sál tengellel párhuamos eltolódását, melet lehajlásnak neveünk, a koordnátájú kerestmetsetben u = u ()-vel. A hossúságú rugalmas vonaldarab elmodulás-növekméne a ábra alapján: u = sn ϕ ϕ, amelben a utolsó egenlőséget aért fogadhatjuk el, mert korább megállapodásunknak megfelelően csak ks alakváltoásokat engedünk meg, ϕ tehát csak kcs lehet, ks sögek snusa pedg jó köelítéssel megegek argumentumukkal. Rendeük a fent egenlőséget és képeük a 0 átmenetet: ϕ = du d Újabb sernt dfferencálással: ϕ d = d u. d majd (5.109) és (5.108) felhasnálásával: d u = u d d = - 1 () = - M '' ( ). ( ) = ϕ ρ EI E a össefüggés a hajlított rúd rugalmas sálának dfferencálegenlete. A dfferencálegenletet matematka meggondolásokkal s leveethetjük. Tudjuk, hog tetsőleges u = u () függvén tetsőleges pontjáho tartoó smulókör görbület sugarát a 1 u'' = 1 5 ρ( ) ( 1 + u' ), össefüggéssel sámíthatjuk. Tegük et egenlővé (5.108)-cal: u'' M ( ) =. 1, 5 ( 1 + u' ) EI

34 11 Ha meggondoljuk, hog u' = tg ϕ = ϕ, amelről feltételetük, hog olan kcs mennség, hog a egségnél lénegesen ksebb, akkor a előő kfejeés neveője jó köelítéssel eg, tehát éppen a (5.111)-es dfferencálegenlethe jutunk. A rugalmas sál dfferencálegenletének megoldása adja a rugalmas vonal egenletét. (5.111) eg hános másodrendű dfferencálegenlet, megoldását vsonlag egserűen kapjuk, feltéve, hog a nomaték függvén egmás után kétser ntegrálható: ϕ du () M () () = = - d + *, d ϕ 5.11/a EI u () = - M () d + ϕ * d + u *, 5.11/b EI ahol u* és ϕ * a kerület feltételekből (a rúd megfogás, lletve alátámastás körülméneből) meghatároható ntegrálás állandó. A első össefüggés a rugalmas vonalho húott érntő rántangensét adja, am a ks alakváltoások feltétele matt a kerestmetset tengel körül elfordulásával egenlő, ϕ = tg ϕ. Homogén, prmatkus rúdnál a EI hajlítómerevség állandó, eért a (5.11) kfejeésekben kemelhető a ntegráljel elé. Állandó hajlítómerevségű rúdnál derváljuk (5.111)-et kétser egmás után és vegük fgelembe a génbevételek köött fennálló statka össefüggéseket: 3 d u d 3 1 = - EI dm () = - T () d EI, d u d 4 = 1 EI d M () 1 = - d EI dt () = q() d EI A utolsó kfejeés at a magától értetődő tént feje k, hog a alakváltoás végső soron a külső terhelés függvéne. Ha a külső terhelésből ndulunk k, akkor a alakváltoás meghatároásáho eg negedrendű dfferencálegenletet kell megoldanunk. Célserűbb aonban a (5.11) össefüggésekből knduln, mert a hajlítónomatékot általában könnebb statka esköökkel meghatáron. A (5.110) és (5.111) dfferencálegenletek lneársak, am lehetővé tes a alakváltoás meghatároásánál a superpoícós elv alkalmaását. E at jelent, hog eg össetett külső terhelésű, köönséges hajlításnak ktett rúd hajlításból sármaó alakváltoás jellemő a résterhelések hatására kalakuló alakváltoások algebra össegésével nerhetők (feltéve, hog mnden résterhelésnek ugana a hajlítás síkja). A elv alkalmaása lehetővé tes, hog bo-

35 1 nolult terhelésű tartók alakváltoás jellemőt ún. tábláatos módserrel oldjuk meg. Ehhe eg olan tábláatra van sükség, amel különböő tartótípusokra (konoltartó, két támasú tartó, stb.) egserű terhelések esetén megadja a rugalmas sál egenletét, esetleg a alakváltoás jellemők sélső értéket, lletve aok helét. Ha eekből a résterhelésekből skerül össeállítan a sámítandó feladatnak megfelelő össetett terhelést, akkor a résalakváltoások algebra össege adja a tartó eredő alakváltoását. A fent célt solgáló tábláatokat műsak, slárdságtan össefoglalók, sakkönvek tartalmanak. A hajlításból sármaó alakváltoást O. Mohr eljárásával s meghatárohatjuk. E a módser lehetőséget ad a alakváltoások serkestésére s. A eljárás alkalmahatóságát a követkeő gondolatmenet alapoa meg. Irjuk fel a génbevételeket össekapcsoló, a statka egensúl feltételt kfejeő össefüggéseket ntegrál alakban: T () = - q()d + T*, 5.115/a M () = - [ q()d + T*]d + M*, 5.115/b ahol T* és M* ntegrálás állandók. Aonnal látsk, hog a (5.11) és a fent össefüggések matematkalag teljesen analógok, csupán a ntegrandus függvén fka tartalma más, a egk helen a külső teherntentás, a máskon a EI -sel módosított hajlítónomaték. A statkában megsmert níróerő- és nomatéksámítás, lletve serkestés (5.115) sernt egseres, majd kétseres ntegrálással egenértékű. Magától értetődő tehát a a gondolat, hog ha a tartóra a q() teherfüggvén helett a EI -sel ostott M () nomaték függvént tessük fel külső, megosló terhelésként és meghatárouk - formalag teljesen úg, mnt ténleges terhelésnél - a níróerő- és nomaték függvéneket (sámítással vag serkestéssel), akkor (5.11) értelmében a rúd kerestmetset-elfordulását és lehajlását, lletve eek függvénét vag ábráját kapjuk. Egetlen eg dologban les különbség, e pedg a ntegrálás állandók meghatároása. A alakváltoás sámításánál ugans nem a níróerőre és hajlítónomatékra, hanem a sögelfordulásra és lehajlásra vonatkoó kerület feltételeket kell kegenlíten. E gakorlatlag úg történk, hog a módosított nomaték függvént nem a eredet tartóra, hanem annak helettesítő tartójára tessük fel. A helettesítő tartót a eredetből alakítjuk k a csuklók és a merev befogások átheleésével. A átalakítás sempontja a, hog ahol a eredet tartó kerestmetsete elfordul és el s tolódk, ott a helettesítő tartón níró- és hajlítógénbevételnek s ébredne kell. E at jelent, hog a támasoknál csuklókat, a sabad végeken merev befogásokat, a merev befogásoknál sabad végeket kell létesíten. Néhán egserű tartótípus helettesítő tartóját mutatjuk be a ábrán. A 5.7. ábrán pedg két példát látunk a Mohr-eljárás alkalmaására.

36 ábra Serkestésnél termésetesen ügeln kell a különböő léptékek heles felvételére. Semléletünknek megfelelően megállapíthatjuk, hog a helettesítő tartók génbevétel ábrá a eredet tartók alakváltoás függvénenek felelnek meg Ferde hajlításnak ktett rúd alakváltoása A ferde hajlításkor fellépő alakváltoás meghatároásánál éppúg, mnt a ferde hajlítás követketében ébredő normálfesültség meghatároásának, többféle módja s van. A egk lehetőség a, hog megkeressük a hajlítás tengelét, a ' tengelt a (5.56) kfejeéssel. A rugalmas sál eltolódása (lehajlása) erre a tengelre les merőleges. Eután már felhasnálhatjuk a (5.11) össefüggéseket aal a módosítással, hog bennük a nomaték függvén a eredő nomaték ' tengelre eső vetülete, a másodrendű nomaték pedg a kerestmetset ' tengelre vonatkoó másodrendű nomatéka les.

37 14 A másk megoldásnál a ábrának megfelelően felbontjuk a eredő nomatékot a kerestmetset főtengelevel párhuamos M 1 és M össetevőkre, aa a ferde hajlítást két egenes hajlítás össegére bontjuk. M 1 hatására a kerestmetset elfordul a 1-es főtengel körül ϕ 1 -gel és eltolódk a -es főtengellel párhuamosan u -vel. M hatására ϕ kerestmetsetelfordulás és u 1 eltolódás keletkek. A különböő ránú elmoduláskomponensek a ks alakváltoás feltételeése matt vektorálsan össegehetők. A eredő sögelfordulás és elmodulás: ϕ ' = ϕ1 e 1 + ϕ e, 5.116/a u ' = u e + u1 e 1, 5.116/b ahol e 1 és e a kerestmetset fő másodrendű tengelenek egségvektora A köönséges hajlításnak ktett rúd nírásból sármaó alakváltoása A nírásból sármaó alakváltoás meghatároásáho at kell belátnunk, hog a hossúságú rúdelem súlpont tengele a kerestmetset torulása követketében (5.73. ábra) ferde heletbe kerül. A sakasra eső eltolódás-növekmén:,ma T ()S' ( = 0) du = d snγ ma d γ ma = d = d G GI v( = 0) Integrálva a fent kfejeést, megkapjuk a rúd rugalmas sálanak egenletét, amel a nírás alakváltoás követkeméne: AS' ( = 0) T () u = du = I v( = 0) GA d + u *, 5.117/a ahol u* - a rúd kénserkapcsolata alapján meghatároható ntegrálás állandó. A (5.117/a) össefüggés a valóságosnál nagobb nírás eltolódásokat ad, mert a kerestmetset legnagobb sögváltoásával sámol és feltétele, hog e a kerestmetset mnden pontjában uganekkora. M már tudjuk, hog e nem íg van és a nírófesültségek parabolkus eloslását fgelembe vehetjük a nírás alakváltoás meghatároásánál, ha a saját munkák tételét alkalmauk. E sernt a elem tartódarabra ható külső erők saját munkája egenlő a deformácó során felhalmoott rugalmas energával:. dw = T ()du = du = 1 S k b χ T ( ) d, GA

38 15 mert a külső erő a felsabadított nírógénbevétel, amel hatásvonalával párhuamosan a keresett du -nal modul el, a belső rugalmas energánál pedg (5.10) másodk tagját vettük csak fgelembe, hosen csak a nírás alakváltoást keressük. A egenlőségből fejeük k du -t és ntegrálva a kfejeést megkapjuk a rugalmas sál nírás lehajlásának egenletét: u () = χ T () GA d + u * /b A hajlításból és a nírásból sármaó alakváltoás algebralag össegehető, mert a ábra normálfesültségből és a nírófesültségből sármaó belső energa egmástól függetlenül sámítható. A alakváltoásra kapott össefüggések sernt a hajlításból és nírásból sármaó alakváltoás nagsága a génbevételek mellett a rúd geometra vsonatól és a anagának rugalmas jellemőtől függ. Pontos vsgálatoknál mndg meg kell határon a nírás alakváltoást s. A hajlítás alakváltoás mellett a nírás alakváltoás általában akkor hanagolható el, ha E és G köött nncs nagságrend különbség és a hajlított rúd festávolsága (alátámastás köe) lénegesen nagobb, mnt kerestmetsetének hajlítás tengelére merőleges mérete. Faserkeetek hajlított elemenél a nírás alakváltoást mndg fgelembe kell venn, mert a faanag rostokkal párhuamos E L rugalmasság modulusa két nagságrenddel s nagobb lehet, mnt a rostránra merőleges síkho tartoó níró-rugalmasság modulus Össetett kerestmetset köönséges hajlítása A köönséges hajlítás hajlításból sármaó fesültségeloslásának és alakváltoásának jellemőt a fejeetben tulajdonképpen már tárgaltuk. A váltoás csupán ann, hog a, normálfesültségek nemcsak a kerestmetseten belül váltonak, hanem a hel sernt váltoó M () nomatéknak és N () normálerőnek megfelelően a tengel mentén s. A nírófesültségek eloslása a rétegődés jellegétől függ.

39 A rétegek síkja merőleges a hajlítónomaték vektorára A ábrának megfelelő esetben a M () hajlítónomaték váltoása követketében fellépő nírógénbevétel a tengellel párhuamos. At, hog a teljes T () hogan oslk meg a eges rétegekre, a fejeet első össefüggésének sernt derválásával határohatjuk meg: 1 dm, () = E I d E, 1 I eredő dm () d (5.77) felhasnálásával: T () = E I dm () = E I,, n E eredői d E I, =1,, T (). Mnt látjuk, érdekes módon, a rétegek nem a níró rugalmasság modulusok, hanem a E modulusok és a hajlítás tengelére vonatkoó másodrendű nomatékanak aránában vesk fel a teljes nírógénbevételt. A -edk réteg nírófesültség-eloslását a Zsuravskj-képlettel sámítjuk. A nírás alakváltoás már függ a réteg níró rugalmasság modulusától. At s beláthatjuk, hog a rétegek különböő nagságú nírófesültsége és níró rugalmasság modulusa matt mndegk réteg síkja különböő mértékben vetemedne, et aonban a elmodulásmentesen össekapcsolt rétegek nem tesk lehetővé. Gátolt alakváltoás jön létre, am össetett fesültség állapot kalakulását vonja maga után (pl. ébredne kell nírókomponensnek s) A rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték vektorával A ábrának megfelelő esetben a nírógénbevétel hatásvonala merőleges a rétegek síkjára. A nírófesültségek eloslását a hossúságú rúdelem -edk rétegének súlpontjától távolságra eső síkjától lefelé található rúdrésre ható belső erők egensúl feltétele alapján határohatjuk meg (5.74. ábra). A ránú vetület egensúl egenlet: F = 0 = -, j()df j +, j( + )dfj j= 1 Fj =1F j - ()df + ( + )df - ()b, F, 1 1 F,, melben a jelölések a fejeetével aonosak. Rendeés és 0 határátmenet képé- sével:, () = 1 b -1 j=1 Fj d, j() df + 1 j d b F d, () df d -

40 ábra A, () fesültségkomponens sernt dfferencálhánadosát s a fejeet össefüggésenek felhasnálásával határohatjuk meg: d () = dm + dn,,, 1 d d I d F = T, I = T J J I,,, A (e - a ) 1 + F ahol fgelembe vettük, hog T = dm = dm J = T J,,, d d J J,., + T A (e - a ) 1 = J F Helettesítsük be a dfferencálhánadost a nírófesültség kfejeésébe és rendeük a össefüggést: -1, j j 1 j, 1, () = T J jdf j + A (e - a ) df j + J df + A (e - a ) J b j=1 I, j F df. F j I F,! F F j j F! A sögletes árójel első ntegrálkfejeése a j-edk réteg saját súlpont tengelére vonatkoó statka nomatéka, tehát nulla, a másodk ntegrál a j-edk réteg kerestmetset-területe, a harmadk ntegrál a -edk réteg alatt kerestmetsetének statka nomatéka a -edk réteg súlpont tengelére (S', ), a negedk pedg a -edk réteg koordnáta alatt kerestmetsetterülete (F' ). Térjünk vssa a módosított kerestmetset-jellemőkről a eredetekre: E E J, = I, és A = F. E E A fent jelölésekkel:

41 18, () =, () = T J b E j= 1 = T () 1 j ( ) -1 j=1 E ( ) n ( + a j e1 Fj ) j 1 j j 1 j j, 1, j j j= 1 E e - a F + E E e - a F + E ( S + (e - a ) F' ) b I F ( S', +(e1 - a ) F' ) = A nírófesültség-eloslásra, mnt megállapíthatjuk, eg Zsuravskj-képlethe hasonló kfejeést kapunk, hsen a előő kfejeés sámlálójában a kerestmetset koordnátától lefelé eső területének E j -vel módosított statka nomatéka található (a teljes kerestmetset módosított súlpont tengelére). Eg fktív nírófesültség-eloslást a ábrán mutatunk be Erőtan méreteés Annak ellenére, hog a köönséges hajlítás össetett génbevétel forma és hatására a kerestmetset pontjaban általában a lneársnál bonolultabb fesültség állapot ébred, a előő pontokban tárgalt terhelés és kerestmetset körülmének, valamnt csavarásmentes állapot esetén a erőtan terveésnél nncs sükség a töréselméletek által leveetett össehasonlító fesültségek sámítására, mert a hajlításból és a nírásból sármaó normál- és nírófesültségek sélső értékenek hele elkülönül. Ha mégs meghatáronánk a kerestmetset valamelk általános heletű pontjában a és komponenseknek megfelelő össehasonlító fesültséget, a mndg ksebb lenne, tehát kevésbé veséles, mnt a hajlításból sármaó normálfesültség mamuma. A műsak feladatok többségében köönséges hajlítás során a hajlítás támast nagobb követelméneket a serkeet elemmel semben, eért terveéskor úg járunk el, hog hajlításra meghatárouk a rúd kerestmetset méretet, majd eeket nírásra ellenőrük Mengedett fesültségen alapuló méreteés módser A méreteés során a követkeő relácók fennállását kell kmutatn: + +,ma m,,ma m, τ ma τ m 5.118/a/b/c ahol m +, m, τ ma - a anag megengedett húó-, nomó- és nírófesültsége. A relácók bal oldalán álló mamáls fesültségeket a terhelés és a kerestmetset jellege, lletve vsona alapján a 5.4. és 5.6. fejeet megfelelő össefüggésevel sámítjuk (ne feledkeünk meg arról, hog τ ma általában a és nírófesültség-komponensek vektoráls eredőjeként sámítandó).

42 19 Vékon falú, hajlított selvéneknél előfordulhat (pl. a ábrán látható selvén A és B pontjában), hog a kerestmetset bonos pontjaban egserre nag normál- és nírófesültségek s ébrednek. Ilen esetben a (5.118/a) relácó bal oldalára a rúd anagának megfelelő törés elmélettel sámított össehasonlító fesültséget kell helettesíten. Alakváltoásra történő méreteésnél a rúd mamáls lehajlását kell össehasonlítan a hatóság előírások által megadott értékkel: u u, ma m u m - et általában a festávolság sáalékában adják meg. Pontos sámításoknál a hajlítás mellett a nírás alakváltoást s fgelembe kell venn. Terveéskor a (5.118/a/b) vag (5.119) össefüggések egenlőségéből kndulva meghatárouk a kerestmetset méreteket, majd eeket nírásra s ellenőrük. Ha össehasonlító fesültséget kell sámítan, akkor csak arra van lehetőség, hog a előre (többé-kevésbé találomra) felvett kerestmetsetet ellenőrük "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A méreteés során at kell kmutatn, hog a rúd veséles kerestmetsetében a külső terhekből sármaó mértékadó hajlítónomaték és níróerő nem nagobb, mnt a határ hajlí- tónomaték, lletve a határ níróerő: M M M H, T M T H, 5.10/a/b ahol a kerestmetset határnomatéka egenes hajlításnál: M H = HK, a határníróerő: T = τ H H I v( = 0) S ( = 0, melben H és τ H a serkeet anagának határ húó- vag nomófesültsége és határ nírófesültsége. Ferde hajlításkor a (5.58) kfejeést hasnálhatjuk a határnomaték meghatároására. A határníróerőt, ha a kerestmetset módosító hatását s fgelembe kell venn, a (5.100), (5.105) és (5.106) kfejeések alkalmas átalakításával sámolhatjuk.

43 0 Alakváltoásra való méreteésnél a rúd megfelelő, ha u u, 5.11 M H ahol u M -et a (5.11/b), (5.116/b) és (5.117/b) kfejeések felhasnálásával határouk meg, úg, hog a génbevételek helére aok mértékadó értékét helettesítjük. A határlehajlásokat sabvánok írják elő. Terveéskor hasonlóan járunk el, mnt megengedett fesültségeken alapuló eljárásnál Hajlítás és normálgénbevétel Ennél a össetett génbevételfajtánál a rúd tetsőleges kerestmetsetének súlpontjában normálgénbevétel (húó- vag nomóerő) és hajlítógénbevétel hat. Eg len erőrendser aonban mndg átalakítható a ábrán látható módon eg, a súlponttól t = M/N távolsággal párhuamosan eltolt, N erőből álló erőrendserré, amel a eredetvel statka és slárdságtan sempontból egenértékű. Eért a hajlítónomatékból és normálerőből álló össetett génbevételt - a normálerő értelmétől függően - külpontos húásnak, lletve nomásnak neveük. Mvel a hajlítónomaték és a normálerő egmástól függetlenül váltohat - nncs kötük olan kapcsolat, mnt a hajlítónomaték és a níróerő köött - egüttes fellépésük és hatásuk külön-külön tárgalható és össegehető. A eredő fesültségeloslást aért s könnű meghatáron, mert mndkét génbevételből a normálsú kerestmetsetsíkon normálfesültségek ébrednek. A köpontos húás vag nomás a kerestmetseten egenletes normálfesültségeloslást eredméne, a hajlítás pedg lneársan váltoót. A általánosabb, ferde hajlítás esetét fgelembe véve (5.38. ábra) a ', ', ' koordnátarendserben a kerestmetset eg ' koordnátájú pontjában a normálfesültséget a (5.58) kfejeés adja, a normálgénbevételből sármaó fesültséget pedg (5.16)-tal sámítjuk. Mndkét normálfesültség aonos hatásvonalú, eért eredőjüket algebra össegéssel kapjuk (5.76. ábra): '' ' = '' (' ) = N M + ' 5.1/a A I '' ahol a normálerő és a hajlítónomaték előjelét, valamnt a koordnátatengelek potív ránítását a és a fejeetben megfogalmaott defnícók sernt válastjuk meg. Termésetesen annak sncs akadála, hog a ferde hajlítást a (5.6) kfejeésnek megfelelően vssaveessük két egenes hajlítás össegére. Ilenkor a kerestmetset másodrendű főtengelenek rendserében a normálfesültség kfejeése három tagból áll:

44 ábra 1 = N η ξ A + M - M I I 1 5.1/b Ha eleve egenes hajlításról van só, akkor a fent kfejeésben a harmadk tag nulla, s a másodrendű főtengeleket,-nal jelölve: = N A + M I 5.1/c A (5.11) össefüggések at mutatják, hog a semleges sík nem meg át a kerestmetset súlpontján, ahho képest a hajlítás tengelével párhuamosan eltolódk. Hele ott les, ahol a normálgénbevételből és a hajlításból sármaó normálfesültségek aonos nagságúak, de ellentétes értelműek. Egenes vag ferde hajlításnál a semleges sík és a kerestmetset síkjának metsésvonalát (a semleges tengelt) a eredő normálfesültség ábra segítségével a és ábrán látható módon können megserkesthetjük. Egenes hajlításnál a semleges tengel súlpont tengeltől mért távolságát a (5.1/b)- ből határohatjuk meg, ha annak bal oldalát nullával tessük egenlővé: d = - N M I A 5.13/a

45 5.76. ábra Ferde hajlításnál a semleges tengel egenletét (5.1/c)-ből sámíthatjuk, ha annak bal oldalát s nullával tessük egenlővé: = M I - N 1 I1 η ξ 5.13/b M I M A 1 1 Ha a semleges tengel mets a kerestmetsetet, akkor abban húó- és nomófesültségek s ébrednek (5.77. ábra), ha éppen érnt, akkor csak aonos előjelű normálfesültségek keletkenek, melek nagsága a érntő pont(ok)ban nulla. Ha a semleges tengel kívül esk a kerestmetset kontúrján, a normálfesültségek mndg aonos előjelűek és sohasem nullák. A

46 ábra normálfesültségek előjelének különösen ott van jelentősége, amkor a tehervselő rúd anaga csak nomó-, esetleg csak húófesültségek felvételére alkalmas. A gakorlatban sok olan anag van, amel nomógénbevételnek ellenáll, de húásnak csak csekél mértékben vag egáltalán nem (kő, tégla, beton, alapoások legalsó kerestmetsete, aa a talaj). Ilen esetben mndg ellenőrnünk kell, nem ébred-e a kerestmetsetben húófesültség. Ha a nomás és hajlítás egüttesét külpontos nomásként értelmeük, akkor annak feltétele, hog a kerestmetset egetlen pontjában se ébredjen húófesültség, a, hog a normálerő hatásvonalának súlponttól mért távolsága eg bonos értéket ne haladjon meg, aa a hatásvonal eg bonos területen belül maradjon. Et a súlpontot mndg tartalmaó területet a kerestmetset magdomának neveük. Jelöljük a tengelen elhelekedő N erő hatásvonalának súlponttól mért távolságát t-vel (5.76. ábra). Ennek mamumát, aa a magdom tengellel vett metséspontját abból a feltételből határohatjuk meg, hog a e' ' -vel megadott sélső sálban a húófesültségnek nullával kell egenlőnek lenne. (5.11/a) felhasnálásával: 0 = - N A + Ntcos α e' ', I '' ahonnan a másodrendű nomatékokra vonatkoó I '' = A ' össefüggés felhasnálásával: I '' ' t = = Ae' cosα e' cosα ' ' A össefüggés at mutatja, hog a magdom alakja és nagsága csupán a kerestmetset geometra jellemőtől függ, éppen eért a magdom pustán ábráoló geometra esköökkel s meghatároható (antpólus és antpolárs serkestéssel), amvel tt résletesen nem foglalkounk. A ábrán bemutatjuk néhán gakor síkdom magdomát. A (5.14) kfejeés hasnálatára példaként határouk meg a kör kerestmetsetének magdomát. E a köpontos smmetra matt sntén kör, melnek sugara d/8, mert bármel súlponton átmenő ' tengelre I '' = d 4 π /64, A = d π /4, e' ' = d/ és ' = d/4.

47 4 A külpontosan húott rudak vag a ömök nomott rudak alakváltoását a két tsta génbevételből sármaó alakváltoás vektor össegésével kapjuk (jóllehet a normálerőből sármaó alakváltoás a hajlítás alakváltoás mellett gakorlatlag elhanagolható). A karcsú külpontosan nomott rudaknál már stabltás problémák lépnek fel, eek tárgalása más témakörbe tartok ábra A belső rugalmas energa sámításánál s a superpoícó elvét alkalmauk. A hossúságú rúdban felhalmoott rugalmas energa (5.19) és )5.63) össegésével adódk: du = du = 1 N b b + EA M EI ' '' d = 1 N M EA EI1 M EI d Erőtan méreteés Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A erőtan méreteés során at kell kmutatn, hog a veséles kerestmetset krtkus pontjaban a normálfesültség absolút értéke nem nagobb a megfelelő megengedett fesültségnél: + ma +, ma m m 5.16/a/b ahol + ' ma = N A K M /a N ma = A M K ', 5.17/b

48 5 A normálfesültségek sélső értékenek meghatároásánál a fent kfejeéseket a korább előjeldefnícók követkeetes betartásával "automatkusan" s hasnálhatjuk, de lehetőség nílk a előjelek semléleten alapuló felvételére s. E utóbb esetben célserű megrajoln - ahog at a és ábrákon tettük - a normálfesültség-eloslások össetevő és eredő ábráját. + m és - m a rúd anagának, lletve alapoások méreteésénél a talaj anagának megengedett húó- és nomófesültsége. Csak nomógénbevétel felvételére alkalmas anagoknál + m= 0, a méreteés során tehát at kell kmutatn, hog a kerestmetset egetlen pontjában sem ébred húófesültség. ellenőrn. Terveésre csak követett formában kerülhet sor, aa előre felvett kerestmetsetet kell "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser Ennek a méreteés módsernek a alapgondolata sernt mndg génbevételeket (mértékadót és határt) hasonlítunk össe, most mégs egserűbben elvégehető a ellenőrés, ha a mértékadó fesültséget vetjük össe a határfesültséggel: +,. 5.18/a/b + M H M H ahol a potív és negatív normálfesültséget a (5.17)-nek megfelelően sámítjuk ann váltotatással, hog aokban a mértékadó génbevételek értékét hasnáljuk fel Általános össetett génbevétel A legáltalánosabb esetben s prmatkus rúdra ható külső erőrendser hatására keletkeő belső erőrendser eg adott kerestmetsetben nég génbevételből, normál- és níróerőből, hajlító- és csavarónomatékból áll. Eek hatására a rúd általános heletű pontja össetett alakváltoás és fesültség állapotba kerülnek. Kevésbé génes sámításoknál a össetett fesültés állapot komponenset aal a feltételeéssel határohatjuk meg, hog a normálgénbevétel, a köönséges hajlítás és a csavarógénbevétel egmástól függetlenül fejt k hatását, a eredő fesültség állapot a résgénbevételekből sármaó fesültségkomponensek vektoráls össegésével nerhető. Nagobb pontosságot génlő esetekben a fesültség és alakváltoás állapot komponenset, sőt magának a serkeet elemnek a alakváltoását s a rugalmasságtan alapegenletenek felhasnálásával kell meghatáron.

49 Erőtan méreteés A erőtan méreteés során a rúd krtkus pontjában ksámítjuk - a rúd anagának megfelelő tönkremenetel elmélettel - a egenértékű fesültséget (3. fejeet), és ellenőrük a (3.1) relácó módosított formájában teljesülését. A módosítás attól függ, mlen méreteés alapelvet alkalmaunk. A serkeet elemnek a a krtkus pontja, amelben a egenértékű fesültség a össes lehetséges köül a legnagobb Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A megengedett fesültségen alapuló eljárásnál a krtkus pont fesültség állapotának komponenset a serkeetre ható külső erők alap-(mamáls)-értékevel sámítjuk (4..1. fejeet) és a ma +, 5.19 eg m relácó teljesülését kell gaoln. Können beláthatjuk, hog össetett génbevétel esetén - legalábbs a legtöbb esetben - terveésre nncs mód, a előre felvett kerestmetsetet ellenőrük "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser Igénbevételek össehasonlítására tt sncs lehetőséget. A mértékadó fesültségnek megfelelő egenértékű fesültséget úg sámítjuk, hog a külső terhelések mértékadó értéket hasnáljuk fel (4... fejeet). A vsgált, krtkus pont megfelel, ha M e g + H Terven tt s csak követett módon lehet Görbe tengelű rudak Gépek, épületek és egéb serkeetek teherhordó elemeként sűrűn alkalmanak görbe tengelű rudakat. Különösen gakran találkohatunk fából késült, ívestengelű tartókkal, rudakkal (rétegelt ragastott íves fatartók, ülőbútorok, serkeet eleme, stb.). A íves tengelű rudak kerestmetsetenek különböő génbevételek hatására keletkeő fesültségeloslása várhatóan más les, mnt a egébként uganolan tulajdonságokkal rendelkeő egenes tengelű rudaknál. Nlvánvaló, hog a fesültségeloslás jellege, a fesült-

50 7 ségek sélső értéke nemcsak a génbevételtől, a kerestmetset alakjától, hanem a görbültség jellegétől s függenek. A sámtalan lehetőség köül csak olan rudakkal foglalkounk, amelek tengele síkgörbe és a deformálódott rúd tengele s benne marad ebben a síkban. E feltétel akkor teljesülhet, ha a külső terhelés s benne van a rúdtengel síkjában, vag legalábbs erre a síkra smmetrkus és a kerestmetsetnek van legalább eg olan smmetratengele, amelk beleesk a rúdtengel síkjába (5.79. ábra) ábra A ϕ koordnátával jellemett kerestmetset génbevétele általános esetben hajlítónomaték, níróerő és normálerő. Een génbevételek és a külső terhelés köött kapcsolatot statka tanulmánank során leveettük. Eeket a - ott (61/g,h,)-vel jelölt - össefüggések még egserűbb alakra hohatjuk, ha a görbe tengelű rúd köpont söggel jelölt helén nncsenek külső erők, vag ha aok teherntentása elhanagolhatóan kcs: dn( ϕ ) = T( ϕ ), 5.131/a dϕ dt( ϕ ) = - N( ϕ ), 5.131/b dϕ dm( ϕ ) = RT( ϕ ), 5.131/c dϕ

51 Egseresen smmetrkus kerestmetsetű, görbe tengelű rudak külső terhelésből sármaó fesültségenek meghatároása ábra Vágjunk k eg görbe tengelű rúdból eg ϕ köpont sögű, a súlvonalán s ívhossúságú elem darabot (5.80. ábra), melnek bal oldal kerestmetsetén működtessük a lehetséges belső erőket, jobb oldalán pedg a egelőre smeretlen megoslású fesültségeket. A egenes rudakkal kapcsolatos vsgálatank eredméne után joggal tételehetjük fel, hog a kerestmetset általános heletű pontjaban a normálgénbevételből és a hajlítógénbevételből normálfesültségek ébrednek. Eeket a fesültségeket, melek hatásvonala mndg párhuamos a rúd súlvonaláho húott érntővel, érntő- vag hossránú normálfesültségeknek neveük. Uganeen síkho a nírógénbevételnek megfelelően nírófesültségek s tartonak. Ha a rúdelemet eg, a hosstengellel párhuamos, ábránk sernt normálsú síkkal elvágjuk, akkor een a síkon a dualtás tétel érvénessége matt nírófesültségeknek kell éb-

52 9 rednük, de ehhe a síkho s tartok normálfesültség, melet sugár- vag kerestránú normálfesültségnek neveünk. E kerestránú normálfesültségek fellépését sükségességét a hossránú normálfesültségek eloslásának smeretében können megérthetjük. A -vel jelölt hossránú normálfesültségek eloslásának meghatároását a elem tartódarab alakváltoásának vsgálatával kedjük. Most s, mnt egenes tengelű tartónál, aal a feltételeéssel élünk, hog a eredetleg sík kerestmetsetek a alakváltoás után s síkok maradnak. A kerestmetsetek a deformácó során csak eltolódnak és elfordulnak. A elem darab eredetleg söget beáró két végkerestmetsete köött sög megváltoását jelöljük ϕ -vel. A súlponttól távolságra található sál fajlagos hossváltoására a ábra alapján a követkeő össefüggést írhatjuk fel: ε ( ρ - )( ϕ - ψ) - (R - ) ϕ () =, (R - ) ϕ ahol R - a eredet, - a megváltoott görbület sugár. E a alakváltoás komponens a nek és -nak a függvéne. Köelítő sámításunkban aonban feltessük, hog >>, íg () = 1 E ( - ) 1 ε ν, E ahol E a rúd anagának rugalmasság modulusa a súlvonal érntőjének ránában. Ha beveetjük a k = ψ ϕ fajlagos kerestmetset-elfordulást, akkor a előő két össefüggés felhasnálásával a követkeő kfejeést veethetjük le: (R - ) ρ(1 - k) + k - R =. 5.13/a E Jelöljük a súlpont sálban ébredő normálfesültséget S-sel. Et a előő kfejeésből =0 helettesítéssel fejehetjük k: ρ(1 - k) - R = R S. 5.13/b E Vonjuk k et a össefüggést (5.13/a)-ból és adjuk hoá a jobb oldalho a + - S E E S mennséget és fejeük k a keresett normálfesültséget: () = + R - (ke + ) S S, 5.133

53 30 melben a k és S egelőre smeretlen állandók. Ann aonban már most s látsk, hog a hossránú normálfesültség -nak hperbolkus függvéne. A két smeretlen meghatároásáho egensúl feltételeket hasnálhatunk fel. A első feltétel sernt a normálfesültségekből sármaó belső erő ránú vetülete éppen a N normálerő: N = da = [ + S (ke + S )]da, R - A A a másodk feltétellel at fogalmahatjuk meg, hog a normálfesültségekből sármaó elem erők nomatéka a súlponton átmenő tengelre (a hajlítás tengelére) a M hajlítógénbevétellel egenlő: M = da = [ + S (ke + S )]da, R - A A A két egensúl egenletből a smeretlenekre a követkeő össefüggéseket határohatjuk meg: ke + = MR, = N S S M J A AR 5.134/a,b ahol J -sel a kerestmetset módosított másodrendű nomatékát jelöltük, sámítását a előő leveetés automatkusan defnálja: J = R R - da = R = -R da + R ( + R - R) da = R R - A A A da R - = R A A A R - (-(R - ) R) + R R - R - da = a utolsó egenlőség első tagja aért esk k, mert a ntegrálkfejeés a kerestmetset súlponton átmenő tengelre vonatkoó statka nomatéka, am mnden esetben nulla. (5.134)-et helettesítsük be (5.133)-ba. Rendeés után megkapjuk a görbe tengelű hossránú normálfesültség-eloslását a köpont söggel megadott kerestmetsetben: M( ϕ) R M( ϕ) N( ϕ ) ( ϕ, ) = I R AR A Et a össefüggést a sakrodalom Grashof-képlet néven említ. A másk két fesültségkomponens meghatároásáho vágjuk k a görbe tengelű rúdból a ábrán látható elem darabot és tüntessük fel ennek felületen a feltételeett fesültségeket. A nírófesültségeloslás meghatároásáho fogalmauk meg a elem erők ránú egensúl feltételét:

54 31 ϕ ϕ ϕ F = 0 = - ( ϕ, )v() cos + ( ϕ + ϕ, )v() cos ( ϕ,)v() sn ϕ ( ϕ + ϕ,)v() sn ( ϕ, )v() ( R - ) ϕ + ( ϕ, + )v()(r - - ) ϕ Ebből a kfejeésből a cos ϕ 1 és sn ϕ ϕ köelítések felhasnálásával, ϕ -vel való ostással a követkeőt kapjuk: ( +, ) - ( (, ) - ( ϕ ϕ ϕ, ) ϕ ϕ + ϕ, ) + ϕ ( ϕ, + ) - ( ϕ, ) + ( R ) ( ϕ, + ) = 0 A ϕ 0 és 0 határértékképést elvégeve: (, ) (, ) (, ) ϕ 1 ϕ ϕ 0 R + =. R A első tagot (5.136) dfferencálásával kapjuk, ha köben felhasnáljuk a (5.131) össefüggéseket s: ( ϕ, ) M( ϕ ) R M( ϕ ) 1 N( ϕ ) 1 = + = ϕ ϕ J (R - ϕ AR ϕ A T( ϕ ) R = J R - behelettesítve: ( ϕ, ) ( ϕ, ) T( ϕ ) R + = 0, R - J R amel ( ϕ, ) -ra néve eg másodrendű, nhomogén dfferencálegenlet. A megoldásnál fellépő két ntegrálás állandót abból a két kerület feltételből kell meghatáron, amel at mondja k, hog a kerestmetset alső és felső sálaban - ha a rúdfelület tehermentes - nírófesültség nem ébredhet, aa ( ϕ, = e ) = 0, ( ϕ, = e' ) = 0. A dfferencálegenlet kerület feltételeket s kelégítő megoldása: T( ϕ )S' R ( ϕ, ) = J v( ) ( R ), ahol S' = da - a kerestmetset és e koordnáták köé eső résének tengelre vonat- A'

55 3 koó statka nomatéka. A (5.137) össefüggés hasonlít a Zsuravskj-képletre, ne feledjük aonban, hog J a (5.135)-tel sámítandó, módosított másodrendű nomaték ábra A kerestránú normálfesültség-eloslás meghatároásáho írjuk fel a rúdelemre a ránú vetület egensúl egenletet: F = 0 = - ( ϕ, )v()(r - ) ϕ + ( ϕ, + )v()(r - - ) ϕ + ϕ ϕ ϕ + ( ϕ, )v() sn + ( ϕ + ϕ, )v() sn ( ϕ, )v() cos + ϕ + ( ϕ, + )v() cos A előőhö hasonló átalakítások után és ϕ 0, 0 határátmenettel: ( ϕ, ) 1 ( ϕ, ) ( ϕ, ) ( ϕ, ) 0 ϕ R + + = R R A első dfferencálhánadost (5.137) és (5.131) felhasnálásával nerjük:

56 33 ( ϕ, ) T( ϕ) S' R N( ϕ ) R S' = = ϕ ϕ J v( ) (R - ) J v( ) (R - ). Et behelettesítve és (5.136)-ot s felhasnálva: ( ϕ,) ( ϕ,) N( ϕ ) R S' M( ϕ ) R M( ϕ ) N( ϕ ) + + = 3 0, R - J v() (R - ) J (R - ) AR( R ) A( R ) amel ( ϕ, )-ra néve smét eg másodrendű, nhomogén dfferencálegenlet. Megoldása során aokat a kerület feltételeket kell felhasnáln, hog a rúd terheletlen felületén, aa a kerestmetset sélső sálaban eek a normálfesültségek nullával egenlők, aa ( ϕ, = e ) = 0 é s ( ϕ, = e' ) = 0. A dfferencálegnelet kerület feltételeket s kelégítő megoldása: (, ) = M( ϕ ) 1 J' ϕ Rv() R - J - N( ϕ ) 1 J' v() R J RS' + J' RS' A' J' (R - ) A A' A ahol e A' = da, J' = e R R da 5.138/a,b tehát a kerestmetset és e koordnáta köött résének területe és tengelre vonatkoó, módosított másodrendű nomatéka. A (5.137) és (5.138) megoldások helességéről a legegserűbben úg gőődhetünk meg, ha vssahelettesítjük őket dfferencálegenletekbe. A ellenőrésnél sükség van a (5.135) képletsorho hasonlóan leveethető R e R - da = J' R + S' egenlőség alkalmaására. A 5.8. ábrán bemutatjuk eg üreges téglalap kerestmetsetű, görbe tengelű rúd fesült-ségkomponensenek tengel ment megoslását külön-külön ható három génbevétel esetén. A hajlítónomatékból sármaó hoss-ránú normálfesültség eloslása hperbolkus (a =R helen, aa a görbület sugár köéppontjában végtelen értéket ves fel). A egenes tengelű rúdho képest - ahol a fesültségeloslás a saggatott vonalnak megfelelő

57 34 lneárs - a rúd domború sélén ksebb, homorú sélén nagobb fesültségek ébrednek. A semleges sál a homorú oldal felé tolódk el. A hossránú normálfesültségek mamumát (5.136) utolsó tagjának elhagásával és = e helettesítéssel sámítjuk. A normálgénbevételből sármaó hossránú normálfesültség eloslása - a egenes tengelű rúdho hasonlóan - egenletes. A hajlítónomaték hatására fellépő kerestránú normálfesültség eloslásának jellege hasonlít a níró-fesültségek eloslására, de még smmetrkus kerestmetset esetén sem smmetrkus. A fesültségmamum hele a homorú oldal felé tolódk el. A normálerőből sármaó kerestránú normál-fesültségeknek potív és negatív sélső értéke s van. A nulla érték hele a súlvonal és a homorú oldal köött van. A nírófesültség eloslása hasonlít a egenes tengelű rúdého, a fesültségmamum hele aonban a homorú oldal felé tolódk el. Ha a kerestmetset oldala nem párhuamosak a tengellel, hanem pl. a ábrának megfelelő általános alakúak, akkor a nírófe-sültség-komponens mellett nírófesültség s ébred. Eek meghatároása teljesen analóg a egenes rúdnál bemutatott eljárással. A görbe tengelű rúd eg általános heletű pontjában a fesültség állapot tenorának mátra: T 0 0 = 0. A görbe tengelű rúd pontja általában tehát 5.8. ábra térbel fesültség állapotban vannak.

58 35 A alsó és felső sál(ak)ban csak a komponens nem nulla, tt a fesültség állapot mndg lneárs, mégs otrop anagú rúdnál a sélső sálak pontja a krtkus pontok, mert - különösen nem túlságosan görbült rudaknál - a hossránú normálfesültségek mamuma nagságrendekkel nagobb lehet a több fesültségkomponens értékenél. Anotrop anagú rudaknál, pl. rétegelt ragastott íves fatartóknál a tönkremenetelt nemcsak a, hanem a és a = fesültségek s okohatják, mert a faanag rostokra merőleges húó- vag nomóslárdsága, lletve a rostokkal párhuamos níróslárdsága meglehetősen alacson. A görbe tengelű rúd ds hossúságú elemében felhalmoott rugalmas energát a különböő génbevételekhe tartoó rugalmas energák össegeként sámítjuk. A eges génbevételfajtákho tartoó rugalmas energát jó köelítéssel uganúg kapjuk, mnt a egenes tengelű rudaknál, a aoknál leveetett össefüggésekben csak annt kell váltotatn, hog d helébe ds-et írunk: ~ du = du = 1 N (s) b b EA M (s) T (s) + + χ EI GA ds Görbe tengelű rudak alakváltoásának sámítása Ha a görbe tengelű rudak alakváltoását a egenes rudaknál alkalmaott módserrel, aa a rugalmas sál dfferencálegenletének felírásával kívánnánk meghatáron, matematka sempontból gen bonolult össefüggést kapnánk, melnek még köelítő megoldása s nagon sok problémát jelentene. Amennben csak a megváltoott görbület sugárra vag a fajlagos kerestmetsetelfordulásra van sükségünk, a (5.13/b) és (5.134) össefüggések felhasnálásával eeket kfejehetjük: 1 (s) = 1 R(s) - M(s) ρ J E + N(s) M(s) A AR k = 1 (s) = 1 E M(s) R 1 N(s) + ρ J AR A 5.141/a 5.141/b Ha csak bonos heleken keressük a kerestmetset eltolódását vag elfordulását, a legegserűbben a munka- és energatételek alkalmaásával jutunk eredménhe. A rúdban felhalmoott rugalmas energát (5.140)-nel sámítjuk. Amennben a R(e +e' ) vson elég nag, aa valóban rúd alakú, nem túlságosan görbe serkeet elemről van só, (5.140) sögletes árójelében a első és harmadk tag a másodk tag mellett gakorlatlag elhanagolható. E at jelent, hog a görbe rúd alakváltoását úg sámíthatjuk, mntha csak hajlító-

59 36 génbevételnek lenne ktéve Erőtan méreteés A görbe tengelű rúdban ébredő fesültségek meghatároásánál megállapítottuk, hog annak pontja általában össetett fesültség állapotba kerülnek, íg a erőtan méreteést a pontban bemutatott eljárásnak megfelelően kell elvégen. Faanag vag más ortotróp anag esetén a egenértékű fesültséget a (3.18) relácó jobb oldalán található össefüggéssel sámítjuk. 6. Lemeek rugalmasság- és slárdságtana Felületserkeetnek neveük a térbel kterjedésű testet, ha egk geometra mérete - a vastagsága - a másk kettőnél lénegesen, legalább eg nagságrenddel ksebb A vastagságot feleő pontok mértan hele a köépfelület (amel uganolan serepet játsk, mnt rudaknál a köépvonal) ábra A felületserkeeteket a köépfelület alakja alapján két nag csoportba osthatjuk: - héjak, ha a köépfelület legalább egser görbült, - lemeek, ha a köépfelület sík. A felületserkeetek sélet tetsőleges geometra alakat határolhatja és terhelésük, valamnt megtámastásuk s gen váltoatos lehet. A felületserkeetek mechanka vselkedésének leírásánál már nem elegendő a elem rugalmasságtan módserenek alkalmaása, sámítá-

60 37 sukho a rugalmasságtan alapegenletet kell felhasnáln. A héjakat és lemeeket tovább csoportosíthatjuk alakjuk és erőjátékuk alapján, amelet a eltérő sámítás módserek ndokolnak (bonos esetekben pl. a háromdmenós alapfüggvének két-, esetleg eg dmenóssá alakíthatók, am a árt formában való megoldhatóság esélét lénegesen megnövel. Mechanka tanulmánankban csupán a sík felületserkeetekkel foglalkounk. Eeket a külső terhelés alapján két nag csoportba soroljuk (6.1. ábra): - a külső erők hatásvonala beleesk a köépfelület síkjába (általánosabban fogalmava, a köépsík terhelés smmetrasíkja), a sakrodalom a len lemeeket soksor tárcsa néven említ, - a külső erők hatásvonala merőleges a köépsíkra (sűkebb értelemben eeket a serkeeteket nevek lemenek). A 6.1. ábra alapján können beláthatjuk, hog a első esetben - ha stabltás problémák nem lépnek fel - a leme köépfelülete a alakváltoás után s benne marad a eredet síkban, míg a másodk esetben onnan klép és egseresen vag kétseresen görbült felületté alakul. Ha a síkleme általánosan terhelt és csak ks elmodulásokat engedünk meg, akkor a leme alakváltoás és fesültség állapotmeejét, lletve deformácóját a superpoícó elvével határohatjuk meg. Sámításank során a lemeek anagáról feltételeük, hog - homogén, - otrop és - lneársan rugalmas A külső erők hatásvonala beleesk a köépfelület síkjába Vágjunk k a lemeből a A pont köelében eg a leme vastagságával megegeő hossúságú elem hasábot, majd még een belül s jelöljünk k eg hossúságú darabot (6.. ábra). Ha a leme vastagsága elég kcs, akkor jó köelítéssel elfogadhatjuk, hog a tengellel párhuamos egenesen felvett pontok fesültség állapotának komponense a koordnátától nem függenek, tehát j = (, ), 6.1 j mert a ks távolságon jelentős fesültségváltoás nem alakulhat k, a fesültségfüggvének ugrásserű váltoását pedg a külső terhelés nem ndokolja. A ks lemevastagság feltételeése tehát lehetővé tes, hog a leme teljes állapotmeejének megadásáho elegendő a köépsík állapotmeejének smerete. A terhelés megsorításból, mnt kerület feltételből a követkek, hog a leme normálsú, tehermentes felület pontjaban = 0, am skalársan a követkeő egenlőséget jelent: = = = = = 0.

61 ábra Mvel a fesültségkomponensek vastagságment váltoását elhanagolhatjuk, (6.) a leme belső pontjaban s fennáll, am at jelent, hog a leme mnden pontjában a 6.. ábrán látható fesültségkomponensekkel jellemehető, síkbel fesültség állapot uralkodk. A köépsíkjában terhelt leme vsgálatáho a.5.6. fejeet b. pontjában leveetett össefüggések mnden váltotatás nélkül alkalmahatók. Eért a Ar-féle fesültségfüggvén beveetésével leveetett (.107) jelű parcáls dfferencálegenletet tárcsaegenletnek s nevek. Eg adott feladat megoldása tehát abból áll, hog olan F(,) függvént kell előállítan, amel a leme kerületén belül kelégít a tárcsaegenletet, a kerületen pedg a külső terhelés által előírt értéket ves fel. A megoldás meghatároására sajnos nem lehet egséges módsert kfejlesten. Soksor próbálkoással keresünk olan bharmonkus függvéneket - hatvánsorok vag Fourer-sorok formájában -, amelek a tárcsaegenletet és a kerület feltételeket s kelégítk. 6.. A külső erők hatásvonala merőleges a köépfelület síkjára A köépfelületükre merőlegesen terhelt lemeek mechanka vselkedése egrést vastagságuk és a több geometra méret vsonától, másrést a alakváltoás mértékétől függ. Ennek alapján a lemeekkel kapcsolatos vsgálatokat három csoportra osthatjuk: - ks lehajlású vékon lemeek, - nag lehajlású vékon lemeek - ks lehajlású vastag lemeek. Vastag lemeek esetén semmlen megkötést nem kell tenn a vastagságra vag a alakváltoás mértékére. Eeket a lemeserkeeteket csak a rugalmasságtan háromdmenós alapegenletenek felhasnálásával lehet vsgáln. A feladat nehéség fokának megfelelően árt analítkus megoldást eddg csak nagon kevés esetben skerült találn. A másk két csoportba aok a lemeek tartonak, melekre fennáll, hog

62 39 v 0,1 l mn, ahol v - a leme vastagsága, l mn - a leme síkjának legksebb geometra mérete. Ha u,ma -sal jelöljük a leme mamáls lehajlását, akkor u,ma > 0,v esetén nag lehajlású lemeről besélünk. Ks lehajlású lemeeknél a köépfelület alakváltoása elhanagolható, fesültség állapot sempontjából a köépsík semleges marad, a sámítások során a ks elmodulások elmélete alkalmaható. Nag lehajlás esetén aonban a köépsík már olan mértékben deformálódk, hog a köépfelület síkjával párhuamos belső erőrendser és a annak hatására fellépő fesültségátrendeődés nem hanagolható el. Mechanka tanulmánank során csupán - fapar gakorlatban leggakrabban előforduló - ks lehajlású vékon lemeekkel foglalkounk. A ks lehajlású vékon lemeek sámítása során a korábban megfogalmaott feltételek mellett még a alábbakat hasnáljuk fel: - a leme vastagsága állandó, - a leme köépsíkjára merőleges fesültségkomponensek elhanagolhatóan kcsnek, - a leme köépsíkjának pontja csak a deformálatlan köépsíkra merőleges ránú eltolódást senvednek (a köépsík olan serepet játsk, mnt a egenes tengelű rúdnál a semleges sál), - a köépsík normálsán lévő pontok a deformácó után s a normálson maradnak. A utolsó feltétel analóg aal a rudaknál alkalmaottéval, m sernt a kerestmetset síkja a alakváltoás után s sík marad. A nírógénbevétel sármaó deformácót tehát tt s elhanagoljuk. A fent feltételeknek megfelelő sámítás módsert technka lemeelméletnek, és a eredménként kapott végső parcáls dfferencálegenletet - első leveetőkről - Krchhoff- Love-féle lemeegenletnek neveük. Foglalkounk elősör a feltételrendserből követkeő alakváltoás jellemőkkel. Vegük fel a koordnátarendser, tengelét a leme köépsíkjában (6.3. ábra), és ábráoljuk eg tetsőleges P pontjának körneetében a alakváltoás előtt és után köépfelület koordnátasíkokkal párhuamos metsetet. A P pont eltolódását a feltételrendsernek megfelelően a u =u (,) függvénkapcsolat adja meg, amel egben a deformálódott köépfelület egenlete. A metsetvonalak érntőnek a és ránokkal beárt sögét a lehajlásfüggvén parcáls dfferencálhánadosaként kapjuk: u (, ) ϕ =, ϕ u (, ) =. Uganekkora sögekkel fordul el a P pont eredetleg tengellel párhuamos normálsa s.

63 ábra 6.4. ábra A köépsíktól távolságra lévő A pont (6.4. ábra) ránú eltolódása megegek a P ponttéval, uganakkor - mvel a elfordult normálson kell maradna - és ránú eltolódást s senved. Eek nagsága a 6.4. ábra alapján egserűen meghatároható: u (,, ) = - u 6.3/a u (,, ) = - u 6.3/b Eeknek a eltolódásoknak és a (.38) geometra egenleteknek a felhasnálásával már felírhatjuk a A pont alakváltoás állapotának a köépsíkba eső komponenset: = u = - u, = u = - u ε ε ε = = 1 u + u u ε = /a A A pont fesültség állapota a síkbel fesültség állapotnál leveetett (.105/b) Hooketörvénnek megfelelően: = E E u u ( ε + ) = - + νε 1 - ν 1 - ν = E 1 - ν E ( ε + νε ) = ν = = G = E u ε 1 - ν u ν u + 6.5

64 41 (.105/b) utolsó egenletével pedg kfejehetjük a leme ránú fajlagos hossváltoását: ε νν ε ε νe = - ( + ) = 1 - (1 - ν) u u + 6.4/b Megállapíthatjuk, hog a alakváltoás és a fesültség komponensek a koordnátától lneársan függenek. Uganakkor a s látsk, hog a lehajlásfüggvén smeretében a leme tetsőleges pontjának alakváltoás és fesültség állapota meghatároható ábra Eek után fejeük k a fesültségekkel a leme génbevételet. Leme esetében nncs értelme kerestmetsetről beséln, eért a génbevételeket a v vastagságú és egségn sélességű felületre vonatkotatjuk. E fajlagos génbevételeket ks betűvel jelöljük. Vágjunk k a lemeből eg v vastagságú, és méretű elem darabot és határouk meg a és normálsú éleken ható fajlagos génbevételeket (6.5. ábra). A normálsú kerestmetsetben ható fajlagos belső erők (a első nde a felülelem normálsára utal, a másodk pedg arra, hog a erőnek mlen ránú komponenséről van só, lletve a nomaték mlen tengel körül forgat): a fajlagos normálgénbevétel: +v +v u u + ν A -v -v E n = da = ld = ν a ránú fajlagos níróerő: d = 0

65 4 E u t = da = ld = ν A + v v + v v d = 0, e két génbevétel értéke aért nulla, mert a össefüggések ntegrálmennsége nem más, mnt a felület súlponton átmenő, tengellel párhuamos egenesére vonatkoó statka nomatéka, a fajlagos hajlítónomaték: E m = da = ld = ν u = -D ( ahol D = E 1 - ν + v +v u ( A -v -v u + ), +v 3 u + ) d = Ev d = 6.7 1(1 - ν ) -v 6.6/a - a leme hajlítómerevség téneője, értéke a E és rugalmas állandóktól és a egségn sélességű, v vastagságú felületelem súlpont tengelre vonatkoó másodrendű nomatékától függ, mértékegsége Nm, a fajlagos csavarónomaték: u c = - da = - ld = D(1 - ν) A +v 6.6/b -v a génbevételek köt kapcsolat vsgálata során látn fogjuk, hog ránú fajlagos níróerőnek s ébredne kell: t = da = ld, +v 6.6/c A -v tt még sem a níróerőt, sem a nírófesültséget nem smerjük, de e a a nírófesültség, melnek alakváltotató hatását a kedet feltételek sernt elhanagoltuk. Analóg módon kapjuk a normálsú felületelemen ébredő fajlagos belső erőket. Most már csak a végeredméneket írjuk fel: n = 0, t = 0, u m = -D ( ν + u ), 6.6/d

66 43 u c = -D(1 - ) = c, ν 6.6/e t = da = ld. +v 6.6/f A -v A fajlagos génbevételek és a leme külső terhelése köött kapcsolatot a 6.5. ábrán látható elem hasábra ható erők egensúl feltételenek megfogalmaásával határohatjuk meg. A elemen a köépsíkra merőleges hatásvonalú q(,) külső erőt és a nem nulla belső erőket tüntettük fel. A ránú vetület egenlet: F = 0 = q(, ) + t (, + ) - t (, ) + t ( +, ) - t (, )., -nal való ostás és 0, 0 határátmenet-képés után: q(, ) + t + t = /a A tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenlet: M = 0 = c ( +, ) - c (, ) + m (, ) - -m (, + ) + t (, ) + t (, + ), a előővel megegeő műveletek után: c t = - + m. A tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenlet: 6.8/b M = 0 = m ( +, ) - m (, ) - c (, + ) + +c ( +, ) (, ) (, ) t t, ahonnan t = m - c 6.8/c A (6.8) jelű össefüggések felhasnálásával megkapjuk a külső terhelés és a nomatékok kapcsolatát: m c q(, ) = m. 6.8/d A (6.8/b,c) és a (6.6) össefüggésekkel kfejehetjük a lehajlásfüggvénnel a eddg teljesen smeretlen ránú fajlagos níróerőket: u u t = -D ( + ) = -D u 6.9/a

67 44 u u t = -D ( + ) = -D u 6.9/b Eeket (6.8/a)-ba helettesítve és felhasnálva a (6.6) kfejeéseket: q(, ) D = u u + + u, /a vag a Laplace-féle dfferencáloperátor alkalmaásával: q(, ) = u (, ). 6.10/b D Eel megkaptuk a köépsíkjára merőlegesen terhelt leme egenletét, amel eg nhomogén dfferencálegenlet. Jobb oldala formalag megegek a tárcsaegenlettel, ebben aonban nem a fesültségfüggvén, hanem a lehajlásfüggvén a smeretlen. A feladat megoldása abból áll, hog megtaláljuk at a u (,) függvént, amel a leme kerületén belül kelégít (6.10)-et, a kerületen pedg a leme megtámastás módjának megfelelően megfogalmaható kerület feltételeket. Mereven befogott kerületen at a feltételt kell megfogalman, hog a perem lehajlása és kerestmetsetének elfordulása akadáloott. Csuklós megtámastásnál a peremen a lehajlás nulla és a végkerestmetsetben fajlagos hajlítónomaték nem ébredhet, hsen a elfordulás nem gátolt. Sabad peremen pedg a össes fajlagos génbevétel-komponensnek kell egenlőnek lenne. A u (,) lehajlásfüggvén smeretében - korább megállapításanknak megfelelően - a leme mnden mechanka jellemője sámítható. A alakváltoás egk fontos jellemőjéről, a deformálódott leme síkmetsetenek görbület sugaráról még nem esett só. Eeket a görbület sugarakat - a ks lehajlás feltételeésének megfelelően - a lehajlásfüggvén és sernt másodk parcáls dfferencálhánadosaként kapjuk: 1 u 1 u =, = ρ ρ ha beveetjük a 1 u = - ρ, mennséget, amel a elcsavarodással van kapcsolatban, akkor a fajlagos nomatékok a (6.6) össefüggések alapján a görbület sugarakkal s kfejehetők:

68 45 m = -D 1 ρ 1 m = -D ν ρ 1 + ρ, 1 + ρ, 1 c = c = D( 1 ν). ρ 6.11 A 6.6. ábrán váoltuk a v vastagságú elem hasábon a fesültségkomponensek vastagsága ment váltoását. A, és = fesültségkomponensek eloslásáról már kmutattuk, hog lneársan váltonak. A t és t níróerőknek megfelelő, nírófesültségek eloslását hasonlóan lehet leveetn, mnt a egenes tengelű rudak köönséges hajlításánál. A Zsuravskj-képlethe hasonló össefüggést kapunk, benne aonban a fajlagos nírógénbevétel mellett a fajlagos csavarónomatékok hel sernt parcáls derváltja s serepelnek. A v vastagságú, egségn sélességű kerestmetsetet fgelembe véve a = t + c = t + c 6 3 v 6 3 v v v 6.6. ábra 6.1/a 6.1/b össefüggéseknek megfelelő, parabolkus fesültségeloslást nerünk. A deformácó során felhalmoott rugalmas energát s kfejehetjük a lehajlásfüggvén

69 46 segítségével. Határouk meg elősör a v térfogatú elem rugalmas energáját a (.95) felhasnálásával: ~ du = du = 1 ε dv = 1,j = 1 b b j j j j v, j + v ν = G ( + D 1 jε j 1 - ν ε -v +v ddd = )ddd = ddd = = G ( D ν 1 ε 1 - )ddd = ε ε ε ε ε ν = G 1 - ν ( G + D1 ) v + v v, j, j +v j j j ( ε + ε + νε ε + (1 - ν) ε )ddd, -v ε λ ε + v ε ahol a (6.4/b) össefüggést s fgelembe vettük. Helettesítsük be ebbe a (6.4) kfejeéseket és végeük el a sernt ntegrálást: du = du = D ~ u u u u u b b ν ( ) dd + ν Hengerpalástfelületre deformált, statkalag határoott megtámastású, téglalap alakú leme A 6.7. ábrán látható megtámastású (egk éle mentén befogott vag a két semköt élén csuklósan alátámastott) leme deformált köépsíkja akkor les hengerpalástfelület, aa egser görbült, ha a megosló teher csupán a koordnáta függvéne: q = q(). Mvel a lehajlásfüggvén s csak függvéne, össes sernt dfferencálhánadosa nullával egenlő. A (6.6) össefüggések egserűsödnek: m = -D d u, m = -D d u, c = c = 0. d d A (6.8/a,b) össefüggések alapján: t = dm d, t = 0. Ha a legelső össefüggést md = - d u 6.14 d

70 47 alakra houk, aonnal látjuk, hog e matematkalag analóg a egenes tengelű rúd rugalmas sálának dfferencálegenletével. A különbség fka sempontból csupán ann, hog a hajlítógénbevétel helett a fajlagos hajlítógénbevétel és a EI hajlítómerevség helett a D lememerevség téneő serepel. Statkalag határoott megtámastású lemenél a m fajlagos nomaték függvéne egserűen meghatároható, a másodrendű dfferencálegenlet kétser ntegrálással megoldható. A ntegrá ábra lás állandókat a kerület feltételek alapján kapjuk. Ebben a vsonlag egserű esetben a leme eg tetsőleges pontjának fesültség állapotát a (6.5) össefüggések felhasnálásával a fajlagos hajlítónomaték függvéneként s kfejehetjük: E = - 1- ν - md = m 1- ν E D = 1m v 3, ν = m 1- ν = = 0, E D = ν, 6.15 = 0, = 6t v 3 v A alakváltoás állapot komponenset a általános Hooke-törvénnel sámíthatjuk Erőtan méreteés Mnt láttuk, a leme pontja a legegserűbb terhelés és megtámastás esetekben s össetett fesültség állapotba kerülnek. A erőtan méreteést eért úg végeük, ahogan at a egenes tengelű rudak általános össtett génbevételénél, a fejeetben tárgaltuk.

71 48 7. Stabltás problémák Eddg vsgálatankban a testek alakváltoás és fesültség állapotmeejének meghatároásánál kvétel nélkül a megmerevítés elvét alkalmatuk, aa a külső erők egensúl egenletenek felírásánál a serkeet alakváltoását nem vettük fgelembe. A egensúl egenletekben a elmodulások nem serepeltek. Ennek a ún. elsőrendű elméletnek a alkalmaása során a serkeetet akkor tekntettük tönkrementnek, ha a slárdság vag alakváltoás határállapotba került. A gakorlat tapastalat aonban at mutatja, hog a serkeetek többsége a slárdság vag alakváltoás határállapotnak megfelelő terhelésnél már lénegesen ksebb külső hatások esetén s elvesthet hasnálhatóságát, mert bonos körülmének köött megsűnk egensúlának stabltása. A stabltás megsűnésének, a stabltás határállapot vsgálatának és meghatároásának a tehervselő serkeetek és serkeet elemek terveésénél és ellenőrésénél gen nag a jelentősége, mert e a állapot rendsernt hrtelen, mnden előjel (recsegés, nagobb alakváltoás) nélkül követkek be és eért jelentős károkat okohat. A stabltás problémák vsgálatakor a elsőrendű elmélet nem veet eredménre, mert a serkeet alakváltoásából sármaó követkeméneket s fgelembe kell venn. A egensúl egenletekben a alakváltoás jellemőknek (eltolódás, elfordulás) s serepelnük kell. A ún. másodrendű elmélet alkalmaásakor a alakváltoásokról feltessük, hog kcsnek és lneárs össefüggésekkel kfejehetők (a ténleges függvénkapcsolat jó köelítéssel lnearálható!). A harmadrendű elmélet hasnálata során a alakváltoásokra semmlen megkötést nem tesünk. A másod- és harmadrendű elmélet alkalmaása termésetesen sámtalan új problémát vet fel. A rugalmasságtan feladatok egensúl feltételet megfogalmaó dfferencálegenletek általában lénegesen bonolultabbak lesnek a elsőrendű elméletben leveetetteknél. A megoldás során felmerülő matematka nehéségeknél s nagobb gondot oko, hog a dfferencálegenletek lneartásának megsűnése követketében a gen kénelmes és praktkus superpoícó elve nem alkalmaható. A stabltás határállapot meghatároásáho általában elegendő a másodrendű elmélet alkalmaása. A harmadrendű elméletre akkor van sükség, ha a serkeetnek a stabltás megsűnése után vselkedését vsgáljuk, vag ha eleve olan jellegű serkeetről van só, amelnél már ks terheléshe s vsonlag nag alakváltoás tartok (gumserű anagok, kötél, kötélháló, stb.). A egensúl heleetek ostáloásánál megsmert fogalmak felhasnálásával a serkeetek stabltás kérdéset a követkeőképpen semléltethetjük. Míg a serkeetre ható külső erőrendser nem ér el eg bonos mértéket, addg a serkeet egensúl állapota btos, aa, ha eg ks avaró hatás kmodítja nugalm heletéből, a csak ks mértékű alakváltoást senved és a avaró hatás megsűnése után vssaner eredet heletét.

72 49 A külső érték eg adott értékénél a serkeet köömbös egensúl állapotba kerül, ks avaró hatás követketében új egensúl alakot ves fel, amel a avaró körülmének megsűnése után s megmarad. E teherértéknél a serkeet többféle olan alakot s felvehet, amelnél a ráható erők még egensúlban vannak. A előbbeknél s nagobb külső terhek esetén a serkeet egensúl állapota bontalanná válk. Ilenkor a legksebb avaró hatás követketében megváltotatja alakját és a alakváltoás avaró hatás megsűnése után s egre növeksk, a serkeet vsonlag gorsan olan jelentős deformácót senved, hog még törés nélkül s alkalmatlanná válk feladatának ellátására. A fent terhelés folamat alatt vselkedés at mutatja, hog a köömbös egensúl helet kalakulását elődéő tehernek kell ktüntetett serepet tulajdonítanunk. Et a terhet krtkus tehernek (erőnek, nomatéknak), a hoátartoó fesültséget pedg krtkus fesültségnek neveük. A stabltás vsgálatok folamán ennek a krtkus (F krt -tel vag M krt -tel jelölt) tehernek a meghatároása a fő feladat. Látn fogjuk, hog a serkeetek krtkus terhelése nem csupán anag mnőségüktől, hanem serkeet alakjuktól, geometra méretüktől és megtámastás módjuktól s függ. A krtkus teher tehát mndg serkeet jellemő. A serkeet jellegétől függően a stabltásvestést különböő saksavakkal jelöljük. Nomott és csavart rudak esetén khajlásról; síkjukban (esetleg síkjukra merőlegesen s) terhelt lemeeknél, csavart, hajlított és nomott csöveknél, hajlított gerendák gernclemenél horpadásról; hajlított (elnújtott kerestmetset-alakú) rudak nomott övének stabltásvestésénél kfordulásról vag kbcsaklásról besélünk. A követkeőkben a nomott rudak khajlásával és a elnújtott kerestmetset-alakú, hajlított rudak kbcsaklásával foglalkounk. A fapar műsak gakorlatban eek a feladatok fordulnak elő leggakrabban. A lemeek horpadásának tárgalása - jólehet fapar sempontból e s fontos probléma - mechanka tanulmánank keretet túlhaladják. Eekkel kapcsolatban a sakrodalomra utalunk Hossú, nomott rudak khajlása A egenes tengelű, prmatkus rudakat karcsúnak neveük, lénegesen nagobb legksebb kerestmetset méretüknél (L >> v mn ). A karcsúság mértékét a karcsúság téneő fogalmának beveetésével jellemehetjük: λ = L red mn = L red = L I red A ahol L red - a rúd ún. redukált hossa, amel a ténleges geometra hossúságnak és a rúd megfogás módjanak függvéne (lásd a 7.. ábrát és a (7.8) össefüggéseket), 7.1

73 50 mn = - a kerestmetset legksebb, aa a -es főtengelre vonatkoó másodrendű (nerca-) sugara, a (5.13) defnícónak megfelelően I - a -es tengelre vonatkoó, fő másodrendű nomaték, A - pedg a kerestmetset területe. A (7.1) össefüggés alapján egserűen beláthatjuk, hog a dmenó nélkül sámmal jellemett karcsúság téneő annál nagobb, mnél nagobb a rúd hossíránú mérete a kerestmetset méretehe képest. Ha λ eg bonos értéknél ksebb, akkor köpontos nomóerő hatására ömök rúdként vselkedk és a tsta nomásnál megsmert tulajdonságokkal jellemehető. Zömök rudak stabltásvestésével íg nem kell sámoln. A krtkus nomóerő meghatároásának módja karcsú rudaknál függ a krtkus fesültségnek és a rúd anagának jellemő aránosság határának vsonától. krt A esetén rugalmas, krt > A esetén képléken khajlásról besélünk Karcsú, nomott rudak rugalmas khajlása 7.1. ábra - gát. Et a jelenséget neveük a karcsú rudak khajlásának. Vsgáljunk eg L hossúságú, A kerestmetset-területű prmatkus rudat, melnek mndkét vége gömbcsuklón kerestül kapcsolódk a körneethe, sőt, a egk csukló a rúdtengel ránában el s modulhat (7.1. ábra). A rúd külső terhelése olan, hog mnden kerestmetsete köpontos nomásnak van ktéve. Ha a rúdra ható külső erő éppen elér a krtkus értéket, akkor a rúd köömbös egensúl heletbe kerül s ennek megfelelően nemcsak egenes, hanem - a gakorlat tapastalat sernt - síkgörbe egensúl alakot s felvehet. A krtkusnál nagobb erő esetén a rúd görbülete tovább nő és gen rövd dő alatt elvest hasnálhatósá- Jelöljük a rugalmas vonal egelőre smeretlen, görbült alakját a u = u () függvénnel (a tengelt úg vettük fel, hog a a khajlás síkjába essen). Annak ellenére, hog a khajlott rúd kerestmetseteben a hajlítónomaték mellett normál- és nírógénbevétel s ébred, a rugalmas vonal dfferencálegenletét - a ks alakváltoások feltételével élve - a köönséges hajlításnál leveetett (5.111) jelű össefüggéssel adhatjuk meg. Ebben a hajlítónomaték függvéne a 7.1. ábrának megfelelően: M () = Fu ().

74 51 A rugalmas sál dfferencálegenlete a k = F EI jelölés beveetésével a d u () + k u () = d alakra hoható. E homogén másodrendű dfferencálegenlet általános megoldása: u () = Asn(k) + Bcos(k), 7.4 ahol A és B a kerület feltételekből meghatároható ntegrálás állandók. Esetünkben a = 0-nál u = 0 feltételből B = 0 adódk, a = L-nél u = 0 feltételből pedg: Asn(kL) = 0. E sorat akkor lehet nulla, ha téneő valamelke nulla. A A = 0 megoldás at jelent, hog a rúd egenes marad, am most sámunkra érdektelen. A sn(kl) = 0 akkor állhat fenn, ha kl = m π, m = 0,1,,... Eel (7.) felhasnálásával a követkeő krtkus erőt kapjuk: 7. am m és I értékétől függően végtelen sok megoldást ad. A gakorlat sempontjából a legksebb értéknek van jelentősége. A nullától különböő legksebb értéket m = 1 és I = I mn = I helettesítéssel nerjük: π EI F krt =, 7.5 L A khajlás tehát a rúd hosstengele és kerestmetsetének 1-es főtengele által alkotott síkban követkek be (a tengelt úg kell felvenn, hog a a kerestmetset 1-es főtengelével essen egbe). A hajlítás tengele pedg a tengel. A khajlott rugalmas vonal alakja (7.4) alapján: u () = Asn(k) = Asn m π L, 7.6 m = 1 esetén a khajlott egensúl alak fél snushullám. A nagobb m-ekhe tartoó nagobb krtkus erőkhö m darab fél snushullám tartok. Ilen alak aonban csak akkor alakulhat k, ha valamlen módon megakadálouk, hog már a legksebb krtkus erőnél valamvel nagobb erő esetén lablssé váljék a rúd. A rúd mamáls ránú eltolódása a határoatlan A ntegrálás állandó matt smeretlen. u,ma -ot a felső rúdvég rúdránú elmodulásának fgelembevételével lehetne meghatáron. A krtkus nomóerő smeretében a krtkus fesültséget a tsta nomás feltételeésével sámítjuk: krt π krt = F A = EI, 7.7 AL

75 5 A (7.5) és (7.7) kfejeésekkel sámítható mennségeket Euler-féle krtkus erőnek, lletve fesültségnek neveük, mert elősör ben - L. Euler veette le őket. módjának a függvéne: a. eset: mndkét végén csukló: L red = L, b. eset: a egk vég mereven befogott, a másk vég sabad: L red = L, c. eset: a egk vég merev megfogású, L red = L = 0,71L, 7.8/c d. eset: mndkét vég merev befogású L red = 1 L. 7.8/d Megkönnít a fent össefüggések megjegését, ha a 7.. ábra alapján 7.. ábra megfgeljük, hog a redukált hoss a a távolság, amel a fél snushullám kalakulásáho sükséges. A Euler-féle krtkus erő a nég esetben: π EI F krt =, 7.9 L red a krtkus fesültséget (7.1) és a I = A össefüggés felhasnálásával a követkeő formára sokták hon:

76 53 krt = π EI π EA π E π E = = =, 7.10 ALred ALred L λ red Een össefüggés at mutatja, hog a krtkus fesültég - rugalmas khajlást feltételeve - a karcsúság téneő függvénében hperbolkusan váltok (7.3. ábra) ábra Serelés és gártás pontatlanságok követketében fellépő rugalmas khajlás Tökéletesen egenes rúd gártása és olan tökéletes serelés, hog a nomóerő hatásvonala pontosan egbeessen a rúd geometra tengelével, gakorlatlag lehetetlen. A khajlás műsak pontatlanságok követketében megnövekedett vesélének vsgálatára és érékeltetésére két egserű esettel foglalkounk.

77 54 Vsgáljunk elősör eg, mndkét végén csuklós megfogású egenes rudat, melen a külső erő hatásvonala - véletlenül vag sándékosan - a rúdtengeltől e távolságban helekedk el (7.4/a. ábra). A Fe nagságú hajlítónomaték hatására a rúd meggörbül. Et a alakváltoást s fgelembe véve tetsőleges koordnátájú kerestmetset hajlítógénbevétele: M = F(u () + e). (5.111) és (7.) felhasnálásával most a d u () + k (u () + e) = 0 d dfferencálegenletet kapjuk a rugalmas sál u () függvénére. Általános megoldása: u () + e = Asn(k) + Bcos(k). A mndkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerület feltétel felhasnálásával: A = etg kl é s B= e. A feladat partkulárs megoldása: u () + e = e(cos(k) + tg kl sn(k)). A legnagobb ktérést a rúd köepén kapjuk: u + e = e(cos kl,ma 7.4. ábra + tg kl sn kl e = cos kl. Ha a utolsó egenlőség neveője a nulla felé tart, a rúd mamáls ktérése elvleg végtelen nag les. A krtkus erőt a

78 55 cos kl = 0 össefüggésből határohatjuk meg. E akkor teljesül, ha kl = m π, m = 1,,... A legksebb krtkus erőt most s m = 1 esetén kapjuk (7.)-ből: π EI F krt =, L Érdekes módon uganat a össefüggést kaptuk, mnt a centrkusan nomott rúd stabltásvestésénél. Helettesítsük be (7.)-be a (7.1)-ből kfejeett EI = EI értéket és alakítsuk át (7.11)- et: u,ma + e 1 = e cos kl 1 = cos L F EI 1 = cos π a kfejeésnek megfelelő függvénkapcsolatot a 7.4/b. ábrán semléltettük. F F krt 7.1 Eután tegük fel, hog a rúd tengele gártás hba követketében nem egenes, s a terheletlen súlvonal alakját köelítsük a u o () = u o,ma sn π L függvénnel (7.5/a. ábra). Ha csak ks alakváltoásokat engedünk meg, akkor a rúd görbületének megváltoása arános a hajlítónomatékkal (a görbület pedg (5.111) alapján a lehajlásfüggvén hel sernt másodk derváltja): M = 1-1 = - d u () + d u () o EI ρ ρ d d 0 amelben u () jelent a rugalmas vonal teljes (a F erő hatásvonaláho vsonított) behajlását, a hajlítónomaték pedg: M = M () = - Fu (). Behelettesítés, rendeés után (7.) felhasnálásával: d u () π + k u () = -u 0,ma d sn π L L Ennek a nhomogén dfferencálegenletnek eg partkulárs megoldását keressük u p π () = - rsn alakban. L

79 ábra A smeretlen r téneőt úg határohatjuk meg, hog a megoldást behelettesítjük a dfferencálegenletbe, s onnan r kfejehető: r = u o,m a π. k L - π A dfferencálegenlet általános megoldását a homogén egenlet általános megoldásának és a nhomogén egenlet partkulárs megoldásának össegeként kapjuk: u () = Asn(k) + Bcos(k) - u o,maπ π sn. k L - π L A mndkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerület feltételek felhasnálásával B = 0 és Asn(kL) = 0 adódk. A A = 0 megoldás at jelent, hog a görbén gártott rúd a külső terhelés hatására sem váltotatja meg alakját, am fkalag lehetetlen. A sn(kl) = 0 akkor teljesül, ha kl = m π, m = 0,1,,... A legksebb krtkus erőnek most s m = 1 felel meg, íg k = π. L B = 0 felhasnálásával a rúd rugalmas tengelének egenlete: u () = Asn(k) + u o,ma kl sn π, L 1 - π a eredetleg görbe rúd tehát a külső terhelés hatására fél snushullám alakot ves fel, melnek ampltúdója A értékg határoatlan. (7.14) alapján a mamáls behajlás akkor les végtelen, ha

80 57 jobb oldalán a másodk tag egütthatójának neveője nulla. E feltételből, valamnt (7.) felhasnálásával meghatárohatjuk a rúd krtkus erejét: π EI F krt =, L am smét egek a egenes rúd stabltás feltételével. Határouk meg a u,ma /u o,ma hánadost úg, hog (7.14)-et helettesítsük be a knduló dfferencálegenletbe, végeük el a előő feladatban s alkalmaott átalakítást: u,ma 1 1 = =, 7.16 u kl F o,ma π Fkrt melet a 7.5/b. ábrán ábráoltunk. A (7.13) és (7.16) függvének, lletve a nekk megfelelő függvéngörbék jól semléltetk, hog ha a külső terhelés elér a Euler-féle krtkus erőt, a rudak végtelen nag alakváltoást senvednek. Sőt, a nagobb alakváltoások elkerülése érdekében a külső teher csak töredéke lehet a krtkus erőnek. Megjegeük még, hog e két utolsó feladat soros értelemben véve nem stabltás probléma. A centrkusan nomott egenes rúdnál a krtkus erő hatására a serkeet, ha megváltoott alakban s, de egensúlban marad, s csak valamvel nagobb erő hatására követkek be a rohamos alakváltoás-növekedés. A e fejeetben tárgalt esetekben a krtkus erő már tönkremenetelt oko, hsen - elvleg - végtelen nag alakváltoással jár Hajlítónomatékkal s terhelt, karcsú nomott rudak rugalmas khajlása Tehervselő serkeetekben soksor előfordul, hog a karcsú rúdra már a nomóerő működése előtt, vag aal egdőben hajlítónomaték s hat. E nomatékokat avaró nomatékoknak s nevek, mert működésük követketében a centrkusan nomott karcsú rudak khajlásának jellege megváltok és nem csupán stabltás problémával állunk semben. A avaró nomatékok hatására a rúd már kedetben s meghajlk, a végkerestmetsetek sempontjából centrkus nomóerő s oko hajlítást. A rúd görbülete, khajlása fokoatosan - de a nomóerővel nem lneársan - nő, míg a nag alakváltoás matt hasnálhatatlanná válk. A előő fejeetben tárgalt két példa s a avarónomatékokkal kapcsolatos jelenségek körébe tartok. A avarónomaték hatására, függetlenül aok jellegétől, a rúdra ható nomóerő eg bonos értéknél nem lehet nagobb. E a felső határ - érdekes módon független a avarónomaték fajtájától és nagságától - mnden esetben a centrkusan nomott rúd Euler-féle krtkus ereje. A ténleges nomóerő et a krtkus értéket aonban sohasem érhet el, mert - mnt a előő fejeetben s láttuk - ahho végtelen nag alakváltoás tartok, am műsak serkeetek esetén a hasnálhatatlansággal egenértékű.

81 58 Annak ellenére, hog a avarónomatékkal s terhelt rudak nomóereje a krtkus erőnek csak törtrése lehet, a nag alakváltoás matt fellépő fesültségek hatására a rúd slárdság határállapotba kerülhet. A len rudakat tulajdonképpen slárdság és alakváltoás állapotokra kell méreten. A különböő jellegű avarónomatékkal terhelt, karcsú nomott rudak vselkedésének M o = Fu o,ma α = 1,0 M o = Fe α = 1,34 M o = Q L 4 α = 0,8 M o = q L 4 α = 1,08 M o = q L 9 3 α = 1,08 M o = Q L 8 α = 0,8 M o = q L 4 α = 1, ábra megoldását általában végtelen sorok formájában lehet megadn. E megoldásokat jelenleg mechanka tanulmánank kereten belül nem tudjuk bemutatn. Néhán kutató különböő terhelésű és megtámastású rúd esetén aonos alakú, köelítő képletet adott meg, amelek a végtelen sorok elhagott tagjat módosító téneővel pótolják. Íg pl. a 7.6. ábrán látható esetekben a rudak krtkus ereje a

82 59 F krt = N EI, 7.17 L red Euler-féle erő. A avarónomaték mamuma: α M,ma = M o,ma 1 +, 7.18 F krt 1 F ahol M o,ma - a kedet (khajlás előtt) avarónomaték mamuma, α - módosító téneő, különböő terhelés eseteknek megfelelő értékeket a 7.6. ábra tartalmaa. Ha a rúdra többféle avarónomaték s hat, de a F erő mndg ugana, akkor a avarónomatékok mamumának sámításáho alkalmahatjuk a superpoícó elvét. A fent köelítő képletek hbája ksebb 1 %-nál, ha F krt /F > 1,7. A gakorlatban 1,7-nél mndg nagobb btonság téneőt alkalmanak a nomóerőre, eért a össefüggések a aránosság határon belül kelégítő pontosságúak. A slárdságú méreteéshe sükséges, a rúdtengellel párhuamos normálfesültség mamumát a külpontos nomás mntájára sámítjuk:,ma,ma = - F M ± A K Parabolaív alakú tartók rugalmas khajlása Tehervselő faserkeet elemként gakran találkohatunk rétegelt ragastott íves tartókkal. Eek esetében s besélhetünk khajlás problémáról. A ívben centrkusnak neveük a nomóerőt, ha tetsőleges kerestmetsetében csak normálerő ébred, aa a íves tartó súlvonala egbeesk a külső terhelésnek megfelelő támasvonallal. Íves alakú tartók khajlásának vsgálatánál általában köelítő megoldásokkal kell megelégedn. Tanulmánankban csak aal a vsonlag egserű esettel foglalkounk, mkor a görbe tengelű tartóra függőleges hatásvonalú, egenletes megosló terhelés hat. Ilenkor a támasvonal másodfokú parabola. A centrkus nomás feltétele tehát a, hog a súlvonal egenlete 4h(L - ) = L 7.0 legen (7.7. ábra), ahol H - a parabolaív magassága, L - a támaskö. A stabltás vsgálat során feltételeük, hog a ív lapos, tehát a h/l vson kcs, ennek követketében a khajlott ív pontjanak vísntes ránú eltolódását elhanagolhatjuk. At s feltessük, hog a khajlott rúd hossa jó köelítéssel megegek a eredet ívhossal.

83 60 A csuklóban ébredő reakcóerők vísntes komponensét - annak ellenére, hog a tartó megtámastása statkalag határoatlan - egserűen meghatárohatjuk, ha fgelembe vessük, hog a függőleges reakcókomponens ql/, uganakkor a reakcóerő eredőjének s a rúd támastócsuklóbel érntőjének ránába kell esne: H = ql = ql, 7.1 tgϕ 8h A mert (7.1) dfferencálásával '= tg ϕ = 4h L (L - ) é s tg ϕ = 4 h A L A terheletlen és a khajlott tartóvonal görbületének különbségére a követkeő össefüggést veethetjük le: 1 1 -'' - = ρ ρ (1 + ' ) 0 1,5 -('' + u'' ) - (1 + (' +u' ) ) 7.7. ábra 1,5 ahol u = u () - a súlvonal elmodulásának ránú komponense. Mvel u' << ', köelítőleg ga, hog 1 1 u' ' - = = u'' cos = d u () 3 3 cos. 1,5 ϕ ϕ ρ ρ (1 + ' ) d 0 A görbületek különbsége arános a hajlítónomatékkal, am esetünkben: M = M () = - H()u () = - Hu (), ahol H() - a rúd koordnátájú kerestmetsetében ható normálerőnek a vísntes komponense, melnek nagsága -től függetlenül a támasreakcó vísntes komponensével egenlő. A két utolsó egenletből a alább össefüggést kapjuk:,

84 61 d u () + d EI H u () = 0, cos 3 ϕ amel, a ϕ = ϕ () matt eg nem állandó egütthatójú dfferencálegenlet. A btonság javára követünk el hbát, ha a lehetséges ϕ ()-k helett a legnagobbat, aa ϕ A -t helettesítjük be: cos ϕ A = =, 3 ( 1+ tg ϕ A ) h L A k = H EI h L 1,5 mennség beveetésével a stabltása probléma dfferencálegenlete: d u () + k u (), d 1 5 am a már jól smert állandó egütthatójú, másodrendű homogén dfferencálegenlet. Általános megoldása: u () = Asn(k) + Bcos(k). A = 0-nál u = 0 kerület feltételből B = 0 adódk, a = L-nél u = 0 kerület feltételből pedg Asn(kL) = 0. Műsak sempontból most s csak a sn(kl) = 0 megoldásnak van jelentősége: k = m π, m = 0,1,,... L A khajlott súlvonal egenlete íg u () = Asn m π. L. 7. Ha m = 0, nncs khajlás, m = 1-nél vsont - 0 π sn 1 matt - u () előjele nem válto- L k, am at jelent, hog eghullámú, smmetrkus khajlás keletkek. Ilen hullám csak úg keletkehet, ha a rúd tengelhossa megrövdül. Mvel et a lehetőséget kedet feltételrendserünkben kártuk, a m= válastás a első lehetséges érték. (7.) felhasnálásánál a legksebb, aa a krtkus H érték: 4π EI H = L = EI krt α, 7.3 1, 5 L h L vag a egenletesen megosló terhelés ntentására átsámítva:

85 6 q = 8H h = 8h krt L L EI, krt α e két képletben a kerestmetset másodrendű nomatékánál nem a mnmálsat vessük fgelembe, mert a serkeet kalakítás a tengel körül khajlást tes csak lehetővé. Pontosabb sámítások at mutatják, hog a fent össefüggések csak h/l 0, geometra vsonok esetén adnak elfogadható eredmént. A gakorlat sámára olan tábláatokat állítottak össe, amelek a (7.3) és (7.4) képletek α értéket tartalmaák a mndkét végén csuklós, lletve mndkét végén befogott parabolaívek krtkus terhelésének sámítására. h/l 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 csuklós 4 π 36,304 8,716 19,190 1,448 9,60 α befogott 80,0 75,8 63,1 47,9 34,8 - α Hossú, nomott rudak khajlása a aránosság határt meghaladó fesültségek esetén A egenes rúd stabltásával kapcsolatos vsgálatok at mutatták, hog a Euler-féle erő bonos értéknél nagobb karcsúság téneő felett gen jó egeést mutat a mérés eredménekkel. Kevésbé karcsú rudaknál aonban a kísérlettel meghatároott krtkus erő ksebb a Euler-képlettel sámítotténál. A eltérést egserűen megmagaráhatjuk, ha fgelembe vessük, hog a Euler-elmélet a rugalmasság modulust állandónak teknt. A valóságos anagokra vonatkotatva tehát csak addg teknthető érvénesnek, míg a rúdban ébredő normálfesültség nem haladja meg a aránosság határt (7.8. ábra). Ha (7.10)-ben a krt helébe A -t helettesítünk, kfejehetjük a egenes-aránosság határho tartoó karcsúság téneőt: E λ = π. 7.5 A A A Euler-formula alkalmahatóságának feltétele tehát a λ λ A 7.6 relácó teljesülése. Elvleg Euler gondolatmenete a aránosság határon túl s alkalmaható lenne, ha E helébe a alakváltoás dagram alapján meghatároható, ún. tangens (érntő) modulust he-

86 ábra lettesítenénk. A tangensmodulus aonban végső soron a ránú elmodulásnak a függvéne, E = E( ) = E( (u )), eért a (7.3) dfferencálegenlet már nem marad állandó egütthatójú, sőt, lneartása s megsűnhet. E gen megneheít, esetleg lehetetlenné tes a megoldás megtalálását. A krtkus erő sámítására eért a egenes-aránosság határ felett általában tapastalat képleteket alkalmanak. A karcsú rudak stabltásának kísérlet kutatásával elsőként Tetmajer Lajos és Kármán Tódor foglalkoott és ért el jelentős eredméneket. E kísérletek sernt, amennben a ténleges fesültség a aránosság határ és a sívós anagoknál F, rdeg anagoknál B köött van, a rúd krtkus ereje, lletve krtkus fesültsége a karcsúság téneő lneárs függvéne (7.8/a. ábra): F krt = A(a-b λ ), krt = a-b λ, ahol a és b fesültségdmenójú anagállandók. 7.7/a 7.7/b Rdeg anagoknál a (7.7) kfejeések érvénesség tartomána 0 λ < λ A 7.8 Sívós anagoknál a fesültség nem lehet nagobb a folás határnál. (7.7/b)-ből kfejehetjük a folás határnak megfelelő karcsúság téneőt: λ F = 1 (a - F ). 7.9 b Sívós anagok esetén a (7.7) kfejeések érvénesség tartomána: λ λ λ F A Ha a rúd karcsúság téneője λ F -nél ksebb, a rúd tönkremenetele nem stabltásves-

87 64 tés követketében meg végbe. Eeket a már ömöknek teknthető rudakat tsta nomásra méreteük. A műsak gakorlatban a λ F -nél ksebb karcsúságú, rdeg anagból késült rudakat s tsta nomásra méretek. A követkeő tábláatban össefoglaltuk néhán anag kísérlettel meghatároott a és b állandót, lletve a ún. Tetmajer-egenes egenletet. E F λ F λ A krt Foltacél ,14λ Sénacél ,1-0,8175λ Sénacél ,1 -,6175λ Sénacél ` ,1-3,8175λ N-acél * ,305λ Öntöttvas * λ + 0,053λ Erde f * ,λ Tölg 13 0 * ,5-0,5λ * B GPa MPa - - MPa Ha smerjük a anag aránosság határát, foláshatárát, lletve slárdságát, valamnt a aránosság határho és a foláshatárho tartoó karcsúság téneőket, akkor a Tetmaeregenes állandót elméletleg s meghatárohatjuk. A 7.8. ábra alapján felírhatjuk a követkeő aránosságot: λ λ F F krt =. λ λ A F F A Rendeés után: λ A F λ F A F A λ λ λ λ λ λ krt = - = a b. A F Rdeg anagnál λ F = 0 és F B : B A krt = B - λ = a bλ. λ A A F Megjegeük még, hog a sakrodalomban a aránosság határnál nagobb fesültséghe tartoó stabltásvestést - nem túl serencsés módon - képléken (plastkus) khajlásnak s nevek Erőtan méreteés Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser Centrkusan nomott rudak esetében a stabltás fennállását kell gaoln. Stabltásves-

88 65 tés akkor nem követkek be, ha a tsta nomás feltételeésével sámított mamáls normálfesültség nem nagobb a krtkus fesültség n btonság téneővel ostott értékénél, aa a megengedett fesültségnél: ma = N A ma m krt =. n Léneges különbség a eddg alkalmaott méreteés eljárásokkal semben, hog a megengedett fesültség értékét nem egserűen a anagmnőség függvénében sámítjuk vag válastjuk, hanem a rúd geometra méretet mnt serkeetjellemőt s fgelembe kell venn. A krtkus fesültséget a alább séma sernt célserű meghatáron: L λ= red mn λ λ F λ λ < λ F π E krt = F vag B krt = a - bλ krt = λ3 A λ λ A m = n krt Ecentrkusan nomott vag hajlítónomatékkal s terhelt karcsú rudak esetén elősör stabltásvsgálatot, majd slárdság és alakváltoás vsgálatot végünk. A stabltás ellenőrése uganúg történk, mnt a centrkusan nomott rúdnál. A slárdság vsgálatot a külpontos nomásnak megfelelően végeük. A rúd mamáls normálfesültségét (7.19)-cel határouk meg. Ha sükség van a alakváltoás ellenőrésére s, a avarónomatékok és a centrkus nomóerő által létrehoott mamáls lehajlást hasonlítjuk össe a megengedett lehajlással. A sámítás jellegéből követkek, hog terven csak követve, a "találomra" felvett geometra méretek ellenőrésével lehet "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A tehervselő serkeetek méreteésével foglalkoó előírások a centrkusan nomott rúd stabltásvsgálata során a N N, 7.33 M kh relácó teljesülését kell gaoln, ahol N kh - a rúd khajlás határereje, amt a - N = ϕ A, 7.34/a kh H össefüggéssel sámítunk. Ebben kerestmetsetterülete. A ϕ H - a rúd anagának nomó határfesültsége, A - a rúd = ϕ( λ) csökkentő téneő értékét a rúd anagától függően, kü-

89 66 lönböő össefüggésekkel kell sámítan. Acéloslopok esetén = ϕ β β, 7.34/b λ ahol = 1 + α ( λ β - 0,) + λ λ λ = π és E, F F red λ, 7.34/c λ = L, 7.34/d mn a b c d α 0,1 0,34 0,49 0,76 α -t a kerestmetset jellegétől függően válastjuk. a oslop: gárlag késült csőserelvének, b oslop: hegestett árt serelvének, melegen hengerelt domacélok, c oslop: mnden egéb serelvén, d oslop: ha a selvénben 40 mm-nél vastagabb övleme található. A előírás sernt λ 0, esetén ϕ értékét 1-nek kell venn, aa a ömök rudak tsta nomásának megfelelően kell méreten ábra

90 67 ϕ = 1 Fából késült oslopok esetén ϕ értékét a követkeő össefüggéssel sámítjuk: 1 λ λ 1 λ λ λ A 7.9. ábrán bemutatjuk a különböő kerestmetsetnek megfelelő ϕ = ϕ ( λ ) függvéneket. Mvel ( λ ) a khajlás határerővel, aa tulajdonképpen a krtkus erővel arános, megállapíthatjuk, hog míg a megengedett fesültségen alapuló eljárás a karcsú rudak tartománát két résre (Euler- és Tetmaer-tartomán) ostja és eeknek megfelelően a két függvénnel kell a krtkus erőt sámítan, addg e a módser a teljes karcsúság tartománra egetlen függvént ad meg. Ecentrkusan nomott vag avarónomatékkal terhelt rudaknál elősör elvégeük - a fenteknek megfelelően - a stabltásvsgálatot. A slárdság és alakváltoás határállapot vsgálatát a külpontos nomásnál, lletve a hajlított rúd alakváltoásánál bemutatott módserrel végeük. Termésetesen e a módser s csak követett terveést tes lehetővé. 7.. Hajlított rudak kfordulása Ha eg prmatkus rudat kerestmetsetének valamelk fősíkjában hajlítónomaték terhel, akkor annak bonos értékénél a hajlítónomaték síkjába eső meghajlott alakon kívül, oldalránú elmodulások követketében más, térgörbe súlvonalú egensúl alakok s sóba jöhetnek. A len jellegű tartóalak kalakulását kfordulásnak vag kbcsaklásnak neveük. A kfordulás fellépésének csak olan esetekben van gakorlat jelentősége, mkor a rúd kerestmetsetének fő másodrendű nomatéka egmástól jelentősen eltérnek és a hajlítás tengele a 1-es főtengel (pl. a álló heletű, nújtott téglalap vag I-kerestmetsetek). Jóllehet slárdság sempontból eek a kerestmetsetalakok a leggadaságosabbak, kfordulásuk aonban már ks alakváltoások esetén s bekövetkehet. A rétegelt ragastott egenes vag görbe tengelű fatartók kerestmetsetének geometra és terhelés vsona alapján a kfordulás vsgálatának fontos serepe van Nújtott téglalap kerestmetsetű, egenes tengelű hajlított rudak kfordulása A jelenség értelmeéséhe vsgáljuk a ábrán látható konoltartót, melnek sabad végén a kerestmetset súlpontjában F erő hat, am a egenes rudat hajlításra és nírásra ves génbe. A F erő eg bonos értékénél a rúd kfordul és eg koordnátájú kerestmet-

91 68 set génbevétele: M ' és M ' hajlítónomatékok, valamnt M ' csavarónomaték, T ' és T ', níró- és N ' normálerők. A normál- és níróerőkből sármaó alakváltoást - mnt általában mndg - elhanagoljuk. A rúd kerestmetset jellemő alapján I << I ', eért a kfordulás vsgálata sempontjából a M ' hajlítónomaték alakváltotató hatását s elhanagoljuk. A kerestmetsetek fgelembe vett génbevétele tehát a ' tengel körül hajlítás és a ' tengel körül csavarás. A M ' hajlítónomaték elhanagolásának a a követkeméne, hog a rúd kfordult súlvonala a,-síkba eső görbe. Jelöljük a súlvonal alakját a u = u () függvénnel, a kerestmetset elfordulásának sögét pedg ϕ = ϕ ()-vel. A ' tengel körül hajlítás dfferencálegenlete (5.111) analógájára: d u () = M d EI ' '' = F ' EI '' Fsn ϕ() = EI ''. A másodrendű elmélet alkalmaásakor megengedett a sn ϕ () = ϕ () köelítés. A dfferencálegenlet alakja eért: d u () = F d EI '' ϕ (), esetünkben I '' = I, és ha fgelembe vessük, hog a kerestmetset alakja követketében a ' tengel körül hajlítás lemehajlításnak teknthető, a rugalmasság modulus helébe E/(1- ν )-et helettesíthetünk ( ν - a rúd anagának Posson-téneője): d u () = F(1 - ν ) ϕ(). d EI '' A fejeetben leveetett ϕ () M kfejeés általánosításaként a csavarónomaték és a sögelfordulás köött a követ- GI S keő dfferencálegenletet kapjuk: d ϕ () = M d GI t ahol GI t a rúd csavarómerevsége. Nújtott téglalap alakú kerestmetset esetén (lásd a (5.87/b) össefüggést): I = v 3 h t, 3 ahol v - a kerestmetset sélessége, h - a hossúsága (v << h). A csavarónomatékot a 7.10/b. ábra segítségével határohatjuk meg: M () = - Ft() -Ft'() = -F(u ( = 0) - u () - tg α) = = -F u ( = 0) - u () + du ( ) d 7.38

92 ábra Helettesítsük et (7.37)-be és dfferencáljuk sernt: d () = F ϕ d u () d G I d t (7.36) és (7.39) felhasnálásával: d () = 1 - ϕ ν ( F) ϕ( ) = d EI GI t 7.39 Itt F a külső terhelés nomatéka a tengelre a stabltás megsűnése előtt (aa a megmerevítés elvének felhasnálásával sámítva). Bonítható, hog (7.40) dfferencálegenlet általánosítható, és a d () = 1 - ϕ ν M ( ) ϕ( ) = d EI GI t alakban mnden nújtott téglalap kerestmetsetű rúd kfordulásának dfferencálegenlete függetlenül annak megtámastás és terhelés módjától. A össefüggésben M () - a külső terhelés nomatéka. Térjünk vssa (7.40)-he és veessük be a

93 70 k 4 F = EI ( 1 - ν ) GI t segédmennséget. Eel ()-re a d ϕ() 4 + k ϕ () = d lneárs, másodrendű - nem állandó egütthatójú - dfferencálegenletet kapjuk. Keressük ennek megoldását a 3 ϕ() = c + c + c + c +...= c. o 1 3 =1 hatvánsor formájában. Et (7.43)-ba helettesítve a követkeő egenletet kapjuk: 3 4 c 1 + c 3 + c c c λ (c + c + c + c +...) = 0, o 1 3 a egütthatók össehasonlítása a c = 0, c = 0, 3 4 c + λ c = 0, 4 5 c + λ c = 0, 5 6 c + λ c = 0, egenlőségeket adja. Eek alapján: c = 0, c = 0, c = c o 3 4-4, c = - 4 c1 3 4 λ 5 λ, c 6 = 0, c 7 = 0, A sögelfordulás-üggvén tehát: λ λ λ λ ϕ() = c o ( ) + c 1( ) (7.37)-ből követkek, hog a = 0 helen a sögelfordulásfüggvén első derváltja nulla, eért c 1 = 0. A = L helen ϕ= 0, íg λ L λ L 0 = c ( ) o 3 4 Ennek c o = 0 megoldása sámunkra érdektelen, mert lenkor nncs kfordulás. A árójelben lévő mennség a L = p = (1 - )F L ν λ 7.44 EI GI t kfejeés beveetésével: 3 p p p = E hatvánsor első három tagjának megtartásával nert másodfokú egenlet megoldása adja p első köelítő értékét (a két gök köül a ksebbk a fontos, mert eel kapjuk (7.44)-ből a ksebb, aa a krtkus erőt): p p 1 = 17,417, amvel terácót végünk. p hatvánsorból fejeük k p-t: 3 p p p =

94 71 Mvel a p = p 1 körneetében a fent függvén p sernt dfferencálhánadosának absolút értéke ksebb egnél - tehát teljesül a konvergencafeltétel - p másodk köelítő értéke: p p = 16,70, eg újabb terácó p újabb értékét már csak jelentéktelen mértékben módosítaná. (7.44)-ből p - vel maghatárohatjuk a konoltartó sabad végén ható erő krtkus értékét: F = 4,087 EI GI t krt, 7.46/a L 1 - ν am termésetesen csak addg érvénes, míg a krtkus terhelésből sámított fesültségek el nem érk a rúd anagának aránosság határát. A gakrolat tapastalatok at mutatják, hog a képléken kfordulás vsgálatára általában nncs sükség, mert a olan nag erők hatására követkek be, amelnél a rúd már egébként s slárdság határállapotba kerül. π EI GI t M krt = L 1 - ν 7.46/b F krt = EI GI t L 1 - ν 7.46/c q krt = 8. 3 EI GI L t ν 7.46/d q krt = 185. EI GI 3 L 1 - t ν 7.46/e ábra A fent bemutatottho hasonló módon sámíthatjuk más megtámastású és terhelésű rudak téglalap kerestmetsetű rudak kfordulásho tartoó krtkus terhelését. A ábrának megfelelő esetekben - résleteés nélkül - felírjuk a krtkus teher sámításának képletet. Hangsúlonunk kell, hog a fent össefüggések csak akkor érvénesek, ha a külső terhelés, a ábráknak megfelelően, a kerestmetsetek súlpontján, lletve a rúd súlvonalán támad. Ha a támadáspont a súlvonal felett található, a krtkus értékek ksebbek, ellenkeő esetben nagobbak lesnek a (7.46) képletekkel sámíthatóho képest. Ennek magaráatát können beláthatjuk, ha ésrevessük, hog pl. a ábrának megfelelő esetben a M ' hajlítónomatékot okoó F erő nomaték karja nem súlpont támadáspont esetén megváltok, eért a (7.40) dfferencálegenlet egüttható s mások lesnek.

95 Nújtott téglalap kerestmetsetű, körív alakú hajlított rudak kfordulása A íves tengelű rudak kfordulásának elmélet vsgálata meglehetősen bonolult és a sakrodalomban s kdolgoatlan. E problémakör bemutatására tanulmánank kerete köött nncs mód, a fapar gártásban előforduló rétegelt ragastott íves fatartók jelentőségére való tekntettel felírjuk a végen koncentrált nomatékkal terhelt, nújtott téglalap kerestmetsetű, R sugarú, körív alakú tartórúd krttkus nomatékát a rugalmas tartománban: EI + GI M krt = - R t t t π EI + GI EI GI ± + R R 1 Ψ ahol Ψ - a körív köpont söge ábra Erőtan méreteés krt krt A másodk tag előjelétől függően eg potív és eg negatív nomatékot kapunk. - + M < M, am at jelent, hog a görbület csökkenését okoó potív nomaték krtkus értéke ksebb, mnt a görbület növekedését okoó negatív nomatéké. Más jellegű tartóalak, megtámastás és terhelés esetén a krtkus terhelés meghatároására a munkatételeket célserű alkalman. A méreteés során hasonlóan járunk el, mnt a avarónomatékkal terhelt, karcsú rudak khajlásvsgálatánál. Elősör stabltásvsgálatot végünk kfordulásra majd elvégeük a rúd külső terhelésének megfelelő slárdság és alakváltoás határállapot ellenőrését a korábban smeretett módserek alapján. Itt csak a kfordulással semben stabltásvsgálat módseret smertetjük.

96 Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A kfordulás-vsgálatot egserűbben elvégehetjük, ha a korábbaktól eltérő módon, nem a mamáls és megengedett fesültségeket hasonlítjuk össe, hanem a kfordulást okoó külső terhek jellemőt. A kfordulás eséle nem áll fenn, ha Y Y = Y krt ma m, 7.48 n ahol Y krt - a kfordulást okoó terhelés jellemőjének (M, F, q) krtkus értéke. Nagságát a rúd alakjának megtámastás és terhelés módjának függvénében a (7.46)-os össefüggések valamelkével sámítjuk, n - a btonság téneő, Y ma - a külső terhelés jellemőjének sélső értéke "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser Kfordulás nem követkek be, ha Y M Y H, 7.49 ahol Y H - a kfordulást okoó terhelés jellemőjének (M, F, q) határértéke, melet a Y krt -ből sámítunk valósínűségelmélet alapon (a meghatároás alapelve ugana, mnt amkor valamelk határfesültséget sámítjuk a kérdéses slárdság eloslásfüggvénének smeretében). A határgénbevétel sámításáho sükség van a (7.46)-os össefüggésekben sereplő mennségek eloslásfüggvénere. Eek hánában első köelítésként a Y H = 0,85. Y krt becsléssel élhetünk. 8. Egéb serkeetek és testek rugalmasság és slárdság problémá 8.1. Alakváltoások és fesültségek a alkatrések érntkeés helének körneetében A serkeet elemek köött erőátvtelkor a érntkeés pontokban, lletve aok körneetében a fesültség és alakváltoás állapotok smerete a alkatrések erőtan méreteése sempontjából alapvető jelentőségű. E feladatkörhö tartok a koncentrált és megosló erővel terhelt rugalmas féltér, lletve félsík problémá (8.1/a,b. ábra), a absolút merevnek tekntett, tetsőleges alakú síktestek benomódásának kérdése (8.1/c.d. ábra), valamnt a különböő felü-

97 74 let görbülettel rendelkeő testek érntkeésének, össenomódásának problémá (8.1/e. ábra). A 8.1. ábrán látható dealált esetek sámtalan gépéset és építéset serkeetnél előfordulnak (csapágak, fogaskerekek, bütkös serkeetek, alapoások, stb.). E feladatok köül a rugalmas féltér problémájának megoldása alapvető fontosságú, mert e képe a össes hasonló jellegű feladat megoldásának alapját s Koncentrál erővel terhelt rugalmas féltér Vsgáljunk eg olan síkkal határolt rugalmas testet, melnek mérete a terhelés hatásának ktett körneethe képest mnden ránban végtelen nagnak teknthetők. Terheljük a testet eg a határolósíkra merőleges koncentrált erővel (8.. ábra). Keressük a féltér tetsőleges pontjában a alakváltoás és fesültség állapotot, lletve a pont elmodulását. Können beláthatjuk, hog a feladat jellegénél fogva a féltér elmodulás-, alakváltoásés fesültségmeeje a F erő hatásvonalában felvett tengelre smmetrkus, aa a keresett mennségek nem függenek a ϕ,r, -vel jellemett hengerkoordnáta-rendserben a ϕ polársögtől. Tengelsmmetrkus esetben a rugalmasságtan alapegenlete egserűsődnek és a feladat - a síkbel fesültség hasonlóan - hengerkoordnáta-rendserben egetlen eg bharmonkus dfferencálegenlet megoldására veethető vssa. Vágjunk k a testből eg r ϕ r méretű térfogatelemet, melnek oldallapjan a 8.3. ábrán látható fesültségkomponensek hatnak. A smmetra matt a = é s = nírókomponenseknek nullával kell egenlőnek lennük. ϕr r ϕ ϕ ϕ A statka egensúl egenleteknek a r és ránú vetület egensúl egenletekből veethetjük le sn ϕ ϕ köelítés felhasnálásával: r rr ( r, ) r r ( r, ) + ϕϕ ( r, ) = 0 8.1/a r r ( r, ) r r ( r, ) + = /b r Jelöljük a féltér tetsőleges pontjának eltolódás-komponenset u ϕ (r,)-vel, u r (r,)-nél és u (r,). A smmetra követketében u ϕ (r,) = 0. Fejeük k a eltolódás-komponensekkel a nem nulla deformácó-komponenseket: u r ( r, ) ε rr = 8./a r ( r + u r ( r, )) ϕ r ϕ u r ( r, ) ε ϕϕ = = 8./b r r

98 75 ε ε r u r ( r, ) = 1 u r ( r, ) u ( r, ) = ε r = + r 8./c 8./d 8.1. ábra

99 ábra A fent geometra egenletek köül csak a másodk sorul magaráatra. A 8.4. ábrán látható r ϕ hossúságú elem sálnak a u r eltolódás és a smmetravsonok fennmaradása

100 77 követketében hossváltoást kell senvedne. Hasnáljuk fel a általános Hooke-törvént és fejeük k a fesültségeket a eltolódáskomponensekkel: 8.4. ábra = G u ϕϕ r r νe ν 8.3/a rr = G u r = G u r r νe ν + = = G u r r νe 1 - ν u + r ahol e = + + = u + u r + u r r r ε ϕϕ ε rr ε r Helettesítsük be eeket a (8.1) egensúl egenletekbe. Rendeés után: 8.3/b 8.3/c 8.3/d 8.3/e u r 1 u r u r u r 1 e r + = u r - u 1 e + = 0 r r r r 1 - ν r r 1 - ν r 8.4/a u 1 u u 1 e 1 e = u + = 0 r r r 1 - ν 1 - ν r 8.4/b ahol 1 = + + r r r dfferencáloperátor (a Nabla-operátor henger-koordnátarendserbel formája). A (8.4) egenletek tovább átalakításáho veessük be a p = p(r,) és q = q(r,) függvéneket, melekkel a eltolódásfüggvének a követkeő módon fejehetők k: u = p r + (1 - ν ) q r 1 - ν u = p - (1 - ν ) 1 q 1 - ν r r Eeket (8.5)-be helettesítve és rendeve: p e = + 1 p r r + p = p 8.7 r Helettesítsük be (8.6)-ot és (8.7)-et (8.4/b)-be. Rendeés után: /a 8.6/b

101 78 p 1 ( rq) r r = 0 mert 3 = = 3 r r r (8.4/a)-ba való helettesítés és rendeés után: 1 p + q = 0 r r mert r = r r r r r = r r r r 8.8/a 8.8/b (8.8/b) megoldását úg kapjuk, ha beveetjük a Φ(r,)-vel jelölt, Love-féle függvént, mellel Φ p = q Φ, =. 8.9 r Helettesítsük be eeket (8.8/a)-ba. Rendeve: Φ 1 Φ Φ + + Φ 0 = = 8.10 r r r A tengelsmmetrkus feladat megoldását tehát olan függvén megtalálása jelent, amel kelégít a fent bharmonkus dfferencálegenletet. Ilen függvén végtelen sok van. A megoldás nehésége abban áll, hog olan bharmonkus függvént kell találn, amel a feladat specáls kerület feltételet s kelégít. Bharmonkus függvénnek válasthatjuk a Φ = r, lnr, r lnr,,, 3, lnr, R = r + 1 R +,, ln, ln(r + ) stb. R R - függvéneket, lletve eek tetsőleges lneárs kombnácót. A Φ(r,) függvén smeretében (8.9)-cel és (8.6)-tal megkapjuk a elmodulásfüggvéneket: 1 Φ u r (r, ) = -, 8.11/a 1 - ν r u (r, ) = (1 - ) ν 1 Φ Φ /b 1 - ν 1 - ν majd a fesültségkomponensek (8.3) felhasnálásával: ν Φ ϕϕ = G Φ /a 1 - ν ν r r ν = G rr 1 - ν Φ - 1 Φ ν r 8.1/b

102 79 ν = G 1 - ν 1 Φ Φ - ν 8.1/c r = r = G(1 - ν) 1 - ν r 1 Φ Φ - 1 ν 8.1/d Termésetesen a fent össefüggések nemcsak a koncentrált erővel terhelt rugalmas féltér esetén, hanem mnden tengelsmmetrkus rugalmasságtan feladatnál érvénesek és alkalmahatók. Térjünk vssa a 8.. ábrán látható feladatra. Olan bharmonkus függvént kell keresnünk, amelnek felhasnálásával kapott fesültségek kelégítk at a kerület feltételt, hog a féltér felsínén - a támadáspont kvételével - a normálsú síkho tartoó fesültségkomponenseknek el kell tűnnük: r ( r ) ( r ), = 0 = 0,, = 0 = 0. r 0, 8.13/a r /b Válassuk a keresett függvénnek a Φ(r,)=C 1 R + C ln(r + )=C 1 r + + C ln( + r + ) 8.14 össefüggést, melben C 1 és C tetsőleges állandók. Fejeük k a eltolódásokat és a fesültségeket a fent függvén segítségével: 1 u = (C + C ) r 1 - R - C r r 1 3 ν R(R + ) 8.15/a 1 u = ((3-4 )C + (1 - )C ) R + (C + C ) ν ν ν 1 1 R /b ϕϕ rr = G (C + C ) R - 1 C ν R(R + ) 1 C νc = G + C1 1 - ν R(R + ) 1 ν R = -G C r = r = -G C 1 νc 3 ν R 1 - ν (C + C ) R ν (C + C ) 1 R 5 νc r 3 ν R 1 - ν (C + C ) r R /a 8.16/b 8.16/c 8.16/d

103 80 A (8.13/a) kerület feltétel automatkusan kelégül. A (8.13/b) feltételből C = C 1 - ν 1 ν adódk. Eel a ránú normálfesültségkomponens: 3 3G = - C1 5 ν(1 - ν) R. A C 1 állandó értékét abból a feltételből határohatjuk meg, hog a féltér eg tetsőleges = áll. síkján ébredő fesültségekből sármaó belső erőnek F erővel kell egensúlt tartana: F = 0 = F + r dr = -F - C 6 G 3 π rdr πg = F - C (1 - ) (r + ) (1 - ), π 1,5 1 ν ν ν ν R=0 ahonnan ν C = (1 - ν ) G F. 1 π Eel meghatárotuk a (8.14) függvén állandót. Nncs akadála annak, hog felírjuk a koncentrált erővel terhelt féltér eltolódás és fesültség függvénet. 0 u = F r 4 G R - (1 - ) r r 3 π ν R(R + ) 8.17/a u = F 4 G (1 - ) 1 ν + π R R /b = F ϕϕ ν π (1 - ) R R(R + ) rr = F 1 3r (1 - ν) 5 π R(R + ) R 8.18/a 8.18/b r 3 = - 3 F 5 π R = r = - 3 F r π R /c 8.18/d A fent össefüggéseket első leveetőjükről Boussnesq-formuláknak neveük. Elemeük a kapott eredmént. A F erő támadáspontjában valamenn fesültségkomponens végtelen értéket ves fel. A valóságban e nem követkehet be, mert a erő mndg eg véges nagságú felületen támad s ennek megfelelően a fesültség s véges nagságú les. A rugalmas féltér határolósíkján (R=r, =0) a erő támadáspontjának kvételével:

104 81 ν ϕϕ = - F 1 - π r ν, = F 1 - π r, = = 0. rr r A felület pontok síkbel fesültség állapotban vannak, ϕϕ és rr egben főfesültségek. A fesültség állapot vsgálatánál megtanultuk, hog a egenlő nagságú, de ellentétes értelmű normálfesültsé-gek a tsta nírás fesültség állapotának felelnek meg. A határoló-sík pontjanak elmodulása: u = - 1- ν r 4πG F r, 8.5. ábra u = 1- ν 4πG A koncentrált erő hatásvonalában (r = 0, R = ): ν ϕϕ = F 1- π ν, = F 1- π, = - F 3 π rr r r F r = = 0. A tengel pontja tehát térbel fesültség állapotban vannak, a három normálfesültség egben a három főfesültség. A 8.5. ábrán a fesültségkomponens eloslását ábráoltuk a tengel mentén és állandó 1, lletve mélségben. Eg tetsőleges P pont normálsú felületelemén ébredő és r komponensek alkotják a fesültségvektort. Ennek hatásvonala a P pont helvektorával párhu ábra amos, hsen a 8.6. ábráról és a (8.18) össefüggések alapján megállapíthatjuk, hog tg = = r r α, a fesültségvektor nagsága: = + r = 3 F π R 4

105 8 Tegük egenlővé a (8.18/a) kfejeést nullával és vegük fgelembe a snα = r/r és cosα = /R össefüggéseket: os α+ cosα -1 = 0. A egenletet megoldva, a 0 és 90 köött értékre α 1 = 51,83 - ot kapunk. A α 1 félnílássögű kúpon belül (8.18/b)-t nullával egenlő téve: cosα sn α(1 + cosα) = 1 ν. 3 ϕϕ potív, aon kívül negatív értéket ves fel (8.7/a. ábra). A α-ra kapott két gök a Posson-téneő értékétől függ. A rr fesültségkomponens a α félnílássögű kúpon belül és a α 3 félnílássögű kúpon kívül potív, a kettő köött pedg negatív (8.7/b. ábra) ábra Megjegeük, hog a Boussnesq-formulák csak koncentrált terhelés esetén érvénesek, a Sant-Venant-elv értelmében aonban alkalmahatók mnden statkalag egenértékű terhelés esetén a féltér aon pontjan, amelek elegendően távol vannak a teherátadás helétől A rugalmas félsík fesültség állapota A rugalmas féltér problémája a műsak gakorlatban soksor síkbel feladattá módosul. Ennek feltétele, ha - a 8.8. ábrának megfelelően - a vsgált test állandó vastagságú lemenek teknthető és a terhelés a leme síkjára merőleges ránban állandó. Ha a leme vastagsága nem túl nag, a ránú alakváltoás nem gátolt, eért a leme tetsőleges pontja síkbel fe- fesültség állapotba kerül.mvel a fesültség állapot -tól független, elegendő a leme köépsíkjának vsgálata. A fent feltételek-nek megfelelő feladatot a rugalmas félsík problémájának sokták neven.

106 83 A továbbakban - a leveetéseket mellőve - össefoglaljuk néhán fon-tos terhelés esetben a félsík, koordnátájú pontjanak Descartes koordnátarendserbel fesültség-komponenset. Koncentrált normálerő (8.9. ábra): = - F 4 πr, 3 = - F 4 πr, = = - F 4 πr, 8.19 ahol F - a lemevastagság egségn hossára eső koncentrált erő ábra Koncentrált níróerő (8.10. ábra): F 3 = -, 4 πr F = -, 4 πr F = = - 4 πr,. ahol F - a lemevastagság egségn hossára eső koncentrált erő. 8.0 Állandó teherntentású, felületen megosló normálerő (8.11. ábra): ábra

107 84 q π ϕ ϕ 1 = sn ϕ - sn ϕ q = - π ϕ - ϕ 1 sn ϕ - sn ϕ = q = [( sn ϕ π - snϕ )]. ( ) 1 1 ( ) ábra 8.1. ábra Állandó teherntentású, felületen megosló níróerő (8.1. ábra): 1 = - q ln r + 1 (cosϕ - cos ϕ1 ), π r = - q (cosϕ - cos ϕ1 ),. 8. π = π ϕ ϕ ϕ ϕ = - q (cos - cos 1 ) A fent össefüggésekben sereplő mennségek jelentése a ábrák alapján megállapítható. Össetett terhelés esetén a superpoícó elve alkalmaható Testek érntkeés helének körneetében fellépő fesültségek Ha két, görbült felületű testet össenomunk, akkor a érntkeés pont(ok) sűk körneete a nomógénbevétel hatására deformálódk és a érntkeés véges felületen jön létre. E felület nagsága aonban általában lénegesen ksebb a érntkeő testek geometra méretehe képest, eért a érntkeés felületen, lletve annak követlen körneetében jelentős nagságú fesültségek ébrednek. Tegük fel, hog a erőátvtel előtt a két test a ábrának megfelelően elméletleg eg pontban érntkek egmással. A érntkeés pontban a köös érntősíkra emelt merőleges a érntkeés normáls. Jelöljük R 1 -gel és R -vel a testek nagobbk fő gör-

108 85 bület sugarát, r 1 -gel és r -vel a ksebbk fő görbület sugarakat. Eg testnél a fő görbület köröket tartalmaó síkok, a fő görbület síkok egmásra merőlegesek. Jelöljük a két test fő görbület síkja által beárt hegessöget ϕ-vel. Ha a érntkeő testek felületét absolút smának tekntjük, a két test köött fellépő terhelő erő hatásvonala csak a érntkeés normálsba eshet. Műsak sempontból általában - a érntkeés felület alakjának és nagságának, - a érntkeés felület legnagobb normálfesültségének, - a érntkeő testek egmásho ábra vsonított elmodulásának smeretére van sükség. A fent kérdésekre a válast elősör H. Hert adta meg. A egmással érntkeő testeket a köös érntősíkkal határolt rugalmas féltérnek tekntette, E 1, ν 1 és E, ν rugalmas állandókkal. A össenomódás után a két test köött fellépő normálfesültség eloslása - a féltér terhelő erőrendsere - pedg a érntkeés felületre boruló ellpsod függvénnek vehető. A Hert-féle elmélet sernt a érntkeés felület legnagobb normálfesültsége a ellpss köéppontjában van, nagsága:,ma = 3 F abπ, 8.3 ahol a = n a 3 3 Fη, b = n k b 3 3 Fη k a érntkeés ellpss féltengelenek hossa, valamnt ν ν η = 1 Ē Ē, k = 1 R r + 1 R + 1 r 1 1, F - a két test köött ható normálerő. A érntkeő testek köeledése:

109 86 d = n d 3 (1,5F η ) k. 5.4 A n a, n b és n d téneők értéke tábláatokból vehető k, a előetesen ksámítandó Ψ = 1 k 1 R r R cosϕ r R r R r paraméter függvénében. 8.. Statkalag határoatlan serkeetek A statkalag határoottság, lletve határoatlanság kérdésével a merev testek statkájára vonatkoó tanulmánankban már foglalkotunk. Tudjuk, hog a statkalag határoott serkeetek smeretlen reakcóerőt és belső erőt a statka egensúl egenletek alkalmaásával egértelműen meghatárohatjuk. A len serkeeteknél a alakváltoás (feltéve, hog nem túl nag) nncs hatással a reakcók és belső erők alakulására, eért a serkeetek anagát merevnek teknthetjük. Statkalag határoatlan tartóknál a smeretleneket csupán statka esköökkel, a egensúl egenletekkel nem lehet meghatáron. A smeretetlenek sáma több, mnt a egensúl egenletek sáma, íg végtelen sok megoldás található. Eek köül a les a ténlegesen megvalósuló, amelnél a serkeet résenek alakváltoása kelégít a serkeet egésére vonatkoó geometra, össeférhetőség feltételeket (a kompatbltás feltételek nemcsak eg elem térfogatra, hanem a véges méretű serkeet elemekre s fennállnak). E at jelent, hog a statka egensúl egenletek mellé, geometra, alakváltoás egenletek csatlakonak - mndg ann, amenn a serkeet határoatlanságának foka, aa a plus smeretlenek sáma -, íg a össes keresett külső és belső erő egértelműen meghatároható. A egensúl és alakváltoás egenletek rendserét olan módon alakíthatjuk át, hog bennük vag csak a erők, vag csak a alakváltoás komponensek serepeljenek smeretlenként. A első megoldás képe a ún. erő-módsernek, a másodk a elmodulás-módsernek a alapját. E két módsert alkalmaák a legelterjedtebben a határoatlan serkeetek sámításánál. Eeket ddaktkalag és sámítógépes alkalmaás sempontjából gen résletesen kdolgoták, de mechanka tanulmánank keretén belül eek smertetésére sajnos nncs mód. A továbbakban a erőmódser alapján álló sámítás módserrel foglalkounk, amel gen hatékonan alkalmaható, ha a határoatlanság foka vsonlag alacson.

110 Törstartó kalakításának módsere E a módser mnden egserűsége mellett s nagon semléletes és ha statkalag határoatlan mennségek sáma nem túl nag, gen gadaságosan alkalmaható. A eljárás gondolatmenete a követkeő. A n-seresen határoatlan serkeetet statkalag határoottá alakítjuk úg, hog a határoatlanság fokának megfelelő sámú kénsert eltávolítunk belőle. Ha a határoatlanságot külső kénserek okoák, akkor aok sámát csökkentjük (pl. merev befogás helett csuklót alkalmaunk, vag teljesen eltávolítjuk a kénserek eg rését), belső határoatlanság esetén a serkeet valamelk kerestmetsetét sabadítjuk fel (a génbevételek sempontjából merev befogásnak teknthető kerestmetsetbe csuklót heleünk vag teljesen átvágjuk). Egdejű külső és belső határoatlanság esetén mndkét lehetőséget fel kell hasnáln. A fent elvek sernt kalakított statkalag határoott tartót a eredet tartó törstartójának neveük. A törstartón működtetjük a eltávolított kénsereknek megfelelő dnámokat (erőket, nomatékokat), s bár eek egelőre smeretlenek, úg sámolunk velük, mnt aktív erőkkel. A törstartó akkor les egenértékű a eredet tartóval, ha nemcsak a erőjáték, hanem a alakváltoás sempontjából s aonosan vselkedk. A statkalag határoatlan dnámok nagságát éppen abból a feltételből határohatjuk meg, hog olan alakváltoást kell a törstartóra kénserítenünk, mnt a eredet tartóé. Mndg ann alakváltoás feltétel fogalmaható meg, amenn a határoatlanság foka. A erőrendser jellegének megfelelő, statka egensúl egenletek és a alakváltoás feltételek egenletenek egüttes sáma íg éppen megegek a össes smeretlenek sámával. A egenletrendsert megoldva megkapjuk a reakcókomponensek értékét. Eg határoatlan serkeet törstartójának kalakítására általában több lehetőség s adódk. A törstartó jellegétől termésetesen nem függ a eredet tartó erőjátéka, a különbség csupán a alakváltoás feltételek megfogalmaásában van. Megemlítjük még, hog a alakváltoások sámításánál alkalmaott ks alakváltoások feltétele lehetővé tes a superpoícó elvének felhasnálását. Például a ábrán látható, két végén csuklóval ellátott rudat, amel a terhelés jellegétől követkeően egseresen határoatlan, úg alakít-hatjuk át statkalag határoottá, hog a egk csuklót eltávolítjuk és helén működtetjük a benne keletkeő, ábra egelőre smeretlen nagságú kénsererőt.

111 88 A rúdtengel ránára felírt vetület egensúl egenlet mellé at a alakváltoás feltételt kell megfogalmanunk, hog a rúd teljes hossa a alakváltoás során ugana marad (aa a húott rés megnúlása és a nomott rés össenomódása egenlő). A törstartó kalakítására általában több lehetőség s adódk. A 8.15/a. ábrán látható egseresen határoatlan tartó néhán törstartóját a alatta lévő ábrák mutatják. A első két esetben a kénsereket sabadítottuk fel. A b törstartón at a alakváltoás feltételt kell megfogalman, hog a A pontban a rúd végkerestmetsete nem fordulhat el (a F erő által okoott ϕ A sögelfordulást a M A nomatéknak kell ellensúlona). A c. törstartó alakváltoás feltétele a, hog a rúd B pontja függőleges ránban nem tolódhat el. A d. esetben a eredet tartót csukló bektatásával tettük határoottabbá. A két egensúl egenlet mellé. harmadk egenletnek at a alakváltoás 8.15 ábra feltételt kell megfogalmanunk, hog a csuklóba futó rúdvégek kerestmetsetenek sögelfordulása aonos. A ábrán látható tartó háromsorosan határoatlan. A törstartó kalakításának egk lehetősége a, hog a B megfogást teljesen eltávolítjuk. A alakváltoás feltételekben at kell előírn, hog a B pontban sem kerestmetset-elfordulás, sem függőleges vag vísntes ránú eltolódás nem keletkehet. A ábrán látható, belsőleg háromsorosan határoatlan keretet úg alakítjuk törstartóvá, hog a rúdserkeet valamelk kerestmetsetét átvágjuk. Ismeretlen dnámként a belső erő három össetevője fog serepeln. Eeket abból a alakváltoás feltételből határohatjuk meg, hog a átvágásho tartoó bal és jobb oldal rúdvégek kerestmetsetének elfordulása, valamnt a kerestmetset súlpontjának függőleges és vísntes ránú eltolódása megegek.

112 ábra Többtámasú, egenes tengelű, statkalag határoatlan tartók Támassunk alá eg egenes rudat eg álló és n-1 mogó csuklóval. A rudat terhelő erőkről tegük fel, hog aok hatásvonala a rúd hosstengelére merőleges és eg q() teherfüggvénnel adható meg (q() koncentrált erőt és nomatékot s repreentálhat) (8.18. ábra). A síkbel párhuamos erőrendsernek megfelelően két egensúl egenletet lehet felírn, a tartó íg (külsőleg) n--seresen határoatlan. n- támasreakcót csak a alakváltoások fgelembevételével lehet meghatáron. Ha eeket smerjük, a tartó génbevétel ábrát a sokásos módon rajolhatjuk meg ábra A reakcóerők meghatároásáho alkalmauk a törstartóvá alakítás módserét. Ehhe heleünk el a rúd támas felett kerestmetseteben eg-eg csuklót. Il módon a támasok felett kerest-metsetek hajlítógénbevételének megfelelő nomatékot, a ún. támas-nomatékot sabadítottuk fel. A eredet tartón a támasok felett kerestmetsetek elfordulnak. Alakváltoás követelménként at kell megfogalmanunk, hog a törstartón a támasho tartoó bal és jobb oldal rúdvégek sögelfordulásának meg kell egene. A konkrét sámításho válassuk k a tartó két egmás mellett támasköét (8.19. ábra). A csuklóbektatás lehetővé tes, hog a két támaskönek megfelelő tartórést két, a két

113 ábra végén csuklósan alátámastott réstartóra sedjük sét, melek terhelése egrést a eredet támasköök felett lévő q() teher, másrést a csuklóelheleés matt felsabaduló, egelőre smeretlen nagságú támas-nomatékok (8.19/b. ábra). A alakváltoás meghatároására alkalmauk a Mohr-féle analógát. Tegük fel a kéttámasú tartók helettesítő tartójára, amelek most önmaguk, a redukált nomaték ábrákat (8.19/c. ábra). A redukálásnál feltessük, hog eg támasköön belül a rúd kerestmetset mérete és anag mnősége nem váltok, tehát E = áll. I = áll. A Mohr-analóga alapján a helettesítő tartók A alátámastásaban ébredő A níróerő (reakcóerő) a eredet tartó ϕ A kerestmetsetének sögelfordulását jelentk. A helettesítő tartón a ϕ A níróerőt a A -1 és A +1 pontokra felírt nomaték egensúl egenletekből határohatjuk meg: M = 0 = T d A -1 E I -1-1 M = 0 = T A + 1 E I M E I L (L - d ) + M E I L 3 L + L 3 M E I M E I +1 L L L ϕ L A -1 L 3 + ϕ L A, ahol L - a -edk támaskö hossa, E - a -edk támaskö anagának rugalmasság modulusa, I - a -edk támaskö rúdkerestmetsetének másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, L-1 L a kéttámasúnak képelt tartósakasok külső 0 0 T = M ()d, T = M ()d

114 ábra terhelésből sármaó nomaték ábrának területe, d - a nomaték ábraterület súlpontjának távolsága a bal oldal támastól. A alakváltoás feltétel értelmében a bal és jobb oldal tartón ϕ A -nek meg kell egene. A fent két egenletből ϕ A -t kküsöbölhetjük, majd rendeés után megkapjuk a ún. háromnomaték egenletet: M -1 = -6T E L -1-1 I -1-1 d + M -1 E I L L -1 E I T L d E I L L E I. + M +1 L E I = 8.5/a

115 9 Általában be sokták veetn a L = T -1 d -1 és a R = T (L - d ) 8.6 jelölést. Eek nem mások, mnt a -edk támastól balra, lletve jobbra lévő meők külső terhelésből sármaó nomaték ábraterületenek statka nomatéka a -1-edk lletve a +1-edk támasfüggőlegesére. Abban a specáls, de gakran előforduló esetben, mkor a rúd anaga és kerestmetsete a tartó teljes hossa mentén váltoatlan, a háromnomaték egenlet egserűsödk, és ebben a formájában első megfogalmaójáról Claperon-egenletnek neveük: M L + M (L + L ) + M L = - 6L L - 6R L L és R értéke a leggakorbb terhelés esetekben tábláatokban megtalálhatók. A superpoícó elvének felhasnálásával össetett terhelésű tartók s sámíthatók. A n támasú tartóra n- háromnomaték egenlet írható fel. Eekkel a össes támasnomaték meghatároható, hsen a két sélső támas felett nomaték, mnt nomaték génbevétel statka esköökkel a sokásos módon sámítható. A támasnomatékok smeretében a támasokon ébredő reakcóerők a átmetsés elv alkalmaásával, aa a tartó alkalmasan résekre bontott elemenek egensúl feltételeből már egserűen meghatárohatók ábra A háromnomaték egenletek olan statkalag határoatlan tartók sámítására s alkalmahatók, melek egk vag mndkét vége befogott. Ilenkor a befogást a 8.0. ábrának megfelelően két, egmásho köel lévő támastással helettesítjük. Ig megnöveksk a felírható háromnomaték egenletek sáma, míg a smeretlenek sáma váltoatlan marad, hsen a sélső támasok felett nomatékok nem ébrednek. A sámítás során a L o 0 határátmenetet kell képen Castglano II. és Menabrea tételén alapuló módser Castglano II. tétele sernt a belső erők kegésítő potencáls energájának valamel dnám sernt parcáls derváltja egenlő a dnám támadáspontjának dnám ránú elmodulá

116 93 sával (erő esetén eltolódással, nomaték esetén elfordulással) (.119) össefüggés). Lneársan rugalmas anagnál a kegésítő belső potencáls energa egenlő a belső potencáls energával, a pedg - csak ks alakváltoásokat megengedve - a külső erők saját munkájával ((.13) össefüggés). Térbel rúdserkeet esetén, melnek lehetséges génbevétele normál-, níróerő, hajlító- és csavarónomaték, a külső erők saját munkáját a alapgénbevételeknél tárgalt résmunkák össegeként sámítjuk: ~ S 1 N ( ) ( ) ( ) U U W EA d 1 κt GA d 1 M 1 b = b = k = + + d + EI L 1 M ( ) 1 M 3 ( ) + d + d EI GI 0 L 0 L L L 0 T /a ahol a jelölések értelmeése megegek a 5. fejeetben alkalmaottakkal, lletve M 3 - csavarónomaték, I T - a kerestmetset torós másodrendű nomatéka. Síkbel rúdserkeetnél csak a első három tag marad meg: ~ U = U = W 1 S b b k L L κ 0 N () d + 1 EA T () + 1 L M 1 () d d GA EI = /b A műsak sámításokban soksor elegendő a hajlításból sármaó belső potencáls energa fgelembevétele, mert e mellett a normál- és níróerőből sármaó potencáls energa általában elhanagolható. A statkalag n-seresen határoatlan serkeet erőnek sámításáho határouk meg a eredet tartó törstartóját, és a statka egensúl egenletek felhasnálásával fejeük k a statkalag határoott reakcókat a külső erőkkel és a statkalag határoatlan, egelőre smeretlen reakcókkal. Eek felhasnálásával a kegésítő belső potencáls energát tehát a külső erők és a statkalag határoatlan reakcódnámok függvéneként írhatjuk fel: U b = U b = W S k = U ~ b (F, Y j ), 8.8 ahol F - smbolálja a össes külső terhelést (megosló és koncentrált erőket, nomatékokat), Y j - a statkalag határoatlan reakcódnámok (j = 1,,...,n). Mvel a kénsereknek éppen a a tulajdonságuk, hog a kénserdnám jellegének megfelelő mogáskomponenst nem engednek meg (esetleg előírt elmodulást btosítanak), a (8.8) függvén statkalag határoatlan reakcódnámja sernt vett dfferencálhánadosanak nullával vag a előírt értékkel kell egenlőnek lenne (végeredménben tehát nulla esetén a Menabrea-tételt, előírt, nem nulla érték esetén Castglano II. tételét alkalmauk):

117 94 ~ ~ δu b δ δy = 0 vag U b δy = u, j = 1,,..., n j 8.9 j j Ha a (síkbel) rúdserkeet olan elemekből áll, melnek rugalmasság modulusa és kerestmetsete legalább sakasonként állandó, akkor (8.7/b) kfejeés neveő, a rúd merevség jellemő, kemelhetők a ntegráljel elé és (8.9), lletve a láncsabál alkalmaásával a alább, sámítástechnkalag kedveő formát kapjuk: ~ L U b κ Y = 1 N N L d EA Y GA T T L 1 + d M M Y EI Y = 0 vag u j + =, j 0 j 0 j 0 j j = 1,,...,n Íl módon éppen ann egenletet kapunk, amenn a eredet tartó statka határoatlanságának foka és a statkalag határoatlan reakcódnámok eekből a egenletekből meghatárohatók. Eek smeretében a statkalag határoott reakcók a egensúl egenletekkel sámíthatók.

118 95 Felhasnált és ajánlott rodalom Budó Á. (1964): Mechanka. Tankönvkadó, Budapest. Cholnok T.: Mechanka II. (Slárdságtan). Tankönvkadó, Budapest, M. Csmada, B.- Nándor E. serk: Slárdságtan. Nemet Tankönvkadó. Budapest Hemeshof, B.: Spannungsberechnung für den gekrümmten Träger mt enfach-smmetrschem Querschntt. Hol- als Roh- und Werkstoff 31/1973. S Husár I.: Mechanka II. (Slárdságtan). Kérat, Gödöllő, Husár I.: Mechanka IV. (Alkalmaott mechanka). Kérat, Gödöllő, Kalsk S. - Kurutné, Kovács M. Mechanka (Elem slárdságtan), Kérat, Tankönvkadó, Budapest, Kalsk S. - Slág G.: Mechanka (Általános slárdságtan), Kérat, Tankönvkadó, Budapest, Mstéth E.: Többcélú létesítmének gadaságos méreteésének alapelve a valósínűségelmélet alkalmaásával. Doktor értekeés. Budapest, H. Neuber: Technsche Mechank (Elastostatk und Festgsketslehre). Sprnger-Verlag, Berln, H. Parkus: Mechank der festen Körper, Sprnger-Verlag, Wen, Pelkán J.: Slárdságtan. Tankönvkadó, Budapest, 197. S.D. Ponomarjov: Slárdságtan sámítások a gépésetben 7. Stabltás. Gumelemek. Műsak Könvkadó, Budapest, Sabó I.: Höhere technsche Mechank. Sprnger-Verlag, Berln/Göttngen/Hedelberg, H. Zegler: Mechank I. (Statk der starren und flüssgen Körper sowe Festgsketslehre). Brkhäuser-Verlag, Basel und Stuttgart, 196.