A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

Átírás

1 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI

2 A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM AIPA AFÖDI IPARFEJESZÉSI NONPROFI KÖZHASZNÚ KF. Fővállalkoó: EVICE KF.

3 Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar Írta: VÖRÖS GÁBOR FORBERGER ÁRPÁD ektorálta: BORBÁS AJOS A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Egetemi tananag 0

4 COPYRIGH: 0-07 Dr. Vörös Gábor Forberger Árpád Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar EKORÁA: Dr. Borbás ajos Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A serő nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal sabadon másolható terjesthető megjelentethető és előadható de nem módosítható. ISBN KÉSZÜ: a pote Kiadó gondoásában FEEŐS VEZEŐ: Votisk Zsusa ÁMOGAÁS: Késült a ÁMOP-4...A/-0/ sámú Egségesített jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés című projekt keretében. KUCSSZAVAK: Rugalmasságtan alapegenletei virtuális munka elve alakváltoási energia végeselem módser merevségi mátri tömegmátri geometriai merevség rácsos serkeet rúdelemek másodrendű rúdelmélet síkfeladatok. ÖSSZEFOGAÁS: A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a mérnöki terveés modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A elméleti megalapoó beveető fejeetek röviden bemutatják a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét és végeselem módser elmodulás módser alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok leveetését. A jeget résletesen tárgalja a mérnöki gakorlatban fontos rúd véges elemeket a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemet és a hajlított gerenda elemet. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek statika dinamika stabilitás megismerését és megértését. A áró fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült végeselem softver felhasnálók kiképése.

5 artalom Beveetés... 7 Fontosabb menniségek jelölése...0 A rugalmasságtan alapegenletei.... okális egenletek..... Alakváltoások geometriai egenletek Fesültségi állapot egensúli egenletek Anagtörvén Peremfeltételek okális egenletek össefoglalása Példa: Sík leme mogása.... Globális modell a virtuális munka elve Példa: Raklap terhelése Példa: Rugalmas kötél lehajlása Példa: áncrendser mogásegenlete Silárd test alakváltoási energia növekméne A virtuális munka elve A teljes potenciál sélsőérték elve Kedeti fesültségi állapot Rúdelemek egenletei A Euler Bernoulli rúdelmélet A virtuális munka elve A Raleigh-Rit módser Példa: Rúd megosló terheléssel Dinamikai feladatok sabad lengések Példa: Hajlító lengés Nomott rúdelemek kihajlása Példa: Egenes rúd kihajlása Példa: A másodrendű elmélet A imoshenko féle rúdelmélet Példa: Nírási elmodulás A níró terület A St Venant féle csavarási modell Csavarási másodrendű nomaték A csavaró/níró köéppont A virtuális munka elve A végeselem-módser egenletei Elemek mátriok Interpoláció Elem mátriok Kinematikai peremfeltételek ámaserők és belső erők sámítása Végeselem analíis ineáris statika...75 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

6 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 4.. Másodrendű statika Kritikus terhelés Sabad lengések sajátfrekvenciák Másodrendű dinamika Gerjestett mogások Rúdserkeetek végeselem modelljei Csuklós végpontú rúdelem Elem mátriok Síkbeli rácsos serkeet Példa: Síkbeli rácsos serkeet Hajlított rúdelem Elmodulás interpoláció Elem mátriok A rúdelem igénbevételei Példa: Statikus terhelés Példa: Kritikus terhelés Példa: Sabad lengések Síkbeli rúdserkeet Példa: Keret hőterhelése A imoshenko rúdelem A St Venant féle csavarási modell érbeli keretserkeet ransformációk... 6 Síkfeladatok Síkfesültségi állapot Sík alakváltoási állapot Síkfeladatok végeselem modelljei ineáris háromsögelem Példa: Sík leme peremterhelése ineáris négsög elem Magasabbrendű elemek Háromsög elemek Négsög elemek A. Függelék Mátrisámítás Forberger Árpád Vörös Gábor BME

7 Beveetés A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban egetemi hallgatóknak sól de gakorló mérnököknek is hasnos és a lineáris mechanikai rendserekre alkalmaható módser egséges és résletes leírását adja. A rugalmasságtani alapelvek és a elméleti háttér ismertetésének célja a hog a olvasók nag bitonsággal hasnálják értékeljék és minősítsék a kereskedelmi forgalomban beserehető végeselem eljárást is alkalmaó programrendsereket. A elmúlt köel két évsáad során a klassikus mechanika területén több a mérnöki gakorlatban hasnálható numerikus eljárást dolgotak ki. Eek eg csoportja a lokális egenletek a kontinuum viselkedését leíró parciális differenciálegenlet rendserek követlen megoldására solgált mint például a véges differencia módser. A numerikus eljárások eg másik rése a globális elvek a energetikai sélsőérték - stacioner érték - elvek direkt megoldását een belül a Raleigh-Rit módser különböő válfajait alkalmata. Een módserek alkalmaása a bonolultabb alakú testek alkatrések esetén igen komol nehéségekbe ütköik. A végeselem eljárás alapgondolatát a foltonos rendsereknek a diskrét véges sabadságfokú elemek rendserével történő helettesítését már régóta hasnálják a fiikai és mérnöki feladatok numerikus megoldására. Erre jellemő példa a egenes rudakból álló tartóserkeetek visgálati módsere ami többek köött Mawell (864) Castigliano (879) vag Mohr (868) munkáságának rése. A legelső ismert publikáció ami a bonolult tartománok réstartománokra bontását aokon belül pedig lineáris interpolációt és a energetikai sélsőérték elveket egütt alkalmata Cuorant (943) nevéhe fűődik aki a nem kör kerestmetsetű rudak sabad csavarási feladatát a potenciális energia sélsőérték elve alapján visgálta úg hog a tetsőleges alakú kerestmetsetet olan háromsög réstartománokra bontotta meleken belül a megoldás lineárisan váltoik. A minőségi váltoás feltételeit a digitális sámítástechnikai esköök fejlődése és séleskörű elterjedése tette lehetővé. A végeselem módsert a ma ismert formájában Clough urner és serőtársaik [] publikálták. (956 Boeing and Bell Aerospace) Náluk jelentek meg elősör a végeselem (finite element) csomópont (node) és csomóponti váltoó fogalmak és kifejeések is. A első alkalmaás kifejlestésének célja repülőgép sárnserkeetek dinamikai és silárdsági visgálata volt. A módser nilvánvaló sikere és hatékonsága továbbá a sámítástechnikai esköök fejlődése intenív kutatásokat indított be aminek eredméneként ma már a végeselem eljárást a mérnöki fiika legkülönböőbb területein hasnálják alkalmas többek köött lineáris és nemlineáris mechanikai áramlástani hőtechnikai akustikai jelenségek modelleésére időben állandó vag traniens folamatok simulációjára. Matematikusok tistáták a eljárás konvergenciájával pontosságával kapcsolatos problémákat és eel egütt több ma már klassikusnak sámító könv jelent meg mint például Forberger Árpád Vörös Gábor BME

8 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Zienkiewic [8] és Premieniecki [5] művei amelek még ma is korserűnek és hasnosnak bionulnak. A 980-as években megjelentek a első magar nelvű [0] [4] [5] egetemi jegetek és sakkönvek is. Mindeek eredméneként napjainkra a mérnöki terveő - elemő munka résévé váltak a végeselem eljárást valamilen sinten alkalmaó softverek. Eek köött vannak a sok elemtípust és analíis lehetőséget tartalmaó általános célú végeselem programrendserek melek a legkülönböőbb mérnöki feladatok megoldására is alkalmasak (NASRAN ANSYS MARC COSMOS ABACUS stb.). Igen hasnosak a serkeettípusra orientált rendserek melekkel csak eg féle serkeetet például ipari csőveetékeket (CAEPIPE) vag acél vasbeton váserkeeteket (FemDesign AXIS) lehet terveni visgálni. A kereskedelmi forgalomban beserehető progranrendserek megbíható intelligens hasnálatáho és a kisámított eredmének értékeléséhe a rendser keelésének ismeretén túl alapos saktudásra is sükség van aminek hiánában a felhasnálónak a softver csak eg árt titokatos dobo. A végeselem eljárást eredetileg serkeetek mechanikai visgálatokho alkalmaták és ebben a jegetben is a lineáris rugalmasságtani feladatokon kerestül mutatjuk be a módser elemeit. A jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A beveetést követő első fejeet röviden bemutatja a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét. Ennek csak a a célja hog a előtanulmánok során megserett ismereteket egséges sóhasnálat és jelölésrendser alkalmaásával felidéük. A második fejeet résletesebben foglalkoik a járműserkeetekben fontos rúdelméletekkel a mérnöki gakorlatban általánosan hasnált Euler-Bernoulli elmélettel a nírás hatását pontosabban leíró imoshenko féle rúdmodellel. Ugane a fejeet résletei és több numerikus példával illustrálja a virtuális munka elvének egik köismert direkt numerikus megoldási módserét a Raleigh-Rit módsert. Eek a megoldott feladatok segíthetik a virtuális munka elvének és a direkt numerikus módserek - beleértve a végeselem eljárást is - matematikai hátterének megértését. A harmadik fejeet a virtuális munka elvére alapuló végeselem módser - elmodulás módser - alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok bemutatását és leveetését foglalja össe. A negedik fejeet a rúdserkeetek végeselem modelleését ismerteti. Résletes leírás található a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemről valamint a hajlított gerenda elemről. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek - statika dinamika stabilitás - megismerését. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

9 . BEVEZEÉS 9 A ötödik fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. öbb kidolgoott feladat és a sok ábra támogatja a bemutatott elméletek megértését és a alkalmaási késség fejlestését mivel eg jó ábra felér több sá magaráó sóval. E a jeget nem eg enciklopédia ami a végeselem módser keretében hasnálatos vag ismert technikákat résletesen ismerteti továbbá nem cél a végeselem programfejlestői ismeretek átadása. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült softver felhasnálók kiképése. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

10 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Fontosabb menniségek jelölése A rúdelem kerestmetsete C rúd kerestmetset köéppontja C rugalmas anag jellemőinek mátria E rugalmassági modulus G csústató rugalmassági modulus G nag alakváltoások másodfokú rése H nag alakváltoások mátria I I rúd kerestmetset fő másodrendű nomatékok J csavarási másodrendű nomaték K rendser lineáris merevségi mátria k e K G M m e M t M M N N i N p P p p q elem lineáris merevségi mátria rendser geometriai merevségi mátria rúdelem hossa rendser tömegmátria elem tömegmátria rúd csavaró igénbevételei rúd hajlító igénbevételei rúd húó igénbevétele interpolációs (forma) függvének interpolációs (forma) függvénmátri felületi terhelés rendser csomóponti terhelések mátria megosló terhelés térfogati megosló terhelés kerestmetset níró/csavaró köéppontja transformáció mátria Forberger Árpád Vörös Gábor BME

11 . BEVEZEÉS U alakváltoási energia u elmodulás mátri u v w rúd tengel elmodulásai u u u elmodulás koordináták V V rúd níró igénbevételei W k külső erők munkája csavaró/níró köéppont koordináták kritikus (stabilitásvestési) terhelés soró níró fesültségek 0 σ kedeti fesültségek mátria γ γ γ Δ i Δ Δ G ε ε * ε ε ε θ θ θ ξ Π ρ σ σ σ σ Φ j ω j fajlagos sögváltoások csomóponti sabadságfokok mátria hőmérséklet váltoása Hőmérsékletváltoás gradiense kis alakváltoások mátria nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás fajlagos núlások forgás koordináták dimeniótlan hoss koordináta teljes potenciál tömegsűrűség fesültségek mátria normál fesültségek sajátvektorok (lengéskép stabilitásvestés alakja) sajátfrekvenciák Forberger Árpád Vörös Gábor BME

12 A rugalmasságtan alapegenletei Ebben a fejeetben bemutatjuk a lineáris rugalmasságtan alapvető menniségeit és röviden össefoglaljuk a alapegenleteket. A klassikus rugalmasságtannal résletesen foglalkoó könvekből további fontos résleteket lehet megismerni érdemes megemlíteni például a jól ismert imoshenko - Goodier [6] vag a magar nelvű [0] [3] könveket. A külső terhelés hatására a silárd test moog és megváltotatja a alakját et jellemi a elmodulás vektor és a alakváltoások. Uganakkor kialakul a belső erőrendser a fesültségi állapot. A mechanikai sámítások célja hog meghatároa een menniségek a terhelések és a elmodulás alakváltoás és fesültségi állapot kapcsolatát. A külső terhelés lehet statikus időben állandó vag nagon lassan váltoó kváistatikus. Gorsan váltoó terhelés hatására a serkeeti válasok - mogás fesültségek stb. - is időben váltonak et neveük dinamikai hatásnak. A test mogása a alakváltoás mértéke jellege függ a anagi tulajdonságoktól. A test rugalmas ha a külső terhelések megsüntetése után aonnal vissaneri eredeti alakját és lineárisan rugalmas ha terhelés és a alakváltoás visona eg lineáris aránossággal írható le. A képléken alakváltoások jellemője hog a serkeet tehermentesítése után maradó alakváltoásokat éslelhetünk. ovábbi fontos anagtulajdonság a aniotrópia. A test aniotrop ha eg pontban a anagjellemők különböő iránokban mérve váltonak. A kompoit sálerősítésű anagok a fa jellemően aniotrop tulajdonságúak. A iotóp testeknél a anagjellemők irántól függetlenek. Ha a anagjellemők a test különböő pontjaiban aonosak akkor a test homogén ellenkeő estben inhomogén. Eg kontinuummechanikai feladat matematikai modelljét két módon lehet megfogalmani: parciális differenciálegenletekkel vag globális érvénű határoott integrál formájú elvek alakjában. A előbbit lokális (angolul strong form) a másodikat globális (angolul weak form) matematikai modellnek nevehetjük. A globális modell alapvető fontosságú a numerikus módserek een belül a végeselem módser alkalmaásánál. E a jeget a lineárisan rugalmas homogén és iotrop anagú kismértékű mogásokat és kis alakváltoásokat végő serkeetekkel foglalkoik.. okális egenletek Ebben a fejeetben röviden áttekintjük a silárd test mogásának leírására alkalmas lokális formájú egenleteket. A lokális egenletek algebrai és parciális differenciál egenletek melek eg anagi pont kis körneetének mechanikai viselkedését alakváltoását fesültségi állapotát írják le. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

13 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 0 t A p t A u r V P q p u P. ábra. A silárd test terhelései és mogása A visgált silárd test - kontinuum - a tér V rését foglalja el. Külső A felületének A p résén a felületi p megosló terhelések a A u jelű résén pedig a mogás kénserfeltételek adottak. A mechanikai terhelések - a p felületi és a q térfogaton megosló terhelések valamint egéb külső hatások (pl. hőmérsékletváltoás) követketében a test pontjai elmodulnak alakja megváltoik és belső erők jönnek létre... Alakváltoások geometriai egenletek Eg P anagi pont elmodulását a eredeti heletéhe visonítva a u elmodulás vektorral adhatjuk meg aminek a koordináta tengelek iránába mutató komponensei u u és u (. ábra). Általában eek a koordináták a anagi pont eredeti heletét megadó térkoordináták és a idő függvénei: u(t): u u u u (0.) A áttekinthetőség kedvéért kedjük a alakváltoások visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A.. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A alakváltoás a somsédos anagi pontok köötti távolságok és a sögek váltoását jelenti. A mérnöki gakorlatban hasnálatos fajlagos núlás definíciója hossváltoás ds d ds (0.) ere det i hoss d d Forberger Árpád Vörös Gábor BME

14 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d C O B A u d d u α O C u d d u d α A B u d u d. ábra. Elemi kocka alakváltoása A γ fajlagos sögváltoás a eredetileg merőleges ds és ds anagi vonalelemek köötti sög megváltoása (a. ábrán γ = α + α ) ami poitív ha a deformált alakaton a sög hegessög les. A áttekinthetőség kedvéért kedjük a elmodulások és a alakváltoás jellemők visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A eredetileg d hossúságú O A sakas hossa: u u u ds u u ds d d d d majd felhasnálva a fajlagos núlás (0.) definícióját u u u Ha a fajlagos núlás kicsi akkor a baloldalon a másodrendű tag nagságrendi megfontolás alapján elhagható és ekkor u u u.. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

15 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 Ha a elmodulás vektor koordinátái és a deriváltjai is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u. Most sámítsuk ki a eredetileg merőleges d és d iránok köötti deréksög megváltoását! A. ábra jelöléseivel: sin sin sin cos sin cos u d u d u d u d ds ds. ds ds Ismét felhasnálva a fajlagos núlás (0.) és a fajlagos sögváltoás definícióit átrendeés után: sin u u u u u u. Ha a fajlagos núlások és a sögváltoások is kicsik akkor a másodrendű tagok a egenlet bal oldalán elhanagolhatóak u u u u u u továbbá ha a elmodulás koordináták és deriváltjaik is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u u. Eek után ha a.. ábrán a síkra merőleges u elmodulással is sámolunk belátható hog a hat alakváltoási jellemő - három iránú núlás és három sögváltoás - a úgneveett Green-agrange féle H alakváltoások tenorának koordinátái a követkeő formában írhatók fel: ahol ε a alakváltoások lineáris H ε G (0.3) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

16 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ε u u u u u u u u u és G a quadratikus rése: (0.4) G G G G G G G G G G u u u u u u u u u G u u u u u u u u u G (0.5) u u u u u u G u u u Mérnöki serkeeteknél ha a fajlagos núlások nagságrendje 0-3 vag még kisebb akkor a (0.3) geometriai egenletekből a másodfokú tagok elhaghatók H ε (0.6) A (0.3) H és a (0.4) ε alakváltoási jellemők fontos tulajdonsága hog értékük érus ha a test ugan moog de alakja köben nem váltoik. Et neveük merevtest (serű) mogásnak. A (0.) definícióval a alakváltoási jellemőket a kedeti állapotho (konfigurációho) tartoó és térkoordinátákkal és a kedeti méretekhe visonítva határouk meg. Et a kontinuummechanika agrange féle a leírás módjának neveik semben a Euler féle leírással ahol a alakváltoásokat a anagi pont pillanatni heletét megadó koordinátákkal és a deformált méretekhe visonítva adjuk meg. E utóbbi eljárás elsősorban a foladékmechanikában hasnálatos. Kis alakváltoások estén a kedeti és a pillanatni konfiguráció jó köelítéssel egbeesik és a (0.5) lineáris geometriai egenletet hasnálhatjuk... Fesültségi állapot egensúli egenletek A külső terhelések hatására a testben belső erőrendser fesültségi állápot alakul ki amit eg anagi pont körneetében kilenc - amiből hat különböő - fesültség komponens ad meg. A.3. ábrán láthatóak eg elemi méretű kiskocka három koor- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

17 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 7 dináta síkokkal párhuamos oldallapjaira ható fesültségek a síkra merőleges normál és a páronként aonos síkban lévő níró fesültségek..3 ábra. Fesültségi állapot koordinátái A testből bármilen módon kivágott elemi résre a egensúl feltétel teljesül. A.3 ábrán látható kiskocka köepén átmenő tengelekre felírható nomatéki egensúli feltételek követkeméne a níró fesültségek dualitása: = = =. A kilenc fesültség koordináta köül a hat különböőt írjuk fel a követkeő mátri formában: σ (0.7) A iránú vetületi egensúli egenlet a.4 ábra jelöléseivel ahol a d d és d oldalméretű elemi test oldallapjaira csak a iránú fesültség komponenseket és a q térfogati erőhatást rajoltuk be a követkeő formában írható fel: ddd d dd d dd qddd 0 q 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

18 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d d τ σ d d q d τ d.4 ábra. Elemi kocka egensúla A másik két vetületi egenlet hasonló módon írható fel. Végül a három vetületi egensúli egenlet a q térfogaton megosló erővel egütt a követkeő les: q 0 q 0 q 0. (0.8) Gorsan mogó testek visgálatánál a terhelések köött figelembe kell venni a tehetetlenségi erőket is. A d Alambert elv serint a statikai egensúli feltételek formálisan érvénesek maradnak ha a testre ható erőrendsert kiegésítjük a tehetetlenségi erőkkel. Például eg mogó m tömegű pontserű testre F ma = 0 a formális egensúli egenlet ahol a jelöli a gorsulást. Ennek megfelelően dinamikai feladatokho a (0.8)egenletben a testre ható erőrendsert ki kell egésíteni a térfogaton megosló tehetetlenségi erővel: q u qu q u (0.9) q u ahol ρ a test tömegsűrűsége és ü a elmodulás idő serinti második deriváltja a gorsulás vektor. Mogás köben a test mérete váltoik. A kedeti alakváltoás előtti felületekre vonatkotatott fesültségek a úgneveett II. Piola-Kirchhoff féle fesültségtenor koordinátái ami általában eltér a mogás köben váltoó felületre vonatkotatott Forberger Árpád Vörös Gábor BME

19 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 9 valódi fesültségektől. Aonban ha a mogások és a alakváltoások kicsik és a (0.5) köelítés alkalmaható a kétféle fesültség értelmeés köötti eltérés is elhanagolható. A alakváltoási és fesültségi állapot pontos leírásának módjairól résletesebb leírás található a [6] [0] [] és [3] könvekben...3 Anagtörvén A anagtörvén a fesültségek és a alakváltoások köötti kapcsolatot adja meg. Rugalmas testre e a kapcsolat egértékű. ineárisan rugalmas testek anagtörvéne a Hooke törvén ami a kis alakváltoások esetén a követkeő lineáris mátri egenlet formájában írható fel: * * * * * σ Cεε Cεσ C * (0.0) * * A C eg simmetrikus 66 méretű mátri ami at jelenti hog a legáltalánosabb aniotrop tulajdonságú rugalmas testnek anagjellemője lehet. A iotóp rugalmas testnek csak két független anagjellemője van és ekkor a C anagjellemő mátri is egserűbb serkeetű: c c c E c c c c c c c E C c c3 0 0 (0.) c3 0 E c3 G c3 ahol E a rugalmassági modulus G a csústató rugalmassági modulus és ν a Poisson vag kontrakciós téneő. Érdemes megemlíteni hog össenomhatatlan testekre ν = 05 és ilenkor mindig (ε + ε + ε ) = 0. A (0.0) anagtörvén invere: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

20 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI * ε C σ ε ν ν ν ν ν ν b ν E b b b C Egserűen ellenőríhető hog C - C = I ahol I a 66 méretű egségmátri. (0.) A (0.0) anagtörvénben ε * a nem követlen mechanikai hatások követketében kialakuló alakváltoások mátria. Ilen lehet például a hőmérsékletváltoásból vag valamilen más technológiai okból - sáradás fáisátalakulás stb. - bekövetkeő alakváltoás. Iotrop minden iránban aonos hőtágulási tulajdonság esetén * ε (0.3) ahol α a lineáris hőtágulási egüttható és Δ a test hőmérsékletének váltoása...4 Peremfeltételek A mechanikai egenletek fontos elemei a peremfeltételek. A testet határoló külső A felület minden pontjában meg kell adni vag a mogások vag a felületi terhelések értékét. A peremfeltételek heles megadása a modellalkotás egik legfontosabb rése. A kinematikai peremfeltételekkel a A felület A u résén a test megtámastását esetleg a eges felületrések előírt mogását adjuk meg: u u u u u u u u P A. (0.4) u A felüljelés előírt mogás értéket jelent. Rögített pontokban vag felületréseken a előírt értékek érusok. A dinamikai peremfeltételek a test külső A felületének A p résére működő terhelések és a belső erőrendser a fesültségi állapot kapcsolódásának törvénserűséget írják le. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

21 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI c n -τ p a -τ -σ.5 ábra. etraéder egensúla A.5 ábrán a A p felületen lévő anagi pont körneetét ábráoltuk ahol a tetraéder ferde oldallapja a A p felület rése. Jelölje a koordinátatengelekre merőleges oldalak és a negedik oldal területét n pedig a negedik oldal kifelé mutató normális egségvektorát: bc ac ab n / n n / n =. n / Eek a össefüggések egserű geometriai sámításokkal igaolhatóak. A tetraédernek a test belsejében lévő felületeire a fesültség komponensek a A p felületen lévő oldalára pedig a p felületi terhelés működik. Írjuk fel a iránú erőhatások egensúlát kifejeő vetületi egenletet: p 0. Átrendeés után figelembe véve a n normális vektor koordinátáira felírt eredméneket is megkapjuk a alábbi három dinamikai peremfeltétel köül a elsőt ahol a további két feltételt - a és iránú egensúli egenletekből - hasonló módon írhatjuk fel: b n n n p n n n p n n n p. (0.5) A test terheletlen sabad felsíne a A p felület rése ahol a előírt külső terhelés p = 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

22 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI..5 okális egenletek össefoglalása Amint at a előőekben láthattuk a kontinuummechanika és een belül a lineáris rugalmasságtan lokális egenleteit három csoportba sorolhatjuk: a (0.4) geometriai egenletek a alakváltoások és a test mogásának kapcsolatát adják meg a Newton aiómából követkeő (0.7) egensúli egenletek vag mogásegenletek a külső és belső erők kapcsolatát írják le és a harmadik egenlet csoport a fesültségek és alakváltoások kapcsolata a anagtörvén (0.9). Eekhe tartonak még a (0.) és (0.3) peremfeltételek. Általában eg serkeetmechanikai feladat megoldásáho mind a három egenletcsoportot fel kell hasnálni. (Kivételnek sámítanak a statikailag határoott feladatok ahol a egensúli egenletek önmagukban elegendőek a külső és belső erők köötti össefüggések felírásáho) A alábbi tábláatból látsik hog a lokális megfogalmaásban a ismeretlenek és egenletek darabsáma aonos. Egenletek sáma Ismeretlenek sáma Geometriai egenletek 6 Elmodulás vektor u u u Alakváltoási tenor ε ε ε γ γ γ 3 6 Egensúli egenletek 3 Fesültségi tenor 6 Anagtörvén 6 Össesen 5 5 A pontos megoldást amel a össes egenletet és peremfeltételt kielégíti a mérnöki gakorlatban előforduló esetek döntő résénél nem lehet meghatároni. Ilenkor van sükség a köelítő numerikus módserekre amelek többnire a globális integrál formában kifejeett elvekre például a virtuális munka elvére épülnek...6 Példa: Sík leme mogása Ismerjük a.6 A ábrán váolt aa méretű és t vastagságú lemeben a (0.) u elmodulás vektor koordinátáit: u k u k / u k mm 5 00 mm 5 mm 0 MPa ν 05. a t E Rajoljuk meg a leme deformálódott alakját és sámítsuk ki a oldallapokra és a leme térfogatára ható erőrendsert ami et a alakatot létrehota. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

23 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 A.6 B ábra mutatja a leme deformálódott alakját ahol a = a = a koordinátájú sarokpont elmodulásai: u ka 0 0 mm u ka / 0 0 mm u 0. A: B: ka a ka / a a.6 ábra. Sík leme alakváltoása (nem arános válat) A terhelések meghatároásáho előbb a alakváltoásokat majd a fesültségeket kell kisámítani. A geometriai egenletekből: u u u u k -k k 0 és a (0.0) Hooke törvénből a érustól különböő fesültség koordináták: E E c c k c c k E Gk k. A (0.5) dinamikai peremfeltételekből meghatárohatjuk a leme oldallapjaira ható felületi nomásterheléseket. A = a oldallap kifelé mutató normális egségvektorának koordinátái: n = 0 n = n = 0 és a (0.5) peremfeltételből een a lapon: Ek Ek p 0 6 p a3 MPa p 0. Hasonló módon a = 0 lapon n = 0 n = - n = 0 Ek p 0 6 p 0 p 0 a = a lapon n = n = 0 n = 0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

24 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Ek Ek p 0 3 p a6 MPa p 0 és végül a = -a lapon n = - n = 0 n = Ek p 6 MPa 0 p a p. Eek a perem terhelések láthatóak a.7 ábrán. A lemere ható térfogati erőt a (0.8) egensúli egenletekből sámíthatjuk ki: q 0 0 q 0 Ek Ek q 0 q 0 q 0 0 q 0. Ebből a térfogati erőhatás egetlen nem érus koordinátája: Ek 3 q 06 N/mm. -6 MPa 6 MPa -3 MPa -3 MPa 3 MPa 06 N/mm 3 6 MPa 6 MPa -6 MPa 6 MPa.7 ábra. Sík leme terhelése Végeetül ellenőrihetjük hog a.7 ábrán megadott erőrendser valóban egensúli.. Globális modell a virtuális munka elve Eg erő munkája a erő és a iránába eső elmodulás sorata. Pontosabban eg F erő a vele párhuamos ds mogás köben dw Fds munkát vége. Ha e a F mint eg külső erő terhelés valamilen mechanikai rendserre működik akkor a rendser mogása alakváltoása köben a belső erők is végenek munkát ami Forberger Árpád Vörös Gábor BME

25 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 munkavégő képesség energia formájában tárolódik a rendserben. Et a energiát gakran alakváltoási energiának is neveik. s δs F.8. ábra. Húóerő munkája belső energia A külső erő munkája és a energia váltoásának visonát visgáljuk elősör a.8. ábrán látható igen egserű mechanikai rendseren. A rúdra a F erő működik és ismerjük a egensúli heletet megadó megoldást: a belső erő (rúderő) R = F és a megnúlás s = kr. Ebből a egensúli heletből - képeletben - modítsuk ki a rendsert eg kicsi ds elmodulással. Et a kis elmodulást virtuális elmodulásnak neveük. A külső erőnek a virtuális elmoduláson végett dw k = Fds virtuális munkája megegeik a rugóerő virtuális munkájával ami a belső vag alakváltoási energia du = Rds megváltoása aa du - dw k = 0. E nílván csak akkor iga ha a eredeti állapot egensúli volt aa R = F. ehát a egensúli heletre jellemő hog 0 dπ d U W Π s etrémum k (0.6) más sóval a Π(s) teljes potenciál a s elmodulás függvéne és a egensúli heletben sélsőértéke van: dπ dπ dπ ds 0 0 ds ds. A (0.6) a virtuális munka elve amit most a követkeő formában lehet megfogalman: a a elmodulás aminél a teljes potenciál megváltoása érus teljesíti a egensúli feltételeket. Fontos megjegeni hog e a megállapítás akkor is iga ha rugó nemlineáris k = k(s) vag a s eredő megnúlásnak van maradó núlás rése is. Ha a.8. ábra serinti rugó lineárisan rugalmas akkor a k értéke állandó és akkor a belső erő virtuális munkája vag más sóval a alakváltoási energia megváltoása s du Rdsksdsdk. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

26 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI.. Példa: Raklap terhelése A.9 ábrán látható merev raklap nég sarkát egforma rugókkal támastjuk meg. A sarokpontok csak függőleges iránba mooghatnak. A raklap adott pontjában működik a F erő. Határouk meg a raklap mogását és a rugókat terhelő erőket. A merev lap kismértékű függőleges mogását három paraméter - a sabadságfokok - határoa meg. egenek eek a A jelű sarokpont w mogása és a koordináta tengelek körüli α és β forgások. Eel a támasrugók megnúlásai A w B wh C wh D w. A w β α F F D F C H B A megoldásho a teljes potenciál.9 ábra. Raklap terhelése Π U Wk etrémum alakú sélsőérték elvét hasnáljuk fel. A rugórendser össes alakváltoási energiája és a terhelő erő munkája U ka B C D Wk FwF F ahol k jelöli a rugóállandót. A teljes potenciál most eg háromváltoós függvén Π w U Wk k A B C DF wf aminek a sélsőértékénél (etremális pontjában) a váltoók serinti parciális deriváltak értéke érus. E három egenletet jelent amiből a első: Π A B D 0k A B C C D F 0 w w w w w és a rugó megnúlások helettesítése után: F Forberger Árpád Vörös Gábor BME

27 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 7 4w H F / k. Hasonló módon a második és harmadik egenlet: Π 0 w H F F / k Π 0 w H F F / kh. A három egenletből álló lineáris egenletrendser megoldása: F F F w 3 4k H. F F F F. k kh H Eek után meghatárohatjuk a rugóerőket: F F F F F F RA ka 3 RB kb 4 H 4 H F F F F F F RC k C RD kd. 4 H 4 H A támaserők megegenek a rugóerőkkel csak a előjeleket kell felcserélni (nomott rugó alatt a támaserő felfelé mutat). Végeetül ellenőrihetjük a egés raklap egensúlát ami nilván teljesül... Példa: Rugalmas kötél lehajlása A.0 ábrán látható a hossúságú lineárisan rugalmas anagú H erővel előfesített kötél. A kötél hajlító merevsége elhanagolhatóan kicsi. Határouk meg köéppontban ható F erő és a köéppont u elmodulásának kapcsolatát! H H R F R u.0 ábra. Előfesített kötél lehajlása Mogás köben a rugalmas kötelet terhelő húóerő R H kalakban írható fel ahol k a rugóállandó és Δ a egik kötélág megnúlása: u. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

28 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A egik kötélágban a össes alakváltoási energia ami a rugóerő munkája du Rd H k U H k és a F terhelő erő munkája Wk Fu. A teljes potenciál most eg egváltoós függvén Π u U W k H u k u Fu. A egváltoós függvén sélsőérték helénél a első derivált értéke érus: dπ u u 0 du u u H k u ahonnan kifejehető a keresett erő - elmodulás kapcsolat: u H F k. u/ u/ Ha a kötél lehajlása kicsi (u/) << akkor ebből a jól ismert eredmén adódik. u F H F 0..3 Példa: áncrendser mogásegenlete Írjuk fel a. ábrán látható rendser mogásegenletét! A rendser két lineáris rugóból és két tömegpontból áll melek csak a ábra serinti vísintes irán mentén mooghatnak. A láncrendserre működő külső erő a időben váltoó F(t). A rendser pillanatni heletét két paraméter - sabadságfok - határoa meg a rendser nugalmi heletétől mért és koordináták. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

29 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 9 k m k m F(t) m m k m k m F(t) m m. ábra. Rugalmas láncrendser Mogás köben a rugók össes alakváltoási energiája a eges rugók megnúlásának ismeretében a követkeő alakban írható fel: U k k és ebből a U alakváltoási energia megváltoása du k d k d d kkk d k k d. A d Alambert elv serint a külső erőrendser résének tekintjük a (0.9) tehetetlenségi erőt is. A kiegésített külső erőrendsernek a kicsi d d virtuális elmodulásokon végett virtuális munkája: k dw m d m F d. Behelettesítve a virtuális munka elvének (0.6) alakjába a követkeő egenletet kapjuk d du dw k k k k m d k k m F d0 amiből - mivel d d egmástól független váltoók - a követkeő lineáris differenciálegenlet rendsert kapjuk: m k k k 0 m k k F t. Et a lineáris egenletrendsert mátri formában is felírhatjuk: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

30 30 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI m 0 k k k m k k F. 0 A láncrendser mogásegenletének megoldása a megoldás módserének résletei megtalálhatók udvig [8] magar nelvű könvében...4 Silárd test alakváltoási energia növekméne Visgáljuk meg a silárd testben a belső alakváltoási energia kisámításának lehetőségét! A áttekinthetőség kedvéért tekintsük a. ábra serinti síkbeli esetet ahol a d d és d oldalhossúságú anagi kocka oldallapjaira hatnak a σ σ és τ fesültségek. A belső erők - a fesültség komponensek - virtuális munkája a kapcsolódó alakváltoások kismértékű virtuális δε δε és δγ megváltotatása során a silárd test egés V térfogatára vonatkotatva: V U dd d dd d dd d. δε d d d σ σ δε d τ δγ d. ábra. Alakváltoási energia növekméne Ha et még a iránú belső erők munkájával is kiegésítjük akkor a egés test alakváltoási energia megváltoására ami a belső erők virtuális munkája a követkeő eredmént kapjuk: U V σ U V ε dv ahol felhasnáltuk a alakváltoási és fesültségi mátriok (0.4) és (0.7) alakját. dv (0.7) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

31 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3..5 A virtuális munka elve u ε σ δu u+δu ε+δε σ.3 ábra. A virtuális elmodulás erjessük ki a. fejeetben váolt gondolatmenetet a.3 ábrán látható silárd testre. ételeük fel hog ismerjük a teljes egensúli megoldást vagis ismert a külső terhelések a p felületi és a q térfogati erők hatására kialakuló u elmodulás vektor a ε alakváltoások és a fesültségi állapot. Modítsuk ki a testet ebből a egensúli heletből eg somsédos (u + δu) heletbe ahol δu eg tetsőleges de kicsi virtuális elmodulás. Itt - és a továbbiakban is - csak aért hasnáljuk a du növekmén helett a δu jelölést mert a u nem eg skalár koordináta hanem eg függvén vektormeő. ermésetesen a u is és a (u + δu) is kinematikailag lehetséges mogások. Definíció serint a kinematikailag lehetséges mogások teljesítik a (0.4) kinematikai peremfeltételeket. A elmodulásokkal egütt a alakváltoási állapot is megváltoik a új heletben a alakváltoás (H + δh) les. A δh virtuális alakváltoást a δu virtuális elmodulásból a.. fejeetben bemutatott geometriai egenletekből határohatjuk meg. Ha feltételeük hog a alakváltoások kicsik akkor jó köelítéssel H ε és a (0.4) lineáris egenleteket lehet hasnálni. A δu virtuális mogás köben a belső erők virtuális munkája - a alakváltoási energia megváltoása - a (0.7) serinti δu a külső erők virtuális munkája pedig δw k : V U σ H dv σ ε dv V V p u q u Wk da dv Ap V u u p p p u da q q q u dv Ap V u u dv. (0.8) (0.9) Mivel a (0.6) virtuális munka elv serint a egensúli heletben a külső erők δw k munkájának megváltoása megegeik a alakváltoási energia δu megválto- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

32 3 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ásával a virtuális munka elve silárd testekre kis alakváltoásokat feltételeve a követkeő formában írható fel: Π dv da dv V Ap V u σ ε p u q u 0. (0.0) A Π(u) teljes potenciál eg olan függvén aminek a független váltoói is függvének vagis e a függvének függvéne. A ilen függvéneket neveik funkcionálnak. Gorsan mogó testeknél q a térfogati erőhatás résének tekintjük a (0.9) u d Alambert erőt is. A virtuális munka elvének a tehetelenségi erők virtuális munkájával kiegésített alakja: u σ ε u u 0 Π dv W dv (0.) V ahol δw k most már a ténleges mechanikai terhelések virtuális munkája. A virtuális munka elvének e a alakja a anagtörvéntől független...6 A teljes potenciál sélsőérték elve A belső erők virtuális munkájának (0.7) kifejeése bionos esetekben tovább egserűsíthető. Ha a test lineárisan rugalmas akkor a (0.0) Hooke törvén helettesítésével a alakváltoási energia megváltoása: U dv dv dv * * σ ε ε ε C ε ε C ε ε C ε V V V mivel a C anagmátri simmetrikus ε C ε ε C ε ε C ε ε C ε ε C εε C ε és a ε * alakváltoás nem függvéne a u elmodulásnak. ineárisan rugalmas testeknél a U alakváltoási energia a alakváltoás koordináták másodfokú függvéne: * U dv ε C ε ε C ε. V Eel a (0.) virtuális munka elvnek a lineárisan rugalmas testekre érvénes alakja: k V Forberger Árpád Vörös Gábor BME

33 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 33 Π u (0.) * ε C ε dv dv Wk dv 0. ε C ε u u V V V A kinematikailag lehetséges elmodulások köül a les a adott lineáris rugalmasságtani feladat megoldása amelik teljesíti a virtuális munka elvét. Ha a külső erőrendser független a u elmodulásoktól akkor Wk p u daq u dv da dv p u q u. Ap V Ap V assú - kváistatikus - folamatoknál a (0.) utolsó tagjában lévő tehetetlenségi erő a többi mechanikai terheléshe képest elhanagolható és íg a (0.) elv eg újabb alakja: u u Π 0 Π etrémum * Π u dv dv da dv. ε C ε ε C ε pu qu V V Ap V (0.3) E a teljes potenciális energia sélsőérték elve amit a lineáris rugalmasságtanban agrange féle sélsőérték elvnek is sokták neveni. A kinematikailag lehetséges elmodulások köül a les a adott lineáris rugalmasságtani feladat megoldása amelik teljesíti a teljes potenciál sélsőérték feltételét. A Π teljes potenciál független váltoója a u elmodulás vektor. A ilen függvént funkcionálnak neveük értelmeési tartomána a kinematikailag lehetséges elmodulások. Kis alakváltoások és lineáris anagtörvén esetén a (0.) Π(u) teljes potenciál a elmodulás vektor koordinátáinak másodfokú függvéne ami alapvetően a alakváltoások mértékére vonatkoó H ε köelítés és a lineáris anagtörvén követkeméne. A (0.0) - (0.3) elvek felírása során a..5 fejeet tábláatában össefoglalt egenletek köül felhasnáltuk a (0.4) geometriai egenleteket és a (0.0) anagtörvént. Mivel a u elmodulás eleve teljesíti a kinematikai peremfeltételeket (mert kinematikailag lehetséges) belátható hog a virtuális munka elve egenértékű a eddig fel nem hasnált (0.8) egensúli egenletekkel és a dinamikai peremfeltételekkel. A (0.0) virtuális munka elv - és annak itt röviden bemutatott váltoatai - csak eg a kontinuummechanika globális elvei köül melekről további résletek ismerhetők meg többek köött Washiu [] vag Wunderlicht-Pilke [9] könveiből. A matematikából ismert variációsámítás [7] esköeivel pedig további mérnökifiikai feladatokho - pl. hőveetés foladékáramlás stb. - tartoó globális sélső- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

34 34 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI érték elveket lehet megfogalmani melek eeken területeken is lehetővé tesik a végeselem módser alkalmaását...7 Kedeti fesültségi állapot A előő fejeetben a virtuális munka (0.0) elvének felírásakor feltételetük hog a alakváltoási folamat kedetén a test fesültségmentes. Most visgáljuk meg a 0 egensúli kedeti fesültségi állapot hatását amit a testre ható p 0 felületi és q 0 térfogati terhelések hotak létre (.4 ábra). Mivel e eg egensúli állapot a kis alakváltoásokra érvénes (0.0) virtuális munka elv teljesül: dv da dv σ ε p u q u V Ap V (0.4) A íg definiált kedeti állapotból kiindulva a terhelések megváltoása növekméne legen p és q. A új heletet a (u 0 + u) elmodulások és a ( 0 + ) fesültségi állapot jellemi amire sintén teljesül a (0.0) virtuális munka elve: σσ H dv pp u da qq u dv 0. V Ap V Itt fontos megjegeni hog a u is és a (u 0 + u) is kinematikailag lehetséges mogások. V P p 0 u 0 σ 0 P 0 q p u P σ 0 + σ p 0 +p q 0 q 0 +q.4. ábra. Kedeti fesültségek hatása Helettesítsük be a virtuális alakváltoásnak a δu elmodulásokból a pontosabb (0.3) össefüggés serinti δh = δε + δg alakját. Átrendeés után a követkeőket kapjuk: 0 σ εg σ G p u q u V Ap V σ ε p u q u dv da dv V Ap V dv da dv A utolsó három tag egütt mivel a kedeti fesültségi állapot egensúli állapot a (0.4) serint érus. Ha a eddigiekkel össhangban feltételeük hog a virtuális 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

35 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 35 alakváltoások kicsik a megmaradó rés első tagjában alkalmahatjuk a H ε köelítést aa σ δ(ε + G) σ δε: 0 σ ε σ G dv p u da q u dv 0 V Ap V Végül ha a test lineárisan rugalmas akkor a Hooke törvén helettesítésével felírhatjuk a kis alakváltoásokat végő mogó testre a (0.) virtuális munka elvnek a kedeti fesültségi állapotot is tartalmaó váltoatát: 0 Π u ε C εdv σ GdV u udv V V V * dv da dv 0 ε C ε p u q u V Ap V ahol figelembe vettük a tehetelenségi erő növekmén virtuális munkáját is. (0.5) A (0.5) elvben 0 a kedeti fesültségi állapot p és q a felületi és térfogati terhelések növekméne u a elmodulás növekmén ε a alakváltoás növekméne ε * a nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás G a alakváltoások nemlineáris (quadratikus) rése C a rugalmas test anagjellemőinek simmetrikus mátria ü a gorsulás és ρ a tömegsűrűség. A (0.5) virtuális munka elv tömörebb formában is felírható 0 u G k (0.6) Π U U W ahol U a alkváltoási energia növekmén (a fesültség növekmének munkája a alakváltoás növekménen) U G a kedeti belső erők munkája a alakváltoás növekménen a tehetetlenségi erők és W k a külső terhelések munkája - beleértve a ε * hatását is - a u elmodulás növekménen. A mérnöki alkalmaások sempontjából alapvető fontosságúak a köelítő numerikus módserek een belül is aok a eljárások igen hatékonak melek a globális modellt alkalmaák. Eeket a numerikus módsereket össefoglalóan direkt numerikus módsereknek is neveik. A direkt numerikus módserek köül aokat amelek a virtuális munka elv valamelik itt bemutatott váltoatát alkalamák elmodulás módsernek neveik. A virtuális munka elvére vonatkoó sélsőérték feladatok köelítő megoldására két módser köismert a Rit vag Raleigh-Rit és a végeselem módser. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

36 3 Rúdelemek egenletei A rúd a mérnöki gakorlatban leggakrabban hasnált mechanikai modell. Felhasnálható gépelemek hajtómű tengelek vag épületek és jármű váserkeetek mechanikai visgálatára ahol a rúdserkeethe csatlakoó lemeburkolatnak nincs silárság növelő funkciója. Geometriai értelemben rúdnak tekinthető a a silárd test ameliknek eg mérete ( hoss) jóval nagobb mint a másik két iránú kerestmetseti mérete. A méretek ténleges aránára nehé általános érvénű korlátot adni mivel at esetenként a terhelések működési körülmének és a sámítás céljának ismeretében kellő műsaki gakorlattal lehet meghatároni. 3.. ábra. érbeli rúdserkeet A rúd fontos jellemője a kerestmetset alakja és ehhe igaodva vessük fel a koordináta rendsert. Eg állandó kerestmetsetű primatikus egenes tengelű rúdelem látható a 3.. ábrán ahol a rúd tengele és a tengelek a kerestmetset C köépponti főtengelei. A továbbiakban léneges kerestmetseti jellemők a A terület és a I I fő másodrendű nomatékok: A da I da I da I I I p A A A da 0 da 0 da 0. A A A (3.) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

37 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 37 V C M V M M t N 3.. ábra. okális koordináta rendser és igénbevételek A 3.. ábra mutatja a megállapodás serinti igénbevétel előjel sabált: a rúd + normálisú kerestmetsetben a poitív vektor koordináták a poitív igénbevételek. (e konvenció alkalmahatnánk más előjel sabált is!) Egenes rudaknál a főtengelek koordináta rendserében a húás a két főtengelhe tartoó hajlítás és a csavarás nem kapcsolódnak eért eeket külön-külön lehet visgálni. ermésetesen e a megállapítás görbe vag különböő iránú egenes rudakból álló keretserkeetekre már nem iga. A rudak hajlítására vonatkoó különböő rúdelméletek köül itt kettőt érdemes megemlíteni a Euler Bernoulli és a imoshenko féle elméleteket. A előbbi ameliket gakran mérnöki elméletnek is nevenek a legismertebb eért a továbbiakban et a modellt tárgaljuk résletesebben. 3. A Euler Bernoulli rúdelmélet A hajlítás Euler Bernoulli féle elméletének három alapvető geometriai hipotéise a követkeő:. a kerestmetset alakja a saját síkjában ( ) nem váltoik. a kerestmetset a mogás során sík marad és 3. a kerestmetset síkja mindig merőleges a rúd görbült tengelére. A fenti egserűsítő feltételeések serint a kis kerestmetseti méretek iránában a mogásokat egserű lineáris függvének írják le. A áttekinthetőség kedvéért elősör visgáljuk a egenes rúdelem - síkbeli mogását. A fenti hipotéisek felhasnálásával és a 3.3. ábra jelöléseivel ahol u() v() - dinamikai feladatoknál u(t) v(t) - a rúd tengelén lévő C köéppont elmodulásai eg tetsőleges heletű P anagi pont elmodulás koordinátái a követkeők lesnek: u u sinθ u v u v u 0. (3.) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

38 38 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI θ P C θ P C u u v 3.3 ábra. A Euler Bernoulli rúdelem mogásai A lineáris elmélet keretében feltételeük hog a mogások és a forgások kicsik aa sinθ θ tgθ = v. A (0.4) geometriai egenletekből követkeik hog most a egetlen nem érus alakváltoás jellemő a ε tengeliránú fajlagos núlás. A fajlagos núlás és a egserű - a egtengelű fesültségi állapotra érvénes - Hooke törvénből a normál fesültség u * u v E (3.3) ahol ε * a nem követlen mechanikai hatás például a hőmérsékletváltoás követketében kialakuló fajlagos núlás. A elmodulásokra érvénesített egserűsítő feltételekkel össhangban tételeük fel hog a rúdelem Δ hőmérséklet váltoása a kerestmetsetben lineáris: * 0 G (3.4) ahol α a lineáris hőtágulási egüttható Δ 0 a átlagos hőmérséklet váltoás és Δ G a hőmérséklet váltoás iránú gradiense. Eel a kerestmetset síkjára merőleges fesültség: * 0 E E u E v G. (3.5) A N húó M hajlító és a V níró igénbevételek figelembe véve a (3.) kerestmetseti jellemőket is a statikai egenértékűség alapján a követkeők: A 0 G N σ da EA u αδ M σ da EI v αδ A V τ da 0. A (3.6) átsik hog a Euler Bernoulli hipotéisek és a at kifejeő (3.) elmodulások követkeméne hog a = Gγ níró fesültség és íg a V níró igénbevétel is érus. E nílván nem lehetséges ha rúdon a tengelre merőleges iránú terhe- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

39 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 39 lések is vannak. Et a ellentmondást - ami a mogásokra vonatkoó egserűsítő feltételeések követkeméne - csak úg lehet feloldani ha níró igénbevételt nem a fesültség eloslásból hanem a (3.6) egenletek megkerülésével követlenül a 3.4 ábrán látható rúdelemre felírható egensúli egenletből határouk meg. A rúdelem egensúlát kifejeő vetületi és nomatéki egenletek: dn p d 0 dv p d 0 dm V d 0 N p V p V M. (3.7) M V p d V +dv M +dm N d p N+dN 3.4 ábra. Egenes rúdelem egensúla A (3.4) és a (3.7) egenletekből felírhatjuk a síkbeli egenes tengelű állandó kerestmetsetű húott és hajlított rúdelem alapegenleteit - a.. fejeet serinti lokális egenleteket: p u v p 0 G. (3.8) EA EI A egenletek megoldása eg-két rúdból álló statikailag határoott vag egseresen határoatlan serkeetekre még visonlag egserűen felírható. A klassikus - elsősorban a erőmódsert vag más néven a Castigliano és Betti tételeket alkalmaó - megoldási módserek résletes leírása megtalálható a elemi silárdságtannal foglalkoó tankönvekben például Muttnánsk [] vag Csimadia-Nándori [7] köismert tankönveiben. Bonolultabb alakú és terhelésű esetleg térbeli rúdserkeetek (lásd 3.. ábra) mechanikai visgálatára eek a egenletek már gakorlatilag követlenül nem alkalmasak. Sükség van eg nag hatékonságú numerikus eljárásra aminek alapja a virtuális munka elve. 3.. A virtuális munka elve A.. fejeetben megállapítottuk hog eg mechanikai rendser egensúlban van ha teljesül a Π U W k 0 (3.9) virtuális munka elve. Alkalmauk et a elvet a előő fejeetben tárgalt Euler- Bernoulli rúdelemre! A rúd tengelén lévő pontok kicsi δu δv virtuális elmodulá- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

40 40 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI sai követketében a alakváltoási energia (0.7) megváltoása a (3.3) és (3.5) alakváltoás és fesültség helettesítésével: U σ ε dv dv V V E u v u v da d A 0 G ahol a térfogati (dv) integrálokat felbontottuk a kerestmetset menti (da) és a hoss menti (d) integrálokra. A kerestmetseti integrálok elvégése után a (3.) kerestmetseti jellemők helettesítésével a követkeő eredmént kapjuk G U EA u u I v v d ami átrendeés után a követkeő alakú les: 0 U 0 E Au Iv de AuI v G d (3.0) U EAu Iv d EAu 0 IG v d. Megjegés: Ha eltekintünk a hőmérsékletváltoás hatásától és a U fenti kifejeésébe helettesítjük a (3.6) igénbevételek - elmodulások kapcsolatot akkor a alakváltoási energiának eg másik N U d EA M EI d a elemi silárdságtanból is jól ismert alakjáho jutunk A (3.9) elvben δw k a rúdra ható külső terhelő erők virtuális munkáját (e a kicsi δu δv virtuális mogásokon végett virtuális munka) jelöli. Ha például a rúdon (a rúd tengele mentén) csak olan p () p () megosló terhelések vannak amelek függetlenek a u és v elmodulásoktól (3.4. ábra) akkor: W p u p v d p u p v d k W p u p v d. k (3.) ovábbi terhek - például koncentrált erők - esetén a W k értelemserűen további tagokat is tartalmahat. Például gorsan mogó rúdelemeknél a terhelő erőrendser résének tekinthetjük a (0.9) d Alambert erőt is aminek megfelelő vonal menti megosló erők: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

41 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 4 p Au p Av. Eel a virtuális munka elvének a Euler Bernoulli rúdelemre érvénes alakja a tehetelenségi erők virtuális munkájával kiegésíve: Π uv 0 EAu EI v d E A ui v G d (3.) Wk Au uvv d 0. A kinematikailag lehetséges u(t) és v(t) elmodulások köül a les a adott feladat megoldása amelik teljesíti a virtuális munka elvét. Fontos ismét hangsúloni hog a (3.) virtuális munka elv csak akkor érvénes ha a abban sereplő független váltoók a u(t) és v(t) elmodulások kinemetikailag lehetségesek aa eleve teljesítik a mogásokra vonatkoó peremfeltételeket! assú - kváistatikus - folamatoknál a (3.) utolsó tagjában lévő tehetetlenségi erő a többi mechanikai terheléshe képest elhanagolható továbbá helettesítve a virtuális munka (3.) alakját a (3.) elv eg egserűbb formáját kapjuk Π uv EAu EI v d EAu 0 IGv dpu pvd 0 ami a (0.3) agrange féle sélsőérték elvnek egenes rudakra érvénes alakja: Π uv EAu EI v d Π uv etrémum 0 E A u I v d p u p v d G (3.3) A (3.) eredménből - és a (3.6) lokális egenletekből is látható hog egenes rúdelemeknél a főtengelek koordináta rendserében a húás és a hajlítás nem kapcsolódnak eeket külön-külön visgálhatjuk. A független u és v mogásokra vonatkoó virtuális munka elvek: Π Π u Π v 0 Π u 0 Π v 0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

42 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 0 k 0 Π u EAu u d EA u d W Au u d Π v EI vv d EI v dw Avv d0 G k (3.4) (3.5) ahol W k - értelem serűen - a mechanikai terheléseknek vag a u vag a v mogásokon végett munkája A virtuális munka elv - vag a sélsőérték elvek - megoldására több módsert is ismerünk eeket direkt módsereknek neveik. Itt most kettőt érdemes megemlíteni a Raleigh-Rit vag röviden Rit módsert és a végeselem módsert. E utóbbit majd a követkeő fejeetekben résletesen ismertetjük. 3.. A Raleigh-Rit módser A Raleigh-Rit vag röviden Rit módser serint a u és v kinematikailag lehetséges elmodulásokat függvénsorokkal köelítjük n u t a f t v t b g t í i j j i j m (3.6) ahol a f i és g j függvének külön-külön teljesítik a kinematikai peremfeltételeket. A függvének típusa tetsőleges lehet (pl. hatván vag trigonometrikus függvének) de a (3.) és (3.4)-(3.5) elvekben sereplő deriváltaknak léteni kell. ovábbi a konvergencia sempontjából fontos követelmén hog a (3.6) függvénsorok legenek teljesek. Mivel a a i és b j tetsőleges de egelőre határoatlan egütthatók a f i és g i függvének pedig kinematikailag lehetségesek a virtuális elmodulásokat a követkeő formában írhatjuk fel: u t aí fi t v t bígi t. A köelítő függvéneket behelettesítve a (3.) elvbe a a továbbiakban a a i b j váltoók függvéne les: Π Π Π uvπ ab i j ai bj 0 a b ami a követkeő lineáris egenletrendserrel egenértékű: Π Π 0 0 i...n j...m. a b i j i j (3.7) A (n+m) egenletből álló lineáris egenletrendser a i b j megoldásait a (3.6) sorokba vissahelettesítve megkapjuk a adott feladat köelítő megoldását amiből további menniségeket igénbevételeket támaserőket stb lehet kisámítani. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

43 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 43 Eg silárd test anagi pontjainak elmodulásai különböőek lehetnek. A eges pontok mogásának irána mértéke más és más eért at mondhatjuk hog eg deformálható silárd test sabadságfokainak sáma végtelen. A (3.6) interpolációval et a végtelen sok sabadságfokú rendsert helettesítjük eg véges (n+m) sabadságfokú rendserrel. A köelítő megoldás pontossága a n és m sámok mellett erősen függ a köelítő f i és g j függvének heles és célserű kiválastásától. Ugancsak javíthatjuk a megoldások pontosságát ha a (3.6) függvénsort úg határouk meg hog a a dinamikai peremfeltételeket vag aok eg rését is teljesítse. Például sabad rúdvégen a a i és b j értékektől függetlenül legen a níró és hajlító igénbevétel érus. A sakirodalomban több ehe hasonló gorsító eljárást is találhatunk. Eek a kiegésítő feltételek nem sükségesek de hasnosak Példa: Rúd megosló terheléssel Határouk meg a 3.5 ábrán látható állandó kerestmetsetű rúd v() lehajlását és a M () hajlító igénbevételét. A lineárisan váltoó megosló terhelés p p / p / 0 0 alakban írható fel. A függvének keelését egserűsíti ha a koordináta helett a továbbiakban a dimeniótlan ζ = / koordinátát hasnáljuk. p 0 ζ 3.5. ábra. Rúd megosló terheléssel A (3.5) sélsőérték elvnek erre a feladatra érvénes alakja mivel EI állandó és d = dζ: EI Π v EI v d pv d v d p vd etr. Első lépés a megtámastás módját megadó v 0 0 v 0 0 v 0 peremfeltételeket teljesítő kinematikailag lehetséges függvének meghatároása. A N i i i v a Forberger Árpád Vörös Gábor BME

44 44 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI teljes hatvánsor minden eges tagja teljesíti eeket a feltételekett. ermésetesen más típusú függvéneket is hasnálhatnánk de a adott feladat jellege és a elvégendő deriválási és integrálási műveletek sempontjából e a polinom alak a legkedveőbb. A legegserűbb első köelítés legen a sor első tagja: 3 v a a. Eek után kisámíthatjuk a virtuális munka elvében lévő határoott integrálokat: dv 4 v d d a 3 3 da 3 d vda da majd eeket vissahelettesítve a teljes potenciál a követkeő egváltoós függvén alakjában írható fel: EI 4 Π a a a 3 p0 etr. 30 A egváltoós függvén sélsőérték feladatának megoldásából: 4 dπ p0 0 a. da 0EI Eel a lehajlás és a (3.6) hajlító igénbevétel első köelítése: 4 p 0 3 p 0 v M EIv EI Most sámítsuk ki a pontosabb. második köelítést is! A lehajlás függvén legen a függvénsor első két tagja: v aa a a. A virtuális munka elvében sereplő Forberger Árpád Vörös Gábor BME

45 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 45 v d 0 a aa a d 4a 3 8 aa a 5 határoott integrálokkal a teljes potenciál: 0 vda a EI 4 a a Π aa 4 3 a 8aa a p 0 etr A kétváltoós függvénre vonatkoó sélsőérték feladat a követkeő lineáris egenletrendserrel egenértékű A lineáris egenletrendser Π EI 0 3 4a4a p0 0 a 30 Π EI a a p0 0. a 5 60 p 7 p 5 a a EI EI megoldásait helettesítve a lehajlás és a hajlító igénbevétel második köelítése a követkeő les: 4 p p 0 v M EI Végül a harmadik köelítés legen v aaa3 a a a3 amivel ismét elvégeve a előőekben már résleteett műveleteket a teljes potenciál a követkeő háromváltoós függvénné redukálódik: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

46 46 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI EI Π aaa 3 4a a a3 8aa 8aa 3 aa a a a3 p 0 etr Π / a 0 Π / a 0 Π / a3 0 lineáris egenletrendser A 4 p p p 0 a 4 a 4 a 0EI 0EI 0EI megoldásával a lehajlás és a hajlító nomaték harmadik köelítése - ami most megegeik a pontos megoldással: 4 p 0EI v M p ˆv /a ábra. A köelítő lehajlás függvének 8 ˆM /b ábra. A köelítő nomtéki függvének Forberger Árpád Vörös Gábor BME

47 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 47 A 3.6/ab ábrákon a 4 p0 0 ˆ p ˆvv/ M M / 0EI 0 dimeniótlan elmodulás és nomaték függvének első és második köelítéseit össehasonlíthatjuk a pontos megoldással. A ábrákon a követkeő - általánosan érvénes - tulajdonságokat figelhetjük meg: - A v elmodulás hibája kisebb mint a M nomaték hibája. A virtuális munka elvén alapuló direkt numerikus módserekre általában iga hog a elmodulások hibája kisebb mint a eekből sámolt igénbevételek fesültségek hibája. - A ismert dinamikai peremfeltétel - a rúd végén M = 0 - a köelítő megoldásokban csak köelítőleg teljesül. A ismert és a sámolt dinamikai peremfeltételek - peremterhelések - eltérése jól jellemi a köelítő sámítás minőségét. - Ha a felhasnált köelítő függvénekből a pontos megoldás előállítható akkor a Rit módserrel meghatároott megoldás a pontos megoldás les Dinamikai feladatok sabad lengések A sabad lengés at jelenti hog a terheletlen rugalmas serkeet lengőmogást vége. A (3.) elv ha nincs külső erőhatás és hőmérsékletváltoás a követkeő alakúa les: Π EAu EI v d A u u vv d 0. (3.8) A főtengelek koordináta rendserében a u és v mogások nem kapcsolódnak aok egmástól függetlenül visgálhatóak: vag más formában Π u EAu d Auu d Π v EIv d Av v d Π u EAu u d Auu d (3.9) Π v EIvv d Avv d 0. (3.0) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

48 48 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Ha a rúd anaga lineárisan rugalmas nincs csillapítás és nincs külső gerjestő hatás akkor a rúdelem pontjai időben periodikus - harmonikus - lengő mogást végenek: u t U sint v t V sin t (3.) ahol ω a sabad lengő mogás frekvenciája a sajátfrekvencia. A U és V függvének a lengő mogás amplitúdó függvénei vag más néven a lengésképek. A U és V egelőre tetsőleges de kinematikailag lehetséges függvének. A (3.) alapján a virtuális elmodulások a deriváltak és a gorsulások a követkeők: u U sin t v V sin t u U sin t v V sin t u U sin t v V sin t. Eek helettesítése után a (3.9) (3.0) elveknek a sabad longitudinális és a hajlító lengésekre vonatkoó alakjai: 0 EAU U d AU U d EAU d AU d EI V V d AV V d EI V d AV d (3.) (3.3) 3..5 Példa: Hajlító lengés Határouk meg a 3.7 ábrán látható állandó kerestmetsetű rúd - síkbeli hajlító lengéseinek első frekvenciáját! A rúd anagának tömegsűrűsége ρ. 3.7 ábra. Rúd sabad hajlító lengése A (3.3) elvnek erre a feladatra érvénes alakja: 0 EI V V d A V V d mivel EI és a ρa állandó. A kinematikailag lehetséges a ζ Forberger Árpád Vörös Gábor BME

49 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 49 v 0 0 v 0 0 v 0 megtámastási feltételeket teljesítő köelítő V() lengésképet célserű a előő feladatho hasonlóan a N i i i teljes hatvánsor alapján felvenni. A első köelítés legen a sor első tagja: V a / 3 3 V a V a. A virtuális munka elvében lévő határoott integrálok: dv V d d a d 3 V da da majd eel a virtuális munka elve a követkeő alakban írható fel: EI a4 A a. Mivel δa tetsőleges és a nem lehet érus - mert akkor nincs lengéskép - a első frekvencia első köelítő értékére a követkeő egenletet kapjuk: EI A EI A A második köelítés sámításáho a lengéskép legen a függvénsor első két tagja: a Va a a Na V a a Na an. A több sabad paraméter esetén célserű áttérni a mátrios jelölésekre. A virtuális munka elvében sereplő határoott integrálok (a előő feladatho hasonlóan):. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

50 50 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI V d 4 3 a 8 aa a 5 V d a aa a Helettesítés után a virtuális munka elvét rendeük át a követkeő mátri sorat formába: 4 4 EI a a 4 A 3 4 a a a. Mivel a δa tetsőleges ebből a követkeő homogén és lineáris egenletrendsert kapjuk: A a EI a A a = 0 most nem elfogadható megoldás mert akkor nincs lengő mogás. A homogén egenletrendsernek csak akkor lehet nem érus megoldása ha a egüttható mátri determinánsa érus. Beveetve a 4 A q EI jelölést a követkeő sajátérték feladatot kapjuk: q q det 0 q 4 q A detrmináns kifejtésének eredméne a másodfokú karakteristikus egenlet. A másodfokú egenlet q = 3873 és q = megoldásaiból a első két sajátfrekvencia második köelítései: EI EI A A.. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

51 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 5 A sajátértékkel a ismert módon kisámíthatjuk a sajátvektorokat aminek ismeretében a meghatárohatjuk a lengésképeket. A 3.8 ábra mutatja a első frekvenciáho tartoó lengéskép első és második ( a q sajátértékhe tartoó) köelítéseit ábra. A első lengéskép első és második köelítései Ha a köelítő eredméneket össevetjük a EI EI A A pontos eredménekkel akkor megállapíthatjuk hog a második köelítés csak a első frekvenciára ad elfogadható értéket. A köelítő függvének sáma mindig több kell legen - általában 3-5 taggal - mint a kisámítandó frekvenciák sáma. ovábbi fontos ésrevétel hog a köelítő sámítás eredménei mindig nagobbak mint a pontos frekvencia értékek. Ennek magaráata hog a Rit módserrel generált véges sabadságfokú rendser mindig merevebb mint a eredeti végtelen sabadságfokú rugalmas kontinuum Nomott rúdelemek kihajlása Eg rugalmas serkeet instabilitását a jellemi hog a külső hatások - terhek - kismértékű megváltotatása jelentős mértékű mogásokat eredméne. Előfordulhat hog a rugalmas serkeet a kismértékű teher váltoás megsüntetése után nem tér vissa a eredeti heletébe hanem eg új egensúli állapotba kerül. Ilenkor a eredeti egensúli állapot instabil a új állapot pedig feltehetően már stabil. Et a jelenséget követhetjük a 3.9 ábrán. Ha a nomóerő meghalad eg kritikus értéket akkor a rúdnak több egensúli állapot van lehet hog egenes marad (v = 0) de kismértékű oldaliránú avarás hatására kihajlik és onnan már nem tér vissa a eredeti egenes állapotba. A egensúli állapotokat jellemő vonalak el- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

52 5 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ágaási pontját bifurkációs pontnak neveük. A bifurkációs pontot alatt a serkeet viselkedését leíró egenleteknek csak eg megoldása van aonban a elágaási pontot elérve a egenletek egértékűsége megsűnik. A megoldás köött vannak stabil és instabil megoldások is. Mérnöki sempontból a legfontosabb eredmén a elágaási pont eléréséhe sükséges F cr kritikus terhelés meghatároása. u v F F v 3.9 ábra. A bifurkációs pont Rúdserkeeteknél gakori jelenség a nomott rúdelemek kihajlása. A kihajlás eg lehetséges stabilitásvestési forma. ermésetesen lehetnek más stabilitásvestési formák is mint például a hajlított rudak oldaliránú kifordulása vag vékonfalú elemek horpadása. Eek résletes elemése többnire nemlineáris egenletekhe veet. A továbbiakban sűkítsük le a visgált jelenségek körét a nomott elemek kihajlására amit Euler féle stabilitásvestésnek is nevenek. Amint a a 3.9. ábrán is látható a F tengeliránú erő támadáspontjának van tengeliránú u elmodulása ami két résből tevődik össe. Egrést a húó/nomó igénbevétel hatására a rúd megnúlik/össenomódik másrést a tengelre merőleges iránú v() elmodulás további Δu mogást oko. E a Δu elmodulás általában másodrendben kicsi és elhanagolható aonban a kritikus állapot a bifurkációs pont köelében hatása mégis sámottevő lehet. Ilenkor a virtuális munka elvében a tengel iránú erők W k munkájának meghatároásánál - a egébként másodrendben kicsi - Δu mogást is figelembe kell venni. A másodrendben kicsi Δu elmodulás hatásával is sámoló modellt a sakirodalomban gakran másodrendű elméletnek is neveik. v() N ds d dv Δu 3.0 ábra. Hajlított rúd tengeliránú mogása Forberger Árpád Vörös Gábor BME

53 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 53 Sámítsuk ki a egenes rúd tengelére merőleges iránú v() lehajlás követketében előálló tengel íránú mogást! A 3.0. ábra jelöléseivel a görbült rúd köépvolán a ívhoss elem: ds d dv v d v d A köépvonal hossa ami a hajlítás követketében nem váltoik (uganis a (3.3) egenletből ha u = 0 és = 0 a fajlagos núlás értéke érus): u u. ds v d u v d Ebből a hajlítás okota tengeliránú elmodulás és a N húó igénbevételt létrehoó tengel iránú külső F = N erő munkája (nomó igénbevétel esetén a N termésetesen negatív): u k u v d vd W Nu N v d A (3.) virtuális munka elve eel a kiegésítéssel - ha csak statikus terhelések vannak és a hőmérséklet váltoás hatásától eltekintünk - a követkeő alakú les: Π uv EAu EI v d Nv d W k 0. Itt is látsik - a statikai és dinamikai feladatho hasonlóan - hog a főtengelek koordináta rendserében a u és v mogások nem kapcsolódnak aok egmástól függetlenül visgálhatóak. A tengelére merőleges iránú v mogásra vonatkoó virtuális munka elve vag ugane más formában Π v EI v d Nv d W k 0 EI v v d Nv v d Wk 0 (3.4) ahol δw k a rúd tengelére merőleges terhek virtuális munkája.. A kinematikailag lehetséges v() elmodulások köül a les a adott feladat megoldása amelik teljesíti a virtuális munka elvét. Ha a adott feladatnak több v() megoldása is lehet akkor a rendser terhelése elérte a.5 ábra serinti elágaási pontho tartoó kritikus értékét. A bifurkációs pont utáni állapotok visgálatára a lineáris elmélet és a ahho tartoó (.) virtuális munka elv már nem alkalmas.. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

54 54 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A másodrendben kicsi Δu elmodulás hatásával is sámoló modellt a sakirodalomban másodrendű elméletnek is neveik. A rugalmas rendserek stabilitási problémáival résletesebben foglalkoó terjedelmes sakirodalomból érdemes megemlíteni imoshenko [3] és Kollár [6] könveit Példa: Egenes rúd kihajlása Határouk meg a 3.. ábrán látható váltoó kerestmetsetű rúd - síkbeli kihajlásáho tartoó kritikus nomóerőt! EI EI / F 3. ábra. Váltoó kerestmetsetű rúd A (3.4) virtuális munka elvének erre a feladatra érvénes alakja: EI v v d v v d F v d 0 / 0 / 0 mivel N = -F és EI sakasonként állandó. Első lépés a kinematikailag lehetséges függvének kiválastása. A v0 0 v0 0 peremfeltételeket a N i a v i teljes hatvánsor minden eges tagja teljesíti. Más típusú például trigonometrikus függvéneket is hasnálhatnánk tudva hog a Euler féle kihajlási feladat pontos megoldási trigonometrikus függvének kombinációi de a elvégendő deriválási és integrálási műveletek sempontjából a polinom alak kedveőbb. A első köelítés legen a sor első tagja: i v a v a. A virtuális munka elvében lévő határoott integrálok értéke: / 0 / v d a v d a v d a 3 majd eeket vissahelettesítve a követkeő alakban egenletet kapjuk: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

55 3. RÚDEEMEK EGYENEEI aei 6F a 0. 3 Mivel δa tetsőleges ennek a egenletnek több megoldása is van. ehet a = 0 ami at jelenti hog a egenes alak is egensúli megoldás. De lehet a árójelben lévő rés is érus ahonnan a kritikus erő első köelítő értékére a követkeő adódik: 4 EI F F cr 5 EI E utóbbi esetben a értéke tetsőleges tehát a serkeet elérte a 3.8. ábrán bemutatott elágaási pontot. A bifurkációs pont utáni állapotok visgálatára aonban a lineáris elmélet és a ahho tartoó virtuális munka elv már nem alkalmas. A második köelítés legen a függvénsor első két tagja: 3 3 a va a a Na Na an 3 v a a. A N a köelítő függvének és a a egütthatók mátria: a a 3 N N 3 N 6 a a a a. A virtuális munka elvében sereplő határoott integrálok kisámított értékeit vissahelettesítve virtuális munka elvébe amit a előő feladatho hasonlóan átrendeünk mátri soratok formájába: F 3 a EI 3 9 a. 5 Mivel a δa tetsőleges a a elemei a követkeő homogén lineáris egenletrendser megoldásai lesnek: F 3 a 5 7 EI 3 9 a A a = 0 eg lehetséges megoldás ami at jelenti hog a egenes alak is egensúli helet. A homogén egenletrendsernek csak akkor lehet nem érus megoldása ha a egüttható mátri determinánsa érus. E eg sajátérték feladat. A. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

56 56 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI F q EI jelöléssel a determináns kifejtése után a követkeő másodfokú karakteristikus egenlethe jutunk: q 05 q A két lehetséges sajátérték köül a kritikus erő sámításánál csak legkisebb absolút értékűnek van értelme. A kisebbik sajátértékből a kritikus erő másodok köelítése: EI F cr ábra. A kihajlott alak első és második köelítése A tartó kihajlott alakjának második köelítése a első sajátértékhe tartóó sajátvektor: 3 v a 0 64 /. A kritikus erő két tiedesre pontos eredménne: EI F cr 43 A második köelítés hibája 63%. Itt is megfigelhető hog a köelítő kritikus erő nagobb mint a pontos érték. Ennek is a a magaráata hog a köelítő véges sabadságfokú rendser merevebb mint a eredeti végtelen sabadságfokú rugalmas kontinuum. Eért a kritikus erő sámításnál különösen figelni kell a modell és a sámítás pontosságára mivel a köelítés nem a bitonság oldalára visi el a eredméneket. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

57 3. RÚDEEMEK EGYENEEI Példa: A másodrendű elmélet Határouk meg a 3.3 ábrán látható egenes állandó kerestmetsetű rúd v() lehajlását és a M () hajlító igénbevételét! A rúd terhelése F erő a K köéppontban és a N erő végpontjában. A sámításnál vegük figelembe a hajlított rúd végpontjának tengel íránú mogásait is! F v() N / K / ζ 3.3 ábra. Húott hajlított rúd lehajlása A (3.4) virtuális munka elvének erre a feladatra érvénes alakja: vag más formában: K 0 0 Π v EI vvdn vvd Fv 0 EI N Π v v d v dfvk etrému m 0 0 mivel EI állandó és v K a K köéppont elmodulása peremfeltételeket is teljesítő első köelítés legen A v v v asin. A virtuális munka elvében lévő határoott integrálok értéke: 4 4 v da sin d a 0 0 v da cos d a 0 0 majd eeket vissahelettesítve a követkeő egenletet kapjuk: 4 Π aa EI N Fa. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

58 58 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI és a sélsőérték feltételéből a megoldás 3 3 dπ F F 0 a da EI N EI N / N 4 4 EI ahol felhasnáltuk a Euler féle kritikus nomó erő kifejeését is: N cr EI. Eel a 3.3 ábrán látható tartó másodrendű elmélet serinti lehajlásának első köelítése: 3 F v sin EI N / N. 4 A köelítő megoldás hibájára kaphatunk eg becslést ha össevetjük a köéppont lehajlásának a elsőrendű elmélet serinti v K pontos és a most kisámított N = 0 terheléshe tartoó v K lehajlását: v F F F K vk 4. EI 48 EI EI A hiba kisebb mint5% feltételehetjük hog a N 0 megoldás hibája is ilen nagságrendű. A másodrendű elmélet serinti hajlító igénbevételi függvén első köelítése a (3.6) egensúli egenletből: M EI v F sin N/N. Most is össehasonlítsuk össe a maimális hajlító nomatéknak a elsőrendű elmélet serinti és a most kisámított N = 0 terheléshe tartoó értékeit: M ma F M F F ma cr A nomaték hibája köel 0% ami jóval nagobb mint a elmodulás első köelítésének hibája. Álltalában érvénes megállapítás hog a virtuális munka elvén alapuló numerikus módsereknél - beleértve a végeselelm módsert is - a elmodulások hibája mindig kisebb mint a eekből sámolt igénbevételek hibája. A eredménekből a is látsik hog rúdserkeeteknél a másodrendű elmélet serinti sámításnak akkor van jelentősége ha a rúdelemek nomó igénbevétele megköelíti a kritikus nomóerőt. cr cr Forberger Árpád Vörös Gábor BME

59 3. RÚDEEMEK EGYENEEI A imoshenko féle rúdelmélet A 3.. fejeetben a (3.6) össefüggés kapcsán megállapítottuk hog a Euler- Bernoulli elmélet nem vesi figelembe a nírási alakváltoásokat. E a ott felsorolt feltételeések köül a 3. követkeméne ami serint a kerestmetset síkja mindig merőleges a rúd görbült tengelére. A imoshenko elmélet et a megkötést feloldja és eért a 3.4 ábrán a θ kerestmetset forgás nem aonos a tengel érintőjének v elfordulásával. A kerestmetset síkjában lévő tetsőleges heletű P anagi pont elmodulás koordinátái ha θ kicsi a követkeők: u u sinθ u θ u v u 0. (3.5) A (.4) geometriai egenletből a alakváltoások majd a Hooke törvénnel a fesültségek és végül a belső és külső erők statikai egenértékűségéből a igénbevételek a követkeő formában írhatók fel: u u u ε u θ γ θ v N σ da EAu A A A M σ da EI θ V τ da GA v θ. (3.6) átható hog a imoshenko elmélet serint a níró fesültség a kerestmetsetben állandó. Ilen értelemben e is eg köelítő elmélet. A (3.7) V p V M egensúli egenletek felhasnálásával felírhatjuk a síkbeli egenes tengelű állandó kerestmetsetű imoshenko rúdelem hajlításának alapegenleteit: GA v p EI GA v (3.7) 0 amelekben két ismeretlen függvén a v() elmodulás és a θ () forgás serepel. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

60 60 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI θ v P C v P C u u u 3.4 ábra. A imoshenko rúdelem mogásai A (3.5) elmodulás koordináták ismeretében felírhatjuk a imoshenko modellre a (.6) vag (.) virtuális munka elvet. A belső erők virtuális munkája: U E G da d A v EAuu d EI d GA v v d EAu d EI d GA v d U U U. húó hajlító níró (3.8) ahol a utolsó két tag a hajlításból és a nírásból sármaó energia növekmén. A kerestmetseti integrálok sámításánál figelembe vettük a (3.) kerestmetseti jellemőket is. A (.) virtuális munka elvben a további tagok - a kedeti belső erők a tehetetlenségi erők és a külső terhelések munkája sámításában nincs eltérés aok megegenek a Euler-Bernoulli elméletből leveetett (3.) elvben lévő tagokkal. 3.. Példa: Nírási elmodulás A nírás hatásának értékeléséhe oldjuk meg a.4 ábrán látható egserű konolos tartóra a imoshenko elmélet (3.7) egenlet rendserét. p 3.5 ábra. Konolos tartó Forberger Árpád Vörös Gábor BME

61 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 6 A egenletek köül a első egser integrálható GA v p c mivel p állandó. Et a második egenletbe helettesítve majd integrálva mindkét oldalt: p c EI p -c 3 c c c3 EI EI EI 6 EI. A sögelfordulást vissahelettesítve a első egenletbe megkapjuk a elmodulást: p v c p c p c c c GA GA EI EI p v c p c c c3c 4. GA EI 4 6EI A nég integrálási állandót a konol végeire felírható 0: v0 0 : M 0 0 V 0 v 0 kinemeatikai és dinamikai peremfeltételekből határohatjuk meg: Végül a megoldás: p c p c c 0 c EI 4 3 p p v EI GA p 3 EI 6 A θ () forgás teljes egésében és a v() első rése megegeik a Euler-Bernoulli megoldással. A rúd végének v ma 4 p 8 EI EI /A v 8 ma E B 8EI GA G p. c Forberger Árpád Vörös Gábor BME

62 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI lehajlásából megállapítható hog a nírási alakváltoásnak akkor lehet jelentősége ha a rúd rövid vag ha a E/G anagjellemő hánados nag. Homogén iotróp fémes anagra E/G 6 aonban rétegett kemén és lág rétegekből álló rudaknál a E/G hánados értéke akár sáas nagságrendű is lehet. 3.. A níró terület A imoshenko féle modellben a níró fesültség a kerestmetsetben állandó ami nilván eg köelítés. A állandó níró fesültséggel a (3.8) alakváltoási energia nírási rése is köelítő érték lenne aonban a ténleges A kerestmetset terület helett a A s = Ak s níró terület hasnálatával a pontos energia értéket kapjuk. A k s níró faktor kerestmetseti jellemő. b F τ () τ ma a 3.6 ábra. églalap selvén nírása Például a 3.6 ábra serinti ab méretű téglalap kerestmetsetben a níró fesültség τ V I b 4 ami a tengel mentén parabolikus eloslás. Ebből sámolva a nírási energia növekmén pontos értéke: U pontos G da d da d G A A V b V da d d. 8GI 4 G A A Ugane a energia növekmén a állandó V /A átlagos níró fesültséggel: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

63 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 63 V U köelítő da d A d d G G. A G A átható hog a köelítő eredmén akkor les aonos a pontos eredménnel ha abban a ténleges A terület helett a A s = A/ = A 0833 níró területet hasnáljuk. églalap kerestmetsetre a níró faktor a főtengelek iránába aonos: k s = k s = Más alakatra a níró faktor iránonként eltérő lehet. Eges végeselem programrendserekben speciális segédmodulok végik a níró faktorok és a többi kerestmetset jellemő kisámítását. (például a FemDesign rendser Section Editor modulja [] ) Itt érdemes megjegeni hog a műsaki gakorlatban a maimális níró fesültség sámításáho hasnálják a A seff effektív níró terület fogalmát is. Példánkban a maimális fesültség τ ma =5V /A = V /A seff tehát téglalap selvénre A seff = A A alakváltoási energia és a maimális fesültség sámításáho hasnálatos níró területek nem aonosak! 3.3 A St Venant féle csavarási modell A előőekben csak síkbeli rúdelemeket visgáltunk ami at jelentette hog a terhelés is és a elmodulások is valamelik főtengel vag és a tengel síkjában vannak. Ilenkor a rúdnak nem lehet csavaró igénbevétele és elcsavarodó mogása. Ha a terhelés iránára nincs megkötés vag a rúdelem eg térbeli váserkeet rése akkor sámolni kell a csavarás hatásával is. Csavaráskor a rúd igénbevétele a 3.7 ábra serinti M nomatékú csavaró erőpár. Ebben a fejeetben röviden áttekintjük a mérnöki gakorlatban legtöbbsör hasnált primatikus egenes rudak csavarási feladatát. A St Venant féle vag sabad csavarási modell alapvető feltételeése hog a rúd kerestmetsetében csak csústató fesültségek jönnek létre. A sabad jelő itt arra utal hog ebben a modellben a kerestmetset tengel iránú mogását a csavarási vetemedést semmi sem gátolja. C θ u r n P 3.7 ábra. A kerestmetset elcsavarodása Forberger Árpád Vörös Gábor BME

64 64 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Mivel a kerestmetset alakja nem torul a a saját síkjában néve ahog at a 3.7 ábra is mutatja mint eg merev alakat elfordul a pont körül. A elmodulás vektor feltéve hog a θ () forgás kicsi u u u u (3.9) u formában írható fel ahol a forgáspont vag csavaró köéppont koordinátái és a u a kerestmetset pontjainak a síkra merőleges iránú elmodulása. Ebben a formában ismeretlenek a θ () és a u () függvének valamint a forgás köéppont helét megadó koordináták. A (3.9) elmodulásokból a alakváltoások a (.4) lineáris geometriai egenletek a fesültségek pedig a rudakra érvénes egserű Hooke törvén serint a követkeő formában írhatók fel: u E E u u u G G G u u u G G G ahol E és G a lineárisan rugalmas iotróp és homogén anag jellemői. Ha a sabad csavarás feltétele teljesül és a tengel iránú mogások kialakulását semmi sem gátolja akkor a rúd kerestmetsetében nincs σ normál fesültség. Eek alapján a csústató fesültség koordináták a követkeő egserűbb alakban írhatók fel: τ u u G τ G. (3.30) Ha a sabad csavarás előőekben résleteett feltételei nem teljesülnek és a tengel iránú mogás a vetemedés korlátoása miatt a σ normál fesültség értéke jelentős lehet akkor a úgneveett gátolt csavarási feladatot kell megoldani. Ennek egik köismert módja a Vlasov féle csavarási modell alkalmaása aminek magar nelvű leírása megtalálható Ponomarjov [4] könvében. A (3.30) egenletekben egelőre még ismeretlenek a csavaró köéppont koordináták a θ = q fajlagos elcsavarodás és a u elmodulás függvén. A to- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

65 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 65 vábbi visgálatok célja a hog eeket a ismeretlen menniségeket a rugalmasságtani egenletek felhasnálásával meghatárouk. Veessük be a φ() St Venant féle vetemedési függvént a követkeő definícióval: d u. (3.3) d A φ() vetemedési függvén hasnálatával legalábbis formálisan a ismeretlenek sámát csökkentettük uganis a (3.30) csavarási csústató fesültségek a követkeő tömörebb formában írhatók fel: τ G τ G. (3.3) A belső erőkre vonatkoó (.8) egensúli egenletek megmaradó rése mivel most nincs térfogati erőhatás 0 ami a (3.30) össefüggések helettesítésével a követkeőt eredménei: 0. (3.33) A rúd palástja terheletlen eért a kerestmetset peremgörbéjén a (3.3) csústató fesültségek erdője csak érintő iránú lehet. Ha a 3.7 ábra serinti n a peremgörbe kifelé mutató normális egségvektora akkor a terheletlen peremen a (.5) dinamikai peremfeltételek: n n 0 n n n n. (3.34) A φ St Venant féle vetemedési függvén a (.35) homogén aplace féle peremérték feladat megoldása. A vetemedési függvén kisámításának további résletei beleértve a numerikus módserek a végeselem eljárás alkalmaását is erre a feladatra megtalálhatok a [4] [6] [0] vag a [] könvekben. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

66 66 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 3.3. Csavarási másodrendű nomaték A φ() vetemedési függvén mellett még a θ = q fajlagos elcsavarodásra is sükség van a (3.3) csústató fesültség eloslás egértelmű megadásáho. A külső és belső erőrendserek statikai egenértékűsége alapján a csústató fesültségek nomatéka megegeik a M csavaró igénbevétellel: M dag d A A és definíció serint a J csavarási másodrendű nomaték: A M GJ J I I da. (3.35) A J kerestmetseti jellemő és a φ() vetemedési függvén ismeretében a (.34) csústató fesültség eloslása már egértelműen meghatároható: M M τ τ. J J A kör vag a körgűrű kerestmetset C köéppontja és a csavaró/níró köéppontja egbeesik aa = = 0 és nincs tengel iránú elmodulás nem vetemedik u = 0. Ekkor a (3.3) egenletből φ = 0 és eért a (3.35) J csavarási másodrendű nomaték megegeik a poláris másodrendű nomatékkal: J = I + I = I p és a (3.3) a elemi silárdságtanból ismert lineáris fesültség eloslást eredménei. Nem kör alakú kerestmetsetekre a J kerestmetseti jellemőt a St Venant féle csavarási feladat rugalmasságtani megoldásából lehet kisámítani és értéke általában kisebb mint a I p = I + I poláris másodrendű nomaték J < I p. Vékonfalú selvéneknél a két érték köött akár nagságrendi különbség is lehet például a IPE 00 selvénre eek a kerestmetseti jellemők: I p = 869 cm 4 J = 5 cm A csavaró/níró köéppont A rúd pontjainak tengel iránú elmodulását a φ vetemedési függvén és a θ = q fajlagos elcsavarodás nem határoa meg egértelműen. A u elmodulás függvént megadó (3.3) egenletben még határoatlan a a lineáris függvén melnek egütthatói a csavaró köéppont koordináták. E a lineáris függvén a rúdnak eg merevtest mogását írja le. A (3.34) dinamikai peremfeltételek a merevtest mogást - mivel ahho nem kapcsolódik alakváltoás és fesültség - nem korlátoák. Sükség van eg olan kiegésítő kinematikai feltételre ami et a merevtest mogás rést korlátoa kisűri a eredő mogásokat minimaliálja de a kerestmetset sabad mogását nem gátolja. Ennek megfelelően írjuk elő hog a kerestmetset pontjainak tengeliránú mogása a lehető legkisebb legen aa teljesítse a A Forberger Árpád Vörös Gábor BME

67 3. RÚDEEMEK EGYENEEI 67 F u da da minimum A minimum feltételt. A kétváltoós sélsőérték feladat F F A A da 0 A da 0 megoldásából a csavaró köéppont koordinátáira a követkeő eredmént kapjuk: da da. I I A (3.36) Ha már megoldottuk a (3.33) egenletet és ismerjük a φ St Venant féle vetemedési függvént a csavaró köéppont koordinátáit is meg tudjuk határoni. A lineáris rugalmasságtan Betti tételének felhasnálásával igaolható hog a csavaró köéppont egbeesik a níró köépponttal. (Muttnánsk []). Definíció serint ha a kerestmetset níró igénbevételének hatásvonala átmeg a níró köépponton akkor a rúd nem csavarodik. Ebből követkeik hog a rúd csavaró igénbevétele a níró erő nomatéka a pontra A virtuális munka elve Alkalmauk a. fejeetben felírt (.) virtuális munka elv általános Π U Wk 0 Π u σ ε dv u u dv W 0 V alakját a sabad csavarási feladatra. A (3.37) alakú belső erők virtuális munkája: A U G da d V A k (3.37) (3.38) G daθ θ d GJθ θ d. A Igaolható hog a alábbi egenlőség teljesül minden olan φ függvénre amelik a (3.33) - (3.34) peremérték feladat megoldása: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

68 68 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A. J da d A A tehetetlenségi erők virtuális munkájának sámításakor figelembe kell venni hog a (3.9) serint a - síkban történő forgó mogás pólusa a 3.7 ábra serinti csavaró/níró köéppont: A u udv uu uu da d V A (3.39) da d I pθ θ d A ahol I p a pontra sámított poláris másodrendű nomaték: I I I A. p Eel a virtuális munka elvének a St Venant féle sabad csavarási feladatra érvénes alakja: p k Π θ GJθ θ d I θ θ d W (3.40) ahol θ a rúd kerestmetset pont körüli forgása elcsavarodása és W k a rudat terhelő csavaró erőpárok virtuális munkája. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

69 4 A végeselem-módser egenletei A mérnöki gakorlatban előforduló mechanikai feladatok jelentős résénél a pontos árt alakú megoldást nem lehet meghatároni. Ilenkor különböő egserűsítéseket köelítéseket kell alkalmani melek alapvetően két csoportba sorolhatók: a mechanikai modell megalkotásáho hasnált egserűsítések és a matematikai modell a felírt egenletek numerikus megoldása során alkalmaott köelítések. A mechanikai modell megalkotása során a visgálatot végő többek köött eldönti hog eg adott serkeeti elem rúd vag leme a anagi tulajdonsága lineáris vag nem a terhelések köül melik jelentős melik nem jellege megosló pontserű esetleg simmetrikus. A matematikai modell vonatkoásában pedig dönteni kell a alkalmaott numerikus módserről meg kell határoni a megoldás pontosságát befolásoló paramétereket például a Raleigh-Rit módsernél a köelítő függvének típusát és sámát vag a végeselem módser esetén a elemfelostás sűrűségét és a csomópontok sámát. A megbíható eredméneket adó mechanikai és matematikai modellek össeállításáho komol elméleti ismeret és gakorlati tapastalat kell. Ebben a fejeetben a virtuális munka elvének (.5) alakjából kiindulva áttekintjük a végeselem módser - a elmodulás módser lénegesebb lépéseit és fogalmait. 0 u ε C εdv σ GdV u udv V V V ε C ε dv p u da q u dv * V Ap V. (4.) Ebben a elvben 0 a kedeti fesültségi állapot p és q a felületi és térfogati terhelések növekméne u a elmodulás növekmén ε a alakváltoás növekméne ε * a nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás G a alakváltoások nemlineáris (másodfokú) rése C a rugalmas test anagjellemőinek simmetrikus mátria ü a gorsulás és ρ a tömegsűrűség. A kinematikailag lehetséges elmodulások köül a les a adott lineáris rugalmasságtani feladat megoldása amelik teljesíti a virtuális munka elvét. A előő 3. fejeetben több példa is található a Raleigh-Rit módser alkalmaására. A módser legfontosabb jellemője és hátrána hog a kinematikailag lehetséges (3.6) köelítő függvénsor minden elemének a értelmeési tartomána a egés serkeet. Bonolultabb alakú testeknél a kinematikai peremfeltételeket eleve teljesítő interpolációs függvének megserkestése esetenként megoldhatatlan feladat. Ugancsak körülménes lehet a serkeet egésére vonatkoó határoott integrálok kisámítása. Et a hátránt küsöböli ki a végeselem eljárás ahol a köelítő függvének értelmeési tartomána eg elem. A geometriailag egserű - vonal Forberger Árpád Vörös Gábor BME

70 70 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI háromsög négsög tetraéder stb. - alakatokon a kinematikai peremfeltételek érvénesítése és a kijelölt integrálási műveletek visonlag egserűen elvégehetőek. A leírásban előforduló mátriok műveletekről résletesebb leírás található a A. Mellékletben. 4. Elemek mátriok A visgálandó serkeet vag test által elfoglalt V tartománt ossuk fel M sámú egserű alakú V e elemre. A elemek alakja függ a feladat jellegétől például térbeli feladatnál e lehet a tetraéder síkbeli feladatoknál hasnálható elemalak a háromsög négsög rúdserkeeteknél a vonalelem. A elemek méretét a elvárt pontosság határoa meg sűrűbb elemfelostás mellett pontosabb numerikus eredmének várhatóak. A elemek eg rétegben héagok és átfedés nélkül lefedik a egés V tartománt. 4. ábra. Sík leme végeselem felostása A (4.) virtuális munka elvben sereplő integrálok a eges elemekre vonatkoó integrálok össege: M... dv... dv. (4.) e V e Ve A elemek sarokpontjaiban esetleg a belsejében is kijelöljük a csomópontokat. Eg csomópont mogását n adat csomóponti sabadságfok írja le. A n értékét a alkalmaott mechanikai modell sabja meg például síkfeladatoknál két síkbeli elmodulás koordinátára n = vag térbeli rúdserkeetnél csomópontonként három elmodulás és három forgás koordinátára n = 6. Ha eg elem csomópontjainak sáma p akkor a elem sabadságfoka a össes elmodulás jellemő sáma N = pn. Rendeük el a elem i-edik ( i =.. p) csomóponti sabadságfokait a Δ i csomóponti mátriba melnek mérete (n) aa n sor és oslop. Eg elemhe tartoó össes elmodulás jellemő - sabadságfokok - mátria legen Forberger Árpád Vörös Gábor BME

71 4. A VÉGESEEM-MÓDSZER EGYENEEI 7 e U... p N Δ Δ Δ. (4.3) A U e mátri elemeinek sáma megegeik a elem sabadságfokainak sámával. 4.. Interpoláció Eg elem belső pontjában a u elmodulás koordinátáit a egelőre ismeretlen U e csomóponti sabadságfokokból interpolációval határouk meg. Például a iránú u elmodulás interpolációja statikai vag időben váltoó mogások esetén: p. u u N u t u t N i i i i i i A N i interpolációs függvének sokásos elneveéssel a formafüggvének általában polinomok. Dinamikai feladatoknál a csomóponti sabadságfokok a t idő egváltoós függvénei. A formafüggvének foksámát a különböő mechanikai modelleknél eltérő módon a csomóponti sabadságfokok n sámától függően kell meghatároni. Ennek résleteit a követkeő fejeetek ismertetik. A N i interpolációs függvéneket a N interpolációs mátriban rendeük el és eel eg anagi pont össes elmodulásainak interpolált alakja p u e N U. (4.4) ( n) ( nn) ( N) A elmodulás koordináták elemek köötti foltonosságát a kapcsolódó csomópontokho tartoó sabadságfokok aonossága bitosítja. átható hog a Rit és a végeselem módserek köött a lénegi különbség a interpoláció megserkestésének módjában van. E jól látsik ha össevetjük a (3.6) és a (4.4) formulákat. A Rit módser serint a (3.6) függvénsor minden elemének a értelmeési tartomána a egés serkeet míg a végeselem eljárásban alkalmaott interpolációs függvének értelmeési tartomána csak eg elem. A egmástól lineárisan független N i formafüggvének konkrét formája ugan elemtípusonként váltoó de a követkeő sabálokat minden esetben érvénesíteni kell. Ha a előírt csomóponti elmodulások a elem (vag a egés modell) merevtestserű mogását adják akkor bármel belső pontban a alakváltoások és a fesültségek értéke legen érus. ovábbi követelmén hog a elemek csatlakoó oldalfelületei vag élei mentén a megfelelő elmodulás koordináták legenek foltonosak vagis a elemenkénti interpoláció a egés modellre kellő mértékben foltonos eloslást eredméneen. A interpolációs függvének ismeretében a (.4) geometriai egenletekből ki lehet sámolni a elem belső pontjaiban a alakváltoások mátriát valamint a virtuális elmodulás és virtuális alakváltoás mátriokat: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

72 7 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI e e e ε BU un U ε B U δ δ δ δ e e e ε U B δu δ U N δ ε δ U B (4.5) ahol a transponálás jele. A B mátri elemei a N i interpolációs függvének parciális deriváltjai. Eek után a (4.4) és a (4.5) felhasnálásával felírhatjuk a (4.) virtuális munka elvében sereplő integrálok eg elemre vonatkoó értékeit amikből a eges elemmátriok sármanak. 4.. Elem mátriok Merevségi mátri: A (4.) virtuális munka elv első tagja a belső erők virtuális munkája vag a virtuális alakváltoási energia: U ε C ε dv ε C ε dv Ve Ve e e e e e δ U B C B dv U δ U k U NN Ve (4.6) ahol k e jelöli a elem merevségi mátriát. A merevségi mátri - mivel a (.0) Hooke törvénben a C rugalmas anagjellemők (.) mátria is simmetrikus - a sármatatás módjából követkeően simmetrikus. Igaolható hog a elem merevségi mátri poitív-semidefinit. A (4.6) serint eg lineárisan rugalmas elemben a U alakváltoási energia e e e e e e U δ U k U U U k U 0 ami sohasem lehet negatív. A U csak akkor les érus ha a csomóponti mogások megfelenek eg merevtest serű mogásnak. Minden más lehetséges mogás esetén a elem alakváltoási energiája növeksik. Geometriai merevségi mátri: A simmetrikus geometriai merevségi mátriban megjelennek a kedeti fesültségi állapot koordinátái. G 0 e e σ G U k Ue Ve NN U dv δ G. (4.7) ömegmátri: Dinamikai feladatokban a U e csomóponti sabadságfokok a idő egváltoós függvénei. A (4.) elvben a tehetetlenségi erők virtuális munkája: u udv u udv Ve Ve e e e e e δu ρ N N dv U δ U m U. Ve ( NN) (4.8) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

73 4. A VÉGESEEM-MÓDSZER EGYENEEI 73 A tömegmátrinak et a formáját konistens tömegmátrinak neveik. Igaolható hog a fenti definíció a visgált serkeet és a végeselem modell tömegének aonossága mellett a mogási energiák aonosságát is bitosítja. Uganis eg elem mogási - kinetikai - energiája a jól ismert definíció serint: e e e ρ uudv U dv NN U U e mu e Ve Ve ahol a elem sebesség eloslását a (4.4) interpolációból sámítottuk ki. Ebből a is belátható hog a tömegmátri poitív definit mivel a mogási energia nem lehet negatív. A konistens tömegmátri helett gakran hasnálják a diagonál serkeetű úgneveett koncentrált tömegű lumped - tömegmátriot aminél a elem megosló tömegét a csomópontokba koncentrálják. E a megköelítés csak a visgált serkeet és a helettesítő véges sebadságfokú modell tömegének aonosságát bitosítja. A kétféle tömegmátri hasnálatával termésetesen eltérő numerikus eredméneket kapunk de a elemek méretének csökkentésével a eltérés is csökken. A tömegmátri diagonál serkeete a nagméretű sajátérték feladatok megoldását jelentősen gorsítja. ehermátri: A (4.) elvben a külső hatásokat tartalmaó utolsó három tagból sármatatható a elem p e tehermátria. A (4.4) és (4.5) helettesítésével * ε C ε p u q u V Ap V dv da dv e * e e δ U B C ε dv N p da N q dv δ U p. Ve Aep Ve N (4.9) A tehermátri elemei a ténleges terheléssel energetikai értelemben egenértékű csomóponti erők és nomatékok. E a egenértékűség at jelenti hog a (4.4) interpolációval előállítható bármel lehetséges mogásra a ténleges terhelés és a p e csomóponti erőrendser munkája aonos. ineáris elmodulás interpoláció esetén a energetikai egenértékűség megfelel a statikai egenértékűségnek Kinematikai peremfeltételek A (4.) virtuális munka elv a (4.) serint a eges elemekre vonatkoó résintegrálok össegeként írható fel: M e e e e e e e e e Π δ U k U kgu m U p 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

74 74 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Mivel a elemek csatlakoó csomópontjaiban a elmodulás paraméterek (sabadságfokok) értéke aonos a eekhe tartoó elem mátri elemekre a össegést elvégehetjük aminek eredméne a U U K K U MU P 0 Π δ G (4.0) alakra rendehető. A U a egés rendser össes sabadságfokait tartalmaó oslop mátri mérete a végeselem modell sabadságfoka. A K K G M simmetrikus rendser mátriok és P a csomóponti terhek vektora. A össegés végrehajtásának módját a követkeő fejeetek sámpéldáin mutatjuk be. A előő fejeetekben láthattuk hog a virtuális munka elvének különböő váltoatai csak a kinematikailag lehetséges mogásokra érvénesek. A kinematikailag lehetséges mogások eleve teljesítik a (.4) kinematikai peremfeltételeket. A (4.0) egenletben a U akkor les kinematikailag lehetséges ha a A u felületen lévő csomópontokho tartoó elemei megegenek a előírt elmodulásokkal. Uganakkor a U virtuális elmodulásban a hasonló poícióban lévő elemek értéke - a (4.0) össegben a ismert csomóponti mogásoknak megfelelő rések sorója - érus. Mivel a U további elemei tetsőlegesek a megmaradó résre a MU KU K U P (4.) feltételnek kell teljesülni. E eg lineáris egenletrendser ami ha a serkeet megtámastása statikailag határoott vag határoatlan mindig megoldható. A statikailag határoott vag határoatlan megtámastás at jelenti hog a geometriai kénserekkel lekötött sabadságfokok sáma aonos vag több mint a serkeet merevtest serű mogásának sabadságfoka. E bitosítja hog a eredetileg poitív-semidefinit K merevségi mátri poitív definit les vagis invertálható ámaserők és belső erők sámítása A (4.) egenlet megoldása után a most már ismert U rendser mátriból elemenként kiemeljük a (4.3) U e mátriokat amiből a (4.5) alakváltoások majd a elemek belső pontjaiban a (3.0) Hooke törvén alapján a fesültségek is sámolhatóak: G e e σ C B U ε *. (4.) E általában köelítő megoldás mivel a (4.4) interpoláció a belső pontok mogását csak köelítőleg írja le. A köelítés itt at jelenti hog a (4.) egenletrendser pontos megoldásából kisámított (4.) fesültségek ugan köelítő értékek de - a tehetetlenségi erőkkel kiegésítve - egensúli erőrendsert alkotnak. Ennek magaráata a hog a virtuális munka elve aminek végső diskretiált formája itt a (4.) egenlet - eg köelítő elmodulás meőre pontosan teljesül. A csomópontok köötti távolságok csökkentésével vagis a elemek méretének csökkenté- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

75 4. A VÉGESEEM-MÓDSZER EGYENEEI 75 sével ami elem és sabadságfok sám növelést jelent a megoldás hibája is csökken. ermésetesen ha a (4.4) interpolációs függvénekből a pontos elmodulás vektor előállítható akkor a (4.) U megoldása a csomópontok pontos elmodulása les. Erre aonban csak egserűbb serkeetek - például rácsos tartók rúdserkeetek - egserű terheléseinél lehet sámítani. A támaserők vag reakció erők aokban a csomópontokban alakulnak ki ahol a mogásokat a (.4) kinematikai peremfeltételekkel előírtuk rögítettük. Aonban a kinematikai feltételt átfogalmahatjuk dinamikai feltétellé ha eg pontba akkora erőt heleünk ami pontosan a ott előírt mogást hoa létre. Ha a (4.) U megoldását kiegésítjük a előírt u csomóponti értékekkel akkor a eredeti még a kinematikai peremfeltételek miatt át nem alakított (4.) egenletből követkeő G KK UMU P (4.3) teljes egenletrendserből a most már teljes egésében ismert U mátri felhasnálásával kisámolt P tehervektorban a eredeti külső terhelések mellett a u mogást létrehoó csomóponti erők támaserők is megjelennek. A előőekben váolt algoritmus fő lépései a követkeők voltak: - a tartomán felostása elemek csomópontok kijelölése a elmodulás interpoláció felvétele - elemsintű sámítások elemmátriok meghatároása - össegés rendser mátriok meghatároása - kinematikai (mogás) kénserfeltételek teljesítése - rendser egenlet megoldása - eredmének feldolgoása fesültségek támaserők sámítása. A elemmátriok sámítását a össegés és megoldás technikai résleteit a különböő mechanikai modellekkel foglalkoó fejeetek sámpéldáin mutatjuk be. 4. Végeselem analíis A (4.0) egenlet a kis alakváltoásokat végő lineárisan rugalmas anagú serkeeteknél különböő feladattípusok megoldására alkalmas. A követkeő fejeetekben eek köül a leggakrabban hasnált lehetőségeket tekintjük át. 4.. ineáris statika Ha a serkeet fesültségmentes kedeti állapotból kiindulva lassú mogásokat vége akkor a végső egensúli heletet a lineáris egenletrendser megoldásával lehet meghatároni. K U P (4.4) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

76 76 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 4.. Másodrendű statika A lineáris elmélet alkalmaása lénegében at jelenti hog a egensúli feltételeket a eredeti terhelés előtti alakat méretei alapján határouk meg. Nagobb mértékű mogások esetén aonban figelembe kell venni a serkeet geometriájának folamatos váltoását is. Erre láthatunk eg egserű példát a 4.. ábrán ahol a K kerestmetset hajlító igénbevétele a eredeti egenes alakkal F / a lehajlással is sámolva F / + F v. A két érték különbsége a lineariálás hibája a v lehajlás mértékétől függ. F F v K 4. ábra. Másodrendű hatás F / A problémának köelítő de gakran kielégítő pontosságú megoldása a másodrendű elmélet. Elősör fesültségmentes kedeti állapotot feltételeve megoldjuk a (4.4) egenletrendsert meghatárouk a (4.) belső erőket majd a második lépésben et σ 0 kedeti fesültségi állapotnak tekintve kisámítjuk a (3.7) geometriai merevségi mátriot. A G K K U P (4.5) lineáris egenletrendser megoldásából meghatárohatjuk a pontosított mogásokat és a belső erőket. A eljárást a íg előálló új alakatra mint kedeti állapotra megismételhetjük (harmadrendű sámítás). Előfordulhat hog a (K + K G ) módosított merevségi mátri singuláris les és akkor a (4.5) lineáris egenletrendsernek nincs megoldása. E a jelenség akkor mutatkoik ha a külső terhelés nagobb mint a rendser kritikus stabilitásvestést okoó terhelése Kritikus terhelés A lineáris stabilitássámítás célja a kritikus terhelés értékének meghatároása. A kritikus terhelési sintet elérve a serkeet egése vag eges elemei elvesíthetik további teherviselő képességüket mogásuk határoatlanná válik. A jelenséget a 4.. ábra illustrálja. A kritikus terhelésnél a teher-mogás függvénnek elágaási (bifurkációs pont) pontja van ami fölött már egnél több lehetséges egensúli helet létehet. A kérdés tehát a hog eg adott terhelési sinthe eg vag több egensúli állapot tartoik. Meg kell visgálni hog eg egensúli heletből mint alapállapotból kiindulva a terhelések váltoatlan értéke melwww.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME

77 4. A VÉGESEEM-MÓDSZER EGYENEEI 77 lett (érus teher növekmén) létehet e érustól különböő elmodulás növekmén pontosabban a 0 KKG σ U 0 (4.6) homogén lineáris egenletrendsernek mikor lehet U 0 megoldása. A geometriai merevségi mátri (4.7) alakjából látható hog a a kedeti fesültségek homogén lineáris függvéne: G λ 0 λ 0 G K σ Κ σ. A (4.6) lineáris egenletrendsernek csak akkor lehet U 0 megoldása ha a egüttható mátri determinánsa érus det 0 λ K K σ G 0. (4.7) E eg sajátérték feladat. A legkisebb absolút értékű sajátérték a kritikus terhelési paraméter a hoá tartoó sajátvektor pedig a stabilitásvestési formát mutatja meg. A kritikus terhelés sámítását is két lépésben kell végrehajtani. Elősör a (4.4) egenlettel kisámítjuk a P külső terhelésekből a eges elemekben kialakuló belső erőket e les a alapállapot. A második lépésben eek ismeretében sámolható a K G geometriai merevség majd a sajátérték. A kritikus terhelés a eredeti külső terhelés és a sorata P cr = P. ermésetesen bionos serkeetek a kritikus terhelésnél nagobb terheket is felvehetnek de ennek sámítására a többsörösen lineariált virtuális munka elv és a arra épülő algoritmus nem hasnálható. ovábbá vannak olan stabilitási problémák is meleknél nincs bifurkációs pont. A stabilitási problémák alaposabb és résletesebb tanulmánoásáho ajánlható imoshenko vag Kollár könvei [3] [6] Sabad lengések sajátfrekvenciák A terheletlen serkeet lehetséges mogásainak a sabad regéseknek a visgálatáho a K U M U 0 (4.8) homogén lineáris differenciálegenlet rendsert kell megoldani. ételeük fel hog a terheletlen lineárisan rugalmas modell csomópontjai periodikus mogást végenek: U t Φ sin( t) ahol t jelöli a időt és Φ a csomópontok amplitúdó mátria más sóval a lengésképek. A feltételeett lengés alakot a (4.8) egenletbe helettesítve a Forberger Árpád Vörös Gábor BME

78 78 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI K ω M Φ 0 (4.9) homogén lineáris egenletet kapjuk aminek csak akkor lehet Φ 0 megoldása ha a egüttható mátri determinánsa érus det K M 0. E eg sajátérték feladat aminek megoldása a rendser sabad regéseinek frekvenciái (illetve aok négete) a sajátvektorok pedig a lengésképek. Mivel a K és M poitív definit - feltéve hog a..3 fejeetben leírtak serint a kinematikai peremfeltételek sáma elegendő - és simmetrikus mátriok a sajátértékek poitív valós sámok. A lehetséges [ω j Φ j ] sajátfrekvencia sajátvektor párok sáma nem több mint a végeselem modell sabadságfokainak sáma. A tömegmátri diagonál serkeete koncentrált tömegű lumped tömegmátri alkalmaása a nagméretű sajátérték feladatok megoldását jelentősen gorsítja Másodrendű dinamika A statikus - időben állandó - külső terhelések módosítják a serkeet látsólagos merevségét és een kerestül a sabad regések frekvenciáit is és a lengésképeket is. Köismert példa a egenes húott/nomott rúd hajlító lengéseinek váltoása. A húás növeli a nomás csökkenti a hajlító lengés frekvenciáit. A statikus terhelések hatását a serkeet merevségére a geometriai merevségi mátri fejei ki és eért - ha et a hatást is modelleni akarjuk - a (4.7) helett a det 0 K K M G (4.0) sajátérték feladatot kell megoldani. Ha et össevetjük a lineáris stabilitássámítás (4.6) alapegenletével látható hog ha a statikus terhelés eléri a kritikus értéket a (K + K G ) eredő merevségi mátri singuláris les és akkor a legkisebb sajátérték = Gerjestett mogások Ha a serkeetre időben váltoó terhelés működik akkor a MU KUP t (4.) lineáris differenciálegenlet rendsert kell megoldani. A lineáris dinamikai rendserek körében két megoldási lehetőséget érdemes megemlíteni. A modálanalíis - vag a modális felbontás módsere serint a gerjestett rendser megoldását n i U t fi t Φ i Forberger Árpád Vörös Gábor BME

79 4. A VÉGESEEM-MÓDSZER EGYENEEI 79 formában keressük ahol Φ i a (4.9) sabad rendser sajátvektorai. A másik és nemlineáris rendsereknél is alkalmaható eljárás a direkt időintegrálás módsere. Ennek lénege hog a t váltoó serint eg véges differencia eljárást alkalmaunk. Ennek több váltoata (Newmark Wilson θ stb.) is ismert. Itt érdemes megemlíteni hog a (4.) mogásegenlet általánosabb alakja t MU DU KUP ahol D a sebességgel arános csilapítások mátria. A külső és belső csilapítások elemése a megoldási technikák résletesebb ismertetése meghaladja een jeget kereteit leírásuk megtalálható többek köött Clough-Penien [9] vag Wunderlicht-Pilke [9] könveiben. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

80 5 Rúdserkeetek végeselem modelljei Ebben a fejeetben a úgneveett egméretű serkeeti elemek modelljeit tárgaljuk. A egméretű vag egenes vonalelemek a csuklós végpontú és a merev végpontú rúdelemek. A csuklós végpontú egenes elemekben csak húó vag nomó igénbevételek lehetnek eeket hasnáljuk a rácsos serkeetek visgálatára. A merev végpontú rúdelemek nomatéki és níró igénbevételek viselésére is alkalmasak. Eeket hasnálhatjuk síkbeli vag térbeli keretserkeetek modelleéséhe. A.. fejeetben láttuk hog a főtengelek koordináta rendserében a egenes tengelű rúdelemnél a tengeliránú és a tengelre merőleges mogások egmástól függetlenül visgálhatóak. Ennek megfelelően a virtuális munka elve is felbontható a csak a aiális mogást tartalmaó (.4) és a csak a tengelre merőleges (.5) mogást tartalmaó résekre. 5. Csuklós végpontú rúdelem A mindkét végén csuklós egenes rúd (rácsrúd vag angolul truss element) a legegserűbb serkeeti elem. Igénbevétele tista húás/nomás eért rúd megnúlása köben a végpontok a végeselem modell csomópontjai csak tengel iránban mooghatnak. Eg egenes serkeeti elem a tengelíránú elmodulásának meghatároásáho a (.4) virtuális munka elvet alkalmauk: Π u EAu u d Au u d Wk EA0 u d0.(5.) Ebben a virtuális munka elvben a u elmodulás függvén koordináta serinti első deriváltja serepel ami meghatároa a u() köelítéséhe hasnálható polinomok legalacsonabb foksámát. A legegserűbb köelítő függvén most a elsőfokú polinom. Belátható hog sakasonként állandó köelítés esetén a alakváltoási energia érus les. A két végponti elmodulásből a elem belső pontjaiban a tengeliránú mogást a követkeő lineáris interpolációval határohatjuk meg: u u N u N N U N N / e 3 () () N u N U e N u (5.) ahol N (ξ) N (ξ) a lineáris formafüggvének és U e a elem sabadságfokainak (3.3) mátria. Most a csomópontok sabadságfoka n = a elem össes sabadságfokainak sáma pedig N =. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

81 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 8 N N u u = ξ 5.. ábra. A két sabadságfokú csuklós rúdelem és a lineáris formafüggvének 5.. Elem mátriok Merevségi mátri: A tengeliránú fajlagos núlás és a virtuális núlás a (.3) geometriai egenletből: du dn U N U d d e u e e u N U U N. Itt a vesső a saját argumentum (vag vag ξ) serinti deriváltat jelöli. A (5.) N deriváltjainak helettesítésével a alakváltoási formafüggvének energia növekmén és a elem merevségi mátria e e e e EA U EAuud δ U k U k N N d e AE k. e 0 (5.3) E a csuklós végű rúdelem (4.6) merevségi mátria a rúdho kötött lokális koordináta rendserben. ömegmátri: Dinamikai feladatokban a csomóponti mogások a idő függvénében váltonak. A longitudinális mogás és a gorsulás: e NU NU e U N. e u t t u u A (5.) virtuális munka elvben a tehetetlenségi erő munkája e e e e Au u dδ U m U m A N N d () 0 ahol m e a elem (4.8) konistens tömegmátria ami a (5.) formafüggvének helettesítése és integrálás után a követkeő alakú les: m e ρa 6. (5.4) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

82 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A konistens tömegmátri helett gakran hasnálják a diagonál serkeetű tömegmátriot. Ha a rúdelemet a két végpontjába koncentrált tömegponttal helettesítjük akkor a tömegmátri: m e ρa 0 0. ehermátri: Sámítsuk ki a (5.) elv utolsó két tagjából a elem tehermátriát ha arra 5. ábrán látható F és F csomóponti erők és és p állandó megosló terhelés működik továbbá a Δ 0 hőmérsékletváltoása állandó: W EA ud F u F u p ud EA ud k 0 0 U e e e e N U 0 N U p 0 0 F u F u δ p dδ EA dδ. F F = ξ p 5. ábra. Húott rúdelem terhelései A elem p e tehermátria a (5.) formafüggvének helettesítése és a integrálások elvégése után: F p AE. (5.5) e p 0 F Egserűen ellenőrihető hog a csomóponti erők statikailag egenértékűek a terhelésekkel. A csuklós végpontú elemben csak húó/nomó fesültség lehet. A elem fajlagos núlásából a egserű Hooke törvénnel a normál fesültség e E e E E Eu E N U U u u. (5.6) 5.. Síkbeli rácsos serkeet öbb elemből álló síkbeli serkeetben eg a 5.3 ábrán látható rúdelemet a végpontoknak a X Y globális serkeeti koordinátáival adhatunk meg. A elem hossa és a iránát megadó sögfüggvének: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

83 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 83 X X Y Y X X Y Y s sin ccos. U e u UcVs e e e D u 44 UcVs D U. (5.8) (5.7) A csuklós végpontok lokális iránú u mogása és a globális X Y iránú U V mogásainak kapcsolata a 3.3 ábrán is követhető módon: A D e a elem globális sabadságfokainak mátria és jelöli a lokális és globális rendserek köötti transformáció mátriát: e c s 00 D U V U V 00c s. (5.9) A síkbeli csuklós végű rúdelem látsólag nég sabadságfokú de e a nég sabadságfok amint a a (5.8) transformációból is látható lénegében csak két független paramétert - u és u - tartalma. Y V u Y U Y U u V β X X X 5.3 ábra. Síkbeli csuklós végű rúdelem Eek után a (5.3) alakváltoási energia növekmén a globális paraméterekkel kifejeve: e e e e e e e e e U δ U k U D 4 k 44 D D K D ahol K e a csuklós végű rúdelem globális (síkbeli) merevségi mátria. A (5.3) lokális merevség és a (5.9) transformációs mártri felhasnálásával: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

84 84 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI c cs c cs AE cs s cs s e e K k. (5.0) c cs c cs cs s cs s Hasonló módon sámolható a elem globális tömegmátria és a tehervektor transformáltja: e e M m (5.) e e e e e e e e δu p δd p δ D P P p. (5.) W k Példa: Síkbeli rácsos serkeet Határouk meg a 5.4 ábrán látható három rúdból álló síkbeli rácsos tartó csomópontjainak elmodulásait a rudakban keletkeő fesültségeket és a reakcióerőket! A AE merevség és a hoss minden rúdra aonos. Y F X 5.4 ábra. Síkbeli rácsos serkeet A véges elem modellt a csomópontok koordinátái és a csomópontok kapcsolódását megadó a lokális (elemenként lok. és lok.) és a globális sámoást össerendelő tábláatok határoák meg: pont X Y elem lok. lok / 3/ 3 3 A modell sabadságfoka 6 csomópontonként kettő elmodulás. A (5.0) globális merevségi mátriok elemenként a követkeők: 0. elem: 0 c s0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

85 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 85 K AE k k k k. elem: 3. elem: 0 0 c / s 3 / K 3 3 AE k k k k c / s 3 / K AE k k k k A 66 méretű K rendser mátriban adjuk össe a elem merevségeket. A K e elem mátriokban lévő csomóponti almátriok helét a rendser mátriban a pontok globális sorsáma határoa meg amit a lokális és a globális csomópont sámoást össerendelő tábláat mutat. A össegési folamata (kompilálás) elemenként a alábbiak serint követhető: 3 3 k k k 0 k K k k k k k 0 k k k ehát a. elem almátriai a globális mátri - a. elemé a -3 és a 3. elemé a -3 sor oslop poicióiba kerülnek. Hasonló módon kell össegeni a elem tehermátriokat is. A össegés eredméne a rendser merevségi és teher mátria: AE K P F Forberger Árpád Vörös Gábor BME

86 86 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A kinematikai peremfeltételekkel megkötött sabadságfokok V = V = U 3 = V 3 = 0 eért a rendser mátriok és 6. sorait oslopait törölni kell. A még ismeretlen csomóponti mogásokra vonatkoó (4.3) lineáris egenletrendser AE 4 5 4U U F aminek megoldása kiegésítve a előírt mogásokkal: F U AE 6 A U mátriból kiemelhetjük a eges elemekhe tartoó (5.9) D e globális mogásokat. A (5.6) normál fesültségek sámításáho a D e mogásokat a (5.8) transformációval vissa kell forgatni a rúdho kötött lokális rendserbe: U e c s 0 0 e E e σ ε 0 0 e E c s e D U. 4 Például a első elemre c = s = 0: F F 6 F 6 4 F AE 9AE 0 9A 0 9A 0 U σ. Hasonló módon a második és harmadik elemben a normál fesültség: 0 F 8 F σ σ 3. 9 A 9 A A egés serkeetre ható külső erőrendser a (5.3) egenlet serint a eredeti rendser merevségének és a kinematikai peremfeltételekkel kiegésített teljes elmodulás sorata: F F 9 P KU Forberger Árpád Vörös Gábor BME

87 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 87 F 3/ 9 F F 4 3 / 9 F 53/ ábra. A teljes külső erőrendser Eek a külső erők terhelés és támaserők egütt láthatóak a 5.5 ábrán. Ellenőrihetjük hog e valóban eg egensúli erőrendser. 5. Hajlított rúdelem A egenes tengelű hajlított rúdelelm tengelén lévő pontok csak a tengelre merőleges iránba moognak. Ennek megfelelően a terhelések irána is a tengelre merőlegesek. Mivel a kerestmetset két főtengelének iránába eső mogásokra formailag hasonló egenletek vonatkonak íg elegendő eg komponenes a iránú v(t) résletes visgálata. A végeselelm modell felépítésének kiinduló egenlete a (.5) virtuális munka elvének a tengelíránú erők (.4) munkájával kiegésített alakja: Π v EI vv d Avv d Nvv d Wk EIGv d0. F (5.3) 5.. Elmodulás interpoláció A Euler-Bernoulli féle rúdelmélet (.) egenleteiből is látható hog a hajlított rúdelem (gerenda vag angolul beam elelement) eg kerestmetsetében lévő anagi pontok mogását két paraméter határoa meg a rúd tengelének v lehajlása és a θ = v forgás. A 5.6 ábrán a rúdelem végpontjainak a csomópontoknak a sabadságfoka n = a egés elemé pedig N = 4. A elemhe tartoó össes elmodulás jellemő - sabadságfokok mátria: e U v v. (5.4) 4 A (5.3) elvben a v elmodulás függvén koordináta serinti második deriváltja serepel amiből követkeik hog a legegserűbb köelítő polinom most legalább másodfokú. Belátható hog a sakasonként lineáris köelítés esetén a hajlított elem alakváltoási energiája érus. Eg másodfokú polinom aonban csak három Forberger Árpád Vörös Gábor BME

88 88 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI sabadon válastható paramétert tartalma miköben a elem sabadságfokainak sáma nég eért a minimális polinom foksám három les. A rúdelem eg belső pontjában a v() elmodulást a csomóponti sabadságfokokból a követkeő alakú interpolációval határohatjuk meg: v v N N v N N N U (5.5) 3 4 e (4) (4) ahol a interpolációs vag forma függvének a harmadfokú Hermite polinomok: N 3 N N N /. (5.6) Figeljük meg hog eek a forma függvének a (5.8) negedrendű hajlítási alapegenlet megoldásai ha p = 0. E at jelenti hog a 5.6. ábra serinti elem alkalmaásákor a rudserkeet aon a résein ahol nincs a tengelre merőleges megosló terhelés a lehajlásokra - a elemmérettől függetlenül - a pontos megoldást kapjuk. A (5.6) interpolációs függvének teljesítik a 4.. fejeetben a formafüggvénekre megfogalmaott feltételeket. Rövid sámolással igaolható hog a (5.5) interpoláció a végpontokban valóban a végponti értékeket adja vissa aa v(0) = v v (0) = θ v() = v v () = θ. ovábbá ha a csomópontokban eg merevtestserű mogásának megfelelő értékeket adunk meg akkor a belső pontok is követik et a mogást. Például a csomópont körüli α forgás esetén: v 0 v és a interpolációból: v N N N. 3 4 N θ v v θ ζ N N 3 N ábra. A nég sabadságfokú rúdelem (gerenda) és a harmadfokú formafüggvének Forberger Árpád Vörös Gábor BME

89 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI Elem mátriok A (5.5) interpoláció ismeretében kisámíthatjuk eg elemre a (5.3) virtuális munka elvben sereplő tagokat. Merevségi mátri: A d N e e e e v U N U v N U U N d helettesítésével a alakváltoási energia növekmén és a elem merevségi mátria: e e e e EI 3 0 U EI vvdδ U k U k N N d ahol a N mátri elemei a (5.6) formafüggvének ξ váltoó serinti második deriváltjai: N Sorás és integrálás után felírhatjuk a állandó kerestmetsetű elem k e simmetrikus merevségi mátriát. Például a mátri. sor. eleme a követkeő módon sámolható: EI EI EI N N d d A többi elem kiintegrálása után a elem (5.6) merevségi mátria: Itt érdemes megjegeni hog a (5.6) interpolációs függvének teljesítik a 5.. fejeetben a formafüggvénekre megfogalmaott feltételeket. Rövid sámolással igaolható hog a (5.5) interpoláció a végpontokban valóban a végponti értékeket adja vissa aa v(0) = v v (0) = θ v() = v v () = θ. Ha a csomópontokban eg merevtestserű mogásának megfelelő értékeket adunk meg akkor a belső pontok is követik et a mogást. Például a csomópont körüli kicsi α forgás esetén: k 6 6 EI (5.7) e v 0 v és a interpolációból: 3 4 v N N N. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

90 90 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ovábbá ellenőrihető hog a csomópontok merevtestserű mogása köben a rúd alakváltoása érus. A előő eg merev forgást leíró csomóponti adatokkal a (.3) serinti fajlagos núlás valóban érus les: e v N U Geometriai merevségi mátri: A (5.3) virtuális munka elvben a állandó rúdiránú erő munkája a dn e e e e U N U v N U U N v helettesítésével d N U N vvd δ U k U k N N d e e e e G G G alakban írható fel. A (5.6) interpoláció helettesítése és a kijelölt integrálás elvégése után a állandó N húó/nomó igénbevétellel terhelt elem (5.7) geometriai merevségi mátria: k e G N (5.8) ömegmátri: Dinamikai feladatokban a csomóponti mogások a idő függvénében váltonak. A rúd lehajlása és gorsulása: e NU NU e U N. e v t t v v A (4.3) virtuális munka elvben a tehetetlenségi erő munkája e e e e Av v du m U m A N N d (44) és a elem (5.8) konistens tömegmátria a (5.6) formafüggvének helettesítése és integrálás után a követkeő alakú les: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

91 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI e ρa m (5.9) Gakran a konistens mátri helett célserűbb a diagonál serkeetű tömegmátri alkalmaása. Ha a rúdelem megosló tömegét a 4.7 ábrán látható módon a csomópontokba koncentráljuk akkor a tömegmátri: e ρa m. (5.0) Itt jól megfigelhető a konistens mátri egik hiánossága hiánanakk a tengel körüli forgásokho tartoó tömeg adatok a megfelelő másodrendű tehetetlenségi nomatékok. ρa/ ρa/ 5.7 ábra. Rúdelem megosló tömegének sétostása ehermátri: Sámítsuk ki a hajlított rúdelem tehervektorát ha a 5.8. ábrán látható F F csomóponti koncentrált erők és a állandó intenitású p megosló terhelés mellett a rúd hőmérséklet váltoása Δ = Δ G. A Δ G hőmérséklet váltoás gradiense a hoss mentén legen állandó. A (5.3) virtuális munka elvben a utolsó két tagból W EI v d k G F v F v p v d EI v d G e e e F vfv δ U p N dei G dδ. N U p 0 0 A elem (5.8) teher mátria a (5.6) formafüggvének helettesítése és a integrálás elvégése után:. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

92 9 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI p e F 0 0 p / 6 EI G. (5.) F 0 0 / 6 4 F p F = ξ 5.8 Hajlított rúdelem terhelései 5..3 A rúdelem igénbevételei A elemmátriok kisámítása a (5.0) rendser mátriok össeállítása és a (5.) mogásegenlet megoldása után ismerjük a csomóponti sabadságfokok értékét. A eredmének kiértékelésének fontos rése a (5.) serinti belső erők rudaknál a igénbevételi függvének meghatároása. A hajlító igénbevételt a (.6) a níró igénbevételeket a (.7) egensúli egenletből sámolhatjuk: EI e M EIv N U EI Δ α G 4 4 EI e V M N U. 4 4 (5.) Mivel a (5.5) forma függvének harmadfokú polinomok eekből a egenletekből a hajlító igénbevétel elemenként lineáris a níró igénbevétel pedig elemenként állandó ami a megosló erőkkel terhelt sakasokon nílván csak köelítés. θ v v θ M V V M 5.9 ábra. A rúdelem csomóponti igénbevételei A csomóponti igénbevételeket kisámíthatjuk követlenül a egensúl feltételéből is. Ha a egés serkeet egensúlban van akkor annak bármilen módon kiválastott rése alserkeete is egensúlban van tehát arra is teljesül a virtuális munka elve. Alkalmauk et a megállapítást a 5.9 ábrán látható egetlen rúdelemre ahol a csomóponti igénbevételek a elemre néve külső koncentrált terhelések: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

93 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 93 V V M M V V M M e e e e e e ku p 0 ku p (5.3) ahol p e a elemre ható egéb külső terhelésekből sámított (5.) tehervektor. A (5.) egenlet a terhelés jellegétől függetlenül a csomóponti igénbevételek pontos értékét adja amiből kiindulva a elemre ható p megosló erőrendser és Δ G hőmérséklet váltoás gradiens ismeretében meg lehet határoni a pontos igénbevételi függvéneket. Eért célserűbb a igénbevételi függvének meghatároásáho a (5.) egenletek helett a (5.) egenleteket hasnálni Példa: Statikus terhelés A 5.0 ábrán látható 3060 mm tömör téglalap kerestmetsetű statikailag kétseresen határoatlan megtámastású egenes rudat két elemre ostottuk. Határouk meg a csomópontok elfordulását a második elem P köéppontjában a lehajlást a csomóponti igénbevételeket és a támaserő rendsert. l I E p m 35 0 mm 0 MPa N/m Y l l P p X Y Z ábra. Statikus terhelés 3060 A sámításokat méter és Newton mértékegségekkel végeük. A két rúdelemből álló modell össes sabadságfoka 6 csomópontonként eg elmodulás és eg forgás: U v v v 3 3 A (5.7) merevségi mátri mindkét elemre aonos: 6l 6l 6 6 EI 6l 4l 6l l l 6l 6 6 6l l 6l 4l k k A elemek (5.) tehermátriai: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

94 94 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI pl l/ p p l/ 6 A elem adatok össegésével a K és P rendser mátriok: 6l 6l 0 0 6l 4l 6l l 0 0 EI 6l 4 0 6l l 0 0 6l 6l 0 0 6l l 6l 4l K 3 6l l 0 8l 6l l pl l l P A kinematikai peremfeltételek: v = v = v 3 = 0 θ = 0 eért a rendser mátriok.. 3. és 5. sorait oslopait törölni kell. A ismeretlen csomóponti mogásokra forgásokra vonatkoó (5.4) lineáris egenletrendser és a megoldása: θ θ r 3 θ 3 6 θ 3 r ad ad Y θ v P θ 3 X 5. ábra. artó deformált alakja A teljes megoldás kiegésítve a előírt mogásokkal: U A második elem P köéppontjának elmodulását a (5.5) interpolációból sámíthatjuk ki. A P pontban ξ P = 05 és a. elem lokális és végpontjai a rendser és 3 jelű csomópontjai: 3 3 vp N P N 4 P / m. A pontos érték v P = -038 mm a hiba 30 % körüli. Uganakkor a csomóponti forgásokra kisámított értékek pontosak. A csomóponti igénbevételeket elemenként a (5.) egenletekből sámoljuk: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

95 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 95 V M ku p V M V M ku p V 3 M A 5. ábra mutatja a elem végpontok igénbevételeit és a eekből sámított csomóponti terheket és támaserőket. Itt ellenőrihető hog a statikai egensúli egenletek a elemekre is és a egés rendserre is pontosan teljesülnek. 07 N 07 N 574 N 486 N 357 Nm 7 Nm 74 Nm 357 Nm 07 N 6785 N 000 N 486 N 5. ábra. Elemek végponti terhelése és a támaserők 5..5 Példa: Kritikus terhelés Sámítsuk ki a 5.3 ábrán látható statikailag kétseresen határoatlan megtámastású egenes rúd (Euler féle) kritikus nomó terhelését. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

96 96 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI l A I E m 800 mm 35 0 mm 0 MPa. Y l l F X Y Z ábra. Nomott rúd kritikus terhelése 3060 A 5.3 ábra serinti tartó mérete anaga és a elemfelostás ugana mint a előő feladatban eért a rendser 66 méretű K merevségi mátria is ugana les. Mindkét elemben a húó igénbevétel N = - F eért a (5.8) geometriai merevségi mátriok is aonosak: 36 3l 36 3l F 3l 4l 3l l kg k G 30l 36 3l 36 3l. 3l l 3l 4l A már ismert eljárással össegett 66 méretű rendser geometriai merevségi mátri: 36 3l 36 3l 0 0 3l 4l 3l l 0 0 F 36 3l l l 36 3l 0 0 3l l 3l 4l KG 3l l 0 8l 3l l A kinematikai peremfeltételek: v = v = v 3 = 0 θ = 0 eért most a K és K G mátriok.. 3. és 5. sorait oslopait kell törölni. A megmaradó (5.6) homogén és lineáris egenletrendser EI 8 F 8 θ l l θ 3 0 aminek csak akkor lehet érustól eltérő - nem triviális megoldása ha a egüttható mátri determinánsa érus. átható hog a kritikus terhelés meghatároása eg sajátérték feladat megoldásáho veetett. A két sajátérték a q q 8 Fl det 0 q q 4 q. 30EI. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

97 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 97 determináns kifejtése után előálló másodfokú egenlet karakteristikus egenlet két megoldása. Esetünkben csak a legkisebb absolút értékű göknek van jelentősége amivel a kritikus nomó (Euler) erő értéke: EI q F q l 3 min cr 30 min N A q min sajátértékhe tartoó sajátvektor megadja a rúd a kihajlott alakját: q 4 q 8 qmin qmin θ θ 3 min min 3 0 θ / θ A pontos eredmén F cr = N a hiba 30% körüli ami a elemsám növelésével csökkenthető. átható hog a pontos érték kisebb mint a véges elemből kisámított eredmén ami arra utal hog a köelítő kevesebb elemből álló modell mindig merevebb. A sabadságfok sám növelésével a modell merevsége is csökken. Hasonló jelenséget tapastalhatunk a követkeő dinamika feladat megoldása során is Példa: Sabad lengések Határouk meg a 5.4 ábrán látható mindkét végén rögített állandó kerestmetsetű tengel hajlító lengésének sajátfrekvenciáit és lengésképeit! A I 5 4 m 800 mm 35 0 mm E 0 MPa 80 Ns /mm. Y X l=/ l ábra. Sabad lengések A tartó mérete és elemfelostása ugana mint a előő két feladatban eért a rendser 66 méretű K merevségi mátria is ugana. A (5.9) konistens tömegmátri mindkét elemre aonos: 56 l 54 3l ρal l 4l 3l 3l l 56 l 3l 3l l 4l m m Forberger Árpád Vörös Gábor BME

98 98 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI és a már többsör hasnált eljárással össegett rendser tömeg mátri: 56 l 54 3l 0 0 l 4l 3l 3l 0 0 ρal 54 3l l M 40 3l 3l 0 8l 3l 3l l 56 l 0 0 3l 3l l 4l A kinematikai peremfeltételek: v = v 3 = 0 θ = θ 3 = 0 eért most a K és M mátriok.. 5. és 6. sorait oslopait kell törölni. A frekvenciák és a lengésképek a (3.9) sajátérték feladat megoldásai: EI 4 0 ρal 3 0 v ω 0 3 ω K M Φ 0 l 0 8l l. θ A végeselem modell most két sabadságfokú eért a köelítő mogásegenletből legfeljebb kettő sajátértéket illetve sajátfrekvenciát lehet kisámítani. A 4 3q 0 det q ω ρal 4 0 8l q 0 40EI determináns kifejtésével előálló másodfokú egenlet q q megoldásaival a első két frekvencia köelítő értékei: EI q ω q s ω H 3 l ρa EI q ω q s ω 4 4 H. l ρa A pontos értékek: ω = 385 H és ω = 060 H. A lengésképek a sajátértékekhe tartoó sajátvektorok: eek láthatóak a 5.5 ábrán. q: v 0 q : v 0 Y ω Y ω X X v 5.5 ábra. A. és. lengésképek Oldjuk meg uganet a feladatot a koncentrált tömegű lumped tömegmátri felhasnálásával! A (5.0) elem tömegmátriok és a rendser tömegmátri: θ Forberger Árpád Vörös Gábor BME

99 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI ρal ρal m m M. A rendser tömegmátri diagonál serkeetű csak a főátlójában ott is csak a translációs sabadságfokoknak megfelelő poícióban vannak érustól különböő értékek. A kinematikai peremfeltételeknek megfelelő rések törlése után megmaradó EI 4 0 ρal 0 v 3 ω 0 l 0 8l 0 0 θ sajátérték feladatnak most csak eg megoldása van: EI 40 q / ω q 56 7 s ω H. l ρa és a is pontatlanabb mint a konistens mátrisal kisámolt köelítés. A ehhe tartoó lengéskép: q: v 0. A elemsám növelésével diagonál tömegmátri alkalmaásából adódó hiba csökken visont a sajátérték feladat megoldását a tömegmátri diagonál egserű serkeete leegserűsíti gorsítja. Néhán általánosítható tapastalat: - A frekvenciák pontos értékei kisebbek mint a köelítő frekvenciák ami a előő feladatnál tapastaltakho hasonlóan arra utal hog a kisebb sabadságfok sámú modell mindig merevebb. - A második frekvencia hibája nagobb mint a elsőé. E is általános jelenség a sajátértékek indesámával a numerikus hiba is növeksik. - A kisámítható sajátfrekvenciák lengésképek sáma nem több - esetleg kevesebb - mint a rendser sabadságfokainak sáma Síkbeli rúdserkeet Síkban a 5.6 ábra serinti rúdelem lokális koordináta rendserében eg csomópontnak három sabadságfoka van n = 3 a rúd tengel iránú u a arra merőleges v elmodulások és a síkra merőleges tengel körüli θ forgás. A két csomópontos rúdelem hat sabadságfokú N = 6. A sabadságfokok mátria: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

100 00 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI e 3 U u v u v 6. (5.4) 3 Y V v u Y θ β U Y X X X 5.6 ábra. Síkbeli rúdelem transformációja A elem lokális koordináta rendserében a eges elem mátriok a csuklós végpontú húott és a hajlított elem mátriainak össege les. Merevségi mátri: A csomóponti mogások (5.3) sorrendjének megfelelően a (5.3) és a (5.7) merevségek össegésével a eredő merevség: a 0 0 a b 6b 0 b 6b e 0 6b 4b 0 6b b a A/ k E 3 (5.5) a 0 0 a 0 0 b I /. 0 b 6b 0 b 6b 0 6b 0 6b 4b ömegmátri: Hasonló módon lehet megserkesteni a (5.4) és a (5.9) konistens tömegmátriok össegét: e ρa m. (5.6) Geometriai merevségi mátri: A csuklós végű elemnél a geometriai merevség nem értelmehető. A hajlított elem (5.8) mátria a megfelelő heleken érus elemekkel kiegésítve : Forberger Árpád Vörös Gábor BME

101 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI e N k G. (5.7) ehermátri: A 5. és a 5.8 ábrákon látható csomóponti koncentrált és állandó megosló terhelések valamint a hoss mentén állandó αδ hőtágulás eredő elem tehermátria a (5.5) és (5.) össegésével: F p 0 F p p/ 6 e 0 p AE 0 GEI. F p 0 F p p/ 6 0 (5.8) A lokális rendserben felírt elem mátriokat át kell forgatni a serkeeti vag globális rendserbe. A 5.6 ábrán a β iránsöggel megadott heletű egenes elemnél a csomópontok lokális és a globális X Y iránú mogásainak kapcsolata: u UcVs s sin Δ v Us Vc c cos. 3 A síkra merőleges tengel körüli θ forgás mindkét rendserben ugana. A elem hossa és a iránát megadó sögfüggvének most is a (5.7) serint sámíthatók. A elem lokális és globális sabadságfokainak kapcsolatát a U e D e U e D e (5.9) transformáció adja meg ahol D e a elem globális sabadságfokainak mátria és a két rendser köötti transformáció mátria: c s 0 0 s c s D e U V U V sin c cos. (5.30) A elemben a (5.6) virtuális alakváltoási energia a lokális és a globális paraméterekkel kifejeve: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

102 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI U δ U k U D k D D K D e e e e e e e e e ahol K e a rúdelem globális (síkbeli) merevségi mátria. Hasonló módon transformálható a elem tömege geometriai merevsége és tehermátria. Össefoglalva a transformációs formulák a követkeők: K k M m K k P p. (5.3) e e e e e e e e G G 5..8 Példa: Keret hőterhelése A 5.7 ábra serinti állandó kerestmetsetű síkkeret hőmérséklete egenletesen megnöveksik. Sámítsuk ki a sarokpont mogását és a keret igénbevételeit! A I E / 5 4 m m 800 mm 350 mm MPa 0 C 0 0 C. Y X 006 Z ábra Keretserkeet hőterhelése A két rúdelemből álló modell össes sabadságfoka 9 csomópontonként két elmodulás és eg forgás a globális X Y rendserben. Eek sorrendje: U V U V U V A. elem (5.4) lokális és (5.30) globális merevségi mátriai és a tehervektorok is megegenek mivel a iránsög β = 0 és a (5.9) transformáció egségmátri: a A/ 0 3 mm b I / 6 50 mm AαΔ 0 07 mm K k E Forberger Árpád Vörös Gábor BME

103 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 03 P p E A. elemnél a X és iránok köötti sög β = -π/ c = 0 s = -. A (5.4) lokális merevség és a (5.9) transformáció mátriai: a A/ 0 6 mm b I / 5 0 mm E k és a. elem (5.30) globális merevsége: K k A. elem lokális és globális tehervektorai: p P E E p E A globális rendserbe transformált elemi mátriokkal a már ismert módon össeállíthatjuk a rendser mátriokat. A V = U = V 3 = U 3 = 0 kinematikai peremfeltételeknek megfelelő sorok oslopok törlése után megmaradó lineáris egenletrendser és megoldása a követkeő: U V θ 0 U mm V 959 mm θ A keret deformált alakját mutatja a 5.8 ábra. 4 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

104 04 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI θ U V 5.8 ábra. Keret mogása A csomópontokra ható erőket a elemek egensúlának (5.) feltételéből határohatjuk meg de előtte a csomóponti mogásokat vissa kell forgatni a elemek lokális rendserébe. A csomóponti igénbevételek elemenként: 0 N 58 0 V M V M U k U p N U 959 N V M k U p. 0 N V 58 0 M A elemek végponti igénbevételei láthatóak a 5.9 ábrán N 484 N 58 N 58 N 38 Nm 586 Nm 484 N 586 Nm 58 N 58 N 997 Nm 484 N 5.9. Keret csomóponti igénbevételei Forberger Árpád Vörös Gábor BME

105 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI A imoshenko rúdelem A 3.. fejeetben a (3.6) egenletekből látható hog a Euler-Bernoulli elmélet nem vesi figelembe a nírási alakváltoásokat. E annak a feltételeésnek a követkeméne ami serint a kerestmetset síkja mindig merőleges a rúd görbült tengelére. A imoshenko elmélet et a megkötést feloldja és bár korlátoottan de a (5.6) egenletek serint sámol a níró fesültségeknek a mogásra gakorolt hatásával. A síkbeli hajlított imoshenko rúdelem eg kerestmetsetének mogását a 3.3 ábrán látható módon két független paraméter határoa meg a v lehajlás és a θ forgás. A hossúságú elem eg belső pontjában eeket független mogás paramétereket a csomóponti U e 4 v v sabadságfokokkal a követkeő formában interpoláljuk: ξ ξ ahol a interpolációs függvének: v N N N3 N4 N5 N6 N7 N U 8 e ξ / ξ ξ B N B ξ ξ N ξ ξ B B ξ ξ B N3 B 3ξ ξ N 4= ξ ξ B B (5.3) 7 8 ξ 3 6 ξ(ξ ) N 5 N6 B ξ B B 6 ξ( ξ) ξ N N B 3ξ B B (5.33) EI B = GAs A itt sereplő A s kerestmetseti jellemő a níró terület ennek értelmeését és jelentőségét a 3.. fejeet ismertette. A Euler-Bernoulli rúdelemnél hasnált (5.6) harmadfokú interpolációs vag forma függvének a hajlított rúdelem (3.8) serinti EI v 0 homogén negedrendű alapegenletnek a egségni végpont mogásokkal vag forgásokal mint. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

106 06 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI peremfeltételekkel meghatároott megoldásai. Et a eljárást itt is alkalmava a (5.3) interpolációs függvének a imoshenko rúdelem (3.7) homogén (p = 0) egenleteinek megoldásai. A továbbiakban a már ismert módon a interpolációs függvéneket behelettesítve a (.8) alakváltoási energia növekménbe e e e U k U U EI d GA v v dδ felírhatjuk a imoshenko rúdelem merevségi mátriát: 6 6 e EI 6 4B 6 B k (5.34) B 6 B 6 4B Ha a nírás hatását elhagjuk aa B = 0 akkor e megegeik a (5.7) merevségi mátrial. A további elemmátriok sármatatása a Euler-Bernoulli rúdelemnél már bemutatott módon történik. Ennek további résletei megtalálhatók Premieniecki [5] könvében. 5.4 A St Venant féle csavarási modell érbeli rúdelemek lehetséges igénbevételei a húás a két főtengel körüli hajlításnírás és a csavarás amelek hatása eg egenes elemre egmástól függetlenül visgálható. A St Venant féle vag sabad csavarási modell alapvető feltételeése hog a rúd kerestmetsetében csak csústató fesültségek jönnek létre. A sabad jelő itt arra utal hog ebben a modellben a kerestmetset tengel iránú mogását a csavarási vetemedést semmi sem gátolja. Csavaráskor a kerestmetseti jellemők köött a C geometriai köéppont mellett megjelenik még két másik neveetes pont a csavaró köéppont és a níró köéppont. ista csavarás során a kerestmetset forgásának pólusa a csavaró köéppont. A níró köéppont pedig a a pont amin átmenő - síkbeli níró erő hatására iránától függetlenül a rúd igénbevétele nírás és hajlítás vagis nincs csavarás. Igaolható hog e a két pont amit a 5.0. ábrán a jelöl egbeesik. (Muttnánski []) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

107 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 07 u u u u C θ θ 5.0. ábra. Csavart rúd elmodulásai A kör kerestmetsetű rúd tista csavarásakor feltéve hog a θ elcsavarodási sög kicsi a elmodulás koordináták a (3.9) alapján a követkeők (5.0 ábra): u 0 u θ u θ. (5.35) A (.4) geometriai egenletekkel a érustól különböő alakváltoások: u u u u θ θ és a Hooke törvén felhasnálásával a csústató fesültségek: Gθ Gθ. A rúdelem eg kerestmetsetét terhelő M csavaró igénbevétel a külső és belső erők statikai egenértékűségéből:. M τ τ dagθ dagθ J A A A J csavarási másodrendű nomaték kör kerestmetsetnél megegeik a poláris másodrendű nomatékkal J = I p = I + I. Nem kör alakú kerestmetsetekre a J kerestmetseti jellemőt a.3 fejeetben bemutatott St Venant féle csavarási feladat megoldásából a (.36) serint kell kisámítani. A virtuális munka (.5) elvében a belső erők virtuális munkája: ε C ε U dv G da d V A G I I θ θ d GJθ θ d GJθ d. (5.36) A tehetetlenségi erők virtuális munkájának sámításakor figelembe kell venni hog a forgó mogás pólusa a 5.0 ábra serinti csavaró/níró köéppont: u θ u θ Forberger Árpád Vörös Gábor BME

108 08 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI u udv uu uu da d V A da d A I θ θ d. p (5.37) θ θ N N = ξ 5. ábra. A két sabadságfokú csavart rúdelem és a lineáris formafüggvének ista csavaráskor a kerestmetsetek csak forognak a rúd tengele körül. A rúdelem végéin lévő csomópontok sabadságfoka n = a két csomópontú egenes elem sabadságfoka N = és a elem sabadságfokok mátria: e U. (5.38) A két csomóponti értékből a elem belső pontjaiban a θ elcsavarodást a követkeő lineáris interpolációval határohatjuk meg: N N N U (5.39) e ( ) () ahol N és N a csuklós végpontú elemnél már hasnált (5.) lineáris formafüggvének. Mivel (5.3) és (5.34) energia kifejeések is alakra hasonlóak a továbbiakban a elem mátriok sármatatása is uganúg történik mint a húott rudelem esetén. A (5.37) interpoláció serint a θ elcsavarodás lineáris függvén ami pontosan megfelel a St Venant féle vag sabad csavarási modell alapvető feltételeésének ami serint dθ /d = q = állandó. Merevségi mátri: A lineáris (5.) formafüggvének N deriváltjainak helettesítésével a (5.34) alakváltoási energia növekmén és a elem merevségi mátria e e e e GJ U GJ d δ U k U k N N d k e GJ. 0 (5.40) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

109 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 09 E a egenes csak csavarásra igénbevett rúdelem (5.6) merevségi mátria a rúd lokális koordináta rendserben. ömegmátri: Dinamikai feladatoknál a elcsavarodás és a söggorsulás: e t t e NU NU e U N. és a (5.35) tehetetlenségi erők munkájából a konistens tömegmátri: I d U m U I I I A e e e pθ θ δ p m e Ip. 6 (5.4) A konistens tömegmátri helett gakran hasnálják a diagonál serkeetű tömegmátriot: 5.5 érbeli keretserkeet m ρip e 0 0. érbeli rúdelemek lehetséges igénbevételei a húás a két főtengel körüli hajlításnírás és a csavarás. A rúdelem lokális koordináta rendserében (a 4.. ábra serint a rúd tengele és a kerestmetset C köépponti főtengelei) néve a sabadságfokok és igénbevételek kapcsolata a követkeő: - N húás: tengel iránú u elmodulás - M hajlítás V nírás: tengel iránú w elmodulás és θ forgás - M hajlítás V nírás: tengel iránú v elmodulás és θ forgás - M csavarás: a níróköépponton átmenő tengel körüli θ forgás. 5. ábra. érbeli rúdelem lokális sabadságfokai Forberger Árpád Vörös Gábor BME

110 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Ebből követkeik hog a rúdelelem végein lévő csomópontoknak hat sabadságfoka van n = 6 a két csomópontos rúdelem sabadságfokainak sáma N =. A elem sabadságfokainak mátria: e 6 U i ui vi w i i i i i. (5.4) 6 A elem méretű merevségi mátria a rúd lokális rendserében a előőekben résleteett (4.3) méretű húott elem kétser a (4.7) 44 méretű hajlított elem (a - és a - síkokban történő mogásokból) és a (5.38) méretű csavart elem merevségeiből a (5.40) sabadságfok sorrendnek megfelelően rakható össe: k e k k k k (5.43) ahol a 66 méretű almátriok a követkeők: AE EI 6EI EI 6EI k 6 6 GJ EI 4EI EI 4EI Forberger Árpád Vörös Gábor BME

111 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI AE EI 6EI EI 6EI k 6 6 GJ EI 4EI EI 4EI AE EI 6EI EI 6EI k 6 6 GJ EI EI EI EI Hasonló módon kell eljárni a tömeg a geometriai merevség és a teher mátriok esetén is ransformációk A követkeő lépés a elem mátriok átforgatása a globális X Y Z vag serkeeti koordináta rendserbe. A rúdelem tengele lokális a kerestmetset főtengelei pedig a lokális és tengelek. A két koordináta rendser köötti forgatási transformáció elvileg uganolan mint amit már a síkbeli keretserkeetnél a (5.30) egenletek kapcsán résletetünk. A 5.3 ábrán berajoltuk a globális és lokális koordináta tengelek iránába mutató E E E és e e e egségvektorokat. A lokális egségvektorok koordinátái a globális rendserben legenek e le me n E e le me n E e l E m E n E. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

112 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Z u E E E e e e X Y 5.3 ábra. okális és globális koordináta rendserek Eg u (elmodulás vag forgás) vektor mindkét rendserben felírható: u e e e E E E. u v w U V W Sorouk meg et a egenletet a e e e egségvektorokkal a eredmén a lokális és globális vektorkoordináták kapcsolata u Ul Vm Wn v Ul Vm Wn w Ul Vm Wn vag ugane mátri sorat formájában: u U l m n. v 3 V 3 l m n w W l m n egen D e a elem globális sabadságfokainak mátria és a két rendser köötti transformáció. A elem lokális és globális sabadságfokainak - a csomóponti elmodulás és forgás vektorok - kapcsolata: e e e e U D U D ahol a két rendser köötti transformáció mátria: (5.44) A elemmátriok transformációs formulái a (5.30) egenletek felírásánál követett gondolatmenet serint a követkeők lesnek: K k M m K k P p. (5.45) e e e e e e e e G G Forberger Árpád Vörös Gábor BME

113 5. RÚDSZERKEZEEK VÉGESEEM MODEJEI 3 Ebben a fejeetben résletesen bemutatott rúdelem jellemőinek sámításai a Euler-Bernoulli rúdelméleten alapulnak ami elsősorban hossú rudakra alkalmaható. Vastag rudaknál - ha a kerestmetseti méret és a hoss visona nagobb mint 0 - a nírási alakváltoások hatása már jelentős lehet amint at a.. fejeet példájának eredméne is mutatta. Ilenkor a imoshenko elmélet alapján kisámított és a 4.3 fejeetben röviden leírt elem mátriokat kell hasnálni. A sámítások menete a két elméletben hasonló. A köismert végeselem programrendserek sinte kivétel nélkül a imoshenko féle vastag rúdelemet hasnálják. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

114 6 Síkfeladatok Eg rugalmasságtani feladat megoldása során amint at a..5 fejeetben résletesen bemutattuk a legáltalánosabb esetben 5 egenletből álló rendsert kell keelni. A mérnöki mechanikai sámításokban nag jelentősége van aoknak a egserűsítő feltételeéseknek amelekkel jelentős mértékben tudjuk csökkenteni a feladatban sereplő ismeretlenek sámát. A mechanikai modell kialakítása során eeket a egserűsítéseket a serkeet mérete alakja és a terhelés módja indokolja. A előő fejeetekben láthattuk hog a egdimeniós (D) rúdmodell akkor alkalmaható ha a kerestmetseti és a hossiránú méretek arána et indokolja. Rudak esetében feltételetük hog a mechanikai jellemők - elmodulások fesültségek - a kerestmetseti koordináták ( és másodrendű nomatéki főtengelek) egserű általában lineáris függvénei. A mechanikai modellek másik nag csoportját alkotják a kétdimeniós (D) feladatok ahol feltételeük hog eg koordináta - legen e a - iránában a mechanikai jellemők egserű többnire állandó vag lineáris függvének serint váltonak. A legismertebb kétméretű modellek a síkfeladatok és a síkleme és görbült héjserkeetek. A rugalmasságtan térbeli háromméretű (3D) feladatát három egserű mechanikai modell alkalmaásával lehet síkbeli kétméretű feladatra redukálni. Eek a síkfesültségi állapot sík alakváltoási állapot és forgássimmetrikus problémák. 6. Síkfesültségi állapot Síkfesültségi állapot alakulhat ki eg sík köépfelületű vékon testben ha a külső terhelések eredője is a köépfelület síkjában van és a alakváltoás során a test köépfelülete sík marad nem görbül. A továbbiakban a köépfelület legen a 6. ábra serinti koordináta sík. Mivel a test t vastagsága kicsi a iránú fesültségek is kicsik jó köelítéssel érusértékűek. A nem érus fesültségek mátria σ. (6.) A fesültségek a t vastagság mentén nem váltonak értékük állandó és nincs hajlítás. Eért gakran neveik a hajlítás mentes síkfesültségi állapotot membrán fesültségi állapotnak. A síkbeli alakváltoási koordináták a köépfelület u () u () elmodulásaiból - kis alakváltoások esetén - a (.4) össefüggések serint a követkeők lesnek: ε u u u u (6.). Forberger Árpád Vörös Gábor BME

115 6. SÍKFEADAOK 5 p() t 6. ábra. Síkfesültségi állapot Síkfesültségi állapot esetén a síkra merőleges iránú ε fajlagos núlás nem érus de értéke a σ = 0 feltételből kisámítható. A (.0) általános Hooke törvénből * * 0 c c c * majd a (.) c c anagjellemők helettesítése után: c. (6.3) * * * * * c A nem követlen mechanikai hatások követketében kialakuló alakváltoások minden iránban aonos hőtágulási tulajdonság esetén * * * 0 ahol α a lineáris hőtágulási egüttható és Δ 0 () a testnek a vastagsága mentén állandó hőmérsékletváltoása. Ebben a esetben a iránú fajlagos núlás: c * * 0. c A (6.) és (6.) síkbeli fesültségek és alakváltoások kapcsolata a (.0) általános Hooke törvénből a (6.3) helettesítésével a követkeő mátri egenlet formájában írható fel: σ C εε Cεσ * * 0 * E * 0 * 0 0 /. (6.4) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

116 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A (6.) fesültségkomponensekre vonatkoó (.8) egensúli egenletek: q 0 q 0 (6.5) ahol q és q a térfogati erőhatás koordinátái. Megjegés: A sakirodalomban gakran hasnálják a általánosított síkfesültségi állapot megneveést is amikor a síkfesültségi állapot feltételeései nem pontosan hanem csak a t vastagság menti átlagokra érvénesek: d d d 0. t t t Ebben a esetben a síkfesültségi állapotra vonatkoó egenletek és eredmének váltoatlan formában érvénesek de aok a vastagság menti átlagokra (átlagos fesültségek terhelések és átlagos elmodulások) vonatkonak. 6. Sík alakváltoási állapot Síkbeli alakváltoási állapot alakul ki eg tengelű hengeres testben ha a köépfelület síkjával párhuamos terhelések hatására a iránú méretek nem váltonak. p() A nem érus alakváltoások mátria 6.. Sík alakváltoási állapot ε. (6.6) Síkbeli alakváltoási állapot esetén a köépsíkra merőleges iránú σ fajlagos núlás nem érus de értéke a ε = 0 feltételből kisámítható. A (.) általános Hooke törvénből: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

117 6. SÍKFEADAOK 7 * 0 E E *. (6.7) A (6.5) síkbeli alakváltoások és a (6.) síkbeli fesültségek kapcsolata a (.0) általános Hooke törvénből a harmadik sor és oslop elhagásával a követkeő mátri egenlet formájában írható fel: σ C εε Cεσ * * d d 0 E C d d 0. d d 0 0 / (6.8) A síkfesültségi és a sík alakváltoási állapot egenletei köött csak a anagtörvén (6.4) (6.8) C mátriában mutatkoik eltérés. A további egenletek váltoatlan formában érvénesek mindkét modellre. A síkbeli (6.6) alakváltoási koordináták és a köépfelület pontjainak u () u () elmodulásai köötti kapcsolatot a (6.) össefüggések a síkbeli fesültség koordinátákra vonatkoó egensúli feltételt pedig a (6.5) egenletek írják le. 6.3 Síkfeladatok végeselem modelljei A előőekben röviden bemutatott két síkmodell köös jellemője hog a = 0 köépfelületen lévő pontok mogását a u () u () elmodulás koordináták (dinamikai feladatokban u (t) u (t) elmodulások) adják meg. Eek ismeretében a test bármel pontjában meghatárohatjuk a további alakváltoási és fesültség jellemőket. A végeselem modell a test köépfelületéhe kötött a elemek egserű síkbeli alakatok háromsögek vag négsögek. A továbbiakban csak három egserű de igenfontos elemtípust visgálunk résletesebben: a lineáris háromsög a lineáris négsög és a ioparamtrikus négsög elemeket. A három elemtípus kapcsán áttekinthetjük aokat a fontos alapelveket és módsereket amelek a bonolultabb másodfokú vag magasabb foksámú elemeknél is alkalmanak. A különböő elemtípusokra vonatkoó össefüggéseket és elem mátriokat a virtuális munka elvének (.5) Π u ε C εdv u udv V V ε C ε dv p u da q u dv * V Ap V (6.9) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

118 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI alakjából kiindulva írjuk fel ahol u a elmodulás p és q a felületi és térfogati terhelések ε a alakváltoás ε * a nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás C a rugalmas test anagjellemőinek simmetrikus mátria ü a gorsulás és ρ a tömegsűrűség. A virtuális munka elve serint a kinematikailag lehetséges elmodulások köül a les a adott lineáris rugalmasságtani feladat megoldása amelik teljesíti a virtuális munka elvét ineáris háromsögelem A lineáris háromsögelem a végeselem módser első és legegserűbb elemtípusa amit urner és serőtársai publikáltak [] még 956-ban. Háromsögekből álló hálóattal sinte bármilen alakatot jól le lehet fedni és a görbe határvonalakon a elemméret csökkentésével elfogadható sintre lehet csökkenteni a geometria hibát. Eg elemhálóat és eg elem látható a 6.3 ábrán. A csomópontok a háromsög sarokpontjai. A hálóatban eg csomópontho tetsőleges sámú elem sarokpont csatlakohat. g A 3( 3 3 ) u A e u ( ) ( ) 6.3 ábra. ineáris háromsögelem A 6.3 ábrán látható elem eg csomópontjának sabadságfoka n = a két elmodulás koordináta (u és u ) és eg elem sabadságfoka a három csomópontban a elmodulások sáma N = 6. A csomópontok sámoása mindig a óramutató járásával ellentétes. A elemek alakja elvileg tetsőleges de célserű ha egik sög sem tompasög. Eg elemhe tartoó össes elmodulás jellemő - a sabadságfokok - mátria legen Forberger Árpád Vörös Gábor BME

119 6. SÍKFEADAOK 9 Δ ui i 3. u i Δ3 e U Δ Δ i 6 (6.0) A háromsögelem eg belső pontjában a elmodulás koordinátákat a egelőre ismeretlen U e csomóponti sabadságfokokból a követkeő interpolációval határouk meg: 3 3 u u N u u t N i i i i i i vag ugane a (3.4) mátri sorat formájában felírva: u N 0 N 0 N 0 e 3 u ( ) u N U N (6) (6) (6) 0 N 0 N 0 N. (6.) 3 A N i interpolációs vag formafüggvének a és koordináták lineáris függvénei: N a bc i 3. i i i i A interpolációs függvénekben lévő kilenc egütthatót a sarokponti értékekből határohatjuk meg: N N 0 N 33 N 0 N N N 0 N 0 N A fenti egenletrendser megoldása után a három formafüggvén egütthatóit kifejehetjük a elem sarokpontjainak koordinátáival: N A e N A e (6.) N3 3 A e A. e ahol A e a háromsög területe. Eek a lineáris interpolációs függvének láthatóak a 6.4 ábrán. A formafüggvének értéke érus a csomópontokban kivéve at a eget Forberger Árpád Vörös Gábor BME

120 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI aminek a sorsáma megegeik a függvén sorsámával et neveik delta függvén tulajdonságnak: N 0 ha i j és N. i j j i i i u dni d Ni. (6.3) A (6.) interpolációs függvének teljesítik a 3.. fejeetben megfogalmaott feltételeket. Belátható hog ha a csomópontokban eg merevtestserű mogásának megfelelő értékeket adunk meg akkor a belső pontok is követik et a mogást. Például a iránú d eltolódás esetén u = u = u 3 = d és a (6.) alakú interpolációból eg belső pont iránú mogása: 3 3 i i Rövid sámolással igaolható hog hasonló eredménre jutunk más jellegű merevtest mogás vag forgás estén is. N i N () 3 N () N 3 () ábra. A lineáris interpolációs függvének erületkoordináták A interpolációs függvének megserkestésének eg másik lehetősége a háromsög területkoordináták alkalmaása. A 5.5 ábra jelöléseivel eg belső P pont területkoordinátái a rés-háromsögek és a egés háromsög területének aránai: A A A 3 3. (6.4) Ae Ae Ae A síkban eg pont heletét két koordináta határoa meg eért a három területkoordináta nilván nem lehet független: A A A. 3 3 Ae Ae Ae A hárosögkoordináták egik fontos tulajdonsága látható a 6.5 ábrán. A csomóponttal semben lévő -3 oldallal párhuamos egenesen lévő P és P pontok koordinátája aonos a -3 oldaltól mért merőleges távolságuk m. A = állandó koordináta vonalak a -3 oldallal párhuamos egenesek. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

121 6. SÍKFEADAOK 3 3 A A 3 P A m P P 6.5 ábra. Háromsög területkoordináták. A m Hasonló megállapítások vonatkonak a és 3 koordinátákra. Eeket a koordináta vonalakat mutatja a 6.6 ábra. Ha a P pont egbeesik valamelik csomóponttal akkor a megfelelő területkoordináta egségni a többi érus például a pontban = 0 = 3 = 0. A háromsög köéppontjának területkoordinátái: = = 3 = /3. átható hog a terület koordináták teljesítik a formafüggvénektől elvárt (6.3) delta függvén tulajdonságot. E alapján és a 6.4 és 6.6 ábra össehasonlításával belátható hog a (5.) lineáris interpolációs függvének megegenek a területkoordinátákkal: =/ = =0 3 N N N3 3. (6.5) 3 =0 =/ = 6.6 ábra. erületkoordináta vonalak. 3 3 = =/ 3 =0 A területkoordináták hasnálatának előnei igaán a magasabb foksámú interpolációs függvének megserkestése során jelentkenek Elemmátriok A interpolációs függvének meghatároása után kisámíthatjuk a 6. virtuális munka elvben sereplő menniségeket. A (6.) alakváltoások u N u Ni 3 3 i ui ui i i N 3 i ui ui i Ni ami a (6.) interpoláció helettesítése után átrendehető a (6.5) mátri sorat formájába: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

122 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI e ε 3 B U B A e (6.6) átható hog a alakváltoások elemenként állandóak eért neveik et a elemtípust constant strain triangle vag CS elemnek is. Most at is ellenőrihetjük hog a csomópontok merevtestserű mogása köben nincs alakváltoás. Például a csomópont körüli kicsi α forgás esetén a 5.3 ábra adatival a csomóponti mogások U 6 e 0 0 és a ε fajlagos núlás a (6.3) soratból: 3 A A ε többi elemére is érus adódik. e A (.0) Hooke törvén alapján a elemenként állandó (6.) fesültségek: σ e e * C B U ε A előőek alapján a virtuális elmodulás és a virtuális alakváltoás: e e δ un δ U δu δ U N e e δ ε B δ U δ ε δ U B. Merevségi mátri: A (6.9) első tagja a virtuális alakváltoási energia ε C ε ε C ε U dv dv Ve Ve U B C B U U k U e e e e e δ dv δ 66 Ve (6.7) ahol k e jelöli a elem (3.6) merevségi mátriát. Mivel a (6.6) B mátri elemei és a elem t vastagsága is állandó a integrálás eredméne: e k B C B dv B C B tae (6.8) Ve Forberger Árpád Vörös Gábor BME

123 6. SÍKFEADAOK 3 ahol a C mátri a (6.4) vag a (6.8) serinti. A merevségi mátri a lineáris háromsögelem esetén pontosan kisámítható. ömegmátri: Dinamikai feladatokban a U e csomóponti mogások a idő függvénében váltonak. A (5.9) elvben a tehetetlenségi erők virtuális munkája: dv dv Ve e e e e e δu ρ N N dv U δ U m U ahol m e a elem (3.8) konistens tömegmátria: (66) Ve u u u u Ve (66) e ta e m ρ N N dv. (6.9) Ve A konistens mátri helett gakran célserűbb a diagonál serkeetű -lumped - tömegmátri alkalmaása. Ha a ta e térfogatú háromsögelem tömegét sétostjuk a csomópontokba akkor a tömegmátri: ahol E a egségmátri. ta 3 e m e E (6.0) (66) 66 ehermátri: A (6.9) elv utolsó három tagjából sámolható a elem p tehermátria: * ε C ε p u q u dv da dv V Ap V e * e e δ U B C ε dv N p da N q dv δ U p. Ve Aep Ve 6 A első integrál a hőmérséklet váltoásából sármaó teher mátri aminek eredméne egserűen felírható ha a csak állandó menniségeket tartalma: 0 e * p dv ta e B C ε B C Ve 0 e Forberger Árpád Vörös Gábor BME

124 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ahol Δ 0 jelöli a elemenként állandó hőmérsékletváltoást és anagjellemők C mátria a síkfesültségi vag a síkalakváltoási modelltől függő en a (6.4) vag a (6.8) serinti A elemenként állandó q q térfogati erőhatásból sármaó tehermátri: ta p N q. e e dv q q q q q q Ve A állandó térfogati erő három aonos nagságú csomóponti erőt eredméne. 3 p 3 3 p 6.7 ábra. ineárisan váltoó peremterhelés A p p felületi megosló terhelésből csak akkor sármaik elemterhelés ha a háromsög valamelik oldaléle a egés modell külső és terhelt felületén van. Most legen e a elem -3 oldala amint at a 6.7 ábra is mutatja. A oldal hossa 3 és iránú lineárisan váltoó megosló erőrendser terhelési. A -3 vonal mentén a iránú mogás is és a terhelés is a s ívhoss koordináta lineáris függvéne: s u uu3 p p p3. A t 3 felületen megosló erőrendser virtuális munkája: 3 W u p tdsu p p t d k u p p t d 3 s u p / 3p / 6 tu p / 6p / 3 t Definíció serint a elem tehermátria: W k e p δu 3t 6 e p e p p3 0 p p Forberger Árpád Vörös Gábor BME

125 6. SÍKFEADAOK 5 Hasonló módon lehet kisámítani a további terhelésekből sármaó elem mátriokat. Ha a -3 oldal mentén a p megosló terhelés állandó akkor t e 3 p 0 0 p 0 p 0. 6 A csomóponti erők statikailag egenértékűek a megosló erőrendserrel. 3 p 3 p 3 F q q Δ 0 p p 6.8 ábra. Elemterhelések. Össefoglalva a 6.8 ábra serinti A e területű háromsögelem tehermátria ahol a állandó térfogati erők és hőmérsékletváltoás mellett a 3 hossúságú -3 oldal mentén váltoó megosló terhelések és a csomópontban eg koncentrált erő működik: q 0 0 q e e 3 3 p tae B C ta q t p p F (6.) 3 q 6 p p3 F 0 q p p 3 0 q p p3 0 F 6.3. Példa: Sík leme peremterhelése A síkfeladatok megoldási módsereinek résleteit tekintsük át a követkeő egse- feladat kapcsán. A 6.9 ábra serinti téglalap alakú állandó t vastagságú síkle- rű met a két sélén lineárisan váltoó megosló erőrendser terheli. A vékon le- mere teljesülnek a síkfesültségi állapot feltételei. t mm a0 mm b0 mm E9600 MPa 0 p 0 MPa. 0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

126 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI a p 0 b 6.9 ábra. Sík leme váltoó terheléssel Mivel a serkeet is és a terhelés is simmetrikus elegendő a leme 6.0 ábrán látható neged rését visgálni. A simmetria tengelek mentén olan kinematikai kénsereket kell elheleni amelek bitosítják a simmetrikus alakváltoásokat pótolják a elhagott rések hatását. A terhelés során a simmetria tengelek egenesek és simmetria tengelek maradnak. A megmaradó egneged rést ossuk fel két lineáris háromsög elemre. A sámítási modell csomópontjainak sáma 4 a össes sabadságfokok sáma pedig 8. A elemsintű sámításokban a csomópontok lokális sorsámoása és 3. A lokális és a modellben alkalmaott globális csomópontsámoást a alábbi tábláat rendeli egmásho: A anagjellemők (6.4) mátria elem lok. lok. lok mm 4 3 p 3 p 5 mm 6.0 ábra. Végeselem modell. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

127 6. SÍKFEADAOK 7 C E / A elem területe A = 5 mm csomópontjainak koordinátái (a továbbiakban alkalmaott mértékegségek mm N MPa) és a (6.6) alakváltoási mátri: B A = e A (6.8) merevségi mátri: C B k B CB At k k k k k k k k k A elem (6.) tehervektora: 3 = 5 mm és p = 0 N/mm p 3 = 0: p p 3 p3 p p p p 00 p. 0 0 Megjegés: A különböő programrendsereknél figelni kell arra hog mi a p megosló terhelés értelmeése. Eges esetekben e a t vastagságú peremfelületen megosló erőrendser míg más rendserekben a köépfelületen lévő peremgörbe mentén megosló erőrendserként hasnálják. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

128 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A elem területe A = 5 mm csomópontjainak koordinátái (a és 3 a lokális csomópontok!) és a (6.6) alakváltoási mátri B 36 A elem merevségi mátria: k CB B CB At k k3 k k3 k3 k k k k A. elemre nem működik külső terhelés a p tehervektor érus. A követkeő lépés a (3.0) rendser mátriok össeállítása. A elem merevségi mátriok almátriainak indeei - a globális csomópont sámok - megmutatják a adott almátri helét a rendser merevségi mátriban. k k k k3 k3 k 4 k k3 0 K 88 simm. k33 k33 k34 k A rendser össegett tehermátria: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

129 6. SÍKFEADAOK 9 p p P 8 p A 5.0 ábra serint a kinematikai peremfeltételek a követkeők: u = v = v = u 4 = 0 eért a rendser mátriok.. 4. és 7. sorait oslopait törölni kell. Eek után a megmaradó nég még ismeretlen mogásra vonatkoó lineáris egenletrendser: u u v v 4 0 A egenletrendser megoldását kiegésítve a előbb felsorolt előírt mogásokkal felírhatjuk a egés modell csomóponti elmodulásainak mátriát: 3 8 U (mm). A csomóponti mogások ismeretében felírhatjuk a U és U elemmogás mátriokat majd a (6.7) felhasnálásával ki lehet sámolni a eges elemekben a fesültségeket. A elemre a három fesültség koordináta sámított értékei: σ σ σ C B U τ (MPa). Hasonló módon a elemre: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

130 30 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI σ σ σ C B U τ (MPa). A kisámított fesültségek elemenként állandóak ami most igen erős köelítés. A fesültség eloslás simítására és a foltonosság látsólagos helreállítására több eljárás is ismert eek köül a legegserűbb módser a csomóponti átlagolás. Ennek eredménét mutatja a 6.. ábra ábra A σ fesültség sámított és simított eloslásai (MPa) A megoldás pontosságát a elemsám növelésével növelhetjük. A 6. ábrán látható a σ fesültség eloslást egenletes 00 elemsámú hálóat alkalmaása esetén. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

131 6. SÍKFEADAOK ábra. A σ fesültség simított eloslása (MPa) 06 A sámítási hiba mértékét jól jellemi a (.5) dinamikai peremfeltétel - a peremterhelés - adott és sámított értékeinek eltérése. A 6.0 ábrán a csomópontban a külső terhelés adott értéke p 0 = 0 MPa uganitt a 6. ábra serint a sámított σ = 06 MPa a hiba több mint 0%. A mogások hibája általában ennél kisebb. A elmodulás módser jellemője hog a elmodulások hibája mindig kisebb mint a eekből sámolt belső erők fesültségek reakcióerők hibája. A sáalékos hibamértékek eltérése köelítőleg eg nagságrend vagis % elmodulás hiba esetén a fesültségek várható hibájának nagságrendje 0% körüli ineáris négsög elem A egserű lineáris háromsögelem hátrána - amint at a előőekben láttuk - hog a fesültség eloslásokat elemenként állandó értékekkel köelíti. E különösen a fesültségkoncentrációk körneetében igen sok és kicsi elem alkalmaását igénli. A köelítő függvének foksámának növelése a elem sabadságfok növelését jelenti ami egütt jár a elem csomópont sámának növelésével. A háromsög alak mellett a másik lehetséges egserű elemforma a négsög. A sabálos deréksögű négsög bár keelése és leírása igen egserű a bonolultabb görbe vonalakkal határolt tartománok pontatlan lefedése miatt gakorlatilag nem alkalmaható. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

132 3 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 4( 4 4 ) 3( 3 3 ) A e u u ( ) ( ) 6.3 ábra. A lineáris négsög elem A 6.3 ábrán látható a nég csomópontos általános négsög alakú elem. Eg csomópont sabadságfoka n = a elem össes sabadságfokainak sáma a nég csomópontban a elmodulások sáma N = 8. A sabáltalan alak követketében most már nem olan egserű a formafüggvének felírása és a elem tartománára vonatkoó integrálási műveletek elvégése. Een segít a konform leképeés technikájának alkalmaása A konform leképeés A 6.4 ábrán látható eg négsög elem a globális koordináta rendserben és eg sabálos néget a alapelem a ξ η rendserben. A alapelem sarokpontjainak koordinátái a ± dimeniótlan egség. A két alakat köötti kapcsolat - a leképeés - konform ha a egértékű továbbá ha a belső pont belső pont marad a egenes oldalon lévő pont a egenes oldalon marad és a körüljárás nem váltoik. A feltételeket teljesítő legegserűbb lineáris kapcsolat a két koordináta rendser köött: 4 4 i í i (6.) N N í i i ahol a N i függvének a bilineáris agrange polinomok: N / 4 N / 4 N / 4 N / (6.3) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

133 6. SÍKFEADAOK 33 4 η =0 3 4 (-+) η 3(++) C ξ = 0 (--) 6.4 ábra. Koordináta leképeése C ξ (+-) A leképés megserkestése után a elemmátriok meghatároásáho két további résfeladat végrehajtását kell tistáni a deriváltak és a elem területére vonatkoó integrálok kisámításának módserét. Eg kétváltoós f függvént - a (6.3) leképés felhasnálásával - felírhatunk a vag a ξ η koordinátákkal is f() vag f(ξη) formában. A különböő koordináták serinti parciális deriváltak kapcsolata a jól ismert láncsabál felhasnálásával: f f f f f f vag ugane mátri sorat formájában: f f f J f f f. (6.4) J J J. J J A J a leképeés Jakobi mátria. Ha a leképeés konform akkor a Jakobi mátri invertálható és a deriváltok inver kapcsolata egértelműen meghatároható: f f J J J J f f J J J. (6.5) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

134 34 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A J jelöli a J mátri determinánsát. A Jakobi mátri elemei a (6.) leképeés és a (6.3) interpoláció ismeretében sámolhatóak például a első sor elemei a követkeők: N N 4 4 i i J í J í i i. 4 η = 0 C 3 ξ = 0 dr η dr ζ da 6.5 ábra. Felületelem. A síkon értelmeett integrálok kisámításáho elősör meg kell határoni a elem alakjáho illeskedő da felületelemet. A 6.5 ábra jelöléseivel a ξ és η = állandó koordináta vonalakkal lehatárolt felületelem da területe a r d d r d d d r d r vektorok vektoriális soratának absolút értéke: da dr dr det dd Jdd ahol J jelöli a (6.4) J Jakobi mátri determinánsát. Ha a leképeés konform akkor J >0. Eek után eg kétváltoós a ξ és η koordinátákkal adott f függvén integrálja a elem A e területén: A e f da f Jdd. (6.6) Elemmátriok A 6.3 ábrán látható négsög elem eg csomópontjának sabadságfoka n = a két elmodulás koordináta (u és u ) és eg elem sabadságfoka a nég csomópontban a elmodulások sáma N = 8. A csomópontok sámoása mindig a Forberger Árpád Vörös Gábor BME

135 6. SÍKFEADAOK 35 óramutató járásával ellentétes. Eg elemhe tartoó össes elmodulás jellemő a elem sabadságfokok mátria: U Δ u Δ 3 4. Δ4 e i Δ i 3 i u Δ i 8 (6.7) A elem eg belső pontjában a elmodulás koordinátákat a csomóponti mogásokból a (5.3) bilineáris interpolációval határohatjuk meg: 3 3 u u N u u t N i i i i i i vag ugane a (3.4) mátri sorat formájában felírva: u e u u N U N 0 N 0 N3 0 N4 0 N. 0 N 0 N 0 N3 0 N 4 () (8) (8) (8) u dni d Ni. (6.8) Megjegés: Aokat a elemeket meleknél a geometriát (a 6.4 ábra serinti leképeést) és a fiikai váltoókat (most a u u elmodulásokat) uganaokkal a interpolációs függvénekkel köelítjük ioparametrikus elemeknek neveük. Ha a geometria és a fiikai váltoók interpolációinak foksáma eltérő akkor a elem superparametrikus vag subparametrikus. A (6.3) formafüggvének teljesítik a (6.3) delta függvén követelmént mivel értékük érus a csomópontokban kivéve at a eget aminek a sorsáma megegeik a függvén sorsámával. ovábbá teljesítik a 3.. fejeetben megfogalmaott feltételt is ami serint a merevtest serű mogást végő elemnek nincsen alakváltoása. Egserűen ellenőrihető ha a csomópontokban eg merevtestserű mogásának megfelelő értékeket adunk meg akkor a belső pontok is követik et a mogást. Például a iránú d mértékű eltolódás esetén u i = d és a (6.8) interpolációból eg belső pont iránú mogása: 3 3 i i Igaolható hog hasonló eredménre jutunk más jellegű merevtest mogás vag forgás estén is. A (6.8) elmodulás interpoláció meghatároása után kisámíthatjuk a (6.) virtuális munka elvben sereplő menniségeket. A (6.) alakváltoások Forberger Árpád Vörös Gábor BME

136 36 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI u / ε u / u / u / 3 ami a (6.5) láncsabál felhasnálásával átrendehető a sokásos (3.5) mátri sorat alakra: u / J -J 0 0 u / e ε 0 0 -J J e J B U. (6.9) u / 38 -J J J -J u / 3 8 átható hog a B alakváltoási mátriban a Jacobi mátri elemei is megjelennek. Merevségi mátri: A (5.9) első tagja a virtuális alakváltoási energia e e e U ε C ε dv δ U B C B dv U δ U k e U e 88 Ve Ve ahol k e jelöli a elem (3.6) merevségi mátriát: k e dv t Jdξdη 88 B C B B C B (6.30) Ve ahol t a elem vastagsága és a C mátri a (6.4) vag a (6.8) serinti. A elem V e = ta e tartománára vonatkoó integrál átalakításánál felhasnáltuk a (5.6) formulát. ömegmátri: A (6.9) elvben a tehetetlenségi erők virtuális munkája: e e e e uudv δu ρ NNdV U δ U m U e Ve ahol m e a elem (3.8) konistens tömegmátria: Ve (88) 8 8 Ve (88) m e ρ N N dv ρ N N t Jdξdη. (6.3) A (6.30) és (6.3) elem integrálok kisámítása csak köelítő numerikus eljárással lehetséges. Uganis a (6.9) B alakváltoási mátri elemei tört függvének ami árt alakban nem integrálható Numerikus integrálás A ioparametrikus elemek mátriainak kiintegrálásáho leggakrabban a Gauss féle eljárást (vag Gauss - egendre quadratura) alkalmaák. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

137 6. SÍKFEADAOK 37 A Gauss-sabál serint eg egváltoós függvén integráljának köelítő értéke: m i i (6.3) i I F d WF ahol ξ i a mintavételi - vag Gauss pontok - pontok koordinátái és W i a súloó faktor. A pontok m sámának növelésével a sámítás pontossága is növeksik. Ha a F függvén polinom akkor m pont alkalmaásával kisámíthatjuk a p = m- foksámú polinom integráljának pontos értékét. A pontok és súloó faktorok értékeit mutatja a 6.6 ábra. ovábbi pontokra vonatkoó adatok megtalálhatók a [0] [] könvekben. F(ξ) - + m= m= m=3 ξ m ξ i W i 0 / 3 / 3 3 3/ 5 5/ 9 0 8/ 9 3/ 5 5/ ábra. Egdimeniós Gauss integrálási séma A kétváltoós függvén kettős integrálját a (6.3) sabál ismételt alkalmaásával írhatjuk fel: m m i j i j. I F d d WW F Például a eg Gauss pontos integrál i j I F dd4f 0 0 vag a 6.7 ábra serinti 33 Gauss pont alkalmaásával a integrál köelítő értéke: I Fdd F F F F F F F F F Forberger Árpád Vörös Gábor BME

138 38 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI (-+) (--) 5 η b b (++) b b (+-) ξ b 3/ ábra. A 33 Gauss integrálási séma A ismert végeselem programrendserek többsége a integrálási sémát alkalmaa. F d d F bb F b b F b b F b b b / 3. A módser alkalmaásával sámítsuk ki például a 3 I d integrál köelítő értkét. A pontos eredmén ismert I = ln(3) = Mivel a Gauss kvadratúrák határai és + veessünk be eg új váltoót: ζ = - eel a kisámítandó integrál új alakja: 3 I d dζ ζ. Alkalmauk a eg kettő és három pontos Gauss sabált: I 00 I / 3 +/ 3 I / / 5 53 A sámítás hibája egre kisebb rendre 99% 07% és 005%. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

139 6. SÍKFEADAOK Magasabbrendű elemek A köelítő függvének foksámának növelése a elem sabadságfok növelését jelenti ami egütt jár a csomópontok sámának növelésével Háromsög elemek ábra. Másodfokú háromsögelem. A 6.8 ábra serinti háromsög elemnek hat csomópontja van a három csúcspont és a három oldalfeleő pont. A legfontosabb lépés a interpolációs vag formafüggvének megserkestése. Ehhe felhasnáljuk a delta függvén tulajdonságot ami serint eg formafüggvén értéke minden csomópontban érus kivéve at a eget aminek a sorsáma megegeik a függvén sorsámával. Háromsög alakú tartománon másod - és a magasabb fokú - függvéneket legegserűbben a 6.5 ábrán bemutatott (6.4) terület koordinátákkal lehet felírni. A felírás menetét a 6.9 ábra mutatja ahol a N függvén a 4-6 és a -5-3 pontokon átmenő egenesek egenleteinek sorata. Hasonló módon a oldalfeleő pontho tartoó N 4 a -3 és -3 oldalak egenleteinek sorata. N N4 4 N N5 4 3 (6.33) N N Mivel a i háromsög koordináták a térkoordináták lineáris függvénei a fenti formafüggvének másodfokú polinomok. Ellenőrihető hog a formafüggvének össege eg ami a merevtest mogás pontos leírásának feltétele. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

140 40 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI N N ábra. Másodfokú háromsögelem interpolációs függvénei A sabadságfokú háromsögelem eg belső pontjában a elmodulás koordinátákat a csomóponti sabadságfokokból a követkeő interpolációval határouk meg: 6 6. u u N u u t N i i i i i i A továbbiakban a alakváltoások belső erők a virtuális munka tételének tagjai és a elemmátriok felírása a már bemutatott műveletekkel határoható meg Négsög elemek A 6.0 ábrán látható négsög elemet görbe vonalak határolják. 8 4 C 7 η = ξ = (-+) (--) 6.0 ábra. Másodfokú ioparametrikus elem C η 3(++) ξ (+-) A formafüggvének felírásánál a háromsög elemnél már bevált eljárást követjük a alapelem síkjában a normál alakú egenes egenleteket alkalmauk. Ismételten felhasnáljuk a delta függvén tulajdonságot ami serint eg formafüggvén értéke minden csomópontban érus kivéve at a eget aminek a sorsáma megegeik a függvén sorsámával ahol visont a értéke egségni. A másodfokú elemeknél két különböő formafüggvén rendsert lehet megserkesteni. A agrange elem kilenc csomópontos és a formafüggvének felírásának menetét a 6..a ábra mutatja ahol a N függvén a és csomópontokon átmenő egenesek egenleteinek sorata. Hasonló módon a oldalfeleő pontho tartoó N 5 formafüggvén a és cso Forberger Árpád Vörös Gábor BME

141 6. SÍKFEADAOK 4 mópontokon átmenő egenesek egenleteinek sorata. A kilencedik formafüggvén a alapelem nég oldalát leíró egenletek sorata. Végül a agrange elem mind a kilenc formafüggvéne a követkeő: N. N / N 5 / N / N6 / N 3 / N7 / N / N / (6.33) A agrange elem hátrána hog a csomópontok köött serepel a kilencedik belső pont amelik a egés modell (3.0) alakú egenletrendserének össeállítása során nem csatlakoik további elemek csomópontjaiho. Belső csomópont nélküli másodfokú elem a úgneveett Serendipit elem. A formafüggvének megserkestésének módserét mutatja a 5. ábra ahol a átlók egenleteit is felhasnáljuk. Például a N függvén a és a 5-8 csomópontokon átmenő egenesek egenleteinek sorata a oldalfeleő pontho tartoó N 5 formafüggvén a és csomópontokon átmenő egenesek egenleteinek sorata les N / N 5 N / N 6 N 3 / N 7 / / / N / N /. 4 8 (6.34) A ioparametrikus formalimusnak megfelelően a geometriát is és a elmodulásokat is uganaal a függvénrendserrel köelítjük. Ennek megfelelően a 6.0 ábrán látható elem oldalai másodfokú görbék és a konform leképeés - a elem és a ξ η síkon értelmeett alapelem kapcsolata - a követkeő: p p i í i í (6.34) i i N N ahol p a elem csomópontjainak sáma p = 8 vag 9. A elmodulásokra vonatkoó p. u u N u u t N i i i i i i interpoláció felírása után a alakváltoások belső erők a virtuális munka tételének tagjai és a elemmátriok a már bemutatott műveletekkel ismételt alkalmaásával határohatóak meg. p Forberger Árpád Vörös Gábor BME

142 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI a. b ábra. Másodfokú agrange és Serendipit elemek A itt bemutatott technikával további elemek és formafüggvén rendsereket lehet megserkesteni. Aonban a gakorlatban hasnálatos végeselem programrendserek csak kivételes esetekben alkalmanak másodfokúnál magasabb rendű elemeket. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

143 7 A. Függelék Mátrisámítás A mátri skalár menniségek sorokba és oslopokba rendeett halmaa. A m sorból és n oslopból álló mátri: A mn a a a a a a a a a n n m m mn Ha sükséges akkor eg össefüggésben a mátri mn méretét a simbólum alá írva adhatjuk meg. A mátri eg a ij elemének poicióját a indeek jelölik itt a i a sor és j a oslop sorsáma. Ha a mátri csak eg oslopból áll akkor at oslop vektornak röviden vektornak neveük. Definíciók: - A kvadratikus mátriban a sorok és oslopok sáma megegeik m = n. - Eg A mátriban a sorok és oslopok felcserélésével a mátri A transponáltját kapjuk. A mn méretű mátri transponáltjának mérete nm. Eg oslop mátri transponáltja eg sormátri les és fordítva. - A A kvadratikus mátri simmetrikus ha a egenlő a saját transponáltjával A = A vag a ij= a ji. - A A kvadratikus mátri asimmetrikus aa ferdén simmetrikus ha A = -A vag a ij = -a ji. - A diagonál mátri olan kvadratikus mátri amelnek csak a főátlójában lehetnek érustól különböő értékek a ij = 0 ha i j. - A egségmátri olan diagonál mátri amelnek a főátlójában minden elem egségni a ij = ha i = j. I nn A érus mátri minden eleme érus a ij = 0. - A A kvadratikus mátri invere a A - kvadratikus mátri amelre teljesül a alábbi össefüggés:. A A A A I. (A.) nn nn nn nn nn - A kvadratikus mátri ortogonális ha invere egenlő a transponáltjával: A A. (A.) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

144 44 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI - A A kvadratikus mátri poitív semidefinit ha bármel X vektorral való soratára X A X 0 (A.3) n nnn és poitív definit ha a fenti sorat nagobb mint érus. Algebrai műveletek: Csak aonos méretű mátriok adhatók össe vag vonhatók ki egmásból: C A Β c a b. mm mm mm ij ij ij Két mátri össegének transponáltja a transpnált mátriok össege: A Β A Β. Skalár sám és mátri soroata eg mátri melnek elemei a eredeti mátri elemek és a skalár sám sorata: C A c a. mn mn Két mátri csak akkor soroható egmással ha a első helen álló mátri oslopainak sáma megegeik a második mátri sorainak sámával: mn mppn ij ij p ij ik kj k C A Β c a b. (A.4) A c ij sorat elem egenlő a A mátri i sorában és a B mátri j oslopában lévő elemek sorat össegével. E a úgneveett sor-oslop sorási sabál. Például: A mátri soróéneők sorrendje nem cserélhető fel a sorás művelete a mátriok körében nem kommutativ. Eg sor- és eg oslopvektor sorata eg () méretű mátri vagis eg skalár sám: C A Β c pp uganakkor eg oslopvektor és eg sorvektor sorata eg mátri: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

145 7. A. FÜGGEÉK MÁRIXSZÁMÍÁS 45 C Β A. mn m n öbb téneős soratban a műveleti sorrend felcserélhető eért a árójelet nem is kell hasnálni: A B C A B C A B C. (A.5) mkkppn mkkppn mkkppn A előőek alapján egserűen igaolhatóak a követkeő aonosságok: - Minden kvadratikus mátri felbontható eg simmetrikus és eg ferdén simmetrikus mátri össegére: A AA AA - A A mátri és a I egségmátri sorat a A mátri: mnnn mn (A.6) A I = A. (A.7) - Soratok transponáltjára vonatkoik a követkeő két aonosság: nm mkkn nkkm p p cij a jkbki bikakj k k C A B B A (A.8) p p cij a jkbik bika jk k k C A B B A. (A.9) nm mkkn nkkm E a eredmén többténeős soratra is kiterjesthető: A Β C C Β A. m ppttn nttpp m Forberger Árpád Vörös Gábor BME

146 IRODAOMJEGYZÉK. urner M.J. Clough R.W. Martin H.C. opp.j.: Stiffness and deflection analsis of comple structures. Journal of Aeronautical Sciences Vol.3 pp Washiu K.: Variational methods in elasticit and plasticit. Pergamon Pr. Oford imoshenko S.P. Gere J.M.: heor of elastic stabilit. McGraw-Hill Ponomarjov S.D.: Silárdsági sámítások a gépésetben.. kötet Műsaki Könvkiadó Premieniecki J.S.: heor of Matri Structural Analsis. McGraw-Hill New York imoshenko S.P. Goodier J.N.: heor of Elasticit. 3 rd edition McGraw-Hall New York Kósa András: Variációsámítás. ankönvkiadó. kiadás udvig Gőő: Gépek dinamikája. Műsaki Könvkiadó Clough R.W. Penien J.: Dnamics of Structures. McGrawHill Inc Elter Pálné Vörös Gábor: Alkalmaott Mechanika I. ankönvkiadó J Muttnánsk Ádám: Silárdságtan. Műsaki Könvkiadó (98). Bathe K.J.: Finite Element Procedures in Engineering Analsis. Prentice-Hall Béda Gula Koák Imre Verhás Jósef: Kontinuummechanika. Műsaki Könvkiadó Bojtár Imre Vörös Gábor: A végeselem-módser alkalmaása leme- és héjserkeetekre. Műsaki Könvkiadó 986 Budapest. 5. Bojtár Imre Molnár Görg Nag amás: A végeselem-módser alkalmaása síkbeli feladatokra. Műsaki Könvkiadó Kollár ajos: A mérnöki stabilitáselmélet különleges problémái. Akadémiai Kiadó Csimadia Béla Nándori Ernő: Silárdságtan. Nemeti ankönvkiadó Zienkiewic O.C. alor R..: he Finite Element Method. 5 th edition Butterworth-Heinemann Forberger Árpád Vörös Gábor BME

147 IRODAOMJEGYZÉK Wunderlicht W. Pilke W.D.: Mechanics of Structures Variational and Computational Methods. CRC Press nd edition Rao S.S.: he finite element Method in Engineering. Elsevier Hutton D.V.: Fundamentals of Finite Element Analsis. Mc Graw Hill FemDesign Forberger Árpád Vörös Gábor BME