ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA

Átírás

1 Multidisciplináris tudománok. kötet. () s. pp ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Lengel Ákos Jósef Ecsedi István doktorandus egetemi tanár Miskolci Egetem Mechanikai Tansék Cím: 355 Miskolc-Egetemváros Össefoglalás A tanulmán kétrétegű rugalmas anagú kompoit rudak statikai feladatainak megoldására eg analitikus módsert ismertet. A rúdkomponensek kapcsolata normál iránban tökéletes de axiális iránú elmodulásában lehetséges sakadás. A nem tökéletesen kapcsolódó réteg által átvitt axiális iránú erő arános a rétegek relatív elcsúsásával. A feladat megoldásánál döntő serepe van a úgneveett alapmegoldásoknak. A alapmegoldások superpoíciójával nerjük a adott terhelési és kerületi feltételeknek megfelelő megoldást. A kidolgoott eljárás alkalmaását három numerikus példa semlélteti. Kulcssavak: rugalmas rétegeett kompoit rúd réslegesen kapcsolt Abstract This paper presents an analtical method to solve the static boundar value problem of two-laer composite beams. The connection between the beam components in normal direction is perfect but the axial displacements ma have jump. The axial force takes over with the imperfect connection is proportional to the relative slip bringing up between the laers. The determination of the solution of static problem is based on the fundamental solutions. A linear combination of the fundamental solutions which are fitted to the given loading and boundar conditions gives the solution of the considered problem. Three examples illustrate the applications of the presented analtical method. Kewords: elastic two-laer beam interlaer slip analtical solution. Beveetés Kompoit rudakból felépített serkeeteket a ipar sámos területén hasnálnak emiatt aok mechanikai (statikai és dinamikai) visgálata igen fontos mérnöki feladat. A rúdelemek egmásho történő kapcsolására különböő kapcsoló elemeket hasnálnak mint például csapokat csavarokat segecseket. Sok esetben a kapcsoló elemek a össekapcsolt egségek relatív elcsúsását megengedik. Rugalmas kapcsolatot feltételeve a kapcsolat által átvitt níróerő arános a rétegek relatív elcsúsásával. Ilen lineárisan rugalmas résleges kapcsolatú kompoit rudak visgálatával sámos tanulmán foglalkoik [-8]. Legelső tanulmán e témában Newmark és munkatársai tanulmána [5] amel eg a Euler-Bernoulli rúdelméletre épített megoldást ismertet. Murakami e problémát a Timoshenko rúdelmélet felhasnálásával visgálta [4]. Girhammar és Gupu [37]

2 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István megfogalmata a lehajlás függvénre vonatkoó peremérték feladatot és megadta a leveetett hatodrendű differenciálegenlet általános megoldását. A eges teher tagokho tartoó partikuláris megoldások sámítása árt alakban történő megadása aonban igen körülménes. Ecsedi és Baksa [8] eg olan analitikus megoldást ismertet amel a slip és lehajlás függvéneket tekinti alapváltoónak. Aoub [] Dall Astra és Zona [] valamint Thompson és munkatársai [6] a nem tökéletes kapcsolatú rétegeett kompoit rudak statikai peremérték feladatainak megoldására a végeselem módsert hasnálták. E tanulmán eg új analitikus megoldást alkalma amel a különböő kedeti feltételekhe és terhelési előírásokho rendelt alapmegoldások lineáris kombinációjaként állítja elő a visgált statikai feladat megoldását vagis megadja a v v( ) lehajlás függvént ( ) sögelfordulás függvént s s ( ) slip függvént M M( ) hajlítónomaték függvént V V( ) kerestmetsetet terhelő níróerő függvént N N ( ) axiális erőt mel a jelű rúdkomponens A kerestmetsetét terheli.. Alapvető össefüggések A kétrétegű rugalmas anagú kompoit rúd terhelését és kerestmetsetét a. ábra semlélteti. A sík a rúd simmetriasíkja és egben a terhelések valamint a alkalmaott megtámastási kénserek köös síkja is. A rúd kerestmetset A A A Ai ( i ) réstartománát E i ( i ) rugalmassági modulusú iotróp homogén lineárisan rugalmas anag tölti ki. A A és A kerestmetseti tartománok köös határgörbéjét A jelöli továbbá a A és A kerestmetsetekkel rendelkeő B és B rúdkomponensek köös határa a B A ( L) hengerfelület (. ábra). Feltevés serint normál iránban a kapcsolat B és B köött tökéletes sakadás csak a axiális iránú elmodulásban lehetséges a B felületen történő áthaladáskor a B rúdkomponensről a B rúdkomponensre. A Ox koordinátarendser O origója a koordinátával kijelölt kerestmetset E-vel súloott súlpontjával esik egbe [8] továbbá a A és A kerestmetseti tartománok súlpontjait C és C jelöli (. ábra). Ismeretes [8] hog AE AE c CC c c CC c () AE AE AE AE A E c c c. () Össhangban a Euler-Bernoulli rúdelmélettel és a mechanikai feladat simmetria tulajdonságaival a elmodulás meő feltett alakja u( x ) ux ( ) e vx ( ) e wx ( ) e (3) x 9

3 Réslegesen kapcsolt kompoit rudak visgálata f() F A A C C C CC B B c CC c A C C C A A x. ábra. Kétrétegű réslegesen kapcsolt kompoit rúd kerestiránú terheléssel dv u vv ( ) wx ( ) wi( ) ( x ) Bi ( i ). (4) d A rugalmasságtan geometriai egenleteinek és a Hooke-törvénnek a alkalmaásával feltéve hog a Poisson-sám at kapjuk hog dwi d v Ei ( x ) B ( ). i i d d (5) A visgálat olan esetre korlátoódik [34578] amikor is a teljes rúdkerestmetsetet terhelő normál erő N vagis (6) A A N NN da da. A rétegek relatív elcsúsása s (interlaer slip) a tengeliránú elmodulások különbsége a B felület mentén sámolva [8]: s( x ) w( ) w( ) ( x ) B. (7) A nem tökéletesen kapcsolódó rétegek által átvitt tengeliránú T níróerő erő erő T ks T k (8) hoss (hoss) 9

4 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István ahol k a kapcsolat nírási merevsége [3-8]. Tökéletes (merev) kapcsolat esetén k ( s ) sabad kapcsolat esetén k ( T ). A statikai peremérték feladatho tartoó egenletek a alábbi alakba írhatók [378]: dv dm dn f V T d d d (9) dv d v ds M IE c AE d d d () ds d v N AE c d d () d s c s V. d IE () A fenti egenletekben a alábbi jelöléseket alkalmatuk (3) AE AE A E IE E da E d A IE IE c AE (4) A A k IE (5) AE IE továbbá a megosló terhelés intenitását 3. Alapmegoldások f f( )-vel jelöltük. A alapmegoldások első ostála a (9-) egenletek különleges kedeti feltételeket kielégítő megoldásai aa a v v( ) ( ) s s ( ) M M( ) V V( ) és N ( ) N függvénekhe eg kivételével érus kedeti feltételeket rendelünk. Ilen típusú alapmegoldás hat van amelek a alábbi alakban adhatók meg:. v v ( ) állandó ( ) s ( ) M ( ) V ( ) N ( ) ( ). (6) v ( ) ( ) állandó s ( ) M ( ) V ( ) N ( ). ( ). (7) 9

5 Réslegesen kapcsolt kompoit rudak visgálata AE sinh v 3( ) c (8) IE ( ) AE cosh 3 c (9) IE s ( 3 () M ( ) V ( ) () 3 3 N3 ( ) k sinh ( ). () 4 ( ) cosh v IE IE IE (3) ( 4 ) c IE IE IE (4) s ( ) 4 c sinh IE (5) M4( ) állandó V4( ) (6) c AE N ( ) (cosh ) ( ). (7) 4 IE v k IE 6IE 3 c AE 5( ) sinh c AE 5( ) cosh (9) k IE 3IE ( ) c AE s cosh 5 (3) k IE 5 5 M ( ) V ( ) állandó (3) N5( ) kc 3 sinh ( ). IE ( ) c AE v cosh 6 (33) k IE ( ) c AE sinh 6 (34) k IE s ( ) sinh 6 (35) k (8) (3) 93

6 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István M ( ) V ( ) (36) 6 6 N () N ( ) cosh ( ). (37) 6 6 Még eg terhelési előírásho tartoó alapmegoldás képletét adjuk meg amel a alapmegoldások második ostálába tartoik és a v() () s() M() V() N () homogén kedeti feltételeknek is eleget tes. A egenletesen megosló teher intenitása f egségni (. ábra). A (9-) egenletek felhasnálása a alábbi eredmént adja: c AE 4 vf ( ) cosh 4IE k IE 3 c AE f 6 IE k IE (38) sinh (39) c AE sf ( ) k IE sinh (4) M f ( ) Vf ( ) (4) ck N f ( ) cosh 4 IE ( ). (4) f. ábra. Egenletesen megosló terhelés A felírt alapfüggvének a alábbi tulajdonságokkal rendelkenek: v () () s () M () V () N () (43) () v () s () M () V () N () (44) s () v () () M () V () N () (45) M () v () () s () V () N () (46) V () v () () s () M () N () (47) N () v () () s () M () V () (48)

7 Réslegesen kapcsolt kompoit rudak visgálata A a ( a a L) helen működő koncentrált erőhö és erőpárho tartoó második ostálba sorolt megoldásfüggvéneket a már felírt első ostálho tartoó megoldásfüggvénekből amelek a 4-5. esetekre vonatkonak a Heaviside féle függvén alkalmaásával állítjuk elő. Íg például a 3. ábrán semléltetett esetben a F koncentrált erőhö valamint a M koncentrált nomatékho tartoó lehajlás és slip függvéneket a alábbi képletek adják meg: ahol v( ) FH a v5 a MH a v4 a ( ) (49) s( ) FH a s a M H a s a (5) 5 4 H a a a. (5) F M P P a a 3. ábra. Koncentrált erővel és erőpárral terhelt kompoit rúd 4. Példák A példákban sereplő kompoit rudak kerestmetsetét a 4. ábra semlélteti. A 4. ábra alapján írhatjuk hog jelen esetben c c CC CC Eh h h Eh Eh Eh h h Eh Eh (5) (53) h h c cc (54) A hb A hb AE Eh E h b (55) 95

8 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István AE EhEh Eh Eh 3 3 Eh Eh IE Ehc E h c b IE (56) (57) 3 3 Eh Eh b. (58) h C A E C h C A E x b 4. ábra. A kompoit rúd kerestmetsete A feladat megoldása során a példákban a alábbi adatokat hasnáljuk: E Pa E Pa h m h 4m b 3m.. Példa. Koncentrált erővel terhelt csuklós és görgős alátámastású kompoit rúd (5. ábra). A feladat megoldását a kedeti feltételekhe és a koncentrált F erőhö tartoó alapmegoldások superpoíciójaként nerjük. A ismeretlen kedeti értékeket ()-t és s ()-t a a koordinátával kijelölt sélső kerestmetsetre vonatkoó v( a) N ( a) (59) kerületi feltételek alapján nerjük. A (59) egenletből a követkeik hog F a c AE cosha () IE IE cosha c cosha s() F. IE cosh a (6) (6) 96

9 Réslegesen kapcsolt kompoit rudak visgálata F F 5. ábra. Koncentrált erővel terhelt csuklós és görgős alátámastású kompoit rúd A többi kedeti érték ismert hisen a a F F v() N() M() V(). (6) Jelen feladat megoldása a követkeő alakban adható meg: X ( ) () X ( ) s() X ( ) V() X ( ) FH( a) X ( a) (63) ahol X v s M V N. (64) A 6-7. ábrák semléltetik a v v( ) lehajlás és a s s ( ) slip függvén görbéit a k kapcsolati merevség néhán jellemő értékére m v ( ) m F N k N/m 3 k N/m 6 k N/m 6. ábra. Kéttámasú kompoit tartó lehajlás függvénei 97

10 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István 6 s ( ) m F N k N/m 6 k N/m m 7. ábra. Kéttámasú kompoit tartó slip függvénei. Példa. E példa statikailag határoatlan megtámastású tartóra vonatkoik. A tartó köépső kerestmetsetét M koncentrált nomaték terheli (8. ábra). A 8. ábra alapján írhatjuk hog v() () s(). (65) M M F a a 8. ábra. Koncentrált nomatékkal terhelt sélső kerestmetseteinél befalaott tartó. Ismeretlen kedeti értékek M () M V() F N () N. (66) A ismeretlen kedeti értékeket a a helre vonatkoó geometriai peremfeltételek alapján sámítjuk v( a) ( a) s( a). (67) A elvégett sámítások alapján írhatjuk hog 98

11 Réslegesen kapcsolt kompoit rudak visgálata N F 5M c AE tanh aa a 3 3 IE a 5 M M5 c AE tanh a a 3 3 IE a c AE 5 () M 5 IE c AE tanh a a 3 3 IE a 5c AE c AE tanh aa IE a 3 3 IE a IE 5c AE tanh a. c AE tanh aa a 3 3 IE a (68) (69) (7) v ( ) m M Nm 3 k N/m 6 k N/m ábra. A lehajlás függvének ábrái m 99

12 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István A elemett példa megoldását a X ( ) M X ( ) F X ( ) N () X ( ) M H( a) X ( a) (7) képlet adja meg. A 9-. ábrák semléltetik a v v( ) lehajlás és a s s ( ) slip függvének görbéit a k kapcsolati merevség néhán értékére s ( ) m M Nm 3 k N/m 6 k N/m 5 5 m. ábra. A slip függvének ábrái 3. Példa. E példában állandó intenitású megosló terheléssel réslegesen terhelt mindkét sélső kerestmetseténél fixen megfogott tartót visgálunk (. ábra). A feladatban a alábbi kedeti feltételek ismertek: f a a. ábra. Réslegesen terhelt kompoit tartó v() () s(). (7) A hiánó kedeti feltételek a a koordinátával kijelölt kerestmetsetre vonatkoó peremfeltételek alapján határohatók meg amelek a követkeő előírásokat fogalmaák meg.

13 Réslegesen kapcsolt kompoit rudak visgálata v( a) ( a) s( a). (73) E peremfeltételek alapján nerjük a hiánó kedeti feltételeket a M () V () N () értékeit. Eek ismeretében a feladat megoldása a (38-4) egenletek felhasnálásával a alábbi alakba írható: X ( ) M () X ( ) V () X ( ) N () X ( ) f H( a) X ( ) (74) f ahol X v s M V N. A e feladatho tartoó árt alakú képletek igen bonolultak felírásuktól eltekintünk pustán a alkalmaásukkal előállított lehajlás és slip függvének ábráit adjuk meg a -3. ábrákon. 3 v ( ) mm f N/mm k N/m 3 k N/m k N/m 5 5. ábra. A 3. példáho tartoó lehajlás függvének mm s ( ) m M Nm 7 3 k N/m 6 k N/m 5 5 m ábra. A 3. példáho tartoó slip függvének

14 Lengel Ákos Jósef Ecsedi István 5. Követketetések A dolgoat eg új analitikus eljárást ismertet a kétrétegű nem tökéletesen kapcsolódó hajlított és nírt kompoit rudak silárdságtani sámítására. A adott statikai peremérték feladat analitikus megoldását úgneveett alapfüggvének lineáris kombinációjaként állítja elő. A dolgoatban ismertetett numerikus példák eredménei mint benchmark megoldások hasnosíthatók különböő köelítő eljárásokkal mint például a véges differenciák módsere végeselem módser alkalmaásával nert numerikus eredmének hiba analíisére. 6. Kösönetnilvánítás A cikkben ismertetett kutatómunka a TÁMOP-4../B-/--8 jelű projekt réseként a Új Magarorság Fejlestési Terv keretében a Európai Unió támogatásával a Európai Sociális Alap társfinansíroásával valósul meg. 7. Irodalom [] Aoub A.: A two-field mixed variational principle for partiall connected composite beams Finite Element in Analsis and Design 37. pp [] Dall Astra. Zona A.: Three-field mixed formulation for the non-linear analsis of composite beams with deformable shear connection Finite Element in Analsis and Design 4 4. pp [3] Girhammar U. Gupu V.: Composite beams columns with interlaer slip exact analsis. Journal of Structural Engineering pp [4] Murakami H.: A laminated beam theor with interlaer slip Journal of Apllied Mechanics 984. pp [5] Newmark N. Seiss C. Veist I.: Test and analsis of composite beams with incomplete interactions. Proceedings of the Societ of Experimental Stress Analsis pp [6] Thompson E. Goodman J. Vanderbilt M.: Finite element analsis of laered wood sstems. Journal of the Structural Division 975. pp [7] Girhammar U. Pan D.: Exact static analsis of partiall composite beams and beam-columns Intenational Journal of Mechanical Sciences pp [8] Ecsedi I. Baksa A.: Static analsis of composite beams with weak shear connection Applied Mathematical Modelling 35. pp