Ferde hatásvonalú csuklóval megtámasztott rúd stabilitási vizsgálata
|
|
- Oszkár Vörös
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 MISKOCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOGOZAT Ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd stabilitási visgálata egyel Ákos Jósef I. éves gépésméröki MSc sakos hallgató Koules: Dr. Ecsedi Istvá egyetemi taár Mechaikai Tasék Miskolc, 00
2 Tartalomjegyék Beveetés A rúdra voatkoó alapegyelet-redser és megoldása Ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd stabilitási visgálata egy köelítő módserrel Alkalmaás éháy példá kerestül Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Egyik végé befogott, másik végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Egyik végé ferde hatásvoalú csuklóval, másik végé gömbcsuklóval megtámastott rúd Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd.... Össefoglalás
3 BEVEZETÉS A silárdságtai oktatás egy kiemelt fejeete hossú cetrikusa yomott rudak kihajlási visgálatával foglalkoik. A rugalmas stabilitás problémáját elősör a XVIII. sáad egyik legagyobb matematikusa, eoard Euler visgálta. A stabilitás problémájával mid elméletileg, mid kísérletileg jeleleg is soka foglalkoak. Külöféle serkeetekbe ige gyakra alkalmaak egyees köépvoalú vékoy rudakat (vagyis a rúd két iráyú mérete, a vastagság és a sélesség a rúd hossáho képest kicsi). A ilye rudak sajátossága, hogy már kis rugalmas alakváltoások is jeletőse megváltotathatják a igéybevételeket. A rugalmas egyesúlyi visgálat at mutatja, hogy bioyos esetekbe léteek a külső erőkek olya, ú. kritikus értékei, amelyekél a terheléshe több egyesúlyi alak is tartohat. Jele diákköri dolgoat tárgyát álladó kerestmetsetű, cetrikusa yomott vékoy (karcsú) rudak kritikus terheléseiek a meghatároása képei. A kritikus terhelések meghatároása a ú. másodredű elmélete alapulak, a kerestmetsetek igéybevételét dötőe befolyásolja a meggörbült rúd egyesúlyi alakja. A hagyomáyos egyetemi oktatásba a rúd kihajlása valamelyik fősíkjába törtéik. E a rúdál alkalmaott geometriai megtámastások követkeméye. Ilyekor a kihajlott egyesúlyi alak mide esetbe síkgörbe. Jele diákköri dolgoatba ferde hatásvoalú csuklókkal megtámastott, cetrikusa yomott karcsú rudak kritikus terheléséek meghatároásával foglalkouk. A kritikus terheléshe tartoó görbe voalú egyesúlyi alak általába térgörbe feltéve, hogy a iercia tulajdoságai aiotrópak, ami at jeleti, hogy külöböek a kerestmetset fő másodredű yomatékai. A kritikus teher meghatároására egy egyesúlyi módsert alkalmatuk, a deformált alak meghatároása dötőe a Euler-Beroulli rúdelmélete [] alapul. Általáos esetbe a kritikus teher meghatároásáho egy yolcadredű determiás formájába megfogalmaott trascedes egyelet legkisebb gyökét kell meghatároi. A dolgoat több kokrét példá semlélteti a kritikus teher meghatároásáak módserét, amely dötőe a már említett trascedes sajátérték egyelet megoldásá alapul
4 . A RÚDRA VONATKOZÓ AAPEGYENET-RENDSZER ÉS MEGODÁSA. Ee dolgoatba a ferde hatásvoalú csuklókkal megtámastott rudakkal foglalkouk. A ferde hatásvoalú csukló at jeleti, hogy a csukló tegelye, amely körül a kerestmetset elfordulhat, a csuklós megtámastásak alávetett kerestmetset egyik főtegelyével sem esik egybe. A rudat két síkba visgáljuk (. ábra) a x -x - koordiátaredserbe. Feltételeük, hogy a rúd fősíkjai a x - és x - síkokkal esek egybe. A rúd fősíkja a rúdkerestmetsetek egyik súlypoti főiráyát és a rúd tegelyét tartalmaa. A rúd tegelye a kerestmetsetek súlypotjait köti össe, és jele esetbe a tegellyel esik egybe. x u u u x u + + u u. ábra A rúdra ható erők és yomatékok iráyát a. ábra semlélteti, a rúd kerestmetsete a 3. ábrá látható. x x T T M M.. ábra A fetiekek megfelelőe írhatjuk, hogy: x da x da 0, x x da 0. (.) A A A A visgálataik sorá a Euler-Beroulli rúdmodell össefüggéseit alkalmauk. A rúdmodell alapjá a elmodulásmeő a követkeőképpe é ki (a elmodulási koordiáták x iráyba u, x iráyba u, iráyba w): - 4 -
5 e x e e e P (x, x ) A x 3. ábra e u u (), u u (), (.) u u w x x (.3) Kiematikai egyeletek: a elmodulásmeővel fel tudjuk íri a alakváltoásmeőt, mely a rúdmodell segítségével a követkeő: w u u x x. (.4) A sögelfordulás vektor: du du U e e e, U ue u e. (.5) d d A sögtorulások (a Euler-Beroulli rúdmodell alapjá 0-ak kell leiük): u u x x 0, (.6) mert u és u is csak függvéye, u w u u x u w u u x 0, (.7) 0. (.8) Ayagegyeletek: Feltételeük a geometriai és a ayagi liearitást, vagyis érvéyes a egyserű Hooke-törvéy, ahol E a ayagra jellemő rugalmassági modulus, melyek értéke a rúd meté álladó. Ismerve a alakváltoásmeőt felírhatjuk a fesültségmeőt: - 5 -
6 u u E E x x. (.9) A rúdra ható axiális erő a követkeőképp sámítható (mivel hajlított-yírt rudakat visgáluk, ilye erő em lép fel): u u N da E x da E x da 0. (.0) A A A A hajlítóyomatékokat is meghatárohatjuk: M x da E x x u x u da u EI A A, (.) u ahol E xx da 0 A Hasolóa a (.) feltétel miatt, valamit I = x da. A M x da E x u x x u EI u A A, (.) ahol u E xx da 0 A a (.) feltétel miatt, valamit I x da. A Egyesúlyi egyeletek: A egyesúlyi egyeletek felírásáho megvisgáljuk a rúd egy elemi sakasára ható erőket, melyeket a 4. ábra mutat. x T + dt x T + dt M + dm M + dm F M d du F F M d du F T T 4. ábra A ábrák alapjá a követkeő egyesúlyi egyeleteket tudjuk felíri: dt 0 d, (.3) - 6 -
7 dt 0 d, (.4) dm du T F 0, d d (.5) dm du T F 0. d d (.6) Átredeve a (.5)-ös egyeletet, majd behelyettesítve a (.)-es össefüggést: 3 dm du d u du T F EI F. (.7) 3 d d d d Átredeve a (.6)-os egyeletet, majd behelyettesítve a (.)-es össefüggést: 3 dm du d u du T F EI F. (.8) 3 d d d d Ismerve T -et és T -őt, eeket vissaírhatjuk a (.3)-as és (.4)-es egyeletekbe: 4 d u d u EI F 0, 4 d d (.9) 4 d u d u EI F 0. 4 d d (.0) E a modellre érvéyes alapegyelet-redser, mely két egymástól függetle egyedredű homogé differeciálegyeletből áll. A együtthatókat a követkeő helyettesítésekkel egyserűbb alakba írhatjuk fel: F F,, (.) EI EI így a (.9) és (.0) egyelet a követkeő alakú les: d u d d u d d u 0, (.) d d u 0. (.3) d Ee két homogé differeciálegyelet megoldásáho fel kell íruk a karakteristikus egyeleteiket:, (.4) 4 0. (.5)
8 Midkét karakteristikus egyeletek két darab kétseres gyöke va, melyek köül a egyik gyökpár komplex. Így a megoldásfüggvéyeket a követkeő alakba írhatjuk fel: u A B C si D cos, (.6) u A B C si D cos, (.7) további ismeretleek a (.6)-os egyelethe kapcsolódóa:, M, T, a (.7)-es egyelethe kapcsolódóa:, M, T. A együtthatók meghatároásáho peremfeltételi előírásokra va sükségük. Ehhe visgáljuk meg a csuklót, mely a = 0 helye va (5. ábra): e e O e e 5. ábra A csukló em eged ormál iráyú elmodulást, és em eged körüli elfordulást sem, ee kívül a csukló em tud felvei e iráyú erőt, és yomatékot sem. Vagyis a peremfeltételek: u u u si u cos 0, (.8) si cos 0, (.9) Me M e M cos M si 0, (.30) T T e T cos T si 0. (.3) e Tudjuk, hogy du du, d d. (.3) Vagyis össefoglalva a elmodulásokra érvéyes megoldásfüggvéyek: u A B C si D cos, (.33) - 8 -
9 u A B C si D cos. (.34) A sögelfordulásokat a (.33)-as és (.34)-es (.3)-be törtéő behelyettesítésével kapjuk: B C cos D si, (.35) B C cos D si. (.36) Ha a (.) és (.)-es össefüggésbe behelyettesítjük a (.33)-at és (.34)-et, majd alkalmauk a (.)-es össefüggést, megkapjuk a yomatékokat: M EI C si D cos F C si D cos, (.37) M EI C si D cos F C si D cos. (.38) Ha pedig a (.33) és (.34)-et behelyettesítjük a (.7) és (.8)-as egyeletekbe, alkalmava a (.)-es össefüggést, megkapjuk a yíróerőket: T EI C cos D si 3 F B C cos D si FB, (.39) T EI C cos D si 3 F B C cos D si FB. (.40) Ismerve ee meyiségeket, behelyettesítve őket a peremfeltételi előírásokba [(.8), (.9), (.30), (.3)], 4 egyeletet kapuk. Ha a rúdo alkalmauk egy másik ferde hatásvoalú csuklót is a = helye, mely a tegelyekkel söget ár be, akkor arra a csuklóra is előírható a 4 peremfeltételi előírás [(.8), (.9), (.30), (.3)-he hasolóa], melyekből 4 újabb egyelet yerhető. Így a 8 ismeretle együtthatóra egy 8 egyeletből álló redsert kapuk, melyek megoldásából kisámítható 7 együttható, mit a maradék egy függvéye. A egyeletek tehát a követkeők ( = 0): a (.33) és (.34) behelyettesítve a (.8)- ba: Asi Dsi A cos D cos 0. (.4) A (.35) és (.36) behelyettesítve a (.9)-be: B cos C cos B si C si 0. (.4) A (.37) és (.38) behelyettesítve a (.30)-ba, alkalmava a (.)-et: EI D si EI D cos 0 D si D cos 0. (.43) - 9 -
10 A (.39) és (.40) behelyettesítve a (.3)-be: FB cos FB si 0 B cos B si 0. (.44) Hasolóa a = helye a egyeletek [a (.8), (.9), (.30), (.3) egyeletek itt is érvéyesek, csak a tegelyekkel beárt sög helyett ]: si A B C si D cos cos A B C si D cos 0, (.45) cos B C cos D si si B C cos D si 0, (.46) si C si D cos cos C si D cos 0, (.47) B cos B si 0. (.48) A (.4)-(.48) egyeletek által alkotott redser triviálistól eltérő megoldását keressük, vagyis a együtthatók mátrixáak determiása érus kell legye (a mátrix oslopai A, B, C, D, A, B, C, D együtthatói ebbe a sorredbe): det - si si cos 0 0 cos 0 cos cos 0 0 si si si cos 0 cos si si - si - si si - si cos cos cos cos si cos cos 0 cos cos cos - cos si 0 si si cos - si si si si - si cos 0 0 cos si cos cos 0 cos si (.49) Speciális esetbe a csukló hatásvoala (tegelye) egybeesik valamelyik koordiátategellyel, általába e a tegely a x tegely. Ha a rúd midkét végé lévő csukló tegelye párhuamos a x tegellyel, akkor iga: 0, 0, (.50) vagyis a együtthatók mátrixáak determiása a követkeő egyserű alakba írható fel: - 0 -
11 si cos cos si si cos 0. (.5) Vagyis a követkeő egyeleteket kapjuk a együtthatókra: A D 0, (.5) B C 0, (.53) D 0, (.54) B 0, (.55) A B C si D cos 0, (.56) B C cos D si 0, (.57) C si D cos 0. (.58) Ha a egyeleteket össevetjük, a követkeőket kapjuk: Vagyis felírható, hogy: A B B C D 0, (.59) D si C si 0. (.60) amiből megkapjuk a kritikus terhelés értékeit: si 0, (.6) illetve vagyis k k F k EI, k,,... (.6) si 0, (.63) m m F m EI, m,,... (.64) - -
12 . FERDE HATÁSVONAÚ CSUKÓVA MEGTÁMASZTOTT RÚD STABIITÁSI VIZSGÁATA EGY KÖZEÍTŐ MÓDSZERRE A stabilitás visgálatho érdemes a meyiségeiket vektorosa felíri. A elmodulásmeő koordiátáit a. fejeetbe már felírtuk [(.) és (.3)], így eek segítségével a elmodulásvektor a követkeőképpe é ki: u u U U(x,x,) u () e u () e x x e U() Re, (.) ahol a R-rel jelölt helyvektor a 6. ábrá látható. x R x,x A x 6. ábra Kiematikai egyelet: a (.4)-es egyelet felírva vektorosa: U R. (.) Ayagegyeletek: a (.)-ből felírva a húófesültséget: U E E R. (.3) A rúdra ható axiális erő: U N da E da 0 R, (.4) (A) (A) mert R da 0. (.5) (A) - -
13 A hajlítóyomatékot a követkeőképpe írhatjuk fel: da da E U M R e R e R e R da. (.6) (A) (A) (A) Hogy a yomaték két koordiátáját meg tudjuk határoi, vektoriálisa megsorouk elölről a (.6)-os egyeletet e -vel: U e M RdA E R da (A) (A) R U U E R RdA EJ, (.7) (A) ahol A sögelfordulásvektor: J x x x I 0 R RdA da (A) (A) x 0 I. (.8) x x du du du e e e. (.9) d d d Egyesúlyi egyeletek: Ee egyeletek felírásáho a 7.ábra yújt segítséget. x x M T dt Fe O Fe M dm 7. ábra T - 3 -
14 A ábra alapjá a követkeő egyelet írható fel: A (.0)-es egyeletből követkeik: dm du e d Fe du e d T 0. (.0) Mivel d U d T eredméye e iráyú, eért: dm du du F e T e T 0. (.) d d d így besorova et a egyeletet vektorikusa e -vel: illetve felírható még: d d Ha behelyettesítjük a (.3)-at a (.4)-be, kapjuk: d d du e T 0, (.) d du e M F T 0, (.3) d dt d 0. (.4) d U e M F 0. (.5) d Ebbe behelyettesítve a (.7)-est, kapjuk a modell alapegyeletét: 4 d d E U F 4 d U J d 0. (.6) A 5. ábrá látható csukló alapjá a követkeőket tudjuk felíri: e e, (.7) cos, si, si, cos e. (.8) - 4 -
15 Eekívül feltételeük, hogy a elmodulás a vektor iráyába törtéik: Így felírva a alapegyeletet: U V. (.9) 4 d V d V EI F 0, (.0) 4 d d ahol V U, (.) I J I si I cos. (.) A együtthatókat a követkeő helyettesítéssel írjuk fel: F, (.3) EI így a alapegyelet a követkeő alakra egyserűsödik: 4 d V d V 4 0. (.4) d d Eek a egyeletek a megoldásáho peremfeltételekre va sükségük. Itt is érvéyesek ugyaaok a peremfeltételi előírások, mit a. fejeetbe, vagyis: V(0) V() 0, M (0) M () 0. (.5) e e A e iráyú yomaték: d V d V Me e M e M e M EJ EI, (.6) d d ahol I I si I cos, I I. (.7) A. fejeetbe láthattuk, hogy ha a csukló tegelye valamelyik koordiátategellyel esik össe, hogya kapjuk a megoldást. A ferde hatásvoalú csukló esetébe a megoldásfüggvéy hasolóa é ki a csukló saját redserébe (, e, e koordiátaredser). Így a megoldások a követkeők: Vi Ci si i. (.8) - 5 -
16 A = helye ismerve a peremfeltételeket tudjuk, hogy: illetve i, (.9) i Fi EI i i. (.30) Így et a egyeletet átredeve a kritikus terhelések a követkeők: i F i EI. (.3) Például a első kritikus terhelés (i = ): F EI. (.3) kr A koordiáta tegelyekre eső erők a követkeők: Sejtésük serit: P EI EI P. (.33) P Fkr P. (.34) - 6 -
17 3. AKAMAZÁS NÉHÁNY PÉDÁN KERESZTÜ 3.. Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Elősör visgáljuk meg egy rudat, melyek midkét végé ferde hatásvoalú csuklót alkalmatuk. A két csukló eltérő söget ár be a x tegellyel. A rúd kerestmetsete téglalap (8. ábra), hossa. x x a x b 8. ábra Adatok: 5 a = 30 mm, b = 50 mm, = 000 mm, E 0 MPa. A = 0 helye a csukló és a x tegely söge: = 30. A = helye a csukló és a x tegely söge: = 45. A sámításokho sükségük va még a két tegelyre sámított másodredű yomatékra is: a b 30 mm 50 mm mm, (3.) I I ab 30 mm 50 mm mm. (3.) A első fejeetbe erre a esetre veettük le a alapegyelet-redser megoldását, így itt alkalmaható a (.49)-es össefüggés. E a egyeletredser egaktul em oldható meg, eért umerikus módser segítségével keressük a megoldását. Ee feladat, valamit a további feladatok megoldásáál egy egyserű umerikus módsert, a ú. sakasfeleő vagy itervallumfeleő módsert hasáltuk. A determiás a (.)-es össefüggések alapjá léyegébe csak a F erőtől függ, így at kerestük, mely F érték esetébe les a determiásuk értéke elősör 0, mert ee értékre adódik a rúd első kritikus terhelése. A itervallumfeleő módser léyege, hogy a függvéy érushelyéek keresésekor kihasáljuk, hogy a függvéy a érushelye előjelet vált. Előetes sámítások alapjá kijelölük egy [c,d] itervallumot. Ee itervallum két végpotjá vessük a függvéy értékét (eekek eltérő előjelűekek kell lei). Eutá megvisgáljuk a itervallumot feleő potot, vagyis a függvéy értékét a c d helye. A itervallumot eel a új határral sűkítjük, és megvisgáljuk, - 7 -
18 hogy a függvéy értékéek előjele ebbe a feleőpotba a eredeti itervallum alsó, vagy felső határá vett behelyettesítési érték előjelével egyeik-e meg. Amelyikkel megegyeik, ahelyett vessük új határkét, majd újra kijelöljük a új itervallum feleőpotját, és újra elvégeük a eljárást. Addig folytatjuk a itervallum sűkítését, míg egy adott potosságot el em érük. A feladatokba 0,-es potossággal határotuk meg a F értékeit. Erre a kokrét példára bemutatjuk a első pár lépésbe vett itervallumokat, és aokál a (.49)-es determiás értékeit.. tábláat épés F a (itervallum alsó határa, N) ,5 Determiás F b (itervallum értéke F a -ál felső határa, N), , , , ,5 4, ,5, ,5 Determiás értéke F b -él 6,366 0,86 0,86 0 6,758 0,053 0,053 0 Jól látsik, hogy a determiás értéke egyre jobba köelíti a 0-át. További sámításokkal a követkeő eredméyt kaptuk a első kritikus terhelésre: F N. (3.3) A kritikus terhelést a. fejeetbe meghatároott össefüggés alapjá is kisámítottuk [(.3)-es össefüggés]: 5 N 4 Fkr EI mm 8090,54 N, (3.4) mm 000 mm ahol a (.7)-es össefüggés alapjá: I I si I cos mm si 50 mm cos 6500 mm. (3.5) A kétféle sámítási móddal meghatároott kritikus terhelések hasoló eredméyre veettek, a eltérés 5,9 %-os. Sejtésük, melyet a (.34)-es össefüggés mutat, ebbe a esetbe helytálló: 5 N 4 P EI mm 54,57 N, (3.6) mm 000 mm - 8 -
19 5 N 4 P EI mm 5556,5 N. (3.7) mm 000 mm Tehát: P Fkr P. 3.. Egyik végé befogott, másik végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Most visgáljuk meg a rudat úgy, hogy a = 0 helye befalaást, a = helye pedig egy ferde hatásvoalú csuklót alkalmauk. A rúd geometriai méretei ugyaaok, mit a 3.. esetbe, a = helye vett csukló söge: = 45. Erre a feladatra eekkel a adatokkal új peremfeltételi előírásokat írtuk fel, tehát itt em alkalmaható a (.49)-es össefüggés. A peremfeltételek a = 0 helye a követkeők: u (0) u (0) (0) (0) 0. (3.8) Ebből kapuk égy feltételi egyeletet, melyek a (.33), (.34), (.35) és (.36) alapjá a követkeők: u A B C si D cos A D 0 (3.9) u A B C si D cos A D 0 (3.0) B C cos D si B C 0 (3.) B C cos D si B C 0 (3.) A = helye található sögű csuklóra előírható 4 feltételi egyelet itt ugyaa, mit a (.45), (.46), (.47) és (.48)-as egyeletek. A egyeletek együtthatói mátrixáak determiása itt is 0 kell legye, hogy megkaphassuk a kritikus terheléseket. A determiás a követkeő: det 0 -si -si -si si -si cos cos cos cos si cos cos 0 cos cos cos - cos si 0 si si cos - si si 0 0 -si si -si cos 0 0 cos si cos cos 0 cos si 0 0 (3.3) Et a determiást is a előő példáho hasolóa itervallumfeleő módserrel megoldva kapjuk a első kritikus terhelést: F 79684,6 N (3.4) A. fejeetbe meghatároott képletüket is arra a esetre veettük le, amikor a rúd midkét végét csuklóval támastottuk meg. A = 0 helye aoba más - 9 -
20 peremfeltételi előírásokat kell teük. A elmodulásmeőre felírt általáos megoldás itt is érvéyes: V A B Csi D cos. (3.5) E alapjá a peremfeltételeik a követkeők: V(0) A D 0, (3.6) V (0) B C 0, (3.7) V() A B Csi D cos 0, (3.8) M e() C si D cos 0. (3.9) EI E 4 egyelet 4 ismeretle kostasra. Ha a egyeletredsert megoldjuk, a követkeőt kapjuk: cos D 0 si. (3.0) Ha a D kostas értéke 0, akkor a többi kostas értéke is 0-ra adódik, ekkor ics elmodulás. Így at a esetet visgáljuk, amikor a árójeles kifejeés érus, melyből a követkeő egyelet adódik: vagyis tg, (3.) Ebből meghatárohatjuk a k, k 0,,,.... (3.) értékét: k. (3.3) Et behelyettesítve (.3)-as össefüggésbe kapjuk: F k. (3.4) k EI Et átredeve, a első kritikus teher meghatároásáho beírva k = -et: F EI. (3.5) k - 0 -
21 Tehát ugyaat a össefüggést kaptuk, mit a midkét végé csuklóval megtámastott rúd esetébe. Vagyis a ott kapott első kritikus terhelés értéke itt is ugyaa a érték: Fk 8090,54 N. (3.6) Et össevetve a (3.3)-as eredméyükkel a eltérés kicsiy, 0,63 %-os Egyik végé ferde hatásvoalú csuklóval, másik végé gömbcsuklóval megtámastott rúd Visgáljuk meg ugyaet a rudat úgy, hogy a = 0 helye ferde hatásvoalú csuklót alkalmauk, a = helye pedig gömbcsuklót. A rúd méretei és rugalmassági modulusa ugyaa, mit a előő példákba is. A = 0 helye lévő csukló söge = 30. Mivel erre a rúdra is új peremfeltételeket írtuk elő, eért a (.49)-es össefüggés itt sem alkalmaható. A = 0 helye vett = 30 -os csuklóra felírható peremfeltételi egyeletek megegyeek a (.4) (.44)-es egyeletekkel. A = helye felvett gömbcsuklóra a követkeő peremfeltételi előírások érvéyesek: u () u () 0, M () M () 0. (3.7) Így felírva a elmodulásokra és yomatékokra érvéyes megoldásfüggvéyeket a = potba [(.33), (.34), illetve (.37) és (.38)] a követkeő egyeleteket kapjuk: A B C si D cos 0, (3.8) A B C si D cos 0, (3.9) C si D cos 0, (3.30) C si D cos 0. (3.3) Így megit egy yolc egyeletből álló redsert kaptuk, mely együtthatóiak determiása a követkeő alakba írható fel: si 0 0 si cos 0 0 cos 0 cos cos 0 0 si si si cos 0 cos si 0 0 det 0. (3.3) si cos si cos si cos 0 0 si cos
22 Et a determiást is itervallumfeleő eljárás segítségével oldottuk meg, melyek segítségével a első kritikus terhelésre a követkeő eredméy adódott: Fk N. (3.33) A. fejeetbe alkalmaott köelítő módserrel erre a esetre ugyaaokat a peremfeltételi előírásokat tudjuk felíri, mit a 3. példába, tehát alkalmaható a (.3)-es össefüggés, mellyel a kritikus terhelés értéke itt is: Fk 8090,54 N. (3.34) A eltérés ebbe a esetbe is kicsiy,,55 %-os Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Visgáljuk meg még egy esetet. Most a rudat ismét két ferde hatásvoalú csuklóval támastjuk meg, de eddig a csukló tegelyiráyába eső elmodulást megegedtük. A = helye lévő csukló továbbra is egy ilye csukló = 45 -os söggel [ahogy a 3.. és 3.. példákba is, tehát a rá voatkoó 4 peremfeltételi egyelet itt is a (.45)-(.48)]. A = 0 helye található csukló söge legye = 30, de eél a csuklóál em egedjük meg a csukló tegelyiráyába eső elmodulást (9. ábra). Vagyis em egedjük meg a e iráyú elmodulást. A = helye lévő csuklóra érvéyes peremfeltételi egyeletek most a (.45) (.48)-as egyeletek írják le. A másik csuklóra érvéyes peremfeltételek a követkeők: ue u e u cos u si, (3.35) u u u si u cos, (3.36) si cos, (3.37) M M e M cos M si. (3.38) e e e e 9. ábra - -
23 Ha ebbe beírjuk a (.33) (.38)-as egyeleteket, valamit = 0 helyettesítést alkalmava kapjuk a követkeő egyeleteket: A cos D cos A si D si 0, (3.39) Asi Dsi A cos D cos 0, (3.40) B si C si B cos C cos 0, (3.4) D si D cos 0. (3.4) E egy újabb yolc egyeletből álló egyeletredser, melyek együtthatóiak determiása a követkeő: cos 0 0 cos si 0 0 si si 0 0 si cos 0 0 cos 0 cos cos 0 0 si si si cos det si si si si si cos cos cos cos si cos cos 0 cos cos cos cos si 0 si si cos si si 0 0 si si si cos 0 0 cos si cos cos 0 cos si 0 0. (3.43) Itt is sakasfeleő módsert alkalmatuk, eel a első kritikus teher értéke: Fk 7486,8 N. (3.44) 0 A. fejeetbe tárgyalt peremfeltételi előírások erre a példára is érvéyesek, tehát alkalmaható a (.3)-es össefüggés, vagyis a első kritikus teher így: Fk 8090,54 N. (3.45) A eltérés itt sem jeletős, mitegy 6,65 %-os
24 ÖSSZEFOGAÁS Jele dolgoat keretei köött ferde hatásvoalú csuklókkal megtámastott rudak stabilitási visgálatával foglalkotuk. Kétféle elméletet is bemutattuk a kritikus terhelések meghatároásáho, melyeket atá alkalmatuk is 4 esetre. Eekre a kokrét példákra at a követketetést vohatjuk le, hogy midkét módserből yert kritikus terhelés értékei köel aoosak, a eltérés kööttük em jeletős. At is megállapíthatjuk, hogy a első fejeetbe tárgyalt módserből kapott eredméyek alábecsülik a második fejeetbe meghatároott össefüggésből yert értékeket. Ee kokrét példák esetébe a is megfigyelhető, hogy a 4 külöböő megtámastású rúdra is köel aoos eredméyeket kaptuk. Vagyis a ferde hatásvoalú csukló hasolóa sigorú megkötést jelet, mit a befogás. IRODAOMJEGYZÉK Hivatkoások: [] J. N. Reddy, W. B. Bickford, K. H. ee: Shear Deformable Beams ad Plates, odo, Elsevier, old. További felhasált irodalom: K. J. R. Rasmusse, N. S. Trahair: Exact ad approximate solutios for the flexural bucklig of colums with oblique rotatioal ed restraits, Thi- Walled Structures 43, old
26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenMechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30
Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenSzerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév
Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,
RészletesebbenANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA
Multidisciplináris tudománok. kötet. () s. pp. 89-. ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Lengel Ákos Jósef Ecsedi István doktorandus
RészletesebbenTARTÓSZERKETETEK III.
TARTÓSZERKETETEK III. KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA + STABILITÁSI ELLENÁLLÁS 1 KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA 1.1 Csavarlukkal gengített köpontosan húott rúd 1. Egik sárán kapsolt köpontosan húott sögaél 1.
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenFIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév Optika előadásjegyzet GEOMETRIAI OPTIKA. dr. Erdei Gábor,
FIZIKA BSc, III. évfolyam /. félév Optika előadásjegyet GEOMETRIAI OPTIKA dr. Erdei Gábor, 6--4 AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: Klei-Furtak, Optics Richter, Beveetés a moder optikába Bor-Wolf, Priciples of optics
RészletesebbenDr. BALOGH ALBERT. A folyamatképesség és a folyamatteljesítmény statisztikái (ISO 21747)
Dr. BAOGH ABERT A folyamatkéesség és a folyamatteljesítméy statistikái ISO 747 Folyamat sabályoott, ha csak véletle okú váltoásokat hibákat tartalma. Sabályoatla, ha aoosítható okú redseres váltoásokat
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenTömegpont-rendszer mozgása
TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) Tömegpot-redser mogása Boyolultságba a tömegpot utá követkeő és gyakorlat sempotból s ge fotos eset amkor több tömegpotból álló redsert ú külső tömegpot-redsert (rövdebbe:
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5. MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr. Nag Zotá eg. adjuktus; Bojtár Gerge eg. ts.; Tarai Gábor méröktaár) 5.. Rugamas sá differeciáegeete (ehajás
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
Részletesebben5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5 MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr Nag Zotá eg adjuktus; Bojtár Gerge eg ts; Tarai Gábor méröktaár) 5 Rugamas sá differeciáegeete (ehajás sögeforduás):
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenA ferde hajlítás alapképleteiről
ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban,
Részletesebben5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot
5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:
RészletesebbenANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet
ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenHéj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebben2. A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAPJAI
A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAJAI A fejeet rövide össefoglalja a silárdságta és a rugalmasságta alapvető fogalmait melek a végeselem módser felépítéséhe és alkalmaásáho élkülöhetetleek A silárdságta
RészletesebbenMegjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok
1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy
RészletesebbenA szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése
A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenA flóderes rajzolatról
A flóderes rajolatról Beveetés Ebben a dolgoatban vagy talán több ilyenben is at a célt igyeksünk megvalósítani, hogy matematikailag leírjuk a faanyag úgyneveett flóderes, más néven lángnyelv alakú rajolatát.
RészletesebbenEmlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ
Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből
RészletesebbenÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK
ÍVHÍDODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, UERIKUS ÉS SZABVÁYOS EREDÉYEK Dunai Lásló * - Joó Attila Lásló ** RÖVID KIVOAT A Dunaújvárosi Duna-híd terveése kapcsán a BE Hidak és Serkeetek Tansékén végrehajtottunk
RészletesebbenAz összetett hajlítás képleteiről
A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA
Dr Égert Jáos Dr Molár Zoltá Dr Nag Zoltá ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Noprofit Kft Gőr, 00 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT MECHANIKA
Részletesebben3. Szerkezeti elemek méretezése
. Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
Részletesebben6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése
6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik.
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.
9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön
Részletesebben8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
8 MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltá eg adjuktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarai Gábor méröktaár) 8 Fesültségi állapot semléltetése Adott: Ismert eg silárd test potjába a fesültségi
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenEUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei
Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők
RészletesebbenOptika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van.
Optika Mi a féy? Látható elektromágeses sugárzás. Geometriai optika (modell) Féysugár: ige vékoy párhuzamos féyyaláb Ezt a modellt haszálva az optikai jeleségek széles köréek magyarázata egyszerű geometriai
Részletesebben3. A RUGALMASSÁGTAN ENERGIA ELVEI
A RUGALMASSÁGTAN ENERGIA ELVEI A rugamasságta egyeetredseréek egakt és köeítő megodásai eergia evekre aapova is eőáíthatók Aapfogamak Kiematikaiag ehetséges emoduásmeő Jeöése: u u r u, y, A továbbiakba
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebben1.2. Ütközés Ütközési modell, alapfeltevések Ütközés 3
.2. Ütközés 3 alkalmazásához azoba szükséges a kiematika ismerete, a kietikus és poteciális eergia megfelelő kifejezése és a tehetetleségi yomaték számítása, valamit helyese kell alkalmazi a differeciálási
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenVASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE
BUDAPET MŰZAKI É GAZDAÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőméröki Kar Hidak és zerkezetek Taszéke VABETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatási segédlet v. Összeállította: Dr. Bódi Istvá - Dr. Farkas György Budapest,. máus
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben2. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltá eg adjuktus; Bojtár Gergel eg ts; Tarai Gábor éröktaár) Silárd test potjáak alakváltoási
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
Részletesebbenó í í Ö í í ó ó Ö Ö ű É í í ü üé É ü É ü Á Éí ó É É ü Éü É ü ü ü ü ó ű ü í ü ü ó ó Ö Ü í ü ü ü ü ű É ó ó ú Í Á ű í í Ő Í í ó í Ú í ó í ú í ú ó í ü ü ü ü ü ó ü ü ü ü í ó ó ó ü í ó ó ó í Í í í ó í í í í
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenA FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1
A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S
Részletesebben2.2. A z-transzformált
22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk
RészletesebbenMISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁCSOLÓ SZERSZÁMGÉPEK FOKOZATOS FŐHAJTÓMŰVEI. Oktatási segédlet
MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Sersámgépe Tasée FORGÁCSOLÓ SZERSZÁMGÉPEK FOKOZATOS FŐHAJTÓMŰVEI Otatási segédlet Misolc, 00 MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Sersámgépe Tasée FORGÁCSOLÓ SZERSZÁMGÉPEK
RészletesebbenModla G., Láng P., Kopasz Á. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészeti Eljárások Tanszék
Új kolonna konfigurációk nyomásváltó sakasos destillációho. Megvalósíthatósági visgálatok New column configutations for ressure swing batch distillation. Feasibility Studies Modla G., Láng P., Koas Á.
RészletesebbenFolytonos idejű rendszerek stabilitása
Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebbenl = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )
5. TIZTA HÚZÁ-NYOMÁ, PÉLDÁK I. 1. a) Határouk meg a függestőrúd négetkerestmetsetének a oldalhossát cm-re kerekítve úg, hog a függestőrúdban ébredő normálfesültség ne érje el a σ e = 180 MPa-t! 3 m 1 C
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
Részletesebben22. ÖSSZETETT SZŰRŐKÖRÖK VIZSGÁLATA
. ÖSSZETETT SZŰRŐKÖRÖK VIZSGÁLATA Célkitűés: A műveleti erősítőkben és oscillátorokban alkalmaott össetett sűrőkörök össeállítása és fiikai ellemőinek (amlitúdó- és fáiskarakteristikáának) visgálata. A
Részletesebbenb) A tartó szilárdsági méretezése: M
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNK TNZÉK 5 MECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidogot: dr Ng Zotá eg djuktus; ojtár Gerge eg Ts; Tri Gábor méröktár) 5 Rúdserkeet siárdságti méreteése: d kn kn kn m m m dott: kn
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenGyakorlati útmutató a Tartók statikája I. tárgyhoz. Fekete Ferenc. 5. gyakorlat. Széchenyi István Egyetem, 2015.
Gyakorlati útmutató a tárgyhoz Fekete Ferenc 5. gyakorlat Széchenyi István Egyetem, 015. 1. ásodrendű hatások közelítő számítása A következőkben egy, a statikai vizsgálatoknál másodrendű hatások közelítő
Részletesebbenx = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése
Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás
RészletesebbenMágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel
Beveetés Mágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel A mérés célja megismerkedni egy makroskopikus minta mágneses dipólmomentumának mérésével, valamint megvisgálni egy lágymágneses anyag momentumának
RészletesebbenCserjésné Sutyák Ágnes *, Szilágyiné Biró Andrea ** ismerete mellett több kísérleti és empirikus képletet fel-
ACÉLOK KÉMIAI LITY OF STEELS THROUGH Cserjésé Sutyák Áges *, Szilágyié Biró Adrea ** beig s s 1. E kutatás célja, hogy képet meghatározásáak kísérleti és számítási móiek tosságáról, és ezzel felfedjük
RészletesebbenSTATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)
STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A
RészletesebbenStabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1
Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenLineáris egyenlet. Lineáris egyenletrendszer. algebrai egyenlet konstansok és első fokú ismeretlenek pl.: egyenes egyenlete
Lieáris egyelet algebrai egyelet kostasok és első fokú ismeretleek pl.: egyees egyelete Lieáris egyeletredser y a b lieáris egyeletek csoportja ugya ao a váltoó halmao Lieáris egyeletredser B b B b B b
RészletesebbenTerhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe.
71 Síkbeli rácsos tartó Adott: A serkeet geometriai méretei A rudak átmérője: d = 4 mm A anag acél: 5 N E =,1 1, ν =,3 mm A terhelés: F1 = F = kn, F 3 = 4 kn F 1 A 6 5m F F 3 1 m B Feladat: a) A serkeet
RészletesebbenHosszútávúBefektetések Döntései
VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra
Részletesebben12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
1 EHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgota: dr Nag Zoltán eg adjunktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 11 Primatikus rúd össetett igénbevétele (nírás és hajlítás) dott: a 0,4 m, b 45 mm, F 1 kn,
Részletesebben2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenAcélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint
Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt
Részletesebbeny x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,
SZÉCHENYI ISVÁN EGYEEM ALKALMAZO MECHANIKA ANSZÉK MECHANIKA-REZGÉSAN GYAKORLA (kdolgota: Fehér Lajos, eg ts; ara Gábor, mérök taár; Molár Zoltá, eg adj) Komle meségek, Mátr- és Vektoralgebra, Dfferecálegeletek
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
VETÍTÉSEK Vetítések fajtái / Trasformációk amelek -imeiós objektumokat kisebb imeiós terekbe visek át. Pl. 3D 2D Vetítés köéotja ersektívikus A A B Vetítési B Vetítés köéotja a végtelebe árhuamos A A B
Részletesebben5. Szerkezetek méretezése
. Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások
RészletesebbenHÁZI FELADAT megoldási segédlet PONTSZERŐ TEST MOZGÁSA FORGÓ TÁRCSA HORNYÁBAN 2. Anyagi pont dinamikája neminerciarendszerben
HÁZI FELADAT megolási segélet PONTSZEŐ TEST MOZGÁSA FOGÓ TÁCSA HONYÁBAN. Anyagi pont inamikája neminerciarenserben. A pont a tárcsán egyenes pályán moog, mert a horony kénysert jelent a mogása sámára.
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenA Cauchy függvényegyenlet és néhány rokon probléma
A Cauchy függvéyegyelet és éháy roko probléma Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A függvéyegyeletek egyik alapegyelete a Cauchy függvéyegyelet, amely a következő: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek,
RészletesebbenKozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL
Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben14. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor mérnöktanár.) Adott:, F F. y A
4 EHNK-SZLÁRDSÁGTN GYKORLT (kidogota: Tarnai Gábor mérnöktanár) 4 Statikaiag határoatan tartó igénbeéteeinek meghatároása: (astigiano téte) dott: m kn 4 5 mm N E 5 mm Statikai ismeretenek: tartó statikaiag
RészletesebbenOktatási Hivatal KÉMIA I. A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló. Javítási-értékelési útmutató I.
ktatási Hivatal I. FELADATSR A 015/016. taévi rszágos Középiskolai Taulmáyi Versey második forduló KÉMIA I. Javítási-értékelési útmutató 1., Mg pot. Fr 1 pot 1 eltérés: 1 pot; mi. 0 pot 3. a) pl. 1 1 H
Részletesebben3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =
Részletesebben