2. A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAPJAI

Átírás

1 A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAJAI A fejeet rövide össefoglalja a silárdságta és a rugalmasságta alapvető fogalmait melek a végeselem módser felépítéséhe és alkalmaásáho élkülöhetetleek A silárdságta és a rugalmasságta alapjaiak résletes feldolgoását a [0] takövbe is megtalálhatja a érdeklődő Alapfogalmak Testmodell: ola idealiált tulajdoságokkal redelkeő test amel a valóságos testek a visgálat sempotjából legléegesebb tulajdoságait tükröi A test léegesek tartott tulajdoságait megtartjuk a léegteleek ítélt tulajdoságokat elhaagoljuk Silárdságta: a terhelés előtt és utá is tartós ugalomba lévő alakváltoásra képes testek kiematikája diamikája és aagserkeeti viselkedése Terhelés: a általuk visgált redserhe em tartoó testektől sármaó ismert agságú hatások amelek silárd halmaállapotú testekél általába felületi éritkeéssel valósulak meg Tartós ugalom diamikai feltétele: a testre ható erőredser lege egesúli Tartós ugalom kiematikai feltétele: a test megtámastása e egedje meg merevtestserű elmodulásokat Egesúli erőredser: a a erőredser amel érus omatéki vektorteret ho létre A egesúl leggakrabba hasált feltétele: F 0 M 0 ahol F a erőredser eredő erővektora és M A a erőredser eg tetsőleges A potra sámított eredő omatékvektora A A pot a test (vag tér) tetsőleges potja Merev test: bármel két potjáak távolsága álladó Silárd test: alakváltoásra képes test Alakváltoás: a terhelés hatására a test potjai egmásho képest elmodulak és eért a test aagi geometriai alakatai (hoss sög felület térfogat) megváltoak Kiematika a silárdságtaba: leírja a (terhelés hatására) bekövetkeő elmodulásokat és alakváltoásokat Diamika a silárdságtaba: leírja a terhelés hatására a testbe fellépő belső erőredsert Aagserkeeti viselkedés: megadja a alakváltoás és a belső erőredser köötti kapcsolatot Rugalmas alakváltoás: a terhelés hatására alakváltoott test a terhelés megsütetése (levétele) utá vissaeri eredeti alakját Lieárisa rugalmas alakváltoás: a alakváltoás és a belső erőredser köött lieáris függvékapcsolat va Nem lieárisa rugalmas alakváltoás: a alakváltoás és a belső erőredser köötti kapcsolat em lieáris Képléke alakváltoás: a test a tehermetesítés utá em eri vissa eredeti alakját Kis elmodulás: a test potjaiak elmodulása agságredekkel kisebb a test jellemő méreteiél Kis alakváltoás: a test alakváltoását jellemő meiségek léegese kisebbek mit eg Elemi köreet elemi tömeg: Mide test végtele sok tömegpotból felépülő redserek is tekithető A tömegpotho úg jutuk hog a testet godolatba végtele sok kis résre botjuk A elemi tömeg test elemi kocka elemi gömb Tömegpot: a silárdságtaba eg ola kis testrés amelek méretei a test méreteihe képest ago (elhaagolhatóa) kicsik A silárdságtaba a testet alkotó tömegpotokat elemi tömegekek vag elemi köreetekek eveük 6

2 A elemi köreet silárdságtai állapotait a elemi köreet eg potjáho (a köéppotjáho ) kötött meiségekkel írjuk le otho kötött meiségek: - skalár (például tömegsűrűség alakváltoási eergia) - vektor (például elmodulás sögelfordulás) - teor (például alakváltoási fesültségi) Elemi köreet silárdságtai állapotai: - elmodulási - alakváltoási - fesültségi - eergetikai A test silárdságtai állapotai: a elemi köreetek silárdságtai állapotaiak össessége A test silárdságtai állapotait meőkkel (terekkel) tudjuk leíri A meők megadják a visgált meiség heltől való függését Eek a meők lehetek: Silárdságtai állapotok Elmodulási állapot - skalármeők - vektormeők - teormeők r V u V O r A ábrá foltoos voallal rajolt test a terhelés hatására a saggatott voallal jelölt heletbe kerül Köbe a test potja helre modul el A pot elmodulási állapota: up upe vpe wpe A test elmodulási állapota (a test valamei potjáak elmodulása): u r u r e v r e w r e Itt ur u vr v és wr w a elmodulásmeő skaláris koordiátái A továbbiakba feltételeük hog a általuk visgált testek csak kis alakváltoást sevedek Alakváltoási állapot Elemi triéder: a potba felvett terhelés előtt egmásra kölcsööse merőleges e e e egségvektor hármas A elemi köreet alakváltoása: a terhelés hatására a elemi triéder végpotjaiak a merevtestserű forgáso kívüli mogása a potho képest ABC A B C 7

3 A megváltoott hossak: A A megváltoott sögek: B C A sögek értelmeéséből követkeik hog Alakváltoási jellemők: - fajlagos úlások: - fajlagos sögtorulások: A fajlagos úlások mértékegsége a fajlagos sögtorulásokat radiába mérjük 0 eseté a egségi hoss megúlik 0 eseté a egségi hoss megrövidül 0 eseté a eredetileg sög agsága csökke 0 eseté a eredetileg sög agsága öveksik 5 Kis alakváltoás: ha 0 0 A alakváltoási teor A pot elemi köreetéek alakváltoási állapotát a alakváltoási teor jellemi egértelműe - Diadikus előállítás: A e e e - Mátrios előállítás: A A alakváltoási vektor koordiátái: e e e e e e e e e A alakváltoási teor mátriáak első oslopába a alakváltoási vektor és harmadik oslopába a A A C alakváltoási vektor második oslopába a alakváltoási vektor koordiátái állak A alakváltoási teor ismeretébe meghatárohatuk tetsőleges iráokho tartoó alakváltoási jellemőket C B B 8

4 Lege és m két egmásra merőleges egségvektor: m m 0 A iráho tartoó alakváltoási vektor: A A iráho tartoó fajlagos úlás: A A és m iráokho tartoó fajlagos sögtorulás: m m m A A m mert A simmetrikus Fesültségi állapot Fesültségvektor: A test adott metsetfelületé (belső felületé) megosló belső erőredser sűrűségvektora (iteitásvektora) r ahol r a pot helvektora és a metsetfelület potbeli ormális egségvektora Jelölése: Ha rögített pot akkor és A ábrá a fesültségvektor össetevői és koordiátái láthatóak jelöli a elemi felület ormális egségvektorát m és l pedig a elemi felület síkjába eső egségvektorok E három vektor midegike egségi hossú: m l valamit egmásra merőlegesek m ml l 0 A fesültségvektor össetevői (vektor meiségek): ahol a ormálfesültség vektor pedig a csústatófesültség vektor A fesültségvektor koordiátái (skalár meiségek): - ormálfesültség koordiáta: - csústató fesültség koordiáták: m m Mértékegség: a SI redserbe a méröki gakorlatba m l l l N/m =a (paskál) N/mm =Ma (megapaskál) A test eg adott potjába a fesültségvektor a lieáris homogé függvée: A fesültségi teor: A pot elemi köreetéek fesültségi állapotát a F A fesültségi teor diadikus előállítása: F e e e F fesültségi teor egértelműe jellemi (megadja) A fesültségi teor mátrios előállítása: F A ormálisú síko ébredő fesültségvektorok koordiátái: e e e e e e e e e m l l m 9

5 Előírt iráokho tartoó fesültség-koordiáták kisámításáho lege m valamit két egmásra merőleges egségvektor: m és m 0 F Fesültségi főtegelek főfesültségek F m m F F m m Ha eg e egségvektorra merőleges elemi felülete e 0 és ebből követkeőe e e e akkor - a e irá (tegel) fesültségi főirá (főtegel) - e főfesültség - a e - re merőleges elemi felület síkja pedig főfesültségi sík Megjegés: - Mide potba léteik legalább három főirá melek kölcsööse merőlegesek egmásra - A e főfesültség értéke lehet ulla is Ekkor e A fesültségi teor a főtegelek koordiáta-redserébe: F Megállapodás a főfesültségek sorsámoására: Főtegel feladat sajátérték feladat A főiráok és főfesültségek meghatároása matematikai sempotból eg sajátérték-feladat megoldása Kérdés: Léteik-e ola e vektor amellel a F fesültségi teort megsorova a e vektorral párhuamos vektort kapuk eredméül? e e e F e I e 0 F e I e ahol e 0 0 I 0 0 a egség- vag idemteor 0 0 E a egelet a e egségvektor koordiátáira éve homogé lieáris algebrai egeletredser A lieáris homogé algebrai egeletredser skaláris alakba: e e e 0 e 0 e e e e 0 e e e e Válas: léteik legalább három ola irá amel eleget tes a főirára a előbbiekbe megadott feltételekek A egeletredser em triviális megoldása akkor léteik ha a det F I 0 egelet teljesül aa e e 0 e e A determiást kifejtve és a eredmét átredeve kapjuk a karakteristikus egeletet: E harmadfokú algebrai egelet e FI e FII e FIII 0 e - re éve Megoldásai a főfesültségek 0

6 A karakteristikus egelet egütthatói: F F F I II III FI FII és F III a fesültségi teor skalár ivariásai Ivariás: értéke koordiáta trasformáció sorá em váltoik meg koordiáta redsertől függetle meiség A karakteristikus egeletből kisámított főfesültségeket a egeletredserbe vissahelettesítve kapjuk a e e e főiráokat 4 Alakváltoási eergia - Fajlagos (egségi térfogatra voatkoó) alakváltoási eergia: ur - Test alakváltoási eergiája: U udv Itt a V a test térfogata V Matematikai kitérő: teorok kétseres skaláris sorata: Lege ismert a A ( a b) és C ( c d) teor Kétseres skaláris sorat: AC ( a b) ( c d) A a -t sorom skalárisa a c -vel és a b -t sorom skalárisa a d -vel majd a íg kapott két skalár sámot sorom össe egmással - A alakváltoási eergia teorok kétseres skaláris soratával: u F A e e e e e e Rugalmasságtai egeletek Test silárdságtai állapotáak jellemői: u u elmodulási vektormeő - - A A - F F - u u alakváltoási teormeő fesültségi teormeő fajlagos alakváltoási eergia (skalár) meő A továbbiakba aokat a általáos össefüggéseket írjuk fel melek kapcsolatot teremteek a előbb felsorolt állapotjellemők köött lieárisa rugalmas alakváltoások eseté Eek a rugalmasságtai egeletek A rugalmasságtai feladat kitűése: Adott: - a test méretei és alakja - a test aagáak viselkedésére jellemő meiségek - a test terhelése és megtámastása Keresett: - a u u - a A A elmodulási vektormeő alakváltoási teormeő

7 - a F F - a u u Egesúli egeletek fesültségi teormeő és fajlagos alakváltoási eergia (skalár) meő r V da A da dv df F da O df qdv Ragadjuk ki a rugalmas test belsejéből eg ola V térfogatot amel teljese a test belsejébe va A V köreetéek mechaikai hatásait erőkkel vessük figelembe: - a V elemi térfogatára ható erő: df qdv és - a V elemi felületére ható erő: df da F da A V testrés egesúlba va: da F 0 qdv F da V A A Gauss (gaus)-ostrogradskij -féle itegrál-átalakítási tétel serit: F da F dv A V ahol a Hamilto -féle differeciál operátor A tétel emcsak skaláris sorás haem vektoriális és diadikus sorás eseté is érvées Et felhasálva: 0 q dv F dv V V Átredeve: q F dv 0 V A itegrál bármel V térfogat válastása eseté ulla e pedig csak akkor lehetséges ha a itegradus ulla F q 0 Et a össefüggést (vektoregeletet) eveük egesúli egeletek A egesúli egeletek skaláris alakja DDKR-be: q 0 q 0 q 0 Elvégeve a sorásokat a egesúli egeletek skaláris alakja: q 0 Carl Friedrich Gauss ( ) émet matematikus Mihail Vasiljevics Ostrogradskij (80-86) oros matematikus William Rowa Hamilto ( ) ír fiikus és matematikus

8 q 0 q 0 A egesúli egeletek a térfogati terhelés és a fesültségi állapot köötti össefüggést adják meg Kiematikai egeletek E a pot a kiematikai egeletek kis alakváltoások eseté érvées alakját veeti le A kiematikai egeletek (geometriai egeletek kompatibilitási egeletek) adják meg a elmodulásmeő és alakváltoási meő köötti kapcsolatot A alakváltoási meő koordiátái em függetleek egmástól: a elmodulásmeő koordiátáiból sármatathatók megadott sabálok serit Visgáljuk meg a ábrá -vel jelölt pot elemi köretébe lévő Q pot elmodulását: A elmodulásmeő hel seriti megváltoása: dr de d e d e u u u( ) e v( ) e w( ) e u uq u u u Fejeük ki a előő egeletből u -t majd a jobb oldalt fejtsük sorba: u u u u u d d d magasabb redű tagok A elmodulásmeő hel seriti megváltoása lieáris köelítés eseté: A jobb oldalo álló tagokból kiemelve r -t: A elmodulásmeő derivált teora: u u u u du d d d e dr e dr e dr u u u du e e e dr D dr D a elmodulásmeő derivált teora u u u D e e e u A derivált teor felbotása simmetrikus és ferde simmetrikus résre: T T D D D D D A A simmetrikus rés a A a alakváltoási teor mel a elemi köreet alakváltoására jellemő A ferde simmetrikus rés a forgató teor amel a elemi köreet merevtestserű sögelfordulását jellemi A alakváltoási teor előállítására solgáló T A D D u u dr Q u uq u u u

9 össefüggést kiematikai (vag geometriai) egeletek eveük A kiematikai egelet ebbe a formájába csak kis alakváltoások eseté érvées A kiematikai teoregeletek megfelelő skalár egeletek: u u v v v w w u w A kiematikai egeletek a elmodulásmeő és a alakváltoási meő koordiátái köött teremteek kapcsolatot Aagegeletek - általáos Hooke-törvé a) Általáos Hooke-törvé iotróp aagokra Iotróp: a aagi viselkedés irától függetle Iotróp aagokra a általáos Hooke 4 (huk) törvé két lehetséges alakja: A F FI E F GA AI E G A feti egeletekbe a G csústató rugalmassági modulus és a oisso-téeő aagjellemők E a egségteor F I a fesültségi teor első skalár ivariása A I pedig a alakváltoási teor első skalár ivariása: FI AI A F G A AI E teoregelet a alábbi skalár egeleteket tartalmaa: G G G G G G A A F FI E teoregelet a alábbi skalár egeleteket tartalmaa: G G G G G G G E A G össefüggés felhasálásával a előbbi egeletredser első három egelete átredehető: G E σ - σ - σ E E E 4 Robert Hooke (65-70) agol termésettudós 4

10 Hasoló godolatmeettel: E E E E E E Et felhasálva a iotóp aagra voatkoó Hooke-törvé mátri alakba is felírható: vag tömöre E E E E E E E E E G G G S C C ahol a alakváltoási jellemők oslopmátria (oslopvektora) a fesültségek oslopmátria (oslopvektora) S C a aagjellemők mátria b) Általáos Hooke törvé ortotróp aagokra Ortotrópia: a aiotrópia (irától függő aagi viselkedés) ola speciális esete amikor a aag viselkedése egmásra merőleges iráokba vett aagjellemőkkel leírható E a eset a műsaki gakorlatba soksor előfordul például eges sálerősített műaagok (kompoit aagok) eseté A kompoitok többféle eltérő tulajdoságú aagból sálak össetett össeépített aagok A kompoitok eg speciális fajtája a sálerősített műaag A sálerősített mátri műaagok általába jobb mechaikai tulajdoságokkal redelkeek mit alkotóréseik Előük hog léegese kisebb ösúl eseté érhető el velük ugaa a silárdság és merevség mit a hagomáos (pl acél) serkeeti aagokál A ábrá egirába futó sálakkal erősített aag látható A sálak aaga lehet pl grafit aramid (kevlár) vag üveg míg a mátri (a ágaó aag) polimer kerámia fém stb Valóság: a sálak és a mátri aaga eltérő tulajdoságú eért a aag em homogé Kompoit makroskópikus mechaikai modellje: homogé aiotróp aag A aag a irába külöböő tulajdoságokat mutat A a aag termésetes (sáliráho illeskedő) koordiátaredsere A általáos Hooke törvé ortotróp aagra: 5

11 vag tömöre S C C E E E E E E E E E G G G E E E a iráho tartoó rugalmassági modulusok G G G a csústató rugalmassági modulu- a oisso téeők l: a iráú húásho tartoó iráú úlást adja meg sok Mivel a U alakváltoási eergia midig poitív meiség eért a aagálladók S C mátria simmetrikus Eért: E E E E E E A lieárisa rugalmas ortotróp aag 9 függetle aagálladóval jellemehető: E E E G G G Kérdés: hoga írható fel a ortotróp aagra voatkoó Hooke törvé a KR-be? O Erre aért va sükség mert sok esetbe em a aag termésetes koordiátaredserébe dolgouk A fesültségeket és a alakváltoási jellemőket trasformáluk kell a megfelelő KR-be Itt aoba em a sokásos koordiáta trasformációról va só! Visgáljuk meg a fesültségek trasformációját! l: a fesültségkoordiáta kisámítása a KR-be vett meiségekkel: A irá egségvektor: e e e cos e cose cos e cos cos cos F O 6

12 F A aoos sámú voallal aláhúott tagokat össevova: A többi fesültségkoordiátára ugae a godolatmeet érvées 4 eremfeltételek p 0 da A u A p O A előőekbe felírt tieöt egeletből álló differeciál- illetve algebrai egeletredser egértelmű megoldásáho sükségük va a peremfeltételek megadására is Kiematikai peremfeltételek: előírt (ismert) elmodulás u u 0 (a A u felülete) Diamikai peremfeltételek: előírt (ismert) felületi terhelés F p 0 (a A p felülete) A eddigieket össefoglalva a rugalmasságta egeletredsere és peremfeltételei: - F q 0 egesúli egelet ( db skalár) kiematikai egelet (6 db skalár) - A u u - A F FI E aagegelet (6 db skalár) G - u u0 A u kiematikai peremfeltétel ( db skalár) F p diamikai peremfeltétel ( db skalár) - 0 A p Bioítható hog a rugalmasságta egeletredseréek adott peremfeltételek mellett eg és csak eg megoldása léteik (egistecia és uicitás) Egakt megoldás: ha a keresett meők a rugalmasságta egeletredseréek mide egeletét kielégítik Köelítő megoldás: amikor a keresett meők em elégítik ki a rugalmasságta egeletredseréek mide egeletét 7

13 A keresett meők: - u u - A A - F F elmodulási vektormeő alakváltoási teormeő fesültségi teormeő A feti egeletredser egakt megoldásáak előállítása a méröki problémák túlomó többségéél em lehetséges Eért a méröki feladatokál leggakrabba köelítő megoldások előállításával is megelégsük 5 Kompatibilitási egeletek A Sait-Veat (savea)-féle kompatibilitási egelet: Sorouk be a A u u alakba felírt kompatibilitási egelet midkét oldalát jobbról és balról vektoriálisa -val Ekkor kapjuk a Sait-Veat 5 -féle kompatibilitási egeletet: A 0 A Sait-Veat-féle kompatibilitási feltétel egeletei DDKR-be: 5 Adhémar Jea Claude Barré de Sait-Veat ( ) fracia fiikus 8