5. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK

Átírás

1 5 SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAOTOK 5 Alapfogalmak Silárdságta: a trhlés lőtt és utá is tartós ugalomba lvő alakváltoásra képs tstk kimatikája diamikája és aagsrkti vislkdés Trhlés: ismrt külső rőrdsr Tartós ugalom: - a tstr ható rőrdsr gsúli - a tst mgtámastása m gd mg mrvtstsrű lmodulásokat Alakváltoás: trhlés hatására - a tst potjai gmásho képst lmodulak - a tst aagi gomtriai alakatai (hoss sög flült térfogat) mgváltoak Kimatika a silárdságtaba: lírja a trhlés hatására bkövtkő lmodulásokat és alakváltoásokat Diamika a silárdságtaba: lírja a trhlés hatására a tstb fllépő rőrdsrt Aagsrkti vislkdés a silárdságtaba: mgadja a alakváltoást jllmő miségk és a blső rőrdsr köötti kapcsolatot Rugalmas alakváltoás: A trhlés hatására alakváltoott tst a trhlés mgsüttés (lvétl) utá vissari rdti alakját Képlék alakváltoás: A tst thrmtsítés utá m ri vissa rdti alakját Kis lmodulás: a tst potjaiak lmodulása agságrdkkl kisbb a tst jllmő gomtriai mértiél Kis alakváltoás: a tst alakváltoását jllmő miségk légs kisbbk mit ε Csak kis lmodulásokkal kis alakváltoásokkal foglalkouk Elmi kört / lmi tömg / tömgpot: Tömgpotokho vag lmi tömgkh úg jutuk hog a tstt godolatba végtl sok kis résr botjuk Tömgpot a silárdságtaba g ola kis tstrés amlk mérti a tst mértih képst lhaagolhatóa kicsik Elmi kört: g potot illtv a lmi triédrt magába foglaló lmi tömg 5 A lmodulási állapot r r u A trhlés utái állapotot vssővl külöböttjük mg A ttsőlgs pot lmodulása: u u + v + w Tst lmodulása (a tst össs potjáak lmodulása) lmodulás-mő: u ( ) u ( ) + v ( ) + w ( ) 67

2 A lmodulás-mő skaláris koordiátái: ur ( ) u ( ) vr ( ) v ( ) wr ( ) w ( ) 63 A alakváltoási állapot a) Alapfogalmak: Elmi triédr: A potba flvtt a trhlés lőtt gmásra kölcsöös mrőlgs gségvktor-hármas Fltétlük hog a gségvktorok a pot lmi körté blül hlkdk l A lmi triédr gségvktoraiak végpotjait A B C jlöli Elmi kört dformációja: A A B C potok lmodulása három résből áll: párhuamos ltolás + mrvtstsrű forgás + alakváltoás árhuamos ltolás: midhárom pot lmodulása aoos Mrvtstsrű forgás: a három pot lmodulása külöböő d a hossak és sögk m váltoak Alakváltoás: a hossak és a sögk mgváltoása b) Elmi kört alakváltoási állapota: ( + ε ) * A * C ( + ε ) α π A α C π ( + ε ) π B * B α A mgváltoott hossak: A B C + ε + ε + ε A mgváltoott sögk: π π π A sögváltoások a értlmésből kövtkő: Alakváltoási jllmők: - fajlagos úlások: ε ε ε - fajlagos sögtorulások (sögváltoások): A alakváltoási jllmők lőjl: - ε > mgúlás ε < rövidülés - > : a rdti π /-s sög csökk < : a rdti π /-s sög övksik mm A alakváltoási jllmők mértékgség: rad mm 5 5 Kis alakváltoások sté: ε 68

3 A alakváltoási jllmők általáosítása: ( ) ( + ε ) M + ε m αm π N M m m α N A m gmásra mrőlgs gségvktorok: m m ε - a iráú fajlagos úlás m m - a trhlés lőtt gmásra mrőlgs m iráokho tartoó sögváltoás A pot lmi körték alakváltoási állapotát a alakváltoási tor jllmi gértlmű A alakváltoási tor: - Diadikus lőállítás: A α + α + α ε - Mátrios lőállítás: A ε - simmtrikus tor ε A alakváltoási tor oslopai a α α α alakváltoási vktorok koordiátáit tartalmaák A alakváltoási vktorok koordiátái: α ε + + α + ε + α + + ε A alakváltoási állapot smlélttés: a lmi triédr végpotjaiba flmérjük a alakváltoási vktorok koordiátáit ε ε ε 69

4 Adott iráokho tartoó alakváltoási jllmők mghatároása a alakváltoási torból: α A ε α A m m m A A m 54 A fsültségi állapot a) A fsültségvktor: a tst g mtstflülté mgosló blső rőrdsr sűrűségvktora (ititásvktora) Jlölés: ρ ρ( r ) r - aak potak hlvktora aml a mtstflült va - a poto átmő mtstflültk a tstből kiflé mutató ormális gségvktora b) otbli fsültségi állapot (lmi kört fsültségi állapota): A adott potra illskdő össs lmi flült fllépő fsültségvktorok össsség (halmaa) ρ ρ ρ tulajdosága: ρ ( ) ρ Ha rögíttt: ( ) A fsültségvktor össtvői koordiátái: m da m l ρ l a lmi flült ormális gségvktora l m a lmi flült síkjába ső gmásra mrőlgs gségvktorok A l m gségvktorok jobbsodratú dréksögű koordiáta-rdsrt alkotak A fsültségvktor össtvői (vktorok): - a ormál fsültségvktor: ( ρ) ρ ρ - a csústató fsültségvktor: ( ) A fsültségvktor koordiátái (skalárok): - a ormál fsültségi koordiáta: ρ - a csústató fsültségi koordiáták: m m ρ m l ρ l l Mértékgség: SI alap mértékgség: N/m a (ascal kijtés paskál) A méröki gakorlatba sokásos mértékgség: N/mm MN/m Ma 7

5 A fsültségi tor: A pot lmi körték fsültségi állapotát a fsültségi tor jllmi gértlmű A ρ fsültségvktor a homogé liáris függvé tor - Diadikus lőállítás: F ρ + ρ + ρ - Mátrios lőállítás: F - simmtrikus tor ρ ρ ρ A fsültségi tor oslopai a l ρ - a ormálisú lmi flült ébrdő fsültségvktor - a ormálisú síko fllépő ormálfsültség fsültség vktorok koordiátáit tartalmaák - a ormálisú síko fllépő iráú csústató fsültség Simmtria: A F fsültségi tor hat gmástól függtl skaláris miséggl adható mg A ormálisú flült fllépő fsültségvktorok koordiátái: ρ F + + ρ F + + ρ F + + A fsültségi állapot smlélttés: A ρ ρ ρ fsültségvktorok koordiátáit ábráoljuk a potbli három gmásra mrőlgs síko (a pot körtéből kiragadott lmi kocka látható oldallapjai) Más iráokho tartoó fsültségkoordiáták lőállítása a fsültségi torból: ρ F ρ F m ρ m F F m m c) Fsültségi főtglk főfsültségk: Dfiíció: Ha a gségvktorra mrőlgs lmi flült aa ρ akkor a fsültségi főirá (főtgl) főfsültség a -r mrőlgs lmi flült főfsültségi sík 7

6 Mgjgés:- Mid potba létik lgalább három főirá amlk gmásra kölcsöös mrőlgsk lht érus is: ρ - Fsültségi tor a főiráok koordiáta-rdsréb F Mgállapodás a jlölésr és sorsámoásra: 3 7 Főtglprobléma (sajátérték fladat): Fladat: aokak a főiráokak és főfsültségkk a mghatároása amlk lgt tsk a dfiícióba mgadott fltétlkk A főtglprobléma (sajátérték fladat) aoos módo írható fl a fsültségi és a alakváltoási állapotra ρ α ε F I A ε ( F I ) I ( A I ) ε A fti gltkb: I - gségtor (idmtor) ε - főúlás - főfsültség - fsültségi / alakváltoási főirá E midkét stb g homogé liáris algbrai gltrdsr a vktor skaláris koordiátáira A mátriokat réslts kiírva: ( ) ( ) ( ε ε ) ( ) ( ) ε ε ( ε ε ) Mgjgés: - Midig va lgalább három főirá amlk kölcsöös mrőlgsk gmásra - A főfsültség / ε főúlás ulla is lht

7 A liáris algbrai gltrdsr mtriviális (m ulla) mgoldásáak fltétl a hog a liáris algbrai gltrdsr güttható mátriáak lmiből álló dtrmiásak ulláak kll li: dt F I dt A εi Réslts kiírva: ( ε ε ) ( ) dt ( ) dt ( ε ε ) ( ) ( ε ε ) A mgoldás további lépésit csak a fsültségi állapotra mutatjuk b A dtrmiást kifjtv kapjuk a karaktristikus gltt: 3 FI + FII FIII A karaktristikus glt g harmadfokú algbrai glt a főfsültségkr A főfsültségk mghatároása: Karaktristikus glt mgoldásai: a 3 főfsültségk A karaktristikus glt gütthatói a fsültségi tor skaláris ivariásai: F a fsültségi tor lső skaláris ivariása F F I II a második skalár ivariás 3 - a fsültségi tor harmadik skalár ivariása III Ivariás: koordiáta trasformációval smb álladó (koordiáta-rdsr válastásától függtlül ugaa a érték) A fsültségi főiráok mghatároása: Vissahlttsítés a liáris algbrai gltrdsrb: főirá főirá 3 főirá A 3 főfsültségkt a liáris algbrai gltrdsrb külö-külö bhlttsítv at tapastaljuk hog a gltk m függtlk gmástól (a három köül g glt a másik kttő liáris kombiációja ls) Eért a mgoldást úg kapjuk hog a ismrtl i i i (i 3) koordiáták köül gt ismrtk tkitük és a másik kttőt pdig a két függtl gltből a ismrtk 73

8 tkittt koordiáta függvééb mghatárouk A ismrtk tkittt koordiáta végül abból a fltétlből sámítható hog a gségvktor: Gakorló fladatok silárdságtai állapotokra 55 fladat: pot lmi körték alakváltoási állapota Adott: A pot lmi körtéb a alakváltoási jllmők és g irá gségvktora: ε 5 ε 4 ε Fladat: a) A A alakváltoási tor mátriáak a flírása és a potbli alakváltoási állapot smlélttés a lmi triédr b) A ε fajlagos úlás és fajlagos sögtorulás mghatároása Kidolgoás: a) A A alakváltoási tor mátriáak a flírása és a potbli alakváltoási állapot smlélttés a lmi triédr: A alakváltoási tor: A alakváltoási állapot smlélttés: ε A ε ε 5 5 A A 5 b) A ε fajlagos úlás és fajlagos sögtorulás mghatároása: α A [ α ] A [ ] 4 [ α ] ε 3 α [ 8 6 ] ( 8 + ) α 55 fladat: pot lmi körték fsültségi állapota Adott: a potba a irá F fsültségi tor és három gmásra kölcsöös mrőlgs 74

9 5 4 F 8 3 Ma m + l m l m l m l Fladat: a) A potba a ρ ρ ρ fsültségvktorok mghatároása b) A potbli fsültségi állapot smlélttés a lmi kocká c) A potba a ρ fsültségvktor és a m l fsültség koordiáták mghatároása Kidolgoás: a) A potba a ρ ρ ρ fsültségvktorok mghatároása: [ ρ] F [ ] 8 3 Ma [ Ma] ρ + + ( ) Ma [ ρ ] F [ ] Ma ρ + + ( )Ma 3 8 [ Ma] [ ρ] F [ ] Ma 4 3 ρ + + ( )Ma 4 [ Ma] 3 b) fsültségi állapot smlélttés a lmi kocká: A lmi kocka ormálisú lapjára a ρ koordiátáit a ormálisú lapra a ρ koordiátáit a ormálisú lapra pdig a ρ koordiátáit rajoljuk fl

10 c) A potba a ρ fsültségvktor és a m l fsültség koordiáták mghatároása: [ ρ ] [ F ] [ ] 5 4 / / / 3 5/3+ 4/3 8/3 / 3 6 / 3 6 / /3+ 6/3 4/3 / 3 8 Ma / 3 ρ /3 8 / Ma /3 ρ l l /3 8 / /3 6 6 Ma /3 ρ 8 / Ma /3 m m 553 fladat: pot lmi körték fsültségi állapota Adott: m 6Ma 6Ma 6Ma + m + 85Ma 5Ma m Fladat: a) A ormál fsültség és a csústató fsültség mghatároása b) A csústató fsültség mghatároása Kidolgoás: a) A ormál fsültség és a csústató fsültség mghatároása: 6 6 A fsültségi tor a ismrt és ismrtl koordiátákkal: F Ma 6 6 A gltk amiből a ismrtlk mghatárohatók: ρ ρ m m Résltsámítások a lső glt flírásáho: [ ρ ] F [ ]

11 ( ) ( ) ρ / + / 6 / + / + + ( / + / ) + 6 / Résltsámítások a második glt flírásáho: m m ρ ( / + / ) ( 6 / + / ) + + ( / + / ) + 6 / A mgoldadó gltrdsr és mgoldása: Ma 4 Ma A fsültségi tor mátria: F 4 3 Ma b) A csústató fsültség mghatároása: ρ + ( 6 + 5) Ma 554 fladat: A potba a főfsültségk és a fsültségi főiráok mghatároása Adott: F 3 4 Ma 4 9 Fladat: A potbli főfsültségk és fsültségi főiráok mghatároása Kidolgoás: Sajátérték fladat: ρ F I ( F I) Liáris algbrai gltrdsr: ( ) (3 ) (9 ) A mtriviális mgoldás fltétl karaktristikus glt: dt F I Résltv: ( + ) (3 )(9 ) 4 77

12 A karaktristikus glt mgoldása: 3 Ma Ehh a gökhö tartoó fsültségi főirá: 3 A karaktristikus glt további göki: (3 )(9 ) 4 + ± ± Ma Ma A fsültségi főiráok mghatároása a főfsültségkt vissahlttsítjük a liáris algbrai gltrdsrb főirá: A gltrdsr mgoldása: ( ) 5 főirá: 3 ( ) ( + ) fladat: A pot lmi körték fsültségi állapota ρ Adott: ρ ( ) Ma Fladat: a) A ormál fsültség koordiáta mghatároása b) A csústató fsültségi vktor mghatároása Kidolgoás: a) A ormál fsültség mghatároása: ρ Ma ( ) ( ) b) A csústató fsültségi vktor mghatároása: A kétsrs vktoriális sorást a kifjtési sabállal sámítjuk ki ( ρ) ( ) ρ ( ρ) ρ ( ) ( )( ) ( ) Ma 78

13 556 fladat: A pot lmi körték fsültségi állapota ρ Adott: l ρ l m m m l Fladat: a) A ormál fsültség mghatároása b) A m csústató fsültség mghatároása c) A l csústató fsültség mghatároása ( ) Ma Mgoldás: a) 38 9 Ma b) m 99 8 Ma c) l 48 5 Ma 557 fladat: A pot lmi körték alakváltoási állapota Adott: 4 A pot alakváltoási állapota a ábrá látható módo és 4 A + m 3 Fladat: a) A pot alakváltoási toráak flírása b) A ε alakváltoási jllmők mghatároása c) A ε εm m alakváltoási jllmők mghatároása Mgoldás: ε 3 4 a) A ε ε 4 b) c) 4 ε 4 ε 5 4 ε m m 7 79

14 558 fladat: A pot lmi körték alakváltoási állapota Ismrt: Silárd tst trhltl flülté lvő potba a alakváltoási tor ég skaláris koordiátával adható mg Adott a alakváltoási torba srplő három fajlagos úlás és a flült éritősíkjába ső ξ iráho tartoó fajlagos úlás ε 4 ε ξ ε A ε ε 5 α ε εξ 5 o α 3 Fladat: a) A potbli A alakváltoási tor sámsrű flírása b) A potbli alakváltoási állapot smlélttés a lmi triédr Mgoldás: a) A potbli A alakváltoási tor sámsrű flírása: 3 ξ cosα + siα ε 4 A ε ε 5 ε α A ξ ξ ξ ξ ξ A 3 5 b) A potbli alakváltoási állapot smlélttés a lmi triédr: 5 A 4 3 8