10. TERMOMECHANIKAI FELADATOK VÉGESELEM MEGOLDÁSA

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "10. TERMOMECHANIKAI FELADATOK VÉGESELEM MEGOLDÁSA"

Veronika Juhászné
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 1 ERMOMECHNIKI FELDOK VÉGESELEM MEGOLDÁS V, m dv rr dm dv d n hr trmodnama I főtétlén ntgrál alaa a V térfogatú (m tömgű) és flültű tstr: d dt u dm F dv r dm h d, m V m n d a tst blső a blső rő a hőforráso nrgáa tlsítmény (hő)tlsítmény a tst (ülső) flültén átfolyó hőáramo (hő)tlsítmény ahol u - gységny tömgbn flhalmoott blső nrga, F - a fsültség tnor (a tstbn ébrdő fsültség), - a tst alaváltoás tnorána (alaváltoásána) dő srnt lső drválta, r - gységny dő alatt gységny tömgbn lttt hő (salár mnnység), h - gységny dő alatt gységny flültn átáramlott hő (vtor mnnység), n - a tst flültén flé mutató normáls gységvtora, t - a dő E a mnnység általában a hlyn és a dőn s függvény: u ur, t, F F r, t, r, t, r r r, t, h h r, t, n n r ovábbá: d - a lm flült, dv - a lm térfogat, dm - a lm tömg ( dm dv, ahol - a anyag tömgsűrűség) 133 trmodnama I főtétlén dffrncáls alaa a Gauss-Ostrograds-tétl alalmaásával a ntgrál alaból apható, fltétlv hogy a vsgált tst tömg nm válto mg: u F r h, u - a tst gységny tömgér utó blső nrgáána (hőnrga+alaváltoás nrga) dő srnt mgváltoása, F - a tstbn fllépő blső rő falagos (gységny térfogatra utó) tlsítmény I főtétlből övt, hogy a mchana és a hőtan állapoto nm függtln gymástól (csatolt vagy apcsolt fladat) Ha a mchana és hőnrga váltoáso aonos nagyságrndű, aor a mchana és a hőtan fladatot gyüttsn/gydűlg ll mgoldan, pl: mlgalaítás folyamato Ha vsont a alaváltoás nrga váltoása soal sbb, mnt a hőnrga váltoás, aor a hőtan és mchana fladat sétválastható Ebbn a stbn a mchana fladat mgoldása csa lhanyagolható mértébn bfolyásola a hőtan fladat mgoldását, aonban a hőtan fladat mgoldása hatással van a mchana fladatra Eért a lyn fladat ét lépésbn olható mg: 1 (tstán) hőtan fladat mgoldása, amlyn rdmény a, t hőmérséltmő 2 tst dt hőmérsélt loslásáho épst mgváltoott, t hőmérséltmő hatására a tstbn hőfsültség / hő alaváltoáso lépn fl, amly a mchana fladat hőhatásoal gésíttt gynlt sgítségévl határohatóa mg

2 E a mgoldás nagyon so stbn (a st többségébn) alalmaható övtőbn a 1 lépést, a hőmérséltmő mghatároását vsgálu mg résltsn a) hőtan fladat Dfnícó: Hővtés (onducó): Hőáramlás (onvcó): a vsgált tst anyag réscsé nyugalomban vanna Pl: slárd halmaállapotú tst a vsgált tst anyag réscsé nncsn nyugalomban, a hőátadás anyagáramlással történ Pl: folyadéo, gáo hővtés folyamatonál vsgált slárd halmaállapotú tst sosor folyadéoal vagy gáoal érntn, ért a fladat prmfltétlt ll gésítn gy hőátadás/onvtív taggal Pl: Egy flhvíttt, és lhűlésbn lvő tst mlltt áramló lvgő lsállíta a hőnrgát Hősugárás: a tstből ltromágnss sugárás formáában távoó hő Fourr 1 (furé)-fél hővtés törvény: ahol, t - a hőmérséltmő, grad h, ( ) - a hővtés tényő tnora (Ha a vsgált anyag homogén, aor tnor nm függ a hlytől) x y - Hamlton 2 (hmlton)-fél dffrncál oprátor/nabla oprátor x y Ha a vsgált anyag a hővtés smpontából ortortop, és a hővtés főrányo gybsn a oordnátarndsr x, y és tnglyvl, aor x y, xy ahol x, y és a x, y és rányban a hővtés tényő Ha a anyag a hővtés smpontából otrop, aor x y, vagys E Ebbn a össfüggésbn a hővtés tényő, E pdg a gységtnor étl: a hő mndg a mlgbb hlyről a hdgbb hlyr áraml ( hőtan II főtétlén övtmény) h x x y y x y Hőtan fladat: alaváltoás nrga mgváltoása soal sbb mnt a hőnrga mgváltoása Eor a trmodnama I főtétlébn ltűn a alaváltoás nrgaváltoást tartalmaó tag: u r h gységny térfogat gységny a gységny blső nrga térfogat térfogat flültén váltoása hőforrása átáramló hő b) staconárus hőtan fladat mgoldása: Dfnícó: Egy hővtés fladat staconárus, ha a alauló / mghatároandó hőmérséltmő dőbn állandó 1 Jan Baptst Josph Fourr ( ) franca matmatus és fus 2 Wllam Rowan Hamlton ( ) ír fus és matmatus 134

3 Ha a tst gys pontaban nm válto a hőmérsélt, aor a gységny térfogatban tárolt (falagos) hőnrga s öl állandó marad és a I főtétlbn így már csa ét tag marad mg: Bhlyttsítv a Fourr-fél hővtés törvényt: u h r h x y, x x y y a I főtétlből mgapu a hővtés Fourr-fél dffrncál gynltét staconárus str: Prmfltétl: x y r x x y y - Hőmérsélt: a tst aon flültén, ahol a hőmérsélt smrt,,,, x y x y - lőírt/smrt érté - Hőáramlás: a tst aon h flültén, ahol a h hőáram-vtor (hőfluxus) smrt n h n x nx y ny n x y - a flültr mrőlgs n rányú hőáram/fluxus hn h h hs és h flültr fnnállna a h nalóga a rugalmasságtan fladattal: és h fltétl - a hőmérsélt prmfltétl a mgtámastás (nmata prmfltétl), - a hőáramlás prmfltétl a flült trhlés (dnama prmfltétl) - Hőátadás/onvcós: a tstn aon a h flültén, ahol a hőátadás tényő smrt h, ahol és smrt/lőírt mnnység - örnyt hőmérsélt (hőmérsélt a tsttől lég távol), a rstt hőmérséltmő - Hősugárás: a tstn aon a S h flültén, ahol a hősugárás tényő smrt h, S ahol és smrt/lőírt mnnység ( - a örnyt hőmérsélt) és a rstt hőmérséltmő nalóga a rugalmasságtan fladattal: a hőátadás és hősugárás prmfltétl a rugalmas ágyaás+trhlés gys mnnység mértégység: 135

4 J W - hővtés tényő o o, msc mc J W - hőátadás/onvcós tényő 2 o 2 o, m sc m C J W - hősugárás tényő 2 o 2 o, m sc m C r - térfogat hőforrás-sűrűség h n - flült hőáramsűrűség fladat varácós mgfogalmaása: J 3 W/m 3 ms, J 2 W/m 2 m s vrtuáls hőmérsélt lv (nalóga: vrtuáls muna lv) ahol D D D dv r dv h d d d, n K S V V h S x y, a hőmérséltmő varácóa, smrtln (rstt) a Végslm dsrtácó (flbontás): hőmérséltmő D pdg a hőmérséltmő gradnsén varácóa vsgált tst V térfogatát végs sámú lmr bontu és a mőt lmnént ölítü Ioparamtrus ölítés (lásd 5 ft):,,,,,, soásos lárás után a lű lm végslm gynlt: N G 1 N - a lm csomópontana sáma, G,, - approxmácós függvény, 1 N N1 - a lű lm csomópontában a hőmérsélt gynltrndsrbn smrtln a csomópont hőmérsélt: K f 1 2 N Itt gy csomópontho gy salárs paramétrt, a csomópont hőmérséltt rndlü nalóga a rugalmasságtan fladattal: csomópont lmodulás csomópont hőmérsélt Hővtés mátrx: G G G G G G K x y dv x x y y V nalóga: mrvség mátrx G G d G G d a flült a flült hőátadásból sármaó hősugárásból sármaó hővtés mátrx rés nalóga: rugalmas ágyaás S Csomópont hőáramvtor: 136

5 f Gr dv Ghn d G d G d V h S hőforrásból/hőnylésből smrt flült hőátadás/onvcós hősugárásból sármaó sármaó csomópont hőáramlásból sármaó csomópont hőáram- csomópont hőáramvtor csomópont hőáramvtor vtor hőáramvtor nalóga: trhlés vtor lm (ölítő hőmérséltmő) össllstés ugyanúgy történ, mnt a rugalmasságtan fladatonál: K 11 K 12 K 1 f 1,1 1,2 1, 1 1 K K K 2,1 2,2 2, f 2,1 2,2 2, K 1 2 f K K K,1,2, f,1,2, staconárus hőtan probléma végslm alapgynlt: K f - lnárs algbra gynltrndsr a csomópont hőmérséltr 1 2 M - csomópont hőmérsélt vtor, M - a fladat csomópontana sáma gynltrndsr a hőmérsélt prmfltétl fgylmbvétl után a csomópont hőmérséltr mgoldható c) nstaconárus hőtan fladat mgoldása Dfnícó: Egy hővtés fladat nstaconárus, ha a alauló / mghatároandó hőmérséltmő dőbn válto Ha a hőáramo és l gyütt a hőmérséltmő dőbn válto, aor fgylmb ll vnn, hogy a hő gy rését a anyag tárola (a mgváltoott hőmérsélt révén) Ebből övtőn módosul a hővtés dffrncálgynlt és a prmfltétl dőtől függő lsn hővtés Fourr-fél dffrncál gynlt nstaconárus str: x y r c, x x y y t u 3 ahol - tömgsűrűség g/m, J c - fahő (falagos hőtároló épsség tényő) o gc Prmfltétl: hn h h hs 137

6 - a - a h - a - a S flültn, t, t flültn hn, t flültn h, t flültn h, t Kdt fltétl: - a t t fladat varácós mgfogalmaása: - smrt érté, - hőáram/fluxus (smrt érté), - hőátadás, - hősugárás V V t V S S dőpllanatban, t D D dv c dv rdv - adott/smrt mő össfüggésbn a aláhúott tag lnt a staconárus sttől való ltérést n h S h d d d Végslms ölítés (lmnént):,,, t G,, t,, t Itt a N 1 t csomópont hőmérsélt függn a dőtől 1 N N 1 lű lm végslm gynlt: K C f lm hőtárolás/hőapactás mátrxa: gés rndsr hőtárolás mátrxa: C C cg G dv V C C C C C C C C C ,1 1,2 1, ,1 2,2 2, 1 2,1,2, nstaconárus hőtan probléma végslm alapgynlt: C K f Köönségs lsőrndű dffrncálgynlt-rndsr a dffrncálgynlt-rndsr dőntgrálása: t t t 1 t 1 t Fltétlés: t hőmérsélt a t csomópont hőmérséltr név dő a 1 paramétr függvény: t dőntrvallumban lnársan válto 1 t t t t t t t t t 1 1 t t csomópont hőmérsélt a t dőpllanatban: 1 1 hőáram vtor a t dőpllanatban: f f f f f t f f t 1 csomópont hőmérsélt dő srnt dffrncálhányadosát ölítőlg dffrncahányadossal hlyttsítü: 138

7 dffrncálgynlt-rndsr: C K f d dt 1 t C K f f t 1 Bhlyttsítv a dffrncálgynlt-rndsrb: 1 1 Átrndv rurós össfüggést apun: C t K C t 1 K 1 1 t f f 1 Kˆ fˆ smrt Ebből a lnárs algbra gynltrndsrből a csomópont hőmérsélt mghatároható smrtébn a ntgrálás ndítása (dt fltétl): t t t t rurós össfüggés: K ˆ fˆ : ntgrálás stabltása:,5 - a lárás fltétlsn stabl,,5 1 - a lárás fltétl nélül stabl,,5 - trapé formula, másodrndbn pontos és fltétl nélül stabl, nn llnér oscllácó flléphtn a mgoldásban 139

Hasonló dokumentumok

4. A VÉGESELEM MÓDSZER ELMOZDULÁS MODELLJE

4. A VÉGESELEM MÓDSZER ELMOZDULÁS MODELLJE 4 VÉGESEEM MÓDSZER EMOZDUÁS MODEJE végslm módsr numrus lárás mérnö fa fladato ölítő mgoldására módsr a sámítástchna flődésévl párhuamosan alault Jlnlg unvráls nagon sofél fladat mgoldására alalmas végslm