3.5. Rácsos szerkezet vizsgálata húzott-nyomott rúdelemekkel:

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTÁN EGYETEM AKAMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 7. MECHANIKA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szül ronika, g. ts.) II. lőadás.. Rácsos szrkzt vizsgálata húzott-nomott rúdlmkkl: F x m m. ábra: Rácsos szrkzt Az ddigi végslms számításnál kihasználtuk, hog az x és koordináta tnglk giránúak. A továbbiakban olan szrkztt vizsgálunk, ahol a rúdlmk szögt zárnak b gmással. Adott: a. ábrán látható rácsos szrkzt gomtriája, trhlés a végslms flosztással. Az adatok számszrű értéki: A rúdhosszak: m, sin,cos, m, Anagjllmzők E E E MPa, Trhlés: F N A m, A m,, 4 4 A mgoldás során jlölj rndr, az x, iránú lmozdulást. Kinmatikai rmfltétlk:,,, Fladat:, mghatározása (-s csomóont x és iránú lmozdulásai). Mgoldás: a korábbiaknak mgfllőn a szrkzt tljs otnciális nrgiáját írjuk fl: F

2 az lmkn mgoszló rő nm működik, zért az gs lmk otnciális nrgiája gnlő a mgfllő alakváltozási nrgiával. Flhasználva a lokális koordinátarndszrbn flírt (még az lőző fladatra vonatkozó) kifjzést: AE f f, a két rúdra (jln fladat stén thát) az x x AE u AE AE u f x F x q K alakváltozási nrgia: f AE AE u u u AE AE u, ahol AE AE u u u AE AE u a két különböző lmn a mgfll lokális koordináta rndszrbn (bal flső indx jlöli) értlmztt u u lmozdulás nm azonos. Hiszn két különböző iránú, tnglhz tartoznak. Ezn robléma csak úg oldható mg, ha közös koordinátarndszrt alkalmazunk, azaz a globális x, koordinátarndszrt. u x 4. ábra: Az lmozdulás transzformációja a -s végslm stén u cos / cos u sin / sin cos sin u cos sin Thát a. ábrán látható gomtriai viszonok alaján a lokális és globális lmozdulások közötti kacsolat: u cos sin

3 u cos sin Az lm hli és globális koordinátarndszrbn vtt csomóonti lmozdulásainak transzformációs összfüggés: u j u x i. ábra: Az lmozdulás transzformációja az -ik végslm stén i cos sin i i i u i cos sin i u j cos sin j transzformációs mátrix j Az = lm lmozdulásának transzformációja : u u transzformációs mátrix Az = lm lmozdulásának transzformációja : u u transzformációs mátrix Íg az alakváltozási nrgiák a globális lmozdulásokkal kifjzv: A E A E AE AE

4 AE AE AE AE A kijlölt szorzásokat lvégzv: AE AE AE AE 4A E A E 4A E A E A E A E A E A E 4A E A E 4A E A E A E A E A E A E A szrkzt tljs otnciális nrgiája: AE AE 4A E A E 4A E A E A E A E A E A E A E 4A E A E A E 4A E A E A E A E A E A E Ha figlmb vsszük a kinmatikai rmfltétlt, hog,,,, vagis az lső nég sor és oszlo szorzódik nullával, akkor az nrgia kifjzés léngsn gszrűsödik: F

5 A E 4A E A E F A E AE Az lőzőlg kaott kifjzés tömörbbn is írható: T T q q Kq q f Alkalmazzuk a otnciális nrgia minimum lvét, azaz akkor lsz a otnciális nrgiának szélsőérték q min q q és a driválást lvégzzük q T T q Kq q f Kq f q q összfüggést kajuk, ami átrndzés után g lináris algbrai gnltrndszr: Kq f, azaz részltsn A E 4A E A E A F E AE Mgoldás a globális koordinátákra: F 4 AE m 4 F A m 4 4 A E A 4 Azaz a mgoldás a rudak lokális koordinátarndszribn: u u 4 m

6 u m u 4 4 du u i A rúdrők kiszámítása az N AE AE u i u j AE d u j összfüggés flhasználásával történik: u 4 N A E A E N u u 7 N A E A E 4 N u 4 A szrkztt csak koncntrált rő trhli zért a végslm-módszrrl itt lőállított mgoldás most azonos az analitikus mgoldással. égslm rogramrndszrk általános fléítés. Adatbvitli modul, amlbn a szrkzt/alkatrész gomtriai fléítésénk (azaz ontok, vonalak, flültk, térfogatok) mgadása, a szrkzt végslm hálózatának fléítés (lmk, csomóontok) történik. Figlmb vndő szmontok: Azon tartománokon lgn sűrűbb a flosztás, ahol a mchanikai mnniségk intnzívbb változása várható. Koncntrált nomatékok/rők támadásontjára ssn csomóont, mgtámasztási hlkr vgünk fl csomóontot. A szrkzt/alkatrész anagjllmzőink dfiniálása, amlk mgadhatók gomtriai (vonal, flült, térfogat), vag végslm jllmzőkhöz (végs lmk) is. Azonban rúdfladatoknál szükségs mgadni a rúd krsztmtszti jllmzőit is, l.: MATHTYPE, krsztmtszt, x iránú másodrndű thtlnségi nomaték, stb.. Héj-, lmz- és tárcsafladatoknál szükségs mgadni a vastagsági mértt. A szrkzt trhlésénk (dinamikai rmfltétlk) mgadása, éldául koncntrált trhlés, mgoszló trhlés, hőmérséklt loszlás. A szrkzt mgtámasztásának (kinmatikai rmfltétlk) mgadása. Például: mgtámasztás (nincs lmozdulás), rugalmas ágazás (rugóállandók), lőírt lmozdulás (kinmatikai trhlés).. égslm-számítási modul: Az lmk mrvségi mátrixainak és csomóonti trhlésvktorainak lőállítása. A tljs szrkzt mrvségi mátrixának és trhlési vktorainak lőállítása. Kinmatikai rmfltétlk figlmbvétl (mgfllő sorok és oszlook törlés).

7 A szrkzt lináris algbrai gnlt-rndszrénk mgoldása, azaz a szrkzt csomóonti lmozdulásainak mghatározása. Alakváltozás, fszültség (blső rők) számítása lmnként a csomóontokban, vag az lm blső ontjaiban. a csomóonti értékkt az gs lmk csomóonti értékink átlagolásával szokás lőállítani.. Az rdménk szmlélttését végző rész/modul. A flhasználó ldönti, hog a szrkzt szilárdságtani állaotai közül mit vizsgál részltsn, mit szmléltt, íg a szrkzt ontjainak lmozdulását (dformált alak), fszültségkt (az gs fszültség-koordinátákat külön-külön vag a rdukált fszültségkt), igénbvétlkt, támasztórőkt. 4. Izoaramtrikus lmcsalád A krskdlmi szoftvrkbn lggakrabban ún. izoaramtrikus lmkt alkalmaznak. Az izoaramtrikus jlző azt jlnti, hog a gomtria lkézésér alkalmazott (csomóonti) aramétrk száma azonos az ismrtln mző közlítésér flvtt aramétrk számával. Ez azt is jlnti, hog uganazon alakfüggvénkt alkalmazzuk a gomtria lkézésér, mint az ismrtln mző közlítésér. Az lm tíus szélskörű ltrjdés lsősorban annak köszönhtő, hog az lm mrvségi mátrixának és thrvktorának lőállításakor az intgrálás könnn lvégzhtő. Egaránt alkalmazható g-, két-, és háromdimnziós fladatokra. A valóságban jlntkző mchanikai fladatok általában térbli jllgűk, azonban a mchanikai roblémák g rész bizonos fltétlk stén visszavzthtők g dimnziós (D-s) illtv síkbli D-s fladatokra. A D-s fladatok közül az alábbi három formalizmusát tkintv hasonlóan tárgalható: általánosított síkfszültségi állaotú fladat, vagis tárcsafladat, síkalakváltozási fladat, tnglszimmtrikus fladat. Ezn fjztbn az D-s és D-s lmkkl foglalkozunk, a D-s lmk származtatása az lőzőkhz nagon hasonlóan történik. 4..Elmk csoortosítása a) Kitrjdésük szrint A korábban mlítttk szrint -bizonos fltétlk tljsülés stén- lhtőség van a D-s stk síkbli (síkfszültség, síkalakváltozás és tnglszimmtrikus) vizsgálatára, vag gszrűsíttt térbli, uganakkor vag dimnziós toológiával rndlkző (rúd, héj, stb.) modllk használatára. Mivl az D-s, illtv D-s modllk lmszáma jóval kisbb, mint uganazon a szrkzt D-s modlljénk, zért a fladat mgoldási idj sokkal kvsbb, valamint a szimuláció bállítása is gszrűbb. Az analízis során használt lmk a

8 gomtriától függőn kitrjdésük szrint a kövtkzők lhtnk: dimnzió nélküli ont, D-s flülti vag D-s térfogati lmk. A ont lmkt (oint lmnt) g csomóont (nod) dfiniál (éldául, mint tömgont vag csomóont-flült kontaktlm). A vonal lmkt (lin lmnt) két vg három csomóontot összkötő gns, vag ív dfiniál. A vonallm lht rúd (trust), grnda (bam), cső (i) és tnglszimmtrikus héj (axismmtric shll). A flültlmk háromszög (triangular), vag négszög (quadrilatral) alakúak, illtv D-s sík modll (D síkfszültség, síkalakváltozás és tnglszimmtrikus), vag héj (shll) lmk lhtnk. A térfogati lmk ttraédr (ttrahdral), gúla (iramid), rizma (wdg) vag tégla (brick, hxahdron) alakú, D-s szilárd tst (D-s solid)lmk lhtnk. A rmfltétlk dfiniálására (kontaktok, rugó lml, tömgont, stb.) sciális tulajdonságokkal rndlkző lmkt használunk. Elmk csoortosítása alakjuk és fokszámuk szrint. A kövtkző táblázat a lggakrabban használt izoaramtrikus lmkt foglalja össz: D (vonal) D (flült) DOF/Nod onal (in) Háromszög (Triangl) Négszög (Quadrilatral) ináris (inar) 4 Másodfokú (Quadratic) 6 8 Harmadfokú (Cubic) 4. táblázat: D-s, D-s lmk 9

9 ináris (inar) Ttraédr (Ttrahdron) Gúla (Piramid) D (térfogat) DOF/Nod Prizma(Pntahdral, Prism, Wdg) Tégla (Hxahdron) Másodfo kú (Quadrat ic) Harmadf okú (Cubic) 4 6. táblázat: D-s lmk