Lineáris egyenletrendszerek. Készítette: Dr. Ábrahám István

Átírás

1 Lináris gynltrndszrk Készíttt: Dr. Ábrhám István

2 A lináris gynltrndszrkt kitrjdtn hsználják optimumszámítási fldtokbn. A tém tárgylásához lőkészültt kll tnni. Mátri fktorizáció A fktorizáció mátri szorzttá lkítását jlnti. A szorzttá lkítás során csk két tényzős szorztokkl foglkozunk. Bázisfktorizáció: mátrioknk olyn szorzttá lkítás, mikor z lső tényző oszlopvktori bázist lkotnk z rdti mátri oszlopvktor trébn. Péld: Lgyn z A mátri: A 7 Az A bázisfktorizációj: 7 Igzolhtjuk, hogy z A mátri rngj, és lkoss z lső két vktor bázist. Végzzük l szorzást! A második tényző oszlopit még mgmgyrázzuk.

3 Tétl: Az A mátri bázisfktorizációj: AA [ E r D ], hol z A z rdti A mátri rngjánk mgfllő számú függtln oszlopvktor A-nk, z [ E r D ] gysíttt mátribn E r r(a)-nk mgfllő rndű gységmátri, D z A -b b nm krült oszlopvktorok z A bázison vtt koordinátáikkl. Bizonyítás: Lgyn z A[ p ] oszlopvktorokr prticionált mátri rngj r. Lgyn z lső r drb oszlopvktor linárisn függtln. Ekkor z r bázist lkot, thát z A mindn oszlopvktor flírhtó z r vktorok lináris kombinációjként. Jlölés: A [ r ]. r Igz: A, A, r A r, és: r A d r, hol d r z r vktor koordinátái z ( ; ; ; r ) bázisr vontkozón. Hsonlón: r A d r és így tovább: p A d p. Így: A[A A A r A d r A d r A d p ]A [ r d r d r d p ] Ezzl végztünk, hiszn [ r ]E r és [d r d r d p ]D. Az lőző példábn szorzttá lkítás második tényzőjébn z lső két vktor gységvktor, kövtkző hármt pdig bázisb b nm vont vktorok új koordinátái dják.

4 Lináris gynltrndszrk mgoldás Lináris z gynltrndszr, h z gynltrndszrt lkotó m drb gynltbn z i ( i n) ismrtlnk lső htványon szrplhtnk. Az gynltrndszr áltlános lkj: n n b n n b m m nm n b m Az ij gyütthtókt gy A mátri lmink tkinthtjük: A[ ij ]. A változókt és z gynltk jobboldlán álló számokt oszlopvktorok lkjábn vhtjük fl: [ n ]* és b[b b b m ]*. Így z gynltrndszr rövidn, mátriritmtiki írásmóddl dhtó mg: A b. Péld: Lgyn z gynltrndszrünk kövtkző: Ekkor z A [ ]* és b[ ]*

5 A lináris gynltrndszrknél külön vizsgáljuk mgoldhtóságot és h vn mgoldás, kkor mgdjuk mgoldóképltt. Tétl: Az A b gynltrndszrnk kkor és csk kkor vn mgoldás, h b komptíbilis z A oszlopvktor trévl. Bizonyítás: Az A szorzt gy oszlopvktor, mi z A oszlopvktorink lináris kombinációj, thát z A oszlopvktor trénk gy vktor. Kész Olyn vktor, mllyl lináris kombináció b vktort állítj lő, csk kkor létzik, h b komptíbilis z A oszlopvktor trévl. Tétl: Az A b gynltrndszr áltlános mgoldás: r d D s, hol r rng A. Az r rngnk mgfllő számú i változóból álló vktor. A d b vktornk z A mátri r lmű bázisán vtt új koordinátáiból álló vktor. D z A bázisb b nm krült vktorink új koordinátáiból áll. Az s z ú.n. szbd változók vktor pdig z gynltrndszr n változój közül z r drbon flülikt, n-rs változót trtlmz. Az sn r számot z gynltrndszr szbdságfokánk nvzzük. Az áltlános mgoldás képltét és bnn btűk jlntését célszrű lposn mgjgyzni!

6 A mgoldóképlt igzolás: Az A mátri szorzttá lkíthtó (fktorizáció): AA [ E r D ], hol A z A rngjánk mgfllő számú (r drb) függtln oszlopvktorból áll. H b komptíbilis z A oszlopvktor trévl, kkor: ba d, hol d b-nk z A oszlopvktorir vontkozó koordinátáit trtlmzz. Így igz kövtkző: AA [ E r D ]ba d, miből: [ E r D ]d. Az vktort bontsuk fl rgnk mgfllő számú változór, z lgyn r és többi változót trtlmzó s vktorr. Ekkor: A mátrigynltt rndzv: [ E r D ] [ r s ]* E r r D s r D s d. r r s r r s r s (Mátri szorzás történt és tudjuk, hogy E r r r.) r d D s Péld: Adjuk mg z áltlános mgoldást:

7 Az gynltrndszr mgoldásához lőször mgoldhtóságot kll vizsgálni. Ezután z áltlános mgoldást vsszük fl. Mindz történht gy táblázt sorozttl: b b b A tábláztokbn gynltrndszr mgoldáskor z gys oszlopokt mgfllő változókkl jlöljük. Láthtó, hogy b komptíbilis z A oszlopvktor trévl. 7 (Az utolsó táblázt. sorábn csup vn.) Így z gynltrndszr mgoldhtó. Az áltlános mgoldás: Az áltlános mgoldást írhtjuk z gys koordináták gynlőség lpján: Az,, szbd változók ttszőlgs vlós számok lhtnk. Az gynltrndszr szbdságfok thát.

8 Elnvzés: H szbd változóknk konkrét számértékkt dunk, kkor z gynltrndszr prtikuláris mgoldását kpjuk. Péld: Az áltlános mgoldásábn,,, kkor z gynltrndszr gy prtikuláris mgoldását kpjuk: p [ ]*. Elnvzés: H szbd változóknk számértékként -t dunk, kkor z gynltrndszr gy bázismgoldását kpjuk. Estünkbn például: b [ ]*. Az gynltrndszrnk több bázismgoldás is lht, bázisb bvont gyik oszlopvktort (z r gyik lmét) kicsrélhtjük z s gyik oszlopvktorávl. Péld: Adjunk mg fnti áltlános mgoldásból gy másik bázismgoldást! A bázistrnszformáció tábláztát hsználjuk. Az utolsó tábláztunkbn hjtsuk végr z csrét: b A bázismgoldáshoz csk b lgújbb koordinátájár vn szükség. Az oszlopfőn lévő változók értéki nullák. Az újbb bázismgoldás: b [ ]*. 8

9 A mátri invrz A mátri invrzén olyn mátriot értük, mllyl szorozv z rdti mátriot rdményül gységmátriot kpunk. Egy mátriot blról is és jobbról is szorozhtunk, így áltlábn két különböző invrz mátri létzht: h A XE, kkor X jobboldli invrz, jlöléssl: X A j h Y AE, kkor Y bloldli invrz, jlöléssl: Y Ab Tétl: H A nm szinguláris, kkor A j Ab A -. A tétlt nm bizonyítjuk. A mátri invrtálás (h lhtségs) úgy történht, hogy mátri oszlopvktorivl z lmi bázistrnszformáció lépésivl kicsréljük triviális bázis gységvktorit. Az gységvktoroknk z új bázison vtt (rndztt) koordinátái dják z invrz mátriot. Péld: Adjuk mg z A invrzét, h Mgoldás: tljs bázistrnszformációt hjtunk végr: 7 A 8 7 Az A invrz: A - 8 Ellnőrizhtjük, hogy mátri és z invrz szorzt gységmátriot rdményz. 9

10 Péld: Az [ ]* és b [ ]* vktorok ismrtébn dj mg z b* E invrzét, hol E mgfllő gységmátri. Mgoldás: Az b* didikus szorzt: b* és b* E :A. Az A invrtálás: (A táblázt bloldlán z vidnsn ott lévő gységvktorokt nm írtuk ki, csk hlyttsítttük.) (A táblázt bloldlán z vidnsn ott lévő gységvktorokt nm írtuk ki, csk hlyttsítttük.) Az invrz mátri flvétléhz z utolsó tábláztot rndzni kll: z új bázis vktori sorkzdőként,, sorrndbn szrpljnk és z oszlopfőn z gységvktorok is,, sorrndbn lgynk. Például z invrz mátri lső soránk lső lm z -nk -r vontkozó koordinátáj: lgyn. Az lső sor második lm z -nk -r vontkozó koordinátáj lgyn:, és így tovább. Az invrz mátri: A Ellnőrzés: nnk kll tljsülni, hogy A A E.

11 Mgjgyzés: H z A b gynltrndszr mgoldhtó és z A nm szinguláris, kkor: A b. (Ugynis kkor z Ab-t z A -gyl blról bszorozhttuk.) Thát fnti (spciális) gynltrndszrt z invrzmátri flhsználásávl mgoldhtjuk. Péld: Adottk z A, B, C mátriok: A B.) Igzolj, hogy A és B gymás invrzi! b.) Adj mg z A és B XC mgoldásit! 7 C< >. Mgoldás:.) H invrzk, kkor szorztuk gységmátri, thát z stbn szükségtln bázistrnszformáció lvégzés. Vlóbn: A BE. b.) A -ből: A - (mivl A - B)B [ 8 ]*. A B XC-ből: XB CA C Tétl: (A B) B A. (Az invrtálás ntikommuttív.) 9 A mgoldások lég gyszrűk lttk. Bizonyítás: H mindkét oldlt szorozzuk A B-vl, ugynzt z gységmátriot kpjuk. A fjzt tárgylását bfjztük.