Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
|
|
- Irma Veres
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ár: Ár Bodó B, Somonné Szó Klár Mtmtik. közgzdászoknk
2 II. modul: Intgrálszámítás. lck: Intgrálási szályok Tnulási cél: Szorztfüggvénykr vontkozó intgrálási tchnikák mgismrés és különöző típusokr vló lklmzás Motivációs fldt Vlószínűség-számításnál tlálkozhtunk kövtkző prolémávl. Egy vlószínűségi változó várhtó 0, értékénk mghtározásához szükségünk vn z 0, d htároztln intgrálr. Az intgrálás nhézségét z dj, hogy nm tudunk olyn áltlános szályokt mondni, mi szorzt, hánydos vgy összttt függvényk stén mindig hsználhtó lnn. Azzl fogunk próálkozni, hogy ismrt driválási szályok mgfordításávl új intgrálási módszrkt kpjunk. Elmélti összfoglló Első stként vizsgáljuk z összttt függvény driválási szályát. Tudjuk, hogy összttt függvény driválj külső függvény driváltj z rdti lső függvény szrint, szorozv lső függvény driváltjávl. Nézzünk két példát: sin( ) cos( )( ) H ( ) + = + +, kkor cos( )( ) sin( ) H ( ) + + d = + + c =, kkor d = + c Mi közös két intgráln? Mindkét stn z intgrndus gy olyn szorztfüggvény, hol z gyik tényző gy összttt függvény, másik pdig éppn z összttt függvény lső függvényénk driváltj. A végrdménykn pdig z közös, hogy csk külső függvény primitív függvényét dtuk mg z rdti lső függvény szrint. Az ötlt nm csk zn két stn működik, áltlán is igz kövtkző tétl: Tétl: H vlmly intrvllumon ( ) ( ) függvény F( ) és h ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) f g g d = F g + c. g gy diffrnciálhtó függvény és f ( ) f g összttt függvény létzik, kkor függvény primitív
3 Kidolgozott fldtok. fldt: ( + )( + ) d Mgoldás: Az intgrndus gy szorztfüggvény, mlyn z gyik tényző, ( ) függvény külső és hsználhtjuk z új intgrálászi szályt. Csk z krsni. + gy összttt + lső függvénnyl. Ennk driváltj pdig ( + ) = +. Thát külső függvényhz kll primitív függvényt d = + c. Az új szály szrint, kpott primitív függvény lsz z új külső függvény, lső pdig z rdti. Thát ( )( ) ( ) ( ) g( ) f ( g ( )) ( + ) + + d = + + d = + c. fldt: tg d cos Mgoldás: Az intgrndus gy törtfüggvény. Eől z lkól nm látszik, hogy miért lklmzhtnánk z új módszrt. D h észrvsszük, hogy ( tg ) = és z intgrndust cos átírjuk z lái lkr, kkor mindn hlyér krül. tg d = ( tg ) d = ( tg ) d = cos cos cos A ( tg ) lsz z összttt függvény f ( g( )) g( ) külső és tg lső függvénnyl, mlynk driválj z intgrndus másik tényzőj. Mindn hlyén vn, lklmzhtjuk z új intgrálási módszrt. Mivl 6 6 d = + c zért ( tg ) ( tg ) 6 tg tg 6 d = d = + c = + c cos cos 6 6. fldt: d
4 Mgoldás: Az intgrndus gy szorztfüggvény. függvénnyl. Mivl ( ) z összttt függvény külső és lső = 0, zért zt mondhtjuk, hogy lső függvény driváltj mjdnm ott vn. Csk -st ki klln csrélni ( 0) -r. D zt gy ővítéssl l tudjuk érni. d = 0 d = 0 Ezzl ővítéssl mindn hlyér krült, csk z összttt függvény külső függvényéhz kll primitív függvényt krsni z rdti lső függvény szrint. Mivl d = + c, zért d = 0 d = 0 d = + c g( ) f ( g ( )). fldt: ln d Mgoldás: Az intgrndus gy törtfüggvény. Eől z lkól nm látszik, hogy miért is lhtn tnult módszrt lklmzni rá. D vgyük észr, hogy z intgrndusn szrpl ln és és tudjuk, hogy ( ln ) =. Alkítsuk át gy kicsit z intgrndust. ln d = ln d = ln d = g( ) f ( g ( )) Most már jól láthtó, hogy ln összttt függvény külső és ln lső függvény, mlynk driváltj pdig éppn szorzt másik tényzőj. A külső függvény primitív függvényét kll még mgkrsni, mjd vnni z rdti lső függvénnyl lkotott összttt függvényét. d = d = + c = + c Folytssuk z intgrálást: ( ln ) ln ( ) d = ln d = + c = (ln ) + c = ln + c tszt rész
5 Ellnőrző kérdésk. ctg sin d ctg + c ctg + c ctg + c ctg + c. ln d ln + ln c + c ln + c ln + c. 0 sin cos d = sin + c sin + c cos + c 0 sin cos + c
6 . 6 d c 6 c + c c. + d ( + ) + c 6 ( ) + + c 9 ( ) + + c c ( ) 6. ( + ) ( + ) ( ) 6 d + + c ( + ) 6 ( + ) 6 + c + c c ( ) 6 normál rész 6
7 Elmélti összfoglló A szorztfüggvény driválási szályánk mgfordításáól gy új intgrálási módszrhz juthtunk. Az lái tétl rről szól. Tétl: H z u( ) és v( ) függvényk diffrnciálhtók, vlmint u ( ) v( ) z u ( ) v ( ) függvény is intgrálhtó és ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) u v d u v u v d. intgrálhtó, kkor A prciális intgrálás lklmzásávl z u ( ) v ( ) függvény intgrálását z u ( ) v( ) függvény intgrálásr vztjük vissz. A szályt olyn szorztok stén célszrű lklmzni, mlykn könnyn intgrálhtó v( ) -nk mgfllő tényző könnyn intgrálhtó, s h z u ( ) v( ) mint u ( ) v ( ). A szály lklmzásávl soh nm fjződik fldt mgoldás, hiszn jo oldlon második tg még intgrált trtlmz. Ezért is kpt lnvzését szály, hiszn csk részn történik mg z intgrálás. Az lklmzás során ngyon fontos, hogy z intgrálndó szorzt tényzői közül mlyikt válsztjuk u( ) -nk, illtv v( ) fldtokn dunk útmuttást. Kidolgozott fldtok. fldt: ( 6) sin d -nk. Err vontkozón kidolgozott Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, s zon lül is gyik tényzőj polinom, másik pdig sin. Próálkozzunk z lő mgismrt prciális intgrálás lklmzásávl. Válsszuk polinomot u( ) -nk, mrt így szály lklmzás után visszmrdó intgráln mjd zn polinom driváltj fog mgjlnni, mi már csk gy konstns. Így prciális intgrálás után már nm szorztfüggvény áll mjd z intgrndusn. Lgyn thát u( ) = 6 és v ( ) = sin. Ekkor u ( ) = és v( ) =cos. Az ismrt v( ) -ől intgrálássl kptuk mg v ()-t. Ezért fontos, hogy v( ) tényző könnyn intgrálhtó lgyn. Hlyttsítsünk szály. ( 6) sin d = ( 6) cos cos d = -nk válsztott A fldtot még nm oldottuk mg, hisz még vn gy intgrálunk. Eől zonn konstns szorzót kimlhtjük, s után már csk gy lpintgrál mrd. Így z rdmény kövtkző lsz: 7
8 ( 6) cos cos d = ( 6) cos + cos d = ( 6) cos + sin + c. 6. fldt: ( + 7) d Mgoldás: Az intgrndus gy hsonló szorzt, mint milyn z lőző fldtn szrplt. Az lső tényző most is gy polinom, második tényzőn pdig vtt át sin szrpét. Az is könnyn intgrálhtó, így mgint prciális intgrálássl próálkozhtunk. Lgyn u( ) = + 7 és v ( ) =. Ekkor u ( ) = és v ( ) =. ln Hlyttsítsünk szály. ( + 7) d = ( + 7) = ln d ln A még mghtározndó intgrálól mljük ki konstnsokt, így már csk gy lpintgrál mrd, mit mghtározunk. ( + 7) ( 7) ln d = + ln ln ln d = ( + 7) + c = c ln ln ln ln ln A két fldtn z volt közös, hogy olyn szorztot klltt intgrálnunk, mlyk gyik tényzőj gy polinom, másik tényzőj pdig z,, sin, cos függvényk vlmlyik. Ilynkor célszrű prciális intgrálást lklmzni olyn szrposztássl, hogy () u polinom lgyn, v( ) pdig másik tényző. A szályt hsználv visszmrdó intgráln ggyl lcsony fokszámú polinom mrd már csk. H z rdti polinom lsőfokú volt, kkor visszmrdó intgráln u ( ) már csk gy konstns lsz, mi z intgrálól kimlhtő. A v( ) -nk mgfllő függvényt könnyn tudjuk intgrálni, hiszn z,, sin, cos függvényk mindgyik lpintgrál. Rádásul z intgrálás rdményként kpott v () függvényt is könnyű intgrálni, mrt z is lpintgrál, vgy nnk számszoros lsz. Ez kkor fontos, h polinom nm lsőfokú. Ilynkor szályt töször kll lklmzni gymás után, gészn ddig, míg polinomól csk gy konstns mrd driválások után. Err mjd későikn muttunk példát. 7. fldt: ( + ) ln d Mgoldás: Ismét szorztot kll intgrálnunk, és z gyik tényző most is polinom, d másik tényzőn álló ln más típusú mint mi z lőző két fldtn szrplt. Akkor ott olyn függvény 8
9 állt, mly lpintgrál volt. A ln nm ilyn függvény. Ezért nm célszrű őt v' ( ) -nk válsztni, hiszn kkor v ()-t nm könnyű mghtározni. Lgyn thát szrposztás most prciális intgrálás során kövtkző: u( ) = ln és v ( ) = +. Ekkor u ( ) = és v( ) = +. Hlyttsítsünk zután szály. ( ) ( ) ( + ) ln d = + ln + d = A még mghtározndó intgráln gyszrűsítsünk, mjd végzzük l z intgrálást. Nm lsz nhéz dolgunk, mrt z gyszrűsítés után gy polinomot kll intgrálnunk. ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) = + + d = c 8. fldt: ln d Mgoldás: Hsonló szorztot kll intgrálnunk mint z lőző fldtn, csk most polinom nm tö tgól áll, hnm csk gytln tgól. Ugynúgy járhtunk l, mint z lő. Lgyn u( ) ln = és =. v () Ekkor u ( ) = és v ( ) =. Hlyttsítsünk zután szály. = = ln d ln d A visszmrdó intgráln most is gyszrűsítsünk, konstns szorzót pdig mljük ki. Mivl - nk gy htvány mrd csk, így zt már könnyn tudjuk intgrálni. ln ln ln d = = + d c Az rdmény gyszrű lkn is flírhtó, h kimljük mit lht. ln + c = ln + c 9
10 9. fldt: ln d Mgoldás: Az lőző négy fldtn szorzt állt z intgráln, d most nm. Azz gy gyszrű trükkl most is szorzttá lkíthtjuk. Írjuk z ln -t ln formán. Az is gy polinom, csk 0 ngyon gyszrű polinom, hiszn 0 fokszám. ( ) lőző két fldtn. Lgyn u( ) = ln és v ( ) =. = Így már ugynúgy járhtunk l, mint z Ekkor u ( ) = és v( ) =. Hlyttsítsünk zután szály. ln d = ln d A visszmrdó intgráln gyszrűsítsünk, mjd hjtsuk végr z intgrálást. ln d = ln d = ln + c Az rdmény kimlés után most is flírhtó más lkn. ( ) ln + c = ln + c Az utolsó három fldtn olyn szorztokt klltt intgrálni, mlyk gyik tényzőj polinom volt, z lhttt csk gy konstns is, másik tényzőj pdig z ln. Ilynkor is lklmzhtó prciális intgrálás, d nm polinomot kll u ()-nk válsztni, hnm z ln -t. Ennk ok z, hogy z ln nm lpintgrál, így nm olyn könnyn intgrálhtó mint például sin. Trmésztsn z zt is jlnti, hogy ilynkor polinom lsz v ( ). Ez jó is, hiszn gy polinomn csk pozitív gész kitvős htványfüggvényk állhtnk, mlyk pdig könnyn intgrálhtók. Az intgrálás növli htványok fokszámát, így z intgrálás utáni polinomn nm szrpl konstns tg. A lglcsony fokszámú tg is lglá lsőfokú. Mivl z ln driváltj, így visszmrdó intgráln gy lglá lsőfokú tgokt trtlmzó polinomot szorzunk -szl. Ilynkor mindig gyszrűsíthtünk -szl, és gy polinomot kpunk. Ezt pdig könnyn tudjuk intgrálni. tszt rész 0
11 Ellnőrző kérdésk 7. ( )sin d cos sin + c ( ) sin cos + c ( ) sin cos + c ( ) cos sin + c ( ) 8. ( + 7) d c ln ln c ln ln ln ( 7 ln ) + + c ln ( 7 ln ) c 9. ( + 8) cos d + 8 sin cos + c ( ) + 8 sin + cos + c ( ) + 8 cos + sin + c ( ) + 8 cos sin + c ( ) 0. (8 9) ln d ( 9 ) ln ( 8 9) + c
12 ( 9 ) ln ( 8 9) + + c ( 9 ) ln ( 9 ) + c ( 9 ) ln ( 9 ) + + c normál rész Továi kidolgozott fldtok 6 + cos d 0. fldt: ( ) Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, mlynk lső tényzőj gy polinom, második tényzőj vzt célhoz. pdig cos. Ilyn stn prciális intgrálás ( u v= u v uv) Lgyn = 6 + és v cos u =. Ekkor u = 8 6 és v sin =. Hlyttsítsünk szály. ( ) ( ) ( ) 6 + cos d = 6 + sin 8 6 sin d A még mghtározndó intgrál ugynolyn típusú, mint milyn z rdti fldt volt, csk -gyl lcsony polinom fokszám, zz már csk lsőfokú. Ezért újr lklmzzuk prciális intgrálást. Lgyn u= 8 6 és v = sin. u = és v= cos. Ekkor 8 Amikor szály hlyttsítünk, kkor figyljünk od, hogy z intgrál lőtt ngtív lőjl állt, mi z intgrál hlyér krülő mindkét tgr vontkozik mjd. Ezért célszrű zárójlt hsználni hlyttsítésnél, hogy csökkntsük hi lhtőségét. ( ) ( ) ( ) 6 + cos d = 6 + sin (8 6) ( cos ) 8( cos ) d Bontsuk fl zárójlt, és mljük ki konstnst z intgrálól. ( ) ( ) 6 + cos d = 6 + sin + (8 6) cos 8 cos d Már csk gy lpintgrálást kll lvégzni, mjd mit lht össz kll vonni. Az rdmény kövtkző:
13 ( ) ( ) ( ) c 6 + cos d = 6 + sin + (8 6) cos 8sin + c = = 6 sin + (8 6) cos +.. fldt: (7 + ) d Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, mlynk lső tényzőj gy polinom, második tényzőj pdig gy ponnciális függvény gy lináris lső függvénnyl. A korái fldtok zt sugllják, hogy most is lklmzzuk prciális intgrálást. A szokott módon polinomot driváljuk, és pdig intgráljuk. Az intgrálásnál hsználjuk z lőző félévn már tnult szályt: ( + ) F f ( + ) = + c Ennk rdményként kpjuk kövtkző primitív függvényt. -t d = + c Most már lklmzzuk prciális intgrálást. Lgyn u= 7+ és v =. Ekkor u = 7 és Hlyttsítsünk. v =. (7 ) d (7 ) 7 d (7 ) 7 d + = + = + + = Az új intgrndust gyszrű lkr tudjuk hozni, h konstns szorzókt kivisszük z intgráljl lé. 7 (7 + ) + d = Vgyük észr, hogy intgrálását fldt mgoldás során már gyszr lvégztük. 7 7 (7 + ) + + = (7 + ) + c c A kpott rdményt rövid lkn is fl tudjuk írni, h -t kimljük.
14 7 7 (7 + ) + c = 7 + c = ( 7 6,) + c Az rdmény: + = ( ) + c (7 ) d 7 6,. fldt: 0ln( ) d Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, mlynk lső tényzőj gy polinom, második tényzőj pdig logritmusfüggvény gy lináris lső függvénnyl. Hsználjuk prciális intgrálást. A korái fldtok mgoldás lpján logritmus függvényt driváljuk és konstns függvényt pdig intgráljuk. Lgyn u= ln( ) és v = 0. Ekkor u = = és v= 0 Hlyttsítsünk. 0ln( )d = 0ln( ) 0 d = 0ln( ) + 0d = Vgyük észr, hogy lináris lső függvény llnér is működik prciális intgrálás. Az gyszrűsítést után most is csk gy lpintgrálhoz jutottunk. Thát végrdmény: 0 ln( )d = 0ln( ) c. fldt: ( + 7 )ln( )d Mgoldás: Az intgrndus gy polinom és ln szorztáól áll. Ez is gy típusfldt prciális intgrálásr. Már tudjuk, hogy ilyn stn logritmusfüggvényt fogjuk driválni. Lgyn u= ln és = +. v 7 Ekkor u = és v = + 7. Hlyttsítsünk : ( + 7 )ln( )d = + 7 ln + 7 d =
15 En z stn is gyszrűsítsünk -szl z új intgrndusn. + 7 ln 7 d 7 ln 7 d + = + + = Az intgrál mögött most is gy gyszrű polinom vn, csk z gyütthtók nm szép gész számok, mint z lőző fldtoknál. Írjuk át z intgrndust kövkző lk, hogy z intgrálás lépési jól láthtók lgynk ln + d = Most már csk tgonkénti intgrálást kll lklmzni htványfüggvénykr. 7 7 ln c = + ln 7 + c 9 Thát végrdmény: + = + + c 9 ( 7 )ln( )d 7 ln 7. fldt: ln d Mgoldás: Már koráikn csk ln -t kiintgráltuk. Az ötlt z volt, hogy gy gys szorzóvl fldtot prciális intgrálásr vzttük vissz. Alklmzzuk ugynzt z ötltt. ln d ln d = = Lgyn u = ln és v =. Ekkor u = ln és v =. Hlyttsítsünk, mjd z új intgrndusn gyszrűsítsünk -szl. = = ln ln d ln ln d Fjzzük z intgrálást. Egy szorztot kptunk, mlynk gyik tényzőj, mi gy nulldfokú polinom, másik pdig ln. Alklmzzuk újr prciális intgrálást. Lgyn u= ln és v =.
16 Ekkor u = és v =. Hlyttsítsünk, d ügyljünk rr, hogy z intgrál lőtti ngtív lőjl z újonnn kpott mindkét kifjzésr vontkozik, így tgyük ki most is zárójlt. = ln ln d = Az új intgrndusn lvégzv z gyszrűsítést csk -t kll kiintgrálni: ( ) ln ln + c = ln ln + + c A végrdmény thát: ln d ln ln = + + c tszt rész Ellnőrző kérdésk. 0, ( + ) d 0, 0, + c 0, 0, c + + 0, 0, c + 0, 0, 0 c. ( ) 6 ln d ln( ) + c ln( ) ln + c ln( ) + + c 6ln( ) + c 6
17 + cos d. ( ) ( ) + cos + ( ) sin cos + c ( ) + sin () cos + sin + c ( ) + sin + () cos sin + c ( ) + cos ()sin + cos + c + sin d. ( ) + cos + + sin cos + c ( ) ( ) + sin + cos + cos + c ( ) ( ) + cos + + sin + cos + c ( ) ( ) + sin + cos + c ( ) ( ). log d log + c ln log + c ln ln log + c log + c 7
18 . lck: Improprius intgrálás Tnulási cél: Htározott intgrál foglmánk kitrjsztés végtln intrvllumr. Dfiníciók lklmzás konkrét fldtok stén. Motivációs péld Eddig htározott intgrált csk végs zárt intrvllumon számoltunk. H z intgrndus z dott intrvllumon folytonos, kkor htározott intgrál létzik és primitív függvény ismrtén könnyn mghtározhtó. Vlószínűség-számításnál tlálkozhtunk kövtkző típusú fldttl. f =, h. Lgyn ( ) Bizonyítsuk, hogy f függvény és z tngly áltl közzárt trült ngyság. Korái ismrtink lpján tudjuk, hogy h gy f függvény dott intrvllumon nm vsz fl ngtív értékt, kkor f és z tngly áltl közzárt trült ngyságát f dott intrvllumhoz trtozó htározott intgrálj dj mg. Thát n z stn intgrált klln kiszámolni. Ezzl z d gond, hogy htározott intgrál számolásánál ddig végs értékkkl dolgoztunk, mlykt tudtunk hlyttsítni Nwton-Liniz-formulá. A -t nm tudjuk hlyttsítni. A kérdés zután áltlánosn úgy foglmzhtó mg, hogy miként tudunk intgrálni olyn stn, mikor z intgrálási intrvllum nm végs, zz htári között szrpl, vgy, vgy mindkttő. Err djuk mg válszt z láikn. Elmélti összfoglló A dfiníciók jo mgértéséhz próáljuk mg kikövtkzttni intgrál értékét. d Gondolkodjunk kövtkzőképpn. Számoljuk ki lső lépésn htározott intgrált,00 intrvllumon. Mjd z intrvllum flső htárát toljuk gyr kijj és kijj. Mivl z intgrndus folytonos, így ármly, intrvllumon ( ) htározott intgrálok létznk. Primtitív függvényt tudunk dni, így zkt z intgrálokt ki is tudjuk számolni. Mjd vizsgáljuk mg, hogy zn értékkről mit tudunk mondni d = d = = + = d = = + =
19 d = = + = Jlöljuk -vl flső htárt és állítsuk lő vl htározott intgrálokt. d = = + = Jól láthtó, h z intrvllum flső értékét gyr kijj toljuk, kkor gyr kis értékt kll kivonni -ől. Thát h flső htár végtln, kkor z intgrál értékét -nk vhtjük. Másképp mgfoglmzv: mivl végs zárt intrvllumon számolt htározott intgrálok értékit lő tudtuk állítni flső intgrációs htár függvényként, mly gyr közl és közl sik -hz (trt -hz), h flsőhtár mindn htáron túl növkszik, zért d = lgyn. Adjuk mg most már gy folytonos függvénynk gy végtln nyúló intrvllumon értlmztt intgráljánk dfinícióját, mit szokás improprius intgrálnk nvzni. dfiníció rész Dfiníció: Lgyn f( ) z [, [ intrvllum értlmztt folytonos függvény. Ekkor f ( ) d improprius intgrál pontosn kkor létzik, h lim f ( ) d htárérték létzik (végs), és kkor z improprius intgrál érték lgyn éppn kpott htárérték, zz f ( ) d = lim f ( ) d. normál rész H htárérték létzik, kkor szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál konvrgns. H htárérték nm létzik (nm végs), kkor z improprius intgrál nm létzik. Ilyn stn szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál divrgns. A htározott intgrálhoz hsonlón z improprius intgrálhoz is tudunk gomtrii jlntés dni. H f( ) 0 z, intrvllumon és f ( ) d konvrgns, kkor z improprius intgrál érték éppn f függvény és z tngly áltl közzárt trült mérőszámát dj z, intrvllumon. f z, H ( ) 0 intrvllumon és ( ) f d konvrgns, kkor z improprius intgrál érték 9
20 iztosn nmpozitív, d szolút érték éppn függvény és z tngly áltl közzárt trült mérőszámát dj mg. Thát áltlán gy függvény, intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly között hlyzkdik l z, intrvllumon. En z z érdks, hogy olyn lkzt trültéről szélünk, mi vízszints irányn -ig nyúlik, thát nm korlátos. {á:_.png} Szmléltsn nyilvánvló, hogy gy ilyn lkztnk csk kkor létzht trült, h flé hldv z lkzt gyr kskny lsz, zz függvény grfikonj simul z tnglyhz, mi zt jlnti, függvény htárérték végtlnn 0. (D z önmgán nm lgndő fltétl z improprius intgrál konvrgnciájár. H gy függvény htárérték végtlnn null, z improprius intgrálj még lht divrgns.) dfiníció rész Dfiníció: Lgyn f( ) ], ] intrvllumon értlmztt folytonos függvény. Ekkor f ( ) d improprius intgrál pontosn kkor létzik, h lim f ( ) d htárérték létzik (végs) és kkor z improprius intgrál érték lgyn éppn kpott htárérték, zz f ( ) d = lim f ( ) d. normál rész H htárérték végs, kkor szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál konvrgns. Mindn más stn z improprius intgrál nm létzik, másképpn divrgns. 0
21 Itt is kimondhtjuk, hogy gy függvény ], ] intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly között hlyzkdik l z ], ] intrvllumon. {á:_.png} Nyilván csk kkor lht konvrgns gy ilyn intgrál, h z f ( ) függvény htárérték -n 0, zz f ( ) lim 0 dfiníció rész =. Dfiníció: H z gyik intgrációs htár sm végs, kkor z intgrálást úgy fogjuk fl, hogy mind z lsó, mind flső htárt végsnk válsztjuk, mjd mindkttőt gyr kijj és kijj toljuk (z lsót mínusz végtln, flsőt plusz végtln) és kkor f ( ) d = lim f ( ) d. normál rész Az improprius intgrál kkor lsz konvrgns, h htárértékk külön-külön létznk, mindn más stn pdig divrgns. Egy függvény, intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly közötti hlyzkdik l z, intrvllumon.
22 g} {á:_.pn Nyilván csk kkor lht konvrgns gy ilyn intgrál, h z f ( ) függvény htárérték -n és -n is 0, zz f ( ) f ( ) lim = lim = 0. Kidolgozott fldtok Htározzuk mg z lái improprius intgrálok értékét.. fldt: d Mgoldás: Az intgrndus értlmzv vn és folytonos [, [, Továikn folytonosságot nm vizsgáljuk, csk olyn fldtot nézünk, mlykr fltétlk tljsülnk. Alklmzhtjuk dfiníciót. A flső intgrációs htárn szrplő jlét csréljük l -r. d = lim d = Első lépésként végzzük l z intgrálást, és után jöht htárérték krsés. Szükségünk vn gy primitív függvényr. Azért hogy mgoldás jon átláthtó lgyn, végzzük l külön htároztln intgrál krsését, mjd térjünk vissz z improprius intgrál mghtározásához. d = d = + c = + c Folytssuk z improprius intgrálást: d = lim d = lim lim = + =
23 Alklmzzuk korái htárértékr vontkozó ismrtinkt. Első lépésként lég htárértékét vizsgálni. Mivl nvző mindn htáron túl növkdni fog, zért rciprok gyr kis pozitív szám lsz, zz h = 0 Most már tudunk htárértékt dni. lim 0 + = + = Thát htárérték létzik (végs), z improprius intgrál konvrgns és érték d =. fldt: 8 + d Mgoldás: Ez is gy improprius intgrál, mrt flső htár. Alklmzzuk dfiníciót. A jlét csréljük l -r. d = lim d = Külön végzzük l htároztln intgrál számítását. Vgyük észr, hogy z intgrndus most gy lináris kifjzés ngtív kitvős htványként írhtó fl. Ekkor hsználhtó z lái intgrációs szály: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). ( + ) d = d ( ) d c ( ) c = + = + = ( + ) Vn primitív függvényünk, folytssuk z improprius intgrálást: d = lim d = lim ( + ) d = lim ( + ) = = + + = lim ( ) lim ( ) 6
24 Most is z összg lső tgját kll vizsgálnunk, mivl második tg konstns, így önmgához trt. Hsználjuk fl korái htárértékr vontkozó ismrtinkt, zz h ( ) ( ) + + Thát + + = + = lim ( ) 6 6 Mivl htárérték nm gy végs vlós szám, hnm zért z improprius intgrál nm létzik, zz divrgns.. fldt: 0 d Mgoldás: Egy improprius intgrálll vn dolgunk. A dfiníció szrint írjuk át z intgrált. d = lim d = 0 0 Első lépésként djunk primitív függvényt. Vgyük észr, hogy gy összttt függvénnyl vn dolgunk. A lső függvény, újr hsználhtó z lái intgrációs szály: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). Így: d = + c Folytssuk z intgrálást kpott primitív függvény flhsználásávl. 0 lim d = lim = lim = lim + = 0 0 Mivl gy konstns függvény mindig önmgához trt, zért csk zt klln vizsgálni, hogy z lső tg, zz vjon hov trt, h. Hsználjuk fl, hogy mivl lim =, kkor lim = lim = = 0. Így
25 lim + = 0 + = Thát z improprius intgrál konvrgns és érték d = 0. fldt: 0 ( ) d Mgoldás: Egy improprius intgrálll vn dolgunk. A dfiníció szrint írjuk át z intgrált. 0 0 d = lim d = ( ) ( ) Ahhoz, hogy tová tudjunk lépni, szükségünk vn gy primitív függvényr. Vgyük észr, hogy z 0 intgrndus gy összttt függvény, mlyn külső függvény, lső függvény pdig, zz gy lináris függvény. A külső függvény mitt z intgrndust ngtív kitvőjű htvány írhtó, és kkor vn intgrálási módszrünk: ( ) ( ) 0 c ( ) ( ) 8( ) 0 d = 0 ( ) d = 0 + = + c 0 lim d = lim = lim = ( ) ( ) ( ) Hsználjuk fl, hogy gy ngyon ngy értékkt vsz fl, kkor gy szám, zért önmgához fog trtni, így csk zt kll vizsgálni, h ( ) hov fog trtni. Mivl lim( ) ( ) = =, így lim n ( ) = = 0. Most már térjünk vissz z rdti fldthoz. lim = 0 = = ( ) 00 Thát z improprius intgrál konvrgns és érték
26 0 d = 00 ( ) tszt rész Ellnőrző kérdésk. 0 8 d = Az intgrál divrgns. 0,000 0,00 0, ( + ) d = Az intgrál divrgns ( ) d = Az intgrál divrgns. 6
27 . 0 d Az intgrál divrgns. normál rész Kidolgozott fldtok. fldt: d + Mgoldás: Alklmzzuk dfiníciót. Most z lsó intgrációs htárn szrplő -t kll lcsrélni. Az új lsó htár lgyn. d = lim d = + + Ahhoz, hogy tová tudjunk lépni, szükségünk vn gy primitív függvényr. Vizsgáljuk mg + d htároztln intgrált. Mivl nvző gy lsőfokú (lináris) polinom, így driváltj gy szám, n z stn éppn. Egy ővítéssl kilkíthtjuk számlálón nvző driváltját, f( ) mjd hsználhtjuk z = ln f ( ) + c intgrálási szályt. f ( ) ln d = d = c Vn primitív függvényünk, folytssuk z improprius intgrálást. d = lim d = lim ln + = + + Hsználjuk Nwton-Liniz tétlt, ügylv rr, hogy z lsó intgrációs htár most éppn. lim ln lim ln ln lim ln ln + = + = + = 7
28 lim 0 ln lim ln lim ln + = + = + = Korái htárértékkr vontkozó ismrtink lpján mondhtjuk, h, kkor + =. Mivl mindn htáron túl növkvő számok trmészts lpú logritmus is mindn htáron túl növkvő, így lim ln + = = Thát z improprius intgrál nm létzik, másképpn divrgns, mivl vizsgált htárérték nm végs. 6. fldt: 6 ( ) 7 d Mgoldás: Alklmzzuk dfiníciót. Most is z lsó intgrációs htárt kll lcsrélni. 6 6 d = lim d = ( ) ( ) 7 7 A kövtkző lépés primitív függvény lőállítás. Az intgrndus most is összttt függvény gy 6 lináris lső függvénnyl. A külső függvény, mit csk kkor tudunk intgrálni, h átírjuk 7 ngtív kitvős htványként. Mjd lklmzzuk lináris lső függvényr vontkozó intgrálási szályt: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). Hjtsuk végr mgdott lépéskt. 7 ( ) ( ) 6 d = 6( ) 7 d = 6 + c = 6 + c= 0 + c 6 ( ) ( ) A primitív függvény ismrtén folytssuk z improprius intgrálást. lim 6 ( ) ( ) ( ) d = lim = lim + = 8
29 Most z összg lső tgj gy konstns, mi önmgához, zz 0 -hoz trt. A második tg htárértékét kll vizsgálni. Hldjunk lépésnként. H, kkor ( ) ( ) =. Mivl mindn htáron túl növkvő pozitív számok lim ötödik gyök is mindn htáron túl növkvő szám lsz, zért ( ) túl növkvő pozitív számok rciproki pdig gyr közl snk nullához, zz 6 6 lim = = 0 ( ) Most már tudjuk fjzni z improprius intgrálást. 0 0 lim + = = 0 ( ) =. Mindn htáron Thát z improprius intgrál konvrgns és érték éppn 6 d =0. ( ) 7 7. fldt: d Mgoldás: Alklmzzuk szokott módon dfiníciót d = lim 8 d = A kövtkző lépés most is primitív függvény lőállítás. Az intgrndus gy összttt függvény gy lináris lső függvénnyl. Most is lklmzzuk z lái intgrálási szályt: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ) d = 8 + c = + c 7 7 Térjünk vissz z improprius intgrálhoz d = lim 8 d = lim lim 7 = = 7 7 A htárérték lőállításához zt kll mgnézni, hogy ngyon kicsi ngtív stén trt? Hldjunk most is lépésnként. 7 + vjon hov 9
30 H, kkor 7 +. D ngyon kicsi ngtív számokhoz közlítv 7 gyr közli értékkt vsz fl, zz lim + = nullához Thát htárérték végs, z improprius intgrál konvrgns és érték: lim = 0 = = 8. fldt: 0 + d Mgoldás: Induljunk l szokott módon. 0 0 d = lim d = + + Folytssuk primitív függvény mgdásávl. Tört intgrndus stén z z lső mit érdms mgnézni, hogy vjon mi nvző driváltj. Láthtó, hogy számlálón éppn nvző driváltj szrpl. Így vn intgrálási szályunk, mit tudunk lklmzni. + ( ) d = ln + + c = ln + + c Flhsználv, hogy + csk pozitív értékkt vht fl, z szolút érték gyszrűn lhgyhtó. Térjünk vissz z improprius intgrálhoz d = lim d = lim ln ( + ) = lim ln ln ( + ) + + A htárértéknél most is lépésnként hldjunk. H, kkor = és kkor ( ) ln + ln A htárérték thát végs, z improprius intgrál konvrgns és érték: 0 d = lim ln ln ( + ) = ln ln = ln + tszt rész 0
31 Ellnőrző kérdésk. 0 d = Az intgrál divrgns d = 9 Az intgrál divrgns. 7. d = 6 Az intgrál divrgns.
32 8. 0 ( 8 ) 7 d = 8 Az intgrál divrgns d Az intgrál divrgns. normál rész Kidolgozott fldtok 9. fldt: + d Mgoldás: Egyik htár sm végs, így mindkttőt mgváltozttjuk, mjd mgváltozttott htárokkl trtunk z rdtikhz. Így kttős htárértékünk lsz. d = lim d = + + Primitív függvényt kll lőállítni. Az intgrndus gy törtfüggvény, mlynk számlálóján mjdnm nvző driváltj láthtó. Mivl ( ) f = ln f + c f intgrálási szályt. + =, zért ővítsünk -ml és hsználjuk
33 + + ( ) d = d = ln + + c = ln + + c Mivl + mindn lhtségs stén pozitív értékt vsz fl, z szolút érték lhgyhtó. Folytssuk z improprius intgrálást. lim lim ln( ) d = + = + Hsználjuk fl, hogy h 0 + és h +, így lim ln( ) li ln( + m + ) = ln = Thát z gyik htárérték nm létzik, így + d improprius intgrál divrgns. 0. fldt: d + Mgoldás: Az lsó és flső htárt is l kll csrélni, mjd z lái két htárértékt kll vizsgálni: d = lim d = + + Végzzük l primitív függvény krsését. Az intgrndus gy törtfüggvény. Vgyük észr, hogy számlálón ővítéssl kilkíthtó nvző driváltj. Mivl ( ) 6 + =, ővítsünk 6 -tl. 6 d = d = ln + + C Mivl 0 + mindn vlós stén, zért z szolút értékt továikn lhgyjuk. lim d lim ln( ) lim ln( ) lim ln( ) = + = + + = Vizsgáljuk mg z lső htárértékt: h ln( ) + +. Kövtkzik másik htárérték:
34 h ln( ) + +. Thát + + = 6 6 lim ln( ) lim ln( ) Mivl htárértékk nm végsk, z improprius intgrál nm létzik. (Már z lső htárértékszámolás után mondhttuk voln, hogy z improprius intgrál divrgns.). fldt: d Mgoldás: Most is zzl kll kzdni fldtot, mind z lsó, mind flső intgrációs htárt lcsréljük. d = lim d = Szükségünk vn gy primitív függvényr, hogy tová tudjunk lépni. Az ilyn típusú intgráloknál észr kll vnni, hogy függvény driváltj pdig gy összttt függvény, mlynk lső függvény. A lső, mi gy gyszrű ővítéssl kilkíthtó z intgrndusn. H pdig gy összttt függvényt szorzunk éppn lső függvényénk driváltjávl, kkor hsználhtó koráról ismrt intgrálási szály: f ( g ( ) ) g( ) d = F ( g ( ) ) + c, hol F ( ) = f ( ) Végzzük l számolást: d = d = + c A primitív függvény sgítségévl htározzuk mg z improprius intgrált. Alklmzzuk z új htárokr Nwton-Liniz tétlt: d = lim d = lim lim lim = = A htárértékk vizsgált kövtkzik. Hldjunk lépésnként. H kko é r s 0 Hsonló kövtkzttésr jutunk másik htárértéknél is. H kkor és 0
35 Thát két htárérték külön-külön létzik, z improprius intgrál konvrgns és érték: lim lim = + = Mgjgyzés: Az rdmény mglhtősn furcs. H zonn árázoljuk függvényt, végrdmény gyértlmű. Jól láthtó, hogy függvény z origór szimmtrikus és így két gör ltti trült mggyzik. D z tngly fltti és ltti trültkt z intgrálás llntéts lőjlll dj mg. Így z összgük null lsz. {á:_.png} Ellnőrző kérdésk d Az intgrál divrgns.. d 0 Az intgrál divrgns.
36 . + d Az intgrál divrgns. 0. Mlyik számolás hlys? + 6 d = = + + = 0 lim d lim ln ( 6) lim ln ( 6) = = + 0 lim d lim ln ( 0 6) lim ln ( 0 6) lm i d ( ) ( ) = lim + 6 lim + 6 = = 0 lim d + 6 ( ) + 6 ( + 6) = lim lim = 0 0 = 0 6
37 Modulzáró llnőrző kérdésk. ln d ln ln ln ln pont. cos sin d = cos cos cos sin sin pont. d pont 7
38 . 0, d = 0, 0, 0, + c + 0, 0, c , 0, c 0 0 0, 0, + + c pont. ( ) ( ) + sin d = + sin cos + sin + c + cos cos + sin + c ( ) + cos sin cos + c ( ) + cos + sin + cos + c ( ) pont 6. ( ) ln(6 ) d = ( ) ln ( 6 ) c + ln ( 6 ) c + + c ( ) + c ( ) pont 7. d = 6 8
39 6 Az intgrál divrgns. pont 8. 8 ( ) d = Az intgrál divrgns. pont 9. 0 d ( + ) 9 9 pont ( + ) 0. d 0 9
40 0 Az intgrál divrgns. pont. d pont. d Az intgrál divrgns. pont. + 7 d, ln 0 0
41 , ln Az intgrál divrgns. pont
Improprius integrálás
Improprius intgrálás Tnulási cél Htározott intgrál foglmánk kitrjsztés végtln intrvllumr. Dfiníciók lklmzás konkrét fldtok stén. Motivációs péld Eddig htározott intgrált csk végs zárt intrvllumon számoltunk.
Részletesebben7. Határozott integrál
7. Htározott intgrál 7.. Számolj ki z lái intgrálokt! 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7...
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,
Részletesebben6. Határozatlan integrál
. Határozatlan intgrál.. Alkalmazza a hatványfüggvény intgrálására vonatkozó szabályt! d... d... d... d 8...... d... d... d..8. d..9. d..0. d... d... d 8... d... 8... d...... d..8...9. d..0. d d 8 d d..
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek. Készítette: Dr. Ábrahám István
Lináris gynltrndszrk Készíttt: Dr. Ábrhám István A lináris gynltrndszrkt kitrjdtn hsználják optimumszámítási fldtokbn. A tém tárgylásához lőkészültt kll tnni. Mátri fktorizáció A fktorizáció mátri szorzttá
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
Részletesebben(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS MINTAPÉLDÁK.. Példa. Határozzuk mg az f = függvénnk az = hlhz tartozó diffrnciahánados függvénét, majd vizsgáljuk mg, hog f diffrnciálható- az -ban adjuk mg az = hlhz tartozó diffrnciálhánadost.
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
2007. fruár 1. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. fruár 1. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást, mllékszámítást fltlpon
RészletesebbenHa a csővezeték falán hőt nem viszünk át és nem végzünk a közegen munkát, akkor az ideális gáz h ö összentalpiája és amiatt T
6 Állndósult gázármlás állndó krsztmtsztű csőn Egy hosszú csőztékn ármló gáz nyomássését nm csk fli csúszttófszültség szj mg, hnm csőflon átdott hő mnnyiség is Hő flétl szmontól két ltő stt tárgylunk ktkző
RészletesebbenNév:... osztály:... Matematika záróvizsga 2010.
Mtmtik záróvizsg 00. Név:... osztály:.... Az lái rjzon gy thrutó rktrénk vázltos rjz láthtó. Az árán olvshtó számtok, rkoásr ténylgsn flhsználhtó térfogtr vontkoznk. Mkkor thrutó hsznos rktrénk térfogt?
RészletesebbenFELVÉTELI FELADATOK 8. osztályosok számára M 1 feladatlap
200. jnuár-fruár FELVÉTELI FELADATOK 8. osztályosok számár M 1 fltlp Név:... Szültési év: hó: np: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást fltlpon végzz! Mllékszámításokr z utolsó, ürs
RészletesebbenNéhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343
Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális
RészletesebbenFELVÉTELI FELADATOK 4. osztályosok számára M 1 feladatlap
2004. jnuár-fruár FELVÉTELI FELADATOK 4. osztályosok számár M 1 fltlp Név:... Szültési év: hó: np: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást fltlpon végzz! Mllékszámításokr z utolsó, ürs
Részletesebbenn 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI HA KONKRÉT SZÁM - q q q q q q shov IZÉ HA IZÉ IZÉ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE TÉTEL: H és sorozt ovrgs és ovrgs és A B A és B or sorozt is AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE A? B A
Részletesebben6. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS. Írjuk fel a következő függvények primitív függvényeit ( ): 6.1. f: f ( x) = f: f ( x) = 4x f: f x x x.
5 6 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Írjuk fl a kövtkző függvényk primitív függvényit (6-67): 6 f: f ( ) = 6 f: f ( ) = 6 f: + f, R 6 f: f ( ) = 65 f: f ( ) = + 66 f: 67 f: f 68 f: f 69 f: 6 f: f +, R, R + f f +, R 6
RészletesebbenEgy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.
Végtl sok vlós számból álló összgkt sorokk vzzük. A sorb szrplő tgokt képzljük l úgy, mit gy bolh ugrásit számgys. A sor összg h létzik ily z szám hov bolh ugrási sorá ljut. Nézzük például kövtkzős sort:...
RészletesebbenKORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?
NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK HIPERGEO. BINOM. POISSON VAN ITT EGY FELADAT ISMERTHOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT VAGYIS N K ILLETVE n k. CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT A VÁRHATÓ AZ ÁTLAG
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym Mt1 fltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2018. jnuár 20. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg.
Részletesebben12. Határozatlan és határozott integrál
. Htároztln és htározott integrál Tnulási cél: Megismerni htároztln és htározott integrál foglmát. Elsjátítni z lpintegrálokt, és z egyszerű integrálási tételeket, vlmint Newton-Leiniz-formulát. Ezen ismereteket
Részletesebben10. Határozatlan integrál
0. Htároztln intrál Diníciók, lpszbályok H F =, zz F üvény rivált szármzék üvény, kkor F üvényt primitív ős üvényénk nvzzük. F mlltt bármly F+ üvény is primitív üvény -nk, hol ttszőls vlós állnó, mivl
Részletesebben4. Differenciálszámítás
. Diffrnciálszámítás.. Írja fl a diffrnciahányadost a mgadott pontban és határozza mg a határértékét!... f...... f..7. f, f,,..9. f... f... f... f...... f..7...9. f...... f... f... f...,..6. f,,,, f,..8.
Részletesebben53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata
53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási
Részletesebben3. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Három erő egyensúlya
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MEHNIK TNSZÉK Péld: MEHNIK STTIK GYKORLT (kidolgozt: Tisz Pét; Tni Gábo ménök tná) Háom ő gynsúly dott gy mlőszkzt méti és thlés: m b 5 m c 5 m kn ldt: y c Htáozz mg z
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt2 fltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást,
RészletesebbenANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
ÚJ FELADATLAP 2007. ruár 1. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évolymosok számár 2007. ruár 1. 14:00 ór ÚJ FELADATLAPI NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A ltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgllő iőosztásr és
Részletesebben2. A geometria alapfogalmai A geometria alapfogalmai: pont, vonal, egyenes, sík, tér.
1. Mi z lpfoglom? Alpfoglom: olyn foglom, mit ismrtnk fogdunk l, nm tudunk más foglmk sgítségévl mghtározni, dfiniálni, lgflj szmléltsn körülírjuk. Mindn tudomány ilyn lpfoglmkr épül fl. (Egy foglmt úgy
Részletesebben5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE ALKALAZOTT ECHANIKA TANSZÉK. ECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (idolgozt: Trisz Pétr, g. ts.; Trni Gábor, mérnötnár) Erőrndszr rdő vtorttős, vonl mntén mgoszló rőrndszr.. Péld Adott: z
RészletesebbenA szelepre ható érintkezési erő meghatározása
A szlpr ható érintkzési rő mghatározása Az [ 1 ] műbn az alábbi fladatot találtuk. A fladat: Adott az ábra szrinti szlpmlő szrkzt. Az a xcntricitással szrlt R sugarú bütyök / körtárcsa ω 1 állandó szögsbsséggl
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
Részletesebben3. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Három erő egyensúlya
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETEM GÉPSZERKEZETTN ÉS MEHNIK TNSZÉK 3 MEHNIK STTIK GYKORLT Kdolgozt: Tsz Pét gy ts Háom ő gynsúly 3 Péld: dott gy mlőszkzt mét és thlés: m b 5 m c 5 m 0 kn ldt: y c Htáozz mg z és támsztóőkt
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym Mt1 fltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást,
Részletesebben1. Melyik átváltás hibás? A helyeseket jelöld pipával, a hibás átváltásoknál húzd át az egyenlőségjelet!
Mtmtik záróvizsg 011. Név:... osztály:... 1. Mlyik átváltás hiás? A hlyskt jlöl pipávl, hiás átváltásoknál húz át z gynlőségjlt!. 0,578 t = 578 kg;. 100 m g. = 0,1 h; 0 pr = 0,5 ór;.. h. 3,05 kg = 350
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto
RészletesebbenMAGYAR NYELVI FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym AMNy2 fltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 27. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügylj küllkr! A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. A mgolásr
RészletesebbenNév:... osztály:... Matematika záróvizsga 2008. 1. Tedd ki a megfelelő relációjelet! ; 4
Mtmtik záróvizsg Név:... osztály:... 1. T ki mgllő rláiójlt! 15 4 675 ; 180 115, 151, ; 31% 10 3 1000 ; 4 5 5 + ; 8. Mlyik átváltás hiás? A hlyskt jlöl pipávl, hiás átváltásoknál húz át z gynlőségjlt!.
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenMatematika záróvizsga Név:... osztály: ; 5 + 9
006. Név:... osztály:.... T ki mgllő rláiójlt! 7 00 7 4, 0% 4 8 - + 9 8 - : 9 6. Ír mérőszámokt vgy mértékgységkt!..... 0m h,8 mm kg 0,0 m km m m 400 l. π. Végz l számításokt!.) : 4.), 8 : 0, +, 0 7, 4
RészletesebbenÚJ FELADATSOR! 2006. FEBRUÁR 2. ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára. 2006. február 2. 14:00 óra ÚJ FELADATSOR! NÉV:
ÚJ FELADATSOR! 2006. FEBRUÁR 2. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. fruár 2. 14:00 ór ÚJ FELADATSOR! NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára
4. évfolym Mt2 fltlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2017. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg.
RészletesebbenMágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata
Mágnss anyagok lktronmikroszkópos vizsgálata 1. Transzmissziós lktronmikroszkóp 1.1. A mágnss kontraszt rdt a TEM-bn Az lktronmikroszkópban 100-200 kv-os (stlg 1 MV-os) gyorsítófszültséggl gyorsított lktronok
RészletesebbenÁbrahám Gábor: Az f -1 (x)=f(x) típusú egyenletekről. típusú egyenletekről, Megoldás: (NMMV hivatalos megoldása) 6 x.
Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Az f ( ) = f( ) típusú gynltkről, avagy az írástudók fllősség és gyéb érdksségk Az alábbi cikk a. évi Rátz László Vándorgyűlésn lhangzott lőadásom alapján
Részletesebben6. előadás Véges automaták és reguláris nyelvek
Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm 6. lőadás Végs automaták és rguláris nylvk dr. Kallós Gábor 2017 2018 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Tartalom Zártsági tulajdonságok
RészletesebbenMAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára
4. évfolym AMNy2 fltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 28. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügylj küllkr! A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. A mgolásr
RészletesebbenSIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL
SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők:
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym Mt2 fltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2018. jnuár 25. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg.
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2017. ugusztus 3. A reguláris nyelveket véges utomtákkl
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym Mt2 fltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást,
RészletesebbenKOD: B377137. 0, egyébként
KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,
RészletesebbenKORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?
NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK HIPERGEO. BINOM. POISSON VAN ITT EGY FELADAT ISMERTHOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT VAGYIS N K ILLETVE n k. CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT A VÁRHATÓ AZ ÁTLAG
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
2006. fruár 2. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. fruár 2. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz! A
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto
RészletesebbenRSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2
RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (
RészletesebbenMérıkapcsolások 5. fejezet /Elmélet & Képletgyőjtemény/
. Kompnzált osztó: Mérıkpcsolások 5. fjzt /Elmélt & Képltgyőjtmény/ C b C. Hídkpcsolás: τ b τ C C 4 t Alpértlmztt stbn: 4, íd mnti fzsültség gynlíttt állpotbn 0V. I.. st Egy llnállás változik d 4 t d (
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenOrszágos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2007/2008 IRODALOM MAGYAR NYELV ÉS HELYESÍRÁS. II. (regionális) forduló. 2008. február 22.
Országos Szkiskoli Közismrti Tnulmányi Vrsny 2007/2008 IRODALOM MAGYAR NYELV ÉS HELYESÍRÁS II. (rgionális) foruló 2008. fruár 22. Mgolás 1 Országos Szkiskoli Közismrti Irolom Mgyr nylv és hlysírás Tnulmányi
RészletesebbenModern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn
Modrn piaclmélt ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Sli Adrinn A tananyag a Gazdasági Vrsnyhiatal Vrsnykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítány támogatásáal készült az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenEGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.
www.symhs.hu mk ilágos oldl symhs.hu.lépés: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA Csk -s oszlopól és -s soról álszhunk gnráló lm, nullá nm álszhunk és lhőlg - gy -- érdms AZ JÁTÉKSZABÁLYAI.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
Részletesebbenadott egy nemnegatív c(u, v) kapacitás. A gráfnak kitüntetjük két pontját: az s termelőt és a t fogyasztót. Ekkor a (G; c; s; t) négyest hálózatnak
1. Hálózi olymok Diníció: Lgyn G = (V, E) gy irányío grá, mlynk minn (u, v) élén o gy nmngív c(u, v) kpciá. A gránk kiünjük ké ponjá: z rmlő é ogyzó. Ekkor (G; c; ; ) négy hálóznk nvzzük. Szmléléképpn
RészletesebbenA művészeti galéria probléma
A műészti galéria probléma A műészti galéria probléma (art galry problm): A műészti galéria mgfigylés kamrákkal / őrökkl. Hálózattrzés Alapjai 2007 8: Műészti Galéria Probléma Őrzési / Mgilágítási problémák
RészletesebbenA differenciál- és integrálszámítás alapjai
A dirciál- és itrálszámítás lpji I. Dirci- és dirciálháydos D. Ly : R R értlmzv z itrvllumo. Ly ttszőls lm z itrvllumk. Az háydost z -b vtt dirciháydosák vy külöbséi háydosák vzzük. D. Ly : R R értlmzv
Részletesebben9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges
RészletesebbenMAGYAR NYELVI FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym AMNy1 fltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügylj küllkr! A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. A mgolásr
RészletesebbenOrszágos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai
Országos Szilárd Ló fizikavrsny fladatai I katgória döntő, 5 április 9 Paks A fladatok mgoldásáoz 8 prc áll rndlkzésr Mindn sgédszköz asználató Mindn fladatot külön lapra írjon, s mindn lapon lgyn rajta
RészletesebbenVÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS, MARKOV ÉS CSEBISEV EGYENLŐTLENSÉGEK
VÁRHATÓ ÉRTÉK SZÓRÁS MARKOV ÉS CSBISV GYNLŐTLNSÉGK A VÁRHATÓ ÉRTÉK gy mgsugró vrsnyn vrsnyzők 8 vlószínűséggl ugorják á lé. Mindn vrsnyző háromszor próálkozh. Mivl könnyn mgsh hogy nm rjongunk mgsugró
RészletesebbenMÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA
MÁTRIXOK DETERMINÁNS, SJÁTÉRTÉKE ÉS SJÁTVEKTOR DEFINÍCIÓ: H z gy d( ) p I ( p) i ip( i) -s mári, kkor drmiás hol p mári lmik oszlopidik prmuációi, I(p) pdig zkk prmuációkk z irziószám. Ez gy igzá rmk dfiíció,
Részletesebben5.1. A határozatlan integrál fogalma
9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.
RészletesebbenÍrásbeli szorzás kétjegyû szorzóval
Írásli szorzás kétjgyû szorzóvl Kiolgozott mintpél Egy krtész 36 plántát ültttt gy sor. Hány plántát ül - t ttt 24 sor? Atok: sor 36 plánt 24 sor x Trv: x = 24 36 vgy x = 36 24 Bslés: x 20 40 = 800 Számolás:
RészletesebbenMatematika záróvizsga Név:... osztály:... =...
Mtmtik záróvizs 004. Név:... osztály:... 1. Számíts ki kijzésk hlyttsítési értékét! = =. + 4 =.... ( : =.... =... 0 1. =.... Mlyik átváltás hiás? A hlyskt jlöl pipávl, hiás átváltásoknál húz át z ynlőséjlt!.
RészletesebbenA Mozilla ThunderBird levelezőprogram haszálata (Készítette: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Version 1.1)
A Mozilla ThundrBird lvlzőprogram haszálata (Készíttt: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Vrsion 1.1) Tartalomjgyzék Tartalomjgyzék...1 A Központi Lvlző Szrvr használata... 1 A ThundrBird lvlzőprogram
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenN-ed rendű polinomiális illesztés
ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenSzerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország
In: Kóczy L, éánczos L, Bakó A, Prznszki J, Szgdi Z, Várlaki P (szrk.) Játéklmélt alkalmazási lhtőségi a logisztikai rndszrkbn - az gy- és többutas szállítási csomagolási szközök közötti döntéslmélti probléma
RészletesebbenVillamos érintésvédelem
Villamos érintésvédlm A villamos nrgia ipari mértű flhasználása a század ljén kzdtt gyr nagyobb mértékbn ltrjdni és zzl gyidőbn jlntkztk az áramütésből rdő balstk is. Ennk kövtkztébn nagyarányú kutatás
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenSV-805AL SV-805AL Color. Videokaputelefon 5 vezetékes vandálbiztos. Rock Series. Telepítõi kézikönyv
SV-805AL SV-805AL Color Vidokputlfon 5 vztéks vndáliztos Rock Sris Tlpítõi kézikönyv BEVEZETŐ 1 2 TÁPEGYSÉG TELEPÍTÉSE Köszönjük, hogy GLMAR trmékét válsztott. Az IS-9001 minősítés és lkötlzttségünk vásárlók
Részletesebben3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM AAMAZOTT MECHANIA TANSZÉ 5. MECHANIA-VÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szül Vronika g. ts.) V. lőadás. okális aroimáció lv végslm diszkrtizáció gdimnziós fladatra Amint azt
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenELOSZLÁS, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY
ELOSZLÁS, ELOSZLÁSÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGÜGGVÉNY AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY Egy célábla sugara cm, a valószínűségi válozó jlns az, hogy milyn ávol lőünk a célábla középponjáól. Tgyük öl, hogy a céláblá bizosan laláljuk.
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenDR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme.
DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapst, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@rg.bm.hu Tl: 1/463 40 22 www.rg.bm.hu A KIVÁLASZTÁS ÉS A MUNKAKÖRI ALKALMASSÁG PSZICHOLÓGIÁJA II. Az lızı
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
RészletesebbenMAGYAR NYELVI FELADATLAP
2009. jnuár 23. MAGYAR NYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! A mgolásr
RészletesebbenA központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése
A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
Részletesebben1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Döts l, hogy fáll mid A és B halmaz sté a A B) \ B A összfüggés! Ha m, adjo szükségs és légségs fltétlt arra, hogy mikor áll f! A B) \ B A iff A
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
Részletesebben12. Határozatlan és határozott integrál
. Htároztln és htározott integrál Tnulási cél: Megismerni htároztln és htározott integrál oglmát. Elsjátítni z lpintegrálokt, és z egyszerűbb integrálási tételeket, vlmint Newton-Leibniz-ormulát. Ezen
RészletesebbenANYANYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára
2006. ruár 2. ANYANYELVI FELADATLAP 4. évolymosok számár 2006. ruár 2. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A ltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz! A mgolásr
Részletesebben