4. Differenciálszámítás
|
|
|
- Mária Csonka
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 . Diffrnciálszámítás.. Írja fl a diffrnciahányadost a mgadott pontban és határozza mg a határértékét!... f f..7. f, f,,..9. f... f... f... f f f f... f... f...,..6. f,,,, f,..8. f... f... f... f.. Diffrnciálja a kövtkz függvénykt!,,,,.,.... f f 6... f f f f f 6 6 f f f f... f f..8. f ln log... f log log... f.. Diffrnciálja a szorzatfüggvénykt!... f... f... f f ln 6 log ln... f
2 ... f..6. f..7. f..8. f..9. f ln f f log ln... f log... f... f... f..7. f..9. f... f... f... f..7. f..9. f... f.. Diffrnciálja a hányadosfüggvénykt!... f ln 7ln log log ln... f..6. f..8. f... f... f... f..6. f..8. f... f... f.. Diffrnciálja az összttt függvénykt! ln ln... f... f... f... f
3 ... f..7. f f... f... f..7. f..9. f f..6. f..8. f ln( ) ( )... f ln ( )... f... f ( )..6. f ln ( ) ( ) f... f.6. Diffrnciálja a kövtkz függvénykt!.6.. f.6.. f.6.. f.6.7. f.6.9. f.6.. f (ln ) 6 log ( ) ln log.6.. f 7 ln.6.. f log.6.6. f.6.8. f.6.. f f ( )( ).6.. f log.6.7. f.6.9. f.6.. f.6.. f log f.6.. f f log.6.8. f ln f (ln )( ) ln.6.. f f ln
4 .6.. f.6.6. f ln.6.7. f.6.8. f.6.9. f.6.. f log.7. Határozza mg az pontban az f függvény érintjénk gynltét! Vázolja a függvény és érintj grafikonját!.7.. f, f, f, y y f,.7.. y 8,.7.7. f.7.9. f.7.. f.7.. f.7.. f.7.7. f, f f, f,,.7.8. f, f..7.. f.7.6. f,,.7.9. f f.8.. f.8.7. f.8.9. f.8.. f, log, f,,,,,.7.8. f.7.. f, ln, ln,.8. Határozza mg az pontban az f függvény érintjénk gynltét! f,,,,.8.. f.8.. f,,.8.6. f ln,.8.8. f.8.. f,.8..,, ln, f.9. Hol diffrnciálhatók az alábbi függvényk?,
5 .9.. f.9.. f.9.. f.9.7. f.9.. f.9.. f f ln f ln.9.. f.9.. f.9.. f f.9.. f.9.. f.9.. f f..9. f... f... f, ha, ha, ha, ha, ha, ha, ha, ha.9.8. f.9.. f.9.. f f log.9.6. f.9.8. f.9.. f.9.. f.9.. f.9.6. f.. Számolja ki a függvényk mgadott driváltjait! f 8 f, f,,, f?..., ha, ha, ha, ha, ha, ha ln, ha, ha f, f? f 6?... f f?..6. f f?..8. f, f?... f, f ln, f?... f f?... f, f?, f?, f?,, f? ln f?, f? 6
6 ... f ln, f?..6. f, f? f... f... f... f..7. f..9. f... f... f.. Végzzn függvényvizsgálatot az alábbi függvényknél! f 8 f f 6 f... f... f..6. f..8. f... f... f... f..6. f..8. f... f... f... f ln... f ln..6. f..7. f f ln.. Határozza mg az alábbi függvényk szélsérték hlyit! f 6 f... f..7. f f 7 6 f f..8. f ln..9. f... f... f... f ln 7
7 ... f... f... f..7. f... f... f.. Határozza mg az alábbi függvényk infliós pontjait! f f... f.. Gazdasági alkalmazások... Egy trmék költségfüggvény f 6 f 6 f Cq. q q. Határozza mg a fi költségt! Határozza mg a határköltségt a q és q hlykn! Mit jlntnk zk az értékk? q... Egy trmék költségfüggvény Cq. Határozza mg a fi költségt! q Határozza mg a határköltségt a q 8 és q 98 mnnyiségknél! Mnnyivl változik a költség, ha a trmlést -ról -r változtatjuk? Rq q. q. Határozza mg a határbvétlt a... Egy trmék bvétlfüggvény q és q mnnyiségknél! Mit jlntnk zk az értékk?. Határozza mg a határbvétlt a q és q hlykn! Mnnyivl változik a bvétl, ha az ladott mnnyiség 9-rl -r változik? Pq q q. Határozza mg a határhasznot a... Egy trmék bvétlfüggvény Rq qq... Egy trmék haszonfüggvény q és q 8 mnnyiségknél! Mit jlntnk zk az értékk?..6. Egy trmék haszonfüggvény Pq q q. Határozza mg a határhasznot a q q és q hlykn! Mnnyivl változik a haszon, ha az ladott mnnyiség -ról -r változik?..7. Egy trmék költségfüggvény Cq q, bvétl függvény Rq q q. Határozza mg a fdzti pontban a határbvétlt, a határköltségt és a határhasznot! Cq. q, bvétl függvény..8. Egy trmék költségfüggvény Rq q q.. Határozza mg a fdzti pontban a határbvétlt, a határköltségt és a határhasznot!..9. Határozza mg az átlagköltség minimumát, ha a költségfüggvény C 6! 8
8 ... Határozza mg az átlagköltség minimumát, ha a költségfüggvény C. 8 8!... Határozza mg, hogy milyn mnnyiségnél lsz maimális a haszon, ha a költségfüggvény C 6, a bvétlfüggvény R 6! Határozza mg bbn a pontban a határbvétlt és a határhasznot!... Határozza mg, hogy milyn mnnyiségnél lsz maimális a haszon, ha a költségfüggvény C, a bvétlfüggvény R! Határozza mg bbn a pontban a határbvétlt, a határhasznot!... Egy trmék krsltfüggvény Dq. q, kínálat függvény Sq. q. Határozza mg a piaci gynsúlyi pontot és azt a mnnyiségt, aminél a bvétl maimális.... Határozza mg a piaci gynsúlyi pontot, ha Dq. q, Sq. q! Milyn mnnyiség mlltt lsz maimális a bvétl?... Egy trmék krsltfüggvény Dq. q, kínálatfüggvény Sq. q. Határozza mg a piaci gynsúlyi pontot és azt a mnnyiségt, aminél a bvétl maimális!..6. Határozza mg, hogy milyn mnnyiség mlltt lsz maimális a bvétl, ha a krsltfüggvény Dq. q!..7. Határozza mg a krslt rugalmasságát a q 9 és q pontokban, ha a krsltfüggvény. q! Dq..8. Határozza mg a krslt rugalmasságát a q és q pontokban, ha a krsltfüggvény. q! Dq Diffrnciálszámítás fladatok mgoldásai lim lim lim lim. h h h hh... lim lim lim limh. h h h h h h h h... lim.... f h h... f..6. f..7. f..8. f..9. f... f nm létzik... f nm létzik... f.... f nm létzik... f. nm létzik f... f f 8... f... f 9
9 f... f f 7 6 f f... f.. f f ln 8 f f ln ln..9. f... f f f f ln ln ln ln f 8... f... f ln f ln... f 9... f ln..6. f ln ln..7. f..8. f ln ln..9. ln... f... f..... f... f... f... f 6 f f log ln f log ln ln f..6. f 6
10 ..7. f... f... f... f..7. f..8. f..9. f... f f ln ln ln ln log ln... f... f..6. f 6... f... f..9. f ln 7ln... f ln ln ln ln ln f ln... f... f... f f..6. f ( ) f gk g k,,, g, k, g k f g k k...8. f 6 ln..9. f 8... f ln... f ( ) ln... f... f... f ( )ln (ln ) ln ln 6
11 ... f ( ) ln f..9. f f f f ln ( ) ln..8. f ln ln... f log.6.. f ln ln ln.6.. log f f.6.8. f.6.9. f f.6.7. f.6.8. f.6.9. f ln 6 log f 7 ln.6.6. f 6 6 ( ) f ln ln f.6.. f ( ) ( ) ln ( ) f f ln.6.6. f ln ln ln ln ln.6.. f ( ) ln.6.. f ln 6
12 .6.. f f ln.6.. f ln f ln ln ln ln.6.. ln.6.6. f ln ln ln.6.8. f ln.6.9. f.6.7. f ln 6 ln.6.. f log ln log log Thát a függvény nm diffrnciálható -ban. Ez azért van mrt az "összillsztés nm folytonos, azaz szakadási pontja van a függvénynk az = pontban..7. ln ln.7.. f, f, f,.7.. f, f, f, y y y y y.7.. y y y.7.7. y y y.7.. y.7.. y.7.. y 6
13 y.7.. y lnln.7.. y.7.6. y lnln y ln.7.8. y.7.9. y ln ln.7.. y y ln ln.8.. y.8.. y 9, ln.8.7. y y.8.. y.8.. y.8.. y y.8.. y.8.6. y.8.9. y Elször vizsgáljuk mg, hogy hol értlmzht a függvény. Páros kitvj gyököt ngatív számból nm tudunk a valós számok között vonni, zért az fltétlnk kll tljsülni. ; U ; Ebbl, vagy kövtkzik. Thát a függvény értlmzht a halmazon. A diffrnciálhatóságnál az összttt függvény driválására vonatkozó szabályt flhasználva a h függvény mindnütt diffrnciálható a g függvény diffrnciálható, ha >. 6
14 Thát a függvény diffrnciálható, A drivált függvény f., azaz ha ; U; ,.9.. R R ; R.9.7. vagy R.9.. R.9.. R f, z a függvény mindnütt diffrnciálható, ha <, akkor.9.. Ha >, akkor f szintén mindnütt diffrnciálható. Thát csak az = pontban kll még mgvizsgálni. Ehhz számoljuk ki a diffrnciahányados jobb-, illtv a baloldali határértékét f f lim lim lim nm létzik lim lim lim ( f f ) \ Thát a függvény nm diffrnciálható -ban. Ez azért van mrt az "összillsztés nm folytonos, azaz szakadási pontja van a függvénynk az = pontban R.. f f f... f f... f... f... f f..9. f f f 6 f 6 f ln ln ln ln... 8 ln ln 6 ln ln ln..6. f f ln f 8 (.) (.) ÉT: R f 8 8 f (.), (.) nm páros, nm páratlan. 6
15 f (6.) (.) (7.) < = = f''() f'() f() min -8 infl ma 8 (8.) lim( ), lim ( ) (.) ÉK: y R. (.) Zérushly, = Az y tnglyt -8-ban mtszi f (.) (.) ÉT: R f nm páros, nm páratlan. f (.), (.) (.) f (6.), (7.) < = = f''() f'() f() infl - infl ma (8.) lim( ), lim ( ) (.) ÉK: y ; (.) Zérushly = és van gy -nál nagyobb Az y tnglyt --ban mtszi (.) ÉT: R (.) f (.) f páros. f 8 (.) 8, 66
16 f 8 (6.) 8 (.) (7.) = f''() f'() f() ma infl 7 min (8.) lim( ), lim ( ) () ÉK: y ;. () Zérushly 7. Az y tnglyt -ban mtszi... f.) ÉT: R (.) (.) f (.) f páros., (.) f (6.) (7.) = f''() f'() f() min infl ma 9 (8.) lim( ), lim ( ) () ÉK: y ;. () Zérushly. Az y tnglyt -bn mtszi
17 ... f (.) (.).) ÉT: R f páratlan. f (.), (.) f 6 (6.) 6,, (7.) <- =- = = < f''() f'() f() min - infl. 7 infl. infl. 7 ma. (8.) lim( ), lim ( ) 7 (.) ÉK: y R. - -, - -,,, - (.) Zérushly, = - - Az y tnglyt -ban mtszi..6. f nm páros, nm páratlan.) ÉT: R (.) f (.) f (.) f 6 (6.) 6 (.) (7.), = > f''() f'() f() ma infl min 7 7 (8.) lim ( ), lim ( ) () ÉK: y R. () Zérushly,. Az y tnglyt -ban mtszi -8-68
18 f.) ÉT: R (.) nm páros nm páratlan. f 6 6 (.) 6 6, (.) f (6.), (.) (7.) = > f''() f'() f() inf infl 9 ma 6 6 (8.) lim( ), lim ( ) 6 - -, - -,,, () ÉK: y ;. () Zérushly. Az y tnglyt -ban mtszi..8. f.) ÉT: R (.) páros (.) f f 8 (.) (7.) (.) (6.) 8 nincs mgoldás f''() + + f'() - + f() min (8.) lim( ), lim ( ) 9 7 () ÉK: y ;. () Zérushly nincs. Az y tnglyt -bn mtszi -, - -, -,, 69
19 ..9. f.) ÉT: R (.) f (.) f \ (.) páros. (.) 6 (6.) 6 (7.) nincs mgoldás = > f''() f'() f() ma (8.) lim, lim, lim, lim, lim, lim () ÉK: y ; ;. () Zérushly:. Az y tnglyt -ban mtszi f.) ÉT: R (.) páros (.) f (.) f 6 (.) 6 (6.) 7
20 (7.) f''() f'() f() inf. ma (8.) lim, lim,, , () ÉK: y ;. () Zérushly nincs. Az y tnglyt -bn mtszi -... f.) ÉT: R (.) páratlan (.) f (.) f (.) (6.) (7.) = - -<< f''() f'() f() inf. min infl - (8.) lim, lim,,, , 6 - -, () ÉK: y ;. () Zérushly: = Az y tnglyt -bn mtszi... f R\ (.) nm páros, nm páratlan.) ÉT: 7
21 (.) f (.) f (.) (6.), nincs mgoldás (7.) = - -<< = > f''() f'() f() ma - min (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ; ; () Zérushly: = Az y tnglyt -bn mtszi f.) ÉT: R\ (.) nm páros, nm páratlan 8 (.) f (.) 8 (.) f (6.) 6 (7.) = - -<< = > f''() f'() f() inf min 9 (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: = - 7
22 Az y tnglyt nm mtszi... f ÉT: R\ (.) páratlan (.) f (.) 8 8 (.) f (6.) nincs mgoldás (7.) = f''() f'() + - f() ma - (8.) lim, lim, lim, lim 7
23 () ÉK: y ; ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi \ (.) páros... f ÉT: R (.) f (.) f 8 (7.) < = > f''() + + f'() + - f() (8.) lim, lim (.) 8 nincs mgoldás (6.) nincs mgoldás, lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: =, = - Az y tnglyt nm mtszi..6. f ÉT: (.) f (.) f R (.) páros (.) nincs mgoldás 7
24 (7.) < = > f''() f'() - + f() min (8.) lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt -bn mtszi..7. f ÉT: R (.) páros (.) f ( ) ( ) (.) f (6.) (7.) = f''() f'() f() inf ma (8.) lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt -bn mtszi..8. f 7
25 ÉT: (.) f ; (.) páratlan (.) ( ) (.) f nincs mgoldás ( ) 6 (6.) 6 (7.) f''() - + f'() f() inf (8.) lim, lim () ÉK: y R. () Zérushly: Az y tnglyt -ban mtszi..9. f ÉT: (.) f (.) f ; (.) páros (.) (6.) nincs mgoldás (7.) f''() f'() + - f() ma (8.) lim f, lim f () ÉK: ;. () Zérushly: = -, = Az y tnglyt -bn mtszi 76
26 ... f ÉT: R (.) páros f (.) (.) f (7.) (.) (6.) = f''() f'() f() inf ma. (8.) lim lim, lim. () ÉK: y ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt -bn mtszi... f ÉT: R (.) nm páros, nm páratlan f ( ) (.) ( ) (.) (.) f (6.) (7.) = > f''() f'() f() ma inf. (8.) lim, lim () ÉK: y ; () Zérushly: =. Az y tnglyt -ban mtszi 77
27 ... f ÉT: R (.) f \ (.) nm páros, nm páratlan (.) nincs mgoldás f (6.). (.) (7.)... = > f''() f'() f() infl. (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ; \. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi o... f ÉT: R (.) f (.) f \ (.) nm páros, nm páratlan ( ) (.) ( ) = (6.) nincs mgoldás (7.) = > f''() f'() f() min (8.) lim, lim, lim, lim 78
28 () ÉK: y ; ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi o... f ln ÉT: R (.) páros (.) f (.) f ( ) (.) = (6.) ( ) =, = - (7.) = f''() f'() f() infl. ln min lim ln lim ln (8.), () ÉK: y ;. () Zérushly: = Az y tnglyt -ban mtszi... f ln ÉT: R (.) f (.) f \ (.) páratlan ln (.) ln (6.) nincs mgoldás = 79
29 (7.) f''() f'() + - f() ma (8.) lim ln, lim ln =, lim ln, lim ln o () ÉK: y R. () Zérushly: =, = - Az y tnglyt nm mtszi ln ; ; (.) páratlan..6. f ÉT: (.) f f (.) (.) (6.) nincs mgoldás = nm mgoldás (7.) f''() - + f'() - - f() (8.) lim ln, lim ln, lim ln, lim ln () ÉK: y R\. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi 8
30 \ (.) nm páros, nm páratlan..7. f ÉT: R (.) f (.) f (.) (6.) nincs mgoldás nincs mgoldás (7.) f''() - + f'() - - f() (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ; ; () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi...8. f ÉT: R (.) nm páros, nm páratlan (.) f (.) f (.) (6.) nincs mgoldás = (7.) f''() + - f'() f() infl.. (8.) lim, lim.. 8
31 ... C. a fi költség. C q q. C Ha a trmlést gységrl gységr növljük, akkor a költség gységgl n. C Ha a trmlést gységrl gységr növljük, akkor a költség gységgl n. q 8q... C, Cq, C 8, q C 98 9, C Rq... Rq... Pq q q. q q q q q q q, R, R, R.,, R, P 6 R 9. 8, P Pq q, P, P, P..7. Cq Rq q f, R, C, P...8. Cq Rq q f, R 8., C, P.. C C..9.. = a minimumhly, C. 8 C.... = a minimumhly,. = a maimumhly, P... P... P6... Dq Sq q. a maimális bvétl R.... Dq Sq q. = 6 a maimumhly, P a minimális átlagköltség. 8 a minimális átlagköltség., R 6, P., R6, Rq qdq. q q. A maimumhly q =,. A maimumhly q = 7, a maimális bvétl R7.. Rq qdq q q... Dq Sq q a maimális bvétl R Rq qdq q q Rq qdq. q q... A maimumhly q =,.. A maimumhly q =, a maimális bvétl R...7. Dq q Dp p Dp Ha q 9, akkor p =, E. Ha q, akkor p = 9,.. E P 6. 8
32 .. p..8. Dq q Dp p Dp Ha q, akkor p = 9, E9 Ha q, akkor p =, E. f Diffrnciálszámítás dfiníciók, szabályok, tétlk f f h f f lim lim h. Az abszcisszájú ponton a függvényhz húzható érint gynlt: y f f. Ha lég közl van az -hoz, akkor f f f. Mvltk és a diffrnciálás kapcsolata.. cf cf.. f g f g.. f g f g.. f g f g g f f f.. g gf g g.6. f g f gg.7. f f f. Alapfüggvényk driváltja.. c n.... log.. n n, nr a ln a, R a a a R ln,,, ln h 6. Monotonitás és a drivált Lgyn az f függvény diffrnciálható az a; bintrvallumon. 8
33 Az f függvény akkor és csak akkor monoton növkv az a; bintrvallumon, ha f mindn a b ; -r. Az f függvény akkor és csak akkor monoton csökkn az a; bintrvallumon, ha f mindn a b ; -r. 7. Szélsérték és a drivált kapcsolata Ha az f függvény diffrnciálható az pont gy környztébn és f, valamint f driváltja ljlt vált az pontban, akkor f-nk -ban szélsérték van. Tgyük fl, hogy f kétszr diffrrnciálható az pont valamly környztébn és f, valamint f. Ekkor f-nk az pontban szélsérték van. Ha f, akkor maimum, ha f, akkor minimum a szélsérték. 8. Konv és konkáv jllg vizsgálata Tgyük fl, hogy f kétszr diffrnciálható az a; bintrvallumon. f akkor és csak akkor konv, ha a b mindn a b ; -r. f mindn ; -r, konkáv ha f 9. Infliós pont vizsgálata Tgyük fl, hogy az f függvény kétszr diffrnciálható az pont gy környztébn és f, valamint f ljlt vált az pontban. Ekkor f-nk infliós pontja van -ban.. Függvényvizsgálat lépési. Értlmzési tartomány mghatározása.. Párosság, páratlanság vizsgálata.. Els drivált kiszámítása.. Els drivált zérushlyink, illtv szakadási hlyink mghatározása.. Második drivált kiszámítása. 6. Második drivált zérushlyink, illtv szakadási hlyink mghatározása. 7. Táblázat készítés a.) második drivált ljlénk mghatározása a kritikus pontok által mghatározott intrvallumokon b.) az ls drivált ljlénk mghatározása a kritikus pontok által mghatározott intrvallumokon c.) f monoton szakaszainak, konv, konkáv szakaszainak mghatározása d.) infliós pontok és szélsérték hlyk mghatározása 8. Az f függvény határértékink kiszámítása az értlmzési tartomány "szélin". (A szakadási hlyk jobb és baloldalán, -bn és - -bn.) 9. A függvény grafikonjának lkészítés.. Az értékkészlt mghatározása.. Zérushlyk mghatározása. 8
Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343
Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális
(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS MINTAPÉLDÁK.. Példa. Határozzuk mg az f = függvénnk az = hlhz tartozó diffrnciahánados függvénét, majd vizsgáljuk mg, hog f diffrnciálható- az -ban adjuk mg az = hlhz tartozó diffrnciálhánadost.
7. Határozott integrál
7. Htározott intgrál 7.. Számolj ki z lái intgrálokt! 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7...
6. Határozatlan integrál
. Határozatlan intgrál.. Alkalmazza a hatványfüggvény intgrálására vonatkozó szabályt! d... d... d... d 8...... d... d... d..8. d..9. d..0. d... d... d 8... d... 8... d...... d..8...9. d..0. d d 8 d d..
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
A derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2
RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (
Ábrahám Gábor: Az f -1 (x)=f(x) típusú egyenletekről. típusú egyenletekről, Megoldás: (NMMV hivatalos megoldása) 6 x.
Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Az f ( ) = f( ) típusú gynltkről, avagy az írástudók fllősség és gyéb érdksségk Az alábbi cikk a. évi Rátz László Vándorgyűlésn lhangzott lőadásom alapján
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Függvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.
Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:
Teljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata
53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási
SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL
SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők:
4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
Gazdasági Matematika I. Megoldások
. (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.
159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.
Komputer algebra programok alkalmazása a differenciál- és integrálszámítás egyes fejezeteiben
Europan Virtual Laboratory of Mathmatics Projct No. 006 - SK/06/B/F/PP - 6 Európai Virtuális Matmatikai Laboratórium Körtsi Pétr & Emilya Vlikova Komputr algbra programok alkalmazása a diffrnciál- és intgrálszámítás
1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Döts l, hogy fáll mid A és B halmaz sté a A B) \ B A összfüggés! Ha m, adjo szükségs és légségs fltétlt arra, hogy mikor áll f! A B) \ B A iff A
6. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS. Írjuk fel a következő függvények primitív függvényeit ( ): 6.1. f: f ( x) = f: f ( x) = 4x f: f x x x.
5 6 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Írjuk fl a kövtkző függvényk primitív függvényit (6-67): 6 f: f ( ) = 6 f: f ( ) = 6 f: + f, R 6 f: f ( ) = 65 f: f ( ) = + 66 f: 67 f: f 68 f: f 69 f: 6 f: f +, R, R + f f +, R 6
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
A szelepre ható érintkezési erő meghatározása
A szlpr ható érintkzési rő mghatározása Az [ 1 ] műbn az alábbi fladatot találtuk. A fladat: Adott az ábra szrinti szlpmlő szrkzt. Az a xcntricitással szrlt R sugarú bütyök / körtárcsa ω 1 állandó szögsbsséggl
Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
Másodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 1. A differenciálhányados fogalma
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS A dirnciálhánados oalma Példa: Ln adva a koordinátarndszrbn üvén raikonja (örbéj) és vizsáljuk, ho adott pontjához hoan lhtn érintőt húzni Mivl adott ( ( )) ponton át ismrt mrdkséű
Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai
Országos Szilárd Ló fizikavrsny fladatai I katgória döntő, 5 április 9 Paks A fladatok mgoldásáoz 8 prc áll rndlkzésr Mindn sgédszköz asználató Mindn fladatot külön lapra írjon, s mindn lapon lgyn rajta
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az függvény x = 1 abszcisszájú pontjába
Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
I. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
KOD: B377137. 0, egyébként
KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,
A művészeti galéria probléma
A műészti galéria probléma A műészti galéria probléma (art galry problm): A műészti galéria mgfigylés kamrákkal / őrökkl. Hálózattrzés Alapjai 2007 8: Műészti Galéria Probléma Őrzési / Mgilágítási problémák
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria A szürkíttt háttrű fladatrészk nm tartoznak az érinttt témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrészk mgoldásához!
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
A SZÁMVITELI TÖRVÉNY SZERINTI ÉVES, EGYSZERŰSÍTETT ÉVES BESZÁMOLÓT KÉSZÍTŐ SZERVEZETEK KÖZHASZNÚ MÉRLEGE 2 0 1 1 É V
1 9 2 0 6 5 6 5 9 4 9 9 5 2 9 1 5 Az gyéb szrvzt mgnvzés : Az gyéb szrvzt cím : KÉSZÍTŐ SZERVEZETEK KÖZHASZNÚ MÉRLEGE a 1. Eszközök ( aktivák ) A. Bfktttt szközök ( 2.+3.+4. sor ) b c adatok E Ftban d
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Hatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
Inverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék
Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn (MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára 0. októbr
Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
Egyváltozós függvények differenciálszámítása
Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
Nagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
![Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.](/thumbs/102/154127337.jpg "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.")
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Feladatok megoldással
Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A
6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
II. rész. Valós függvények
II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +
Koordinátageometria. 3 B 1; Írja fel az AB szakasz felezőpontjának 2 ( ) = vektorok. Adja meg a b vektort a
1) Adott két pont: 1 A 4; és 2 3 B 1; Írja fl az AB szakasz flzőpontjának 2 2) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a B ( 3;5) pont. írja fl a kör gynltét! 3) Írja fl a ( 2;7 ) ponton átmnő, ( 5;8)
Elemi függvények, függvénytranszformációk
Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV
Lap: 1/145 AZ INCZÉDY GYÖRGY KÖZÉPISKOLA, SZAKISKOLA ÉS KOLLÉGIUM MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI E AZ MSZ EN ISO 9001 SZABVÁNY ALAPJÁN, ILLETVE MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA A KÖZOK-TATÁSI TÖR- VÉNY (1993. ÉVI LXXIX.)
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
MATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális!
. gyakorlat Visszacsatolt művltirősítők.) Példa b (s) 6 ; r/s, Mr/s kω, 9 kω, kω, ( s )( s ) Kérdésk: /b?, ha a ME ális! Mkkora lgyn érték ahhoz, hogy az /b rősítés maximális lapos lgyn ( ξ ). Mkkora a
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Számok tízezerig. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint
Számok tízzrig 1. Vásároltatok olyan holmit tanévkzdésr, ami több mint -ba krült? Mnnyi volt az érték? Mondd l! 2. Írd a számgyns mgfllő pontjához, amnnyi forintot fölött látsz! Hasonlítsd össz az gymás
MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket
2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
ELOSZLÁS, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY
ELOSZLÁS, ELOSZLÁSÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGÜGGVÉNY AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY Egy célábla sugara cm, a valószínűségi válozó jlns az, hogy milyn ávol lőünk a célábla középponjáól. Tgyük öl, hogy a céláblá bizosan laláljuk.
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata
Mágnss anyagok lktronmikroszkópos vizsgálata 1. Transzmissziós lktronmikroszkóp 1.1. A mágnss kontraszt rdt a TEM-bn Az lktronmikroszkópban 100-200 kv-os (stlg 1 MV-os) gyorsítófszültséggl gyorsított lktronok
Analízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,