A szelepre ható érintkezési erő meghatározása

Átírás

1 A szlpr ható érintkzési rő mghatározása Az [ 1 ] műbn az alábbi fladatot találtuk. A fladat: Adott az ábra szrinti szlpmlő szrkzt. Az a xcntricitással szrlt R sugarú bütyök / körtárcsa ω 1 állandó szögsbsséggl forog az A csaptngly körül. A szlpt gy k mrvségű rugó szorítja nki a bütyöknk. A rugó rdti hossza: l. A rugó flső támaszkodó lapja az A csaptól L állandó távolságra van. Határozzuk mg a bütyök és a szlp között fllépő rő kifjzését, a súrlódást lhanyagolva! A mgoldás: Először is vgyük észr, hogy a fladatra mgadott Válasz sajtóhibát tartalmaz: az utolsó tagban ~ a zárójl nm ltt bzárva, ~ nm azonos dimnziójú mnnyiségk összadása szrpl. Ezk szrint a fladat: a javított válasz lőállítása.

2 Minthogy gy korábbi dolgozatunkban mlynk cím: Néhány alapfladat az xcntr / bütykös mchanizmus lméltéből már foglal - koztunk hasonló fladattal, zért az ottani jlöléskt itt is alkalmazzuk. A részltzéshz tkintsük az 1. ábrát! Az lső gomtriai kapcsolat: L Y = l, 1. ábra = Y L l. ( 1 ) ( 1 ) - ből adódik, hogy = Y = Y = L l. ( ) Most ( 1 ) és ( ) - vl: = Y Y. ( 3 ) A második gomtriai kapcsolat: Y = R + sin. ( 4 ) Minthogy R és állandók, így ( 4 ) - ből: Y = R + sin. ( 5 ) Majd ( ) és ( 5 ) - tl: L l = R + sin,

3 3 L l R L l R sin arcsin. = = ( 6 ) Ezután ( 3 ), ( 4 ) és ( 5 ) - tl: = Y Y = R + sin R + sin = sin sin, thát: = sin sin. ( 7 ) Most állítsuk fl a rndszr mozgásgynltét! Az rdő rő kifjzésivl: R = m Y, m Y = m g k + N. R = m g k + N, Majd ( 4 ) - t az idő szrint kétszr driválva: Y = R + sin, d Y = cos = ω cos, dt Y = ω sin. Ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cl: ω = + m sin m g k N, ( 8 ) ( 9 ) N = m g + k m ω sin. ( 1 ) Most ( 7 ) és ( 1 ) - zl: N = m g + k sin sin m ω sin. ( 11 ) Rndzv, ( 6 ) - tal is: N = m g m ω sin + k sin sin = = m g m ω sin + k sin = m g m sin k sin R l L, L l R = ω thát: N = m g m ω sin + k sin + R + l L. ( 1 )

4 4 Majd figylmb vév, hogy az időszámítás kzdtén az lfordulási szög thát az AO szakasznak a +X tngllyl bzárt irányszög zérus, így ω = konst. miatt: (t) = ω t. ( 13 ) Ezután ( 1 ) és ( 13 ) - mal: N(t) = m g m ω sin ( ω t) + k sin ( ω t ) + R + l L. ( 14 ) Átrndzv a bvztésbn láthatóhoz hasonló alakra: ( 15 ) N(t) = m g m ω sin ω t + k l L + R + sin ω t. A szlpmozgatás, azaz a bütyök és a szlp rős érintkzésénk fltétl: > ; ( 16 ) most ( 7 ) és ( 16 ) - tal: = sin sin >, sin > sin. ( 17 ) Ennk lmzéséhz tkintsük a. ábrát is!. ábra Erről közvtlnül lolvasható, hogy a szlpmozgatás ( zöld ) szögtartománya gy bütyök - körülfordulás stén, ( 6 ) - tal is: < < π, L l R = arcsin. ( 18 ) Most ( 13 ) és ( 18 ) szrint: ω t < ω t < π ω t,

5 5 π t < t < t, ω ahol ω 1 L l R ω t = = arcsin. ( 19 / 1 ) ( 19 / ) Összfoglalva: ( 15 ) és ( 19 ) szrint a szlpr ható érintkzési rő időfüggvény a bütyök gy körülfordulása folyamán: 1 L l R 1 L l R arcsin < t < π arcsin. ω ω N(t) = m g m ω sin ω t + k l L + R + sin ω t, ( ) Ezzl a fladatot mgoldottuk: ~ kiküszöböltük a sajtóhibákat ( / 1 ), valamint ~ kigészítttük a Válasz - t ( / ). Mgjgyzésk: M1. Az 1. ábrával kapcsolatban: itt alkalmaztuk a G súlyrő, a K rugórő és az N érintkzési nyomórő - jlöléskt, ahol az rő - nagyságokra ismrt, hogy G = m g, K = k. ( 1 ) M. A ( 6 ) képltből kiolvasható, hogy ~ R = L l, > = ; ( ) ~ R = L l, = = ( 3 ) határozatlan kifjzés: kkor ugyanis nincs szlpmlés. M3. Most tkintsük az π = sin = 1 ( 4 ) stt! Ekkor ( 6 ) és ( 4 ) szrint: L l R = 1 = R ( L l) >, ( 5 )

6 6 amikor is gyakorlatilag a bütyök a tljs körülfordulás alatt dolgozik. Ugyanis kkor ( 7 ) és ( 4 ) - gyl is: = sin sin = sin ( 1) = 1 + sin. ( 6 ) Azonos átalakításokkal: 1+ sin = 1+ sin = 1+ sin cos = sin + cos + sin cos = thát: = sin + cos, 1+ sin. ( 7 ) ( 6 ) és ( 7 ) - tl kkor:,, bármly - ra. > Itt a = st lőáll, ha a fntik szrint: ( 8 ) 3 1+ sin = sin = 1 = π. ( 9 ) 3. ábra

7 7 A 3. ábrán az M. és M3. alapstkt szmlélttjük. M4. Látjuk, hogy a szrkzt működés szmpontjából döntő fontosságú az szög - érték. Ha =, illtv = π, akkor a bütyök még, illtv már nm fjt ki rőt a szlpr, az érintkzés határhlyztébn. Az M3. stbn miatt gy körülfordu - lás alatt z a hlyzt az = π ( π / ) = 3 π / - nél áll lő, ahogyan azt ( 9 ) is mutatja. M5. Nm lénygtln, hogy a rugó össznyomhatósága végs; bből adódhat gy ( 3 ) max mg típusú korlátozás. Most ( 7 ) - ből: = 1 sin, ( 31) max majd például l mg =, n > 1. n Ezután ( 3 ), ( 31 ) és ( 3 ) - vl gy l ( 1 sin ), n > 1 n ( 3 ) ( 33 ) alakú korlátozó kapcsolatra juthatunk. Ezt itt most nm folytatjuk, bár stlg még több más, a gomtriai adatokra vonatkozó, mgkötést jlntő fltétl is szóba jöht. M6. Javasoljuk, hogy az Olvasó készíts l a = (t), N = N(t) grafikonokat, gy konkrét példa stér! Irodalom: [ 1 ] Sződligt, 1. május 31. Összállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár