MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria A szürkíttt háttrű fladatrészk nm tartoznak az érinttt témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrészk mgoldásához! 1) Adott két pont: 1 A 4; és 2 3 B 1; Írja fl az AB szakasz flzőpontjának 2 2) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a B 3;5 pont. írja fl a kör gynltét! 3) Írja fl a 2;7 ponton átmnő, 5;8 4) Adottak az a 6;4 és az a b11;5 koordinátával! 5) Az ABC háromszög két oldalának vktora AB c és AC b. Fjzz ki zk sgítségévl az A csúcsból a szmközti oldal F flzőpontjába mutató AF vktort! n normálvktorú gyns gynltét! vktorok. Adja mg a b vktort a 6) Egy négyzt oldalgynsi a koordinátatnglyk és az x 1, valamint az y 1 gynltű gynsk. a) Ábrázolja drékszögű koordinátarndszrbn a négyztt, és adja mg csúcsainak b) Írja fl a négyzt köré írható kör gynltét! c) Állapítsa mg, hogy a négyzt krült hány százaléka a kör krülténk? d) Az y 4x 2 gynltű gyns a négyztt két részr bontja. Számítsa ki részk trülténk arányát! (8 pont) 7) Írja fl annak az gynsnk az gynltét, amly átmgy a P 3;5 ponton és párhuzamos a 4x 5y 0 gynltű gynssl! 8) Egy rombusz átlóinak hossza 12 és 20. Számítsa ki az átlóvktorok skalárszorzatát! Válaszát indokolja!

2 9) a) Ábrázolja koordináta-rndszrbn az gynst, mlynk gynlt 4x 3y 11. Számítással dönts l, hogy a 100; 36 P pont rajta van- az gynsn! Az gynsn lvő Q pont ordinátája (második koordinátája) 107. Számítsa ki a Q pont abszcisszáját (lső koordinátáját)! 5;3 B 1; 5. b) Írja fl az AB átmérőjű kör gynltét, ahol A és Számítással dönts l, hogy az S 1;3 pont rajta van- a körön! (7 pont) c) Adja mg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, hogy az S 1;3 pont a háromszög súlypontja! 10) Fjzz ki az i és a j vktorok sgítségévl a c 2a b és vktort, ha a 3 i 2 j b 5j! 11) Az ABCD négyzt középpontja K, az AB oldal flzőpontja F. Lgyn a KA és b KB. Fjzz ki az a és b vktorok sgítségévl a KF vktort! 12) Adott a koordináta-rndszrbn az 9; 8 A középpontú, 10 gység sugarú kör. a) Számítsa ki az y 16 gynltű gyns és a kör közös pontjainak (8 pont) P 1; 2 pontjában húzható érintőjénk gynltét! Adja mg b) Írja fl a kör nnk az érintőnk az iránytangnsét (mrdkségét)! 13) Az A 7;12 pontot gy r vktorral ltolva a 5;8 az r vktor B pontot kapjuk. Adja mg 14) Jlölj X-szl a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül mlyikk adják mg a 300 -os irányszögű gységvktor koordinátáit és mlyikk nm! 1 3 ; 3 1 ; 1 3 ; sin30 ; cos 30 IGEN NEM 15) Számítsa ki a kövtkző vktorok skaláris szorzatát! Határozza mg a két vktor által bzárt szögt! a5;8 b 40;25

3 16) Adott az x y 6x 8y 56 0 gynltű kör és az x 8,4 0 gynltű gyns. a) Számítsa ki a kör és az gyns közös pontjainak b) Mkkora távolságra van a kör középpontja az gynstől? Egy 9 cm sugarú kört gy gyns két körívr bont. Az gyns a kör középpontjától 5,4 cm távolságban halad. c) Számítsa ki a hosszabb körív hosszát! (A választ gy tizdsjgyr krkítv adja mg!) 17) Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái: A 0;0, B 2;4, 4;5 C. a) Írja fl az AB oldal gynsénk gynltét! b) Számítsa ki az ABC háromszög lgnagyobb szögét! A választ tizd fokra krkítv adja mg! (7 pont) c) Számítsa ki az ABC háromszög trültét! 18) Három gyns gynlt a kövtkző (a és b valós számokat jlölnk): : y 2x 3 f : y ax 1 g : y bx 4 Milyn számot írjunk az a hlyér, hogy az és f gynsk párhuzamosak lgynk? Mlyik számot jlöli b, ha a g gyns mrőlgs az gynsr? 19) Egy kör az 1;0 és 7;0 pontokban mtszi az x tnglyt. Tudjuk, hogy a kör középpontja az y x gynltű gynsr illszkdik. Írja fl a kör középpontjának Válaszát indokolja! 20) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A 3;2, B 3;2 és 0;0 C. a) Számítsa ki az ABC háromszög szögit! b) Írja fl az ABC háromszög körülírt körénk gynltét! (7 pont) 21) Adott két gyns: : 5x 2y 14,5, f : 2x 5y 14,5. a) Határozza mg a két gyns P mtszéspontjának b) Igazolja, hogy az és az f gynsk gymásra mrőlgsk! c) Számítsa ki az gyns x tngllyl bzárt szögét! 22) Írja fl annak az gynsnk az gynltét, amlyik párhuzamos a 2x y 5 P 3; 2 ponton! Válaszát indokolja! 23) Adja mg az x y gynltű f gynssl és áthalad a 2 9 gynltű kör K középpontjának koordinátáit és sugarának hosszát! 24) Adja mg a 2 x y 4 gynltű gyns és az x tngly M mtszéspontjának a koordinátáit, valamint az gyns mrdkségét! 6; 1 6; 6 R 2;5. 25) A PQR háromszög csúcsai: P, Q és a) Írja fl a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal gynsénk gynltét! b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő blső szögénk nagyságát!(7 pont)

4 26) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A( 2; 1), B(9; 3) és C( 3; 6). a) Írja fl a BC oldal gynsénk gynltét! b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! c) Számítsa ki a háromszögbn a C csúcsnál lévő blső szög nagyságát! 27) Tkintsük a koordinátarndszrbn adott A6;9, B 5;4 és C 2;1 pontokat! a) Mkkora az AC szakasz hossza? b) Írja fl az AB oldalgyns gynltét! c) Igazolja (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál drékszög van! d) Írja fl az ABC háromszög körülírt körénk gynltét! 28) Adottak az a 4;3 és 2;1 b vktorok. a) Adja mg az a hosszát! b) Számítsa ki az a b 29) Adott a síkon az x y 2x 2y 47 0 gynltű kör. a) Állapítsa mg, hogy az A(7;7) pont illszkdik- a körr! b) Határozza mg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! c) Lgynk A(7;7) és B (0;0) gy gynlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az x y 2x 2y 47 0 gynltű körön. Számítsa ki a C csúcs (10 pont) 30) Adott a koordináta-rndszrbn két pont: A 1; 3 és 7; 1 B. a) Írja fl az A és B pontokra illszkdő gyns gynltét! b) Számítással igazolja, hogy az A és a B pont is illszkdik az x y 6x 2y 10 gynltű k körr, és számítsa ki az AB húr hosszát! Az f gynsről tudjuk, hogy illszkdik az A pontra és mrőlgs az AB szakaszra. c) Számítsa ki a k kör és az f gyns (A-tól különböző) mtszéspontjának (9 pont) 31) Adott az A 5;2 és a 3; 2 B pont. a) Számítással igazolja, hogy az A és B pontok illszkdnk az x 2y 1 gynltű gynsr! b) Írja fl az AB átmérőjű kör gynltét! c) Írja fl annak az f gynsnk az gynltét, amly az AB átmérőjű kört a B pontban érinti! 1; 3 ponton, és gyik normálvktora a 8;1 vktor! (2pont) 32) Írja fl annak az gynsnk az gynltét, amly áthalad az

5 33) Egy kör érinti az y tnglyt. A kör középpontja a K 2;3 pont. Adja mg a kör sugarát, és írja fl az gynltét! 34) Egy kör gynlt x y koordinátáit és a kör átmérőjénk hosszát! Adja mg a kör középpontjának 35) Az ábrán látható kocka A csúcsából kiinduló élvktorai AB p ; AD q és AE r. Fjzz ki p, q, és r sgítségévl a GC, az AG és az FH vktorokat! 36) Az AB és AC vktorok 120 -os szögt zárnak b gymással, és mindkét vktor hossza 5 gység. a) Számítsa ki az AB AC vktor hosszát! b) Számítsa ki az AB AC vktor hosszát! A PRST rombusz középpontja a K( 4; 3) pont, gyik csúcspontja a T( 71 ; ) pont. Tudjuk, hogy az RT átló hossza fl a PS átló hosszának. c) Adja mg a P ; az R és az S csúcsok (10 pont) 37) a) Az ABC háromszög két csúcsa A( 3; 1) és B( 37 ; ), súlypontja az origó. Határozza mg a C csúcs b) Írja fl a hozzárndlési utasítását annak a lináris függvénynk, amly 3 -hoz 1-t és 3 -hoz 7 -t rndl! (A hozzárndlési utasítást x ax b alakban adja mg!) c) Adott az A( 3; 1) és a B( 37 ; ) pont. Számítsa ki, hogy az x tngly mlyik pontjából látható drékszögbn az AB szakasz! (9 pont)