5. modul: Szilárdságtani Állapotok lecke: A feszültségi állapot

Átírás

1 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék: Ö akkor sajátította l mgfllő a taaagot, ha mg tudja határoi a fsültségi állapot fogalmait, mg tudja határoi a fsültségvktor, potbli fsültségi állapot, lmi kört fogalmát, fl tudja soroli a fsültségvktor össtvőit, fl tudja íri a fsültségvktor koordiátáit, fl tudja íri a fsültségi tort, ábráoli tudja a fsültségvktorokat a lmi kocká, fsültségi torból lő tudja állítai a más iráokho tartoó fsültségkoordiátákat, mg tudja határoi a fsültségi főtgl és a főfsültség dfiícióját, fl tudja íri a főiráok koordiáta-rdsréb a fsültségi tort, ábráoli tudja a főiráok koordiáta-rdsréb a,, 3 fsültségkt, mg tudja oldai a főtglproblémát, mg tudja határoi a főfsültségkt, mg tudja határoi a fsültségi főiráokat, ki tudja sámítai g potba a fsültségvktorokat, ábráoli tudja a pot fsültségi állapotát a lmi kocká, ki tudja sámítai a fsültségkoordiátákat Idősükséglt: A taaag lsajátításáho körülblül 55 prcr ls sükség Kulcsfogalmak: fsültségvktor, sűrűségvktor, potbli fsültségi állapot, lmi kört fsültségi állapota, fsültségvktor össtvői, fsültségvktor koordiátái, jobbsodratú dréksögű koordiáta-rdsr ormál fsültségvktor, csústató fsültségvktor, ormál fsültségi koordiáta, csústató fsültségi koordiáta, ascal, fsültségi tor, homogé, liáris függvé, simmtrikus tor fsültségi főtglk, főfsültségk, főtglprobléma, sajátérték fladat, liáris algbrai gltrdsr, mtriviális (m ulla) mgoldás, dtrmiás, ivariás A fsültségi állapot Tvékség: Olvassa l a bkdést! Gűjts ki, majd taulja mg a fsültségi állapotho tartoó alapfogalmakat! Rajolja fl a fsültségvktor össtvőit!

2 a) A fsültségvktor: a tst g mtstflülté mgosló blső rőrdsr sűrűségvktora (ititásvktora) Jlölés: ( r, ) r - aak potak hlvktora, aml a mtstflült va, - a poto átmő mtstflültk a tstből kiflé mutató ormális gségvktora b) otbli fsültségi állapot (lmi kört fsültségi állapota): A adott potra illskdő össs lmi flült fllépő fsültségvktorok össsség (halmaa) Ha rögíttt:, tulajdosága: A fsültségvktor össtvői, koordiátái: m a lmi flült ormális gségvktora, da l, m a lmi flült síkjába ső, m gmásra mrőlgs l gségvktorok l A l, m, gségvktorok jobbsodratú dréksögű koordiáta-rdsrt alkotak Tvékség: Olvassa l a bkdést! Gűjts ki, majd taulja mg a fsültségvktor össtvőit! Írja fl a fsültségvktor koordiátáit! Taulja mg a fsültség mértékgségét! A fsültségvktor össtvői (vktorok): - a ormál fsültségvktor: ( ) - a csústató fsültségvktor: A fsültségvktor koordiátái (skalárok): - a ormál fsültségi koordiáta: - a csústató fsültségi koordiáták: m m m l l l Mértékgség: SI alap mértékgség: N/m a (ascal, kijtés paskál) A méröki gakorlatba sokásos mértékgség: N/mm MN/m Ma

3 Tvékség: Olvassa l a bkdést! Írja fl a fsültségi tort! Írja fl a fsültségvktorok koordiátáit! Ábráolja a fsültségvktorokat g lmi kocká! A fsültségi tor: A pot lmi körték fsültségi állapotát a fsültségi tor jllmi gértlmű A fsültségvktor a homogé, liáris függvé tor - Diadikus lőállítás: F F - Mátrios lőállítás: - simmtrikus tor A fsültségi tor oslopai a,, koordiátáit tartalmaák l - a ormálisú lmi flült ébrdő fsültségvktor - a ormálisú síko fllépő ormálfsültség, - a ormálisú síko fllépő iráú csústató fsültség Simmtria:,, fsültség vktorok A F fsültségi tor hat gmástól függtl skaláris miséggl adható mg A,, ormálisú flült fllépő fsültségvktorok koordiátái: F, F, F A fsültségi állapot smlélttés: A,, fsültségvktorok koordiátáit ábráoljuk a potbli, három gmásra mrőlgs síko (a pot körtéből kiragadott lmi kocka látható oldallapjai)

4 Tvékség: Olvassa l a bkdést! A fsültségi tor alapjá írja fl a más iráokho tartoó fsültségkoordiátákat! Taulja mg a fsültségi főtglk, főfsültségk dfiícióját! Más iráokho tartoó fsültségkoordiáták lőállítása a fsültségi torból: F, F, m m m F F m c) Fsültségi főtglk, főfsültségk: Dfiíció: Ha a gségvktorra mrőlgs lmi flült, aa,akkor a fsültségi főirá (főtgl), főfsültség, a -r mrőlgs lmi flült főfsültségi sík Mgjgés:- Mid potba létik lgalább három főirá, amlk gmásra kölcsöös mrőlgsk lht érus is: - Tvékség: Olvassa l a bkdést! Írja fl a főiráok koordiáta-rdsréb a fsültségi tort! Vss l a főtglproblémát! Fsültségi tor a főiráok koordiáta-rdsréb F,, Mgállapodás a jlölésr és sorsámoásra: 3 Főtglprobléma (sajátérték fladat): Fladat: aokak a főiráokak és főfsültségkk a mghatároása, amlk lgt tsk a dfiícióba mgadott fltétlkk A főtglprobléma (sajátérték fladat) aoos módo írható fl a fsültségi és a alakváltoási állapotra,, F I, A I, F I A I

5 A fti gltkb: I - gségtor (idmtor) - főúlás, - főfsültség, - fsültségi / alakváltoási főirá E midkét stb g homogé liáris algbrai gltrdsr a vktor,, skaláris koordiátáira A mátriokat réslts kiírva:, Mgjgés: - Midig va lgalább három főirá, amlk kölcsöös mrőlgsk gmásra - A főfsültség / főúlás ulla is lht A liáris algbrai gltrdsr mtriviális (m ulla) mgoldásáak fltétl a, hog a liáris algbrai gltrdsr güttható mátriáak lmiből álló dtrmiásak ulláak kll li: dt F I, dt A I Réslts kiírva: dt, dt A mgoldás további lépésit csak a fsültségi állapotra mutatjuk b A dtrmiást kifjtv kapjuk a karaktristikus gltt: 3 F F F I II III A karaktristikus glt g harmadfokú algbrai glt a főfsültségkr

6 A főfsültségk mghatároása: Karaktristikus glt mgoldásai: a 3 főfsültségk A karaktristikus glt gütthatói a fsültségi tor skaláris ivariásai: F - a fsültségi tor lső skaláris ivariása, F F I 3 II a második skalár ivariás, - a fsültségi tor harmadik skalár ivariása III 3 Ivariás: koordiáta trasformációval smb álladó (koordiáta-rdsr válastásától függtlül ugaa a érték) A fsültségi főiráok mghatároása: Vissahlttsítés a liáris algbrai gltrdsrb:,,,,,,,, főirá főirá 3 főirá A,, 3 főfsültségkt a liáris algbrai gltrdsrb külö-külö bhlttsítv, at tapastaljuk, hog a gltk m függtlk gmástól (a három köül g glt a másik kttő liáris kombiációja ls) Eért a mgoldást úg kapjuk, hog a ismrtl i, i, i (i=,, 3) koordiáták köül gt ismrtk tkitük és a másik kttőt pdig a két függtl gltből a ismrtk tkittt koordiáta függvééb mghatárouk A ismrtk tkittt koordiáta végül abból a fltétlből sámítható, hog a gségvktor: Tvékség: Taulmáoa a gakorló fladatokat! Oldja mg öállóa is a gakorló fladatokat! Gakorló fladat: pot lmi körték fsültségi állapota Adott: a potba a F fsültségi tor és három, gmásra kölcsöös mrőlgs irá 5 4 F 8 3 Ma, 4 3, m m l, m l m l l Fladat: a) A potba a,, fsültségvktorok mghatároása b) A potbli fsültségi állapot smlélttés a lmi kocká c) A potba a fsültségvktor és a m l fsültség koordiáták mghatároása

7 Kidolgoás: a) A potba a,, fsültségvktorok mghatároása: [ ] F [ ] 8 3 Ma, (5 4 ) Ma 5 4 [ ] F [ ] Ma, ( 8 3 )Ma 5 Ma Ma [ ] F [ ] Ma, 4 3 ( 4 3 )Ma 4 Ma 3 b) fsültségi állapot smlélttés a lmi kocká: A lmi kocka ormálisú lapjára a koordiátáit, a ormálisú lapra a koordiátáit, a ormálisú lapra pdig a koordiátáit rajoljuk fl c) A potba a fsültségvktor és a m l fsültség koordiáták mghatároása: 5 4 / 3 5 / 3 4 / 3 8 / 3 / 3 [ ] [ F ] [ ] 8 3 / 3 / 3 6 / 3 6 / 3 8 Ma, 4 3 / 3 4 / 3 6 / 3 4 / 3 / 3 / 3 8 / Ma, / 3 / 3 l l 8 / Ma, / 3 / 3 m m 8 / Ma /

8 Gakorló fladat: pot lmi körték fsültségi állapota Adott: m 6Ma, 6Ma, 6Ma,, m, 85Ma, m 5Ma Fladat: a) A ormál fsültség és a csústató fsültség mghatároása b) A csústató fsültség mghatároása Kidolgoás: a) A ormál fsültség, és a csústató fsültség mghatároása: 6 6 A fsültségi tor a ismrt és ismrtl koordiátákkal: F Ma 6 6 A gltk, amiből a ismrtlk mghatárohatók:, m m Résltsámítások a lső glt flírásáho: F, Résltsámítások a második glt flírásáho: m m A mgoldadó gltrdsr és mgoldása: Ma 4 Ma 3 5 A fsültségi tor mátria: F 4 3 Ma b) A csústató fsültség mghatároása: 6 6

9 Ma 3 Gakorló fladat: A potba a főfsültségk és a fsültségi főiráok mghatároása Adott: F 3 4 Ma 4 9 Fladat: A potbli főfsültségk és fsültségi főiráok mghatároása Kidolgoás: Sajátérték fladat: F I ( F I) Liáris algbrai gltrdsr: ( ), (3 ) 4, 4 (9 ) A mtriviális mgoldás fltétl karaktristikus glt: dt F I Résltv: ( ) (3 )(9 ) 4 A karaktristikus glt mgoldása: 3 Ma Ehh a gökhö tartoó fsültségi főirá: 3 A karaktristikus glt további göki: (3 )(9 ) , Ma, Ma A fsültségi főiráok mghatároása a főfsültségkt vissahlttsítjük a liáris algbrai gltrdsrb főirá: főirá: 3 ( ) ( ) 5 5 A gltrdsr mgoldása:, 5 5 ( ) 5