12. Kétváltozós függvények

Átírás

1 . Kétváltoós üggvénk Értlmés: a = képlt g kétváltoós üggvént ad mg ha a sík bárml pontjáho és üggtln váltoók a üggő váltoó lgljbb g érték tartoik. Ha g sm akkor a üggvén nm értlmtt abban a pontban ha g akkor értlmtt. A kétváltoós üggvén graikonja g lült a -dimniós térbn értlmési tartomána pdig g kétdimniós halma pl. g vag több síkidom a -síkban a lült vtült a síkra. Példa. A origó köéppontú gségsugarú gömb lült a + + = gnlttl adható mg; nm g üggvén graikonja mrt bionos pontokho kétél is tartoik uganis -r mgoldva két mgoldás is létht:. Ha csak a poitív mgoldást vssük a a lső gség-élgömb gnltét adja és a már üggvént diniál:. Ennk a üggvénnk a értlmési tartomána: vagis a origó köéppontú gségsugarú árt körlm a -síkban t úg ábráoljuk hog bsatírouk. Ábráolás: síkmtstk sintvonalak. Mivl -dimniós graikont nm tudunk késítni a kétváltoós üggvénk réslgs ábráolásáho -dimniós síkmtstkt hasnálunk ahol lrögítjük a gik váltoó értékét és mlltt a maradék két váltoó össüggés már ábráolható a síkban. Ha pl. a üggtln váltoó értékét g adott állandó értékr rögítjük a mgll = lült és a -tnglr mrőlgs = sík mtsésénk a kapott = gváltoós üggvén csak -tól ügg mrt állandó ábráolható a síkon a graikonra odaírjuk hog =. Ha g -tnglr mrőlgs = síkkal mtsünk a sintén gváltoós = üggvént kapjuk ahol a üggtln váltoó ml a síkon ábráolható. Ha a üggő váltoó értékét rögítjük g adott állandó értékr a a = lült és a üggőlgs -tnglr mrőlgs = vísints sík mtsésénk ll mg a kapott = gnlt g kétváltoós rláció graikonja a síkon ábráolható; nm kll hog üggvén graikonja lgn bár lht. A üggő váltoó rögítésévl nrt síkmtstkt sintvonalaknak nvük a graikonra ráírjuk a sintvonal magasságát =. Mgjgés: a sintvonalak a síkon mindig a értlmési tartománon blül vag a határán haladnak! Példa. a -síkmtst Maradva a lső gségélgömb-üggvén példájánál a üggvén = = 6 síkkal való mtsés pl. a 6; 6 8 gváltoós üggvént adja aml g origó köéppontú 8 sugarú lső élkör a síkon.

2 b -síkmtst=sintvonal A = = 8 vísints síkmtsth tartoó sintvonal gnlt: 8 mlt négtr mlv és átrndv: 6 adódik pdig g origó köéppontú 6 sugarú tljs körvonal ls a síkon nm g üggvén graikonja!. Hasonlóképpn könnn blátható hog a = értékkh rndr a kövtkő sintvonalak tartonak: = : ürs halma = : origó köéppontú gségkör = : origó gtln pont sugarú kör = : ürs halma. Parciális driváltak sélsőértékk Parciális driválás: pl. srint úg driválunk parciálisan hog a ismrt gváltoós driválási sabálokat alkalmauk d a többi üggtln váltoót pl. -t konstansként kljük a driválási sabálok alkalmaása során. = lső parciális drivált üggvénink jlölési: srinti: srinti:. Második parciális driváltak. Mivl lső parciális driváltjai maguk is kétváltoós üggvénk még ha nm is üggnk plicit valamlik üggtln váltoótól ért újból parciálisan dirnciálva őkt kapjuk második parciális drivált üggvénit: Mgjgés: ha a második driváltak mind oltonosak akkor a vgs második parciális driváltak és indűk gnlők vagis lcsrélhtő a és srinti driválás sorrndj. Tétl hli sélsőérték sükségs ltétl. Ha a üggvén parciálisan dirnciálható a pont g körntébn és -ban hli sélsőérték van akkor sükségképpn és. Vagis a gváltoós sth hasonlóan a lhtségs sélsőértékkt úg krssük hog a üggvén driváltjait nullával tssük gnlővé; d itt két gnltünk és két ismrtlnünk van. Tétl hli sélsőérték légségs ltétl. Tgük l hog a üggvén kétsr parciálisan dirnciálható a pont g körntébn és össs második parciális driváltja oltonos a pontban. Ha pontban tljsül a és akkor ott a üggvénnk hli sélsőérték van mégpdig stén minimum stén maimum. Ha a második driváltakra vonatkoó gnlőtlnség ordítottja tljsül > hltt < akkor -ban nincs sélsőérték.

3 Példa. Maradjunk a lső gségélgömb-üggvén példájánál: vagis = a gtln lhtségs lokális sélsőérték-hl. A második driváltak: = ha = = ha = = ha = A = pontra tljsül a sélsőérték létésér vonatkoó lgndő ltétl mrt és miatt maimumhl a kupola csúcspontja.. FELADAT ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY ÉS SZINTVONALAK Határoa mg és ábráolja a kétváltoós üggvén értlmési tartománát és a = magasságokho tartoó sintvonalakat! a b c d g h i j cos k l sin m n* o* p q* 4 4 r* cos π s* π sin. FELADAT PARCIÁLIS DERIVÁLÁS Adja mg a üggvén lső és második parciális drivált üggvénit! a b c d sin cos cos sin g ctg tg ln h i j k ln l sin m tg n 9

4 sin o ln p lg. FELADAT SZÉLSŐÉRTÉKEK Krss mg a üggvén lhtségs sélsőérték-hlit és ha vannak llnőri a sélsőérték légségs ltétlét ill. sámítsa ki a hli sélsőértékt! a b c d g h i* j sin ln k ctg l tg m ln n ln o Mgoldókulcs. ladat a ÉT={: > és > vag < és < vag = vag =}. és. síkngd plus a tnglk; SV: = : ürs = : = vag = tnglk = : / hiprbolák b ÉT={: > és > vag < és <}. és. síkngd tnglk nélkül; SV: = / /4 gnsk a origó pontját kivév c ÉT={: } alsó élsík plus -tngl; SV: = ordított parabolák d ÉT={: } tljs sík mínus -tngl; SV: = /+ hiprbolák ÉT= tljs sík; SV: = ln :: = : ürs = : = ln gnsk ÉT= ; SV: = + g ÉT={: +} parabola plus a ölött lévő trült; SV: = : ürs : = ++ parabolák h ÉT= ; SV: = : = = : = = : = = : = i ÉT={: } kivév a = parabolát; SV: = ÉT={: } lső élsík plus -tngl; SV: = ürs ktttt parabolák j k π k π k π ürs ÉT={: > } görbéj ölötti trült a görb nélkül; SV: = + l ÉT={: sin > } = {: k +k< <+k > +k< <+k < k }; SV: = sin kivév a -tnglll való mtséspontokat m ÉT={: > } jobb élsík kivév a tnglkt; SV: = : ürs = : = n ln ln ÉT={: > > }. síkngd a tnglkt és a = gnst kivév; SV: = > o ha ÉT={: > } jobb élsík a tnglkt és a = gnst kivév; SV: = / = ürs >: vísints élgnsk a = pontot kivév k

5 p = ÉT= ; SV: = vísints gnsk q = = ha ÉT={: = } csak g gnsn értlmtt íg a graikonja nm valódi lült csak g térgörb a sintvonalak pdig csak pontok; SV: pontok: - r = + ha ÉT={: + = k k } origó köéppontú gés sám sugarú koncntrikus körvonalak a graikon nm valódi lült; SV: = : ürs = : pont = : + = gségkör = : ürs s ÉT=={: }= \{} tljs sík kivév a origót; SV: = : ürs = : = = : = ± = : =. ladat a b c 4 d sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos ln ln ln ln g cos h cos sin sin sin cos i ln ln ln ln j ln ln 4 ln k l cos cos sin cos sin sin m n cos tg cos o ctg sin p ln ln

6 . ladat a nincs krit.hl b min.hl: min.érték: = c krit.hl: nm SÉ-hl d min.hl: min.érték: = 5 ma.hl: ½ ma.érték: = ½ min.hl: ⅓ ⅓ min.érték: = ⅔ g krit.hl: ; 6 nm SÉ-hl h krit.hl: 4 5 nm SÉ-hl i krit.h.: ; 4 nm SÉ-hl; min.hlk: ± min.ért.: = 4 j nincs krit.hl k nincs krit.hl sin cos ln l nincs krit.hl ln m nincs krit.hl n min.hl: ½ min.érték: 4 4 ln o ma.hl: ½ ma.érték: