1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk."

Átírás

1 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Döts l, hogy fáll mid A és B halmaz sté a A B) \ B A összfüggés! Ha m, adjo szükségs és légségs fltétlt arra, hogy mikor áll f! A B) \ B A iff A és B diszjuktak, hisz gyrészt A B) \ B A ha A, akkor / B, másrészt A B A iff A B és B.. Határozza mg az : + t, y t, z t gys vtülték gyltét az S : y + z síkra! ) P S mghatározása: + t t) + t) 4 + 4t t P 5,, ). ) Valamly S-r P S mghatározása: Lgy P ),, ) : + t, y t, z + t + t t) + + t) 4 + 4t t /7 P /76,, ). Ebből már a P P iráyú vtültgys mghatározható: 5 + 6/7 t, y /7 t, z /7 t.. + )? Csdőrlvvl a határérték, mrt : + ) + ). 4. Mily összfüggés va az alábbi két állítás között? a. a ) kovrgs b. a ) kovrgs a ) kovrgs a ) kovrgs, mrt kovrgs hatváyai is azok, d fordítva m igaz, csak ayi, hogy a ) kovrgs a ) kovrgs, például ha a ), akkor a ) kovrgs, d prsz a ) m kovrgs. 5. Lgy f) si. f)? f)? f), mrt csdőrlvvl f) és hlyttsítéssl f/y) si y y, ha y, így f) f/y). y + 6. Flvszi maimumát az f) + + Ig, az + potba, ugyais f ) + + ) + ) f), mrt az /y függvéy a, ) itrvallumo? Ha ig, hol? + ) iff ± és yilvá lflé fordított parabóla) az, + jlöléssl f, ] csökk, [, ] ő, majd [, ) újra csökk, thát, mivl f) gatív a, ) itrvallumo, f) f ) f ) ha, f) f ) ha és f) f ) ha. 7. Va szakadása, és ha ig, mily tipusú, az f) arctg, f) függvéy driváltjáak az origóba? Nics, f folytoos az origóba, hisz f arctg ) arctg hisz arctg korlátos és ugyaz okból ha, akkor f ) arctg + + ) arctg + + így f ), ha, hisz a második tag yilvá midütt folytoos és az origóba d? + d + + d d l + + l l ) l

2 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Bizoyítsa b a Pythagorász tétlt vktoralgbrai szközökkl! Ha a két bfogó a és b az átfogó pdig c, akkor a, b) és a + b c, thát c c c, c) a + b, a + b) a + a, b) + b a + b a + b ? , mrt.. Lgy a ) ttszőlgs sorozat. Az alábbi állítások közül mlyik igaz, mlyik m? Válaszát idokolja! a) Ha a ) mooto és korlátos, akkor mid részsorozata kovrgs. b) Ha a ) mid részsorozata kovrgs, akkor a ) mooto és korlátos. c) Ha a ) mooto és va korlátos részsorozata, akkor kovrgs. d) Ha a ) korlátos és va mooto részsorozata, akkor kovrgs. a) Ig, a mooto és korlátos a kovrgs a mid rászsorozata kovrgs. b) Nm: va m mooto d kovrgs sorozat is, pl. a ) c) Ig: Ha a mooto és va korlátos részsorozata, akkor a korlátos hisz llkző stb va a ak pl. a övkdő sté) hz kovrgáló a f) részsorozata, azaz ttszőlgs P sté va N, hogy mid > N r a f) > P, amiből a mootoitás miatt mid > fn + ) r a > a fn+) > P, vagyis a adódik. d) Nm: két mooto külöböző hatérértékhaz tartó sorozat összfésülés, pl. a ), llpéldát szolgáltat. 4. Ivrtálható- az f) si függvéy a I [/4, /] itrvallumo? Ha ig, gylts folytoos- az ivrz f I? Ig, ivrtálható, mrt kölcsöös gyértlmű függvéyk összttt függvéy is triviálisa kölcsöös gyértlmű és folytoos ivrz is folytoos, így zárt itrvallumo gylts folytoos. 5. Adja mg azt a lgkisbb pozitív gész t ha va ily), mlyr a kövtkző f függvéy driválható az origóba: f) ha és f) ha >., mrt ha >, akkor f jobb és baloldali driváltja mggyzik az origóba, hisz f +) f ), thát kkor f driválható itt, d ha, akkor z m igaz, mrt f +) f ). 6. +? L Hospitallal: ha + vagy: y hlyttsítéssl: mrt L Hospitallal y y y ha y. 7. +? + + l + ) l ) + ) 8. Lgy f) si ha és f). Hol értlmztt és hol driválható a g) ft)dt függvéy? Ha létzik, számítsa ki a a g ) értékét! g midütt létzik és driválható, mrt f midütt folytoos és zért g ) f) mid r, thát g ) f ) si. y + y y

3 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Oldja mg a z 6 z + gyltt a kompl számok köréb! Az gylt yilvá z ) z + z ), azaz z, amiből z és z, ±/ j/.. Lgy az a ) sorozat a kövtkző:,,,,, 4, 5 4, 9 4,, 8, 9 8, 7 8, 5 8, 4, 6, 7 6, 6, 49 6, 65 6, 5,,, 65,... a) Döts l hogy a) kovrgs-! b) Határozza mg a) sűrűsödési értékit! c) if a)? sup a)? Rdzzük a sorozatot az alábbi végtl háromszög alakba:,,, 4, 5 4, 9 4, 8, 9 8, 7 8, 5 8, 6, 7 6, 6, 49 6, 65 6,,, 65,... Ekkor az lső oszlopba gy hoz tartó, a második oszlopba gy hz tartó, és így tovább, az. oszlopba gy hz tartó részsorozat va. Így a m kovrgs, mrt több sűrűsödési érték va, vzts sűrűsödési értéki a trmészts számok, thát if a) sup a).. Mlyk igazak és mlyk hamisak az alábbi állítások közül? a) Mid korlátos sorozatak va mooto részsorozata b) Mid mooto sorozatak va korlátos részsorozata c) Mid korlátos sorozatak va kovrgs részsorozata d) Mid kovrgs sorozatak va korlátos részsorozata a) Igaz, mrt mid sorozatak va mooto részsorozata lásd a Bolzao Wirstrass tétl lső flék csúcsos bizoyítását). b) Nm igaz, pl. a c) Igaz: Bolzao Wirstrass tétl d) Igaz, mrt mid kovrgs sorozat maga is korlátos, így md részsorozata korlátos. 4. 8? ha Döts l, hogy korlátos az f) l + függvéy az I [, ) itrvallumo! Ig: gyrészt f) pozitív I, másrészt L Hospitallal f), így va P >, hogy < f) < mid > P r és az I [, P ] itrvallumo f) folytoossága miatt korlátos. Végül yilvá I bli korlátja és közül a agyobb korlátja lsz I is. 6. Bizoyítsa b, hogy mid > sté < + < +. Lgy f), g) +, h) +. Ekkor f) g) h) és f ) < + ) g ha >. Ez utóbbi gylőtlség azért igaz, mrt g ) h ) és g ) +) < h ) ha >. 7. si d? si d si si d cos + cos t dt? Lgy f) és F ) t dt ft) dt Vagy hasokóa L Hospitallal f folytoossága miatt ft) dt F ) si cos ) d si d si cos d ft) dt. Ekkor F ) és így f folytoossága miatt F ) F ) F ) f). f) f).

4 4. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Mit modhatuk az A és B halmazok viszoyáról, ha A B) A B). A B, ugyais A B) A B) A B { A B}, ami viszot azt jlti, hogy: A B, azaz A B és prsz ugyaígy adódik az is, hogy B A.. Lgyk a ) és b a kövtkző sorozatok: a, b ttszőlgs N sté. Adjuk mg olya c ) és d ) sorozatokat, ha vaak ilyk, hogy c ) sűrűsödési értéki potosa a lmi és d ) sűrűsödési értéki potosa b lmi! c például a kövtkző: +, +, +, +, +, +, k, + k, + k,..., k + k, + k +,... A fltétlk mgfllő d sorozat m létzik, mrt b gytl sűrűsödési érték, a ulla is szükségképp lőfordul bármly olya ) sorozat sűrűsödési értéki között, mlyk b összs lm sűrűsödési érték, hisz ullához bármily közl sik b ) k lm, mlyhz bármily közl va ) k lm. Másszóval, ha ) sűrűsödési értéki b ) lmi, akkor ) sűrűsödési érték a ulla is, mly b ) k m lm..?? ), és csdőrlvvl is hz tart mrt hisz az 4. Lgy f) arctg és g) mlyr továbbá arctg. Adjo példát olya ) sorozatra, ha va ily, a) f )) kovrgs és g )) kovrgs b) f )) divrgs és g )) divrgs c) f )) divrgs és g )) kovrgs d) f )) kovrgs és g )) divrgs Átvitli lv alapjá mivl f folytoos az origóba, míg g k ugrása va itt: a), b) c) ily ics d) ). 5. si? si si és, igy az y hlyttsítéssl si si y. V y y 6. Ábrázolja vázlatosa az f) függvéyt lgfotosabb jllmző értékik fltüttésévl! 7. Lgy f) cos cos. Létzik az alábbiak közül gy vagy több itgrál? f) d f) d 5 f) d Ig, mid a három létzik, mrt a) f korlátos és szakadási hlyi az itrvallum gy potjába, az origóba torlódak, b) f korlátos és az itrvallum gy potja kivétlévl folytoos, c) f folytoos az itrvallumo. 8. l d? l d l d l d + ).

5 5. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Bizoyítsa b vktoralgbrai szközökkl a Thálsz tétlt! A középpotból iráyítva a kör gy gy potjához húzott hlyvktorok lgyk r és r. Mivl az r végpotjához tartozó átmérő másik végpotjáak hlyvktora r, így blátadó, hogy r r r ) r ), azaz r r, r r )). D r r, r r )) r r, r + r )) r r, hisz r r a kör sugaráak hossza.. Bizoyítsa b, hogy bármly A, B, C halmazok sté a b c) ab + c) ab + c) a b + a c A \ B \ C) A \ B) A C). Az alábbi állítások közül mlyik igaz, mlyik m? a) Ha a kovrgs a ) is kovrgs b) Ha a divrgs a ) is divrgs c) Ha a, akkor a ) d) Ha a ), akkor a a) m: a b) m: a a b és a c sorozatok összfésülésévl kltkztt sorozat. c) m + d) ig: a végülis a ) a, amiből csdőrlvvl a. 4. Lgy a > ttszőlgs valós szám. Határozza mg a határértékt a függvéyéb! Három st va: + a a a) Ha a >, akkor + a a ) a + + a a + a és végül b) ha a <, akkor a. ), b) ha a, akkor a 5. Egylts folytoos az f) függvéy a [, ) itrvallumo? Ig: gyrészt f folytoos így gylts folytoos az I [, ] itrvallumo, másrészt f ) ha, thát f korlátos az I [, ) itrvallumo, így f gylts folytoos I, kövtkzésképp f gylts folytoos I és I gysítésé, hisz yilvá itt az adott ε hoz a két részitrvallumo található él kisbb δ ák közül a kisbb jó lsz. 6. Hol és mily szakadása va az függvéyk? Ugrása: f) + y y + y y f) + y + y y + y f). 7. Lgy f) Va valós gyök f k? Ha ig, va pozitív gyök? Va, páratla fokszámú poliomak midig va valós gyök. Pozitív gyök azoba ics, mrt f ) ) + ) sté f ) és sté f ) f) f) > ha [, ). 8. Va primitív függvéy az f) függvéyk? Ha ig, határozzo mg gyt! d d) + )

6 6. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Mly z kompl számokra igaz, hogy z + z és z z 4. Lgy R z és Im z y. Ezkkl és z z z + y + y 4 y y ± z ± j). Határozza mg a P,, ) poto és az : + t, y t, z + t gys átfktttt S sík gyltét! Lgy P,, ) és a P P,, ), továbbá iráyvktora v,, ). S ormálvktora a v,, ), így S gylt: ) + y ) + y.. Adjo példát olya számsorozatra ha létzik ily, mlyr igaz, hogy a) ics végs sűrűsödési érték b) gytl végs sűrűsödési érték va és m kovrgs c) ics sm végs sm végtl sűrűsödési érték d) ics végtl sűrűsödési érték és m kovrgs a) a b) a ) a b és a c összfésülésévl kltkztt sorozat c) ily ics: ha gy sorozat korlátos, akkor va kovrgs részsorozata, ha pdig m korlátos, akkor va végtlb divrgáló részsorozata d) a ) 4. + )? ) Az alábbi állítások közül mlyik igaz, mlyik m? Válaszát idolokolja! a) Ha gy függvéy flvszi miimumát és maimumát gy korlátos itrvallumo, akkor folytoos ott b) Ha gy függvéy folytoos gy korlátos itrvallumo, akkor flvszi miimumát és maimumát ott c) Ha gy függvéy m vszi fl sm miimumát sm maimumát gy korlátos itrvallumo, akkor m korlátos ott d) Ha gy függvéy m korlátos gy korlátos itrvallumo, akkor vagy miimumát vagy maimumát m vszi fl ott a) m: f) sig a [, ], b) m: f) a, ). c) m: f) a, ). d) igaz, llkző stb az itrvallumo: mi f) f ) f) f ) ma f). 6. Lgy f). Határozza mg az f driváltfüggvéyt, ahol az létzik, és állapítsa mg, hol driválható az f driváltfüggvéy. f) ha < és f) ha, így f ) ha <, f ) ) és f ) ha > azaz f ) így f az origóba m, az origó kivétlévl azoba midütt driválható. 7. Bizoyítsa b, hogy az y gyltű görb potbli éritőj átmgy az origó! Az éritő gylt: y ) y, mly átmgy az origó d? t l l t, d dt t + d t + t t dt + t dt l + t l + )

7 7. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Mit modhatuk az A, B halmazok viszoyáról, ha A B A B. A B, ugyais A A B A B B, vagyis A B és ugyaígy fordítva, azaz B A, thát A B, vagy: ab a a + b ab a ab és ugyaígy fordítva, azaz b ab, thát a ab b a b.. Állapítsa mg, hogy az : + t, y t, z + t és az : t, y t, z t gysk gy síkba vaak-, és ha ig, határozza mg z sík gyltét! Ig, mrt a két gys mtszi gymást a P,, ) potba + t, y t, z + t, λ, y λ, z λ + t λ, t λ t λ t/, t λ,, y, z ). Lgy v,, ) az és v,, ) az iráyvktora. A krstt S sík ormálvktora v v,, ), amivl S gylt: ) z + ) z.?? és csdőrlvvl is hz tart mrt, hisz az részsorozata, vagy. 4. Az a ), b ) számsorozatokra voatkozó alábbi kövtkzttésk közül mlyik igaz és mlyik m? Válaszait idokolja! a) Ha a b ) kovrgs, akkor a ) is és b ) is kovrgs b) Ha a ) is és b ) is kovrgs, akkor a b ) is kovrgs c) Ha a b ) kovrgs, akkor vagy a ) vagy b ) kovrgs d) Ha a ) vagy b ) kovrgs, akkor a b ) is kovrgs a) Nm igaz, pl. a b ) b) igaz, kovrgcia ivariás az alapművltkr ézv c) m igaz, lásd a) d) m igaz, pl. a és b, vagy a ) és b + ) si 5.? Kétszr L Hospitallal: si cos si 6 6 si Ábrázolja vázlatosa az f) függvéyt lgfotosabb jllmző értékik fltüttésévl! f ) + ). 7. Bizoyítsa b, hogy Az ábrát lásd a túloldalo. < ha > Lgy f) és g). Ezzl f) g) és f ) < g ) ha >, hisz szigorúa mooto övkdő, amiből a Lagrag középértéktétlll kész vagyuk. Valóba, a tétlt a h) g) f) függvéyr alkalmazva: ha >, akkor valamly c > r h) h) h) h c) g c) f c) > h) >. 8. si d? si d cos d d cos d si 4 ).

8 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 998/99 tél I. évf..-8.tk.. Lgy E ttszőlgs halmaz. Mly A, B E halmazokra áll f, hogy A B és A B E? Állítását idokolja! A B, mrt A B B B A, vagyis A iff B.. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + ) b) + ) a), mrt az a + ) részsorozata. b), mrt + ) + ) ), hisz + ) >.. Létzik-, és ha ig myi a si l? + si l si l ha +, mrt ha +, akkor l és si. 4. Egylts folytoos- a az f) függvéy az I, ) itrvallumo? Ig, f folytoos a [, ] zárt itrvallumo, így z és vl prsz k mid részitrvallumá, köztük I is gylts folytoos. 5. Va- gyök az gyltk és ha ig háy? Lgy f), f ) 99. Ez potosa akkor ulla, ha 99 azaz ha és itt mooto övő módo vált lőjlt a drivált, thát miimuma va. A függvéy a miimumhly lőtt szigorúa mooto csökkő, utáa szigorúa mooto ővő és midkét végtlb a határérék plusz végtl, thát f) < és a folytoosság miatt Bolzao tétlll potosa két gyök va. 6. d? Parcialis itgrálással: d d ).

9 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 998/99 tél I. évf..-8.tk.. Adjo mg két olya potot, mly rajta va az y +z, +y +z síkok mtszésvoalá! Pl. val y + z, y + z, amiből 4z, thát y, így P,, ) és ugyaígy pl. y val + z, + z, amiből 4, thát z 7, így P 4,, 7 ). VAGY: Másodikból az lsőt lvova: +y 4, így y t, 4 t, z.5 y) t t) 7 + t a mtszésvoal, thát pl. t, al: P,, ), P,, ).. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + ) a), mrt + ). b), mrt mrt + ) 9, hisz az a b) + ) + ) + + ) részsorozata. ) ) 9,. Lgy f) és g) fff ))) ), g). Hol m folytoos a g függvéy, és itt mily szakadása va? g) + y y z z és f) y y z z w w, thát az origóba másodfajú szakadása va, másutt folytoos, mrt lmi függvéy. 4. Lgy ttszőlgs mgatív gész. Határozza mg a határértékt! L Hospitalt flhaszálva, r voatkozó tljs idukcióval blátjuk, hogy mid trmészts r. Valóba sté az idukciós hipotézis alapjá.. Másrészt, r 5. Ábrázolja vázlatosa a gyökök, a szakadási hlyk és a végtlb vtt határértékk és a szélsőértékhlyk mghatározása alapjá az f) függvéyt! Csak az b szakad. f) f), + + f) f), f ) ), ami az origóba övkdő, b csökkő vált lőjlt, így lokális miimuma ) va az origóba, f), lokális maimuma pdig az b, f) Lgy f) si ), f). Va- primitív függvéy f k a [, ] itrvallumo? f midütt folytoos origó kívül lmi függvéy, origóba korlátos és ullához tartó szorzatakét ullához tart), így mid itgrálfüggvéy primitív függvéy, és z szité a folytoosság miatt midütt létzik.

10 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 998/99 tél I. évf..-8.tk.. Adja mg összs olya kompl számot, mlyr z + j. j j j így z + j iff z j iff z j vagy z j j/ j7/6 vagy z j j4/ j/6. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + ) b) ) a), mrt + miatt va q <, hogy lég agy r ) + q. b) /, mrt az + c ) c részsorozata c / al.. l + ) l? + l + ) l + ) l VAGY L Hospitallal: l + ) l l + l + ) l l + ) mrt + l + és l. + + l + 4. Egylts folytos- az f) függvéy a [, ) itrvallumo? Ig, mrt a dfiícióból ttszőlgs ε > hoz a δ ε jó választás, hisz:, y [, ) r f) fy) y < ε ha y < ε. VAGY: f ) korlátos az gész itrvallumo. 5. Adjo mg gy olya m ürs itrvallumot, ahol az f) 5 8 függvéy ivrtálható! f ) ±, így > és < sté szigorúa mooto övő, [, ] szigorúa mooto csökkő, thát zk az itrvallumoko ivrtálható cos d? cos d + cos d d + cos d + si

11 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 999/ tél I. évf..-8.tk.. Mtszik az alábbi gysk gymást, és ha ig hol? : + t, y + t, z t ; : + t, y + t, z t, y y + t + s, + t + s t + s, s 4 + t t + t t, s P 4, 5, ). Igazak a kövtkző állítások? a. Ha a ) és b ) divrgs, akkor a b ) is divrgs b. Ha a ) kovrgs és b ) divrgs, akkor a b ) divrgs c. Ha a ) divrgs és a b ) kovrgs, akkor b ) kovrgs d. Ha a ) kovrgs és a b ) kovrgs, akkor b ) kovrgs a. Nm : a b ) ; b. Nm : a, b ) ; c. Nm : lásd a. ; d. Nm : lásd b. ch. sh ch sh? Az alábbi itrvallumok közül mlyk gylts folytoos az f) függvéy? I, ), I [, ], I [, ) Midhármo : a) Hi tétlll mrt f CI ) és I zárt korlátos itrvallum, b) I I, c) f ) f ) ha I f korlátos I o. 5. Lgy f) ) mid > ra. f )? f) l f) l f) l f ) f)l f)) f) l + ) f) l + ) 6. l d? l d l d l

12 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 999/ tél I. évf..-8.tk.. Bizoyítsa b, hogy bármly A, B és C halmazokra A B C ből kövtkzik, hogy C A B. A B iff B A és d Morga. VAGY közvtlül : C C A B A vagy B A vagy B A B. a +. Lgy a ) pozitív tagú számsorozat. Igaz, hogy ha, akkor a ) kovrgs? a Igaz k az állításak a mgfordítása? Nm, pl. ha a r bármly racioális r > ra, mrt kkor a + + )r a r + )r, d prsz r > sté a r, azaz a m kovrgs. A mgfordítás sm igaz, pl. ha a q, ahol < q < akkor a a + és q, VAGY ha a, akkor is a a és a + a ? ) + ) + + ) mrt. + ). 4. Mlyik igaz, mlyik m : a) Ha f folytoos [a, b], akkor f korlátos [a, b] b) Ha f korlátos [a, b], akkor végs sok pot kivétlévl f folytoos [a, b] c) Ha f folytoos a, b), akkor végs sok pot kivétlévl f driválható a, b) d) Ha f driválható a, b), akkor f folytoos a, b) a) Ig : Wirstrass b) Nm : [, ] Dirichlt VAGY f) ha valamly N r és f) gyébkét c) Nm : f) si,) folytoos mrt itt értlmztt lmi függvéy abszolút érték, d az N) potokba yilvá jobb és baloldali driváltjai m gylők, VAGY prsz pl. gy olya magas gylőszárú háromszögkből álló végtl sorozat, amlyél a háromszögk alapjai rdr az [ +, ] N) itrvallumok f + h) f) d) Ig : f + h) f) h h h o f ) 5. Lgy f) arctg ha és f). Hol driválható az f függvéy? f )? Midütt, mrt a) az origó kívül itt értlmztt lmi függvéy f + h) f) b) az origóba : h arctg h h h f ) arctg d? + d arctg h h, így + ) arctg + ha és f ). 4 + d l + ) l l ) l l

13 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 999/ tél I. évf..-8.tk.. Adja mg a j j) ) kompl számot kaoikus alakba! j j) j j 4 j 4 j j) ) j 4 ) j 4 5 5j 5 j )+) 5 j )? ) Hol és mily szakadása va az f) Ugrás az origóba : f) + y y z függvéyk! z, f) y Másutt m szakad l, mrt a vző csak r és y iff y, d y. y z 4. Mlyik igaz, mlyik m? a) Folytoos függvéy driválható b) Driválható függvéy folytoos c) Driválható függvéy driváltja folytoos d) Folytoos függvéy itgrálható ) Itgrálható függvéy folytoos a) Nm, pl. f) az origóba. Valóba : lgy g). Ezzl f) g) ha, és f) g) ha, így f +) g ) g ) f ), f + h) f) g vl gyütt folytoos. b) Ig f + h) f) h h pdig f mit g abszolút érték h f ). z. c) Nm : f) si ha, f). f midütt létzik : f h si h ) h si h h h h és ra f ) si cos, amik ics határérték az origóba. d) Ig ) Nm : pl. sig. 5. Ábrázolja vázlatosa az f) függvéyt lső és második driváltjaival gyütt f lgfotosabb jllmzői potjaiak fltüttésévl úgy, hogy az ábrából zkk a potokak a driváltak jllmző potjaival való viszoya is mgállapítható lgy! f ) ), f ) ), f ) ) f ) f ) f ), f ) > ha <, f ) < ha >, f ) < ha <, f ) > ha >, spc. f ) < ) f ) < ha <, f ) > ha > spc. f ) > ) : 6. 4 si d? 4 si d 4 cos ) d si ) 4 4 ) 8 4.

14 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal / tél I. évf..-8.tk.. a) Bizoyítsa b vktoralgbrai szközökkl a sziusz tétlt! b) Igaz, hogy a sté a b a c ből kövtkzik b c. a) Háromszög T trülték duplája két külöböző oldalpárja krsztszorzatával : c a T c b c a si β c b si α a b si α si β. b) Nm : csak ayi kövtkzik, hogy a b c, pl. a b a a + b).. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) ) b) ) a), mrt végül ) hisz prsz ). b), mrt végül ). ) ) ),. Mutassa mg, hogy az f) függvéy gylts folytoos a [, ] és az [, ) itrvallumokba! Igaz, hogy f gylts folytoos az gész [, ) itrvallumo? [, ] : Hi. [, ] driváltja korlátos : f ) / ha. Így prsz az gész jobb félgys is gylts folytoos, hisz adott ε hoz a két részitrvallumo létző δ ákál és él kisbb jó lsz midütt. 4. Lgy ttszőlgs mgatív gész. Határozza mg a l ) határértékt! + L Hospitalt flhaszálva, r voatkozó tljs idukcióval blátjuk, hogy mid trmészts r. Valóba sté + l ) l ) l ) l ) +. Másrészt, r l + ) az idukciós hipotézis alapjá. 5. Ábrázolja vázlatosa a gyökök, a szakadási hlyk és a végtlb vtt határértékk és a szélsőértékhlyk mghatározása alapjá az f) függvéyt! Gyök ba. Csak b szakad. f) + f) + f), f), f ) ) ), ami az origóba m vált lőjlt, / b csökkő vált lőjlt, lokális maimuma thát az / b va, f/) d? + d + d ) + 9 ) 9 8 ).

15 . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal / tél I. évf..-8.tk.. a) Bizoyítsa b vktoralgbrai szközökkl a kosziusz tétlt! b) Igaz, hogy a sté a b a c ből kövtkzik b c. a) Iráyítsuk úgy a háromszög oldalait, hogy a C csúcsba találkozó élk a csúcsból kifl lgyk iráyítva. Ekkor : a b c vagy a b c a b) a b) a a b + b c a a b cos γ + b c. b) Nm : csak ayi kövtkzik, hogy a b c, pl. c a a b a c + b).. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + a), mrt végül hisz prsz b), mrt végül + + ) + ) > > + ) ) ) ) ) ) b) +. Lgy f), g). Mutassa mg, hogy f gylts folytoos a [, ], míg g az [, ) itrvallumo! Igaz, hogy f gylts folytoos a, ) itrvallumo? f [, ] : Hi és prsz, ) is mrt gylts folytoosság a részhalmazokra öröklődik, hisz adott ε hoz yilvá ott is jó lsz az a δ, amlyik az gész halmazo jó. g [, ] : driváltja korlátos : f ) ha. 4. Határozza mg a l határértékt! l l VAGY : y +, + hlyttsítéssl : l y l y y l y y + 5. Lgy f) cos ha és f). Létzik, és ha ig folytoos az f függvéy driváltja az origóba? Létzik, f f) f) ), mrt cos cos hisz gy korlátos és gy hoz tartó szorzatáak a hatérérték, d m folytoos, mrt ha, akkor f ) cos + si, amik prsz ics határérték az origóba, hisz az lső tagak, mit gy korlátos és gy hoz tartó szorzatáak a hatérérték, míg a második tagak prsz ics határérték az origóba pl. Átvitli lvvl, y és így a kttő összgék sm lht határérték itt. 6. si + cos d? si + cos d l + cos 4 + ) l l l sté f ) ), f y ) )

SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m

SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS TARTALOMJEGYZÉK. Numrikus sorok.. limsup és limif 3.. Gyök- és háyadoskritérium 4.3. További kovrgciakritériumok 5.4. Példák 6.5. Zárójl, átrdzés 8. Függvéysorozatok,

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

4. Differenciálszámítás

4. Differenciálszámítás . Diffrnciálszámítás.. Írja fl a diffrnciahányadost a mgadott pontban és határozza mg a határértékét!... f...... f..7. f, f,,..9. f... f... f... f...... f..7...9. f...... f... f... f...,..6. f,,,, f,..8.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Sorozatok. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából!(indoklással, nem elegendő a sorozat. (a) a n = n+1

Sorozatok. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából!(indoklással, nem elegendő a sorozat. (a) a n = n+1 Bodó Báta 1 Sorozatok 1. Vizsgálja mg az alábbi sorozatokat mootoitás szmpotjából!idoklással, m lgdő a sorozat éháy lmék kiszámolása.) a) +1 +3 b) +3 1+ szigorúa mooto csökk c) 2 2+ d) B +7 21 szigorúa

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtl sok vlós számból álló összgkt sorokk vzzük. A sorb szrplő tgokt képzljük l úgy, mit gy bolh ugrásit számgys. A sor összg h létzik ily z szám hov bolh ugrási sorá ljut. Nézzük például kövtkzős sort:...

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x

(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS MINTAPÉLDÁK.. Példa. Határozzuk mg az f = függvénnk az = hlhz tartozó diffrnciahánados függvénét, majd vizsgáljuk mg, hog f diffrnciálható- az -ban adjuk mg az = hlhz tartozó diffrnciálhánadost.

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

I nyílt intervallum, ( ) egyenletet közönséges (elsõrendû explicit) differenciálegyenletnek nevezzük. Az

I nyílt intervallum, ( ) egyenletet közönséges (elsõrendû explicit) differenciálegyenletnek nevezzük. Az 8 Közöségs diffriálgltk umrikus mgoldása 8 Dfiíió g Ω IR tartomá IR I ílt itrvallum f : I Ω IR foltoos függvé Az : I IR diffriálató függvékr voatkozó f ( ( I gltt közöségs (lsõrdû pliit diffriálgltk vzzük

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két nagy prímszámot: p1, p2 RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI HA KONKRÉT SZÁM - q q q q q q shov IZÉ HA IZÉ IZÉ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE TÉTEL: H és sorozt ovrgs és ovrgs és A B A és B or sorozt is AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE A? B A

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok.

Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok. Karakriszikus függvéy Valószíűségszámíás. lőadás 07..05 Kompl érékű valószíűségi válozók: Z=+iY, ahol és Y is valószíűségi válozók. Z):=)+iY). (valós) valószíűségi válozó karakriszikus függvéy: ():= i

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők:

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x.

Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x. Valós váltoós omplx üggvéy, t x t yt rt cost st r t t, t dt b Ft C, t dt F t FbFa a t x t y t b. x, y görb gylt omplx alaba: x, y. a Komplx váltoós omplx üggvéy u x, y v x, y, ahol x y, Drválás: ( ) lm

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA. A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők).

PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA. A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők). PONTRENDSZEREK ECHANIKÁJA A potrdszrt olya tögpotok alkotják, alyk függtlk gyástól, közöttük kölcsöhatás va (blső rők). F F F F F F F F Blső rők: F Külső rők: F F Nwto III.: rő-llrő párok F F F F A potrdszr

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális!

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális! . gyakorlat Visszacsatolt művltirősítők.) Példa b (s) 6 ; r/s, Mr/s kω, 9 kω, kω, ( s )( s ) Kérdésk: /b?, ha a ME ális! Mkkora lgyn érték ahhoz, hogy az /b rősítés maximális lapos lgyn ( ξ ). Mkkora a

Részletesebben

1. Adott az ábrán látható ABCD paralelogramma. Határozza meg az és vektorok koordinátáit az és vektorok bázisára vonatkoztatva!

1. Adott az ábrán látható ABCD paralelogramma. Határozza meg az és vektorok koordinátáit az és vektorok bázisára vonatkoztatva! Vktorlgr. Liáris komiáió kooriát ázis Guss. Aott z árá láthtó CD prllogrmm. Htározz mg z és vktorok kooriátáit z és vktorok ázisár votkozttv! Mgolás AC BD ). Aott z lái szályos szrt li) htszög j mg z árázolt

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

A szelepre ható érintkezési erő meghatározása

A szelepre ható érintkezési erő meghatározása A szlpr ható érintkzési rő mghatározása Az [ 1 ] műbn az alábbi fladatot találtuk. A fladat: Adott az ábra szrinti szlpmlő szrkzt. Az a xcntricitással szrlt R sugarú bütyök / körtárcsa ω 1 állandó szögsbsséggl

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria A szürkíttt háttrű fladatrészk nm tartoznak az érinttt témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrészk mgoldásához!

Részletesebben

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata 53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási

Részletesebben

Számok tízezerig. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint

Számok tízezerig. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint Számok tízzrig 1. Vásároltatok olyan holmit tanévkzdésr, ami több mint -ba krült? Mnnyi volt az érték? Mondd l! 2. Írd a számgyns mgfllő pontjához, amnnyi forintot fölött látsz! Hasonlítsd össz az gymás

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

6. Határozatlan integrál

6. Határozatlan integrál . Határozatlan intgrál.. Alkalmazza a hatványfüggvény intgrálására vonatkozó szabályt! d... d... d... d 8...... d... d... d..8. d..9. d..0. d... d... d 8... d... 8... d...... d..8...9. d..0. d d 8 d d..

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

KOD: B377137. 0, egyébként

KOD: B377137. 0, egyébként KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Koordinátageometria. 3 B 1; Írja fel az AB szakasz felezőpontjának 2 ( ) = vektorok. Adja meg a b vektort a

Koordinátageometria. 3 B 1; Írja fel az AB szakasz felezőpontjának 2 ( ) = vektorok. Adja meg a b vektort a 1) Adott két pont: 1 A 4; és 2 3 B 1; Írja fl az AB szakasz flzőpontjának 2 2) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a B ( 3;5) pont. írja fl a kör gynltét! 3) Írja fl a ( 2;7 ) ponton átmnő, ( 5;8)

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). ) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben