Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x."

Petra Tamásné
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 Valós váltoós omplx üggvéy, t x t yt rt cost st r t t, t dt b Ft C, t dt F t FbFa a t x t y t b. x, y görb gylt omplx alaba: x, y. a Komplx váltoós omplx üggvéy u x, y v x, y, ahol x y, Drválás: ( ) lm ( ) u x, y v x, y ( ) u xy, v xy, ( ) u r, v r, x r ( ) ( ) v ( r, ) u ( r, ) x, y y y ( ) x, y Cauchy-Rma-gylt: u x, y v x, y, u x, y v x, y x y y x u rr, v r,, u r, rv rr, r, x y y x Harmous üggvéy: u u, v v. xx yy xx x yy Néháy lm üggvéy ( ) ux, y v x, y! x y r coss r, y arctg, x, y x, x, y y arc arctg, x x, x, y y arctg, x, y x, ;, r x y D arctg ; x cos ys y D ( )

2 , r, l l r l x y x, y log l l l s! cos! tg l... l,,,, l...,,... sh s x chy cos x shy ch cos x chy s x shy s th cos tgx th y thy tg x tg x th y tg x th y l,, l,,,, cos s cos ctg cos cth( ) s,, ctgx th y thy ctg x s ctg x th y ctg x th y arcs l... arc cos l... arctg l..., arcctg l..., sh s! shx cos y chx s y ch ch cos! chx cos y shx s y sh th sh ch tg,, thx tgy, thx tgy ch

3 cth ch sh ctg, cthx tgy sh cthx tgy l arcs... l arccos... l arctg..., l arcctg..., arsh arch arth arcth s cos tg ctg sh arcs ch arccos th arctg cth arcctg arsh arch arth arcth w l w w w s w cos w shw chw tgw wl l r, xy x w cos y s y w r cos s,,,,3,..., w l, w l l l, w l, w l l l, w l, w l l l, w l, w l l l, w l,,

Komplx voaltgrál: d t t dt, vagy d udx vdy vdx udy u t x t v t y t v t x t u t y t dt.

görbér: d FbFa Cauchy-tgráltétl: Ha a üggvéy rgulárs a gysrs össüggő T tartomáyba, aor bármly T-b haladó árt rtálható Jorda-görbér voatoó tgrálja

..,) blső határgörbé, aor győ örüljárás sté: d d. A Cauchy-tgráltétl.

4 Komplx voaltgrál: d t t dt, vagy d udx vdy vdx udy u t x t v t y t v t x t u t y t dt. Nwto-Lb-tétl: Ha a rgulárs üggvéy prmtív üggvéy a T tartomáyo F, aor bármly T -b haladó a dőpotú és b végpotú rtálható. görbér: d FbFa Cauchy-tgráltétl: Ha a üggvéy rgulárs a gysrs össüggő T tartomáyba, aor bármly T-b haladó árt rtálható Jorda-görbér voatoó tgrálja érus, aa d., ( Általáosított Cauchy-tgráltétl: Ha rgulárs gy -srs össüggő T tartomáyba és aa ülső és,,...,) blső határgörbé, aor győ örüljárás sté: d d. A Cauchy-tgráltétl. övtméy: Ha a üggvéy a többsörös össüggő T tartomáyba rgulárs, aor valamly gysrs össüggő T * réséb haladó árt rtálható Jorda-görbér voatoó tgrálja érus. d A Cauchy-tgráltétl. övtméy, Rma tétl: Ha a üggvéy a gysrs össüggő T tartomáyba a pot vétlévl rgulárs, a pot örytéb pdg orlátos, aor bármly a potot m értő árt. görbér: d

d d Cauchy-tgrálormula: Lgy rtálható árt Jorda-görb, továbbá üggvéy rgulárs a görbé blül és a görbé, or a görb blsjé md potjára ga, hogy d.

5 A Cauchy-tgráltétl 3. övtméy: Ha a üggvéy mdütt rgulárs a gysrs össüggő T tartomáyba a végs so,,..., pot vétlévl, aor a olált sgulárs potoat örülvvő bármly árt rtálható Jorda-görbér voatoó tgrálja gylő, ltév, hogy a görbét aoos ráyba járju b. d d Cauchy-tgrálormula: Lgy rtálható árt Jorda-görb, továbbá üggvéy rgulárs a görbé blül és a görbé, or a görb blsjé md potjára ga, hogy d. A Cauchy-tgrálormula spcáls st, Gauss-él öépértététl: Ha rgulárs a öéppotú r sugarú árt örlapo, aor a ör öéppotjába lvtt üggvéyérté a ör rülté lvtt üggvéyérté tgrálöp, aa r d. A Cauchy-tgrálormula trjstés többsörös össüggő tartomáyra: Ha a üggvéy rgulárs a és a blsjéb lvő,,..., rtálható árt Jorda-görbé, valamt a általu mghatároott -srs össüggő T tartomáyba, aor ttsőlgs T-r: d d. Általáosított Cauchy-tgrálormula: Ha a üggvéy rgulárs a gysrs össüggő T tartomáyo és határá a rtálható árt Jorda-görbé, aor ttsőlgs potba aárháysor drválható és -d rdű drváltja a alább tgrálormulával állítható lő:! d.

. Ha a görb blsjéb rgulárs és a görbé olytoos, a görbé ívül va, aor. 3.

4. Ha a görbé ívül és a -b rgulárs, a görbé olytoos, a görbé blül va,

Laurt-sor rgulárs rés (Taylor-sor), amly öéppotú R sugarú örlapo blül

6 Cauchy-típusú tgrálo:. Ha a görb blsjéb rgulárs és a görbé olytoos, a görb blsjéb va, aor.. Ha a görb blsjéb rgulárs és a görbé olytoos, a görbé ívül va, aor. 3. Ha a görbé ívül és a -b rgulárs, a görbé olytoos, a görbé ívül va, aor. 4. Ha a görbé ívül és a -b rgulárs, a görbé olytoos, a görbé blül va, aor. Laurt-sor: c, ahol c d,, amly ét résből áll. Laurt-sor rgulárs rés (Taylor-sor), amly öéppotú R sugarú örlapo blül ovrgs: c,! Laurt-sor őrés, amly öéppotú r sugarú örlapo ívül ovrgs: d c. A ét sor össg a ét ör által mghatároott örgyűrű blsjéb ovrgs.

7 Iolált sgulárs hly csoportosítása Mgsütthtő sgulartása va a üggvéy a potba, ha a lm. E potosa aor övt b, ha a Pólusa va a üggvéy a potba, ha a lm lm határérté végs és örül Laurt-soráa cs őrés.. E potosa aor övt b, ha a örül Laurt-soráa őrés végs sámú tagot tartalma. Ha bb a Laurt-sorba lgmagasabb hatváya a -ad, aor a üggvéy ott -ad rdű pólusa va. E potosa aor g övt b, ha lőállítható alaba, ahol g a potba rgulárs és g. lm g Léygs sgulartás va a üggvéy a potba, ha a lm m lét. E potosa aor övt b, ha a örül Laurt-soráa őrés végtl so tagot tartalma. A üggvéy a végtlb úgy vsld, mt a a végtlb rgulárs, ha végtl örül Laurt-sora: : üggvéy a orgóba. - a orgóba mgsütthtő sgulartása va. c c, amly a ovrgs, rgulárs rés: c, őrés: c örgyűrűb R. Ha a végtl mgsütthtő sgulartás, aor a végtl örül Laurt-sora cs őrés, ha pólus, aor a rgulárs rés végs so tagot tartalma, ha léygs sgulartás, aor a őrés végtl so tagot tartalma. Ha a a Rduum sámítás módsr R s, R s, c d. potba rgulárs, vagy mgsütthtő sgulartása va, aor R s,. Ha - -ba lsőrdű pólusa va, aor lőáll ét rgulárs üggvéy háyadosaét: h h, ahol h, g, g, or R s, g g. Ha - -ba -ad rdű pólusa va, aor R s, lm! Rduum-tétl: Ha rgulárs a árt görbé és aa blsjéb, vév a görb blsjéb lévő végs so d R s, R s,,,..., sgulárs potot, aor..

8 Lgy olya üggvéy, amly lgljbb pólussgulartása lht a T tartomáyba, olya rtálható árt Jorda-görb, amly blsjévl gyütt a T-b va, és amly gytl érushlyé, lltv pólusá sm halad rstül. Jlölj Z és P a görb blsjéb lvő érushly és póluso sámát, mdgyt aysor sámolva, aháysoros a érushly, lltv aháyadrdű a pólus. Eor d Z P. Ha F rgulárs a T tartomáyba, továbbá, j p a üggvéy érushly és pólusa mdgy multplctással sámolva, aor Z P F d F j F p. j Laurt-sor és Fourr-sor apcsolata: Lgy rgulárs a, örgyűrűb, t Laurt-sora a gységörvoalo mggy a : g A t valós váltoós omplx üggvéy Fourr sorával. Alalmau a övtő hlyttsítést! t t t t t, s t, cos t, I R s x,cos x dx típusú tgrálo sámítható omplx váltoóra törtéő áttéréssl, : orgó öéppotú gységsugarú örö való tgrálással. Alalmau a övtő hlyttsítést! x x x x x, s x, cos x, dx d. Jorda-lmma: Ha a omplx üggvéy végs so sgulárs potot vév rgulárs a stb gylts tart érusho, aor ttsőlgs Im a -ra: Im a lm R élsío, és d, ahol : a R, ax élörív. A lmmát x dx típusú tgrálo sámítására hasálhatju.

9 xdx típusú valós mproprus tgrálo sámítása: lm x dx x dx R R R lm lm R, j lm lm Ha d d d s d d R R,Imv j,im j,imv racoáls törtüggvéy, mlyb a vő lgalább -vl magasabb oú mt a sámláló, aor úgy cost. vsld a végtlb, mt, a, ért a élörívr voatoó tgrál ltű. a ahol P x Q x P x dx típusú valós mproprus tgrálo sámítása, Q x racoáls törtüggvéy és a vő osáma lgalább ttővl több a sámlálóéál: P x P dx R s l Q x Q, ha a üggvéy a potív valós éltgly és a ullába cs P pólusa. A össgés a l üggvéy össs sgulárs potjára trjstdő. Q

Hasonló dokumentumok

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c