Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet. A Matematika A1a tárgy gyakorlati anyaga. Szerkesztette: Nagy Ilona

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet A Matematika Aa tárgy gyakorlati anyaga vegyész, környezetménök és biomérnök hallgatóknak Összeállította: Ruzsa Zoltán Szerkesztette: Nagy Ilona BME Budapest 03

2 . feladatsor: halmazok, komplex számok. Így szokás halmazokat definiálni: {x alaphalmaz feltételek x-re}. Definiáljuk: a) -nél kisebb pozitív valós számok halmaza, b) racionális; irracionális számok halmaza, c) a négyzetszámok halmaza, d) a második síknegyed pontjai, e) hf páros számok halmaza, f) hf prímszámok halmaza, g) hf az egységsugarú gömbön belüli pontok, h) hf harmadfokú polinomok halmaza.. Fogalmazzuk meg, hogy mit mondanak a következő állítások. Melyek igazak és melyek nem a valós számok körében? Írjuk fel az állítások tagadását! a) x y (y > x) b) a b (b a > 0) c) p > 0 [ q (p = q ) ] d) hf x y z (x = y z ) e) hf x > 0 [ y (y > 0 x y > 0) ] f) [ hf x N y (N \ {, x}) ] x/y / N 3. Legyen z = 4i. Mi lesz Re z, Im z, z, z, arg z? 4. Ábrázoljuk a komplex számsíkon a következő halmazokat: a) {z C : z = } b) {z C : z > 3} c) {z C : z < } d) {z C : z 3 = } e) {z C : z + i = z } f) {z C : Im z > 3} g) {z C : < arg z < } h) hf {z C : z + i = π} i) hf {z C : z + i z } j) hf {z C : Im z Re z} k) hf {z C : 3 > Re z 0} l) hf {z C : z = z} 5. Mi lehet z, ha a) z z = 3, Im z = b) Im z =, z = c) hf arg z = 3π/4, Re z = 5 d) hf Re z = Im z, z = 3 6. Írjuk a következő komplex számokat a + ib alakba! a) ( + 4i)(4 i) b) i 7 3 i c) + i e) hf i 009 f) hf g) i hf i i d) 3 i 3i h) hf ( + i) 37 ( i) 38 Logikai jelek: minden; létezik;! létezik egyetlen; és; vagy; nem; következik; ekvivalens; Halmazok: N természetes számok; Z egészek; Q racionálisok; R valós számok; üres halmaz. A komplex számok a z = a + ib (a, b R) alakú számok, ahol i =. Az itt szereplő a a szám valós része, azaz Re(z) = a, míg b az imaginárius, vagy képzetes része, azaz Im(z) = b. Minden 0-tól különböző komplex szám alkalmas r 0, 0 φ < π-vel egyértelműen írható z = r cos φ + ir sin φ alakba. Itt r a szám abszolút értéke, azaz z = r, φ az argumentuma, azaz arg(z) = φ. Egy z = a + ib komplex szám konjugáltja: z = a ib.

3 . feladatsor: komplex számok, n-edik gyökvonás. Ábrázoljuk a komplex számsíkon a következő halmazokat: a) { z C : Re(z + ) = z } b) { z C : z > 5, Im(z) Re(z) } c) hf { z C : z < z i, z i } d) hf { z C : z + i + z + 3 = 7 }. Írjuk a következő komplex számokat a + ib, esetleg r cos φ + ir sin φ alakba! a) ( i) 997 b) c) i 3 d) e) 3 + i f) hf 3 7i g) hf ( + i 3) 00 h) hf i i 3 i) hf i i 3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a komplex számok körében. Az egyenletekben szereplő polinomoknak írjuk fel a gyöktényezős felbontását! a) z iz i = 0 b) z 3 8 = 0 c) hf z z = 0 d) hf 3z iz + 3iz + 6 i = 0 e) hf z 6 + 6z = 0 4. Adjuk meg az összes olyan z komplex számot, amelyre a) Re(z) + Im(z) = 0 és Re(z ) Im(z) = b) z + z = 0 c) hf Re(z ) = Im(z) és Im(z ) = Re(z) 5. Hány komplex gyöke lehet egy hetedfokú valós együtthatós polinomnak? 6. Egy szabályos hatszög egyik csúcsa + i, középpontja 3 + i. Írjuk fel a többi csúcsát! 7 ḥ f Van-e olyan z komplex szám, amelyre z, (azaz ( z) ) és z (azaz (z) ) egyenlő? 8 ḥ f Hol a hiba? = i = i i = = ( )( ) = = = ( ) = (r cos α + ri sin α)(s cos β + si sin β) = rs ( cos(α + β) + i sin(α + β) ). n ( ( ) ( )) r(cos α + i sin α) = n α + kπ α + kπ r cos + i sin n n ahol k = 0,,..., (n )

4 3. feladatsor: sorozatok határértéke. Állapítsuk meg, hogy nullsorozat-e! Ha igen, akkor oldjuk meg a közelítés alapfeladatát, azaz a definíció alapján keressünk N küszöböt tetszőleges ε > 0-hoz. a) a n = 0 b) b n = n c) c n = ( ) n d) d n = n e) hf e n = sin n f) hf f n = ( )n log 0 n. Határozzuk meg a határértékeket, és keressünk N küszöböt ε-hoz a definíció alapján! a) lim 3n 4n + 99 d) hf lim 7n + 4 n b) lim 3n + 4n + 7 n + n + e) hf lim 5n3 n c) lim n 0 8 5n 6 + n 3 f) hf lim n 6 6n Íjuk fel formulával (minél kevesebb zárójellel) az a n sorozatra vonatkozó állításokat: a) a n korlátos, b) a n monoton növekvő, c) hf a n a, d) hf a n divergens. ( ) 4. Számítsuk ki az a n = n + n 3 n sorozat határértékét, és keressünk N küszöbindexet az ε = 0.0 hibahatárhoz! Bizonyítsuk be, hogy tényleg annyi a határérték! 5 ḥ f Egy egyre pontosodó mérési sorozat n-edik mérésének eredménye a n = + ( ) n+ 3 n. Hányadik mérés után csökken a mért mennyiség és a mért érték eltérése (azaz a hiba) ε = 0 4 alá? 6. Vizsgáljuk konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat: ( ) n a) a n = (n + )! (5 n)n! b) b n = ( ) n 3 7 ḥ f A gonosz varázsló mindennap arannyá változtatja a Földön lévő vízmennyiség felét. Mennyi idő múlva csökken a vízkészlet pohárnyi alá? (A Földön kb km 3 víz van.) Mennyi idő múlva marad csak vízmolekula? Az a, a,... a k,... valós számokból álló sorozatot (a n ) jelöli. Az a n sorozat nullsorozat, ha ε > 0-hoz N N, hogy n > N esetén a n < ε. Ezt kétféleképp lehet jelölni: a n 0 vagy lim a n = 0. Az a n sorozat határértéke az a szám, jelölve a n a vagy lim a n = a, ha a n a nullsorozat. Ekkor a n konvergens, különben divergens. (Közvetlenül ez így is fogalmazható: lim a n = a, ha ε > 0-hoz N N, hogy n > N esetén a n a < ε.)

5 4. feladatsor: sorozatok határértéke. Vizsgáljuk: korlátosság, supremum, infimum, határérték. a) cos(nπ) + ( ) n+ b) ( ) n + c) hf n n d) hf n ( )n n n!. Mennyi lehet lim a n értéke (a-tól függően, a R)? 3. Számoljuk ki a határértékeket: a) lim n b) lim n5 6n + n + n n n c) lim n + 8n 8 d) lim n + 8n n 4n 4n 5 + n e) lim 5n + 40n n! + n5 f) lim n + n 88 5n ( n 4n ) ( g) lim 3 n + 9 h) lim n + 5n ) n n ( ) i) lim n4 + n n j) lim n n + 3n Igaz? Hamis? a) ha a n a, akkor a n a b) ha a n a, akkor a n a c) ha a n > 0 és b n, akkor a n b n d) a n 0 /a n e) a n /a n 0 f) [a n > 0 és a n konvergens] lim a n > 0 g) [a n korlátos, b n 0] a n b n 0 5 ḥ f Számoljuk ki a következő határértékeket: a) lim n/3 + 8n 3 + n + n + 5n 7 b) lim n + 4 n 3 c) lim 9 3 n 3 n + 4 n + 3n d) lim log 0(n ) + 3 log 3 (n) e) lim ( 3)n+ + n+3 f) lim n3 n + 3 n n n 3n g) lim 4n + n 5 3 n+3 h) lim 7n + n n+3 + n 3 n + (n) + ( i) lim 9n + 7 ) ( 3 9n + n + 5 j) lim n3 3n ) n 3 + 3n 6 ḥ f Legyen p(x) és q(x) egy-egy polinom. Adjunk módszert lim p(n) q(n) meghatározására! Ha a n divergens, de K-hoz N N, hogy n > N esetén a n > K, akkor a n. Egy H R halmaz infimuma (azaz inf H) a H halmaz alsó korlátjai közül a legnagyobb. H supremuma (azaz sup H) pedig H felső korlátjai közül a legkisebb. H minimuma l, ha l H és l = inf H. H maximuma h, ha h H és h = sup H. Egy sorozat infimuma, supremuma az elemei által alkotott halmaz infimuma, supremuma.

6 . Számoljuk ki: a) lim ( 3n ) n 3 3 d) lim 5. feladatsor: speciális sorozatok, numerikus sorok b) lim ( ) 3n 3n + 5 e) lim 3n 4 ( g) hf lim + ) 4n n + 3 ( ) n 3 ( n n + c) lim n + n + 3 ( ( ) n 4n + + f) lim 4n 3 5 n ( 5 + n ) n +7 ) n ) n ( h) hf lim + ) n ( i) hf lim + ) n n n. Felhasználva hogy n n és n p (p > 0), számoljuk ki az alábbi határértékeket: a) lim n n b) lim n n c) lim n n d) lim n 99n 99 e) lim n n + 5 f) lim n n g) hf lim n n + 3 4n + n h) hf lim n n 3 ḥ f A plutónium-38 felezési ideje 87.7 év. Jelöljük a n -el egy gyártáskor 50 kilogramm Pu-38-at tartalmazó atombombában n év eltelte után maradó Pu-38 tömegét. Írjuk fel az a n sorozatot! Hányadik évben fog a Pu-38 tömege 0. kilogramm alá csökkenni? 4. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? ( n ) ( a) + n b) c) hf n(n + ) n ) n + n= 5. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? a) + n=0 n ( 5) n+ b) + 3n+ + ( 5) n d) hf e) hf 3 n+ n= n= + n= + n= 3 n+ 3n c) ( ) n 3 n+ n= 3 n+ f) hf + n= + n= n + 3 n+ 5 n 3n n 4 n A rendőrszabály vagy csendőrelv: Ha a n b n c n, és lim a n = lim c n = h, akkor b n h is. ( Előadáson szerepelt, hogy az + n) n sorozat konvergens, és a határértékére bevezettük az ( e jelölést. Ekkor x R esetén lim + n) x n = e x. Ha (a n ) egy sorozat, akkor a a n szimbólum neve sor. A sor összege: a n := ( n= k lim a i ). Ez a határérték nem mindig létezik. Ha létezik és véges, akkor a sor konvergens. k + i= + A geometriai sor összege: aq n = n=0 aq n = n= a, ha q <. q

7 6. feladatsor: numerikus sorok. Mely α-ra konvergens, melyre divergens a n α sor?. Konvergens? (Használjuk a majoráns, minoráns kritériumokat.) a) n + b) 5n + c) 7n 3 7 d) n 3 n + 3 n n 7 n 5 + n 4 3n 4 + n + 7 e) hf n n + 3 n 5 + n + 7 f) hf n + 3 n+ + 6 n g) hf 3. Konvergens? (Használjuk a hányados- és gyökkritériumot.) 3 n + h) hf n n + a) 7 n (n + )! d) n n 5 3n+ g) hf (n + ) 4 n (n + 5) n! b) 5 3n e) hf n 4 c) ( ) 3n 4n 4n + 3n n 7 (n + 5) 3 n 3 n+ f) hf 5 n+ h) hf (n + )! n n i) hf ( 3n + 3 3n + ) n 4. Igaz? Hamis? a) a n konvergens lim a n = 0 b) lim a n = 0 a n konvergens c) a n konvergens a n konvergens 5 ḥ f Lássuk be, hogy racionális szám, és írjuk fel mint két egész szám hányadosa. 6. Konvergens? Abszolút konvergens? a) ( ) n n b) ( ) n+ n n c) ( ) n n + d) hf ( ) n n 3 n + e) hf ( )n n + 3n f) hf ( ) n n ( n + n + 5 ) n Majoráns kritérium: Ha 0 a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha 0 a n b n, és a n divergens, akkor b n is. Gyökkritérium (Cauchy): Legyen a n 0, és w = lim n a n. Ha w <, akkor a n konvergens; ha w >, akkor divergens; míg ha w =, akkor bármi előfordulhat. Hányadoskritérium (D Alembert): Legyen a n 0, w = lim a n+. Ha w <, akkor a n konvergens; ha w >, akkor divergens; míg ha w =, akkor bármi előfordulhat. Egy a n sor Leibniz-sor, ha a n mon. csökkenő, lim a n = 0, és a n előjele váltakozó. Tétel (Leibniz-kritérium): Minden Leibniz-sor konvergens. a n

8 7. feladatsor: határértékszámolás, folytonosság. A definíció alapján határozzuk meg a határértékeket. Számoljuk ki, hogy x-nek mennyire kell közel lennie x 0 -hoz ahhoz, hogy a függvényérték a határértéket legalább ε = 0 pontossággal megközelítse. a) lim x 4 3x d) lim x ± x x + 3 (x ) b) lim sgn x c) lim x 0 x x + 8 x e) hf lim f) hf lim 5x x x + x 3. Definiáljuk a következő fogalmakat: a) lim f(x) = b) lim f(x) = c) lim f(x) = x 7+ x x 3. Számoljuk ki a határértékeket: a) lim x ( x9 + 4x 6 x 3x + x 3x + + ) b) lim c) lim x (x ) x (x ) [6 x] d) lim x 5+ + {3x} ( g) hf lim x x + ) x 3 x 9 + x 3 j) hf lim x x 4. Számoljuk ki a határértékeket: e) lim x 5 h) hf lim x ± k) hf lim x [6 x] + {3x} ( 4x + 3x x) ( x + 3 x 3 ) f) lim x x 3x + x i) hf lim x x 4x + x x 5 3x + l) hf lim x ± x 7 + 4x a) lim x 0 sin 5x x sin 5x d) hf lim x 0 tg 3x b) lim x 0 tg 4x sin 3x e) hf lim x 0 5x sin 8x 7x + sin x c) lim x 0 cos 9x x x f) hf lim x 0 cos x 5 ḥf Ábrázoljuk a függvényeket, majd határozzuk meg a határértékeket. a) lim sin x b) lim x x x sin x c) lim sin x 0 x 6 ḥ f Mutassunk példát olyan R R függvényre, amely a) minden pontban folytonos b) semely pontban sem folytonos c) pontosan egy pontban nem folytonos d) pontosan egy pontban folytonos d) lim x 0 x sin x Egy f : R R függvénynek a határérétéke x 0 -ban a, (jelölésben lim f(x) = a), ha minden x x0 (x n ) x 0, x i x 0 sorozat esetén f(x n ) a. Ekvivalens definíció: lim f(x) = a, ha x x0 ε > 0-hoz δ, hogy x x 0 < δ, és x x 0 esetén f(x) a < ε. f folytonos az x 0 pontban, ha lim x x0 f(x) = f(x 0 ). f folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.

9 8. feladatsor: differenciálszámítás. Hol deriválhatóak a következő függvények? Adjuk meg a deriváltakat! a) x 7 b) x c) /x d) x 7 5 x e) sin x 3 f) ctg x g) x sin x h) 7 x i) x + x x 7 + x + j) sin x x 3 + e x cos x k) sin 5 (x 3 ) l) hf sgn x m) hf x sin x cos x n) hf log 3 x o) hf log x x p) hf (x 3 3x + 8) 7 q) hf x + + x r) hf (sin 3 (x) + ) 7 s) hf x x t) hf (sin x) cos x. a) Legyen f(x) = 3 x. Mutassuk meg, hogy f (0) nem létezik! b) Legyen f(x) = 3 x sin 3 x. f (x) =? (x = 0-ban használjuk a definíciót.) c) hf Legyen f(x) = x sin(x ). f (x) =? (x = -ben használjuk a definíciót.) 3. Legyen f(x) = arctg + x, ha x és f() = β. x a) Megválasztható-e β értéke úgy, hogy az f függvény folytonos legyen x = -ben? b) f (x) =?, ha x c) lim f (x) =? Létezik-e f ()? x 4. Írjuk fel az alábbi függvények grafikonjának x 0 abszcisszájú pontjához húzott érintőegyenes egyenletét! a) f(x) = x 3, x 0 = ; b) f(x) = ln 3x, x 0 = e /3; c) hf f(x) = sin x, x 0 = π; d) hf f(x) = + sin(xe x+ ), x 0 = Milyen α és β mellett deriválható? { α + cos x ha x > 0 a) f(x) = βx különben { sin(αx) ha x > 0 b) hf g(x) = x + β különben 6. Pista ceruzájának a hegye a (4, 0) pontban van, és innen érintőegyenest szeretne húzni az f(x) = x /3 függvényhez. Hány fokos szögben kell elindítania a ceruzáját? 7 ḥ f Van-e az f(x) = x parabolának olyan érintője, amely átmegy a (, ) ponton? Ha igen, írjuk fel az érintő egyenletét! 8 ḥ f Ha a holdon felfelé elhajítanánk egy követ 4m/s kezdősebességgel, akkor t másodperc múlva 4t 0.8t magasan lenne. a) Írjuk fel a kő sebességét az idő függvényében. b) Milyen magasra repül a kő? c) Mekkora a holdon a gravitációs gyorsulás? d) Mennyi idő alatt esik vissza? f(x) f(x 0 ) Ha az f : R R függvény értelmezve van x 0 egy környezetében, akkor a lim x x0 x x 0 számot (amennyiben létezik és véges) f x 0 -beli deriváltjának nevezzük, és f (x 0 )-val jelöljük. Az x f (x) függvényt f derivált függvényének, vagy röviden deriváltjának nevezzük, és f -vel jelöljük.

10 A deriválás alapszabályai c = 0 (cf) = cf (cf(x)) = cf (x) (f + g) = f + g (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (fg) = f g + g f (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + g (x)f(x) ( f g ) = f g g f g ( ) f(x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g(x) g(x) (f g) = (f g)g (f(g(x)) = f (g(x))g (x) (f ) = f f (f (y)) = f (f (y)) Az alapfüggvények deriváltjai (x n ) = nx n (sin x) = cos x (tgx) = cos x (arcsin x) = x (cos x) = sin x (ctgx) = sin x (arccos x) = x (arctgx) = (arcctgx) = + x + x (e x ) = e x (a x ) = a x ln a (ln x) = x (shx) = chx (thx) = ch x (shx = ex e x chx = ex + e x thx = shx chx (log a x) = x ln a (chx) = shx (cthx) = sh x cthx = chx ) shx Függvényvizsgálat az [a, b] intervallumon f 0 f monoton növekszik [a, b]-n az [a, b] intervallumon f 0 f monoton csökken [a, b]-n f (a) = 0, és f előjelet vált a-nál f-nek lokális szélsőértéke van a-ban az [a, b] intervallumon f 0 f konvex [a, b]-n az [a, b] intervallumon f 0 f konkáv [a, b]-n f (a) = 0, és f előjelet vált a-nál f-nek a inflexiós pontja

11 9. feladatsor: L Hospital-szabály, szélsőérték-keresés. Milyen α, β-ra deriválhatóak a következő függvények? { { α cos x ha x > 0 sin x ha x > 0 a) b) hf βx különben αx + β különben { x 3 + α c) hf ha x > βx különben. Kiszámolandó határértékek: sin x a) lim x 0 e x d) lim x (ln x) tg π x b) lim x 0 e x x x 3 c) lim x x e 5x e) lim x 0 g) hf lim x 0 e x x x h) hf lim x π j) hf lim x ln x 7 x 0+ k) hf lim x tg x x + sin x x cos x i) hf lim (π x) x 0 ) ( x x ln x m) hf lim (tg x) tg x n) hf lim (ctg x) ln x x π/4 x 0+ x(e x + ) (e x ) f) hf lim x 0 x ( 3 x ) x sin x l) hf lim x 0+ xtg x 3. Keressük meg az alábbi függvények lokális szélsőértékeit: a) f(x) = x 3 3x 8x + 5 b) hf f(x) = x 3 6x + x Zsiga pálinkafőzdéje hetente x hordó pálinkát x 3 6x + 5x ezer forint költséggel képes előállítani, és y hordót 9y ezer forintért tud eladni. Mennyit kell termelnie, hogy maximális legyen a profitja? 5. Keressük meg a függvények adott intervallumon vett szélsőértékeit. a) f(x) = x + x 3, I = [ 3, ] b) f(x) = x, I = (, ) c) hf f(x) = sin x, I = [, ] d) hf f(x) = x 3 3x + 5, I = [ /, 4) 6 ḥ f Ede akkora téglalap alakú folyóparti telket kap, amekkorát 000 méternyi drótkerítéssel körül tud keríteni. (A folyópart egy egyenes, a teleknek erre kell illeszkednie. A telek folyóparti oldalára nem kell kerítés.) Milyen alakban kell felépítenie a kerítést, hogy a lehető legnagyobb területű legyen a telke? 7 ḥ f Hogyan válasszunk két pozitív számot úgy, hogy az összegük 50 legyen, a szorzatuk pedig a lehető legnagyobb? Hogyan válasszunk két pozitív számot, hogy a szorzatuk 50 legyen, az összegük pedig a lehető legnagyobb? A L Hospital-szabály: Legyenek az f és g függvények differenciálhatóak az x 0 egy környezetében, és legyen itt g(x) 0 és g (x) 0. Legyen továbbá lim f(x) = lim g(x) = 0 x x0 x x0 lim f (x) lim f(x) x x vagy lim f(x) = lim g(x) = +. Ha 0 x x x x0 x x0 lim g = A, akkor 0 (x) lim g(x) = A, ahol x 0 és A x x 0 x x 0 lehet valós szám vagy ±.

12 0. feladatsor: szöveges szélsőérték-feladatok. Egy téglalap alakú, méteres kartonpapírból felül nyitott, téglalap alakú dobozt hajtogatunk úgy, hogy a papír négy sarkából négy egybevágó négyzetet vágunk ki, majd felhajtjuk a doboz oldalait. Mekkora négyzeteket kell kivágnunk, hogy a doboz térfogata maximális legyen?. Egy épülő atlétikapályán két párhuzamos egyenes szakaszból és az őket összekötő félkörívekből áll a futópálya. Hogyan kell kialakítani a pálya alakját, hogy a futópálya hossza 400 méter legyen, és a lehető legnagyobb területű téglalap alakú focipálya férjen el a belsejében? 3. A Populista Párt vezetője tudja, hogy ha hatalomra kerülése esetére a bérek x-szeresére való növelését ígéri meg, akkor a szavazók 30(x ) százaléka nem fog hinni neki, viszont a maradék szavazók 50(x ) százaléka a pártra fog szavazni. Hányszoros bérnövekedést kell ígérnie, hogy a lehető legtöbb szavazatot kapja? 4. Egy derékszögű háromszög átfogója 0 cm. Maximum mennyi lehet a területe? 5. Egy egyenes körkúp alapkörének a sugara méter, magassága 5 méter. Határozzuk meg a kúpba írható maximális térfogatú henger adatait! 6 ḥ f Magyarországon a teljes lakosság év alatt összesen 0 3 forintnyi jövedelmet kap. Tudjuk, hogy ha a keresetek (00y)%-át kéne jövedelemadóként befizetni, akkor a lakosság a befizetendő adó (00y 3 )%-át elcsalná (nem fizetné be). Ilyen feltételek mellett mekkorára kéne az adókulcsot állítani, hogy a lehető legtöbb pénz folyjon be? 7 ḥ f Egy egyenlő szárú trapéz két szára és az alapja cm hosszú. Hogyan kell megválasztani a száraknak az alappal bezárt szögét, hogy a területe maximális legyen? 8 ḥ f Lenke elhatározta, hogy feltölti a 0000 literes úszómedencéjét, melyhez a vizet a közeli kútról fogja vödörrel hordani. Tetszőlegesen nagy vödröt választhat a munkához, de tudja, hogy ha egy fordulóval l liter vizet hoz, akkor a forduló 64+l másodpercig fog tartani. Hogyan válassza meg l értékét, hogy a lehető leggyorsabban végezzen? 9 ḥ f Roland elhatározza, hogy kifesti a szobáját. Persze ehhez előbb a bútorokat többé-kevésbé össze kell tologatnia, hogy mindenütt hozzáférjen a falhoz. Roland tudja, hogy ha t órát fordít a bútorok összetologatására, akkor a festéssel 0( + /t) óra alatt végez, viszont a festés után megint t órát vesz igénybe a bútorok eredeti helyzetbe való állítása. Hogyan kell t értékét megválasztania, hogy a lehető leghamarabb legyen kész? 0 ḥ f Egy hajó üzemeltetési költségeit a fűtőanyag-fogyasztás és egyéb kiadások képezik. Az óránként felhasznált fűtőanyag A értéke függ a sebességtől; az összefüggést az A = 0, 03 v 3 képlet fejezi ki, ahol v (km/h) a sebesség; az egyéb kiadások B forintot tesznek ki. Határozzuk meg, milyen sebességgel haladjon a hajó, hogy a kilométerenkénti költség a lehető legkisebb legyen. (Vegyük B-t pl. 480 Ft-nak.) ḥ f Két egymást merőlegesen metsző folyosó szélessége, 4 m, illetve, 6 m. Mekkora az a leghosszabb létra, amelyet (vízszintes helyzetben) az egyik folyosóról a másikra át lehet vinni? ḥ f Egy házra olyan ablakokat terveznek, amelyeknek alsó része téglalap alakú, felső része pedig a téglalapra illő félkör. Egy-egy ablak adott kerülete K. Hogyan kell megválasztani az ablakok méreteit, hogy minél több fényt engedjenek át?

13 . feladatsor: Taylor-polinom, függvényvizsgálat. Számoljuk ki a következő Taylor-polinomokat, és írjuk fel a hozzájuk tartozó hibatagot! a) f(x) = (x ), középpont: 3, T 3 (x) =? b) f(x) = sin x, középpont: π, T n (x) =? c) hf f(x) = e x, középpont: 0, T 5 (x) =? d) hf f(x) = ln cos x, középpont: 0, T 6 (x) =?. ln(.)-et szeretnénk közelítőleg kiszámolni a ln( + x) függvény 0 közepű Taylor-polinomja segítségével. Hányadik tagig kell elmennünk, hogy a közelítés hibája 0 8 alá csökkenjen? 3 ḥf Írjuk fel az f(x) = x + 5x 3 + sin x függvény x 0 = 0 középpontú harmadrendű Taylorpolinomját és a hozzá tartozó hibatagot! Legfeljebb mekkora hibát követünk el, ha f(0.) értékét T 3 (0.) értékével közelítjük? 4. Számoljuk ki közelítőleg a megadott számokat egy alkalmas függvény., 3., 4. rendű Taylorpolinomját használva eszközül. Becsüljük meg a közelítés hibáját! a) b) hf sin 33 o c) hf e 5. Végezzük el a függvényvizsgálatot, rajzoljuk le a függvényt. a) x 6 5x 5 + 0x 4 7 b) x x c) x x x e) hf f) hf x 3 e x g) hf e x ( + x) d) x x + x + ln x hf h) x 6 ḥ f Már láttuk, hogy lim n n =, sőt, lim x x x =. a) deriváljuk az x x függvényt! b) hol veszi fel az x x függvény a maximumát? c) ábrázoljuk a x x függvényt! d) max{ n n n N} =? 7 ḥ f Keressük meg az y = x parabolának azt a pontját, amely a (6, 0) ponthoz a legközelebb van! Egy n-szer deriválható függvény a körüli n. rendű Taylor-polinomja: n f (k) (a) T n (x) = (x a) k. A közelítés hibatagja: R n (x, ξ) = f (n+) (ξ) (x a)n+ k! (n + )! k=0 Taylor tétele: Ha f (n) differenciálható az [a, b] intervallumon, akkor létezik egy ξ [a, b], hogy f(b) = T n (b) + R n (b, ξ). Függvényvizsgálat alatt azt értjük, hogy a függvény első két deriváltjának az előjelét megvizsgálva megállapítjuk, hogy a függvény hol monoton, hol konvex, hol vannak lokális szélsőértékei, inflexiós pontjai, majd ezek ismeretében lerajzoljuk a függvény grafikonját.

14 . feladatsor: primitívfüggvény-keresés. Keressük meg a primitív függvényeket. x a) (3x 9 x + ) dx b) 3 x 7x + 8 x dx c) dx x x d) hf x + dx e)hf tg cos x x dx f) hf sin x + cos x dx. Keressük meg a primitív függvényeket. a) (x + 3) 5 dx b) dx c) (x + 3) 5 d) dx e) dx f) (9x + ) 9x + x 5x g) dx h) 8 dx i) 9x + 3 j) e x x 3 + cos(x) dx k) hf x dx l)hf e 3x m) hf e 3x + 5 dx n)hf x ln x dx o)hf 9x + dx 9x + 3 dx 3 x dx tg x dx x arcsin x dx 3. Keressük meg a primitív függvényeket. a) x (x 3 ) 5 dx b) x 3 x + dx c) x d) (x + ) dx e) e 9x (e 9x + ) 9 dx f) 3 e t dt g) h) t ln 3 x j) dx k) x m) xe x dx n) p) hf arctg x dx q) hf 4 ḥ f Hol a hiba? ln x = x x + dx xe 3x dx ln x sin 3 x cos x dx i) x dx x ln 3 dx l) x cos x dx x x e x dx o) hf ln x dx e x sin x dx 00 x dx = 00x dx = 00 00x r) hf ln x x dx dx = 00ln 00x 00 = ln 00x Legyen f : I R tetszőleges függvény. Ha egy F : I R függvényre F = f, akkor F az f primitív függvénye. f primitív függvényeinek halmazát f jelöli. Szokásos még az f(x) dx jelölés is, illetve a határozatlan integrál elnevezés. F (ax + b) f(ax + b) dx = a f (x)f α (x) dx = f α+ (x) α + f (x)e f(x) dx = e f(x) ( f = F ); (ha α ); f (x) dx = ln f(x) ; f(x) f(g(x))g (x) dx = F (g(x)) ( f = F ); A parciális integrálás: fg = fg f g.

15 3. feladatsor: helyettesítéses integrálás, törtfüggvény. Alkalmas helyettesítéssel számoljuk ki a következő integrálokat (dolgozatban a helyettesítést mindig megadjuk): a) x sin(x 3 ) dx b) dx c) sin xe cos x dx x d) sin 4 x cos x dx g) hf 4 x dx h) hf j) hf x dx x 4 e) hf ln x k) hf x dx x x dx f)hf dx x x i) hf l) hf x 9 x dx 4 dx + (x + ) dx e x + e x. Keressük meg a primitív függvényeket. a) 5x 3 x 3 4x x 3 dx b) dx c) x x 3 x x 3 d) x + 3 4x 4x + 0 dx e)hf dx (x ) (x f)hf + ) x + 5 x + 6x + 9 dx x 4 x + x dx A helyettesítéses integrálás: f(x) dx = f(φ(t))φ (t) dt t=φ (x), amennyiben φ (t) < 0 vagy φ (t) > 0 a kérdéses intervallumon. ( ) dt (Nem korrekt, ám könnyen megjegyezhető erre így gondolni: f(x) dx = f(x) dx = dt f(x) dx dt dt = f(x(t))x (t) dt. Ekkor valójában egy x = x(t) helyettesítést végzünk. A kapott eredmény t függvénye, azaz vissza kell helyettesíteni t helyébe az x(t) függvény inverzét.) αx + β dx kiszámolása: Legyen a nevező diszkriminánsa D. ax + bx + c A Ha D = 0: A nevező teljes négyzet, így = (x + b ) + B dx = A ln (x + b x + b ) a B. x + b a a a A Ha D > 0: Parciális törtekre kell bontani: = x + a + B dx = A ln x + a + B ln x + b. x + b f (x) Ha D < 0: = A f(x) dx + B dx = A ln f(x) + B arctg(...). f(x)

16 4. feladatsor: Riemann-integrál. Egy méter hosszú vályú keresztmetszetét az f(x) = 5x, x [ 0., 0.] függvény írja le. a) Mennyi víz fér a vályúba? b) Ha 0 liter vizet öntünk bele, milyen magas lesz a vízszint?. Mekkora az f és g függvények grafikonja által közrefogott síkidom területe, ha a) f(x) = x + és g(x) = x b) hf f(x) = x és g(x) = x 3 c) hf f(x) = x és g(x) = x + 3. Számoljuk ki az integrálokat! a) c) 0 x dx b) 3x x 3 + dx d) / / [x] dx x dx e) ln 0 3 xe x dx f) hf {x} dx 0π e g) hf ( cos 3x) sin 3x dx h) hf ln x dx 0 /e ln i) hf ex dx ḥ f Mekkora területet vág ki az x + y 8 körlapból az y = x parabola? A Newton-Leibniz-szabály: Ha f : [a, b] R integrálható, és F egy primitív függvénye, akkor b a f(x) dx = [F (x)] b a := F (b) F (a). Helyettesítés határozott integrálra: Ha g szigorúan monoton növekvő vagy csökkenő, akkor b f(x) dx = g (b) a g (a) f(g(y))g (y) dy. (Ha a képletben minden integrál létezik.)