Analízis II. gyakorlat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis II. gyakorlat"

Átírás

1 Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7.

2 Tartalomjegyzék Előszó Ismétlés Integrálás Koordinátageometria Térgörbék Ívhossz Görbületi sugár Torzió Kísérő triéder Érintő, kitüntetett síkok, feladatmegoldás lépései Feladatok Kettős integrál Téglalap tartományon Normáltartományon Integráltranszformáció Szimmetriák Feladatok Hármas integrál Integráltranszformáció Feladatok Felületek Paraméteres megadás Felületi görbék Érintősík Felszín Explicit megadás Érintősík Felszín Érintősík és felszín, feladatmegoldás lépései Feladatok Skalármező, vektormező Gradiens ivergencia Rotáció Laplace-operátor Összefüggések Potenciálfüggvény Létezése Meghatározása Feladatok Vonalintegrál Kiszámítása Potenciálos erőtér esetén Feladatok Felületi integrál (fluxus) Kiszámítása Feladatok Stokes-tétel Stokes-tétel Feladatok Gauss Osztrogradszkij-tétel Gauss Osztrogradszkij-tétel

3 Feladatok Wolfram Alpha Vektorok Térgörbék ifferenciálás Integrálás Maple A VectorCalculus csomag Térgörbék Kettős integrál Hármas integrál Felületek Skalármező, vektormező Vonalintegrál Felületi integrál

4 Előszó Ez a gyakorlati jegyzet a Széchenyi István Egyetem mesterszakos mérnökhallgatói számára, az Analízis II. (vektoranalízis) tárgyhoz készült. Célja, hogy kidolgozott típusfeladatokon keresztül segítse a hallgatók felkészülését az évközi és vizsgazárthelyikre. A gyakorlati jegyzet legfrissebb példánya letölthető a oldal oktatás menüpontja alól. Észrevételeket és az elírások, hibák bejelentését a nemetha@sze.hu címre várom. A kidolgozásra került feladatok nagy része r. Lotfi Abdelhakimtól származik, köszönet értük. Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Legyen f(x) integrálható a, b]-n, továbbá F (x) folytonos a, b]-n és F (x) f(x) minden x (a, b)-re. Ekkor: b a f(x) dx F (x)] b a F (b) F (a). Az F (x) függvény az f(x) primitív függvénye vagy határozatlan integrálja, jele F (x) f(x) dx. Alapintegrálok sin x dx cos x + C cos x dx sin x + C tg x dx ln cos x + C ctg x dx ln sin x + C cos dx tg x + C x sin dx ctg x + C x x n dx xn+ + C (n ) n + x dx ln x + C e x dx e x + C a x dx ax ln a + C sh x dx ch x + C ch x dx sh x + C th x dx ln ch x + C cth x dx ln sh x + C ch dx th x + C x sh dx cth x + C x dx arctg x + C + x dx arcsin x + C x + x x dx arsh x + C ln ( x + ) x + dx sgn x arch x + C sgn x ln + C ( x + ) x + C

5 Integrálási szabályok c f(x) dx c f(x) dx (f(x) ± g(x)) dx f(x) dx ± g(x) dx F (ax + b) f(ax + b) dx ha F (x) f(x) dx a f (x)f n (x) dx f n+ (x) + C (n ) n + f (x) dx ln f(x) + C f(x) f(x)g (x) dx f(x)g(x) f (x)g(x) dx (parciális integrálás) an x n + a n x n + + a x + a b k x k + b k x k dx (cn kx n k + c n k x n k ) + + c x + c dx + + b x + b d d e x + f + dx + dx + + x + r x + r x + q x + s dx + e x + f x + q x + s dx + alakban áll elő, ahol ( bk x k + b k x k + + b x + b ) bk (x + r ) (x + r ) (x + q x + s ) ( x + q x + s ) (parciális törtekre bontás). Trigonometrikus és hiperbolikus függvények Hiperbolikus függvények: ch x ex + e x sh x ex e x th x sh x ch x cth x sh x ch x Inverz hiperbolikus függvények: arch x u arsh x v x ch u eu + e u x sh v ev e v (e u ) xe u + (e v ) xe v e u x + x e v x + x + arch x u ln(x + x ) arsh x v ln(x + x + ) Trigonometrikus és hiperbolikus függvények tulajdonságai: cos x + sin x ch x sh x cos( x) cos x sin( x) sin x ch( x) ch x sh( x) sh x cos x sin x sin x cos x ch x sh x sh x ch x cos(x ± y) cos x cos y sin x sin y sin(x ± y) sin x cos y ± cos x sin y cos x cos x + sin x cos x ch(x ± y) ch x ch y ± sh x sh y sh(x ± y) sh x ch y ± ch x sh y ch x ch x + sh x ch x 4

6 Trigonometrikus és hiperbolikus integrálok: cos x + cos x dx dx 4 sin x + x + C ( cos x dx sin x ) cos x dx sin x sin x + C ( cos 4 x dx sin x ) cos x dx 4 sin x + x sin x dx 4 4 sin x + x + cos 4x 4 sin 4x + 4 sin x + 8 x + C ( cos n x dx sin x ) cos n x dx cos n x dx + sin x cos n x( sin x) dx cos n x dx + n sin x cosn x cos x cos n x dx n n cos n x dx n n sin x cosn x + cos n x dx cos n x dx n sin x cosn x + n cos n x dx (rekurzív képlet) n Azonos elven kiterjeszthető sin x, illetve ch x és sh x hiperbolikus függvények hatványaira. Koordinátageometria Skaláris szorzat a b a b cos α, ahol α az a, b vektorok által bezárt szög. erékszögő koordinátarendszerben a b a x b x + a y b y + a z b z. Legfontosabb tulajdonságai: a b b a (kommutativitás) (λ a) b λ( a b) ( a + c) b a b + c b (disztributivitás) Vektoriális szorzat a b a b sin α, ahol α az a, b vektorok által bezárt szög, a b a, b és a, b, a b jobbsodrású rendszert alkotnak. erékszögő koordinátarendszerben a b (a y b z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ). Legfontosabb tulajdonságai: a b b a (antikommutativitás) (λ a) b λ( a b) ( a + c) b a b + c b (disztributivitás) Vegyes szorzat a b c ( a b) c, a b c a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogata. Előjele akkor pozitív, ha a vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak. erékszögű koordinátarendszerben a x a y a z a b c det b x b y b z. c x c y c z Legfontosabb tulajdonságai: a b c b c a c a b a c b b a c c b a 5

7 (λ a) b c λ( a b c) a b( c + d) a b c + a bd (disztributivitás) Egyenes egyenlete Adott r (x, y, z ) ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes paraméteres egyenlete: r(t) (x + v x t, y + v y t, z + v z t). Sík egyenlete Adott r (x, y, z ) ponton áthaladó, n normálvektorú sík egyenlete: n ( r r ) n x (x x ) + n y (y y ) + n z (z z ) n x x + n y y + n z z (n x x + n y y + n z z ). Kör egyenlete Az (x, y ) középpontú és r sugarú kör egyenlete: (x x ) + (y y ) r. Ellipszis egyenlete Ellipszis egyenlete: x a + y b. Parabola egyenlete Parabola egyenlete: y αx. Hiperbola egyenlete Hiperbola egyenlete: a y b ±. +: vízszintes főtengelyű, : függőleges főtengelyű. Gömb egyenlete Az (x, y, z ) középpontú r sugarú gömb egyenlete: (x x ) + (y y ) + (z z ) r. Ellipszoid egyenlete x Ellipszoid egyenlete: x a + y b + z c. Paraboloid egyenlete Paraboloid egyenlete: Forgásparaboloid: z c x a + y b. z α(x + y ). 6

8 Hiperboloid egyenlete Hiperboloid egyenlete: +: egypalástú, : kétpalástú. x a + y b z c ±. Kúp egyenlete Kúp egyenlete: Körkúp: x a + y b z c. z α (x + y ). Térgörbék r : R R függvény, r(t) (x(t), y(t), z(t)) x(t) i + y(t) j + z(t) k, komponensenként deriváljuk. Görbe ívhossza Az r(t) térgörbe t paraméterének t és t értéke közötti szakaszának ívhossza Görbe görbületi sugara t t r(t) dt t t ẋ (t) + ẏ (t) + ż (t) dt. Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó görbülete: és görbületi sugara g(t ) r(t ) r(t ) r(t ), ρ(t ) g(t ) r(t ) r(t ) r(t ). A görbület értéke egyenesvonalú térgörbe minden pontjában. Görbe torziója Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó torziója: Értéke síkbeli térgörbe minden pontjában. Kísérő triéder T (t ) ( r(t ) r(t ))... r (t ) r(t ) r(t ). Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó kísérő triédere a ( τ(t ), n(t ), b(t )) egységnyi hosszúságú, páronként merőleges vektorok alkotta hármas. τ tangenciális vektor érintő irányú és a t paraméter növekedésének irányába mutat n főnormális vektor a simuló kör középpontja felé mutat 7

9 b binormális vektor a háromél harmadik vektora. Úgy irányítjuk, hogy ( τ(t ), n(t ), b(t )) jobbsodrású vektorrendszer legyen Két vektor által kifeszített sík normálvektora a harmadik vektor. A vektorpárok által meghatározott síkok elnevezései: τ és n által kifeszített sík a simuló sík n és b által kifeszített sík a normálsík τ és b által kifeszített sík a rektifikáló sík Kísérő triéder, görbületi sugár, torzió, simuló sík, érintő egyenes meghatározása Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó mennyiségek és objektumok meghatározásának lépései:.... Az r(t), r(t), r (t) deriváltak meghatározása, az r r(t ), r(t ), r(t ),... r (t ) helyettesítési értékek számítása. Az r hossz számítása, τ r származtatása, r az érintő egyenes paraméteres egyenlete: e(t) (x + τ x t, y + τ y t, z + τ z t) vagy e(t) (x + ẋ(t ) t, y + ẏ(t ) t, z + ż(t ) t), a normálsík egyenlete: τ ( r r ) vagy r ( r r ). Az r r vektoriális szorzat elvégzése, r r hossz számítása, r r b r származtatása, r g r r r és ρ g számítása, T ( r r)... r r r számítása, a simuló sík egyenlete: b ( r r ) vagy ( r r) ( r r ) 4. n b τ származtatása, a rektifikáló sík egyenlete: n ( r r ) Ellenőrzési lehetőség ( 4. lépés): n? Példák a.) Adott az r(t) (t sin t, cos t, 4 sin t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. r(t) (t sin t, cos t, 4 sin t ) r( π ) ( π,, ) r(t) ( cos t, sin t, cos t ) r( π ) (,, ) r(t) (sin t, cos t, sin t ) r( π ) (,, )... r (t) (cos t, sin t, cos t )... r ( π ) (,, 4 ) 8

10 r τ 4 (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( π + 4 u, + 4 u, + u). A normálsík egyenlete: (x π +, y, z ) 4 (,, ). r r 4 (, 7, ) r r 5 b 4 5 (, 7, ) g 5 8 ρ 8 5 T 9 4 A simuló sík egyenlete: (x π +, y, z ) 4 5 (, 7, ). n b τ 5 (,, ). A rektifikáló sík egyenlete: (x π +, y, z ) 5 (,, ). b.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. r(t) (t, t, t ) r() (,, ) r(t) (, 6t, 6t ) r() (, 6, 6) r(t) (, 6, t) r() (, 6, )... r (t) (,, )... r () (,, ) r 9 τ (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, + u, + u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). r r 8(,, ) r r 54 b (,, ) g 7 ρ 7 T 7 A simuló sík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). n b τ (,, ) A rektifikáló sík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). 9

11 c.) Adott az r(t) (cos t, cos t sin t, sin t) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π 6 pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. cos t+ sin t r(t) (,, sin t) r( π 6 ) 4 (,, ) r(t) ( sin t, cos t, cos t) r( π 6 ) (,, ) r(t) ( cos t, sin t, sin t) r( π 6 ) (,,... ) r (t) (4 sin t, 4 cos t, cos t)... r ( π 6 ) (,, ) r 7 τ 7 (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( 4 7 u, u, + 7 u). A normálsík egyenlete: (x 4, y 4, z ) 7 (,, ). r r 4 (5,, 8) r r 9 b 9 (5,, 8) g T 9 ρ A simuló sík egyenlete: (x 4, y 4, z ) 9 (5,, 8). n b τ ( 7,, 4) A rektifikáló sík egyenlete: (x 4, y 4, z ) ( 7,, 4). d.) Adott az r(t) ( + cos t, sin t, sin t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe P (,, ) pontbeli görbületét és normálsíkjának egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. t π r(t) ( + cos t, sin t, sin t ) r(π) (,, ) r(t) ( sin t, cos t, cos t ) r(π) (,, ) r(t) ( cos t, sin t, sin t ) r( π ) (,, ) r τ (,, ) A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). r r (,, ) r r 5 b 5 (,, ) g 5 ρ 5

12 n b τ 5 (,, ) e.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (t, t, t ) r() (4,, 4) r(t) (, t, t) r() (,, 4) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (4 + u, u, 4 + 4u). A normálsík egyenlete: (x 4, y, z 4) (,, 4). f.) Adott az r(t) (e t, e t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (e t, e t, t ) r() (,, ) r(t) (e t, e t, ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, u, u). A normálsík egyenlete: (x, y, z) (,, ). g.) Adott az r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) r() (,, ) r(t) (e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), e t ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, u, + u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). h.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. i.) r(t) (t, t, t ) r() (,, ) r(t) (, t, t ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (u,, ). A normálsík egyenlete: (x, y, z) (,, ). Adott az r(t) (, cos t, sin t) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (, cos t, sin t) r() (,, ) r(t) (, sin t, cos t) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (, u, u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). pontjához tartozó

13 j.) Számítsuk ki az r(t) (, cos t, sin t) térgörbe ívhosszát a t, π] intervallumon. r(t) (, sin t, cos t) l t t r(t) dt π + sin t + cos t dt π dt t] π π k.) Számítsuk ki az r(t) (t, 4t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, 4, t) l t t r(t) dt ] t dt 5 + t dt (t + 5) 4 (8 7 6) l.) Számítsuk ki az r(t) (t +, t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) l t (, t, t ) t r(t) dt + t + t 5 dt t ch u + du 5 6 t 6 u + 4 ( 5 arsh t + )] ( 4 t + ) dt ] t sh u t t t ch u du ( 4 t + ) ( 4 + t + ) m.) Számítsuk ki az r(t) (t, t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, t, t ) l t t r(t) dt + 4t + 4t 4 dt (t + ) dt (t + ) dt ] t + t 5 n.) Számítsuk ki az r(t) (e t, e t, t) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (e t, e t, ) l t t r(t) dt e t + e t + dt (et + e t ) dt (e t + e t ) dt e t e t] e e o.) Számítsuk ki az r(t) (t, t +, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (6t,, 6t) l t t r(t) dt t 6t + + 6t dt 7t + dt u + ] t sh u t arsh 6 + t t 6 ch u du t 6 ch u + du

14 p.) Számítsuk ki az r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) térgörbe ívhosszát a t, ln ] intervallumon. r(t) (e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), e t ) l t t r(t) dt ln e t (cos t sin t) + (cos t + sin t) + dt ln e t dt e t] ln q.) Számítsuk ki az r(t) (t 4, t, t + 6) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, t, t) l t t r(t) dt ] t + t4 + t dt (t + ) dt (t + ) dt + t 4 r.) Mely pontban párhuzamos az r(t) ( t+, t, ) térgörbe érintője a ( 6,, ) vektorral? +t r(t) ( (t+), ( t), ( t t + (+t) ) 6 r() (,, ) ( 6,, ) r( 4) ( 9, 8, ) ( 6,, ) A keresett pont a t. ) t ± t, 4 t + s.) Mely pontban merőleges az r(t) (t +, t, t) térgörbe érintője az (,, ) vektorra? r(t) ( t, t, ) r(t) (,, ) ( t, t, ) (,, ) t + t t A keresett pont a t. t.) Mely pontban merőleges az r(t) (sin t t cos t, cos t + t sin t, t + ) térgörbe érintője az (,, ) vektorra? r(t) (t sin t, t cos t, t) r(t) (,, ) (t sin t, t cos t, t) (,, ) t sin t t kπ A keresett pontok a t kπ k Z alakú pontok. u.) Mekkora szöget zárnak be egymással az r(t) (t +, (t + ), (t ) ) térgörbe t és t ponthoz tartozó érintői? r(t) ( t, (t + ), (t ) ) r() (,, ) r() r() (, 4, ) r() cos α r() r() (,, ) (, 4, ) 4 r() r() 65 ( 4 A keresett szög az α arccos 65 ).

15 v.) Mekkora szöget zárnak be egymással az r(t) (cos t + t sin t, sin t t cos t, t + ) térgörbe t és t π ponthoz tartozó érintői? r(t) (t cos t, t sin t, t) t (cos t, sin t, ) r r () (,, ) t t () r ( π ) r ( π ) 5 (,, ) 5 t t ( r r t () π ) t cos α r t () ( r π ) (,, ) (,, ) 4 t A keresett szög az α arccos ( 4 5). Kettős integrál Az f(x, y) függvény x változó szerinti primitív függvénye F (x, y), ha F x(x, y) f(x, y). Hasonlóan, az f(x, y) függvény y változó szerinti primitív függvénye G(x, y), ha G y(x, y) f(x, y). Jelölés: f(x, y) dx F (x, y) + C A tartomány feletti integrál jele: f(x, y) dx dy. Geometriai jelentése a kétváltozós függvény alatti (előjeles) térfogat. Kettős integrál téglalap tartományon Legyen T a, b] c, d] téglalap tartomány. ( b ) d f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx T a Kettős integrál normáltartományon c b a f(x, y) dy G(x, y) + C. ( d ) b G(x, y)] d c dx f(x, y) dx dy c a d c F (x, y)] b a dy Az N x tartomány x szerinti normáltartomány, ha léteznek olyan a, b valósak és ϕ (x), ϕ (x) függvények, melyekre N x {(x, y) R: a x b, ϕ (x) y ϕ (x)}. Az N y tartomány y szerinti normáltartomány, ha léteznek olyan c, d valósak és ψ (x), ψ (x) függvények, melyekre N y {(x, y) R: c y d, ψ (y) x ψ (y)}. Függvény integrálja x szerinti normáltartomány felett: ( b ϕ(x) ) N x f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx a ϕ (x) Függvény integrálja y szerinti normáltartomány felett: ( d ψ(y) ) N y f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy c ψ (y) b a b a G(x, y)] yϕ(x) yϕ (x) dx. F (x, y)] xψ(y) xψ (y) dy. 4

16 Integráltranszformáció A helyettesítéses integrálás általánosítása kettős integrálokra. Az (x, y) koordinátákról az (u, v) koordinátákra való áttérés: f(x, y) dx dy f(x(u, v), y(u, v)) det J(u, v) du dv, ahol a Jacobi-mátrix. Áttérés polárkoordinátákra A koordináták közötti áttérés: (x,y) J(u, v) x u (u, v) x v(u, v) y u(u, v) y v(u, v) x(r, ϕ) r cos ϕ y(r, ϕ) r sin ϕ r, ), ϕ, π). ] A Jacobi-mátrix és determinánsa: J(r, ϕ) x r (r, ϕ) x ϕ(r, ϕ) y r(r, ϕ) y ϕ(r, ϕ) det J(r, ϕ) r(cos ϕ + sin ϕ) r. ] cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ] Röviden: dx dy r dr dϕ x r cos ϕ y r sin ϕ. A szimmetriák kihasználása Páratlan függvény szimmetrikus intervallum feletti integrálja: f( x) f(x) a a f(x) dx. Páros függvény szimmetrikus intervallum feletti integrálja: f( x) f(x) a a f(x) dx a f(x) dx. Periodikus függvény integrálja (több) periódus hosszúságú intervallumon: a+nt T f(x + T ) f(x) f(x) dx n f(x) dx. a Alkalmazva sin x és cos x függvények páratlan hatványainak integráljára (n Z): π π sin x dx sin n+ x dx π π cos x dx cos n+ x dx. a.) Példák Számítsuk ki az f(x, y) x ln sin y függvénynek a x, y π tartomány feletti integrálját. Az x változóban páratlan függvény integrálja az x változóban szimmetrikus tartományra. π (x ln sin y) dx dy π dy 5

17 b.) Számítsuk ki az f(x, y) x y + x sin y + x ( + tg y) függvénynek a x, y tartomány feletti integrálját. (x y + x sin y + x ( + tg y)) dy dx + x dy dx + + (x sin y + x tg y) dy dx + x y ] y y dx x dx 4 x dx x y dx dy 4 x ] c.) d.) Számítsuk ki az f(x, y) x (5 + sin y) függvénynek a x, y π tartomány feletti integrálját. Használjuk ki hogy a sin y függvény π szerint periodikus, és a teljes periódusra vett integrálja. π π ] 5π x (5 + sin y) dy dx 5x dy dx 5πx dx 4 x4 5π 4 Számítsuk ki az f(x, y) xy függvénynek a x + y 4 tartomány feletti integrálját. (Mindkét változóban) páratlan függvény integrálja (mindkét változóban) szimmetrikus tartományra. 4 x 4 x xy dy dx dx e.) Számítsuk ki az f(x, y) x függvénynek a x + y 4 tartomány feletti integrálját. Térjünk át polárkoordinátákra. π x dx dy r cos ϕ r dϕ dr r 4 π 4 ] 4π π cos ϕ + r dϕ dr π r dϕ dr π r dr f.) Számítsuk ki az f(x, y) xy függvénynek az y, x, y x x szerinti normáltartománynak tekintve: x ] y x xy dy dx x y dx y y y szerinti normáltartománynak tekintve: ] x xy dx dy y x dy xy x 8 dx x 4 7 ] 9 (y 9 ) y dy y 98 y4 ] tartomány feletti integrálját g.) Számítsuk ki az f(x, y) x y + függvény integrálját az y x parabola és az y x + egyenes által közrefogott tartományon. A metszéspontok x koordinátái: x x + x ± 4 +,. x+ (x y + ) dy dx (x + )y ] yx+ y dx x yx ((x + )(x + ) (x + ) (x + )x + ) x4 ( x4 x ) x + x dx ] x 5 5 x4 x + x 9 dx 6

18 h.) Számítsuk ki az f(x, y) y függvény integrálját az x y és x 8 y parabolák által határolt tartományra. A metszéspontok y koordinátái: y 8 y y ±. 8 y y dx dy y x ] x8 y 8 dy y (8 y ) dy xy y y ] 5 y i.) Számítsuk ki az f(x, y) x y függvénynek a x + y, y tartomány feletti integrálját. y y x y dx dy ] x y y y dy ( y ) y dy ] 5 ( y ) 5 5 ( ) 5 4 j.) Számítsuk ki az x + y körlapból az y x parabola által kimetszett tartomány területét. A metszéspontok y koordinátái: y y + y ± 4 + ± 5,. A metszéspontok: (, ), (5, 5), (5, 5). 5 x 5 x x5 dy dx 5 5 ( x ) dx x5 x 5 cos u + 5 ( 5 x y] x dx x (x )) dx 5 5 x 5 du + 4 x x + arcsin ( x sin u cos u du + ) ] x5 4 sin u + ] x5 u + 4 x 5 x arcsin ( x ) dx x ] 5 x5 x cos u du x 5 sin u cos u + ] x5 u + 4 x 5 ( ) ( ) arcsin k.) Számítsuk ki az x + y 5 körlapból az y x parabola által kimetszett tartomány területét. A metszéspontok lehetséges y koordinátái: 5 y y + y ± + 4 6, 4 4. A metszéspontok: (, 4), (, 4). 5 x ( 5 x 5 ( dy dx y] x dx x x )) ( x ) dx 5 dx 5 x + ( x ) dx 5 x x sin u cos u du + x 5 cos u + du 6 5 x 4 sin u + ] x u x x 5 x + 5 ( x ) ] x arcsin arcsin 5 x x ] x x 5 cos u du 6 x 6 5 sin u cos u + ] x u 6 x ( ) arcsin 5 l.) Számítsuk ki az y, x + y 9, x + y 6 egyenletek által meghatározott síkidom területét. Térjünk át polárkooridinátákra. 4 π 4 4 π dx dy r dϕ dr rϕ] π dr πr dr r] 4 7 π ( ) 5 7

19 m.) Számítsuk ki az y x parabola és az y x + egyenes által közrefogott területet. A metszéspontok x koordinátái: x x + x ± 9,. x+ dy dx (x + x ) dx x + x x ] x 9 n.) Számítsuk ki az f(x, y) ln(x + y ) függvénynek az x, y, x + y 9, x + y 6 tartományra vonatkozó integrálját. Térjünk át polárkooridinátákra. 4 π ln(x + y ) dx dy (ln r )r dϕ dr π ln ( 4 6 e 7 9 ) 4 r(ln r)ϕ] π dr 4 π 4 πr ln r dr 4 r ( ln r )] o.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: z, x + y < 9, x + y + z 5. A tartomány alapja: x + y 9. Térjünk át polárkoordinátákra. 5 x y dy dx π 5 r r dϕ dr π 5 r r dr π ] (5 r ) π p.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: x + y + z 8, z x + y. A tartomány alapja: x + y z 8 x y x + y 4. A térfogat a gömbszelet és a kúp térfogatából tevődik össze. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 8 x y ) x + y dx dy π π ( 8 r r) r dϕ dr π ( 8 r ) ] r π ( ) q.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: x + y, z, z x + y +. A tartomány alapja: x + y. Térjünk át polárkoordinátákra. (x + y + ) dx dy π π ( + r cos ϕ + r sin ϕ)r dϕ dr π r dϕ dr 6π ( 8 r r) r dr r r dr 6π ] r.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: z x + y +, z (x + y ) +. A tartomány alapja: (x +y )+ (x +y )+ x +y 9. A térfogatot a két paraboloid térfogatának különbsége adja. Térjünk át polárkoordinátákra. (( (x + y ) + ) ( (x + y )) ) + dx dy π ( 6 r )r dϕ dr π π r ] r4 7 4 π ( r )r dr 8

20 s.) Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. t.) A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ± ± 5 4,. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( ) 4 x y (x + y ) dx dy π ( 4 r r )r dϕ dr π π ] (4 r ) r4 9 6 π ( 4 r r )r dr Számítsuk ki az x + y + z és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z z z ± + ±,. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( ) x y (x + y ) dx dy π ( r r )r dϕ dr π π ] ( ( r ) 8 r4 π 5 ) ( r r )r dr u.) Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. v.) A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ± ± 7 7. A tartomány alapja: x + y 7. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 4 x y (x + y )) dx dy π 7 7 π ( 4 r r )r dϕ dr ( 4 r r )r dr π ] 7 (4 r ) 4 r4 π ( 89 7 ) 7 Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z (x + y ) felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ±. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a kúp és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 4 x y (x + y )) dx dy π π ( 4 r r)r dϕ dr π (4 r ) r ] 8 π( ) ( 4 r r)r dr 9

21 w.) x.) Számítsuk ki az (4x + y + ) dx dy integrál értékét azon a háromszög tartományon, melynek csúcsai P (, ), P (, 4) és P (, 4). y szerinti normáltartománynak tekintve (4x + y + ) dx dy Számítsuk ki az határolt tartomány y y 5 (4x + y + ) dx dy ( 5 (y + )(y + ) + 5 (y + ) + (y + ) ] (y + )x + x ] y y 5 ( (y + 6) (y 4) )) dy 4 xy dx dy integrál értékét, ha az y x és az y x dy 5 (y + 5)(y + ) dy görbék által A metszéspontok y koordinátái: y y 4 y,. A görbék a (, ) és az (, ) pontokban metszik egymást. A tartományt y szerinti normáltartománynak tekintve: xy dx dy y y xy dx dy x y ] y ( dy y y y 6) dy 4 y4 ] 7 y7 56 y.) Számítsuk ki az (x + 4y + ) dx dy integrál értékét azon a háromszög tartományon, melynek csúcsai P (, ), P (4, ) és P (4, ). y szerinti normáltartománynak tekintve (x + 4y + ) dx dy 4 4 x x 5 (x + 4y + ) dy dx ( 5 (x + )(x + ) (x + ) + (x + ) 5 ] 4 4 (x + )y + y ] x x 5 ( (x + 6) (x 4) )) dx 4 65 dy 6 5 (x + )(x + ) dy z.) Számítsuk ki az határolt tartomány. x y dx dy integrál értékét, ha az y x és az y x görbék által A metszéspontok x koordinátái: 4x x x, 4. A görbék a (, ) és a (4, ) pontokban metszik egymást. A tartományt x szerinti normáltartománynak tekintve: x y dx dy 4 x x x y dy dx 4 x y ] x x dx 4 ( x 8 x4) dx 8 x4 ] 4 4 x5 5

22 Hármas integrál Integráltranszformáció Áttérés hengerkoordinátákra A koordináták közötti áttérés: x(r, ϕ, z) r cos ϕ y(r, ϕ, z) r sin ϕ z(r, ϕ, z) z r, ), ϕ, π), z R. A Jacobi-mátrix és determinánsa: x r(r, ϕ, z) x ϕ(r, ϕ, z) x z(r, ϕ, z) J(r, ϕ, z) y r(r, ϕ, z) y ϕ(r, ϕ, z) y z(r, ϕ, z) z r(r, ϕ, z) z ϕ(r, ϕ, z) z z(r, ϕ, z) det J(r, ϕ, z) r(cos ϕ + sin ϕ) r. Röviden: dx dy dz r dr dϕ dz x r cos ϕ y r sin ϕ z z. Áttérés gömbi koordinátákra A koordináták közötti áttérés: cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ x(r, ϕ, ϑ) r cos ϕ sin ϑ y(r, ϕ, ϑ) r sin ϕ sin ϑ z(r, ϕ, ϑ) r cos ϑ r, ), ϕ, π), ϑ, π]. A Jacobi-mátrix és determinánsa: x r(r, ϑ, ϕ) x ϑ (r, ϕ, ϑ) x ϕ(r, ϕ, ϑ) J(r, ϕ, ϑ) y r(r, ϑ, ϕ) y ϑ (r, ϕ, ϑ) y ϕ(r, ϕ, ϑ) z r(r, ϑ, ϕ) z ϑ (r, ϕ, ϑ) z ϕ(r, ϕ, ϑ) det J(r, ϕ, ϑ) r (cos ϕ + sin ϕ)(sin ϑ + sin ϑ cos ϑ) r sin ϑ. cos ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ r cos ϕ sin ϑ cos ϑ r sin ϑ Röviden: dx dy dz r sin ϑ dr dϕ dϑ x r cos ϕ sin ϑ y r sin ϕ sin ϑ z r cos ϑ. a.) b.) Példák Határozzuk meg az R sugarú gömb térfogatát. Térjünk át gömbi koordinátákba. dx dy dz R π π 4π R r sin ϑ dϕ dϑ dr π ] R r dr 4π r 4 πr R π r sin ϑ dϑ dr R r cos ϑ] π dr Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z (x + y ) felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A kúp nyílásszöge arccos dx dy dz π 6 ( )π arccos + π 6. Térjünk át gömbi koordinátákba. π r sin ϑ dϕ dϑ dr π r dr ( ] )π r π 6 r sin ϑ dϑ dr π 6 8 π r cos ϑ] π 6 dϑ dr

23 c.) d.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y + z függvénynek az x + y + z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. (x + y + z ) dx dy dz π π π r r sin ϑ dϕ dϑ dr π r 4 cos ϑ] π dr 4π r 4 dr π 4π 5 r5 r 4 sin ϑ dϑ dr ] 4π 5 Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y z + 5 függvénynek az x + y + z tartomány feletti integrálját. Az egyik koordinátában páratlan x, y, z tagok integrálja zérus a mindhárom koordinátában szimmetrikus téglatest tartományra integrálva, ezen tagokat így elhagyhatjuk. Térjünk át gömbi koordinátákra. (x + y z + 5) dx dy dz 5 dx dy dz π π π r cos ϑ] π dr π r dr 5r sin ϑ dϕ dϑ dr π π ] π r π r sin ϑ dϑ dr e.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y + z függvénynek az x + y + z, x, z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. x + y + z dx dy dz π π π π r cos ϑ] π r r sin ϑ dϕ dϑ dr π dr π π π r dr 4 r4] π 4 r sin ϑ dϑ dr f.) Számítsuk ki az f(x, y, z) zx x + y függvénynek a z, z x + y, x + y 4 felületek által határolt tartomány feletti integrálját. Térjünk át hengerkoordinátákra. zx x + y dx dy dz π π r r 8 cos ϕ dϕ dr 4 π zr cos ϕ r dz dϕ dr π r 8 (cos ϕ + ) dϕ dr π z r 4 cos ϕ ] r π r 8 dr 8 r9] dϕ dr 56 9 π g.) Számítsuk ki az f(x, y, z) zx x + y függvénynek a z, z x + y, x + y 4 felületek által határolt tartomány feletti integrálját. Térjünk át hengerkoordinátákra. zx x + y dx dy dz π π r r 6 cos ϕ dϕ dr 4 π zr cos ϕ r dz dϕ dr π r 6 (cos ϕ + ) dϕ dr π z r 4 cos ϕ ] r π r 6 dr 4 r7] dϕ dr 64 7 π

24 h.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x yz függvénynek az x +y +z, x, y, z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. x yz dx dy dz π ( π r 6 sin 4 ϑ cos ϑ π cos ϕ ( r 4 sin ϑ cos ϑ sin ϕ cos ϕ ) r sin ϑ dϕ dϑ dr ] π ) dϑ dr ] π r 6 5 sin5 ϑ dϑ dr ] 5 7 r7 5 i.) j.) Számítsuk ki hármas integrállal az x + y 9, z, x + z 4 felületek által határolt térrész térfogatát. Térjünk át hengerkoordinátákra. dx dy dz π 4 r cos ϕ 8π r dz dϕ dr ] r dr 8π r 6π π (4 r cos ϕ)r dϕ dr 4 π r dϕ dr Határozzunk meg az integrálás határait az f(x, y, z) dv hármas integrálban, ha a tartomány az O(,, ) A(,, ) B(,, ) C(,, ) tetraéder. A tetraéder xy síkra vett vetülete alapján megállapítható az x, y változók integrálási határai. A z változó alsó integrálási határa, felső integrálási határát az A, B, C pontokra illesztett sík egyenlete adja. f(x, y, z) dv Felületek Felület megadásának módjai: x x y explicit z f(x, y) egyenlettel implicit F (x, y, z) egyenlettel f(x, y, z) dz dy dx r(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k vektorértékű kétváltozós függvény által, a felület pontjait az (u, v) paramétersík egy R tartományának képe adja meg Paraméteres felületek Felületi görbék, érintő egyenes egyenlete A v v illetve u u egyenletekkel leírható felületi görbék (u, v ) pontbeli érintővektorai: r u (u, v ) r v (u, v ) r(u, v) (u, v ) u r(u, v) (u, v ) v ( x(u, v) u i + ( x(u, v) u i + y(u, v) j + u y(u, v) j + u ) z(u, v) k u (u,v ) ) z(u, v) k. u (u,v ) illetve

25 A görbék érintő egyeneseinek egyenletei: e (u) (t) r(u, v ) + t r u (u, v ) e (v) (t) r(u, v ) + t r v (u, v ). illetve Az r(u, v) felületen haladó általános r(t) térgörbe leírható alkalmas u(t), v(t) függvények megadásával: r(t) r(u(t), v(t)) (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))). Az u(t), v(t) paraméterezésű felületi görbe érintővektora a t pontban: r(t ) r u (u(t ), v(t )) u(t ) + r v (u(t ), v(t )) v(t ), érintő egyenesének egyenlete ugyanezen pontban: e(s) r(u(t ), v(t )) + s ( r u (u(t ), v(t )) u(t ) + r v (u(t ), v(t )) v(t )). Érintősík egyenlete Az r u (u, v ), r v (u, v ) érintővektorok vektoriális szorzata megadja az (u, v ) pontbeli felületi normálist: n(u, v ) r u (u, v ) r v (u, v ), melynek segítségével az érintősík egyenlete: ( r r(u, v )) n(u, v ). Felszínszámítás Az r(u, v) paraméterezésű F felület paramétertartomány feletti részének felszíne: ds r u (u, v) r v (u, v) du dv. F () Hengerpalást Az elemi felület nagysága r sugarú hengerpaláston: ds r ϕ (ϕ, z) r z (ϕ, z) dϕ dz ( r sin ϕ, r cos ϕ, ) (,, ) dϕ dz r dϕ dz. Gömbfelület Az elemi felület nagysága r sugarú gömbfelületen: ds r ϕ (ϕ, ϑ) r ϑ (ϕ, ϑ) dϕ dϑ ( r sin ϕ sin ϑ, r cos ϕ sin ϑ, ) (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) dϕ dϑ r sin ϑ dϕ dϑ. Explicit képlettel megadott felületek A z f(x, y) explicit egyenlet által meghatározott felület (u x, v y paramétereken keresztül) paraméteres alakja: r(x, y) (x, y, f(x, y)) x i + y j + f(x, y) k. 4

26 Érintősík egyenlete Az r x (x, y ) (,, f x(x, y )) és r y (x, y ) (,, f y(x, y )) érintővektorok vektoriális szorzata megadja a felület (x, y ) pontbeli felületi normálisát: n(x, y ) r x (x, y ) r y (x, y ) det ( f x(x, y ), f y(x, y ), ), mellyel kifejezve az érintősík egyenlete: Felszínszámítás i j k f x(x, y ) f y(x, y ) f x(x, y ) i f y(x, y ) j + k ( r r(u, v )) n(u, v ) (x x, y y, z f(x, y )) ( f x(x, y ), f y(x, y ), ) f x(x, y )(x x ) + f y(x, y )(y y ) + (f(x, y ) z). A r(x, y) paraméterezésű F felület tartomány feletti részének felszíne: ds r x (x, y) r y (x, y) dx dy f x (x, y ) + f y (x, y ) + dx dy. F () Érintősík- és felszínszámítás lépései. Az F felület paraméterezése (amennyiben nem paraméteresen adott). r u (u, v) és r v (u, v) meghatározása. n(u, v ) r u (u, v ) r v (u, v ) kiszámítása, az u, v pontbeli érintősík n(u, v ) ((x, y, z) r(u, v )) egyenletének felírása 4. ds r u (u, v) r v (u, v) du dv kiszámítása, majd az ds r u (u, v) r v (u, v) du dv F () integrál (felszín) kiszámítása Feladatok a.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (u, v, u + v) u, v R paraméteres egyenlet? x + y z u + v (u + v) a paraméterezett felület az x + y z egyenletű sík. b.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) ( cos u, sin u, v) u π, v R paraméteres egyenlet? x + y 9(cos u + sin u) 9, z v a paraméterezett egyenlet az x + y 9 felület hengerpalást. c.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (v cos u, v sin u, v) u π, v R paraméteres egyenlet? x + y v (cos u + sin u) v, z v a paraméterezett felület az x + y z egyenletű kúp. 5

27 d.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (5 sin u cos v, 5 sin u sin v, 5 cos u) u π, v π paraméteres egyenlet? x + y + z 5(cos v + sin v) sin u + 5 cos u 5 a paraméterezett felület az x + y + z 5 egyenletű gömbfelület. e.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (u, u, v) u, v R paraméteres egyenlet? x y, z v a paraméterezett felület az y x egyenletű z tengely irányában eltolt parabola. f.) Határozzuk meg az r(u, v) (u, 4 u, v) felület (, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) (u, 4 u, v) r(, ) (,, ) r u (u, v) (, u 4 u, ) r u(, ) (,, ) r v (u, v) (,, ) r v (, ) (,, ) n(, ) r u (, ) r v (, ) (,, ) (,, ) (,, ) Az érintősík egyenlete: (,, ) (x, y, z ). g.) Határozzuk meg az r(u, v) ( sin u, cos u, v ) felület (π, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) ( sin u, cos u, v ) r(π, ) (,, ) r u (u, v) ( cos u, sin u, ) r u (π, ) (,, ) r v (u, v) (,, v) r v (π, ) (,, ) n(π, ) r u (π, ) r v (π, ) (,, ) (,, ) (, 6, ) Az érintősík egyenlete: (, 6, ) (x, y +, z ). h.) Határozzuk meg az r(u, v) (u, uv, v u ) felület (, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) (u, uv, v u ) r(, ) (,, 5) r u (u, v) (, v, u) r u (, ) (,, 4) r v (u, v) (, u, ) r v (, ) (,, ) n(, ) r u (, ) r v (, ) (,, 4) (,, ) (7,, ) Az érintősík egyenlete: (7,, ) (x, y +, z + 5). i.) Számítsuk ki az r(u, v) (u, cos v, sin v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (,, ) r v (u, v) (, sin v, cos v) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (, cos v, sin v) du dv π ds dv du π du π F 9(cos v + sin v) du dv du dv j.) Számítsuk ki az r(u, v) (cos u v sin u, sin u + v cos u, u + v) síkfelület felszínét a u π, v tartományban. 6

28 r u (u, v) ( sin u v cos u, cos u v sin u, ) r v (u, v) ( sin u, cos u, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv ( r u (u, v) r v (u, v)) r v (u, v) du dv v( sin u, cos u, ) du dv v (cos u + sin u + ) du dv v du dv π ] v ds v du dv π dv π π F k.) Számítsuk ki az r(u, v) (u, u cos v, u sin v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (, cos v, sin v) r v (u, v) (, u sin v, u cos v) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (u(cos v + sin v), u cos v, u sin v) du dv u (cos v + sin v + ) du dv u du dv π ds u dv du πu du ] u π π F l.) Számítsuk ki az r(u, v) (u + v, u v, v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (,, ) r v (u, v) (,, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (,, ) du dv + + du dv 6 du dv π ds 6 dv du 6π du 6π F m.) Számítsuk ki az r(u, v) ((a+b cos u) cos v, (a+b cos u) sin v, b sin u) u π, v π tóruszfelület felszínét ( < b < a). r u (u, v) ( b sin u cos v, b sin u sin v, b cos u) r v (u, v) ( (a + b cos u) sin v, (a + b cos u) cos v, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv b(a + b cos u)(cos u cos v, cos u sin v, sin u(cos v + sin v)) du dv b(a + b cos u) cos u(cos v + sin v) + sin u du dv b(a + b cos u) du dv π π π π ds b(a + b cos u) dv du πb(a + b cos u) du πba du 4π ab F Skalármező, vektormező Gradiens A φ: R R skalármező gradiense derékszögű koordinátákban: ( grad φ φ φ x, φ y, φ ) φ z x i + φ y j + φ z k. 7

29 A gradiens hengerkoordinátákban: grad φ φ r e r + φ r ϕ e ϕ + φ z e z. A gradiens gömbi koordinátákban: grad φ φ r e r + φ r ϑ e ϑ + r sin ϑ φ ϕ e ϕ. Geometriai jelentése: iránya megadja a legnagyobb meredekség irányát, hossza megadja a legnagyobb meredekség nagyságát. Lokális szélsőértékhelyeken értéke. Legfontosabb tulajdonságai: grad(c φ) c grad φ grad(φ + φ ) grad φ + grad φ grad(φ φ ) φ grad φ + φ grad φ Iránymenti derivált A φ: R R skalármező v irányvektor menti deriváltja: ivergencia φ( r + vt) φ( r ) v φ( r ) lim v grad φ( r ). t t A v : R R vektormező divergenciája derékszögű koordinátákban: A divergencia hengerkoordinátákban: A divergencia gömbi koordinátákban: Legfontosabb tulajdonságai: div(c v) c div v div( v + v ) div v + div v div v v v x x + v y y + v z z. div v r div v r (r v r ) r div(φ v) φ div v + grad φ v div( v v ) rot v v v rot v Rotáció (rv r ) r + r v ϕ ϕ + v z z. + (v ϑ sin ϑ) + v ϕ r sin ϑ ϑ r sin ϑ ϕ. A v : R R vektormező rotációja derékszögű koordinátákban: ( rot v vz v y v ) ( y vx i + z z v ) ( z vy j + x x v ) x k. y 8

30 A rotáció hengerkoordinátákban: ( v z rot v r ϕ v ) ( ϕ vr e r + z z v ) z e ϕ + ( (rvϕ ) v ) r e z. r r r ϕ A rotáció gömbi koordinátákban: rot v ( (vϕ sin ϑ) r sin ϑ ϑ Legfontosabb tulajdonságai: rot(c v) c rot v rot( v + v ) rot v + rot v rot(φ v) φ rot v + grad φ v v ) ϑ e r + ( v r ϕ r sin ϑ ϕ (rv ) ϕ) e ϑ + ( (rvϑ ) v ) r e ϕ. r r r ϑ rot( v v ) v div v v div v ( v grad) v + ( v grad) v Laplace-operátor A Laplace-operátor a nabla-operátor négyzete. A Laplace-operátor derékszögű koordinátákban: A Laplace-operátor hengerkoordinátákban: φ φ div grad φ φ x + φ y + φ z. φ r A Laplace-operátor gömbi koordinátákban: φ ( r r φ ) + r r r sin ϑ ϑ Legfontosabb tulajdonságai: (c φ) c φ (φ + φ ) φ + φ (φ φ ) φ φ + φ φ + grad φ grad φ További összefüggések Azonosságok: rot grad φ( r) φ( r) div rot v( r) ( v)( r) ( r φ ) + φ r r r ϕ + φ z. ( sin ϑ φ ) + ϑ φ r sin ϑ ϕ. rot rot v( r) ( v)( r) ( v)( r) v( r) grad div v( r) v, ahol a Laplace-operátort komponensenként értelmezzük vektormezőkre A vektormező örvénymentes, ha rotációja azonosan zérus, forrásmentes, ha divergenciája azonosan zérus. 9

31 Skalárpotenciál Potenciál létezése A φ skalármező a v( r) vektormező potenciálfüggvénye a R tartomány felett ha minden x pontban v( r) grad φ( r). Legyen a v( r) vektormező folytonosan differenciálható a R tartomány minden pontjában. Ekkor a v( r) vektormezőnek pontosan akkor van potenciálfüggvénye a tartományon, ha ott örvénymentes, azaz rot v( r) a tartomány minden pontjában. Potenciál meghatározása Legyen v( r) örvénymentes vektormező, azaz rot v( r). Ekkor létezik φ(x, y, z) potenciálfüggvény. A potenciálfüggvény meghatározásának lépései:. Számítsuk ki a v x függvény x szerinti integrálját: φ(x, y, z) v x (x, y, z) dx f(x, y, z) + C(y, z). Képezzük az f y deriváltat, majd számítsuk ki a v y f y függvény y szerinti integrálját: C(y, z) (vy (x, y, z) f y(x, y, z) ) dy g(y, z) + C(z). Képezzük az f z és g z deriváltat, majd számítsuk ki a v z f z g z függvény z szerinti integrálját: C(z) (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) dz h(z) + C 4. A potenciálfüggvény: φ(x, y, z) f(x, y, z) + g(y, z) + h(z) + C Amennyiben rot v( r) a g(y, z) és h(z) primitív függvényekben valóban nem jelenik meg a jelöletlen változóktól való függés, mert: (v y (x, y, z) f y(x, y, z)) x (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) x (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) y v y (x, y, z) f x xy(x, y, z) v y v z (x, y, z) f x xz(x, y, z) v z x (x, y, z) v x (x, y, z) y x (x, y, z) v x (x, y, z) z v z (x, y, z) f y yz(x, y, z) g yz(x, y, z) v z y (x, y, z) v y (x, y, z). z a.) Feladatok Van-e potenciálja a v( r) (xy, yz, x + y z ) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (4yz 4yz, x, x) (, x, x) (,, ) A vektormező nem örvénymentes, ezért nincs potenciálfüggvénye. b.) Van-e potenciálja a v( r) (6x y 4yz, x 4xz, xyz ) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt.

32 rot v( r) ( xz + xz, yz + yz, (6x 4z ) (6x 4z )) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (6x y 4yz ) dx x y 4xyz + C(y, z) φ y x 4xz + C y(y, z) x 4xz C y(y, z) C(y, z) C y(y, z) dy C(z) φ z xyz + C z(z) xyz C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y 4xyz + C függvény. c.) Van-e potenciálja a v( r) (xy z, x + z, y x) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (, +, x x) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xy z) dx x y zx + C(y, z) φ y x + C y(y, z) x + z C y(y, z) z C(y, z) C y(y, z) dy z dy yz + C(z) φ z y xc z(z) y x C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y zx + yz + C függvény. d.) Adott a v( r) (xe y + e x z, x e y ye z, ze x y e z ) vektor-vektor függvény. Számítsuk ki a v vektormező divergenciáját és rotációját. Van-e potenciálfüggvénye a v vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. div v( r) (e x z + e y ) + (x e y e z ) + (e x y e z ) (z + )e x + (x + )e y (y + )e z rot v( r) ( ye z + ye z, ze x ze x, xe y xe y ) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xe y + e x z ) dx x e y + e x z + C(y, z) φ y x e y + C y(y, z) x e y ye z C y(y, z) ye z C(y, z) C y(y, z) dy ( ye z ) dy y e z + C(z) φ z ze x y e z + C z(z) ze x y e z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) z e x + x e y y e z + C függvény.

33 e.) Van-e potenciálja a v( r) (xy z yz, x + z xz, yz xz xy) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (z x z + x, z y + z + y, x z x + z) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xy z yz) dx x y z x xyz + C(y, z) φ y x xz + C y(y, z) x xz + z C y(y, z) z C(y, z) C y(y, z) dy z dy z y + C(z) φ z zx xy + zy + C z(z) yz xz xy C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y z x + z y xyz + C függvény. f.) Örvénymentes-e a v( r) (ye xy, ye xy, sin z) vektortér? rot v( r) (,, y e xy (xy + )e xy ) (,, (y xy )e xy ) A vektormező nem örvénymentes. g.) Forrásmentes-e a v( r) (x + y z, x + y + z, x y + z) vektortér? div v( r) + + A vektormező nem forrásmentes. h.) Számítsuk ki a v( r) (6xy, + xy, z x y) vektortér divergenciáját és rotációját. div v( r) 6y + x + rot v( r) ( x, + 6xy, y xy) ( x, 6xy, y xy) i.) Számítsuk ki a v( r) (z y, yz, 4yz xy) vektortér divergenciáját és rotációját. Forrásmentes-e a vektormező? div v( r) z + 4y A vektormező nem forrásmentes. rot v( r) (4z x y, 6zy + y, z ) ( x y + 4z, y + 6yz, z ) j.) Mutassuk meg, hogy az egységnyi ponttöltés F ( r) r r div F ( r) F x x ( r) + F y y ( r) + F z z ( r) x + y + z x rot F ( r) ( Fz y F y z, F x z F z x, F y x F x y tere örvénymentes és forrásmentes. r 5 + x + y + z y r 5 + x + y + z z r 5 ) ( ) ( r) (,, ) yz yz r 5, zx zx r 5, xy xy r 5 A ponttöltés mezője tehát örvénymentes és forrásmentes a teljes értelmezési tartományban (R \ (,, )).

34 k.) Számítsuk ki a v( r) (x + y, 5x z, x y ) vektormező divergenciáját és rotációját. div v( r) + + rot v( r) ( y + z, x, 5 ) (z y, x, 7) l.) Legyen φ skalármező φ( r) x y yz. Mennyi φ és φ értéke? φ( r) grad φ( r) (xy, x z, yz ) φ( r) div grad φ( r) y + 6yz y( z) Vonalintegrál Vonalintegrál kiszámítása A v( r) vektormező vonalintegrálja az r(t) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén: Kiszámításának lépései: Γ v( r) d r t t v( r(t)) r(t) dt.. A Γ görbe paraméterezése (amennyiben nem paraméteresen adott). r(t) meghatározása. v( r(t)) meghatározása 4. v( r(t)) r(t) skalárszorzat felírása, majd az Γ v( r) d r t t v( r(t)) r(t) dt integrál (vonalintegrál) elvégzése Potenciálos erőtér vonalintegrálja Potenciálos erőtér esetén v( r) grad φ( r) alakban áll elő, ezért a vektormező vonalintegrálja az r(t) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén: Γ v( r) d r t Kiszámításának lépései: t v( r(t)) r(t) dt t t grad φ( r(t)) r(t) dt t t dφ( r(t)) dt. rot v fennállásának ellenőrzése. Zárt Γ görbe esetén a vonalintegrál zérus. A φ( r) potenciálfüggvény meghatározása dt φ( r(t )) φ( r(t )).. A Γ görbe r A kezdő- és r B végpontjának megállapítása, majd a vonalintegrál meghatározása az v( r) d r φ( r B ) φ( r A ) Γ képlet szerint

35 Feladatok a.) Számítsuk ki a v( r) (x + y, 5x z, x y ) vektormező vonalintegrálját az r(t) (cos t, sin t, t π ) paraméterezésű Γ görbe t és t π közötti szakasza mentén. r(t) ( sin t, cos t, π ) v( r(t)) ( cos t + sin t, 5 cos t 4t π, cos t sin t) t π v( r) d r v( r(t)) r(t) dt ( cos t sin t sin t 5 cos t 4t π cos t π cos t + π sin t) dt t Γ π ( 4t π cos t sin t 7 ( π + ) cos t) dt π 7π 4 π π t cos t dt 7π 4 ( t π sin t ] π π 7π + 4 π ( t cos t] π π ) cos t dt 7π 6 π ( 4t π cos t 7 ) dt ) t sin t dt b.) Számítsuk ki a v( r) (xy z, x yz, x y ) vektor-vektor függvény x + y 9, z kör mentén vett vonalintegrálját. r(t) (cos t, sin t, ) r(t) ( sin t, cos t, ) v( r(t)) (,, cos t sin t) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ Másképpen. π dt rot v( r) (x y x y, xy x y, xyz xyz) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r Γ c.) Számítsuk ki a v( r) (6xy, + xy, z x y) vektormező vonalintegrálját az r(t) (t, t, + t ) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén. r(t) (, 4t, t) v( r(t)) (4t 5, + t, + t 6t 4 ) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ t t5 + ] t4 + 5t 6 5 (4t 5 + 8t 4 + 8t + t + t t 5 ) dt (t 5 + 8t 4 + t + t) dt d.) Számítsuk ki a v( r) (y z, x + y z, x + y + z) vektormező A(,, ) B(,, ) C(,, ) háromszög kerülete mentén vett vonalintegrálját. 4

36 v( r) d r v( r AB (t)) r AB (t) dt + ABC v( r BC (t)) r BC (t) dt + r AB (t) A + ( B A)t r BC (t) B + ( C B)t r CA (t) C + ( A C)t v( r CA (t)) r CA (t) dt ahol r AB (t) A + ( B A)t ( t, t, ) r AB (t) (,, ) v( r AB (t)) (t, 6 t, ) v( r AB (t)) r AB (t) dt r BC (t) B + ( C B)t (, t, t) r BC (t) (,, ) v( r BC (t)) ( 6t, t, ) v( r BC (t)) r BC (t) dt r CA (t) C + ( A C)t (t,, t) r CA (t) (,, ) v( r CA (t)) (t, 5t 9, ) ABC v( r CA (t)) r CA (t) dt v( r) d r (8 8t) dt 8t 9t ] 9 6t dt 8t ] 8 (9t 8) dt ] 9 t 8t 7 e.) Számítsuk ki a v( r) (xy + z, yz + x, zx + y ) vektormező vonalintegrálját az A(,, ) és B(4,, ) pontok között. rot v( r) (x x, z z, y y) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (xy + z ) dx x y + z x + C(y, z) φ y x + C y(y, z) yz + x C y(y, z) yz C(y, z) C y(y, z) dy yz dy y z + C(z) φ z zx + y + C z(z) zx + y C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y + y z + z x + C függvény. B A v( r) d r φ( B) φ( A) 9 f.) Határozzuk meg az a, b állandókat úgy, hogy a v( r) (xe y + e x z, x e y ye z, aze x + by e z ) vektortérnek legyen potenciálja, majd számítsuk ki vonalintegrálját a P (,, ) és P (,, ) pontok között haladó Γ görbe mentén. 5

37 rot v( r) (bye z + ye z, ze x aze x, xe y xe y ) ((b + )ye z, ( a)ze x, ) A vektormezőnek örvénymentes, ezért a, b. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (xe y + e x z ) dx x e y + z e x + C(y, z) φ y x e y + C y(y, z) x e y ye z C y(y, z) ye z C(y, z) C y(y, z) dy ye z dy y e z + C(z) φ z zx y e z + C z(z) ze x y e z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x e y y e z + z e x + C függvény. P P v( r) d r φ( P ) φ( P ) e e g.) Számítsuk ki a v( r) (x y z, x yz, x y ) vektormező vonalintegrálját az A(,, ) pontot az origóval összekötő szakasz mentén. rot v( r) (x y x y, x y x y, 6x yz 6x yz) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (x y z) dx x y z + C(y, z) φ y x yz + C y(y, z) x yz C y(y, z) C(y, z) C y(y, z) dy C(z) φ z x y + C z(z) x y C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y z + C függvény. O A v( r) d r φ( O) φ( A) h.) Számítsuk ki a v( r) (yz, xz, xy) vektor-vektor függvény A(,, ) B(,, ) C(,, ) háromszög kerülete mentén vett vonalintegrálját. rot v( r) (x x, y y, z z) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. ABC i.) Számítsuk ki a v( r) (y cos x, y sin x + e z, ye z ) vektormező vonalmenti integrálját tetszőleges görbe mentén az A(,, ) és B(,, ) pontok között. 6

38 rot v( r) (e z e z,, y cos x y cos x) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx y cos x dx y sin x + C(y, z) φ y y sin x + C y(y, z) y sin x + e z C y(y, z) e z C(y, z) C y(y, z) dy e z dy ye z + C(z) φ z ye z + C z(z) ye z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) y sin x + ye z + C függvény. B A v( r) d r φ( B) φ( A) e e j.) Számítsuk ki a v( r) (y, xy, z) vektormező vonalmenti integrálját az r(t) (, cos t, sin t) t π paraméterezésű Γ görbe mentén. r(t) (, sin t, cos t) v( r(t)) (cos t, cos t, sin t) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ π π ( sin t cos t) dt ( sin t) dt k.) Számítsuk ki a v( r) (xy z, x + z, y x) vektormező vonalmenti integrálját az x + y 4, z kör mentén. rot v( r) (, +, x x) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. Γ l.) Számítsuk ki a v( r) (6x y 4yz, x 4xz, xyz ) vektormező vonalmenti integrálját az x + y 4, z kör mentén. rot v( r) ( xz + xz, yz + yz, 6x 4z 6x + 4z ) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. Γ m.) Számítsuk ki a v( r) (x yz, x + z, xy z) vektormező vonalintegrálját az A(,, 5) pontot az origóval összekötő szakasz mentén. 7

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6 Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Analízis III. gyakorlat október

Analízis III. gyakorlat október Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy 8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle

Részletesebben

Serret-Frenet képletek

Serret-Frenet képletek Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Koordinátarendszerek

Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli

Részletesebben

0, különben. 9. Függvények

0, különben. 9. Függvények 9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,

Részletesebben

Trigonometrikus függvények azonosságai

Trigonometrikus függvények azonosságai Ez az útmutató a képletgyűjtemény táblázataihoz nyújt részletes magyarázatot. A képletgyűjteménynek nem célja, hogy az elméleti tudást helyettesítse, mindössze egy emlékeztető, ami segíti az előadások

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C. . Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben