Analízis II. gyakorlat

Átírás

1 Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7.

2 Tartalomjegyzék Előszó Ismétlés Integrálás Koordinátageometria Térgörbék Ívhossz Görbületi sugár Torzió Kísérő triéder Érintő, kitüntetett síkok, feladatmegoldás lépései Feladatok Kettős integrál Téglalap tartományon Normáltartományon Integráltranszformáció Szimmetriák Feladatok Hármas integrál Integráltranszformáció Feladatok Felületek Paraméteres megadás Felületi görbék Érintősík Felszín Explicit megadás Érintősík Felszín Érintősík és felszín, feladatmegoldás lépései Feladatok Skalármező, vektormező Gradiens ivergencia Rotáció Laplace-operátor Összefüggések Potenciálfüggvény Létezése Meghatározása Feladatok Vonalintegrál Kiszámítása Potenciálos erőtér esetén Feladatok Felületi integrál (fluxus) Kiszámítása Feladatok Stokes-tétel Stokes-tétel Feladatok Gauss Osztrogradszkij-tétel Gauss Osztrogradszkij-tétel

3 Feladatok Wolfram Alpha Vektorok Térgörbék ifferenciálás Integrálás Maple A VectorCalculus csomag Térgörbék Kettős integrál Hármas integrál Felületek Skalármező, vektormező Vonalintegrál Felületi integrál

4 Előszó Ez a gyakorlati jegyzet a Széchenyi István Egyetem mesterszakos mérnökhallgatói számára, az Analízis II. (vektoranalízis) tárgyhoz készült. Célja, hogy kidolgozott típusfeladatokon keresztül segítse a hallgatók felkészülését az évközi és vizsgazárthelyikre. A gyakorlati jegyzet legfrissebb példánya letölthető a oldal oktatás menüpontja alól. Észrevételeket és az elírások, hibák bejelentését a nemetha@sze.hu címre várom. A kidolgozásra került feladatok nagy része r. Lotfi Abdelhakimtól származik, köszönet értük. Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Legyen f(x) integrálható a, b]-n, továbbá F (x) folytonos a, b]-n és F (x) f(x) minden x (a, b)-re. Ekkor: b a f(x) dx F (x)] b a F (b) F (a). Az F (x) függvény az f(x) primitív függvénye vagy határozatlan integrálja, jele F (x) f(x) dx. Alapintegrálok sin x dx cos x + C cos x dx sin x + C tg x dx ln cos x + C ctg x dx ln sin x + C cos dx tg x + C x sin dx ctg x + C x x n dx xn+ + C (n ) n + x dx ln x + C e x dx e x + C a x dx ax ln a + C sh x dx ch x + C ch x dx sh x + C th x dx ln ch x + C cth x dx ln sh x + C ch dx th x + C x sh dx cth x + C x dx arctg x + C + x dx arcsin x + C x + x x dx arsh x + C ln ( x + ) x + dx sgn x arch x + C sgn x ln + C ( x + ) x + C

5 Integrálási szabályok c f(x) dx c f(x) dx (f(x) ± g(x)) dx f(x) dx ± g(x) dx F (ax + b) f(ax + b) dx ha F (x) f(x) dx a f (x)f n (x) dx f n+ (x) + C (n ) n + f (x) dx ln f(x) + C f(x) f(x)g (x) dx f(x)g(x) f (x)g(x) dx (parciális integrálás) an x n + a n x n + + a x + a b k x k + b k x k dx (cn kx n k + c n k x n k ) + + c x + c dx + + b x + b d d e x + f + dx + dx + + x + r x + r x + q x + s dx + e x + f x + q x + s dx + alakban áll elő, ahol ( bk x k + b k x k + + b x + b ) bk (x + r ) (x + r ) (x + q x + s ) ( x + q x + s ) (parciális törtekre bontás). Trigonometrikus és hiperbolikus függvények Hiperbolikus függvények: ch x ex + e x sh x ex e x th x sh x ch x cth x sh x ch x Inverz hiperbolikus függvények: arch x u arsh x v x ch u eu + e u x sh v ev e v (e u ) xe u + (e v ) xe v e u x + x e v x + x + arch x u ln(x + x ) arsh x v ln(x + x + ) Trigonometrikus és hiperbolikus függvények tulajdonságai: cos x + sin x ch x sh x cos( x) cos x sin( x) sin x ch( x) ch x sh( x) sh x cos x sin x sin x cos x ch x sh x sh x ch x cos(x ± y) cos x cos y sin x sin y sin(x ± y) sin x cos y ± cos x sin y cos x cos x + sin x cos x ch(x ± y) ch x ch y ± sh x sh y sh(x ± y) sh x ch y ± ch x sh y ch x ch x + sh x ch x 4

6 Trigonometrikus és hiperbolikus integrálok: cos x + cos x dx dx 4 sin x + x + C ( cos x dx sin x ) cos x dx sin x sin x + C ( cos 4 x dx sin x ) cos x dx 4 sin x + x sin x dx 4 4 sin x + x + cos 4x 4 sin 4x + 4 sin x + 8 x + C ( cos n x dx sin x ) cos n x dx cos n x dx + sin x cos n x( sin x) dx cos n x dx + n sin x cosn x cos x cos n x dx n n cos n x dx n n sin x cosn x + cos n x dx cos n x dx n sin x cosn x + n cos n x dx (rekurzív képlet) n Azonos elven kiterjeszthető sin x, illetve ch x és sh x hiperbolikus függvények hatványaira. Koordinátageometria Skaláris szorzat a b a b cos α, ahol α az a, b vektorok által bezárt szög. erékszögő koordinátarendszerben a b a x b x + a y b y + a z b z. Legfontosabb tulajdonságai: a b b a (kommutativitás) (λ a) b λ( a b) ( a + c) b a b + c b (disztributivitás) Vektoriális szorzat a b a b sin α, ahol α az a, b vektorok által bezárt szög, a b a, b és a, b, a b jobbsodrású rendszert alkotnak. erékszögő koordinátarendszerben a b (a y b z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ). Legfontosabb tulajdonságai: a b b a (antikommutativitás) (λ a) b λ( a b) ( a + c) b a b + c b (disztributivitás) Vegyes szorzat a b c ( a b) c, a b c a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogata. Előjele akkor pozitív, ha a vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak. erékszögű koordinátarendszerben a x a y a z a b c det b x b y b z. c x c y c z Legfontosabb tulajdonságai: a b c b c a c a b a c b b a c c b a 5

7 (λ a) b c λ( a b c) a b( c + d) a b c + a bd (disztributivitás) Egyenes egyenlete Adott r (x, y, z ) ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes paraméteres egyenlete: r(t) (x + v x t, y + v y t, z + v z t). Sík egyenlete Adott r (x, y, z ) ponton áthaladó, n normálvektorú sík egyenlete: n ( r r ) n x (x x ) + n y (y y ) + n z (z z ) n x x + n y y + n z z (n x x + n y y + n z z ). Kör egyenlete Az (x, y ) középpontú és r sugarú kör egyenlete: (x x ) + (y y ) r. Ellipszis egyenlete Ellipszis egyenlete: x a + y b. Parabola egyenlete Parabola egyenlete: y αx. Hiperbola egyenlete Hiperbola egyenlete: a y b ±. +: vízszintes főtengelyű, : függőleges főtengelyű. Gömb egyenlete Az (x, y, z ) középpontú r sugarú gömb egyenlete: (x x ) + (y y ) + (z z ) r. Ellipszoid egyenlete x Ellipszoid egyenlete: x a + y b + z c. Paraboloid egyenlete Paraboloid egyenlete: Forgásparaboloid: z c x a + y b. z α(x + y ). 6

8 Hiperboloid egyenlete Hiperboloid egyenlete: +: egypalástú, : kétpalástú. x a + y b z c ±. Kúp egyenlete Kúp egyenlete: Körkúp: x a + y b z c. z α (x + y ). Térgörbék r : R R függvény, r(t) (x(t), y(t), z(t)) x(t) i + y(t) j + z(t) k, komponensenként deriváljuk. Görbe ívhossza Az r(t) térgörbe t paraméterének t és t értéke közötti szakaszának ívhossza Görbe görbületi sugara t t r(t) dt t t ẋ (t) + ẏ (t) + ż (t) dt. Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó görbülete: és görbületi sugara g(t ) r(t ) r(t ) r(t ), ρ(t ) g(t ) r(t ) r(t ) r(t ). A görbület értéke egyenesvonalú térgörbe minden pontjában. Görbe torziója Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó torziója: Értéke síkbeli térgörbe minden pontjában. Kísérő triéder T (t ) ( r(t ) r(t ))... r (t ) r(t ) r(t ). Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó kísérő triédere a ( τ(t ), n(t ), b(t )) egységnyi hosszúságú, páronként merőleges vektorok alkotta hármas. τ tangenciális vektor érintő irányú és a t paraméter növekedésének irányába mutat n főnormális vektor a simuló kör középpontja felé mutat 7

9 b binormális vektor a háromél harmadik vektora. Úgy irányítjuk, hogy ( τ(t ), n(t ), b(t )) jobbsodrású vektorrendszer legyen Két vektor által kifeszített sík normálvektora a harmadik vektor. A vektorpárok által meghatározott síkok elnevezései: τ és n által kifeszített sík a simuló sík n és b által kifeszített sík a normálsík τ és b által kifeszített sík a rektifikáló sík Kísérő triéder, görbületi sugár, torzió, simuló sík, érintő egyenes meghatározása Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó mennyiségek és objektumok meghatározásának lépései:.... Az r(t), r(t), r (t) deriváltak meghatározása, az r r(t ), r(t ), r(t ),... r (t ) helyettesítési értékek számítása. Az r hossz számítása, τ r származtatása, r az érintő egyenes paraméteres egyenlete: e(t) (x + τ x t, y + τ y t, z + τ z t) vagy e(t) (x + ẋ(t ) t, y + ẏ(t ) t, z + ż(t ) t), a normálsík egyenlete: τ ( r r ) vagy r ( r r ). Az r r vektoriális szorzat elvégzése, r r hossz számítása, r r b r származtatása, r g r r r és ρ g számítása, T ( r r)... r r r számítása, a simuló sík egyenlete: b ( r r ) vagy ( r r) ( r r ) 4. n b τ származtatása, a rektifikáló sík egyenlete: n ( r r ) Ellenőrzési lehetőség ( 4. lépés): n? Példák a.) Adott az r(t) (t sin t, cos t, 4 sin t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. r(t) (t sin t, cos t, 4 sin t ) r( π ) ( π,, ) r(t) ( cos t, sin t, cos t ) r( π ) (,, ) r(t) (sin t, cos t, sin t ) r( π ) (,, )... r (t) (cos t, sin t, cos t )... r ( π ) (,, 4 ) 8

10 r τ 4 (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( π + 4 u, + 4 u, + u). A normálsík egyenlete: (x π +, y, z ) 4 (,, ). r r 4 (, 7, ) r r 5 b 4 5 (, 7, ) g 5 8 ρ 8 5 T 9 4 A simuló sík egyenlete: (x π +, y, z ) 4 5 (, 7, ). n b τ 5 (,, ). A rektifikáló sík egyenlete: (x π +, y, z ) 5 (,, ). b.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. r(t) (t, t, t ) r() (,, ) r(t) (, 6t, 6t ) r() (, 6, 6) r(t) (, 6, t) r() (, 6, )... r (t) (,, )... r () (,, ) r 9 τ (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, + u, + u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). r r 8(,, ) r r 54 b (,, ) g 7 ρ 7 T 7 A simuló sík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). n b τ (,, ) A rektifikáló sík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). 9

11 c.) Adott az r(t) (cos t, cos t sin t, sin t) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π 6 pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. cos t+ sin t r(t) (,, sin t) r( π 6 ) 4 (,, ) r(t) ( sin t, cos t, cos t) r( π 6 ) (,, ) r(t) ( cos t, sin t, sin t) r( π 6 ) (,,... ) r (t) (4 sin t, 4 cos t, cos t)... r ( π 6 ) (,, ) r 7 τ 7 (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( 4 7 u, u, + 7 u). A normálsík egyenlete: (x 4, y 4, z ) 7 (,, ). r r 4 (5,, 8) r r 9 b 9 (5,, 8) g T 9 ρ A simuló sík egyenlete: (x 4, y 4, z ) 9 (5,, 8). n b τ ( 7,, 4) A rektifikáló sík egyenlete: (x 4, y 4, z ) ( 7,, 4). d.) Adott az r(t) ( + cos t, sin t, sin t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe P (,, ) pontbeli görbületét és normálsíkjának egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. t π r(t) ( + cos t, sin t, sin t ) r(π) (,, ) r(t) ( sin t, cos t, cos t ) r(π) (,, ) r(t) ( cos t, sin t, sin t ) r( π ) (,, ) r τ (,, ) A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). r r (,, ) r r 5 b 5 (,, ) g 5 ρ 5

12 n b τ 5 (,, ) e.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (t, t, t ) r() (4,, 4) r(t) (, t, t) r() (,, 4) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (4 + u, u, 4 + 4u). A normálsík egyenlete: (x 4, y, z 4) (,, 4). f.) Adott az r(t) (e t, e t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (e t, e t, t ) r() (,, ) r(t) (e t, e t, ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, u, u). A normálsík egyenlete: (x, y, z) (,, ). g.) Adott az r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) r() (,, ) r(t) (e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), e t ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, u, + u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). h.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. i.) r(t) (t, t, t ) r() (,, ) r(t) (, t, t ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (u,, ). A normálsík egyenlete: (x, y, z) (,, ). Adott az r(t) (, cos t, sin t) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (, cos t, sin t) r() (,, ) r(t) (, sin t, cos t) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (, u, u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). pontjához tartozó

13 j.) Számítsuk ki az r(t) (, cos t, sin t) térgörbe ívhosszát a t, π] intervallumon. r(t) (, sin t, cos t) l t t r(t) dt π + sin t + cos t dt π dt t] π π k.) Számítsuk ki az r(t) (t, 4t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, 4, t) l t t r(t) dt ] t dt 5 + t dt (t + 5) 4 (8 7 6) l.) Számítsuk ki az r(t) (t +, t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) l t (, t, t ) t r(t) dt + t + t 5 dt t ch u + du 5 6 t 6 u + 4 ( 5 arsh t + )] ( 4 t + ) dt ] t sh u t t t ch u du ( 4 t + ) ( 4 + t + ) m.) Számítsuk ki az r(t) (t, t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, t, t ) l t t r(t) dt + 4t + 4t 4 dt (t + ) dt (t + ) dt ] t + t 5 n.) Számítsuk ki az r(t) (e t, e t, t) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (e t, e t, ) l t t r(t) dt e t + e t + dt (et + e t ) dt (e t + e t ) dt e t e t] e e o.) Számítsuk ki az r(t) (t, t +, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (6t,, 6t) l t t r(t) dt t 6t + + 6t dt 7t + dt u + ] t sh u t arsh 6 + t t 6 ch u du t 6 ch u + du

14 p.) Számítsuk ki az r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) térgörbe ívhosszát a t, ln ] intervallumon. r(t) (e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), e t ) l t t r(t) dt ln e t (cos t sin t) + (cos t + sin t) + dt ln e t dt e t] ln q.) Számítsuk ki az r(t) (t 4, t, t + 6) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, t, t) l t t r(t) dt ] t + t4 + t dt (t + ) dt (t + ) dt + t 4 r.) Mely pontban párhuzamos az r(t) ( t+, t, ) térgörbe érintője a ( 6,, ) vektorral? +t r(t) ( (t+), ( t), ( t t + (+t) ) 6 r() (,, ) ( 6,, ) r( 4) ( 9, 8, ) ( 6,, ) A keresett pont a t. ) t ± t, 4 t + s.) Mely pontban merőleges az r(t) (t +, t, t) térgörbe érintője az (,, ) vektorra? r(t) ( t, t, ) r(t) (,, ) ( t, t, ) (,, ) t + t t A keresett pont a t. t.) Mely pontban merőleges az r(t) (sin t t cos t, cos t + t sin t, t + ) térgörbe érintője az (,, ) vektorra? r(t) (t sin t, t cos t, t) r(t) (,, ) (t sin t, t cos t, t) (,, ) t sin t t kπ A keresett pontok a t kπ k Z alakú pontok. u.) Mekkora szöget zárnak be egymással az r(t) (t +, (t + ), (t ) ) térgörbe t és t ponthoz tartozó érintői? r(t) ( t, (t + ), (t ) ) r() (,, ) r() r() (, 4, ) r() cos α r() r() (,, ) (, 4, ) 4 r() r() 65 ( 4 A keresett szög az α arccos 65 ).

15 v.) Mekkora szöget zárnak be egymással az r(t) (cos t + t sin t, sin t t cos t, t + ) térgörbe t és t π ponthoz tartozó érintői? r(t) (t cos t, t sin t, t) t (cos t, sin t, ) r r () (,, ) t t () r ( π ) r ( π ) 5 (,, ) 5 t t ( r r t () π ) t cos α r t () ( r π ) (,, ) (,, ) 4 t A keresett szög az α arccos ( 4 5). Kettős integrál Az f(x, y) függvény x változó szerinti primitív függvénye F (x, y), ha F x(x, y) f(x, y). Hasonlóan, az f(x, y) függvény y változó szerinti primitív függvénye G(x, y), ha G y(x, y) f(x, y). Jelölés: f(x, y) dx F (x, y) + C A tartomány feletti integrál jele: f(x, y) dx dy. Geometriai jelentése a kétváltozós függvény alatti (előjeles) térfogat. Kettős integrál téglalap tartományon Legyen T a, b] c, d] téglalap tartomány. ( b ) d f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx T a Kettős integrál normáltartományon c b a f(x, y) dy G(x, y) + C. ( d ) b G(x, y)] d c dx f(x, y) dx dy c a d c F (x, y)] b a dy Az N x tartomány x szerinti normáltartomány, ha léteznek olyan a, b valósak és ϕ (x), ϕ (x) függvények, melyekre N x {(x, y) R: a x b, ϕ (x) y ϕ (x)}. Az N y tartomány y szerinti normáltartomány, ha léteznek olyan c, d valósak és ψ (x), ψ (x) függvények, melyekre N y {(x, y) R: c y d, ψ (y) x ψ (y)}. Függvény integrálja x szerinti normáltartomány felett: ( b ϕ(x) ) N x f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx a ϕ (x) Függvény integrálja y szerinti normáltartomány felett: ( d ψ(y) ) N y f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy c ψ (y) b a b a G(x, y)] yϕ(x) yϕ (x) dx. F (x, y)] xψ(y) xψ (y) dy. 4

16 Integráltranszformáció A helyettesítéses integrálás általánosítása kettős integrálokra. Az (x, y) koordinátákról az (u, v) koordinátákra való áttérés: f(x, y) dx dy f(x(u, v), y(u, v)) det J(u, v) du dv, ahol a Jacobi-mátrix. Áttérés polárkoordinátákra A koordináták közötti áttérés: (x,y) J(u, v) x u (u, v) x v(u, v) y u(u, v) y v(u, v) x(r, ϕ) r cos ϕ y(r, ϕ) r sin ϕ r, ), ϕ, π). ] A Jacobi-mátrix és determinánsa: J(r, ϕ) x r (r, ϕ) x ϕ(r, ϕ) y r(r, ϕ) y ϕ(r, ϕ) det J(r, ϕ) r(cos ϕ + sin ϕ) r. ] cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ] Röviden: dx dy r dr dϕ x r cos ϕ y r sin ϕ. A szimmetriák kihasználása Páratlan függvény szimmetrikus intervallum feletti integrálja: f( x) f(x) a a f(x) dx. Páros függvény szimmetrikus intervallum feletti integrálja: f( x) f(x) a a f(x) dx a f(x) dx. Periodikus függvény integrálja (több) periódus hosszúságú intervallumon: a+nt T f(x + T ) f(x) f(x) dx n f(x) dx. a Alkalmazva sin x és cos x függvények páratlan hatványainak integráljára (n Z): π π sin x dx sin n+ x dx π π cos x dx cos n+ x dx. a.) Példák Számítsuk ki az f(x, y) x ln sin y függvénynek a x, y π tartomány feletti integrálját. Az x változóban páratlan függvény integrálja az x változóban szimmetrikus tartományra. π (x ln sin y) dx dy π dy 5

17 b.) Számítsuk ki az f(x, y) x y + x sin y + x ( + tg y) függvénynek a x, y tartomány feletti integrálját. (x y + x sin y + x ( + tg y)) dy dx + x dy dx + + (x sin y + x tg y) dy dx + x y ] y y dx x dx 4 x dx x y dx dy 4 x ] c.) d.) Számítsuk ki az f(x, y) x (5 + sin y) függvénynek a x, y π tartomány feletti integrálját. Használjuk ki hogy a sin y függvény π szerint periodikus, és a teljes periódusra vett integrálja. π π ] 5π x (5 + sin y) dy dx 5x dy dx 5πx dx 4 x4 5π 4 Számítsuk ki az f(x, y) xy függvénynek a x + y 4 tartomány feletti integrálját. (Mindkét változóban) páratlan függvény integrálja (mindkét változóban) szimmetrikus tartományra. 4 x 4 x xy dy dx dx e.) Számítsuk ki az f(x, y) x függvénynek a x + y 4 tartomány feletti integrálját. Térjünk át polárkoordinátákra. π x dx dy r cos ϕ r dϕ dr r 4 π 4 ] 4π π cos ϕ + r dϕ dr π r dϕ dr π r dr f.) Számítsuk ki az f(x, y) xy függvénynek az y, x, y x x szerinti normáltartománynak tekintve: x ] y x xy dy dx x y dx y y y szerinti normáltartománynak tekintve: ] x xy dx dy y x dy xy x 8 dx x 4 7 ] 9 (y 9 ) y dy y 98 y4 ] tartomány feletti integrálját g.) Számítsuk ki az f(x, y) x y + függvény integrálját az y x parabola és az y x + egyenes által közrefogott tartományon. A metszéspontok x koordinátái: x x + x ± 4 +,. x+ (x y + ) dy dx (x + )y ] yx+ y dx x yx ((x + )(x + ) (x + ) (x + )x + ) x4 ( x4 x ) x + x dx ] x 5 5 x4 x + x 9 dx 6

18 h.) Számítsuk ki az f(x, y) y függvény integrálját az x y és x 8 y parabolák által határolt tartományra. A metszéspontok y koordinátái: y 8 y y ±. 8 y y dx dy y x ] x8 y 8 dy y (8 y ) dy xy y y ] 5 y i.) Számítsuk ki az f(x, y) x y függvénynek a x + y, y tartomány feletti integrálját. y y x y dx dy ] x y y y dy ( y ) y dy ] 5 ( y ) 5 5 ( ) 5 4 j.) Számítsuk ki az x + y körlapból az y x parabola által kimetszett tartomány területét. A metszéspontok y koordinátái: y y + y ± 4 + ± 5,. A metszéspontok: (, ), (5, 5), (5, 5). 5 x 5 x x5 dy dx 5 5 ( x ) dx x5 x 5 cos u + 5 ( 5 x y] x dx x (x )) dx 5 5 x 5 du + 4 x x + arcsin ( x sin u cos u du + ) ] x5 4 sin u + ] x5 u + 4 x 5 x arcsin ( x ) dx x ] 5 x5 x cos u du x 5 sin u cos u + ] x5 u + 4 x 5 ( ) ( ) arcsin k.) Számítsuk ki az x + y 5 körlapból az y x parabola által kimetszett tartomány területét. A metszéspontok lehetséges y koordinátái: 5 y y + y ± + 4 6, 4 4. A metszéspontok: (, 4), (, 4). 5 x ( 5 x 5 ( dy dx y] x dx x x )) ( x ) dx 5 dx 5 x + ( x ) dx 5 x x sin u cos u du + x 5 cos u + du 6 5 x 4 sin u + ] x u x x 5 x + 5 ( x ) ] x arcsin arcsin 5 x x ] x x 5 cos u du 6 x 6 5 sin u cos u + ] x u 6 x ( ) arcsin 5 l.) Számítsuk ki az y, x + y 9, x + y 6 egyenletek által meghatározott síkidom területét. Térjünk át polárkooridinátákra. 4 π 4 4 π dx dy r dϕ dr rϕ] π dr πr dr r] 4 7 π ( ) 5 7

19 m.) Számítsuk ki az y x parabola és az y x + egyenes által közrefogott területet. A metszéspontok x koordinátái: x x + x ± 9,. x+ dy dx (x + x ) dx x + x x ] x 9 n.) Számítsuk ki az f(x, y) ln(x + y ) függvénynek az x, y, x + y 9, x + y 6 tartományra vonatkozó integrálját. Térjünk át polárkooridinátákra. 4 π ln(x + y ) dx dy (ln r )r dϕ dr π ln ( 4 6 e 7 9 ) 4 r(ln r)ϕ] π dr 4 π 4 πr ln r dr 4 r ( ln r )] o.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: z, x + y < 9, x + y + z 5. A tartomány alapja: x + y 9. Térjünk át polárkoordinátákra. 5 x y dy dx π 5 r r dϕ dr π 5 r r dr π ] (5 r ) π p.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: x + y + z 8, z x + y. A tartomány alapja: x + y z 8 x y x + y 4. A térfogat a gömbszelet és a kúp térfogatából tevődik össze. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 8 x y ) x + y dx dy π π ( 8 r r) r dϕ dr π ( 8 r ) ] r π ( ) q.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: x + y, z, z x + y +. A tartomány alapja: x + y. Térjünk át polárkoordinátákra. (x + y + ) dx dy π π ( + r cos ϕ + r sin ϕ)r dϕ dr π r dϕ dr 6π ( 8 r r) r dr r r dr 6π ] r.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: z x + y +, z (x + y ) +. A tartomány alapja: (x +y )+ (x +y )+ x +y 9. A térfogatot a két paraboloid térfogatának különbsége adja. Térjünk át polárkoordinátákra. (( (x + y ) + ) ( (x + y )) ) + dx dy π ( 6 r )r dϕ dr π π r ] r4 7 4 π ( r )r dr 8

20 s.) Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. t.) A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ± ± 5 4,. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( ) 4 x y (x + y ) dx dy π ( 4 r r )r dϕ dr π π ] (4 r ) r4 9 6 π ( 4 r r )r dr Számítsuk ki az x + y + z és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z z z ± + ±,. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( ) x y (x + y ) dx dy π ( r r )r dϕ dr π π ] ( ( r ) 8 r4 π 5 ) ( r r )r dr u.) Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. v.) A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ± ± 7 7. A tartomány alapja: x + y 7. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 4 x y (x + y )) dx dy π 7 7 π ( 4 r r )r dϕ dr ( 4 r r )r dr π ] 7 (4 r ) 4 r4 π ( 89 7 ) 7 Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z (x + y ) felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ±. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a kúp és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 4 x y (x + y )) dx dy π π ( 4 r r)r dϕ dr π (4 r ) r ] 8 π( ) ( 4 r r)r dr 9

21 w.) x.) Számítsuk ki az (4x + y + ) dx dy integrál értékét azon a háromszög tartományon, melynek csúcsai P (, ), P (, 4) és P (, 4). y szerinti normáltartománynak tekintve (4x + y + ) dx dy Számítsuk ki az határolt tartomány y y 5 (4x + y + ) dx dy ( 5 (y + )(y + ) + 5 (y + ) + (y + ) ] (y + )x + x ] y y 5 ( (y + 6) (y 4) )) dy 4 xy dx dy integrál értékét, ha az y x és az y x dy 5 (y + 5)(y + ) dy görbék által A metszéspontok y koordinátái: y y 4 y,. A görbék a (, ) és az (, ) pontokban metszik egymást. A tartományt y szerinti normáltartománynak tekintve: xy dx dy y y xy dx dy x y ] y ( dy y y y 6) dy 4 y4 ] 7 y7 56 y.) Számítsuk ki az (x + 4y + ) dx dy integrál értékét azon a háromszög tartományon, melynek csúcsai P (, ), P (4, ) és P (4, ). y szerinti normáltartománynak tekintve (x + 4y + ) dx dy 4 4 x x 5 (x + 4y + ) dy dx ( 5 (x + )(x + ) (x + ) + (x + ) 5 ] 4 4 (x + )y + y ] x x 5 ( (x + 6) (x 4) )) dx 4 65 dy 6 5 (x + )(x + ) dy z.) Számítsuk ki az határolt tartomány. x y dx dy integrál értékét, ha az y x és az y x görbék által A metszéspontok x koordinátái: 4x x x, 4. A görbék a (, ) és a (4, ) pontokban metszik egymást. A tartományt x szerinti normáltartománynak tekintve: x y dx dy 4 x x x y dy dx 4 x y ] x x dx 4 ( x 8 x4) dx 8 x4 ] 4 4 x5 5

22 Hármas integrál Integráltranszformáció Áttérés hengerkoordinátákra A koordináták közötti áttérés: x(r, ϕ, z) r cos ϕ y(r, ϕ, z) r sin ϕ z(r, ϕ, z) z r, ), ϕ, π), z R. A Jacobi-mátrix és determinánsa: x r(r, ϕ, z) x ϕ(r, ϕ, z) x z(r, ϕ, z) J(r, ϕ, z) y r(r, ϕ, z) y ϕ(r, ϕ, z) y z(r, ϕ, z) z r(r, ϕ, z) z ϕ(r, ϕ, z) z z(r, ϕ, z) det J(r, ϕ, z) r(cos ϕ + sin ϕ) r. Röviden: dx dy dz r dr dϕ dz x r cos ϕ y r sin ϕ z z. Áttérés gömbi koordinátákra A koordináták közötti áttérés: cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ x(r, ϕ, ϑ) r cos ϕ sin ϑ y(r, ϕ, ϑ) r sin ϕ sin ϑ z(r, ϕ, ϑ) r cos ϑ r, ), ϕ, π), ϑ, π]. A Jacobi-mátrix és determinánsa: x r(r, ϑ, ϕ) x ϑ (r, ϕ, ϑ) x ϕ(r, ϕ, ϑ) J(r, ϕ, ϑ) y r(r, ϑ, ϕ) y ϑ (r, ϕ, ϑ) y ϕ(r, ϕ, ϑ) z r(r, ϑ, ϕ) z ϑ (r, ϕ, ϑ) z ϕ(r, ϕ, ϑ) det J(r, ϕ, ϑ) r (cos ϕ + sin ϕ)(sin ϑ + sin ϑ cos ϑ) r sin ϑ. cos ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ r cos ϕ sin ϑ cos ϑ r sin ϑ Röviden: dx dy dz r sin ϑ dr dϕ dϑ x r cos ϕ sin ϑ y r sin ϕ sin ϑ z r cos ϑ. a.) b.) Példák Határozzuk meg az R sugarú gömb térfogatát. Térjünk át gömbi koordinátákba. dx dy dz R π π 4π R r sin ϑ dϕ dϑ dr π ] R r dr 4π r 4 πr R π r sin ϑ dϑ dr R r cos ϑ] π dr Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z (x + y ) felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A kúp nyílásszöge arccos dx dy dz π 6 ( )π arccos + π 6. Térjünk át gömbi koordinátákba. π r sin ϑ dϕ dϑ dr π r dr ( ] )π r π 6 r sin ϑ dϑ dr π 6 8 π r cos ϑ] π 6 dϑ dr

23 c.) d.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y + z függvénynek az x + y + z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. (x + y + z ) dx dy dz π π π r r sin ϑ dϕ dϑ dr π r 4 cos ϑ] π dr 4π r 4 dr π 4π 5 r5 r 4 sin ϑ dϑ dr ] 4π 5 Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y z + 5 függvénynek az x + y + z tartomány feletti integrálját. Az egyik koordinátában páratlan x, y, z tagok integrálja zérus a mindhárom koordinátában szimmetrikus téglatest tartományra integrálva, ezen tagokat így elhagyhatjuk. Térjünk át gömbi koordinátákra. (x + y z + 5) dx dy dz 5 dx dy dz π π π r cos ϑ] π dr π r dr 5r sin ϑ dϕ dϑ dr π π ] π r π r sin ϑ dϑ dr e.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y + z függvénynek az x + y + z, x, z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. x + y + z dx dy dz π π π π r cos ϑ] π r r sin ϑ dϕ dϑ dr π dr π π π r dr 4 r4] π 4 r sin ϑ dϑ dr f.) Számítsuk ki az f(x, y, z) zx x + y függvénynek a z, z x + y, x + y 4 felületek által határolt tartomány feletti integrálját. Térjünk át hengerkoordinátákra. zx x + y dx dy dz π π r r 8 cos ϕ dϕ dr 4 π zr cos ϕ r dz dϕ dr π r 8 (cos ϕ + ) dϕ dr π z r 4 cos ϕ ] r π r 8 dr 8 r9] dϕ dr 56 9 π g.) Számítsuk ki az f(x, y, z) zx x + y függvénynek a z, z x + y, x + y 4 felületek által határolt tartomány feletti integrálját. Térjünk át hengerkoordinátákra. zx x + y dx dy dz π π r r 6 cos ϕ dϕ dr 4 π zr cos ϕ r dz dϕ dr π r 6 (cos ϕ + ) dϕ dr π z r 4 cos ϕ ] r π r 6 dr 4 r7] dϕ dr 64 7 π

24 h.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x yz függvénynek az x +y +z, x, y, z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. x yz dx dy dz π ( π r 6 sin 4 ϑ cos ϑ π cos ϕ ( r 4 sin ϑ cos ϑ sin ϕ cos ϕ ) r sin ϑ dϕ dϑ dr ] π ) dϑ dr ] π r 6 5 sin5 ϑ dϑ dr ] 5 7 r7 5 i.) j.) Számítsuk ki hármas integrállal az x + y 9, z, x + z 4 felületek által határolt térrész térfogatát. Térjünk át hengerkoordinátákra. dx dy dz π 4 r cos ϕ 8π r dz dϕ dr ] r dr 8π r 6π π (4 r cos ϕ)r dϕ dr 4 π r dϕ dr Határozzunk meg az integrálás határait az f(x, y, z) dv hármas integrálban, ha a tartomány az O(,, ) A(,, ) B(,, ) C(,, ) tetraéder. A tetraéder xy síkra vett vetülete alapján megállapítható az x, y változók integrálási határai. A z változó alsó integrálási határa, felső integrálási határát az A, B, C pontokra illesztett sík egyenlete adja. f(x, y, z) dv Felületek Felület megadásának módjai: x x y explicit z f(x, y) egyenlettel implicit F (x, y, z) egyenlettel f(x, y, z) dz dy dx r(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k vektorértékű kétváltozós függvény által, a felület pontjait az (u, v) paramétersík egy R tartományának képe adja meg Paraméteres felületek Felületi görbék, érintő egyenes egyenlete A v v illetve u u egyenletekkel leírható felületi görbék (u, v ) pontbeli érintővektorai: r u (u, v ) r v (u, v ) r(u, v) (u, v ) u r(u, v) (u, v ) v ( x(u, v) u i + ( x(u, v) u i + y(u, v) j + u y(u, v) j + u ) z(u, v) k u (u,v ) ) z(u, v) k. u (u,v ) illetve

25 A görbék érintő egyeneseinek egyenletei: e (u) (t) r(u, v ) + t r u (u, v ) e (v) (t) r(u, v ) + t r v (u, v ). illetve Az r(u, v) felületen haladó általános r(t) térgörbe leírható alkalmas u(t), v(t) függvények megadásával: r(t) r(u(t), v(t)) (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))). Az u(t), v(t) paraméterezésű felületi görbe érintővektora a t pontban: r(t ) r u (u(t ), v(t )) u(t ) + r v (u(t ), v(t )) v(t ), érintő egyenesének egyenlete ugyanezen pontban: e(s) r(u(t ), v(t )) + s ( r u (u(t ), v(t )) u(t ) + r v (u(t ), v(t )) v(t )). Érintősík egyenlete Az r u (u, v ), r v (u, v ) érintővektorok vektoriális szorzata megadja az (u, v ) pontbeli felületi normálist: n(u, v ) r u (u, v ) r v (u, v ), melynek segítségével az érintősík egyenlete: ( r r(u, v )) n(u, v ). Felszínszámítás Az r(u, v) paraméterezésű F felület paramétertartomány feletti részének felszíne: ds r u (u, v) r v (u, v) du dv. F () Hengerpalást Az elemi felület nagysága r sugarú hengerpaláston: ds r ϕ (ϕ, z) r z (ϕ, z) dϕ dz ( r sin ϕ, r cos ϕ, ) (,, ) dϕ dz r dϕ dz. Gömbfelület Az elemi felület nagysága r sugarú gömbfelületen: ds r ϕ (ϕ, ϑ) r ϑ (ϕ, ϑ) dϕ dϑ ( r sin ϕ sin ϑ, r cos ϕ sin ϑ, ) (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) dϕ dϑ r sin ϑ dϕ dϑ. Explicit képlettel megadott felületek A z f(x, y) explicit egyenlet által meghatározott felület (u x, v y paramétereken keresztül) paraméteres alakja: r(x, y) (x, y, f(x, y)) x i + y j + f(x, y) k. 4

26 Érintősík egyenlete Az r x (x, y ) (,, f x(x, y )) és r y (x, y ) (,, f y(x, y )) érintővektorok vektoriális szorzata megadja a felület (x, y ) pontbeli felületi normálisát: n(x, y ) r x (x, y ) r y (x, y ) det ( f x(x, y ), f y(x, y ), ), mellyel kifejezve az érintősík egyenlete: Felszínszámítás i j k f x(x, y ) f y(x, y ) f x(x, y ) i f y(x, y ) j + k ( r r(u, v )) n(u, v ) (x x, y y, z f(x, y )) ( f x(x, y ), f y(x, y ), ) f x(x, y )(x x ) + f y(x, y )(y y ) + (f(x, y ) z). A r(x, y) paraméterezésű F felület tartomány feletti részének felszíne: ds r x (x, y) r y (x, y) dx dy f x (x, y ) + f y (x, y ) + dx dy. F () Érintősík- és felszínszámítás lépései. Az F felület paraméterezése (amennyiben nem paraméteresen adott). r u (u, v) és r v (u, v) meghatározása. n(u, v ) r u (u, v ) r v (u, v ) kiszámítása, az u, v pontbeli érintősík n(u, v ) ((x, y, z) r(u, v )) egyenletének felírása 4. ds r u (u, v) r v (u, v) du dv kiszámítása, majd az ds r u (u, v) r v (u, v) du dv F () integrál (felszín) kiszámítása Feladatok a.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (u, v, u + v) u, v R paraméteres egyenlet? x + y z u + v (u + v) a paraméterezett felület az x + y z egyenletű sík. b.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) ( cos u, sin u, v) u π, v R paraméteres egyenlet? x + y 9(cos u + sin u) 9, z v a paraméterezett egyenlet az x + y 9 felület hengerpalást. c.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (v cos u, v sin u, v) u π, v R paraméteres egyenlet? x + y v (cos u + sin u) v, z v a paraméterezett felület az x + y z egyenletű kúp. 5

27 d.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (5 sin u cos v, 5 sin u sin v, 5 cos u) u π, v π paraméteres egyenlet? x + y + z 5(cos v + sin v) sin u + 5 cos u 5 a paraméterezett felület az x + y + z 5 egyenletű gömbfelület. e.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (u, u, v) u, v R paraméteres egyenlet? x y, z v a paraméterezett felület az y x egyenletű z tengely irányában eltolt parabola. f.) Határozzuk meg az r(u, v) (u, 4 u, v) felület (, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) (u, 4 u, v) r(, ) (,, ) r u (u, v) (, u 4 u, ) r u(, ) (,, ) r v (u, v) (,, ) r v (, ) (,, ) n(, ) r u (, ) r v (, ) (,, ) (,, ) (,, ) Az érintősík egyenlete: (,, ) (x, y, z ). g.) Határozzuk meg az r(u, v) ( sin u, cos u, v ) felület (π, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) ( sin u, cos u, v ) r(π, ) (,, ) r u (u, v) ( cos u, sin u, ) r u (π, ) (,, ) r v (u, v) (,, v) r v (π, ) (,, ) n(π, ) r u (π, ) r v (π, ) (,, ) (,, ) (, 6, ) Az érintősík egyenlete: (, 6, ) (x, y +, z ). h.) Határozzuk meg az r(u, v) (u, uv, v u ) felület (, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) (u, uv, v u ) r(, ) (,, 5) r u (u, v) (, v, u) r u (, ) (,, 4) r v (u, v) (, u, ) r v (, ) (,, ) n(, ) r u (, ) r v (, ) (,, 4) (,, ) (7,, ) Az érintősík egyenlete: (7,, ) (x, y +, z + 5). i.) Számítsuk ki az r(u, v) (u, cos v, sin v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (,, ) r v (u, v) (, sin v, cos v) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (, cos v, sin v) du dv π ds dv du π du π F 9(cos v + sin v) du dv du dv j.) Számítsuk ki az r(u, v) (cos u v sin u, sin u + v cos u, u + v) síkfelület felszínét a u π, v tartományban. 6

28 r u (u, v) ( sin u v cos u, cos u v sin u, ) r v (u, v) ( sin u, cos u, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv ( r u (u, v) r v (u, v)) r v (u, v) du dv v( sin u, cos u, ) du dv v (cos u + sin u + ) du dv v du dv π ] v ds v du dv π dv π π F k.) Számítsuk ki az r(u, v) (u, u cos v, u sin v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (, cos v, sin v) r v (u, v) (, u sin v, u cos v) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (u(cos v + sin v), u cos v, u sin v) du dv u (cos v + sin v + ) du dv u du dv π ds u dv du πu du ] u π π F l.) Számítsuk ki az r(u, v) (u + v, u v, v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (,, ) r v (u, v) (,, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (,, ) du dv + + du dv 6 du dv π ds 6 dv du 6π du 6π F m.) Számítsuk ki az r(u, v) ((a+b cos u) cos v, (a+b cos u) sin v, b sin u) u π, v π tóruszfelület felszínét ( < b < a). r u (u, v) ( b sin u cos v, b sin u sin v, b cos u) r v (u, v) ( (a + b cos u) sin v, (a + b cos u) cos v, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv b(a + b cos u)(cos u cos v, cos u sin v, sin u(cos v + sin v)) du dv b(a + b cos u) cos u(cos v + sin v) + sin u du dv b(a + b cos u) du dv π π π π ds b(a + b cos u) dv du πb(a + b cos u) du πba du 4π ab F Skalármező, vektormező Gradiens A φ: R R skalármező gradiense derékszögű koordinátákban: ( grad φ φ φ x, φ y, φ ) φ z x i + φ y j + φ z k. 7

29 A gradiens hengerkoordinátákban: grad φ φ r e r + φ r ϕ e ϕ + φ z e z. A gradiens gömbi koordinátákban: grad φ φ r e r + φ r ϑ e ϑ + r sin ϑ φ ϕ e ϕ. Geometriai jelentése: iránya megadja a legnagyobb meredekség irányát, hossza megadja a legnagyobb meredekség nagyságát. Lokális szélsőértékhelyeken értéke. Legfontosabb tulajdonságai: grad(c φ) c grad φ grad(φ + φ ) grad φ + grad φ grad(φ φ ) φ grad φ + φ grad φ Iránymenti derivált A φ: R R skalármező v irányvektor menti deriváltja: ivergencia φ( r + vt) φ( r ) v φ( r ) lim v grad φ( r ). t t A v : R R vektormező divergenciája derékszögű koordinátákban: A divergencia hengerkoordinátákban: A divergencia gömbi koordinátákban: Legfontosabb tulajdonságai: div(c v) c div v div( v + v ) div v + div v div v v v x x + v y y + v z z. div v r div v r (r v r ) r div(φ v) φ div v + grad φ v div( v v ) rot v v v rot v Rotáció (rv r ) r + r v ϕ ϕ + v z z. + (v ϑ sin ϑ) + v ϕ r sin ϑ ϑ r sin ϑ ϕ. A v : R R vektormező rotációja derékszögű koordinátákban: ( rot v vz v y v ) ( y vx i + z z v ) ( z vy j + x x v ) x k. y 8

30 A rotáció hengerkoordinátákban: ( v z rot v r ϕ v ) ( ϕ vr e r + z z v ) z e ϕ + ( (rvϕ ) v ) r e z. r r r ϕ A rotáció gömbi koordinátákban: rot v ( (vϕ sin ϑ) r sin ϑ ϑ Legfontosabb tulajdonságai: rot(c v) c rot v rot( v + v ) rot v + rot v rot(φ v) φ rot v + grad φ v v ) ϑ e r + ( v r ϕ r sin ϑ ϕ (rv ) ϕ) e ϑ + ( (rvϑ ) v ) r e ϕ. r r r ϑ rot( v v ) v div v v div v ( v grad) v + ( v grad) v Laplace-operátor A Laplace-operátor a nabla-operátor négyzete. A Laplace-operátor derékszögű koordinátákban: A Laplace-operátor hengerkoordinátákban: φ φ div grad φ φ x + φ y + φ z. φ r A Laplace-operátor gömbi koordinátákban: φ ( r r φ ) + r r r sin ϑ ϑ Legfontosabb tulajdonságai: (c φ) c φ (φ + φ ) φ + φ (φ φ ) φ φ + φ φ + grad φ grad φ További összefüggések Azonosságok: rot grad φ( r) φ( r) div rot v( r) ( v)( r) ( r φ ) + φ r r r ϕ + φ z. ( sin ϑ φ ) + ϑ φ r sin ϑ ϕ. rot rot v( r) ( v)( r) ( v)( r) v( r) grad div v( r) v, ahol a Laplace-operátort komponensenként értelmezzük vektormezőkre A vektormező örvénymentes, ha rotációja azonosan zérus, forrásmentes, ha divergenciája azonosan zérus. 9

31 Skalárpotenciál Potenciál létezése A φ skalármező a v( r) vektormező potenciálfüggvénye a R tartomány felett ha minden x pontban v( r) grad φ( r). Legyen a v( r) vektormező folytonosan differenciálható a R tartomány minden pontjában. Ekkor a v( r) vektormezőnek pontosan akkor van potenciálfüggvénye a tartományon, ha ott örvénymentes, azaz rot v( r) a tartomány minden pontjában. Potenciál meghatározása Legyen v( r) örvénymentes vektormező, azaz rot v( r). Ekkor létezik φ(x, y, z) potenciálfüggvény. A potenciálfüggvény meghatározásának lépései:. Számítsuk ki a v x függvény x szerinti integrálját: φ(x, y, z) v x (x, y, z) dx f(x, y, z) + C(y, z). Képezzük az f y deriváltat, majd számítsuk ki a v y f y függvény y szerinti integrálját: C(y, z) (vy (x, y, z) f y(x, y, z) ) dy g(y, z) + C(z). Képezzük az f z és g z deriváltat, majd számítsuk ki a v z f z g z függvény z szerinti integrálját: C(z) (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) dz h(z) + C 4. A potenciálfüggvény: φ(x, y, z) f(x, y, z) + g(y, z) + h(z) + C Amennyiben rot v( r) a g(y, z) és h(z) primitív függvényekben valóban nem jelenik meg a jelöletlen változóktól való függés, mert: (v y (x, y, z) f y(x, y, z)) x (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) x (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) y v y (x, y, z) f x xy(x, y, z) v y v z (x, y, z) f x xz(x, y, z) v z x (x, y, z) v x (x, y, z) y x (x, y, z) v x (x, y, z) z v z (x, y, z) f y yz(x, y, z) g yz(x, y, z) v z y (x, y, z) v y (x, y, z). z a.) Feladatok Van-e potenciálja a v( r) (xy, yz, x + y z ) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (4yz 4yz, x, x) (, x, x) (,, ) A vektormező nem örvénymentes, ezért nincs potenciálfüggvénye. b.) Van-e potenciálja a v( r) (6x y 4yz, x 4xz, xyz ) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt.

32 rot v( r) ( xz + xz, yz + yz, (6x 4z ) (6x 4z )) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (6x y 4yz ) dx x y 4xyz + C(y, z) φ y x 4xz + C y(y, z) x 4xz C y(y, z) C(y, z) C y(y, z) dy C(z) φ z xyz + C z(z) xyz C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y 4xyz + C függvény. c.) Van-e potenciálja a v( r) (xy z, x + z, y x) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (, +, x x) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xy z) dx x y zx + C(y, z) φ y x + C y(y, z) x + z C y(y, z) z C(y, z) C y(y, z) dy z dy yz + C(z) φ z y xc z(z) y x C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y zx + yz + C függvény. d.) Adott a v( r) (xe y + e x z, x e y ye z, ze x y e z ) vektor-vektor függvény. Számítsuk ki a v vektormező divergenciáját és rotációját. Van-e potenciálfüggvénye a v vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. div v( r) (e x z + e y ) + (x e y e z ) + (e x y e z ) (z + )e x + (x + )e y (y + )e z rot v( r) ( ye z + ye z, ze x ze x, xe y xe y ) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xe y + e x z ) dx x e y + e x z + C(y, z) φ y x e y + C y(y, z) x e y ye z C y(y, z) ye z C(y, z) C y(y, z) dy ( ye z ) dy y e z + C(z) φ z ze x y e z + C z(z) ze x y e z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) z e x + x e y y e z + C függvény.

33 e.) Van-e potenciálja a v( r) (xy z yz, x + z xz, yz xz xy) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (z x z + x, z y + z + y, x z x + z) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xy z yz) dx x y z x xyz + C(y, z) φ y x xz + C y(y, z) x xz + z C y(y, z) z C(y, z) C y(y, z) dy z dy z y + C(z) φ z zx xy + zy + C z(z) yz xz xy C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y z x + z y xyz + C függvény. f.) Örvénymentes-e a v( r) (ye xy, ye xy, sin z) vektortér? rot v( r) (,, y e xy (xy + )e xy ) (,, (y xy )e xy ) A vektormező nem örvénymentes. g.) Forrásmentes-e a v( r) (x + y z, x + y + z, x y + z) vektortér? div v( r) + + A vektormező nem forrásmentes. h.) Számítsuk ki a v( r) (6xy, + xy, z x y) vektortér divergenciáját és rotációját. div v( r) 6y + x + rot v( r) ( x, + 6xy, y xy) ( x, 6xy, y xy) i.) Számítsuk ki a v( r) (z y, yz, 4yz xy) vektortér divergenciáját és rotációját. Forrásmentes-e a vektormező? div v( r) z + 4y A vektormező nem forrásmentes. rot v( r) (4z x y, 6zy + y, z ) ( x y + 4z, y + 6yz, z ) j.) Mutassuk meg, hogy az egységnyi ponttöltés F ( r) r r div F ( r) F x x ( r) + F y y ( r) + F z z ( r) x + y + z x rot F ( r) ( Fz y F y z, F x z F z x, F y x F x y tere örvénymentes és forrásmentes. r 5 + x + y + z y r 5 + x + y + z z r 5 ) ( ) ( r) (,, ) yz yz r 5, zx zx r 5, xy xy r 5 A ponttöltés mezője tehát örvénymentes és forrásmentes a teljes értelmezési tartományban (R \ (,, )).

34 k.) Számítsuk ki a v( r) (x + y, 5x z, x y ) vektormező divergenciáját és rotációját. div v( r) + + rot v( r) ( y + z, x, 5 ) (z y, x, 7) l.) Legyen φ skalármező φ( r) x y yz. Mennyi φ és φ értéke? φ( r) grad φ( r) (xy, x z, yz ) φ( r) div grad φ( r) y + 6yz y( z) Vonalintegrál Vonalintegrál kiszámítása A v( r) vektormező vonalintegrálja az r(t) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén: Kiszámításának lépései: Γ v( r) d r t t v( r(t)) r(t) dt.. A Γ görbe paraméterezése (amennyiben nem paraméteresen adott). r(t) meghatározása. v( r(t)) meghatározása 4. v( r(t)) r(t) skalárszorzat felírása, majd az Γ v( r) d r t t v( r(t)) r(t) dt integrál (vonalintegrál) elvégzése Potenciálos erőtér vonalintegrálja Potenciálos erőtér esetén v( r) grad φ( r) alakban áll elő, ezért a vektormező vonalintegrálja az r(t) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén: Γ v( r) d r t Kiszámításának lépései: t v( r(t)) r(t) dt t t grad φ( r(t)) r(t) dt t t dφ( r(t)) dt. rot v fennállásának ellenőrzése. Zárt Γ görbe esetén a vonalintegrál zérus. A φ( r) potenciálfüggvény meghatározása dt φ( r(t )) φ( r(t )).. A Γ görbe r A kezdő- és r B végpontjának megállapítása, majd a vonalintegrál meghatározása az v( r) d r φ( r B ) φ( r A ) Γ képlet szerint

35 Feladatok a.) Számítsuk ki a v( r) (x + y, 5x z, x y ) vektormező vonalintegrálját az r(t) (cos t, sin t, t π ) paraméterezésű Γ görbe t és t π közötti szakasza mentén. r(t) ( sin t, cos t, π ) v( r(t)) ( cos t + sin t, 5 cos t 4t π, cos t sin t) t π v( r) d r v( r(t)) r(t) dt ( cos t sin t sin t 5 cos t 4t π cos t π cos t + π sin t) dt t Γ π ( 4t π cos t sin t 7 ( π + ) cos t) dt π 7π 4 π π t cos t dt 7π 4 ( t π sin t ] π π 7π + 4 π ( t cos t] π π ) cos t dt 7π 6 π ( 4t π cos t 7 ) dt ) t sin t dt b.) Számítsuk ki a v( r) (xy z, x yz, x y ) vektor-vektor függvény x + y 9, z kör mentén vett vonalintegrálját. r(t) (cos t, sin t, ) r(t) ( sin t, cos t, ) v( r(t)) (,, cos t sin t) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ Másképpen. π dt rot v( r) (x y x y, xy x y, xyz xyz) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r Γ c.) Számítsuk ki a v( r) (6xy, + xy, z x y) vektormező vonalintegrálját az r(t) (t, t, + t ) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén. r(t) (, 4t, t) v( r(t)) (4t 5, + t, + t 6t 4 ) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ t t5 + ] t4 + 5t 6 5 (4t 5 + 8t 4 + 8t + t + t t 5 ) dt (t 5 + 8t 4 + t + t) dt d.) Számítsuk ki a v( r) (y z, x + y z, x + y + z) vektormező A(,, ) B(,, ) C(,, ) háromszög kerülete mentén vett vonalintegrálját. 4

36 v( r) d r v( r AB (t)) r AB (t) dt + ABC v( r BC (t)) r BC (t) dt + r AB (t) A + ( B A)t r BC (t) B + ( C B)t r CA (t) C + ( A C)t v( r CA (t)) r CA (t) dt ahol r AB (t) A + ( B A)t ( t, t, ) r AB (t) (,, ) v( r AB (t)) (t, 6 t, ) v( r AB (t)) r AB (t) dt r BC (t) B + ( C B)t (, t, t) r BC (t) (,, ) v( r BC (t)) ( 6t, t, ) v( r BC (t)) r BC (t) dt r CA (t) C + ( A C)t (t,, t) r CA (t) (,, ) v( r CA (t)) (t, 5t 9, ) ABC v( r CA (t)) r CA (t) dt v( r) d r (8 8t) dt 8t 9t ] 9 6t dt 8t ] 8 (9t 8) dt ] 9 t 8t 7 e.) Számítsuk ki a v( r) (xy + z, yz + x, zx + y ) vektormező vonalintegrálját az A(,, ) és B(4,, ) pontok között. rot v( r) (x x, z z, y y) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (xy + z ) dx x y + z x + C(y, z) φ y x + C y(y, z) yz + x C y(y, z) yz C(y, z) C y(y, z) dy yz dy y z + C(z) φ z zx + y + C z(z) zx + y C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y + y z + z x + C függvény. B A v( r) d r φ( B) φ( A) 9 f.) Határozzuk meg az a, b állandókat úgy, hogy a v( r) (xe y + e x z, x e y ye z, aze x + by e z ) vektortérnek legyen potenciálja, majd számítsuk ki vonalintegrálját a P (,, ) és P (,, ) pontok között haladó Γ görbe mentén. 5

37 rot v( r) (bye z + ye z, ze x aze x, xe y xe y ) ((b + )ye z, ( a)ze x, ) A vektormezőnek örvénymentes, ezért a, b. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (xe y + e x z ) dx x e y + z e x + C(y, z) φ y x e y + C y(y, z) x e y ye z C y(y, z) ye z C(y, z) C y(y, z) dy ye z dy y e z + C(z) φ z zx y e z + C z(z) ze x y e z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x e y y e z + z e x + C függvény. P P v( r) d r φ( P ) φ( P ) e e g.) Számítsuk ki a v( r) (x y z, x yz, x y ) vektormező vonalintegrálját az A(,, ) pontot az origóval összekötő szakasz mentén. rot v( r) (x y x y, x y x y, 6x yz 6x yz) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (x y z) dx x y z + C(y, z) φ y x yz + C y(y, z) x yz C y(y, z) C(y, z) C y(y, z) dy C(z) φ z x y + C z(z) x y C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y z + C függvény. O A v( r) d r φ( O) φ( A) h.) Számítsuk ki a v( r) (yz, xz, xy) vektor-vektor függvény A(,, ) B(,, ) C(,, ) háromszög kerülete mentén vett vonalintegrálját. rot v( r) (x x, y y, z z) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. ABC i.) Számítsuk ki a v( r) (y cos x, y sin x + e z, ye z ) vektormező vonalmenti integrálját tetszőleges görbe mentén az A(,, ) és B(,, ) pontok között. 6

38 rot v( r) (e z e z,, y cos x y cos x) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx y cos x dx y sin x + C(y, z) φ y y sin x + C y(y, z) y sin x + e z C y(y, z) e z C(y, z) C y(y, z) dy e z dy ye z + C(z) φ z ye z + C z(z) ye z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) y sin x + ye z + C függvény. B A v( r) d r φ( B) φ( A) e e j.) Számítsuk ki a v( r) (y, xy, z) vektormező vonalmenti integrálját az r(t) (, cos t, sin t) t π paraméterezésű Γ görbe mentén. r(t) (, sin t, cos t) v( r(t)) (cos t, cos t, sin t) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ π π ( sin t cos t) dt ( sin t) dt k.) Számítsuk ki a v( r) (xy z, x + z, y x) vektormező vonalmenti integrálját az x + y 4, z kör mentén. rot v( r) (, +, x x) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. Γ l.) Számítsuk ki a v( r) (6x y 4yz, x 4xz, xyz ) vektormező vonalmenti integrálját az x + y 4, z kör mentén. rot v( r) ( xz + xz, yz + yz, 6x 4z 6x + 4z ) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. Γ m.) Számítsuk ki a v( r) (x yz, x + z, xy z) vektormező vonalintegrálját az A(,, 5) pontot az origóval összekötő szakasz mentén. 7