Dierenciálgeometria feladatsor
|
|
- Elek Fazekas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes a síkban; c v = v 1, v, v irányvektorú, P = p 1, p, p ponton átmen egyenes a térben; d z tengely, a sugarú egyenes forgáshengerre írható b menetemelkedés hengeres csavarvonal.. Írjuk fel az x + y + z = R egyenlet gömb és az x + y Rx = 0 egyenlet henger áthatási görbéjének egy paraméteres alakját Viviani-féle görbe!. Legyen adva a valós síkban egy x + y a = a egyenlet kör, és gördüljön ez a kör az x-tengely mentén. Határozzuk meg az origó mint pont által befutott ponthalmaz ún. ciklois egy paraméteres el állítását! Végeredmények: 1. a ct = a+r cos t, b+r sin t, b ct = t, b+mt, c ct = p 1 +tv 1, p +tv, p +tv, d ct = a cos t, a sin t, bt. ct = R cos t, R cos t sin t, ±R sin t, t [, ] 1
2 . ct = at a sin t, a a cos t, t R A teljesség igénye nélkül néhány további nevezetes görbe: Traktrix vonszolási görbe: Olyan síkgörbe, amelyre teljesülnek a következ k: a A görbe átmegy az a, 0 ponton, ahol a R +. b A görbe tetsz leges A pontjára illeszked érint egyenes olyan A pontban metszi az y-tengelyt, amelyre da, A = a. A görbe paraméteres alakja: ct = a sin t, a ln tg t + cos t, t ]0, [ Bernoulli-féle lemniszkáta: Legyen A és B síkbeli pontok távolsága a, a keresett görbe pedig azon P pontok halmaza, amelyre da, P db, P = a teljesül. Ekkor: ct = a cos t a sin t cos t, 1+sin t 1+sin, a R t + Az ábrán a = 1. Asztroid: Egy a hosszúságú szakasz A végpontja az x, a B végpontja az y-tengelyen mozog. Az A pontra illeszked, y-tengellyel párhuzamos és a B-re illeszked, x-tengellyel párhuzamos egyenes metszéspontját jelölje C, a C pontból az AB egyenesre bocsátott mer leges talppontja legyen P. A P pontok halmaza a keresett görbe: ct = a cos t, a sin t, a R + Az ábrán a = 1.
3 Dioclész-féle cisszoid: Tekintsünk egy origó középpontú, a sugarú kört a síkban. Legyen e a kör A = a, 0 pontbeli érint egyenese. Tetsz legesen kiválasztva egy OB OA félegyenest, messe ez a kört a C pontban, az e érint egyenest pedig a D pontban. Legyen P OB az a pont, amelyre do, P = dc, D. Keressük a P pont pályáját, ha OB körbeforog O körül. A keresett görbe: ct = at,, at a R 1+t 1+t + Az ábrán a = 1. Ezt a görbét a görögök a kockakett zés és a szögharmadolás problémájának megoldására szerették volna felhasználni.. Sebességvektor, ívhossz, természetes paraméterezés 1. Írjuk fel a c: I R n görbe tetsz leges pontbeli sebességvektorát és a ct 0 -beli érint egyenesének egyenletrendszerét, ha a ct := e t cos t, e t sin t, e t, t 0 = 0 b ct := t, ln t, t + 1, t 0 = 1 c ct := e t, e t, t, t 0 = 1 d ct := cos t, sin t, t, t 0 = 8 e ct := cos t, sin t, 5t, t 0 = 6 f ct := sint, cos t, e t cos t e, t 0 =. Határozzuk meg a c: t R ct := t, t, t R görbe azon érint egyeneseinek egyenletrendszerét, amelyek párhuzamosak az x + y + z = 0 egyenlet síkkal!. Számítsuk ki a c: [a, b] R n görbe ívhosszát, ha a [a, b] = [0, ], ct := t, t b [a, b] = [1, ], ct := cos t, sin t, t c [a, b] = [1, ], ct := t, t, t d [a, b] = [0, ], ct := cos t, sin t, cos t, sin t. Vezessünk be természetes paraméterezést a következ görbékénél: a c: t R ct := cos t, sin t, t R b c: t R ct := e t cos t, e t sin t, e t R c c: t R ct := t cos ln t, t sin ln t, t R Az ívhosszfüggvényt olyan intervallumon adjuk meg, amelynek a 0 a baloldali végpontja.
4 Végeredmények: 1. a c t = e t cos t sin t, sin t + cos t, 1, e: x 1 = y = z 1 b c t = t t ln, ln, x, t e: +1 ln = y ln ln = 5z 5 c c t = e t, e t, x e, e: = y e = z e e d c t = sin t, cos t, 1, e: x = z +, y = 1 e c t = sin t, cos t, 5, e: x = y = 5 6z 0 f c t = 6t cost, cos t sin t, e t cos t sin t, e: x = 0, y = 1, z R. t 1 = 1 esetén x 1 = y 1 = z 1 és t 1 = esetén x = y+ 8 = z. a Λc = , b Λc = 1, c Λc = ln hogy x + a dx = 1 x x + a + a ln x + x + a + c, d Λc = t. a ct = cos 1, sin t t 1, 1 b ct = t+ cos ln t+, sin ln t+ c ct = t 1 cos ln t 1, sin, 1 ln t 1, felhasználva,. Síkgörbék Frenet-bázisa, görbület, simulókör 1. Határozzuk meg a c: I R síkgörbe Frenet-bázisát, továbbá számítsuk ki a görbületét a t paraméter pontban, ha a I = [0, ], ct = t, sin t, t = b I = [0, ], ct = cos t, 5 sin t, t 1 = 0 és t = c I = [1, + [, ct = ln t, 5t + t, t = d I = R, ct = t sin t, 1 cos t, t = t e I = [1, 10], ct =, ln t 1, t t t = f I = [0, ], ct = e t cos t, e t sin t, t =. Írjuk fel az el z feladat b, d és f példájában szerepl görbe adott ponthoz tartozó simulókörének egyenletét!. Adott egy x a + y = 1 egyenlet azaz a nagy- és b kistengely ellipszis a b. b a Határozzuk meg a görbületfüggvényét, majd annak széls értékeit. Mely pontokban lesz maximális és melyekben minimális a görbület? b Szerkesszük meg az ellipszis tengelypontjaiban a simulóköröket! Végeredmények: 1. a T = 1, 1, N = 1, 1, κ = 0 b T 0 = 0, 1, N0 = 1, 0, κ0 = 5 T = 1, 0, N = 0, 1, κ = 5 9
5 c T = 1 15,, 1 15 N = ,, 15 κ = 76 = d T = 1 1, e T = 6 7, 1 f T =, N. r t = 1 κt, K t = ct , = 1, κ 1 6 7,, 7 κ = , 7 N = 1,, 1 N = 1,, 1 κ = 1 e κt Nt + y = 65 9 és x + y 16 5 b x + 16 d x 1 + y + 1 = 8 f x + y + e = e. Segítség: κt = ab a sin t + b cos t = A görbület a nagytengely végpontjaiban a b, a kistengely végpontjaiban b a.. Térgörbék Frenet-bázisa, torzió 1. Határozzuk meg az alábbi térgörbék t paraméter pontjához tartozó kísér triéder élegyeneseinek egyenletrendszerét és síkjainak egyenletét, ha a ct = t, t+1, t, t = 1 b ct = t 1, t +, t, t = 1 c ct = t, t + 1, 1 t, t = 1 d ct = 1 + t,, t t, t = 1 1+t e ct = e t t, e t, + e t, t = 0 f ct = cos t, sin t, t, t = 6 g ct = t sin t, cos t, sin t, t =. Számítsuk ki a következ térgörbék görbületét és torzióját a megadott t paraméter pontban! a ct = t t, t +, t 5, t = 1 b ct = t 1, t +, t t, t = 1 1 c ct = t cos t, t sin t, sin, t = t d ct = sin t t, t cos t, 1 t, t = e ct = t sin t, cos t, sin t, t = f ct = a cos t, a sin t, bt, t = t 0 a > 0 g ct = e t cos t, e t sin t, e t, t = t 0. Határozzuk meg a következ térgörbék adott t paraméter pontjában a T, F, B vektorokat a Frenet-formulák segítségével, ha a ct = t, t, t, t = 1 b ct = t sin t, cos t, sin t, t = c ct = a cos t, a sin t, bt, t = t 0 a > 0, b 0 5
6 . Bizonyítsuk be, hogy a következ görbék síkgörbék: a ct = a cos t, a sin t, cos t b ct = t + t 1, t + t, t + c ct = e t cos t, e t sin t, e t cos t + sin t 5. Írjuk fel természetes paraméterezés görbe esetén a T, T, F, F, B és B vektorokat a T, F, B vektorok segítségével! 6. Számítsuk ki természetes paraméterezés görbe esetén a T, F és B vektorok egymással bezárt szögeit! 7. Bizonyítsuk be, hogy az x = y és xy = 9z egyenlet másodrend felületek metszésvonala általános csavarvonal! Segítség: Lancret tétele: Egy bireguláris térgörbe pontosan akkor általános csavarvonal, ha τt κt = k, k R minden t paraméterre! Végeredmények: 1. a érint egyenes: x 1 = y+16 = z+1, binormális egyenes: x 1 16 = y+16, z = 1, x 1 f normális egyenes: = y+16 8 = z+1 10 ; normálsík: 6x 8y 1z = 65, simulósík: x + y =, rektikálósík: 1x 96y + 90z = x b érint egyenes: = y = z, binormális egyenes: x = y = z, f normális egyenes: x 7 = y 8 = z 11 ; normálsík: x + y + z =, simulósík: x y z = 1, rektikálósík: 7x + 8y 11z = c érint egyenes: x + 1 = y x+1 = z 1, binormális egyenes: 10 = y = z+1 6, f normális egyenes: x+1 = y 16 = z+1 1 ; normálsík: x y z = 8, simulósík: 10x + y + 6z = 1, rektikálósík: x + 16y 1z = 50 d érint egyenes: x = 1 y = z x, binormális egyenes: = y 1 = z, f normális egyenes: x = 1 y = z ; normálsík: x y z =, simulósík: x + y + z = 6, rektikálósík: x y + z = 0 e érint egyenes: y 1 = z +, x = 1, binormális egyenes: x 1 6 = 1 y = z+, f normális egyenes: x 1 5 = y 1 6 = z+ 1 ; normálsík: y + z = 1, simulósík: 6x y + z = 1, rektikálósík: 5x + 6y 1z = 7 f érint egyenes: 1 x = y = z 6, binormális egyenes: x 1 = y = z 16, f normális egyenes: x 1 = y, z = ; normálsík: x y 6z =, simulósík: x y + 8z =, rektikálósík: x + y = g érint egyenes: x = y = z, binormális egyenes: x = y = z, f normális egyenes: x = z, y = 0; normálsík: x y + z = 6 +, simulósík: x + y + z = +, rektikálósík: x z = 6. a κ1 = 98, τ1 = 1 ; b κ1 = 10 7, τ1 = 6 ; c κ τ = ; d κ = e κ = 6 8, τ = 5 ; f κt 0 = a a +b, τt 0 = τt 0 = 1 e t 0. a T 1 = = , , τ = ; e t, 0 b a +b ; g κt 0 = 1 1 6, 0, 6, F 1 = 1,, 1, B 1 = 1, 0, 1 6
7 b T = c T t 0 = 1, 0, a b cos t0, b sin t 0, 0 +b a +b, F. Segítség: τt = 0 minden t-re. = 6 9, 6, 1 9, B = 5 9, 0, a cos t 0 a +b, a sin t 0 a +b, 0, F t 0 = sin t 0, cos t 0, 0, B t 0 = 5. T = κ T + κ F + κτb; F = κ T κ + τ F + τ B; B = κτt τ F τ B; T = κ κt + κκ + τ + κ F + κ τ + κτ B; F = κκ + τ κ T κ + τ F τκ + τ τ B; B = κ τ + κτ T + τκ + τ τ F ττ B 6. T F, F B ; T, B =, ha κτ > 0 és T, B = 0, ha κτ < 0 7. ct = t, t, t 7, τt κt = Felületek megadási módjai Legyen I R nyílt intervallum, és c = c 1, c parametrizált görbe, amelyre c t > 0, minden t I esetén. Belátható, hogy ekkor az r : I R R, ru, v = c 1 u, c u cos v, c u sin v elemi felület: a c görbe x-tengely körüli megforgatásával keletkez forgásfelület. Amennyiben adott egy fx, y = 0, z = 0 egyenletrendszerrel megadott ponthalmaz, úgy az x-tengely körüli elforgatásával keletkez felület egyenlete: fx, y + z fx, y + z = 0. Ha a ponthalmaz a forgatás tengelyére szimmetrikus, úgy az egyenlet fx, y + z = 0 -ra redukálódik. Néhány másodrend felület kanonikus egyenlete: x a + y b + z c = 1 x a + y b z c = 1 x a y b z c = 1 x a + y b z c = 0 x a + y b = z x a y b = z x a + y b = 1 x a y b = 1 y = cz c 0 ellipszoid egyköpeny hiperboloid kétköpeny hiperboloid kúp elliptikus paraboloid hiperbolikus paraboloid/nyeregfelület elliptikus henger hiperbolikus henger parabolikus henger 7
8 1. Adjuk meg az x y + z = 5 egyenlet sík egy paraméteres el állítását!. Adjuk meg egy origó középpontú, R sugarú gömb egy paraméteres el állítását!. Tórusz: Legyen adva az [x, z] koordinátasíkban egy k α, 0, 0 középpontú, β sugarú kör 0 < β < α. Adjuk meg egy paraméteres el állítását a k kör z-tengely körüli megforgatásával keletkez felületnek!. Tekintsük az x + y 6x + 5 = 0, z = 0 egyenletrendszer körvonal y-tengely körüli megforgatottját. Állítsuk el a kapott tóruszt implicit módon F x, y, z = 0 és paraméteresen is! 5. Az alábbi parametrizált felületek mely másodrend felületek paraméterezései? α, β, γ R + a ru, v = α cos u cos v, β sin u cos v, γ sin v, ahol u ]0, [, v ], [ b ru, v = v cos u, v sin u, v, u R, v R + c ru, v = αu cos v, βu sin v, u, u R, v [0, ] d ru, v = α ch u cos v, β ch u sin v, γ sh u, u R, v [0, ] e ru, v = α ch u, β sh u cos v, γ sh u sin v, u R, v [0, ] f ru, v = αu + v, βv u, uv, u, v R g ru, v = u, v, uv, u, v R 6. Írjuk fel annak a kúpnak az egyenletét, amelynek csúcspontja az origó, vezérvonala pedig az a kör, amelyet az y = egyenlet sík metsz ki az x + y 6 + z = 5 egyenlet gömbfelületb l! 7. Egy henger vezérvonalának egyenletrendszere x + y = y, z = 0, alkotóegyeneseinek közös irányvektora v =, 1,. Adjuk meg a henger F x, y, z = 0 implicit egyenletét, és állítsuk el paraméteres formában is! Végeredmények: 1. ru, v = u, v, 1 5 u + v Euler-Monge paraméterezés. ru, v = R cos u, R sin u cos v, R sin u sin v, ahol u [, ], v [0, ]. ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u, r : [0, ] R. x + z 6 x + z + y + 5 = 0, ru, v = + cos u cos v, sin u, + cos u sin v 5. a origó középpontú ellipszoid, b origó csúcspontú körkúp, c elliptikus paraboloid, d egyköpeny hiperboloid, e kétköpeny hiperboloid, f hiperbolikus paraboloid nyeregfelület, g xy z = 0 nyeregfelület, amely az el z példában szerepl nyeregfelület z-tengely körüli szög elforgatásával és nyújtással keletkezik. 8
9 6. ru, v = v cos u, v, v sin u, 9x 16y + 9z = 0 7. x + y + 5z 8xz yz 8y + z = 0, ru, v = v + cos u, v sin u, v 6. Felületek paramétervonalai és érint síkjai 1. Határozzuk meg, hogy az alábbi parametrizált felületek paramétervonalai milyen parametrizált görbék! a ru, v = u cos v, u sin v, v, u, v R b ru, v = u + v, u v, uv, u, v R c ru, v = cos u ch v, sin u sh v, u, u, v R. Írjuk föl az alábbi parametrizált felületek r : R R megadott p paraméter pontjában az érint sík egyenletét és a felületi mer leges egyenletrendszerét. Határozzuk meg az adott ponton átmen paramétervonalak hajlásszögének koszinuszát! a ru, v = u v, uv, u + v, p = 1, b ru, v = cos u v sin u, sin u + v cos u, v, p = 0, 1 c ru, v = u, 1 + u cos v, 1 + u sin v, p = 1, d ru, v = u cos v, u sin v, v, p = 1,. Tekintsük az r : u, v R ru, v := v cos u, v sin u, v R parametrizált körkúpot és azt a c := r c felületi görbét, ahol ct := t, e t R, t R. a Fejezzük ki a c deriváltat az r u és r v parciális deriváltak segítségével! b Mutassuk meg, hogy c t ugyanakkora szöget zár be az r u ct vektorral, mint az r v ct vektorral minden t R paraméter esetén!. Adott az r : u, v R ru, v := u cos v, u sin v, u R parametrizált felület. Számítsuk ki r α és r β felületi görbe szögét a közös t 0 = 1 paraméter pontban, ha α: t R αt := t, t + 1 R és β : t R βt := t, t R. 5. Határozzuk meg az alábbi implicit megadású felületek kijelölt pontjában az érint sík egyenletét! a xy + z = 1, P = 1,, b 6xy x y z = 0, P =,, 8 c x y z = 0, P =, 1, 1 d x α y β = z, P = p 1, p, p 6. Határozzuk meg az xyz = 1 felület x + y + z 5 = 0 síkkal párhuzamos érint síkjának egyenletét! 7. Igazoljuk, hogy az x + y + z = 18 és az xy = 9 egyenlet felületek közös pontjaiban az érint síkok is egybeesnek! 9
10 Végeredmények: 1. a 1. paramétervonalak: egyenesek,. paramétervonalak: hengeres csavarvonalak a felület csavarfelület; b 1. és. p.m.v.: egyenesek a felület nyeregfelület; c 1. p.m.v.: cos-függvény, ha a második paraméter 0, egyébként elliptikus hengerre írt csavarvonal,. p.m.v.: hiperbola, ha az 1. paraméter nem k alakú; 0, ±sht, u 0, ha u 0 k alakú és k páratlan; ±cht, 0, u 0, ha u 0 k alakú és k páros, k Z.. a T p r : x y + 5z = 0, n: x+ = y = z 5 5, cos r up, r v p = 6 b T p r : x + y z = 1, n: x 1 = y 1 = 1 z, r u p, r v p = c T p r : x y z =, n: x 1 = 1 y = d T p r : x y + z =, n: x 1 = z, r u p, r v p = y = z, r up, r v p =. a c t = e t sin t, e t cos t, 0 + e t cos t, sin t, 1 b r u ct r v ct és ezeknek szögfelez je a c t minden t-re. cos r α 1, r β 1 = 5. a felület pontbeli gradiensvektorának felhasználásával: a T P F : x + y + z = 9, b T P F : 0x + 6y z = 168, c T P F : x y + z =, d T P F : p 1x p y = z + p α β 6. P = 1, 1, 1, T P F : x + y + z = 7. közös pontok: P =,, 0 és Q =,, 0, grad F 1 P grad F P és grad F 1 Q grad F Q 7. Els alapmennyiségek, felületi görbék ívhossza, felületdarab felszíne 1. Számítsuk ki a következ felületek els alapmennyiségeit u, v R: a ru, v = au cos v, bu sin v, u b ru, v = au ch v, bu sh v, u c ru, v = a sh u cos v, b sh u sin v, c ch u d ru, v = xu cos v, xu sin v, zu elliptikus paraboloid hiperbolikus paraboloid kétköpeny hiperboloid z-tengely forgásfelület. Számítsuk ki az r : R R parametrizált felület r c felületi görbéjének ívhosszát felületi görbeként!, ha a ru, v = v cos u, v sin u, v, ct = t, e t, t [0, α] α R + b ru, v = e u cos v, e u sin v, e u, ct = t, t, t [0, α] α R + c ru, v = u v, uv, u + v, ct = sin t, sin t, t [ 0, ]. Számítsuk ki a felület felszínét, ha a r : u, v [, ] [, ] ru, v = cos u cos v, sin u cos v, sin v R b r : u, v [0, ] ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u R c r : u, v [0, ] [0, 1] ru, v = cos u v sin u, sin u + v cos u, u + v R d r : u, v [ 1, 8] [0, ] ru, v = 1 u cos v, u, 1 u sin v R. Legyen U R a 0, 0, 1, 0 és 1, 1 csúcspontokkal rendelkez háromszöglemez. Számítsuk ki az r : u, v U ru, v = u +v, u v, uv parametrizált felület felszínét! 10
11 Végeredmények: 1. a E p = a cos v + b sin v + u, F p = b a u cos v sin v, G p = a u sin v + b u cos v b E p = a ch v + b sh v + u, F p = a + b u ch v sh v, G p = a u sh v + b u ch v c E p = a ch u cos v + b ch u sin v + c sh u, F p = b a ch u sh u cos v sin v, G p = a sh u sin v + b sh u cos v d E p = x u + z u, F p = 0, G p = xu. a e α 1, b 61 e α, c. a, b αβ, c, d Második alapmennyiségek, f irányok, f görbületek, Gauss- és Minkowskigörbület 1. Határozzuk meg az alábbi parametrizált felületek kijelölt pontjában a f görbületeket, f irányokat, a Gauss- és Minkowski-görbületeket! a r : u, v R ru, v := u + v, uv, u v R, p = r 1, 1 b r : u, v R ] 0, [ ru, v := u cos v, u sin v, v R, p = r 1, c r : u, v R ] 0, [ ru, v := e u cos v, e u sin v, e v R, p = r 0, 0 d r : u, v ] 0, [ R + ru, v := v cos u, v sin u, v 1 + cos u R, p = r, 1 e r : ] 0, [ ] 0, [ R, ru, v := a sin u cos v, a sin u sin v, a ln tg u + cos u p = r, λ, a R + rögzített, λ ] 0, [. Határozzuk meg a következ implicit alakban megadott felületek adott pontbeli Gaussés Minkowski-görbületét! a x y + xy z = 0, P = 1,, 0 b x y 8z = 0, P =,, 0 c x y z = 0, P =, 1, 9. Végezzük el a felületi pontok osztályozását az r : [0, ] [0, ] R, ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u parametrizált tóruszon!. Határozzuk meg az r : u, v R \ {0, 0} ru, v = v, u, u + v R felület parabolikus pontjait! 5. Mutassuk meg, hogy az r : u, v [0, ] ru, v = cos u, sin u cos v, sin u sin v R parametrizált gömb minden pontja elliptikus! 11
12 6. Mutassuk meg, hogy az r : u, v R [0, ] ru, v = u, u cos v, u sin v R parametrizált kúp minden pontja parabolikus! 7. Mutassuk meg, hogy az r : u, v R ru, v = u, v, uv R parametrizált nyeregfelület minden pontja hiperbolikus! 8. Tekintsük az r : [0, ] [0, ] R, ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u parametrizált tóruszt. Adjunk meg olyan érint síkot, amely pontosan két pontban érinti a felületet! Milyen alakzatban metszi ez a sík a tóruszt? Villarceau-körök Végeredmények: 1. Itt V 1 és V vektorok a megfelel f irányokkal párhuzamos vektorok. A V i, i = 1, a i f irányhoz tartozó érint egyenes egy eleme. 1 1 a W p = ; κ p = 0, V 1 = 1, 1 B, κ p =, V = 1, 1 B ; Kp = 0 parabolikus pont, Hp = 0 b W p = ; κ p = 1, V 1 =, 1 B, κ p = 1, V =, 1 B ; Kp = 1 c W p = 1 hiperbolikus pont, Hp = 0 0 ; κ p = Kp = 1 hiperbolikus pont, Hp = d W p = , V 1 =, 1 B, κ p = 8, V = 1, 1 B ; ; κ 1 p = 0, V 1 = 1, B, κ p = 9, V = 5, B ; Kp = 0 parabolikus pont, Hp = 9 e W p = 1 0 ; κ 1 p = a 0 a, V 1 = r u p, κ p = Kp = 1 a hiperbolikus pont, Hp = a a, V = r v p;. a Kp = 6 81, Hp = 1 ; b Kp = 1, Hp = ; c Kp = 599, Hp = elliptikus pontok: u, v [ 0, ] ], ] [0, ]; parabolikus pontok: u, v {, } [0, ]; hiperbolikus pontok: u, v ], [ [0, ]. Ku, v = 0, ha 7uv = 0; így egy felületi pont parabolikus, ha u = 0 vagy v = Ku, v = 1 > 0 az értelmezési tartomány minden u, v pontja esetén 6. Ku, v = 0 és Hu, v 0 az értelmezési tartomány minden u, v pontja esetén 7. Ku, v = 1 u +v +1 < 0 az értelmezési tartomány minden u, v pontja esetén 1
13 8. Útmutató: Végtelen sok ilyen sík létezik. Kiválasztva például az [y, z]-koordinátasík metszetét, az ott kapott két kör egyik közös bels érint egyenese és az x-tengely által meghatározott sík pontosan két pontban érinti a tóruszt. A kapott metszési alakzat két egymást az érintési pontokban metsz kör ezek az ún. Villarceau-körök. Az ábra jelöléseit követve v 1 = 0, α β α, β α β α, valamint v = 1, 0, 0 az érint sík egy-egy irányvektora, így az érint sík egy normálvektora például: w = 0, β, α β. A sík tartalmazza az origót, így az egyenlete: βy α β z = 0. 1
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus) III
2010 sz, Debreceni Egyetem Felületek A felület megadása implicit: F : R 3 R, F (x, y, z) = 0 Euler-Monge: f : [a, b] [c, d] R, z = f (x, y) paraméteres: r : [a, b] [c, d] R 3 trianguláris háló direkt megadása
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel
Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor
RészletesebbenDierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat
matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenÍrja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2
1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
RészletesebbenGeometriai alapok Felületek
Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus
RészletesebbenSíkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.
Síkgörbék 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.) 2. (n szirmú virág.) Legyen r(t) = sin(nt), (0 t 2π). Ábrázoljuk polár
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben
3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk
RészletesebbenAnalízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
RészletesebbenDIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR
SZILÁGYI BRIGITTA DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright A differenciálgeometria klasszikus felépítését
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenKét körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat
matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenEllipszisekr½ol részletesen
Ellipszisekr½ol részletesen dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu 019.01.07. Kivonat A mindennapi életben a kör alakú tárgyakat (is), például közlekedési táblákat, legtöbbször
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenMezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan
Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenEgy matematika jegyzetről mérnökhallgatóknak About a math textbook for engineering students
Egy matematika jegyzetről mérnökhallgatóknak About a math textbook for engineering students A. VARGA Debreceni Egyetem, Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék, vargaa@eng.unideb.hu Absztrakt. Mennyire
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben