Síkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.

Átírás

1 Síkgörbék 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.) 2. (n szirmú virág.) Legyen r(t) = sin(nt), (0 t 2π). Ábrázoljuk polár koordinátarendszerben n néhány pozitív páratlan egész értékére. Színezzük ki az így kapott virágot (persze Maple-lel, ld. az ábrát). 3. (Szívből harang.) Legyen r(t) = cos(5t) + n cos(t), 0 t π. Rajzoljuk meg az így definiált alakzatot (polár koordinátarendszerben) n egész értékeire n = 5-től (szív) n = 5-ig (harang), egy ábrában, illetve animálva is. 4. Készítsünk elfogadható ábrát az x 4 + y 4 + x 2 y y 3 = 0 implicit alakban adott síkgörbéről. 5. Az ún. Descartes levél implicit egyenlete x 3 + y 3 3axy = 0. Ábrázoljuk a görbét az implicit egyenlete alapján. (a = 1 esetén a [ 2, 2] [ 2, 2] négyzet jó választás.) Térjünk át paraméteres előállításra: c(t) = (3at/(1 + t 3 ), 3at 2 /(1 + t 3 )). Ábrázoljuk a görbét a paraméteres előállítás alapján. Próbáljuk meg a paraméteres előállítás alapján az előző ábrát rekonstruálni. 6. Írjunk eljárást az inverzióra. Rajzoljunk ki néhány síkgörbét az inverzével együtt közös koordináta rendszerben. 7. Generáljunk véletlenszerű pontokat az xy síkon, illesszünk rájuk egyenest a legkisebb négyzetek elve szerint. Rajzoljuk ki egy ábrában a pontokat és az egyenest. (Segítség: CurveFitting csomag, LeastSquares utasítás.) 1

2 Felületek 8. Másodrendű felületek. Ábrázoljunk ellipszoidot, egy- és kétköpenyű hiperboloidot, hiperbolikus paraboloidot paraméteres előállításuk alapján. 9. Ábrázoljuk a (u, v) R((u + i v) n ) felületet n = 2-re (hiperbolikus paraboloid), n = 3-ra (majomnyereg miért ez a neve?), n = 4-re. (R a valós rész jele.) Készítsük el az ábrákat a képzetes részre is. 10. Forgásfelület. Legyen adva az xz síkban egy görbe, s ezt forgassuk meg a z tengely körül. A görbe először legyen az (x 2) 2 + z 2 = 1 kör. (Parametrizáljuk a kört, alkalmazzuk rá a z körüli elforgatás mátrixát.) A kapott felület egy tórusz. Ezután írjunk eljárást a forgásfelület ilyen módon történő képzéséhez. Alkalmazzuk az eljárást egy nyolcasra. (Polár koordinátarendszerben az r(t) = sin 2 (t) (t = [0, 2 π] egy nyolcas-szerű alakzatot ad.) 11. Möbius szalag és Klein palack kettős forgatással. Tekintsünk egy középpontosan szimmetrikus görbét az xz síkban, mely szimmetria centruma legyen az x tengelyen. Miközben a görbét a z tengely körül forgatjuk, forgassuk a síkjára merőleges, s a szimmetria centrumán áthaladó tengely körül is úgy, hogy amíg a z tengely körül egy teljes fordulatot tesz meg a görbe, a szimmetria centruma körül egy fél fordulatot tegyen meg. Ha egy szakaszt forgatunk meg ilyen módon, akkor az ún. Möbius szalagot, ha egy nyolcast, akkor az ún. Klein palackot kapjuk. A feladat a Möbius szalag és a Klein palack parametrizálása, s ez alapján a felület ábrázolása. Útmutatás: A z tengely körüli forgatás szöge legyen v. A v paraméterű helyzetbe a görbe úgy jut el, hogy az eredeti helyzetében elforgatjuk a centrumon átmenő y-al párhuzamos tengely körül v/2 szöggel. Ez utóbbi forgatás mátrixát (az előadáson megismert síkbeli példához analóg módon) állítsuk elő homogén koordinátákat használva mátrix szorzással. Először a centrumot eltoljuk az origóba, itt az y tengely körül forgatunk, majd visszatoljuk a görbét a centrum eredeti helyébe. 12. Két kitérő egyenes egyike körül forgassuk el a másikat. (A forgástengely menjen át az origón.) 2

3 13. A keresztsapka. Kiindulunk valamely felület egy P pontjából, ahol a két főgörbület pozitív és nem egyezik meg. A felület minden normálmetszetéhez megszerkesztjük a P beli görbületi kört. Ez a körsereg a keresztsapka nevű felületet tölti ki. Adjuk meg a keresztsapka paraméteres előállítását és ábrázoljuk a felületet. (Ez a felület topologikusan ekvivalens a projektív síkkal.) Útmutatás: Válasszuk azt a koordináta-rendszert, amelynek x, y tengelye a felület P -beli főgörbületi irányaiba mutat. Legyenek a és b a felület P -beli főgörbületei (a < b). Euler tétele szerint azon normálmetszet görbülete, melynek a irányától mért szöge v: a cos 2 (v) + b sin 2 (v). A görbületi kör sugara tehát ezen érték reciproka. Ha a normálmetszet irányába az i mutat, akkor a görbületi kör előállítása: r cos(u) i + r(sin(u) + 1) k. i -t azonban ismerjük: i = cos(v) i + sin(v) j. Az ábrázoláskor 0 v π, de v-t ne rögtön π-ig futtasuk, hogy a felület evolúcióját világosan lássuk. ([0, π/2] egy jó ötlet, ezt nézzük alaposan körbe az egérrel.) 14. Keresztsapka még egyszer. Konvertáljuk a keresztsapka ábráját poligon listává. A kapott poligon listából csak minden másodikat kirajzoltatva készítsük el a lap tetején látható szalag modellt. 3

4 Differenciálgeometriai számítások 15. Írjunk eljárást, mely kiszámítja egy parametrizált síkgörbe (előjeles) görbületét, egy térgörbe torzióját és görbületét. Számítsuk ki néhány görbe természetes adatait az eljárásunkkal. 16. Írjunk eljárást, mely kiszámítja egy parametrizált síkgörbe evolútáját. Rajzoljunk ki az eljárás segítségével néhány síkgörbét az evolútájával. 17. Alkalmazzuk az evolútára írt eljárásunkat iteratívan (... az evolúta evolútájának az evolútája... ), s rajzoljuk ki a cissoid első három evulútáját (különböző színekkel). 18. Írjunk eljárást, mely a görbe természetes adataiból (síkban előjeles görbület, térben görbület és torzió) és a peremfeltételekből (síkban: görbepont és hajlásszög érték a t = 0-ban, térben: görbepont és Frenet bázis t = 0-ban) kirajzolja a görbét. (Pontosabban az adott feltételekkel egy természetes paraméterezésű görbét keresünk. A megfelelő differenciálegyenelet-rendszer numerikus megoldását alkalmazzuk. A hajlásszög függvény egy parametrizált síkgörbére az érintő és az x-tengely szögét adja meg a görbeparaméter függvényében, differenciálható módon. Deriváltja természetes paraméterezésű parametrizált görbére az előjeles görbület.) Vetítések 19. Általános axonometria. Adjuk meg a tér B kanonikus bázisa mindhárom vektorának a képét egy kettő rangú vektorrendszerrel, de egyébként tetszőlegesen. (Tudjuk, hogy ez B egy párhuzamos vetületéhez hasonló.) Rajzoljuk ki a kanonikus bázis képét a síkon, majd ábrázoljunk hengeres csavarvonalat a megadott általános axonometriában. 20. Ortogonális axonometria, Gauss tétele. Adjuk meg a tér kanonikus bázisa első két vektorának a képét tetszőlegesen, s Gauss tétellel számítsuk ki a harmadik bázisvektor képét. (A norma feltételtől eltekintve.) Rajzoljuk ki a kanonikus bázis képét a síkon amely tehát skálázástól eltekintve merőleges vetület, majd ábrázoljunk hengeres csavarvonalat a megadott axonometriában. 21. Centrális projekció. Írjunk eljárást pont képének centrális projekcióval történő ábrázolására. Ábrázoljunk hengeres csavarvonalat az eljárásunkkal. 22. Centrál-axonometria. A centrál-axonometriát homogén koordinátákkal egy 3 rangú 3 4 típusú mátrix ad meg (zérus oszlopot sem tartalmazhat), amely tehát a projektív teret a projektív síkra képezi. A mátrix oszlopainak geometriai jelentése: az x, y, z tengelyek végtelen távoli pontjainak képe, a negyedik oszlop pedig az origó képe. Az így nyert kép általában nem centrálprojekcióhoz hasonló. Adjunk meg centrál-axonometriát, ábrázoljuk a kanonikus bázist és szokás szerint hengeres csavarvonalat. (Ha akarunk, akkor kockát.) 4

5 Görbemodellezés 23. Hermite görbe. Ábrázoljunk harmadfokú síkgörbét, ha adottak a geometriai együtthatói. (Azaz kezdőpont, végpont, sebességvektor a kezdőpontban és végpontban.) Szemléltessük néhány ábrán, hogyan függ a görbeív a sebességvektorok irányától, nagyságától. (Egy ábrán, sorozatban is; animációt is készíthetünk.) 24. Összetett Hermite görbe. Írjunk eljárást összetett Hermite görbe ábrázolására. 25. Bézier görbe. Írjunk eljárást adott kontrollpontokhoz tartozó Bézier görbe ábrázolására. Jelenítsük meg egy ábrában a kontrollpontokat és a görbét. 26. Összetett Bézier görbe. Írjunk eljárást, mely kiszámítja és megrajzolja adott csomópontokhoz, töréspontokhoz és (a csomópontokban adott) sebességvektorokhoz tartozó köbös szplájnt (összetett Bézier görbét). 27. Bézier görbe fokszám emelése. Írjunk eljárást Bézier görbe fokszám emelésére, azaz adott kontrollpontokhoz számítsuk ki az emelt fokszámú görbe kontrollpontjait. Rajzoljuk meg egy ábrában mind a két kontrollpont sorozatot (különböző színekel), valamint magát a görbét. 28. Uniformális B-szplájn. Készítsünk eljárást harmadfokú uniformális B-szpájn rajzolására. Alkalmazzuk eljárásunkat zárt görbe rajzolására. (Dolgozzunk mátrix alakkal.) 5