Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat

Átírás

1 matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög koordináta-rendszerét véve alapul már értelmeztük a σ = σ i σ projektív síkon a pontok és az egyenesek homogén koordinátáit. Tekintsük az x T Ax = 0 másodfokú egyenletet, amelyben A egy 3 3-as szimmetrikus mátrix és x T = (x 1, x 2, x 3 ). Az egyenlettel leírt M másodrend görbét egy közönséges projektív kúpszeletnek mondjuk, ha teljesül M és det A 0. A P [y 1, y 2, y 3 ] és Q[z 1, z 2, z 3 ] pontok konjugáltak egymáshoz az M kúpszeletre nézve, ha fennáll y T Az = 0, vagyis ha teljesül 3 r=1 3 s=1 a rs y r z s = 0. Pontnak az M kúpszeletre vonatkozó polárisa: az adott ponthoz konjugált pontok egyenese. Egyenes pólusa az M-re nézve: a projektív sík azon pontja, amely konjugált az egyenes összes pontjához. 1) Az σ euklideszi síkon vegyük az x 2 2p y = 0 egyenlettel leírt M parabolát, melynek tengelyét jelölje t. Ennek projektív lezárása a σbeli M másodrend görbe az (x 1 ) 2 2 p x 2 x 3 = 0 egyenlettel. Igazoljuk, hogy az i σ ideális egyenes érinti az M kúpszeletet és az érintési pontja rajta van a t egyenesen. 2) Az σ síkon tekintsük a b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 (a, b > 0) egyenlettel leírt M hiperbolát. Adjuk meg az M projektív kúpszelet és az i σ egyenes metszéspontjainak a homogén koordinátáit. Igazoljuk, hogy a hiperbola aszimptotái ezen pontokban érintik az M kúpszeletet. 3) Adva van a σ síkban egy g egyenes és azon olyan A, B, C pontok, hogy C az AB szakasz felez pontja. A σ projektív sík mely D pontját kell vennünk ahhoz, hogy az A, B, C, D pontnégyes harmonikus legyen. 4) Legyen M vagy egy ellipszis vagy pedig egy hiperbola a σ síkon, továbbá az M kúpszelet centruma legyen a C pont. Mutassuk meg, hogy a C pontnak az M projektív kúpszeletre vonatkozó σ-beli polárisa megegyezik az i σ ideális egyenessel. (Utalás: Alkalmazzuk a konjugáltság geometriai jelentésével kapcsolatos tételt.) 5) A σ euklideszi síkon vegyünk egy M közönséges kúpszeletet. Eszerint az M lehet ellipszis, hiperbola vagy parabola. Vegyünk egy g egyenest és a vele párhuzamos azon egyeneseket, melyek metszik M-t. Igazoljuk, hogy a párhuzamosokból kimetszett szakaszok felez pontjai egy egyenesre esnek. Mutassuk meg azt is, hogy parabola esetén a felez pontok egyenese párhuzamos a tengellyel. 6) A σ euklideszi síkon legyen adott egy M parabola, melynek fókusza F és vezéregyenese v. Igazoljuk, hogy az F fókusz M kúpszeletre vonatkozó polárisa v. 7) Legyen adott egy M közönséges projektív kúpszelet a σ síkon. Tekintsünk egy P (P / M) pontot és annak az Mre vonatkozó t polárisát. Vegyük azt a κ : σ σ centrálistengelyes kollineációt, amelynek P a centruma, t a tengelye és c(κ) = 1 a karakterisztikus kett sviszonya. Mutassuk meg, hogy teljesül κ(m) = M.

2 matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 2. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Pont polárisa. Érint k.) A derékszög koordinátarendszerrel ellátott σ síkon legyen adva van egy M másodrend görbe, melyet az a 11 x a 12 x y + a 22 y b 1 x + 2 b 2 y + d = 0 egyenlet ír le. Vegyük a σ = σ i σ projektív síkon a megfelel homogén koordinátákat. Ekkor az a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x b 1 x 1 x b 2 x 2 x 3 + d x 2 3 = 0 egyenlettel meghatározott σbeli M alakzatot az M projektív lezárásának mondjuk. a 11 a 12 b 1 Az M másodrend görbének tehát megfelel az A = a 12 a 22 b 2 szimmetrikus mátrix. b 1 b 2 d 1) A σ euklideszi síkon tekintsük azt az M ellipszist, amelynek egyenlete 5 x 2 4 x y + 3 y x 4 = 0. Vegyük a σ projektív síkon az M projektív lezárásával nyert M másodrend görbét. Határozzuk meg a Q[1, 2, 0] ideális pontnak az Mre vonatkozó polárisát, továbbá a P [ 1, 1, 1] pontbeli érint egyenest. Utalás: Amennyiben a Q pont egyik homogén koordináta-hármasa z T = (z 1, z 2, z 3 ), akkor az Az = u mátrixszorzat megadja a poláris egyik u T = (u 1, u 2, u 3 ) homogén koordináta-hármasát. Imeretes továbbá, hogy a projektív kúpszeletre es pont polárisa megegyezik a pontbeli érint vel. 2) A σ euklideszi síkon tekintsük azt az M hiperbolát, amelynek egyenlete 2x 2 6xy y y 21 = 0. Vegyük az M hiperbola M projektív lezárását a σ síkon. Határozzuk meg az M projektív kúpszelet azon érint it, amelyek áthaladnak az x 2 x 3 = 0 egyenlet egyenes Mre vonatkozó pólusán. 3) Adjuk meg az el z feladatban szerepl M hiperbola C középpontjának koordinátáit. Utalás: Célszer felhasználni az 1/4. feladatnál leírtakat. Melyik egyenesnek pólusa a C centrum? 4) A σ euklideszi síkon tekintsük azt az M ellipszist, amelynek egyenlete 3x 2 + 2xy + 2y 2 + 4x 10y + 20 = 0. Projektív geometriai ismeretek alkalmazásával határozzuk meg az M kúpszelet azon érint inek egyenletét, amelyek áthaladnak a P (0, 4) ponton. 5) A σ euklideszi síkon vegyük a 9 x 2 6 x y+y x 5 = 0 egyenlettel leírt parabolát. A σ projektív síkon tekintsük a parabola M projektív lezárását. Határozzuk meg az x 1 + x 3 = 0 egyenlet egyenesnek az M projektív kúpszeletre vonatkozó pólusát. 6)* Projektív geometriai eszközöket alkalmazva határozzuk meg az el z feladatban szerepl parabola tengelyének el bb az irányát, majd a tengely egyenletét. Utalás: A tengellyel párhuzamos egyenesek ideális pontja melyik egyenesnek a pólusa? A tengelyre mer leges egyenesek ideális pontjának melyik egyenes a polárisa?

3 matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 3. feladatsor (Dierenciálgeometria. Paraméterezett görbék.) 1) A z = 0 koordinátasíkban vegyük az x2 a + y2 = 1 (a > b > 0) egyenlet ellipszist. 2 b 2 A szögfüggvényeket alkalmazva adjunk meg egy olyan sima paraméterezett görbét, amelynek pályája megegyezik az ellipszissel. 2) A z = 0 koordinátasíkban vegyük az x2 a y2 = 1 (a > 0, b > 0) egyenlet 2 b 2 hiperbolát. A hiperbolikus függvények felhasználásával adjunk meg egy olyan sima paraméterezett görbét, amelynek pályája megegyezik a hiperbola egyik ágával. 3) Tekintsük a γ(t) = cos t cos t e 1 + sin t sin t e 2 összefüggéssel leírt γ : [0, 2 π] R 3 paraméterezett síkgörbét. Jellemezzük a γ görbe pályáját. Döntsük el, hogy C osztályúe a γ leképezés. 4) A z = 0 egyenlet síkban egy az O kezd pontra illeszked egyenes ω szögsebességgel forog O körül. Ezen forgó egyenes mentén egy tömegpont halad konstans v sebességgel. A t = 0 pillanatban a forgó egyenes éppen az x tengellyel esik egybe és a tömegpont az O kezd pontban van. Adjuk meg a tömegpont γ(t) helyvektorát az id függvényében (t 0). (A tömegpont mozgását leíró γ paraméteres görbe pályáját nevezik Archimédeszi spirálnak.) 5) Vegyük azt a γ : R R 3 paraméteres görbét, amelynél 1 ( ) γ(t) = 2t e1 + 2t 2 e 1 + t 2 + t t 3 e 3 teljesül tetsz leges t esetén. Igazoljuk, hogy a görbe pályája rajta van egy c = (0, 1, 0) centrumú gömbön. 6) Igazoljuk, hogy a γ(t) = 2t 2 e 1 + (3t 2 + t + 1) e 2 + (4t 5) e 3 (t R) összefüggéssel leírt γ görbe pályája rajta van az R 3 tér egyik síkján, és határozzuk meg ezen sík egyenletét. 7) Vegyük a γ : R R 3 paraméteres görbét, amelyre rögzített a > 0 mellett fennáll γ(t) = a(1 t2 ) e 1 + t a t 1 + t e 2 2 (t R). Milyen alakzatot képez a γ görbe pályája? 8) Tekintsük a γ(t) = e t cos t e 1 + e t sin t e 2 + e t e 3 (t R) összefüggéssel leírt γ : R R 3 paraméteres görbét, melynek pályája rajta van az x 2 +y 2 = z 2 egyenlet forgáskúpon. Igazoljuk, hogy ez a sima görbe konstans szögben metszi el a kúpfelület alkotóit. 9) Vegyük azt a γ : (, 0) R 3 sima görbét, melyet a γ(t) = 2 t e 1 + 6t e 2 + 3t 3 e 3 összefüggés ír le. Számítsuk ki a γ [ 3, 1] görbeszegmens ívhosszát. 10) Tekintsük a γ(t) = ch t e 1 + sh t e 2 egyenlettel leírt γ : R R 3 reguláris síkgörbét. Vegyük a ϕ : ( 1, 1) R függvényt, ahol ϕ(u) = 2 arth (u). Hozzuk egyszer bb alakra a γ átparaméterezésével nyert γ = γ ϕ sima görbe koordináta-függvényeit.

4 matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 4. feladatsor (Dierenciálgeometriai feladatok görbékre.) 1) Az R 3 tér z = 0 síkjában vegyük az egymást érint x 2 + y 2 = 1 egyenlet kört és az x = 1 egyenlet egyenest. Az egyenest gördítsük le csúszásmentesen a körön. Adjuk meg a kezdeti érintkezési pont által leírt pálya (a körevolvens) egy olyan paraméterezését, ahol a t paraméter a körön legördült szakasz hossza (γ(t) =?). Határozzuk meg a γ [2, 3] görbedarab ívhosszát. 2) A z = 0 egyenlet síkban vegyük az egymást érint x 2 + y 2 = 1 és (x 2) 2 + y 2 = 1 egyenlet köröket. A második kört gördítsük le az els körön. Adjuk meg a kezdeti érintkezési pont által leírt pálya (a szívgörbe) egy olyan paraméterezését, ahol a t paraméter a legördült körív középponti szöge (γ(t) =?). 3) Tekintsünk egy síkot és abban egy R sugarú kört. Ennek belsejében csúszásmentesen gördítsünk le egy r (r < R) sugarú kört. A legördül kör egy kerületi pontja által leírt pályát hipocikloisnak mondjuk. (A paraméterezést lásd egy másik oldalon.) Asztroidnak nevezzük azt a hipocikloist, ahol a körök sugaraira fennáll R = 4r. Ez esetben a γ(t) = R cos 3 t e 1 + R sin 3 t e 2 paraméterezést kapjuk, amelynél a t paraméter a [0, 2π] intervallumot futja be. Határozzuk meg az asztroid ívhosszát. 4) Tekintsük a γ(t) = ch t e 1 +sh t e 2 +t e 3 egyenlettel leírt γ : R R 3 reguláris görbét. Adjuk meg a γ azon ívhossznak megfelel γ = γ ϕ átparaméterezését, amelyre fennáll γ(0) = γ(0). 5) Számítsuk ki a 4/1) feladatbeli γ görbe görbületét tetsz leges t > 0 helyen (κ(t) =?). 6) Vegyük a γ(t) = a cos t e 1 + a sin t e 2 + b t e 3 (t R) egyenlettel meghatározott γ : R R 3 görbét (a > 0, b 0), melyet hengeres csavarvonalnak nevezünk. Határozzuk meg a γ kísér Frenetbázisát és görbületi függvényét. 7) Tekintsük a γ(t) = (2t 5) e 1 +ln t e 2 +(t 2 +1) e 3 összefüggéssel leírt γ : (0, ) R 3 görbét. Határozzuk meg t = 1 helyen a görbe simulósíkjának egyenletét, továbbá a simulókör sugarát és centrumát. 8) Tekintsük a γ(t) = (t 2 + exp(t)) e 1 + (3 cos t sin t) e sin t e 3 összefüggés által leírt γ : R R 3 görbét. A t = 0 helyen határozzuk meg a görbe Frenetbázisának vektorait, továbbá a simulókör sugarát és centrumát. 9)* A koordinátázott térben az [x, y] koordinátasík legyen egy olyan függ leges sík, ahol az y koordináta a magasságot adja meg. Vegyük azt a γ sima görbét, amelyet a γ(u) = a(u sin u) e 1 + a(1 + cos u) e 2 összefüggés ír le (u [0, 2π]). A γ képe legyen kényszerpálya egy tömegpont számára, amelyre ez esetben csak a nehézségi er és a pálya által kifejtett kényszerer hat. Helyezzük a tömegpontot a γ([0, 2π]) ciklois pályára 0 kezd sebességgel valamely h (0 < h 2a) magasságban. Bizonyítsuk be, hogy a tömegpont által végzett rezg mozgás periódusideje nem függ a h kezd magasság értékét l.

5 matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 5. feladatsor (Dierenciálgeometriai feladatok síkbeli görbékre.) 1) Vegyük a γ(t) = t e t3 e 2 összefüggéssel leírt γ : R R 2 síkgörbét. Számítsuk ki γ kísér Frenet-bázisát és k el jeles görbületi függvényét (T(t) =?, N(t) =?, k(t) =?). 2) Adva van egy akárhányszor dierenciálható (más szóval C -osztályú) f : I R valós függvény, amely konkáv. Tekintsük a γ(t) = t e 1 + f(t) e 2 kifejezéssel leírt γ : I R 2 síkgörbét, melynek pályája az f grakonja. Mutassuk meg, hogy γ el jeles görbületére fennáll k(t) 0 (t I). Tegyük fel, hogy a t 0 -beli érint párhuzamos az x tengellyel. Fejezzük ki a κ(t 0 ) görbületet az f deriváltjaival. 3) Adva van egy γ : I R 2 síkgörbe, amelynek az a I helyen vett görbülete κ(a). Tekintsük azon g, h : J R függvényeket (J = { t a t I }), ahol g(u) egyenl a γ(a + u) pontnak az a-beli normális egyenest l mért távolságával, továbbá h(u) megegyezik a γ(a + u) pont és az a-beli érint egyenes távolságával. Bizonyítsuk be, hogy fennáll 2 h(u) lim u 0 g(u) 2 = κ(a). (Utalás: Alkalmazzuk a L'Hospital-szabályt.) 4) Vegyük a γ(t) = a ( ln(tg t ) + cos t) e a sin t e 2 összefüggés által leírt γ : (0, π) R 3 sima görbét, ahol a > 0. (A γ pályáját nevezik traktrixnak.) Vegyük a t-beli (t π ) érint egyenes azon szakaszát, amelynek az egyik végpontja 2 γ(t), a másik pedig az érint nek az x tengellyel vett metszéspontja. Igazoljuk, hogy a szakasz hossza nem függ a t megválasztásától. 5) Legyen adott egy γ : [a, b] R 2 reguláris síkgörbe, melynek el jeles görbülete sehol sem t nik el és fennáll k (t) 0 tetsz leges t (a, b) esetén. Tekintsük a σ(t) = γ(t) + 1 N(t) egyenlettel meghatározott σ : [a, b] k(t) R2 görbét, ahol k(t) a γ el jeles görbülete és N(t) a normális egységvektora a t helyen. Ezt a σ görbét a γ 1 evolútájának mondjuk. Igazoljuk, hogy a σ ívhosszára fennáll l(σ) = k(a) 1. k(b) 6) Vegyük a γ : [0, 2π] R 2 görbét, amelynél γ(t) = a cos t e 1 + b sin t e 2 (t [0, 2π]) és a > b > 0. Ennek pályája az x 2 /a 2 + y 2 /b 2 1 = 0 egyenlet ellipszis. Igazoljuk, ( a 2 ) hogy a γ görbe σ evolútájának ívhosszára fennáll l(σ) = 4 b b2. a 7) Adva van egy γ : [a, b] R 2 síkgörbe, amelynek koordináta-függvényei x, y : [a, b] R, vagyis fennáll γ(t) = x(t) e 1 + y(t) e 2. A koordináta-függvényekre teljesül y(t) > 0 és x (t) > 0 (a < t < b). Tekintsük R 2 -ben azt a síkidomot, melyet a görbe pályája, az x tengely és az x = x(a), x = x(b) egyenlet egyenesek határolnak. Igazoljuk, hogy a síkidom területére fennáll A = b y(t) a x (t) dt. 8) Vegyük az r sugarú kör x tengelyen való legördítése során a kör egy kerületi pontja által leírt cikloisnak egy menetét. Konkrétabban, tekintsük a γ(t) = r(t sin t) e 1 + r(1 cos t) e 2 összefüggéssel leírt γ : [0, 2π] R 2 síkgörbét. Számítsuk ki a ciklois pályája és az x tengely által határolt síkidom területét.

6 Gyakorló feladatsor az I. Zárthelyi dolgozathoz 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott síkban adva van a 6 x 2 4 x y 3 y x 8 = 0 egyenlettel leírt M közönséges kúpszelet. Vegyük ennek az y + 2 = 0 egyenlet egyenessel a metszéspontjait. Projektív geometriai módszereket alkalmazva határozzuk meg a metszéspontokban az M kúpszelet érint inek az egyenletét, továbbá döntsük el, hogy ellipszis, hiperbola vagy parabola az M kúpszelet. 2) Az euklideszi térben tekintsük a γ(t) = 4 3 t3 e 1 +(t 2 t 4 ) e 2 + (2 4 ) 3 t3 e 3 egyenlettel leírt γ : R R 3 sima görbét. Határozzuk meg a γ [1, 3] görbedarab ívhosszát és igazoljuk, hogy a γ görbe pályája rajta van egy síkon. 3) Az R 3 térben vegyük a γ(t) = (3t t 2 ) e sin(t 1) e t e 3 egyenlettel leírt γ : (0, ) R 3 sima görbét. A t = 1 helyen határozzuk meg a γ görbe Frenetbázisát, a simulósík egyenletét, továbbá a simulókör sugarát és centrumát. 4) A z = 0 egyenlet síkban az x tengely mentén legördítünk egy egységnyi sugarú kört. Tekintsük a kör egyik kerületi pontja által leírt közönséges cikloisnak a γ(t) = (t sin t) e 1 +(1 cos t) e 2 paraméterezését. Igazoljuk, hogy a ciklois bármely érint je áthalad a gördül körnek a legfels pontján (azaz a pillanatnyi érintkezési ponttal átellenes köri ponton). 5) Adva van egy olyan γ : I R 3 reguláris sima görbe, amelynek görbülete sehol sem t nik el (κ(t) > 0, t I). A görbe összes f normális egyenese áthalad az R 3 tér egy rögzített q pontján. Bizonyítsuk be, hogy van olyan gömbfelület, amely tartalmazza a görbe pályáját.

7 matematikatanári szak (2017/18-as tanév, 1. félév) 6. feladatsor (Felületek leírása egyenlettel és kétváltozós vektorérték függvénnyel.) 1) Legyen adott egy f : R 2 R dierenciálható függvény. Vegyük az R 3 térben a G = { (x, y, z) R 3 f(x 2, z) = c, y = 0 } alakzatot, ahol c R rögzített. Forgassuk meg a síkbeli G alakzatot a z koordináta-tengely körül. Igazoljuk, hogy a kapott alakzat megegyezik az M = { (x, y, z) R 3 f(x 2 + y 2, z) = c } ponthalmazzal. 2) Az y = 0 koordinátasíkban tekintsük az x2 a z2 1 = 0 egyenlettel leírt hiperbolát. 2 b2 Forgassuk meg a hiperbolát el bb a z tengely körül, majd pedig az x tengely körül. Adjuk meg az így nyert forgásfelületek (a hiperboloidok) egyenletét. Állítsuk el az els felületet egy dierenciálható r : D R 2 R 3 vektorfüggvény képeként. 3) Vegyük az (x a) 2 + z 2 b 2 = 0 és y = 0 egyenletekkel leírt kört, ahol a > b > 0. Ezen körnek a z koordináta-tengely körüli forgatásával egy tóruszt kapunk, amely egy negyedrend felület. Határozzuk meg a tórusz egyik egyenletét. 4) Adjuk meg a 2x + 3y 4z + 17 = 0 egyenlet síknak egy paraméteres el állítását. 5) Tekintsük a γ, σ : R R 3 paraméterezett görbéket, ahol γ(u) = u e 1 + u 2 /a 2 e 3 és σ(v) = v e 2 v 2 /b 2 e 3 (u, v R) teljesül rögzített a, b pozitív számok mellett. Világos, hogy mindkét görbe pályája parabola. A γ(r) pályához tartozó R 3 -beli vektorokkal toljuk el a σ-nak megfelel parabolát és adjuk meg az így nyert felület (az ún. hiperbolikus paraboloid) paraméteres el állítását és egyenletét. 6) Az el z feladatban szerepl hiperbolikus paraboloidnak adjuk meg egy olyan paraméterezését, amelynél az els és a második paramétervonalak egyaránt egyenesek. (Keressünk egy olyan r : R 2 R 3 paraméteres el állítást a felülethez, ahol a γ 1 (t) = r(t, v) és γ 2 (t) = r(u, t) összefüggésekkel leírt paramétervonalak egyenesek.) 7) Tekintsük az r(u, v) = sin(u 1) e exp(1 v) e (u3 v 3 ) e 3 egyenlettel megadott r : R 2 R 3 vektorfüggvényt és az általa leírt sima elemi felületet. Ezen felület p = (0, 2, 0) pontjában határozzuk meg a felületi normális irányát megadó egységvektort és az érint sík egyenletét. 8) Az I nyílt intervallumon legyen adva egy olyan γ : I R 3 sima leképezés, amely egy egyszer görbét ad az R 3 tér egy S síkjában. Vegyünk egy olyan a vektort, amely nem párhuzamos ezen S síkkal. A D = I R tartományon tekintsük az r(u, v) = γ(u) + v a egyenlettel értelmezett r vektorfüggvényt. Az általa leírt M = r(d) elemi felületet egy általános hengerfelületnek mondjuk. Mutassuk meg, hogy ezen hengerfelület bármely alkotóegyenese mentén az érint sík állandó. 9)* Tekintsük R 3 -ban az x 2 +y 2 +(z a) 2 = a 2 egyenlettel leírt a sugarú gömbfelületet. Amennyiben ebb l elhagyjuk az n = (0, 0, 2a) pontot, akkor az M elemi felülethez jutunk. Az n pontot vetítési középpontnak használva centrálisan vetítsük le M-t a z = 0 egyenlet síkra. Határozzuk meg az M-nek azt az r : R 2 R 3 paraméteres el állítását, amelyet a fent leírt sztereograkus projekcióval nyerünk.

8 matematikatanári szak (2017/18-as tanév, 1. félév) 7. feladatsor (Kompakt felületdarab felszínének meghatározása.) 1) Mutassuk meg, hogy a z 3 x y 2 = 4 egyenlet egy sima felületet ír le az R 3 euklideszi térben. Határozzuk meg a felület p = (1, 2, p 3 ) pontbeli érint síkjának az egyenletét. 2) Az R 3 euklideszi térben vegyük az ln(x 2 + y 2 1) + xz yz = 6 egyenlettel leírt M sima felületet. Határozzuk meg a felület p = (1, 1, p 3 ) pontjában a felületi normális egyenest (illetve annak paraméteres egyenletrendszerét). 3) Vegyük az r(u, v) = u e 1 + v e 2 + (u 2 + v 2 ) e 3 (u, v R) vektorfüggvény által leírt sima elemi felületet, amely egy forgásparaboloid. Adjuk meg az r paraméterezéshez tartozó N : R 2 R 2 normális egységvektormez t. Tegyük fel, hogy a z tengely irányából egy párhuzamos fénynyaláb éri el a felületet. A tér melyik pontjába fókuszálódnak a felületen visszaver d fénysugarak? 4) Tekintsük az R 2 beli D = R (0, ) tartományon értelmezett r : D R 3 vektorfüggvényt, amelyet az r(u, v) = u e 1 + v e 2 + u2 2v e 3 egyenlet ír le. Vegyük az M = r(d) elemi felületet, amely rajta van egy másodrend felületen. Határozzuk meg annak az r(b) kompakt felületdarabnak a felszínét, ahol B = [0, 1] [1, 2]. 5) Tekintsük az R 2 beli D = [ π, π ] [ π, π] zárt tartományon azt az r : D R3 2 2 vektorfüggvényt, amelyre fennáll r(u, v) = a cos u cos v e 1 +a cos u sin v e 2 +a sin u e 3 egy a > 0 számmal. Világos, hogy r(d) egy a sugarú gömbfelület. Vegyünk egy olyan B D téglalapot, amelynél az r(b) kép egy α szög gömbkétszög (0 < α < π). Mutassuk meg, hogy az r(b) gömbkétszög felszíne 2 a 2 α. 6) Adva van a γ(u) = cos u e 1 + sin u e 2 + u e 3 (u R) kifejezéssel leírt γ csavarvonal. Vegyük az r(u, v) = γ(u)+v γ (u) összefüggéssel meghatározott r : R (0, ) R 3 vektorfüggvényt. Az r azon sima elemi felület paraméterezése, amelyet a csavarvonal érint egyeneseib l nyerünk. Határozzuk meg a B = [0, 2π] [1, 3] tartománynak megfelel r(b) kompakt felületdarab felszínét. 7) Vegyük R 3 -ban az y = 0 és (x a) 2 + z 2 b 2 = 0 (a > b > 0) egyenletekkel leírt kört és forgassuk meg a z tengely körül. Határozzuk meg az így nyert körgy r felület (más néven a tórusz) felszínét. 8) Határozzuk meg a z = x y egyenlettel leírt hiperbolikus paraboloid azon darabjának felszínét, amely az x 2 + y 2 4 = 0 egyenlet henger belsejébe esik. (Célszer az x = u cos v, y = u sin v polárkoordinátás paraméterezést alkalmazni.) 9)* Adva van az euklideszi térben két kitér helyzet egyenes t és g, amelyek hajlásszöge nem derékszög. Forgassuk meg a g egyenest t körül. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy a kapott forgásfelület egy egyköpeny hiperboloid.

9 matematikatanári szak (2017/18-as tanév, 1. félév) 8. feladatsor (A sima felületek görbületi jellemzése.) Legyen adva R 3 -ban egy M = r(d) sima elemi felület az r paraméterezéssel. Egy p = r(u 0, v 0 ) pontban a w = w 1 1 r(u 0, v 0 )+w 2 2 r(u 0, v 0 ) érint irányhoz tartozó normálgörbületet a k p (w) = 1 ( 2 2 w 2 i=1 j=1 b ) ij(u 0, v 0 ) w i w j összefüggés adja meg. Az alapmennyiségekb l képezzük a G(u 0, v 0 ) és B(u 0, v 0 ) 2 2es mátrixokat. Az alapformák által meghatározott A p : T p M T p M Weingarten-leképezés mátrixa az 1 r(u 0, v 0 ), 2 r(u 0, v 0 ) bázisra nézve a G(u 0, v 0 ) 1 B(u 0, v 0 ) szorzat. 1) Tekintsük az r(u, v) = exp(2u) e 1 +exp( 2v) e 2 +(2u+v 3) e 3 egyenlettel megadott r : R 2 R 3 vektorfüggvényt és az általa leírt M = r(r 2 ) sima elemi felületet. Ezen felület p = (1, 1, 3) pontjában határozzuk meg a w = e 1 + 2e 2 érint irányhoz tartozó normálgörbületet. 2) Vegyük azt a sima felületet, melyet az r(u, v) = (u+v) e 1 +uv e (u3 2v 3 ) e 3 kifejezés szerinti vektorfüggvény ír le a D = { (u, v) R 2 u > 0, v < 0 } tartományon. A felület p = (0, 1, 1) pontjában határozzuk meg a w = 2e 2 3e 3 érint irányhoz tartozó normálgörbületet. 3) Legyen adott a γ(u) = ϱ(u) e 1 + ζ(u) e 3 egyenlettel leírt γ : I R 3 egyszer síkgörbe, ahol bármely u I-re igaz ϱ(u) > 0. A görbe z tengely körüli forgatásával nyert felületet az r(u, v) = ϱ(u) (cos v e 1 + sin v e 2 ) + ζ(u) e 3 kifejezéssel nyert r vektorfüggvény írja le ( π v π). Igazoljuk, hogy a forgásfelület érint terein a 1 r(u, v), 2 r(u, v) parciális deriváltak adják a normálgörbületi f irányokat. 4) Vegyük a γ(u) = u e 1 + ch u e 2 egyenlettel leírt γ : R R 3 egyszer síkgörbét. Forgassuk meg a γ görbe pályáját az x tengely körül. Az így nyert forgásfelületet paraméterezzük az r(u, v) = u e 1 + ch u (cos v e 2 + sin v e 3 ) összefüggés szerinti r vektorfüggvénnyel. Igazoljuk, hogy a fenti forgásfelület egy minimálfelület, és határozzuk meg a szorzatgörbületi függvényét. 5) Tekintsük a γ(u) = a ( ln (tg u 2 ) + cos u) e 1 + a sin u e 2 összefüggés által leírt γ : (0, π) R 3 traktrixot. Ezen görbének az x tengely körüli forgatásával nyert forgásfelületet nevezik pszeudoszférának. Bizonyítsuk be, hogy a pszeudoszféra mentén a Gauss-görbület állandó (konkrétan fennáll K = 1/a 2 ). 6) Legyen adva egy olyan γ : I R 3 egyszer sima görbe, melynek pályája egy S síkban van. Vegyünk egy c (c / S) pontot a térben. A D = I (0, ) tartományon tekintsük az r(u, v) = c + v (γ(u) c) összefüggéssel értelmezett r vektorfüggvényt. Az általa leírt M elemi felületet egy általános kúpfelületnek nevezzük. Igazoljuk, hogy a kúpfelület szorzatgörbülete elt nik, azaz fennáll K = 0. 7)* Az R 3 euklideszi térben legyen adott egy olyan M sima felület, amely összefügg és kompakt (azaz korlátos és zárt). A kompaktság miatt M nem elemi felület. Igazoljuk, hogy az M-nek van olyan felületdarabja, amelynek az összes pontja elliptikus (vagyis a pontokban vett szorzatgörbület pozitív).

10 matematikatanári szak (2017/18-as tanév, 1. félév) 9. feladatsor (Sima felület geodetikus görbéi.) Legyen adva R 3 -ban egy M = r(d) sima elemi felület az r : D R 3 paraméterezéssel. Vegyünk a paramétertartományban egy σ : I D R 2 reguláris görbét. A γ = r σ felületi görbét pregeodetikusnak (más szóval stacionáriusnak) mondjuk, ha tetsz leges t I esetén a γ (t), γ (t) és N(σ(t)) vektorok lineárisan összefügg ek. Amennyiben a γ (t) és N(σ(t)) vektorok lineárisan összefügg ek bármely t-re, akkor a γ = r σ görbét az M = r(d) felület geodetikus görbéjének nevezzük. Ha a γ = r σ felületi görbe pregeodetikus (és az I intervallum nyílt), akkor bármely a I értékhez megadhatóak olyan b < a és c > a számok, hogy a γ [b, a] és γ [a, c] görbeszegmensek a legrövidebb felületi görbéket adják a végpontjaik között. 1) Legyen adva az M = r(d) sima felületen egy γ = r σ reguláris felületi görbe. Mutassuk meg, hogy amennyiben γ egy geodetikus, akkor a γ sebessége konstans. 2) Legyen a γ = r σ reguláris felületi görbe egy pregeodetikus az M = r(d) sima felületen. Tekintsük γ-nak egy ívhossz szerinti γ = γ ϕ átparaméterezését. Igazoljuk, hogy az így nyert γ felületi görbe geodetikus. 3) Jelölje S a 0 centrumú és ρ sugarú gömbfelületet az R 3 térben. Vegyünk egy olyan M = r(d) sima elemi felületet, amelyet tartalmaz az S szféra. Bizonyítsuk be, hogy egy γ = r σ reguláris felületi görbe pregeodetikus akkor és csak akkor, ha pályája rajta van az S szféra egyik f körén. 4) Tekitsük a 8/3) feladatban szerepl r vektorfüggvényt, melyet az r(u, v) = ϱ(u) (cos v e 1 + sin v e 2 ) + ζ(u) e 3 kifejezéssel értelmeztünk, továbbá a leírt M = r(d) forgásfelületet. Bizonyítsuk be, hogy az r paraméterezés els paramétervonalai (vagyis a forgásfelület meridián görbéi) pregeodetikus görbék. 5) A koordinátázott térben tekintsük azt a forgáskúpot, amelynek csúcsa a C(3, 0, 2) pont, tengelye a C ponton átmen v(1, 2, 2) irányvektorú t egyenes és félnyílásszöge ϕ = 30. Írjuk le ezen forgáskúpot egy másodfokú egyenlettel. (Utalás: Egy P (x, y, z) pont akkor van rajta a felületen, ha a v és CP vektorok hajlásszöge 30.) 6) Vegyük az el z feladatban szerepl t egyenest. Tekintsük a tér azon pontjait, amelyek a t egyenest l a = 2 távolságra vannak. Ezek egy t tengely körhengert alkotnak. Adjuk meg a körhenger másodfokú egyenletét. (Utalás: Egy P pontnak a tt l mért távolsága kapcsolatban van a v és CP vektorokkal kifeszített parallelogrammával.) 7) Tekintsük a 6/8) feladatban szerepl általános hengerfelületet, melyet az r(u, v) = µ(u) + v a kifejezés ír le. (Ez esetben µ : I R 3 a síkbeli vezérgörbe.) Mutassuk meg, hogy a hengerfelület Gauss-görbületére fennáll K = 0. Igazoljuk, hogy egy felületi görbe pontosan akkor pregeodetikus, ha konstans szögben metszi az alkotókat. 8)* Vegyünk az R 3 euklideszi térben egy p = 1 paraméter parabolát és forgassuk meg a vezéregyenese körül. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert forgásfelület pontjaiban a két f görbület hányadosa állandó (vagyis k 1 /k 2 értéke konstans).